Consideriamo un sistema meccanico composto da punti materiali, su cui agiscono le forze Sia il sistema a possedere s gradi di libertà e la sua posizione sia determinata dalle coordinate generalizzate (104). Diciamo al sistema un tale indipendente possibile spostamento, in cui la coordinata viene incrementata e le coordinate rimanenti non cambiano. Quindi ciascuno dei raggi vettori dei punti del sistema riceverà un incremento elementare. Poiché, secondo l'uguaglianza (106), , e solo la coordinata cambia durante lo spostamento considerato (il resto rimane costante), allora è calcolato come differenziale privato e quindi
Usando questa uguaglianza e la formula (42) del § 87, calcoliamo la somma dei lavori elementari di tutte le forze agenti sullo spostamento considerato, che indichiamo
Togliendo il fattore comune da parentesi, finalmente troviamo
dove indicato
Per analogia con l'uguaglianza che determina il lavoro elementare della forza F, il valore è detto forza generalizzata corrispondente alla coordinata
Dicendo al sistema un altro possibile spostamento indipendente, in cui cambia solo la coordinata, otteniamo per lavoro elementare di tutte le forze agenti su questo spostamento, l'espressione
La quantità è una forza generalizzata corrispondente alla coordinata e così via.
Ovviamente, se il sistema è informato di un tale possibile spostamento, in cui tutte le sue coordinate generalizzate cambiano contemporaneamente, allora la somma dei lavori elementari delle forze applicate su questo spostamento è determinata dall'uguaglianza
La formula (112) fornisce un'espressione per il lavoro elementare totale di tutte le forze agenti sul sistema in coordinate generalizzate. Da questa uguaglianza è chiaro che le forze generalizzate sono quantità, uguale ai coefficienti ad incrementi di coordinate generalizzate nell'espressione del lavoro elementare totale delle forze agenti sul sistema.
Se tutti i vincoli imposti al sistema sono ideali, solo le forze attive svolgono il lavoro con possibili spostamenti e le quantità saranno forze attive generalizzate del sistema.
La dimensione della forza generalizzata dipende dalla dimensione della coordinata generalizzata corrispondente. Poiché il prodotto a ha quindi la dimensione dell'opera, allora
cioè, la dimensione della forza generalizzata è uguale alla dimensione del lavoro divisa per la dimensione della corrispondente coordinata generalizzata. Questo mostra che se q è una quantità lineare, allora Q ha la dimensione di una forza ordinaria (in SI è misurata in newton), se q è un angolo (una quantità adimensionale), allora Q sarà misurato e avrà la dimensione di un momento; se q è un volume (ad esempio, la posizione di un pistone in un cilindro può essere determinata dal volume dello spazio del pistone), allora Q verrà misurato e avrà la dimensione della pressione, ecc.
Come si vede, per analogia con la velocità generalizzata, il concetto di forza generalizzata copre tutte le grandezze che si incontravano in precedenza come misure interazione meccanica corpi materiali(forza, momento di forza, pressione).
Calcoleremo le forze generalizzate usando formule della forma (108), (110), che si riduce al calcolo del possibile lavoro elementare (vedi § 140). Innanzitutto, dovresti determinare il numero di gradi di libertà del sistema, selezionare le coordinate generalizzate e rappresentare sul disegno tutte le forze attive e di attrito applicate al sistema (se funzionano). Quindi, per determinare, è necessario informare il sistema di tale possibile spostamento, in cui cambia solo la coordinata, ricevendo un incremento positivo, calcolare su questo spostamento la somma dei lavori elementari di tutte le forze agenti secondo le formule (101) e presentare l'espressione risultante nella forma (108). Quindi il coefficiente a e fornisce il valore desiderato. Il
Esempio 1. Calcoliamo la forza generalizzata per il sistema mostrato in fig. 366, dove il carico A in peso attraverserà un piano inclinato liscio e il carico B in peso - lungo un piano orizzontale grezzo, il cui coefficiente di attrito è uguale a
I pesi sono collegati da un filo lanciato sopra il blocco O. Trascuriamo la massa del filo e del blocco. Il sistema ha un grado di libertà, la posizione è determinata dalla coordinata (la direzione di riferimento positiva è indicata da una freccia). Per determinare, diciamo al sistema il possibile spostamento a cui calcoliamo il lavoro elementare delle forze su questo spostamento, le forze rimanenti non svolgono lavoro. Da allora
Di conseguenza,
Esempio 2. Trascurando l'attrito, troviamo le forze generalizzate per il sistema mostrate in fig. 367. Stelo omogeneo A B ha lunghezza l e peso P e può ruotare attorno all'asse A su un piano verticale. La palla M infilata su di essa ha un peso. La lunghezza della molla AM è uguale nello stato non sollecitato e la rigidità è c.
Il sistema ha due gradi di libertà (il movimento della sfera lungo l'asta e la rotazione dell'asta attorno all'asse A sono indipendenti). Come coordinate generalizzate, scegliamo l'angolo e la distanza della palla dall'estremità della molla non sollecitata, le direzioni positive delle coordinate sono indicate dalle frecce.
Informiamo prima il sistema del possibile spostamento, al quale l'angolo riceve un incremento. Su questo movimento, il lavoro è svolto dalle "forze. Secondo la seconda delle formule (101) troviamo (qui il segno meno perché la direzione del momento è opposta alla direzione)
Di conseguenza,
Ora diciamo al sistema un possibile movimento, in cui cambia solo la coordinata, ricevendo un incremento, e l'angolo. Su questo spostamento, il lavoro è svolto dalla forza di gravità e dalla forza di elasticità, il cui modulo è Then
Meccanica analitica. Classificazione dei collegamenti. Esempi. Possibili movimenti.
Connessione- questo è il rapporto tra le coordinate e le velocità dei punti del sistema che sono interconnessi e sono rappresentati come uguaglianze o disuguaglianze.
Classificazione:
Geometrico– impone restrizioni solo sulle coordinate dei punti del sistema (le velocità non sono incluse)
cinematico– le velocità sono incluse nelle equazioni. Se le velocità possono essere eliminate, la connessione è integrabile.
Connessioni olonomiche sono vincoli differenziali geometrici e integrabili.
La connessione è chiamata trattenendo(imposte o restrizioni permangono in qualsiasi posizione del sistema) e non trattenimento, che non possiedono questa proprietà (da tali connessioni, come si suol dire, il sistema può “liberarsi”
Possibile trasferimento
Qualsiasi mentale
Infinitesimale
È consentito spostare i punti del sistema
A questo punto
collegamenti imposti al sistema.
Spostamento effettivo- dipende da forze, tempo, connessioni, condizioni iniziali.
Possibile movimento - dipende solo dalle connessioni.
Per i collegamenti stazionari, lo spostamento effettivo è uno di quelli possibili.
Connessioni ideali. Il principio dei movimenti possibili.
Ideale sono detti legami per i quali la somma delle opere elementari di tutte le loro reazioni ad ogni possibile spostamento è uguale a 0.
Il principio dei movimenti possibili.
Per l'equilibrio di un sistema meccanico con vincoli stazionari ideali è necessario e sufficiente che la somma del lavoro elementare di tutte le forze attive su ogni possibile spostamento sia uguale a 0. In questo caso, per sufficienza, la velocità iniziale deve essere uguale a zero. Equilibrio necessario => Sufficiente => equilibrio.
Coordinate generalizzate. Il numero di gradi di libertà del sistema. Forze generalizzate, metodi per il loro calcolo. Condizioni di equilibrio per un sistema con vincoli olonomi, espresse in termini di forze generalizzate.
Coordinate generalizzateè un parametro indipendente che determina completamente la posizione del sistema e attraverso il quale possono essere espresse tutte le coordinate cartesiane dei punti del sistema.
Il numero di gradi di libertà è determinato dal numero di coordinate generalizzate
Il numero di quantità scalari indipendenti che determinano in modo univoco la posizione di un sistema meccanico nello spazio è chiamato numero di gradi di libertà.
Le coordinate generalizzate di un sistema meccanico sono qualsiasi quantità geometrica reciprocamente indipendente che determina in modo univoco la posizione del sistema nello spazio.
Q io = δA j /δq j o δA j = Q io ⋅ δq j .
Forza generalizzata- si tratta di una tale forza che fa lo stesso lavoro su un possibile movimento lungo la sua coordinata generalizzata come tutte le forze applicate al sistema, sul corrispondente movimento dei punti della loro applicazione.
Per trovare la forza generalizzata, diamo un possibile spostamento lungo la sua coordinata generalizzata, lasciando invariate le altre coordinate. Quindi troviamo il lavoro di tutte le forze applicate al sistema e lo dividiamo per il possibile spostamento.
Il principio dei possibili spostamenti in termini di forze generalizzate.
Poiché in equilibrio la somma del lavoro elementare su ogni possibile spostamento ( bA=bq j , che non dipendono l'una dall'altra, allora questo deve essere vero: Q 1 =0; Q2 =0; QK =0
Fig.71
Fig.70
Fig.69
La posizione delle punte della manovella (Fig. 70) può essere determinata impostando l'angolo di rotazione della manovella o dalla distanza S, che determina la posizione del cursore A(a ).
La posizione del pendolo sferico (Fig. 71) è determinata impostando due parametri, angoli e .
Importo minimo si chiamano coordinate generalizzate indipendenti l'una dall'altra, sufficienti a determinare in modo completo ed univoco la posizione di tutti i punti del sistema numero di gradi di libertà questo sistema.
In generale, a qualsiasi sistema materiale possono essere assegnate più coordinate generalizzate. Ad esempio, il meccanismo a manovella (Fig. 70) ha due coordinate generalizzate e . Ma questo non significa che il meccanismo abbia due gradi di libertà, poiché una coordinata può essere definita attraverso un'altra:
Ma il pendolo (Fig. 71) ha due gradi di libertà, perché la sua posizione è determinata da due coordinate generalizzate indipendenti. A proposito, se la lunghezza del pendolo cambia, per determinare la posizione del punto Mè richiesto un altro parametro: la coordinata generalizzata l, lunghezza del filo. E il pendolo avrà tre gradi di libertà.
Le coordinate generalizzate nel caso generale saranno indicate dalla lettera q.
Permettere sistema materiale Esso ha S gradi di libertà. La sua posizione è determinata dalle coordinate generalizzate: q 1 , q 2 , q 3 ,…, qk,…, qs. .
È facile verificarlo coordinate cartesiane n i punti del sistema possono essere definiti come funzioni di coordinate generalizzate e tempo:
Quindi al pendolo (Fig. 71) le coordinate del punto M
ci sono funzioni di coordinate l, e , e ora t, Se l = l(t).
Di conseguenza, il vettore raggio dei punti del sistema può essere definito anche in funzione di coordinate generalizzate e tempo:
Per ogni coordinata generalizzata, si può calcolare la forza generalizzata corrispondente Qk.
Il calcolo viene effettuato secondo questa regola.
Per determinare la forza generalizzata Qk corrispondente alla coordinata generalizzata qk, devi dare a questa coordinata un incremento (aumentare la coordinata di questo importo), lasciando invariate tutte le altre coordinate, calcolare la somma del lavoro di tutte le forze applicate al sistema sui corrispondenti spostamenti dei punti e dividerla per l'incremento della coordinata:
dov'è lo spostamento io-quel punto del sistema ottenuto cambiando K– quella coordinata generalizzata.
La forza generalizzata è determinata usando il lavoro elementare. Pertanto, questa forza può essere calcolata in modo diverso:
E poiché c'è un incremento del vettore del raggio dovuto all'incremento delle coordinate con le coordinate rimanenti e il tempo invariato t, il rapporto può essere definito come una derivata parziale di . Quindi
dove le coordinate del punto sono funzioni di coordinate generalizzate (5).
Se il sistema è conservativo, cioè il movimento avviene sotto l'azione delle forze campo potenziale, le cui proiezioni sono , dove , e le coordinate dei punti sono funzioni di coordinate generalizzate, quindi
La forza generalizzata di un sistema conservativo è una derivata parziale dell'energia potenziale rispetto alla corrispondente coordinata generalizzata con segno meno.
Naturalmente, quando si calcola questa forza generalizzata energia potenziale dovrebbe essere definito in funzione di coordinate generalizzate
P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).
Osservazioni.
Primo. Quando si calcolano le forze di reazione generalizzate, i legami ideali non vengono presi in considerazione.
Secondo. La dimensione della forza generalizzata dipende dalla dimensione della coordinata generalizzata. Quindi se la dimensione [ q] è un metro, quindi la dimensione
Nm/m = Newton se [ q] è un radiante, quindi = Nm; Se [ q] = m 2 , quindi, ecc.
Esempio 23. Un anello scorre lungo un'asta oscillante su un piano verticale M pesatura R(fig.72). Si presume che l'asta sia senza peso. Definiamo le forze generalizzate.
Definizione di forze generalizzate
Per un sistema con un grado di libertà, la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata q, è chiamato il valore determinato dalla formula
dove d qè un piccolo incremento della coordinata generalizzata; è la somma del lavoro elementare delle forze del sistema sul suo possibile spostamento.
Ricordiamo che il possibile spostamento del sistema è definito come lo spostamento del sistema in una posizione infinitamente vicina consentito dai vincoli in un dato momento (per i dettagli, cfr. Appendice 1).
È noto che la somma del lavoro delle forze di reazione dei legami ideali su ogni possibile spostamento del sistema è uguale a zero. Pertanto, per un sistema con connessioni ideali, l'espressione dovrebbe prendere in considerazione solo il lavoro delle forze attive del sistema. Se i legami non sono ideali, le loro forze di reazione, ad esempio le forze di attrito, sono condizionalmente considerate forze attive (vedi sotto per le istruzioni sul diagramma in Fig. 1.5). B include il lavoro elementare delle forze attive e il lavoro elementare dei momenti delle coppie attive di forze. Scriviamo formule per determinare questi lavori. Diciamo la forza ( Fkx ,Fky ,Fkz) viene applicato al punto Per, il cui vettore raggio è ( xk,yk,zk), e l'eventuale spostamento - (d xk, d si k, d zk). Il lavoro elementare di una forza su un possibile spostamento è uguale a prodotto a punti, in cui forma analitica corrisponde all'espressione
d MA( ) = F a d r a cos(), (1.3a)
e in forma coordinata, l'espressione
d MA( ) = Fkx d x k + F ky d yk + Fkz d zk. (1.3b)
Se una coppia di forze con un momento M applicato ad un corpo rotante, la cui coordinata angolare è j, e lo spostamento possibile è dj, allora il lavoro elementare del momento M su un possibile spostamento dj è determinato dalla formula
d SONO) = ± M d j. (1.3v)
Qui il segno (+) corrisponde al caso in cui il momento M ed eventuali spostamenti dj coincidono in direzione; segno (–) quando sono in direzione opposta.
Per poter determinare la forza generalizzata mediante la formula (1.3), è necessario esprimere i possibili spostamenti di corpi e punti in termini di un piccolo incremento della coordinata generalizzata d q, usando le dipendenze (1)…(7) agg. uno.
Definizione di forza generalizzata Q corrispondente alla coordinata generalizzata scelta q, si consiglia di farlo nel seguente ordine.
· Mostra sul diagramma di progetto tutte le forze attive del sistema.
Dare un piccolo incremento alla coordinata generalizzata d q > 0; mostrare sul diagramma di progetto i corrispondenti possibili spostamenti di tutti i punti in cui vengono applicate le forze e i possibili spostamenti angolari di tutti i corpi a cui vengono applicati momenti di coppie di forze.
Comporre un'espressione per il lavoro elementare di tutte le forze attive del sistema su questi spostamenti, spostamenti possibili in espresso tramite d q.
· Determinare la forza generalizzata con la formula (1.3).
Esempio 1.4 (si veda la condizione di Fig. 1.1).
Definiamo la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata S(Fig. 1.4).
Le forze attive che agiscono sul sistema sono: P- peso del carico; G– peso e coppia del tamburo M.
Il piano inclinato grezzo è per il carico MA connessione imperfetta. forza di attrito radente F tro agendo sul carico UN dal lato di questa connessione, è uguale a F tr \u003d f N.
Per determinare la forza N pressione normale del carico sul piano durante il movimento, utilizziamo il principio di d'Alembert: se, oltre alle forze attive e alle forze delle reazioni dei legami, applichiamo una forza di inerzia condizionata in ogni punto del sistema, quindi l'insieme di forze formato sarà bilanciato e le equazioni della dinamica potranno assumere la forma di equazioni di equilibrio della statica. Seguendo il noto metodo di applicazione di questo principio, descriviamo tutte le forze che agiscono sul carico UN(Fig. 1.5), - e , dove - la forza di tensione del cavo.
Riso. 1.4 Fig. 1.5
Aggiungiamo la forza di inerzia, dove è l'accelerazione del carico. L'equazione del principio d'Alembert nella proiezione sull'asse y ha la forma N-Pcos un = 0.
Da qui N = Pcos un. La forza di attrito radente può ora essere determinata dalla formula F tr \u003d f P cos un.
Diamo la coordinata generalizzata S piccolo incremento d s > 0. In questo caso, il carico (Fig. 1.4) si sposterà sul piano inclinato di una distanza d S e il tamburo ruoterà in senso antiorario di un angolo di dj.
Usando formule come (1.3a) e (1.3c), componiamo un'espressione per la somma del lavoro elementare del momento M, forze P e F tro:
esprimere in questa equazione dj in termini di d S: , poi
definiamo la forza generalizzata con la formula (1.3)
prendiamo in considerazione la formula precedentemente scritta per F tro e finalmente arriviamo
Se nello stesso esempio prendiamo l'angolo j come coordinata generalizzata, allora la forza generalizzata Qj espresso dalla formula
1.4.2. Determinazione delle forze generalizzate del sistema
con due gradi di libertà
Se il sistema ha n gradi di libertà, la sua posizione è determinata n coordinate generalizzate. Ogni coordinata q io(io = 1,2,…,n) corrisponde alla sua forza generalizzata Q io, che è determinato dalla formula
dove è la somma del lavoro elementare delle forze attive su io-esimo movimento possibile del sistema quando d q io > 0 e il resto delle coordinate generalizzate rimane invariato.
Nel determinare, è necessario tenere conto delle istruzioni per determinare le forze generalizzate secondo la formula (1.3).
Si consiglia di determinare le forze generalizzate di un sistema con due gradi di libertà nel seguente ordine.
· Mostra sul diagramma di progetto tutte le forze attive del sistema.
Determina la prima forza generalizzata Q1. Per fare ciò, dare al sistema il primo movimento possibile quando d q 1 > 0 e d q 2 =q 1 eventuali spostamenti di tutti i corpi e punti del sistema; comporre - un'espressione del lavoro elementare delle forze del sistema sul primo spostamento possibile; eventuali spostamenti in espresso tramite d q 1; trova Q1 dalla formula (1.4), assumendo io = 1.
Determina la seconda forza generalizzata Q2. Per fare ciò, dare al sistema il secondo movimento possibile, quando d q 2 > 0 e d q 1 = 0; mostrare sullo schema di calcolo il corrispondente d q2 eventuali spostamenti di tutti i corpi e punti del sistema; comporre - un'espressione del lavoro elementare delle forze del sistema sul secondo possibile spostamento; eventuali spostamenti in espresso tramite d q2; trova Q2 dalla formula (1.4), assumendo io = 2.
Esempio 1.5 (vedi la condizione di Fig. 1.2)
Definiamo Q1 e Q2, corrispondente alle coordinate generalizzate xD e x A(Fig. 1.6, un).
Tre forze attive agiscono sul sistema: PA = 2P, P B = P D = P.
Definizione Q1. Diamo al sistema il primo spostamento possibile quando d xD > 0, d x A = 0 (Fig. 1.6, un). Allo stesso tempo, il carico D xD, blocco B girare in senso antiorario dell'angolo dj B, asse del cilindro UN rimane fermo, il cilindro UN girare intorno all'asse UN all'angolo dj UN senso orario. Componi la somma del lavoro sugli spostamenti indicati:
definire
Definiamo Q2. Diamo al sistema il secondo spostamento possibile quando d x D = 0, d x A > 0 (Fig. 1.6, b). In questo caso, l'asse del cilindro UN spostarsi verticalmente per una distanza d x A, cilindro UN girare intorno all'asse UN in senso orario all'angolo dj UN, blocco B e carico D rimarrà immobile. Componi la somma del lavoro sugli spostamenti indicati:
definire
Esempio 1.6 (vedi la condizione di Fig. 1.3)
Definiamo Q1 e Q2, corrispondente alle coordinate generalizzate j, S(Fig. 1.7, un). Quattro forze attive agiscono sul sistema: il peso dell'asta P, peso della sfera, forza della molla e .
Lo impariamo. Il modulo delle forze elastiche è determinato dalla formula (a).
Si noti che il punto di applicazione della forza F2è immobile, quindi il lavoro di questa forza su ogni possibile spostamento del sistema è uguale a zero, nell'espressione delle forze generalizzate la forza F2 non entrerà.
Definizione Q1. Diamo al sistema la prima mossa possibile quando dj > 0, d s= 0 (Fig. 1.7, un). Allo stesso tempo, la canna AB girare intorno all'asse z in senso antiorario di angolo dj, possibili movimenti della pallina D e centro e le aste sono dirette perpendicolarmente al segmento ANNO DOMINI, la lunghezza della molla non cambierà. Componi in forma coordinata [vedi. formula (1.3b)]:
(Si noti che, quindi, il lavoro di questa forza sul primo spostamento possibile è zero).
Esprimiamo gli spostamenti d x E e d xD tramite dj. Per fare questo, scriviamo prima
Quindi, secondo la formula (7) agg. 1 trovare
Sostituendo i valori trovati in , otteniamo
Con la formula (1.4), tenendo conto che , definiamo
Definizione Q2. Diamo al sistema la seconda mossa possibile quando dj = 0, d s > 0 (Fig. 1.7, b). Allo stesso tempo, la canna AB resta fermo, e la palla M si muoverà lungo l'asta di una distanza d S. Componi la somma del lavoro sugli spostamenti indicati:
definire
sostituendo il valore della forza F1 dalla formula (a), otteniamo
1.5. Espressione energia cinetica sistemi
in coordinate generalizzate
L'energia cinetica del sistema è uguale alla somma delle energie cinetiche dei suoi corpi e dei suoi punti (Appendice 2). Per ottenere T(1.2), le velocità di tutti i corpi e punti del sistema dovrebbero essere espresse in termini di velocità generalizzate usando i metodi della cinematica. In questo caso, il sistema è considerato in una posizione arbitraria, tutte le sue velocità generalizzate sono considerate positive, cioè dirette nella direzione di coordinate generalizzate crescenti.
Esempio 1 7 (vedi condizione per Fig. 1.1)
Determiniamo l'energia cinetica del sistema (Fig. 1.8), prendendo la distanza come coordinata generalizzata S,
T = T A + T B.
Secondo le formule (2) e (3) agg. 2 abbiamo: .
Sostituendo questi dati in T e tenendo conto di ciò, otteniamo
Esempio 1.8(vedi condizione per Fig. 1.2)
Determiniamo l'energia cinetica del sistema di fig. 1.9, prendendo come coordinate generalizzate le grandezze xD e x A,
T = T A + T B + T D.
Secondo le formule (2), (3), (4) agg. 2 annotare
Esprimere V A , V D , w B e W UN attraverso :
Nel determinare w UN considerato che il punto o(Fig. 1.9) - centro istantaneo delle velocità del cilindro UN e V k = V D(vedi le relative spiegazioni ad esempio 2 appendice 2).
Sostituendo i risultati ottenuti in T e dato che
definire
Esempio 1.9(vedere la condizione per la Fig. 1.3)
Determiniamo l'energia cinetica del sistema di fig. 1.10, prendendo come coordinate generalizzate j e S,
T = TAB + T D.
Secondo le formule (1) e (3) agg. 2 abbiamo
espresso w AB e VD attraverso e:
dove - velocità portatile sfera D, il suo modulo è determinato dalla formula
Diretto perpendicolare al segmento ANNO DOMINI nella direzione dell'angolo crescente j; è la velocità relativa della palla, il suo modulo è determinato dalla formula , è diretto nella direzione della coordinata crescente S. Nota che è perpendicolare, quindi
Sostituendo questi risultati in T e dato che
1.6. Redazione equazioni differenziali
movimento di sistemi meccanici
Per ottenere le equazioni desiderate, è necessario sostituire nelle equazioni di Lagrange (1.1) l'espressione precedentemente trovata per l'energia cinetica del sistema in coordinate generalizzate e le forze generalizzate Q 1 , Q 2 , … , Qn.
Quando si trovano derivate parziali T in termini di coordinate generalizzate e velocità generalizzate, va tenuto conto che le variabili q 1 , q 2 , … , qn; sono considerati indipendenti l'uno dall'altro. Ciò significa che definendo la derivata parziale T per una di queste variabili, tutte le altre variabili nell'espressione for T dovrebbero essere trattati come costanti.
Quando si esegue l'operazione, tutte le variabili incluse nella variabile devono essere differenziate rispetto al tempo.
Sottolineiamo che le equazioni di Lagrange sono scritte per ogni coordinata generalizzata q io (io = 1, 2,…n) sistemi.
Nella meccanica analitica, insieme al concetto di forza come grandezza vettoriale che ne caratterizza l'impatto dato corpo da altri corpi materiali, usa il concetto di forza generalizzata. Per determinare forza generalizzata consideriamo il lavoro virtuale delle forze applicate ai punti del sistema.
Se un sistema meccanico con vincoli olonomi imposti su di esso h connessioni ha s=3n-h gradi di libertà ,
quindi viene determinata la posizione di questo sistema 
( io = s)
coordinate generalizzate e (2.11) :
Secondo (2.13), (2.14) lo spostamento virtuale K- esimo punto
(2.13)
(2.14)
Sostituendo (2.14): nella formula del lavoro virtuale delle forze
(2.24), otteniamo
valore scalare 
= (2.26)
chiamato forza generalizzata corrispondente io-esima coordinata generalizzata.
forza generalizzata,corrispondente i-th coordinata generalizzata, è chiamata il valore pari al moltiplicatore nella variazione di tale coordinata generalizzata nell'espressione del lavoro virtuale delle forze agenti sul sistema meccanico.
lavoro virtuale determinato da
¾ impostare le forze attive, indipendentemente dalle restrizioni e
¾ reazioni dei legami (se i legami non sono ideali, quindi per risolvere il problema, è necessario impostare ulteriormente la dipendenza fisica T j da N j , ( T j ¾ è, di regola, le forze di attrito oi momenti di resistenza all'attrito volvente, che possiamo determinare).
In generale forza generalizzataè una funzione di coordinate generalizzate, velocità dei punti del sistema e tempo. Dalla definizione deriva che forza generalizzata¾ è un valore scalare che dipende dalle coordinate generalizzate scelte per un dato sistema meccanico. Ciò significa che con un cambiamento nell'insieme delle coordinate generalizzate che determinano la posizione di un dato sistema, il forze generalizzate.
Esempio 2.10. 
Per un disco con raggio r e peso m, che rotola senza scorrere lungo un piano inclinato (Fig. 2.9), si può prendere la coordinata generalizzata:
¾ o q = s¾ spostamento del baricentro del disco,
¾o q= j ¾ l'angolo di rotazione del disco. Se si trascura la resistenza al rotolamento, allora:
¾ nel primo caso forza generalizzata sarà
Riso. 2.9 Q s = mg sina, a
¾ nel secondo caso ¾ Q j = mg r cosa.
La coordinata generalizzata determina anche l'unità di misura del corrispondente forza generalizzata. Dall'espressione (2.25)
(2.27)
ne consegue che l'unità di misura forza generalizzataè uguale all'unità di misura del lavoro divisa per l'unità di misura della coordinata generalizzata.
Se come coordinata generalizzata q accettare q = s¾ spostamento di un punto qualsiasi, quindi l'unità di misura forza generalizzata Q s ¾ sarà [newton] ,
Se, come q= j ¾ sarà preso come l'angolo di rotazione (in radianti) del corpo, quindi l'unità di misura forza generalizzata Q j ¾ sarà [ newton ´ metro].