Il modulo del numero è un nuovo concetto in matematica. Diamo uno sguardo più da vicino a cos'è un modulo numerico e come lavorarci?

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Uscimmo di casa per andare al negozio. Abbiamo camminato per 300 m, matematicamente questa espressione può essere scritta come +300, il significato del numero 300 dal segno “+” non cambierà. La distanza o modulo di un numero in matematica è la stessa cosa e si può scrivere così: |300|=300. Il segno del modulo di un numero è indicato da due linee verticali.

E poi dentro direzione inversa camminato per 200 metri. Matematicamente, possiamo scrivere il percorso di ritorno come -200. Ma non diciamo “siamo andati a meno duecento metri”, anche se siamo tornati, perché la distanza come quantità rimane positiva. A questo scopo in matematica è stato introdotto il concetto di modulo. Puoi scrivere la distanza o il modulo del numero -200 in questo modo: |-200|=200.

Proprietà del modulo.

Definizione:
Modulo di un numero o valore assoluto di un numeroè la distanza dal punto di partenza al punto di destinazione.

Modulo di un intero diverso da zero, sempre numero positivo.

Il modulo è scritto così:

1. Il modulo di un numero positivo è uguale al numero stesso.
| a|=UN

2. Il modulo di un numero negativo è uguale al numero opposto.
|- a|=UN

3. Il modulo di zero è uguale a zero.
|0|=0

4. I moduli dei numeri opposti sono uguali.
| a|=|-a|=UN

Domande correlate:
Qual è il modulo di un numero?
Risposta: Il modulo è la distanza dal punto di partenza al punto di destinazione.

Se metti un segno "+" davanti a un numero intero, cosa succede?
Risposta: il numero non cambierà significato, ad esempio 4=+4.

Se metti un segno "-" davanti a un numero intero, cosa succede?
Risposta: il numero cambierà, ad esempio, in 4 e -4.

Quali numeri hanno lo stesso modulo?
Risposta: i numeri positivi e lo zero avranno lo stesso modulo. Ad esempio, 15=|15|.

Quali numeri hanno il modulo del numero opposto?
Risposta: per i numeri negativi il modulo sarà uguale al numero opposto. Ad esempio, |-6|=6.

Esempio 1:
Trova il modulo dei numeri: a) 0 b) 5 c) -7?

Soluzione:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Esempio n.2:
Ce ne sono due? numeri diversi, i cui moduli sono uguali?

Soluzione:
|10|=10
|-10|=10

I moduli dei numeri opposti sono uguali.

Esempio n.3:
Quali due numeri opposti hanno modulo 9?

Soluzione:
|9|=9
|-9|=9

Risposta: 9 e -9.

Esempio n.4:
Seguire questi passaggi: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Soluzione:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Esempio n.5:
Trova: a) il modulo del numero 2 b) il modulo del numero 6 c) il modulo del numero 8 d) il modulo del numero 1 e) il modulo del numero 0.
Soluzione:

a) il modulo del numero 2 si indica con |2| o |+2| È lo stesso.
|2|=2

b) il modulo del numero 6 si indica con |6| o |+6| È lo stesso.
|6|=6

c) il modulo del numero 8 si indica con |8| o |+8| È lo stesso.
|8|=8

d) il modulo del numero 1 si indica con |1| o |+1| È lo stesso.
|1|=1

e) il modulo del numero 0 si indica con |0|, |+0| o |-0| È lo stesso.
|0|=0

Istruzioni

Se il modulo è presentato nel form funzione continua, allora il valore del suo argomento può essere positivo o negativo: |x| = x, x ≥ 0; |x| = -x,x

Il modulo è zero e il modulo di qualsiasi numero positivo è . Se l'argomento è negativo, dopo aver aperto le parentesi il suo segno cambia da meno a più. Sulla base di ciò si conclude che i moduli degli opposti sono uguali: |-x| = |x| =x.

Modulo numero complesso si trova con la formula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se l'argomento contiene un numero positivo come moltiplicatore, allora può essere tolto dal segno della parentesi, ad esempio: |4*b| = 4*|b|.

Se l'argomento è presentato come numero complesso, per comodità di calcolo è consentito l'ordine dei termini dell'espressione racchiusi tra parentesi rettangolari: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 perché (2-3) è minore di zero.

L'argomento elevato a potenza è contemporaneamente sotto il segno di una radice dello stesso ordine - si risolve utilizzando: √a² = |a| = ±a.

Se hai un compito in cui non è specificata la condizione per espandere le staffe del modulo, non è necessario eliminarle: sarà così risultato finale. E se devi aprirli, devi indicare il segno ±. Ad esempio, devi trovare il valore dell'espressione √(2 * (4-b))². La sua soluzione è questa: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Poiché il segno dell'espressione 4-b è sconosciuto, deve essere lasciato tra parentesi. Se aggiungi una condizione aggiuntiva, ad esempio |4-b| >

Il modulo di zero è uguale a zero e il modulo di qualsiasi numero positivo è uguale a se stesso. Se l'argomento è negativo, dopo aver aperto le parentesi il suo segno cambia da meno a più. Sulla base di ciò, si conclude che i moduli dei numeri opposti sono uguali: |-x| = |x| =x.

Il modulo di un numero complesso si trova dalla formula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se l'argomento contiene un numero intero positivo come fattore, è possibile rimuoverlo dalla parentesi, ad esempio: |4*b| = 4*|b|.

Il modulo non può essere negativo, quindi qualsiasi numero negativo viene convertito in positivo: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Se l'argomento è presentato sotto forma di numero complesso, per comodità di calcolo è consentito modificare l'ordine dei termini dell'espressione racchiusi tra parentesi rettangolari: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 perché (2-3) è minore di zero.

Se hai un'attività in cui non è specificata la condizione per espandere le parentesi del modulo, non è necessario eliminarle: questo sarà il risultato finale. E se devi aprirli, devi indicare il segno ±. Ad esempio, devi trovare il valore dell'espressione √(2 * (4-b))². La sua soluzione è questa: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Poiché il segno dell'espressione 4-b è sconosciuto, deve essere lasciato tra parentesi. Se aggiungi una condizione aggiuntiva, ad esempio |4-b| > 0, il risultato sarà 2 * |4-b| = 2*(4 - b). L'elemento sconosciuto può anche essere specificato come numero specifico, che dovrebbe essere preso in considerazione, perché influenzerà il segno dell'espressione.

Il termine (modulo) tradotto letteralmente dal latino significa “misura”. Questo concetto è stato introdotto in matematica dallo scienziato inglese R. Cotes. E il matematico tedesco K. Weierstrass ha introdotto il segno del modulo, un simbolo che denota questo concetto durante la scrittura.

In contatto con

Primo questo concetto studiato in matematica secondo il programma di 6a elementare Scuola superiore. Secondo una definizione, il modulo è il valore assoluto di un numero reale. In altre parole, per trovare il modulo di un numero reale è necessario scartarne il segno.

Valore graficamente assoluto UN indicato come |a|.

La principale caratteristica distintiva di questo concetto è che si tratta sempre di una quantità non negativa.

I numeri che differiscono tra loro solo per il segno si dicono numeri opposti. Se un valore è positivo, il suo opposto è negativo e zero è il suo opposto.

Significato geometrico

Se consideriamo il concetto di modulo dal punto di vista geometrico, allora denoterà la distanza misurata in segmenti unitari dall'origine delle coordinate a dato punto. Questa definizione rivela pienamente significato geometrico il termine oggetto di studio.

Graficamente ciò può essere espresso come segue: |a| =OA.

Immobili di assoluto pregio

Di seguito considereremo tutte le proprietà matematiche di questo concetto e i modi di scriverlo sotto forma di espressioni letterali:

Caratteristiche della risoluzione di equazioni con modulo

Se parliamo di risolvere equazioni e disuguaglianze matematiche che contengono moduli, allora dobbiamo ricordare che per risolverle sarà necessario aprire questo segno.

Ad esempio, se il segno di un valore assoluto contiene un'espressione matematica, prima di aprire il modulo è necessario tenere conto delle definizioni matematiche attuali.

|A + 5| = A+5, se A è maggiore o uguale a zero.

5-A, se il valore A è inferiore a zero.

In alcuni casi, il segno può essere rivelato in modo inequivocabile per qualsiasi valore della variabile.

Diamo un'occhiata a un altro esempio. Costruiamo una linea di coordinate sulla quale contrassegniamo tutti i valori numerici il cui valore assoluto sarà 5.

Per prima cosa devi disegnare una linea di coordinate, segnare l'origine delle coordinate su di essa e impostare la dimensione segmento unitario. Inoltre, la linea retta deve avere una direzione. Ora su questa linea è necessario applicare dei segni che saranno uguali alla dimensione di un segmento unitario.

Quindi, possiamo vedere che su questa linea di coordinate ci saranno due punti di nostro interesse con valori 5 e -5.

a è il numero stesso. Numero nel modulo:

|a| = un

Modulo di un numero complesso.

Supponiamo che ci sia numero complesso, che è scritto in forma algebrica z=x+i·y, Dove X E sì- numeri reali, che rappresentano la parte reale e quella immaginaria di un numero complesso z, a è l'unità immaginaria.

Modulo di un numero complesso z=x+i·yè la radice quadrata aritmetica della somma dei quadrati delle parti reale e immaginaria di un numero complesso.

Il modulo di un numero complesso z è indicato come segue, il che significa che la definizione del modulo di un numero complesso può essere scritta come segue: .

Proprietà del modulo dei numeri complessi.

• Dominio di definizione: l'intero piano complesso.
• Intervallo di valori: }