Righe di matrice UN modulo spazio di linea RA T).

Colonne a matrice UN modulo spazio delle colonne matrici e sono indicati da RA).

Matrice del kernel o dello spazio zero

L'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione ascia=0, dove Sono X n-matrice, X- vettore di lunghezza n- le forme spazio zero o nucleo matrici UN ed è indicato da Ker(A) o N / A).

Matrice opposta

Per qualsiasi matrice UN esiste una matrice opposta -UN tale che A+(-A)=0. Ovviamente come matrice -UN prendi la matrice (-1)A, i cui elementi sono diversi dagli elementi UN cartello.

Matrice antisimmetrica (simmetrica antisimmetrica).

Una matrice quadrata si dice asimmetrica se differisce dalla sua matrice trasposta di un fattore −1:

In una matrice antisimmetrica, due elementi qualsiasi situati simmetricamente rispetto alla diagonale principale differiscono l'uno dall'altro di un fattore di −1 e gli elementi diagonali sono uguali a zero.

Un esempio di matrice asimmetrica:

Differenza di matrice

differenza C due matrici UN e B la stessa dimensione è determinata dall'uguaglianza

Per denotare la differenza di due matrici si usa la notazione:

Grado matrice

Sia la matrice quadrata delle dimensioni n×n. Quindi il grado della matrice è definito come segue:

dove E è la matrice identità.

Dalla proprietà associativa della moltiplicazione segue:

dove p,q- numeri interi arbitrari non negativi.

Matrice simmetrica (simmetrica).

Matrice che soddisfa la condizione A=A Tè chiamata matrice simmetrica.

Per matrici simmetriche, l'uguaglianza avviene:

un ij = un ji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n

Definizione 1. Matrice taglia Am nè una tabella rettangolare di m righe ed n colonne, costituita da numeri o altre espressioni matematiche (detti elementi di matrice), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, o

Definizione 2. Due matrici
e
le stesse dimensioni sono chiamate pari, se corrispondono elemento per elemento, ad es. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Con l'aiuto di matrici, è facile annotare alcune dipendenze economiche, ad esempio tabelle di distribuzione delle risorse per determinati settori dell'economia.

Definizione 3. Se il numero di righe della matrice corrisponde al numero delle sue colonne, ad es. m = n, allora viene chiamata la matrice ordine quadraton, altrimenti rettangolare.

Definizione 4. Viene chiamato il passaggio da una matrice A ad una matrice A m, in cui le righe e le colonne vengono scambiate con la conservazione dell'ordine trasposizione matrici.

Tipi di matrici: quadrate (dimensione 33) -
,

rettangolare (misura 25) -
,

diagonale -
, separare -
, zero -
,

matrice-riga -
, colonna-matrice -.

Definizione 5. Gli elementi di una matrice quadrata di ordine n con gli stessi indici sono detti elementi della diagonale principale, cioè questi gli elementi:
.

Definizione 6. Gli elementi di una matrice quadrata di ordine n sono detti elementi diagonali secondari se la somma dei loro indici è uguale a n + 1, cioè questi sono gli elementi: .

1.2. Operazioni sulle matrici.

1 0 . somma due matrici
e
della stessa dimensione è chiamata matrice С = (с ij), i cui elementi sono determinati dall'uguaglianza con ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Proprietà dell'operazione di addizione di matrici.

Per tutte le matrici A, B, C della stessa dimensione valgono le seguenti uguaglianze:

1) A + B = B + A (commutatività),

2) (LA + B) + C = LA + (B + C) = LA + B + C (associatività).

2 0 . opera matrici
per numero  chiamata matrice
la stessa dimensione della matrice A, e b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

(А) = ()А (associatività della moltiplicazione);

(А+В) = А+В (distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione di matrici);

(+)A = A+A (distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione dei numeri).

Definizione 7. Combinazione lineare di matrici
e
della stessa dimensione è chiamata espressione della forma A + B, dove  e  sono numeri arbitrari.

3 0 . Prodotto A  Nelle matrici A e B, rispettivamente, di dimensione mn e nk, è chiamata matrice C di dimensione mk, tale che l'elemento con ij è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga della matrice A e la j-esima colonna della matrice B, ovvero con ij = un io 1 b 1 j +a io 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Il prodotto AB esiste solo se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B.

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici:

(АВ)С = А(ВС) (associatività);

(А+В)С = АС+ВС (distributività rispetto all'addizione di matrici);

А(В+С) = АВ+АС (distributività rispetto all'addizione di matrici);

АВ  ВА (non commutatività).

Definizione 8. Le matrici A e B, per le quali AB = BA, sono dette pendolari o permutanti.

Moltiplicando una matrice quadrata di qualsiasi ordine per la corrispondente matrice di identità non cambia la matrice.

Definizione 9. Trasformazioni elementari le matrici sono chiamate le seguenti operazioni:

Scambia due righe (colonne).

Moltiplica ogni elemento di una riga (colonna) per un numero diverso da zero.

Aggiungendo agli elementi di una riga (colonna) gli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna).

Definizione 10. Viene chiamata la matrice B ottenuta dalla matrice A con l'aiuto di trasformazioni elementari equivalente(indicato con BA).

Esempio 1.1. Trova una combinazione lineare di matrici 2A–3B se

,
.

,
,

.

Esempio 1.2. Trova prodotto di matrici
, Se

.

Soluzione: poiché il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice, esiste il prodotto matrice. Di conseguenza, otteniamo una nuova matrice
, dove

Di conseguenza, otteniamo
.

Lezione 2. Determinanti. Calcolo delle determinanti del secondo, terzo ordine. Proprietà del qualificatoren-esimo ordine.

Definizione. La matrice delle dimensioni è una tabella di numeri, composta da linee e colonne. I numeri che compongono una matrice sono detti elementi di matrice.

Le matrici sono indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino (ad es A, B, C), e gli elementi della matrice sono in lettere minuscole con doppia indicizzazione: , dove - numero di riga - numero di colonna.

Ad esempio, matrice
,

o in forma abbreviata
, dove
;
.

Tipi di matrici.

Viene chiamata una matrice a riga singola matrice (vettore)–riga e da una colonna - colonna matrice (vettore).:
– riga matrice;

-colonna matrice.

La matrice è chiamata quadrato - ordine se il numero delle sue righe è uguale al numero di colonne ed è uguale a . Per esempio,
è una matrice quadrata del terzo ordine.

Elementi di matrice , il cui numero di riga è uguale al numero di colonna
, sono chiamati diagonale e forma diagonale principale matrici.

Se tutte le voci fuori diagonale di una matrice quadrata sono zero, viene chiamata la matrice diagonale. Per esempio,

è una matrice diagonale del terzo ordine.

Se la matrice diagonale ordine, tutti gli elementi diagonali sono uguali a uno, quindi viene chiamata la matrice separare matrice esimo ordine ed è indicato dalla lettera . Per esempio,
è la matrice identità del terzo ordine.

Operazioni sulle matrici.

Ad esempio, se
, poi
.

Per esempio:
,
,
.

Esempio. Calcola il prodotto delle matrici
, dove

;
.

Trova la dimensione della matrice del prodotto (se è possibile la moltiplicazione della matrice):
. Calcola gli elementi della matrice . Elemento ottenuto moltiplicando esima riga della matrice sul -esima colonna della matrice .

Noi abbiamo
.

,
.

Ne consegue dalla definizione che se la matrice ha dimensione
, quindi la matrice trasposta ha la dimensione
.

Per esempio:
;
.

Determinanti di matrici quadrate

Il determinante è un numero che caratterizza una matrice quadrata.

Determinante della matrice indicato o .

Determinante di una matrice del primo ordine
, o determinante del primo ordine, è chiamato elemento
:

. Ad esempio, lascia
, poi
.

Determinante della matrice del secondo ordine
, o determinante del secondo ordine, è un numero calcolato dalla formula:

.

Opere d'arte
e
chiamato membri determinanti secondo ordine. Ad esempio, lascia
, poi
.

Sia data una matrice quadrata del terzo ordine:

.

Il determinante di una matrice del terzo ordine, o determinante del terzo ordine viene chiamato un numero, che viene calcolato dalla formula:

Questo numero è una somma algebrica composta da 6 termini, o 6 termini del determinante. Ogni termine contiene esattamente un elemento da ogni riga e ogni colonna della matrice. I segni con cui i termini del determinante sono inclusi nella formula sono facili da ricordare usando lo schema (Fig. 1.), Che è chiamato regola del triangolo o governo Sarro.

Per calcolare le determinanti di ordini superiori, abbiamo bisogno di alcuni concetti aggiuntivi.

Sia data una matrice quadrata n-esimo ordine.

Minore
elemento matrici n l'ordine è il determinante della matrice ( n– 1)° ordine ottenuto dalla matrice strikeout -esima riga e -esima colonna.

Ad esempio, l'elemento è minore
matrici il terzo ordine sarà:

Addizione algebrica elemento matrici n l'ordine è il suo minore, preso con il segno
:
, cioè. il complemento algebrico è uguale al minore quando la somma dei numeri di riga e di colonna ( io+ j) è un numero pari e differisce dal segno minore quando ( io+ j) - numero dispari. Per esempio, ;
.

Per calcolare i determinanti di matrici quadrate superiori al terzo ordine si utilizza il teorema di Laplace.

Il teorema di Laplace.Il determinante di una matrice quadrata è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga (colonna) e dei loro complementi algebrici:

(scomposizione per elementi io- esima riga;
);

(scomposizione per elementi j- esima colonna;
);

Secondo le proprietà dei determinanti, il determinante della matrice non cambierà se gli elementi di una qualsiasi riga (colonna) della matrice vengono aggiunti agli elementi di un'altra riga (colonna), precedentemente moltiplicati per lo stesso numero. Questa proprietà dei determinanti e il teorema di Laplace consentono di semplificare notevolmente il calcolo dei determinanti di ordine superiore. Quando si calcolano i determinanti, è necessario trasformare la matrice originale in modo che la matrice trasformata abbia una riga (o colonna) contenente il maggior numero possibile di zeri, quindi trovare il determinante espandendo questa riga (colonna).

Esempio. Calcola il determinante del quarto ordine:

.

Trasformiamo la matrice in modo che nella 3a riga tutti gli elementi, tranne uno, diventino 0. Per fare ciò, moltiplichiamo gli elementi della 3a colonna per (-4) e per 2 e aggiungili, rispettivamente, agli elementi di la prima e la seconda colonna. Espandendo il determinante risultante sugli elementi della terza riga, troviamo

.

Il determinante del terzo ordine risultante può essere calcolato usando la regola dei triangoli o usando il teorema di Laplace, tuttavia, puoi continuare a semplificare la matrice. "Ripristina" nella matrice del terzo ordine gli elementi della 2a riga (tranne uno). Per fare ciò, gli elementi della terza colonna della matrice, previamente moltiplicati per (-13) e per 4, vengono aggiunti rispettivamente agli elementi della 1a e 2a colonna:

.

Espandendo gli elementi della seconda riga ed eliminando i fattori comuni, otteniamo.

1° anno, matematica superiore, studio matrici e azioni di base su di essi. Qui sistemiamo le principali operazioni che possono essere eseguite con le matrici. Come iniziare con le matrici? Naturalmente, dal più semplice: definizioni, concetti di base e operazioni più semplici. Vi assicuriamo che le matrici saranno capite da chiunque vi dedichi almeno un po' di tempo!

Definizione di matrice

Matriceè una tavola rettangolare di elementi. Bene, se in termini semplici - una tabella di numeri.

Le matrici sono generalmente indicate con lettere latine maiuscole. Ad esempio, matrice UN , matrice B e così via. Le matrici possono essere di diverse dimensioni: rettangolari, quadrate, ci sono anche matrici di righe e matrici di colonne dette vettori. La dimensione della matrice è determinata dal numero di righe e colonne. Ad esempio, scriviamo una matrice rettangolare di dimensione m sul n , dove m è il numero di righe e n è il numero di colonne.

Elementi per cui io=j (a11, a22, .. ) formano la diagonale principale della matrice e sono detti diagonali.

Cosa si può fare con le matrici? Aggiungi/Sottrai, moltiplicare per un numero, moltiplicarsi tra loro, trasporre. Ora su tutte queste operazioni di base sulle matrici in ordine.

Operazioni di addizione e sottrazione di matrici

Ti avvertiamo subito che puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione. Il risultato è una matrice della stessa dimensione. L'addizione (o sottrazione) di matrici è facile − basta aggiungere i loro elementi corrispondenti . Facciamo un esempio. Eseguiamo l'addizione di due matrici A e B di dimensione due per due.

La sottrazione viene eseguita per analogia, solo con il segno opposto.

Qualsiasi matrice può essere moltiplicata per un numero arbitrario. Per farlo, devi moltiplicare per questo numero ciascuno dei suoi elementi. Ad esempio, moltiplichiamo la matrice A del primo esempio per il numero 5:

Operazione di moltiplicazione di matrici

Non tutte le matrici possono essere moltiplicate tra loro. Ad esempio, abbiamo due matrici: A e B. Possono essere moltiplicate tra loro solo se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B. Inoltre, ogni elemento della matrice risultante nella i-esima riga e nella j-esima colonna sarà uguale alla somma dei prodotti degli elementi corrispondenti nella i-esima riga del primo fattore e della j-esima colonna del secondo. Per comprendere questo algoritmo, scriviamo come si moltiplicano due matrici quadrate:

E un esempio con numeri reali. Moltiplichiamo le matrici:

Operazione di trasposizione della matrice

La trasposizione della matrice è un'operazione in cui le righe e le colonne corrispondenti vengono scambiate. Ad esempio, trasponiamo la matrice A del primo esempio:

Determinante della matrice

Il determinante, oh il determinante, è uno dei concetti base dell'algebra lineare. C'era una volta, le persone inventavano equazioni lineari e dopo di loro dovevano inventare un determinante. Alla fine, sta a te affrontare tutto questo, quindi l'ultima spinta!

Il determinante è una caratteristica numerica di una matrice quadrata, necessaria per risolvere molti problemi.
Per calcolare il determinante della matrice quadrata più semplice, è necessario calcolare la differenza tra i prodotti degli elementi della diagonale principale e secondaria.

Il determinante di una matrice del primo ordine, cioè costituita da un elemento, è uguale a questo elemento.

E se la matrice fosse tre per tre? Questo è più difficile, ma si può fare.

Per tale matrice, il valore del determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale e dei prodotti degli elementi giacenti su triangoli con una faccia parallela alla diagonale principale, da cui il prodotto degli elementi della diagonale secondaria e si sottrae il prodotto degli elementi che giacciono su triangoli con faccia parallela alla diagonale secondaria.

Fortunatamente, nella pratica è raramente necessario calcolare i determinanti di grandi matrici.

Qui abbiamo considerato le operazioni di base sulle matrici. Ovviamente, nella vita reale non puoi mai nemmeno imbatterti in un accenno di un sistema di equazioni a matrice, o viceversa, potresti incontrare casi molto più complessi in cui devi davvero scervellarti. È per questi casi che esiste un servizio professionale per gli studenti. Chiedi aiuto, ottieni una soluzione dettagliata e di alta qualità, goditi il ​​successo scolastico e il tempo libero.

Una matrice rettangolare di dimensione mxn è una raccolta di mxn numeri disposti in una tabella rettangolare contenente m righe e n colonne. Lo scriveremo nel modulo

o abbreviato come A = (a i j) (i = ; j = ), i numeri a i j , sono chiamati suoi elementi; il primo indice punta al numero di riga, il secondo indice al numero di colonna. A = (a i j) e B = (b i j) della stessa dimensione si dicono uguali se i loro elementi negli stessi posti sono uguali a coppie, cioè A = B se a i j = b i j .

Una matrice composta da una riga o una colonna è chiamata rispettivamente vettore -riga o colonna. I vettori di colonna e di riga sono semplicemente chiamati vettori.

Con questo numero viene identificata una matrice composta da un numero. A di dimensione mxn, i cui elementi sono tutti uguali a zero, è chiamato zero ed è indicato con 0. Gli elementi con gli stessi indici sono chiamati elementi della diagonale principale. Se il numero di righe è uguale al numero di colonne, cioè m = n, allora la matrice si dice quadrata di ordine n. Le matrici quadrate in cui solo gli elementi della diagonale principale sono diversi da zero sono dette matrici diagonali e si scrivono come segue:

.

Se tutti gli elementi a i i della diagonale sono uguali a 1, allora si chiama unità ed è indicato dalla lettera E:

.

Una matrice quadrata si dice triangolare se tutti gli elementi sopra (o sotto) la diagonale principale sono uguali a zero. Una trasposizione è una trasformazione in cui righe e colonne vengono scambiate mantenendo i loro numeri. La trasposizione è indicata da una T in alto.

Se nella (4.1) riorganizziamo le righe con le colonne, allora otteniamo

,

che verrà trasposto rispetto ad A. In particolare, trasponendo un vettore colonna si ottiene un vettore riga e viceversa.

Il prodotto di A per il numero b è una matrice i cui elementi si ottengono dai corrispondenti elementi di A moltiplicando per il numero b: b A = (b a i j).

La somma di A = (a i j) e B = (b i j) della stessa dimensione è C = (c i j) della stessa dimensione, i cui elementi sono determinati dalla formula c i j = a i j + b i j .

Il prodotto AB è definito partendo dal presupposto che il numero di colonne in A sia uguale al numero di righe in B.

Il prodotto di AB, dove A = (a i j) e B = (b j k), dove i = , j= , k= , dato in un certo ordine AB, è C = (c i k), i cui elementi sono determinati dal seguente regola:

c io k = un io 1 b 1 k + un io 2 b 2 k +... + un io m b m k = un io s b s k . (4.2)

In altre parole, l'elemento del prodotto AB è definito come segue: l'elemento della i-esima riga e della k-esima colonna C è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga A per il elementi corrispondenti della k-esima colonna B.

Esempio 2.1. Trova il prodotto di AB e .

Soluzione. Abbiamo: A di dimensione 2x3, B di dimensione 3x3, allora il prodotto AB = C esiste e gli elementi di C sono uguali

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

e il prodotto BA non esiste.

Esempio 2.2. La tabella mostra il numero di unità di prodotto spedite giornalmente dai caseifici 1 e 2 ai magazzini M 1 , M 2 e M 3 e la consegna di un'unità di produzione da ciascun caseificio al magazzino M 1 costa 50 den. unità, nel negozio M 2 - 70 e in M ​​​​3 - 130 den. unità Calcola i costi di trasporto giornalieri di ogni pianta.

Soluzione. Indichiamo con A la matrice dataci nella condizione, e con
B - una matrice che caratterizza il costo di consegna di un'unità di produzione ai negozi, ovvero

,

Quindi la matrice dei costi di trasporto sarà simile a:

Quindi, il primo impianto spende 4750 den al giorno per il trasporto. unità, il secondo - 3680 den.un.

Esempio 2.3. L'impresa di cucito produce cappotti invernali, cappotti per la mezza stagione e impermeabili. La produzione pianificata per un decennio è caratterizzata dal vettore X = (10, 15, 23). Vengono utilizzati quattro tipi di tessuti: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . La tabella mostra i consumi di tessuto (in metri) per ogni prodotto. Il vettore C = (40, 35, 24, 16) specifica il costo di un metro di tessuto di ogni tipo e il vettore P = (5, 3, 2, 2) - il costo del trasporto di un metro di tessuto di ogni genere.