Addizione matrice:

Sottrazione e addizione di matrici si riduce alle corrispondenti operazioni sui loro elementi. Operazione di addizione di matrici inserito solo per matrici la stessa dimensione, cioè per matrici, che hanno rispettivamente lo stesso numero di righe e colonne. somma di matrici Vengono chiamati A e B matrice C, i cui elementi sono uguali alla somma degli elementi corrispondenti. C \u003d A + B c ij \u003d a ij + b ij differenza di matrice.

Moltiplicando una matrice per un numero:

Operazione di moltiplicazione (divisione) di matrici qualsiasi dimensione per numero arbitrario si riduce alla moltiplicazione (divisione) di ogni elemento matrici per questo numero Prodotto a matrice E viene chiamato il numero k matrice B, tale che

b ij = k × un ij . B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. Matrice- A \u003d (-1) × A è chiamato il contrario matrice MA.

Proprietà di addizione e moltiplicazione di matrici:

Operazioni di addizione di matrici e moltiplicazioni matriciali su un numero hanno le seguenti proprietà: 1. A + B = B + A; 2. LA + (SI + C) = (LA + SI) + C; 3. LA + 0 = LA; 4. A - A \u003d 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , dove A, B e C sono matrici, α e β sono numeri.

Moltiplicazione matrice (prodotto matrice):

L'operazione di moltiplicazione di due matrici viene inserito solo nel caso in cui il numero di colonne della prima matriciè uguale al numero di righe del secondo matrici. Prodotto a matrice E m × n su matrice In n×p , viene chiamato matriceС m×p tale che с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , ovvero trova la somma dei prodotti degli elementi della i -esima riga matrici E sui corrispondenti elementi della j -esima colonna matrici B. Se matrici A e B sono quadrati della stessa dimensione, quindi esistono sempre i prodotti AB e BA. È facile mostrare che A × E = E × A = A, dove A è un quadrato matrice, E - singolo matrice Le stesse dimensioni.

Proprietà di moltiplicazione di matrici:

Moltiplicazione di matrici non commutativo, cioè AB ≠ BA anche se entrambi i prodotti sono definiti. Tuttavia, se per qualcuno matrici la relazione AB = BA è soddisfatta, allora tale matrici prendono il nome di permutazioni. L'esempio più tipico è il singolo matrice, che è permutabile con qualsiasi altro matrice Le stesse dimensioni. La permutazione può essere solo quadrata matrici dello stesso ordine. A × E = E × A = A

Moltiplicazione di matrici ha le seguenti proprietà: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (LA + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (LA + B) T = A T + B T;

2. Determinanti del 2° e 3° ordine. Proprietà dei determinanti.

determinante di matrice secondo ordine, o determinante secondo ordine, chiamato numero, che si calcola con la formula:

determinante di matrice terzo ordine, o determinante terzo ordine, chiamato numero, che si calcola con la formula:

Questo numero rappresenta una somma algebrica composta da sei termini. Ogni termine contiene esattamente un elemento da ogni riga e ogni colonna matrici. Ogni termine è costituito dal prodotto di tre fattori.

Segni con cui i membri determinante di matrice sono inclusi nella formula trovare il determinante della matrice il terzo ordine può essere determinato utilizzando lo schema di cui sopra, che è chiamato regola dei triangoli o regola di Sarrus. I primi tre termini sono presi con un segno più e sono determinati dalla cifra di sinistra, mentre i successivi tre termini sono presi con un segno meno e sono determinati dalla cifra di destra.

Determina il numero di termini da trovare determinante di matrice, in una somma algebrica, puoi calcolare il fattoriale: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Proprietà determinanti della matrice

Proprietà determinanti della matrice:

Proprietà n. 1:

Determinante della matrice non cambierà se le sue righe vengono sostituite da colonne, ogni riga da una colonna con lo stesso numero e viceversa (Trasposizione). |A| = |A| T

Conseguenza:

Colonne e righe determinante di matrice sono uguali, quindi le proprietà inerenti alle righe vengono eseguite anche per le colonne.

Proprietà n. 2:

Quando si scambiano 2 righe o colonne determinante di matrice cambierà segno al contrario, mantenendo il valore assoluto, ovvero:

Proprietà n. 3:

Determinante della matrice, che ha due righe identiche, è uguale a zero.

Proprietà n. 4:

Il fattore comune degli elementi di qualsiasi serie determinante di matrice può essere tolto dal segno determinante.

Conseguenze dalle proprietà n. 3 e n. 4:

Se tutti gli elementi di una determinata serie (riga o colonna) sono proporzionali agli elementi corrispondenti di una serie parallela, allora tale determinante di matriceè uguale a zero.

Proprietà n. 5:

determinante di matrice sono uguali a zero, quindi determinante di matriceè uguale a zero.

Proprietà n. 6:

Se tutti gli elementi di qualsiasi riga o colonna determinante presentato come una somma di 2 termini, quindi determinante matrici può essere rappresentato come la somma di 2 determinanti secondo la formula:

Proprietà n. 7:

Se a qualsiasi riga (o colonna) determinante aggiungi gli elementi corrispondenti di un'altra riga (o colonna) moltiplicati per lo stesso numero, quindi determinante di matrice non cambierà il suo valore.

Un esempio di applicazione di proprietà a un calcolo determinante di matrice:

In questo articolo, capiremo come viene eseguita l'operazione di addizione su matrici dello stesso ordine, l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero e l'operazione di moltiplicare matrici di un ordine appropriato, imposteremo assiomaticamente le proprietà delle operazioni, e discutere anche la priorità delle operazioni sulle matrici. Parallelamente alla teoria, forniremo soluzioni dettagliate ad esempi in cui vengono eseguite operazioni su matrici.

Notiamo subito che tutto quanto segue si applica alle matrici i cui elementi sono numeri reali (o complessi).

Navigazione della pagina.

L'operazione di somma di due matrici.

Definizione dell'operazione di somma di due matrici.

L'operazione di addizione è definita SOLO PER MATRICI DELLO STESSO ORDINE. In altre parole, è impossibile trovare la somma di matrici di dimensioni diverse, e in generale è impossibile parlare di addizione di matrici di dimensioni diverse. Inoltre, non si può parlare della somma di una matrice e di un numero, o della somma di una matrice e di qualche altro elemento.

Definizione.

Somma di due matrici ed è una matrice i cui elementi sono uguali alla somma degli elementi corrispondenti delle matrici A e B, cioè .

Pertanto, il risultato dell'operazione di somma di due matrici è una matrice dello stesso ordine.

Proprietà dell'operazione di addizione di matrici.

Quali sono le proprietà dell'operazione di addizione di matrici? A questa domanda è abbastanza facile rispondere, partendo dalla definizione della somma di due matrici di un dato ordine e ricordando le proprietà dell'operazione di addizione di numeri reali (o complessi).

Per le matrici A, B e C dello stesso ordine, la proprietà dell'associatività dell'addizione è caratteristica A + (B + C) \u003d (A + B) + C.
Per le matrici di un dato ordine, esiste un elemento neutro rispetto all'addizione, che è la matrice zero. Cioè, la proprietà A + O \u003d A è vera.
Per una matrice A diversa da zero di un dato ordine, esiste una matrice (-A) , la loro somma è una matrice zero: A + (-A) \u003d O .
Per le matrici A e B di un dato ordine, vale la proprietà della commutatività dell'addizione A+B=B+A.

Di conseguenza, l'insieme di matrici di un dato ordine genera un gruppo di Abel additivo (un gruppo abeliano rispetto all'operazione algebrica di addizione).

Addizione di matrici - esempi risolutivi.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di addizione di matrici.

Esempio.

Trova la somma delle matrici e .

Soluzione.

Gli ordini delle matrici A e B sono uguali e uguali a 4 per 2, quindi possiamo eseguire l'operazione di addizione di matrici e di conseguenza dovremmo ottenere una matrice di ordine 4 per 2. Secondo la definizione dell'operazione di somma di due matrici, eseguiamo l'addizione elemento per elemento:

Esempio.

Trova la somma di due matrici e i cui elementi sono numeri complessi.

Soluzione.

Poiché gli ordini delle matrici sono uguali, possiamo eseguire l'addizione.

Esempio.

Eseguire l'addizione di tre matrici .

Soluzione.

Innanzitutto, aggiungi la matrice A con B, quindi aggiungi C alla matrice risultante:

Abbiamo una matrice zero.

L'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

Definizione dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

L'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero è definita PER MATRICI DI QUALSIASI ORDINE.

Definizione.

Prodotto di una matrice e di un numero reale (o complesso).è una matrice i cui elementi si ottengono moltiplicando gli elementi corrispondenti della matrice originale per un numero, cioè .

Pertanto, il risultato della moltiplicazione di una matrice per un numero è una matrice dello stesso ordine.

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

Dalle proprietà dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero deriva che moltiplicando una matrice zero per zero darà una matrice zero e il prodotto di un numero arbitrario e una matrice zero è una matrice zero.

Moltiplicazione di una matrice per un numero - esempi e loro soluzione.

Trattiamo l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero usando degli esempi.

Esempio.

Trova il prodotto del numero 2 e della matrice .

Soluzione.

Per moltiplicare una matrice per un numero, devi moltiplicare ciascuno dei suoi elementi per questo numero:

Esempio.

Esegui la moltiplicazione di matrici per un numero.

Soluzione.

Moltiplichiamo ogni elemento della matrice data per dato numero:

L'operazione di moltiplicazione di due matrici.

Definizione dell'operazione di moltiplicazione di due matrici.

L'operazione di moltiplicazione di due matrici A e B è definita solo nel caso in cui il NUMERO DI COLONNE DELLA MATRICE A SIA UGUALE AL NUMERO DI RIGHE DELLA MATRICE B.

Definizione.

Il prodotto di una matrice A di ordine e di una matrice B di ordine- questa è una tale matrice C di ordine, ogni cui elemento è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga della matrice A per i corrispondenti elementi della j-esima colonna della matrice B, cioè ,

Pertanto, il risultato dell'operazione di moltiplicazione di una matrice di ordine per una matrice di ordine è una matrice di ordine.

Moltiplicazione di una matrice per una matrice - soluzioni di esempi.

Tratteremo la moltiplicazione di matrici usando esempi, dopodiché passeremo a elencare le proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Esempio.

Trova tutti gli elementi della matrice C, che si ottiene moltiplicando le matrici e .

Soluzione.

L'ordine della matrice A è p=3 per n=2 , l'ordine della matrice B è n=2 per q=4 , quindi l'ordine del prodotto di queste matrici è p=3 per q=4 . Usiamo la formula

In sequenza prendiamo valori i da 1 a 3 (poiché p=3 ) per ogni j da 1 a 4 (poiché q=4 ), e n=2 nel nostro caso, quindi

In questo modo vengono calcolati tutti gli elementi della matrice C e la matrice ottenuta moltiplicando due matrici date ha la forma .

Esempio.

Eseguire la moltiplicazione di matrici e .

Soluzione.

Gli ordini delle matrici originali consentono di effettuare l'operazione di moltiplicazione. Di conseguenza, dovremmo ottenere una matrice di ordine 2 per 3.

Esempio.

Date matrici e . Trova il prodotto delle matrici A e B e delle matrici B e A.

Soluzione.

Poiché l'ordine della matrice A è 3 per 1 e la matrice B è 1 per 3, allora A⋅B avrà ordine 3 per 3 e il prodotto delle matrici B e A avrà ordine 1 per 1.

Come potete vedere, . Questa è una delle proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Se le matrici A, B e C sono di ordine appropriato, allora vale quanto segue proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Va notato che per ordini adatti, il prodotto della matrice zero O e della matrice A dà una matrice zero. Il prodotto di A per O dà anche una matrice zero se gli ordini consentono l'operazione di moltiplicazione di matrici.

Tra le matrici quadrate ci sono le cosiddette matrici di permutazione, l'operazione di moltiplicazione per loro è commutativa, cioè . Un esempio di matrici di permutazione è una coppia della matrice identità e qualsiasi altra matrice dello stesso ordine, poiché .

Priorità delle operazioni sulle matrici.

Le operazioni di moltiplicazione di una matrice per un numero e moltiplicazione di una matrice per una matrice hanno uguale priorità. Allo stesso tempo, queste operazioni hanno una priorità maggiore rispetto all'operazione di somma di due matrici. Pertanto, prima la matrice viene moltiplicata per il numero e le matrici vengono moltiplicate e solo dopo vengono aggiunte le matrici. Tuttavia, l'ordine in cui vengono eseguite le operazioni sulle matrici può essere specificato in modo esplicito mediante parentesi.

Quindi, la priorità delle operazioni sulle matrici è simile alla priorità assegnata alle operazioni di addizione e moltiplicazione di numeri reali.

Esempio.

Dati matriciali . Eseguire le azioni specificate con le matrici date .

Soluzione.

Iniziamo moltiplicando la matrice A per la matrice B:

Ora moltiplichiamo la matrice identità del secondo ordine E per due:

Sommiamo le due matrici risultanti:

Resta da eseguire l'operazione di moltiplicazione della matrice risultante per la matrice A:

Si noti che l'operazione di sottrazione di matrici dello stesso ordine A e B in quanto tali non esiste. La differenza di due matrici è essenzialmente la somma della matrice A e della matrice B moltiplicata preventivamente per meno uno: .

operazione di erezione matrice quadrata in grado naturale inoltre non è indipendente, poiché è una moltiplicazione di matrici successive.

Ricapitolare.

Si definiscono tre operazioni sull'insieme delle matrici: addizione di matrici dello stesso ordine, moltiplicazione di una matrice per un numero e moltiplicazione di matrici di ordini opportuni. L'operazione di addizione su un insieme di matrici di un dato ordine genera un gruppo Abel.

introduzione

moltiplicazione assiomatica dell'ordine delle matrici

Operazioni su matrici, proprietà delle operazioni.

Notiamo subito che tutto quanto segue si applica alle matrici i cui elementi sono numeri reali (o complessi).

L'operazione di somma di due matrici

Definizione dell'operazione di somma di due matrici.

Definizione.

La somma di due matrici ed è una matrice i cui elementi sono uguali alla somma degli elementi corrispondenti delle matrici A e B, cioè .

Pertanto, il risultato dell'operazione di somma di due matrici è una matrice dello stesso ordine.

Proprietà dell'operazione di addizione di matrici.

Per le matrici A, B e C dello stesso ordine, è caratteristica la proprietà dell'associatività dell'addizione A + (B + C) \u003d (A + B) + C.

Per le matrici di un dato ordine, esiste un elemento neutro rispetto all'addizione, che è la matrice zero. Cioè, la proprietà A + O = A è vera.

Per una matrice A diversa da zero di un dato ordine, esiste una matrice (-A), la loro somma è una matrice zero: A + (-A) \u003d O.

Per le matrici A e B di questo ordine, la proprietà della commutatività dell'addizione A+B=B+A è vera.

Di conseguenza, l'insieme di matrici di un dato ordine genera un gruppo di Abel additivo (un gruppo abeliano rispetto all'operazione algebrica di addizione).

L'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero

Definizione dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

L'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero è definita PER MATRICI DI QUALSIASI ORDINE.

Definizione.

Il prodotto di una matrice per un numero reale (o complesso) è una matrice i cui elementi si ottengono moltiplicando gli elementi corrispondenti della matrice originale per un numero, cioè .

Pertanto, il risultato della moltiplicazione di una matrice per un numero è una matrice dello stesso ordine.

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

Per matrici dello stesso ordine A e B, così come per un numero reale (o complesso) arbitrario, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione è vera.

Per una matrice A arbitraria e qualsiasi numero reale (o complesso), vale la proprietà distributiva.

Per una matrice arbitraria A e qualsiasi numero reale (o complesso) e la proprietà di associatività della moltiplicazione è vera.

Il numero neutro moltiplicato per una matrice arbitraria A è uno, cioè .

Moltiplicazione di una matrice per un numero - esempi e loro soluzione.

Trattiamo l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero usando degli esempi.

Trova il prodotto del numero 2 e della matrice.

Per moltiplicare una matrice per un numero, devi moltiplicare ciascuno dei suoi elementi per questo numero:

Esegui la moltiplicazione di matrici per un numero.

Moltiplichiamo ogni elemento della matrice data per il numero dato:

L'operazione di moltiplicazione di due matrici

Definizione dell'operazione di moltiplicazione di due matrici.

L'operazione di moltiplicazione di due matrici A e B è definita solo nel caso in cui il NUMERO DI COLONNE DELLA MATRICE A SIA UGUALE AL NUMERO DI RIGHE DELLA MATRICE B.

Definizione. Il prodotto della matrice A di ordine e della matrice B di ordine è tale matrice C di ordine, ogni elemento della quale è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga della matrice A e dei corrispondenti elementi della matrice A j-esima colonna della matrice B, ovvero

Pertanto, il risultato dell'operazione di moltiplicazione di una matrice di ordine per una matrice di ordine è una matrice di ordine.

Moltiplicazione di una matrice per una matrice - soluzioni di esempi.

Tratteremo la moltiplicazione di matrici usando esempi, dopodiché passeremo a elencare le proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Trova tutti gli elementi della matrice C, che si ottiene moltiplicando le matrici e.

L'ordine della matrice A è p=3 per n=2, l'ordine della matrice B è n=2 per q=4, quindi l'ordine del prodotto di queste matrici è p=3 per q=4. Usiamo la formula

Coerentemente prendiamo valori i da 1 a 3 (poiché p=3) per ogni j da 1 a 4 (poiché q=4), e n=2 nel nostro caso, quindi

Quindi vengono calcolati tutti gli elementi della matrice C e la matrice ottenuta moltiplicando due matrici date ha la forma.

Eseguire la moltiplicazione di matrici e.

Gli ordini delle matrici originali consentono di effettuare l'operazione di moltiplicazione. Di conseguenza, dovremmo ottenere una matrice di ordine 2 per 3.

Matrici e sono dati. Trova il prodotto delle matrici A e B e delle matrici B e A.

Poiché l'ordine della matrice A è 3 per 1 e la matrice B è 1 per 3, allora A?B avrà ordine 3 per 3 e il prodotto delle matrici B e A avrà ordine 1 per 1.

Come potete vedere, . Questa è una delle proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Se le matrici A, B e C sono di ordini adatti, allora valgono le seguenti proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici.

Due proprietà di distributività e.

In generale, l'operazione di moltiplicazione di matrici non è commutativa.

La matrice identità E di ordine n per n è un elemento neutro per moltiplicazione, cioè, per una matrice arbitraria A di ordine p per n, l'uguaglianza è vera, e per una matrice arbitraria A di ordine n per p, l'uguaglianza.

Tra le matrici quadrate ci sono le cosiddette matrici di permutazione, l'operazione di moltiplicazione per esse è commutativa, cioè. Un esempio di matrici di permutazione è una coppia della matrice identità e qualsiasi altra matrice dello stesso ordine, come è vero.

1° corso matematica superiore, studiamo matrici e azioni di base su di essi. Qui sistemiamo le principali operazioni che possono essere eseguite con le matrici. Come iniziare con le matrici? Naturalmente, dal più semplice: definizioni, concetti di base e operazioni più semplici. Vi assicuriamo che le matrici saranno capite da chiunque vi dedichi almeno un po' di tempo!

Definizione di matrice

Matriceè una tavola rettangolare di elementi. Bene se linguaggio semplice- tabella dei numeri.

Le matrici sono generalmente indicate con lettere latine maiuscole. Ad esempio, matrice UN , matrice B e così via. Le matrici possono essere di diverse dimensioni: rettangolari, quadrate, ci sono anche matrici di righe e matrici di colonne dette vettori. La dimensione della matrice è determinata dal numero di righe e colonne. Ad esempio, scriviamo matrice rettangolare taglia m sul n , dove m è il numero di righe e n è il numero di colonne.

Elementi per cui io=j (a11, a22, .. ) formano la diagonale principale della matrice e sono detti diagonali.

Cosa si può fare con le matrici? Aggiungi/Sottrai, moltiplicare per un numero, moltiplicarsi tra loro, trasporre. Ora su tutte queste operazioni di base sulle matrici in ordine.

Operazioni di addizione e sottrazione di matrici

Ti avvertiamo subito che puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione. Il risultato è una matrice della stessa dimensione. L'addizione (o sottrazione) di matrici è facile − basta aggiungere i loro elementi corrispondenti . Facciamo un esempio. Eseguiamo l'addizione di due matrici A e B di dimensione due per due.

La sottrazione viene eseguita per analogia, solo con il segno opposto.

Qualsiasi matrice può essere moltiplicata per un numero arbitrario. Per farlo, devi moltiplicare per questo numero ciascuno dei suoi elementi. Ad esempio, moltiplichiamo la matrice A del primo esempio per il numero 5:

Operazione di moltiplicazione di matrici

Non tutte le matrici possono essere moltiplicate tra loro. Ad esempio, abbiamo due matrici: A e B. Possono essere moltiplicate tra loro solo se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B. Inoltre, ogni elemento della matrice risultante nella i-esima riga e j-esima colonna, sarà uguale alla somma dei prodotti degli elementi corrispondenti nella i-esima riga del primo fattore e nella j-esima colonna del secondo. Per comprendere questo algoritmo, scriviamo come si moltiplicano due matrici quadrate:

E un esempio con numeri reali. Moltiplichiamo le matrici:

Operazione di trasposizione della matrice

La trasposizione della matrice è un'operazione in cui le righe e le colonne corrispondenti vengono scambiate. Ad esempio, trasponiamo la matrice A del primo esempio:

Determinante della matrice

Il determinante, oh il determinante, è uno dei concetti base dell'algebra lineare. Una volta che le persone si inventavano equazioni lineari, e dietro di loro abbiamo dovuto inventare un determinante. Alla fine, sta a te affrontare tutto questo, quindi l'ultima spinta!

Il determinante è una caratteristica numerica di una matrice quadrata, necessaria per risolvere molti problemi.
Per calcolare il determinante della matrice quadrata più semplice, è necessario calcolare la differenza tra i prodotti degli elementi della diagonale principale e secondaria.

Il determinante di una matrice del primo ordine, cioè costituita da un elemento, è uguale a questo elemento.

E se la matrice fosse tre per tre? Questo è più difficile, ma si può fare.

Per tale matrice, il valore del determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale e dei prodotti degli elementi giacenti su triangoli con una faccia parallela alla diagonale principale, da cui il prodotto degli elementi della diagonale secondaria e si sottrae il prodotto degli elementi che giacciono su triangoli con faccia parallela alla diagonale secondaria.

Fortunatamente, nella pratica è raramente necessario calcolare i determinanti di grandi matrici.

Qui abbiamo considerato le operazioni di base sulle matrici. Naturalmente, nella vita reale, non puoi mai nemmeno imbatterti in un accenno di un sistema di equazioni a matrice, o viceversa, potresti incontrare molto di più casi difficili quando devi davvero spaccarti la testa. È per questi casi che esiste un servizio professionale per gli studenti. Chiedi aiuto, ottieni una soluzione dettagliata e di alta qualità, goditi il successo scolastico e il tempo libero.

Dopo aver studiato gli argomenti introduttivi sulle matrici, le loro proprietà e le operazioni su di esse, è necessario acquisire esperienza pratica risolvendo esempi reali di addizione e sottrazione di matrici. Consolidate nella pratica le conoscenze acquisite, sarà possibile passare ai seguenti argomenti.

Iniziamo ad imparare sui problemi più semplici, passando gradualmente a quelli più complessi. Commenteremo tutte le azioni e, se necessario, forniremo alcune note a piè di pagina che spiegano in modo più dettagliato alcune trasformazioni.

Dopo aver definito gli obiettivi di questa lezione, passiamo alla pratica.

Aggiunta di matrici mediante esempi:

1) Aggiungi due matrici e scrivi il risultato.

La prima cosa da fare è determinare se il problema ha una soluzione.

Le dimensioni delle due matrici sono le stesse, il che significa che esiste una soluzione.

Si procede all'addizione diretta sommando gli elementi della matrice. La soluzione finale sarà simile a questa:

Come possiamo vedere, questo esempio dimostra chiaramente l'aggiunta di 2 matrici.
Proviamo a considerare il problema con l'addizione un po' più complicato.

2) Aggiungi 2 matrici "A" e "B"

Le dimensioni delle matrici sono le stesse, quindi puoi procedere all'addizione.
Il risultato dell'addizione sarà il risultato mostrato nell'immagine seguente:

3) Aggiungi le matrici "A" e "B"

Come abbiamo fatto prima, definiamo prima la dimensione. Le dimensioni delle matrici "A" e "B" sono le stesse, si può procedere alla loro addizione.

Gli elementi della matrice vengono aggiunti allo stesso modo degli esempi risolti sopra.
La soluzione al problema presentato sarà simile a questa:

4) Somma le matrici e scrivi la risposta.

Per prima cosa, controlliamo le dimensioni. Vediamo che la dimensione della matrice "A" è 3 × 2 (3 righe e 2 colonne) e la dimensione della matrice "B" è 2 × 3, cioè non sono uguali, quindi è impossibile per aggiungere la matrice "A" e "B" .
Risposta: nessuna soluzione.

5) Dimostrare l'uguaglianza: A+B=B+A.
Matrici della stessa dimensione e assomigliano a questo:

Innanzitutto, aggiungi la matrice A + B, quindi B + A, dopodiché confrontiamo il risultato.

Come possiamo vedere, il risultato dell'addizione è esattamente lo stesso, cioè dalla permutazione dei luoghi dei termini, il valore della somma non cambia.
Ne abbiamo parlato nell'argomento precedente nella sezione Proprietà dell'azione Matrix.

Sottrazione di matrici per esempi:

La sottrazione della matrice non è semplice come l'addizione, ma differisce leggermente.
Per sottrarne un'altra da una matrice, esse, in primo luogo, devono essere della stessa dimensione e, in secondo luogo, la sottrazione viene eseguita secondo la formula: A-B = A+(-1) B È necessario aggiungere la seconda matrice a il primo, che viene moltiplicato per il numero (-uno).

Diamo un'occhiata a questo in modo più dettagliato con un esempio.

6) Trova la differenza tra le matrici "C" e "D"

Le dimensioni delle due matrici sono le stesse, quindi puoi iniziare a sottrarre.
Per fare ciò, sottrai la seconda matrice dalla prima, che viene moltiplicata per il numero (-1). Come tu e io sappiamo, per moltiplicare un numero per una matrice, devi moltiplicare ciascuno dei suoi elementi per un dato numero. Soluzione completa sarà simile a questo:

Come si può vedere da questa soluzione, la sottrazione è un'azione semplice come l'addizione di matrici e richiede solo conoscenze aritmetiche da parte degli studenti, quindi assolutamente ogni studente può risolvere questi problemi.

Questo conclude questa lezione e speriamo che dopo aver letto questo materiale e soluzione dettagliata attività presentate, ora puoi facilmente aggiungere e sottrarre matrici e questo argomento è molto semplice per te.