Lezione 3 FNP, derivate parziali, differenziale
Qual è la cosa principale che abbiamo imparato nell'ultima lezione
Abbiamo imparato cos'è una funzione di più variabili con un argomento dallo spazio euclideo. Ha studiato qual è il limite e la continuità per tale funzione
Cosa impareremo in questa lezione?
Continuando lo studio di FNP, studieremo le derivate parziali ei differenziali per queste funzioni. Impara a scrivere l'equazione del piano tangente e la normale alla superficie.
Derivata parziale, FNP differenziale completo. Relazione tra la differenziabilità di una funzione e l'esistenza di derivate parziali
Per una funzione di una variabile reale, dopo aver studiato gli argomenti "Limiti" e "Continuità" (Introduzione a analisi matematica) sono state studiate derivate e differenziali della funzione. Passiamo alla considerazione di domande simili per una funzione di più variabili. Si noti che se tutti gli argomenti tranne uno sono corretti nella FRR, la FRR genera una funzione di un argomento, per la quale si può considerare un incremento, un differenziale e una derivata. Li chiameremo rispettivamente incremento parziale, differenziale parziale e derivata parziale. Passiamo alle definizioni esatte.
Definizione 10.
Sia data una funzione di variabili dove 
- un elemento dello spazio euclideo e i corrispondenti incrementi degli argomenti , ,…, . Quando i valori, vengono chiamati incrementi parziali della funzione. L'incremento totale di una funzione è il valore di .
Ad esempio, per una funzione di due variabili , dove è un punto sul piano e , gli incrementi corrispondenti degli argomenti, gli incrementi , saranno privati. In questo caso, il valore è l'intero incremento di una funzione di due variabili.
Definizione 11.
Derivata parziale di una funzione di variabili 
per variabile è il limite del rapporto tra l'incremento parziale di una funzione di questa variabile e l'incremento dell'argomento corrispondente quando tende a 0.
Scriviamo la Definizione 11 come una formula 
o ampliato. (2) Per una funzione di due variabili, la Definizione 11 può essere scritta sotto forma di formule 
, 
. Da un punto di vista pratico questa definizione significa che quando si calcola la derivata parziale rispetto ad una variabile, tutte le altre variabili sono fisse e si considerano questa funzione in funzione di una variabile scelta. Rispetto a questa variabile si prende la solita derivata.
Esempio 4. Per una funzione, trova le derivate parziali e il punto in cui entrambe le derivate parziali sono 0.
Soluzione
. Calcoliamo le derivate parziali, 
e scrivi il sistema nella forma La soluzione di questo sistema è di due punti e 
.
Consideriamo ora come il concetto di differenziale può essere generalizzato a FNP. Ricordiamo che una funzione di una variabile si dice differenziabile se il suo incremento è rappresentato come 
, mentre il valore è la parte principale dell'incremento della funzione ed è chiamato differenziale. Il valore è una funzione di , ha la proprietà che , cioè è una funzione infinitesima rispetto a . Una funzione di una variabile è differenziabile in un punto se e solo se ha una derivata in quel punto. Inoltre, la costante e è uguale a questa derivata, cioè la formula è valida per il differenziale 
.
Se consideriamo un incremento parziale di FNP, cambia solo uno degli argomenti e questo incremento parziale può essere considerato come un incremento di una funzione di una variabile, cioè la stessa teoria funziona. Pertanto, la condizione di differenziabilità 
vale se e solo se esiste la derivata parziale, nel qual caso differenziale privatoè determinato dalla formula 
.
Qual è il differenziale totale di una funzione di più variabili?
Definizione 12.
Funzione delle variabili 
si dice derivabile in un punto 
, se il suo incremento è rappresentato come . In questo caso, la parte principale dell'incremento è chiamata differenziale FNP.
Quindi, il differenziale FNP è il valore. Chiariamo cosa intendiamo per valore 
, che chiameremo infinitesimale rispetto agli incrementi degli argomenti 
. Questa è una funzione che ha la proprietà che se tutti gli incrementi tranne uno sono 0, allora l'uguaglianza 
. In sostanza, questo significa che 
= = + +…+ .
E come sono correlate le condizioni per la differenziabilità di FNP e le condizioni per l'esistenza di derivate parziali di questa funzione?
Teorema 1.
Se una funzione di variabili è derivabile in un punto , allora ha derivate parziali rispetto a tutte le variabili a questo punto e allo stesso tempo .
Prova.
Scriviamo l'uguaglianza per e nella forma 
e dividere entrambi i lati dell'uguaglianza risultante per . Nell'uguaglianza risultante si passa al limite di . Di conseguenza, otteniamo l'uguaglianza richiesta. Il teorema è stato dimostrato.
Conseguenza.
Il differenziale di una funzione di variabili è calcolato dalla formula 
. (3)
Nell'esempio 4, il differenziale della funzione era uguale a . Si noti che lo stesso differenziale in un punto è uguale a 
. Ma se lo calcoliamo in un punto con incrementi, allora il differenziale sarà uguale a . Si noti che , il valore esatto data funzione al punto 
è uguale a , ma lo stesso valore, calcolato approssimativamente utilizzando il 1° differenziale, è uguale a . Vediamo che sostituendo l'incremento di una funzione con il suo differenziale, possiamo approssimare i valori della funzione.
Ma una funzione di più variabili sarà differenziabile in un punto se ha derivate parziali in quel punto. A differenza di una funzione di una variabile, la risposta a questa domanda è no. L'esatta formulazione della relazione è data dal seguente teorema.
Teorema 2.
Se la funzione delle variabili nel punto ci sono derivate parziali continue rispetto a tutte le variabili, quindi la funzione è derivabile a questo punto.
come . Solo una variabile cambia in ogni parentesi, quindi possiamo applicare qua e là la formula di incremento finito di Lagrange. L'essenza di questa formula è che per una funzione continuamente differenziabile di una variabile, la differenza tra i valori della funzione in due punti è uguale al valore della derivata in un punto intermedio, moltiplicato per la distanza tra i punti. Applicando questa formula a ciascuna delle parentesi, otteniamo . A causa della continuità delle derivate parziali, la derivata al punto e la derivata al punto differiscono dalle derivate e al punto per i valori e tendenti a 0 in quanto tendenti a 0. Ma poi e, ovviamente, . Il teorema è stato dimostrato. e la coordinata Verificare che questo punto appartenga alla superficie. Scrivi l'equazione per il piano tangente e l'equazione per la normale alla superficie nel punto specificato.
Soluzione.
Veramente, . Abbiamo già calcolato nell'ultima lezione il differenziale di questa funzione in un punto arbitrario, a dato punto lui è uguale. Pertanto, l'equazione del piano tangente verrà scritta nella forma o , e l'equazione della normale - nella forma 
.
derivato privato funzioni z = f(x, y per variabile x la derivata di questa funzione è chiamata a valore costante della variabile y, è indicata o z "x.
derivato privato funzioni z = f(x, y) per variabile y detta derivata rispetto a y ad un valore costante della variabile y; è indicato o z "y.
La derivata parziale di una funzione di più variabili rispetto ad una variabile è definita come la derivata di questa funzione rispetto alla variabile corrispondente, a condizione che le altre variabili siano considerate costanti.
differenziale completo funzione z = f(x, y) ad un certo punto M(X, y) è chiamata espressione
,
Dove e sono calcolati nel punto M(x, y), e dx = , dy = y.
Esempio 1
Calcola il differenziale totale della funzione.
z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 nel punto M (1; 2)
Soluzione:
1) Trova le derivate parziali:
2) Calcolare il valore delle derivate parziali nel punto M(1; 2)
() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13
() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4
3) dz = - 13dx + 4dy
Domande per l'autocontrollo:
1. Cosa si chiama antiderivato? Elenca le proprietà di un antiderivato.
2. Come si chiama integrale indefinito?
3. Elenca le proprietà dell'integrale indefinito.
4. Elenca le formule di integrazione di base.
5. Quali metodi di integrazione conosci?
6. Qual è l'essenza della formula di Newton-Leibniz?
7. Dare una definizione di integrale definito.
8. Qual è l'essenza del calcolo di un integrale definito con il metodo di sostituzione?
9. Qual è l'essenza del metodo di calcolo di un integrale definito per parti?
10. Quale funzione è chiamata funzione di due variabili? Come è designato?
11. Quale funzione è chiamata funzione di tre variabili?
12. Quale insieme è chiamato dominio di una funzione?
13. Con l'aiuto di quali disuguaglianze si può definire una regione chiusa D su un piano?
14. Qual è la derivata parziale della funzione z \u003d f (x, y) rispetto alla variabile x? Come è designato?
15. Qual è la derivata parziale della funzione z \u003d f (x, y) rispetto alla variabile y? Come è designato?
16. Quale espressione è chiamata differenziale totale di una funzione
Argomento 1.2 Equazioni differenziali ordinarie.
Problemi che portano alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali con variabili separabili. Soluzioni generali e private. Equazioni differenziali omogenee del primo ordine. Lineare equazioni omogenee secondo ordine a coefficienti costanti.
Lezione pratica N. 7 “Trovare soluzioni generali e particolari equazioni differenziali con variabili separabili"*
Lezione pratica n. 8 "Equazioni differenziali lineari e omogenee"
Lezione pratica n. 9 "Soluzione di equazioni differenziali del 2° ordine con coefficienti costanti»*
L4, capitolo 15, pp. 243 - 256
Linee guida
Ogni derivata parziale (over X e da y) di una funzione di due variabili è la derivata ordinaria di una funzione di una variabile con un valore fisso dell'altra variabile:
(dove y= cost),
(dove X= cost).
Pertanto, le derivate parziali sono calcolate da formule e regole per il calcolo delle derivate di funzioni di una variabile, considerando l'altra variabile come una costante (costante).
Se non hai bisogno di un'analisi di esempi e della teoria minima necessaria per questo, ma hai solo bisogno di una soluzione al tuo problema, procedi con calcolatore di derivate parziali online .
Se è difficile concentrarsi sul tenere traccia di dove si trova la costante nella funzione, puoi sostituire qualsiasi numero nella bozza della soluzione dell'esempio invece di una variabile con un valore fisso, quindi puoi calcolare rapidamente la derivata parziale come ordinaria derivata di una funzione di una variabile. È solo necessario non dimenticare di riportare la costante (una variabile con un valore fisso) al suo posto al termine.
La proprietà delle derivate parziali sopra descritta deriva dalla definizione di derivata parziale, che si trova nelle domande d'esame. Pertanto, per familiarizzare con la definizione di seguito, è possibile aprire il riferimento teorico.
Il concetto di continuità di una funzione z= f(X, y) in un punto è definito in modo simile a questo concetto per una funzione di una variabile.
Funzione z = f(X, y) è detto continuo in un punto se
La differenza (2) è chiamata incremento totale della funzione z(si ottiene incrementando entrambi gli argomenti).
Lascia che la funzione z= f(X, y) e punto
Se la funzione cambia z si verifica quando cambia solo uno degli argomenti, ad esempio X, con un valore fisso dell'altro argomento y, quindi la funzione verrà incrementata
chiamato incremento parziale della funzione f(X, y) Su X.
Considerando il cambio di funzione z a seconda della modifica di uno solo degli argomenti, si passa effettivamente a una funzione di una variabile.
Se c'è un limite finito
allora è chiamata derivata parziale della funzione f(X, y) per argomento X ed è indicato da uno dei simboli
(4)
L'incremento parziale è definito in modo simile z Su y:
e derivata parziale f(X, y) Su y:
(6)
Esempio 1
Soluzione. Troviamo la derivata parziale rispetto alla variabile "x":
(y fisso);
Troviamo la derivata parziale rispetto alla variabile "y":
(X fisso).
Come puoi vedere, non importa in quale misura la variabile che viene fissata: in questo caso, è solo un numero che è un fattore (come nel caso della solita derivata) con la variabile per cui troviamo il parziale derivato. Se la variabile fissa non viene moltiplicata per la variabile rispetto alla quale troviamo la derivata parziale, allora questa costante solitaria, non importa in quale misura, come nel caso di una derivata ordinaria, svanisce.
Esempio 2 Data una funzione
Trova derivati parziali
(per x) e (per y) e calcola i loro valori nel punto MA (1; 2).
Soluzione. A un fisso y la derivata del primo termine si trova come derivata della funzione di potenza ( tabella delle funzioni derivate di una variabile):
.
A un fisso X la derivata del primo termine si trova come derivata funzione esponenziale, e il secondo - come derivato di una costante:
Ora calcoliamo i valori di queste derivate parziali nel punto MA (1; 2):
Puoi controllare la soluzione dei problemi con le derivate parziali calcolatore di derivate parziali online .
Esempio 3 Trova le derivate parziali delle funzioni
Soluzione. In un passaggio troviamo
(y X, come se l'argomento di seno fosse 5 X: allo stesso modo, 5 compare prima del segno della funzione);
(Xè fisso ed è in questo caso un fattore a y).
Puoi controllare la soluzione dei problemi con le derivate parziali calcolatore di derivate parziali online .
Le derivate parziali di una funzione di tre o più variabili sono definite in modo simile.
Se ogni insieme di valori ( X; y; ...; t) variabili indipendenti dall'insieme D corrisponde a uno certo valore tu da molti e, poi tuè chiamata funzione di variabili X, y, ..., t e denotare tu= f(X, y, ..., t).
Per funzioni di tre o più variabili, non esiste un'interpretazione geometrica.
Le derivate parziali di una funzione di più variabili sono anche definite e calcolate partendo dal presupposto che solo una delle variabili indipendenti cambia, mentre le altre sono fisse.
Esempio 4 Trova le derivate parziali delle funzioni
.
Soluzione. y e z fisso:
X e z fisso:
X e y fisso:
Trova le derivate parziali da solo e poi vedi le soluzioni
Esempio 5
Esempio 6 Trova le derivate parziali di una funzione.
La derivata parziale di una funzione di più variabili ha lo stesso valore significato meccanico come derivata di una funzione di una variabile, è la velocità con cui la funzione cambia rispetto a una modifica in uno degli argomenti.
Esempio 8 quantità di flusso P passeggeri linee ferroviarie può essere espresso come una funzione
dove P- il numero di passeggeri, N- il numero dei residenti dei punti corrispondenti, R– distanza tra i punti.
Derivata parziale di una funzione P Su R uguale a
mostra che la diminuzione del flusso di passeggeri è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i punti corrispondenti a parità di abitanti nei punti.
Derivata parziale P Su N uguale a
mostra che l'aumento del flusso di passeggeri è proporzionale al doppio del numero di abitanti insediamenti con la stessa distanza tra i punti.
Puoi controllare la soluzione dei problemi con le derivate parziali calcolatore di derivate parziali online .
Differenziale completo
Il prodotto della derivata parziale per l'incremento della corrispondente variabile indipendente è detto differenziale parziale. I differenziali parziali sono indicati come segue:
La somma dei differenziali parziali su tutte le variabili indipendenti dà il differenziale totale. Per una funzione di due variabili indipendenti, il differenziale totale è espresso dall'uguaglianza
(7)
Esempio 9 Trova il differenziale completo di una funzione
Soluzione. Il risultato dell'utilizzo della formula (7):
Una funzione che ha un differenziale totale in ogni punto di un dominio è chiamata differenziabile in quel dominio.
Trova il differenziale totale da solo e poi vedi la soluzione
Proprio come nel caso di una funzione di una variabile, la differenziabilità di una funzione in una determinata regione implica la sua continuità in tale regione, ma non viceversa.
Formuliamo senza prove condizione sufficiente differenziabilità della funzione.
Teorema. Se la funzione z= f(X, y) ha derivate parziali continue
in una data regione, allora è differenziabile in questa regione e il suo differenziale è espresso dalla formula (7).
Si può dimostrare che, proprio come nel caso di una funzione di una variabile, il differenziale della funzione è la parte lineare principale dell'incremento della funzione, così nel caso di una funzione di più variabili il differenziale totale è il principale, lineare rispetto agli incrementi di variabili indipendenti, parte dell'incremento totale della funzione.
Per una funzione di due variabili pieno incremento la funzione ha la forma
(8)
dove α e β sono infinitesimi per e .
Derivati parziali di ordini superiori
Derivate parziali e funzioni f(X, y) sono esse stesse alcune funzioni delle stesse variabili e, a loro volta, possono avere derivate rispetto a variabili diverse, che sono dette derivate parziali di ordini superiori.
Lavoro pratico №2
"Funzione differenziale"
Scopo della lezione: Impara a risolvere esempi e problemi su un determinato argomento.
Domande teoriche (livello iniziale):
1. L'uso delle derivate per lo studio delle funzioni di un estremo.
2. Differenziale di una funzione, suo significato geometrico e fisico.
3. Differenziale completo funzioni di molte variabili.
4. Lo stato del corpo in funzione di molte variabili.
5. Calcoli approssimativi.
6. Trovare derivate parziali e differenziale totale.
7. Esempi dell'uso di questi concetti in farmacocinetica, microbiologia, ecc.
1. rispondere alle domande sull'argomento della lezione;
2. risolvere esempi.
Esempi
Trova i differenziali seguenti funzioni:
| 1) | 2)  | 3)  |
4)  | 5)  | 6) |
7)  | 8) | 9)  |
10)  | 11) | 12)  |
13)  | 14)  | 15) |
16)  | 17) | 18)  |
19)  | 20)  |
Usare le derivate per studiare le funzioni
La condizione affinché la funzione y = f(x) aumenti sul segmento [a, b]
La condizione affinché la funzione y=f(x) decresca sul segmento [a, b]
La condizione per la funzione massima y=f(x) in x= a
f"(a)=0 e f""(a)<0
Se per x \u003d a le derivate f "(a) \u003d 0 e f "(a) \u003d 0, allora è necessario indagare su f "(x) in prossimità del punto x \u003d a. La funzione y \u003d f (x) per x \u003d a ha un massimo , se passando per il punto x \u003d e la derivata f "(x) cambia segno da "+" a "-", nel caso di un minimo - da "-" a "+" Se f "(x) non cambia segno passando per il punto x = a, allora la funzione a questo punto non ha estremi
Differenziale di funzione.
Il differenziale di una variabile indipendente è uguale al suo incremento:
Funzione differenziale y=f(x)
Differenziale della somma (differenza) di due funzioni y=u±v
Differenziale del prodotto di due funzioni y=uv
Il quoziente differenziale di due funzioni y=u/v
dy=(vdu-udv)/v 2
Incremento della funzione
Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx
dove Δx: è l'incremento dell'argomento.
Calcolo approssimativo del valore della funzione:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx
Applicazione del differenziale nei calcoli approssimativi
Il differenziale viene utilizzato per calcolare gli errori assoluti e relativi nelle misure indirette u = f(x, y, z.). Errore assoluto del risultato della misurazione
du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…
Errore relativo del risultato della misurazione
du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u
DIFFERENZIALE DI FUNZIONE.
Funzione differenziale come parte principale dell'incremento della funzione
e. Il concetto di differenziale di una funzione è strettamente correlato al concetto di derivata. Lascia che la funzione f(x) continuo per valori dati X e ha una derivata 
D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), da cui la funzione incrementa Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, dove a(Dx) ® 0 a Dx® 0. Definiamo l'ordine dell'infinitesimo f¢(x)Dx Dx.:
Pertanto, infinitesimale f¢(x)Dx e Dx hanno lo stesso ordine di grandezza, cioè f¢(x)Dx = O.
Definiamo l'ordine dell'infinitesimo a(Dх)Dх rispetto all'infinitesimo Dx:
Dunque, l'infinitesimo a(Dх)Dх ha un ordine di piccolezza superiore all'infinitesimo Dx, questo è a(Dx)Dx = o.
Quindi, un incremento infinitesimale Df La funzione derivabile può essere rappresentata sotto forma di due termini: un infinitesimo f¢(x)Dx dello stesso ordine di piccolezza con Dx ed infinitesimale a(Dх)Dх ordine di piccolezza più alto rispetto all'infinitesimo Dx. Ciò significa che in uguaglianza Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx a Dx® 0 il secondo termine tende a zero "più veloce" del primo, cioè a(Dx)Dx = o.
Primo termine f¢(x)Dx, lineare rispetto a Dx, chiamato differenziale di funzione f(x) al punto X e denotare dio o df(leggi "de game" o "de ef"). Così,
dy = df = f¢(x)Dx.
Significato analitico del differenziale sta nel fatto che il differenziale di una funzione è la parte principale dell'incremento della funzione Df, lineare rispetto all'incremento dell'argomento Dx. Il differenziale di una funzione differisce dall'incremento di una funzione di un infinitesimo di ordine di piccolezza superiore a Dx. Veramente, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx o Df = df + a(Dx)Dx . Argomento differenziale dx uguale al suo incremento Dx: dx=Dx.
Esempio. Calcola il valore del differenziale di una funzione f(x) = x 3 + 2x, quando X varia da 1 a 1.1.
Soluzione. Troviamo un'espressione generale per il differenziale di questa funzione:
Valori sostitutivi dx=Dx=1,1–1= 0,1 e x=1 nell'ultima formula, otteniamo il valore desiderato del differenziale: df½ x=1; = 0,5.
DERIVATI PARZIALI E DIFFERENZIALI.
Derivati parziali del primo ordine. La derivata parziale del primo ordine della funzione z = f(x,y ) per argomento X nel punto considerato (x; y) chiamato limite
se esiste.
Derivata parziale di una funzione z = f(x, y) per argomento X indicato da uno dei seguenti caratteri:
Allo stesso modo, la derivata parziale rispetto a a denotato e definito dalla formula:
Poiché la derivata parziale è la solita derivata di una funzione di un argomento, non è difficile calcolarla. Per fare ciò, è necessario utilizzare tutte le regole di differenziazione considerate finora, tenendo conto in ogni caso quale degli argomenti viene preso come "numero costante" e quale funge da "variabile di differenziazione".
Commento. Per trovare la derivata parziale, ad esempio, rispetto all'argomento x – df/dx, basta trovare la derivata ordinaria della funzione f(x,y), supponendo che quest'ultimo sia una funzione di un argomento X, un a- permanente; trovare df/giorno- viceversa.
Esempio. Trova i valori delle derivate parziali di una funzione f(x,y) = 2x2 + y2 al punto P(1;2).
Soluzione. Conteggio f(x,y) funzione argomento singolo X e usando le regole di differenziazione, troviamo
Al punto P(1;2) valore derivato
Considerando f(x; y) come funzione di un argomento y, troviamo
Al punto P(1;2) valore derivato
COMPITO PER IL LAVORO INDIPENDENTE DELLO STUDENTE:
Trova i differenziali delle seguenti funzioni:
Risolvi i seguenti compiti:
1. Di quanto diminuirà l'area di un quadrato con lato x = 10 cm se il lato viene ridotto di 0,01 cm?
2. L'equazione del moto del corpo è data: y=t 3 /2+2t 2 , dove s è espresso in metri, t è in secondi. Trova il percorso s coperto dal corpo in t=1,92 s dall'inizio del movimento.
LETTERATURA
1. Lobotskaya NL Fondamenti di Matematica Superiore - M.: "Scuola Superiore", 1978.C198-226.
2. Bailey N. La matematica in biologia e medicina. Per. dall'inglese. M.: Mir, 1970.
3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Raccolta di problemi di fisica medica e biologica - M.: "Scuola Superiore", 1987. C16-20.
Considerare di modificare una funzione quando si incrementa solo uno dei suoi argomenti − x io, e chiamiamolo .
Definizione 1.7.derivato privato funzioni per argomento x io chiamato .
Designazioni: .
Pertanto, la derivata parziale di una funzione di più variabili è in realtà definita come la derivata della funzione una variabile - x i. Pertanto, per essa valgono tutte le proprietà delle derivate dimostrate per una funzione di una variabile.
Commento. Nel calcolo pratico delle derivate parziali, utilizziamo le regole usuali per differenziare una funzione di una variabile, assumendo che l'argomento rispetto al quale si effettua la differenziazione sia variabile, e che i restanti argomenti siano costanti.
1. z= 2X² + 3 xy –12y² + 5 X – 4y +2,
2. z = x y ,
Interpretazione geometrica delle derivate parziali di una funzione di due variabili.
Considera l'equazione della superficie z = f(x,y) e disegna un aereo x = cost. Scegliamo un punto sulla linea di intersezione del piano con la superficie M (x, y). Se imposti l'argomento a incremento Δ a e considera il punto T della curva con coordinate ( x, y+Δ y, z+ Sì z), quindi la tangente dell'angolo formato dalla secante MT con la direzione positiva dell'asse O a, sarà uguale a . Passando al limite in , otteniamo che la derivata parziale è uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente alla curva risultante nel punto M con la direzione positiva dell'asse O y. Di conseguenza, la derivata parziale è uguale alla tangente dell'angolo con l'asse O X tangente alla curva risultante dalla sezione della superficie z = f(x,y) aereo y= cost.
Definizione 2.1. Viene chiamato l'incremento completo della funzione u = f(x, y, z).
Definizione 2.2. Se l'incremento della funzione u \u003d f (x, y, z) nel punto (x 0, y 0, z 0) può essere rappresentato nella forma (2.3), (2.4), allora la funzione è chiamata differenziabile a questo punto, e l'espressione è chiamata parte lineare principale dell'incremento o differenziale totale della funzione in esame.
Notazione: du, df (x 0 , y 0 , z 0).
Proprio come nel caso di una funzione di una variabile, i differenziali delle variabili indipendenti sono quindi i loro incrementi arbitrari
Osservazione 1. Pertanto, l'affermazione "la funzione è derivabile" non è equivalente all'affermazione "la funzione ha derivate parziali" - la differenziabilità richiede anche la continuità di queste derivate nel punto in esame.
4. Piano tangente e normale alla superficie. Il significato geometrico del differenziale.
Lascia che la funzione z = f(x, y)è differenziabile in un intorno del punto M (x 0, y 0). Allora le sue derivate parziali sono le pendenze delle tangenti alle linee di intersezione della superficie z = f(x, y) con gli aerei y = y 0 e x = x 0, che sarà tangente alla superficie stessa z = f(x, y). Scriviamo un'equazione per il piano che passa per queste linee. I vettori di direzione delle tangenti hanno la forma (1; 0; ) e (0; 1; ), quindi la normale al piano può essere rappresentata come il loro prodotto vettoriale: n = (- ,- , 1). Pertanto, l'equazione del piano può essere scritta come:
dove z0 = .
Definizione 4.1. Viene chiamato il piano definito dall'equazione (4.1). piano tangente al grafico della funzione z = f(x, y) nel punto con le coordinate (x 0, y 0, z 0).
Dalla formula (2.3) per il caso di due variabili segue che l'incremento della funzione f in prossimità del punto M può essere rappresentato come:
Pertanto, la differenza tra le applicate del grafico della funzione e il piano tangente è un ordine infinitesimo superiore a ρ, a ρ→ 0.
In questo caso, il differenziale della funzione f sembra:
che corrisponde incremento dell'applicata del piano tangente al grafico della funzione. Questo è il significato geometrico del differenziale.
Definizione 4.2. Vettore diverso da zero perpendicolare al piano tangente in un punto M (x 0, y 0) superfici z = f(x, y), è chiamato normale in superficie in quel punto.
Come normale alla superficie in esame, è conveniente prendere il vettore - n = { , ,-1}.