che, per a = 1, ci è servito per determinare la somma progressione geometrica. Assumendo che il teorema di Gauss sia stato dimostrato, assumiamo che a = a 1 sia una radice dell'equazione (17), quindi

	) = una n + una		un n-1			un n-2		un 1 + un

Sottraendo questa espressione da f(x) e riordinando i termini, otteniamo l'identità

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − un n 1 ) + an−1 (xn−1 − un n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1 ).

(21) Usando ora la formula (20), possiamo estrarre il fattore x − a 1 da ogni termine e poi estrarlo dalla parentesi, e il grado del polinomio rimasto tra parentesi diventerà uno in meno. Riorganizzando di nuovo i termini, otteniamo l'identità

f(x) = (x − a1 )g(x),

dove g(x) è un polinomio di grado n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Il calcolo dei coefficienti indicati con b non ci interessa qui.) Applichiamo lo stesso argomento ulteriormente al polinomio g(x). Per il teorema di Gauss, esiste una radice a2 dell'equazione g(x) = 0, quindi

g(x) = (x − a2 )h(x),

dove h(x) è un nuovo polinomio di grado già n − 2. Ripetendo questi argomenti n − 1 volte (ovviamente, l'applicazione del principio induzione matematica), arriviamo infine alla decomposizione

f(x) = (x - a1 )(x - a2 ) . . . (x - an ).

L'identità (22) implica non solo che i numeri complessi a1 , a2 ,

An sono le radici dell'equazione (17), ma anche il fatto che l'equazione (17) non ha altre radici. Infatti, se il numero y fosse la radice dell'equazione (17), allora da (22) seguirebbe

f(y) = (y - a1 )(y - a2 ) . . . (y - an ) = 0.

Ma abbiamo visto (p. 115) che il prodotto di numeri complessi è zero se e solo se uno dei fattori è zero. Quindi, uno dei fattori y − ar è uguale a 0, cioè y = ar , che è ciò che doveva essere stabilito.

§ 6.

1. Definizione e questioni dell'esistenza. Un numero algebrico è qualsiasi numero x, reale o immaginario, che soddisfa alcuni equazione algebrica tipo

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6= 0),

130 SISTEMA NUMERICO MATEMATICO cap. II

dove i numeri ai sono interi. Quindi, ad esempio, il numero 2 è algebrico, poiché soddisfa l'equazione

x2 - 2 = 0.

Allo stesso modo, qualsiasi radice di qualsiasi equazione con coefficienti interi di terzo, quarto, quinto, qualsiasi grado, e indipendentemente dal fatto che sia espressa o meno in radicali, è un numero algebrico. Il concetto di numero algebrico è una generalizzazione naturale del concetto di numero razionale, che corrisponde al caso particolare n = 1.

Non tutti i numeri reali sono algebrici. Ciò segue dal seguente teorema affermato da Cantor: l'insieme di tutti i numeri algebrici è numerabile. Dal momento che la moltitudine di tutti numeri reali non numerabili, allora ci devono essere necessariamente numeri reali che non siano algebrici.

Indichiamo uno dei metodi per ricalcolare l'insieme dei numeri algebrici. Ogni equazione della forma (1) è associata a un numero intero positivo

h = |an | + |an−1 | +. . . + |a1 | + |a0 | +n,

che, per brevità, chiameremo "altezza" dell'equazione. Per ogni valore fisso di n esiste solo un numero finito di equazioni della forma (1) con altezza h. Ognuna di queste equazioni ha al massimo n radici. Pertanto, può esistere solo un numero finito di numeri algebrici generati da equazioni di altezza h; quindi tutti i numeri algebrici possono essere disposti in sequenza, elencando prima quelli generati dalle equazioni di altezza 1, poi quelli di altezza 2 e così via.

Questa dimostrazione che l'insieme dei numeri algebrici è numerabile stabilisce l'esistenza di numeri reali che non sono algebrici. Tali numeri sono chiamati trascendentali (dal latino trascendere - passare, superare); Eulero diede loro questo nome perché "superano il potere dei metodi algebrici".

La prova di Cantor dell'esistenza dei numeri trascendentali non è costruttiva. In teoria, si potrebbe costruire un numero trascendentale mediante una procedura diagonale eseguita su una lista immaginaria di espansioni decimali di tutti i numeri algebrici; ma una tale procedura è priva di qualsiasi valore pratico e non porterebbe a un numero la cui espansione in una frazione decimale (o in qualche altra) potrebbe essere effettivamente scritta. I problemi più interessanti associati ai numeri trascendentali risiedono nel dimostrare che certo, numeri specifici(questo include i numeri pe e, di cui vedi pp. 319–322) sono trascendentali.

NUMERI ALGEBRICI E TRASCENDENTI

**2. Il teorema di Liouville e la costruzione dei numeri trascendentali. La prova dell'esistenza dei numeri trascendentali anche prima di Cantor fu data da J. Liouville (1809–1862). Consente di costruire effettivamente esempi di tali numeri. La dimostrazione di Liouville è più difficile di quella di Cantor, e questo non sorprende, poiché costruire un esempio è, in generale, più difficile che provare l'esistenza. Nel presentare la dimostrazione di Liouville di seguito, abbiamo in mente solo un lettore esperto, sebbene la conoscenza della matematica elementare sia completamente sufficiente per comprendere la dimostrazione.

Come ha scoperto Liouville, i numeri algebrici irrazionali hanno la proprietà che non possono essere approssimati da numeri razionali con un grado di accuratezza molto elevato, a meno che i denominatori delle frazioni approssimative non siano presi estremamente grandi.

Supponiamo che il numero z soddisfi l'equazione algebrica a coefficienti interi

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = 0 (an 6= 0),

ma non soddisfa la stessa equazione di grado inferiore. Quindi

diciamo che x stesso è un numero algebrico di grado n. Per esempio,

il numero z = 2 è un numero algebrico di grado 2, poiché soddisfa l'equazione x2 − 2 = 0√ di grado 2, ma non soddisfa l'equazione di primo grado; il numero z = 3 2 è di grado 3, poiché soddisfa l'equazione x3 − 2 = 0, ma non soddisfa (come mostreremo nel Capitolo III) un'equazione di grado inferiore. Numero algebrico di grado n > 1

non può essere razionale, poiché il numero razionale z = p q soddisfa

soddisfa l'equazione qx − p = 0 di grado 1. Ciascuno numero irrazionale z può essere approssimato con qualsiasi grado di accuratezza utilizzando un numero razionale; questo significa che puoi sempre specificare una sequenza di numeri razionali

p1, p2, . . .

q 1 q 2

con denominatori a crescita illimitata, che ha la proprietà

Quello

p r → z. qr

Il teorema di Liouville afferma: qualunque sia il numero algebrico z di grado n > 1, non può essere approssimato dal razionale

denominatori sufficientemente grandi, la disuguaglianza

z-p q			> q n1 +1 .

SISTEMA DI NUMERI MATEMATICI

Daremo una dimostrazione di questo teorema, ma prima mostreremo come può essere usato per costruire numeri trascendenti. Considera il numero

z = a1 10−1! + a2 10−2! + a3 10-3! +. . . + am · 10-m! +. . . == 0,a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

dove ai sta per cifre arbitrarie da 1 a 9 (sarebbe più facile impostare tutti ai uguali a 1), e il simbolo n!, come al solito (vedi p. 36 ), sta per 1 · 2 · . . . n. Una proprietà caratteristica dell'espansione decimale di un tale numero è che gruppi di zeri che aumentano rapidamente di lunghezza si alternano in esso con singole cifre diverse da zero. Indichiamo con zm la frazione decimale finale ottenuta prendendo tutti i termini fino a am · 10−m! nell'espansione. compreso. Quindi otteniamo la disuguaglianza

Supponiamo che z sia un numero algebrico di grado n. Quindi, ponendo nella disuguaglianza di Liouville (3) p q = zm = 10 p m! , noi dobbiamo avere

|z - zm | > 10(n+1)m!

per valori sufficientemente grandi di m. Il confronto dell'ultima disuguaglianza con la disuguaglianza (4) dà

10(n+1)m!		10(m+1)!			10(m+1)!-1

da cui segue (n + 1)m! > (m+1)! − 1 per m sufficientemente grande. Ma questo non è vero per valori di m maggiori di n (che il lettore si prenda la briga di dare una prova dettagliata di questa affermazione). Siamo giunti a una contraddizione. Quindi, il numero z è trascendentale.

Resta da dimostrare il teorema di Liouville. Supponiamo che z sia un numero algebrico di grado n > 1 che soddisfi l'equazione (1), quindi

f(zm ) = f(zm ) - f(z) = a1 (zm - z) + a2 (zm 2 - z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Dividendo entrambe le parti per zm − z e usando la formula algebrica

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

noi abbiamo:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2 ) + . . .
	zm - z
		An (zm n−1 + . . . + zn−1 ). (6)

NUMERI ALGEBRICI E TRASCENDENTI

Poiché zm tende a z, allora per m sufficientemente grande il numero razionale zm differirà da z di meno di uno. Pertanto, per m sufficientemente grandi, possiamo fare la seguente stima approssimativa:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm - z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

inoltre il numero M a destra è costante, poiché z non cambia durante la dimostrazione. Scegliamo ora m così grande che

la frazione z m = p m ha il denominatore q m era più grande di M; poi mq

|z - zm | >	|f(zm )|			|f(zm )|

|f(zm )| =							-qn
							1 p + . . . +a
Numero razionale zm =			non può essere la radice dell'equazione

poiché allora sarebbe possibile estrarre il fattore (x − zm ) dal polinomio f(x), e, quindi, z soddisferebbe un'equazione di grado minore di n. Quindi, f(zm ) 6= 0. Ma il numeratore a destra dell'uguaglianza (9) è un intero e, quindi, in valore assoluto è almeno uguale a uno. Pertanto, un confronto delle relazioni (8) e (9) implica la disuguaglianza

|z - zm | >
					qn+1

che è appunto il contenuto del teorema indicato.

Negli ultimi decenni, la ricerca sulla possibilità di approssimare i numeri algebrici con quelli razionali è andata molto oltre. Ad esempio, il matematico norvegese A. Thue (1863–1922) ha scoperto che nella disuguaglianza di Liouville (3), l'esponente n + 1 può essere sostituito da un esponente più piccolo n 2 + 1.

K. L. Siegel ha mostrato che è possibile prendere anche più piccoli (anche più piccoli

per n maggiore) esponente 2 n.

I numeri trascendentali sono sempre stati un argomento che attira l'attenzione dei matematici. Ma fino a tempi relativamente recenti, tra i numeri di per sé interessanti, si conoscevano pochissimi il cui carattere trascendentale potesse essere stabilito. (La trascendenza del numero p, di cui parleremo nel capitolo III, implica l'impossibilità di quadrare il cerchio con un righello e un compasso.) Nel suo discorso al Congresso Internazionale dei Matematici di Parigi nel 1900, David Hilbert propose trenta matematici

ALGEBRA DEGLI INsiemi

problemi che ammettono una formulazione semplice, alcuni anche abbastanza elementari e popolari, dei quali non solo non fu risolto, ma parve addirittura risolversi con i mezzi della matematica di quell'epoca. Questi "problemi di Hilbert" ebbero un forte effetto stimolante per tutto il periodo successivo nello sviluppo della matematica. Quasi tutti sono stati risolti a poco a poco e in molti casi la loro soluzione è stata associata a chiari progressi nello sviluppo di metodi più generali e più profondi. Un problema che sembrava piuttosto disperato lo era

prova che il numero

è trascendente (o almeno irrazionale). Per tre decenni non c'è stato nemmeno un accenno di un simile approccio alla questione da parte di nessuno che avrebbe aperto speranze per il successo. Infine, Siegel e, indipendentemente da lui, il giovane matematico russo A. Gelfond scoprirono nuovi metodi per dimostrare la trascendenza di molti

numeri che contano in matematica. In particolare, è stato fissato

trascendenza non solo del numero di Hilbert 2 2 , ma anche di una classe piuttosto estesa di numeri della forma ab , dove a è un numero algebrico diverso da 0 e 1, e b è un numero algebrico irrazionale.

APPENDICE AL CAPITOLO II

Algebra degli insiemi

1. Teoria generale. Il concetto di classe, o collezione, o insieme di oggetti è uno dei più fondamentali in matematica. L'insieme è definito da una qualche proprietà (“attributo”) A, che ogni oggetto in esame deve avere o non avere; quegli oggetti che hanno la proprietà A formano un insieme A. Quindi, se consideriamo gli interi e la proprietà di A è "essere primo", allora il corrispondente insieme A consiste di tutti i numeri primi 2, 3, 5, 7, . . .

La teoria matematica degli insiemi procede dal fatto che nuovi insiemi possono essere formati da insiemi con l'aiuto di determinate operazioni (così come nuovi numeri si ottengono dai numeri attraverso le operazioni di addizione e moltiplicazione). Lo studio delle operazioni sugli insiemi è oggetto di "algebra degli insiemi", che ha molto in comune con l'algebra numerica ordinaria, sebbene in qualche modo differisca da essa. Il fatto che i metodi algebrici possano essere applicati allo studio di oggetti non numerici, come gli insiemi, è illustrativo.

ALGEBRA DEGLI INsiemi

mostra una grande generalità delle idee della matematica moderna. Di recente, è diventato chiaro che l'algebra degli insiemi genera Nuovo mondo a molte aree della matematica, ad esempio, la teoria della misura e la teoria della probabilità; è anche utile per sistematizzare concetti matematici e chiarire le loro connessioni logiche.

In quanto segue, indicherò un certo insieme costante di oggetti, la cui natura è indifferente, e che possiamo chiamare l'insieme universale (o l'universo del ragionamento), e

A, B, C, . . . ci saranno alcuni sottoinsiemi di I. Se I è la raccolta di tutti numeri naturali, allora A, diciamo, può denotare l'insieme di tutti i numeri pari, B l'insieme di tutti i numeri dispari, C l'insieme di tutti i numeri primi, ecc. Se I denota l'insieme di tutti i punti sul piano, allora A può essere il insieme di punti all'interno di alcuni poi un cerchio, B - un insieme di punti all'interno di un altro cerchio, ecc. È conveniente per noi includere I stesso come un "sottoinsieme", così come un insieme "vuoto" che non contiene alcun elemento . L'obiettivo perseguito da tale estensione artificiale è di preservare la posizione che ad ogni proprietà di A corrisponda un certo insieme di elementi da I che hanno questa proprietà. Se A è una proprietà universalmente valida, come esemplificato (nel caso dei numeri) dalla proprietà di soddisfare l'uguaglianza banale x = x, allora il corrispondente sottoinsieme di I sarà I stesso, poiché ogni elemento possiede questa proprietà; d'altra parte, se A è una sorta di proprietà internamente contraddittoria (come x 6= x), allora il corrispondente sottoinsieme non contiene alcun elemento, è "vuoto" ed è indicato da un simbolo.

Diciamo che l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B, in breve, "A è in B", oppure "B contiene A" se nell'insieme A non vi è alcun elemento che non sia anche nell'insieme B. Questo relazione corrisponde alla notazione

A B, o B A.

Ad esempio, l'insieme A di tutti gli interi divisibili per 10 è un sottoinsieme dell'insieme B di tutti gli interi divisibili per 5, poiché ogni numero divisibile per 10 è anche divisibile per 5. La relazione A B non esclude la relazione B A. Se e in entrambi i casi, quindi

Ciò significa che ogni elemento di A è anche un elemento di B, e viceversa, in modo che gli insiemi A e B contengano esattamente gli stessi elementi.

La relazione A B tra insiemi per molti aspetti assomiglia alla relazione a 6 b tra numeri. In particolare, notiamo quanto segue

ALGEBRA DEGLI INsiemi

le seguenti proprietà di questo rapporto:

1) A A.

2) Se A B e B A, allora A = B.

3) Se A B e B C, allora A C.

Per questo motivo, la relazione AB viene talvolta definita "relazione d'ordine". La principale differenza tra la relazione in esame e la relazione a 6 b tra numeri è che tra due numeri qualsiasi (reali) dati aeb, almeno una delle relazioni a 6 b o b 6 a è necessariamente svolta, mentre per la relazione A B tra insiemi un'affermazione simile è falsa. Ad esempio, se A è un insieme costituito dai numeri 1, 2, 3,

e B è l'insieme costituito dai numeri 2, 3, 4,

allora non vale né la relazione A B né la relazione B A. Per questo diciamo che i sottoinsiemi A, B, C, . . . gli insiemi I sono "parzialmente ordinati", mentre i numeri reali a, b, c, . . .

formare un insieme "ben ordinato".

Si noti, tra l'altro, che dalla definizione della relazione A B segue che, qualunque sia il sottoinsieme A dell'insieme I,

La proprietà 4) può sembrare alquanto paradossale, ma a ben pensarci corrisponde logicamente strettamente al significato esatto della definizione del segno. Infatti, la sola relazione A verrebbe violata

in nel caso in cui l'insieme vuoto contenesse un elemento che non sarebbe contenuto in A; ma poiché l'insieme vuoto non contiene alcun elemento, questo non può essere, qualunque sia A.

Definiamo ora due operazioni su insiemi che formalmente hanno molte delle proprietà algebriche di addizione e moltiplicazione di numeri, sebbene nel loro contenuto interno siano completamente diverse da queste operazioni aritmetiche. Siano A e B due insiemi. L'unione, o "somma logica", di A e B è intesa come l'insieme costituito da quegli elementi che sono contenuti o in A o in

in B (compresi quegli elementi che sono contenuti sia in A che in B). Questo insieme è indicato con A + B. 1 Per “intersezione” o “prodotto logico” di A e B si intende l'insieme costituito da quegli elementi che sono contenuti sia in A che in B. Tale insieme è indicato con AB.2

Tra le importanti proprietà algebriche delle operazioni A + B e AB, si elencano le seguenti. Il lettore potrà verificarne la validità in base alla definizione delle operazioni stesse:

	LA + (SI + DO) = (LA + SI) + DO. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		LA + (BC) = (LA + B)(LA + C).
	La relazione A B è equivalente a ciascuna delle due relazioni

Controllare tutte queste leggi è una questione della logica più elementare. Ad esempio, la regola 10) afferma che l'insieme degli elementi contenuti in A o in A è solo l'insieme A; regola 12) afferma che l'insieme di quegli elementi che sono contenuti in A e contemporaneamente sono contenuti o in B o in C coincide con l'insieme degli elementi che o sono contenuti contemporaneamente in A e B, oppure sono contenuti contemporaneamente in A e C Il ragionamento logico utilizzato nelle dimostrazioni di questo tipo di regole è convenientemente illustrato se si accetta di rappresentare gli insiemi A, B, C, . . . sotto forma di alcune figure sul piano e staremo molto attenti a non perdere nessuna delle possibilità logiche emergenti quando si tratta della presenza elementi comuni due insiemi o, al contrario, la presenza in un insieme di elementi che non sono contenuti nell'altro.

ALGEBRA DEGLI INsiemi

Il lettore ha indubbiamente attirato l'attenzione sul fatto che le leggi 6), 7), 8), 9) e 12) sono esteriormente identiche alle ben note leggi commutative, associative e distributive dell'algebra ordinaria. Ne consegue che tutte le regole dell'algebra ordinaria che seguono da queste leggi valgono anche nell'algebra degli insiemi. Al contrario, le leggi 10), 11) e 13) non hanno analoghi nell'algebra ordinaria e conferiscono all'algebra degli insiemi una struttura più semplice. Ad esempio, la formula binomiale nell'algebra degli insiemi si riduce all'uguaglianza più semplice

(LA + B)n = (LA + B) · (LA + B) . . . (LA+B) = LA+B,

che segue dalla legge 11). Le leggi 14), 15) e 17) dicono che le proprietà degli insiemi e I in relazione alle operazioni di unione e intersezione di insiemi sono molto simili alle proprietà dei numeri 0 e 1 in relazione alle operazioni delle operazioni numeriche di addizione e moltiplicazione. Ma la legge 16) non ha analoghi nell'algebra numerica.

Resta da definire un'altra operazione nell'algebra degli insiemi. Sia A un sottoinsieme dell'insieme universale I. Allora il complemento di A in I è l'insieme di tutti gli elementi di I che non sono contenuti in A. Per questo insieme introduciamo la notazione A0 . Quindi, se I è l'insieme di tutti i numeri naturali e A è l'insieme di tutti i numeri primi, allora A0 è l'insieme di tutti numeri composti e il numero 1. L'operazione di transizione da A ad A0 , che non ha analoghi nell'algebra ordinaria, ha le seguenti proprietà:

	A + A0 = Io.		AA0 = .
	0 = io.		io = .

23) LA 00 = LA.

24) La relazione A B è equivalente alla relazione B 0 LA0 .

25) (LA + B)0 = LA0 B0 . 26) (AB)0 = LA0 + B0 .

Lasciamo nuovamente al lettore la verifica di queste proprietà.

Le leggi 1)–26) sono alla base dell'algebra degli insiemi. Hanno la straordinaria proprietà di "dualità" nel senso seguente:

Se in una delle leggi 1)–26) sostituiamo la corrispondente

(in ciascuna delle loro occorrenze), allora il risultato è di nuovo una delle stesse leggi. Ad esempio, la legge 6) entra nella legge 7), 12) - in 13), 17) - in 16), ecc. Ne consegue che ogni teorema che può essere derivato dalle leggi 1)–26) corrisponde a un altro, il teorema "duale" ad esso, che si ottiene dal primo per mezzo delle indicate permutazioni di simboli. Infatti, poiché la prova

cap. II ALGEBRA DEGLI INSERTI 139

del primo teorema consiste in una successiva applicazione (a vari stadi del ragionamento) di alcune delle leggi 1–26), quindi l'applicazione delle leggi "dual" agli stadi corrispondenti costituirà una dimostrazione del teorema "duale" . (Per una simile "dualità" in geometria, vedere il Capitolo IV.)

2. Applicazione alla logica matematica. La verifica delle leggi dell'algebra degli insiemi si è basata sull'analisi del significato logico della relazione A B e delle operazioni A + B, AB e A0 . Possiamo ora invertire questo processo e considerare le leggi 1)–26) come base per "l'algebra della logica". Diciamo più precisamente: quella parte della logica che riguarda gli insiemi, o, che è essenzialmente la stessa, le proprietà degli oggetti in esame, si può ridurre a un sistema algebrico formale basato sulle leggi 1)–26). L'"universo condizionale" logico definisce l'insieme I; ogni proprietà di A definisce un insieme A costituito da quegli oggetti in I che hanno quella proprietà. Le regole per tradurre la terminologia logica ordinaria in un linguaggio definito sono chiare da

i seguenti esempi:
"Nè a nè B"			(A + B)0 , o, che è lo stesso, A0 B0
"Non è vero che sia A che B"			(AB)0 , o, che è lo stesso, A0 + B0
è B", o
"Se A, allora B"
"Da A segue B"
"Alcuni A è B"
"No A è B"			AB=
"Alcuni A non sono B"			AB0 6=
"Non c'è A"

In termini di algebra degli insiemi, il sillogismo "Barbara", che significa "se ogni A è una B e ogni B è una C, allora ogni A è una C", assume una forma semplice:

3) Se A B e B C, allora A C.

Allo stesso modo, la "legge di contraddizione", affermando che "un oggetto non può avere e non avere contemporaneamente una proprietà", è scritta come:

20) AA 0 = ,

un "la legge del terzo escluso", che dice che "un oggetto deve avere o non avere qualche proprietà" è scritto:

19) LA + LA 0 = IO.

ALGEBRA DEGLI INsiemi

Pertanto, quella parte della logica, che è esprimibile in termini di simboli, +, · e 0 , può essere trattata come un sistema algebrico formale, soggetto alle leggi 1)–26). Sulla base della fusione dell'analisi logica della matematica e dell'analisi matematica della logica, è stata creata una nuova disciplina: la logica matematica, che è attualmente in rapido sviluppo.

Da un punto di vista assiomatico, il fatto notevole che gli enunciati 1)–26), insieme a tutti gli altri teoremi dell'algebra degli insiemi, possono essere logicamente dedotti dalle seguenti tre uguaglianze:

27) LA+B = B+LA,

(LA + B) + C = LA + (SI + C),

(LA0 + B0 )0 + (LA0 + B)0 = LA.

Ne consegue che l'algebra degli insiemi può essere costruita come una teoria puramente deduttiva, come la geometria euclidea, sulla base di queste tre proposizioni prese come assiomi. Se questi assiomi sono accettati, allora l'operazione AB e la relazione A B sono definite in termini di A + B e A0 :

	denota l'insieme (A0 + B0 )0 ,
	B significa che A + B = B.

Un esempio completamente diverso di sistema matematico in cui sono soddisfatte tutte le leggi formali dell'algebra degli insiemi è dato dal sistema di otto numeri 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: qui a + b denota , di

per definizione, il minimo comune multiplo di aeb, ab è il massimo comun divisore di aeb, a b è l'affermazione "b è divisibile per a", e a0 è il numero 30 a . Su-

L'esistenza di tali esempi ha portato allo studio di sistemi algebrici generali che soddisfano le leggi 27). Tali sistemi sono chiamati "algebre booleane" in onore di George Boole (1815–1864), un matematico e logico inglese, il cui libro Un'indagine sulle leggi del pensiero apparve nel 1854.

3. Una delle applicazioni alla teoria della probabilità. L'algebra degli insiemi è strettamente correlata alla teoria della probabilità e ti consente di guardarla sotto una nuova luce. Consideriamo l'esempio più semplice: immaginiamo un esperimento con un numero finito di possibili risultati, tutti pensati come "ugualmente possibili". Un esperimento potrebbe, ad esempio, consistere nel pescare una carta a caso da un mazzo completo ben mischiato. Se indichiamo l'insieme di tutti i risultati dell'esperimento con I, e A denota un sottoinsieme di I, allora la probabilità che il risultato dell'esperimento appartenga al sottoinsieme A è definita come il rapporto

p(A) = numero di elementi di A . numero di elementi I

ALGEBRA DEGLI INsiemi

Se accettiamo di denotare il numero di elementi in un insieme A con n(A), allora l'ultima uguaglianza può assumere la forma

Nel nostro esempio, supponendo che A sia un sottoinsieme di fiori, otteniamo
n(A) = 13, n(I) = 52 e p(A) =

Le idee dell'algebra degli insiemi si trovano nel calcolo delle probabilità quando è necessario, conoscendo le probabilità di alcuni insiemi, calcolare le probabilità di altri. Ad esempio, date le probabilità p(A), p(B) e p(AB), possiamo calcolare la probabilità p(A + B):

p(LA + B) = p(LA) + p(B) − p(AB).

Non sarà difficile dimostrarlo. abbiamo

n(LA + B) = n(LA) + n(B) − n(AB),

poiché gli elementi contenuti contemporaneamente in A e B, cioè gli elementi di AB, vengono contati due volte nel calcolo della somma n(A) + n(B), e quindi bisogna sottrarre n(AB) da questa somma in l'ordine per calcolare n(A + B) è stato prodotto correttamente. Quindi dividendo entrambi i membri dell'uguaglianza per n(I), otteniamo la relazione (2).

Una formula più interessante si ottiene se parliamo di tre insiemi A, B, C da I. Usando la relazione (2), abbiamo

p(LA + B + C) = p[(LA + B) + C] = p(LA + B) + p(C) − p[(LA + B)C].

La legge (12) del paragrafo precedente ci dà (A + B)C = AC + BC. Ciò implica:

p[(LA + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Sostituendo il valore p[(A + B)C] e il valore p(A + B) preso da (2) nella relazione ottenuta in precedenza, arriviamo alla formula di cui abbiamo bisogno:

p(LA + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

A titolo di esempio, considera il seguente esperimento. Tre numeri 1, 2, 3 sono scritti in qualsiasi ordine. Qual è la probabilità che almeno una delle cifre sia nella posizione corretta (in termini di numerazione)? Sia A l'insieme di permutazioni in cui il numero 1 è al primo posto, B è l'insieme di permutazioni in cui il numero 2 è al secondo posto, C è l'insieme di permutazioni in cui il numero 3 è al terzo posto. Dobbiamo calcolare p(A + B + C). È chiaro che

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

infatti, se una cifra è al posto giusto, allora ci sono due possibilità per riordinare le restanti due cifre su un totale di 3 · 2 · 1 = 6 possibili permutazioni delle tre cifre. Ulteriore,

Un esercizio. Ricavare la formula appropriata per p(A + B + C + D) e applicarla a un esperimento che coinvolgerà 4 cifre. La probabilità corrispondente è 5 8 = 0,6250.

La formula generale per l'unione di n insiemi è

p(LA1 + LA2 + . . . + An ) =
	p(Ai ) -
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(LA1 LA2 . . . An ), (4)
dove simboli				denotare la somma di tutto il possibile

combinazioni contenenti uno, due, tre, . . . , (n − 1) lettere da A1 , A2 , . . .

un. Questa formula può essere stabilita per induzione matematica, proprio come la formula (3) è stata derivata dalla formula (2).

Dalla formula (4) possiamo concludere che se n cifre sono 1, 2, 3, . . . , n sono scritti in qualsiasi ordine, allora la probabilità che almeno una delle cifre sia al posto corretto è uguale a

pn = 1

dove l'ultimo termine è preceduto da un segno + o −, a seconda che n sia pari o dispari. In particolare, per n = 5 tale probabilità è uguale a

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

Nel Capitolo VIII vedremo che come n va all'infinito, l'espressione

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! -. . . ±n!

tende al limite 1 e , il cui valore, con cinque cifre decimali,

è uguale a 0,36788. Poiché dalla formula (5) risulta chiaro che pn = 1 − Sn, ne consegue che come n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Ilya Shchurov

Il matematico Ilya Shchurov sulle frazioni decimali, la trascendenza e l'irrazionalità di Pi.

In che modo l'"uno" aiutò a costruire le prime città e i grandi imperi? In che modo hai ispirato le menti eccezionali dell'umanità? Che ruolo ha giocato nell'emergere del denaro? Come "uno" unito allo zero per governare mondo moderno? La storia dell'unità è indissolubilmente legata alla storia della civiltà europea. Terry Jones intraprende un viaggio umoristico per ricostruire la nostra incredibile storia numero primo. Con l'aiuto della computer grafica in questo programma, l'unità prende vita in vari modi. Dalla storia dell'unità, diventa chiaro da dove provengono i numeri moderni e come l'invenzione dello zero ci ha salvato dal dover usare oggi i numeri romani.

Giacomo Cesiano

Sappiamo poco di Diofanto. Sembra che abbia vissuto ad Alessandria. Nessun matematico greco lo menziona prima del 4° secolo, quindi probabilmente visse a metà del 3° secolo. L'opera più importante di Diofanto, "Aritmetica" (Ἀριθμητικά), ebbe luogo all'inizio di 13 "libri" (βιβλία), cioè capitoli. Ne abbiamo oggi 10, ovvero: 6 nel testo greco e altri 4 nella traduzione araba medievale, il cui posto è al centro dei libri greci: libri I-III in greco, IV-VII in arabo, VIII-X in greco. "Aritmetica" di Diofanto è principalmente una raccolta di problemi, in totale circa 260. In verità, non esiste una teoria; ci sono solo istruzioni generali nell'introduzione del libro e osservazioni specifiche in alcuni problemi quando necessario. "Aritmetica" ha già le caratteristiche di un trattato algebrico. In primo luogo Diofanto gode segni diversi, per esprimere l'ignoto ei suoi poteri, anche alcuni calcoli; come tutto il simbolismo algebrico del Medioevo, il suo simbolismo deriva da parole matematiche. Quindi, Diofanto spiega come risolvere il problema in modo algebrico. Ma i problemi di Diofantino non sono algebrici nel senso comune, perché quasi tutti si riducono a risolvere un'equazione indefinita o sistemi di tali equazioni.

Giorgio Shabat

Programma del corso: Storia. Prime valutazioni. Il problema della commensurabilità della circonferenza di un cerchio con il suo diametro. Serie infinita, prodotti e altre espressioni per π. La convergenza e la sua qualità. Espressioni contenenti π. Successioni che convergono rapidamente a π. Metodi moderni calcolare π, usando i computer. Sull'irrazionalità e trascendenza di π e di alcuni altri numeri. Non è richiesta alcuna conoscenza preliminare per comprendere il corso.

Studiosi dell'Università di Oxford hanno affermato che il primo uso noto del numero 0 per indicare l'assenza di un valore posizionale (come nel numero 101) dovrebbe essere considerato il testo del manoscritto indiano Bakhshali.

Vasily Pispanen

Chi non ha giocato al gioco "indicare il numero più grande" da bambino? È già difficile immaginare milioni, trilioni e altri "-on" nella mente, ma cercheremo di distinguere il "mastodonte" in matematica: il numero di Graham.

Victor Kleptsyn

Un numero reale può essere arbitrariamente approssimato con precisione da numeri razionali. E quanto può essere buona tale approssimazione rispetto alla sua complessità? Ad esempio, rompendo la notazione decimale del numero x at k-esima cifra dopo la virgola si ottiene l'approssimazione x≈a/10^k con un errore dell'ordine di 1/10^k. E in generale, fissando il denominatore q della frazione approssimante, possiamo sicuramente ottenere un'approssimazione con un errore dell'ordine di 1/q. E si può fare meglio? L'approssimazione familiare π≈22/7 dà un errore dell'ordine di 1/1000, che è chiaramente molto migliore di quanto ci si potrebbe aspettare. E perché? Siamo fortunati che π abbia una tale approssimazione? Si scopre che per ogni numero irrazionale esistono infinite frazioni p/q che lo approssimano meglio di 1/q^2. Questo è ciò che afferma il teorema di Dirichlet - e inizieremo il corso con una dimostrazione leggermente non standard di esso.

Nel 1980, il Guinness dei primati ripeté le affermazioni di Gardner, alimentando ulteriormente l'interesse pubblico per questo numero. Il numero di Graham è un numero inimmaginabile di volte più grande di altri ben noti grandi numeri, come il googol, il googolplex e anche più del numero di Skewes e del numero di Moser. In effetti, l'intero universo osservabile è troppo piccolo per contenere l'ordinaria rappresentazione decimale del numero di Graham.

Dmitrij Anosov

Le lezioni sono lette da Anosov Dmitry Viktorovich, dottore in scienze fisiche e matematiche, professore, accademico dell'Accademia delle scienze russa. Scuola estiva"La matematica moderna", Dubna. 16-18 luglio 2002

È impossibile rispondere correttamente a questa domanda perché serie numerica non ha limite superiore. Quindi, a qualsiasi numero, basta aggiungerne uno per ottenere un numero ancora più grande. Sebbene i numeri stessi siano infiniti, non hanno molti nomi propri, poiché la maggior parte di essi si accontenta di nomi formati da numeri più piccoli. È chiaro che nell'ultima serie di numeri che l'umanità ha assegnato con il proprio nome, devono essercene alcuni numero più grande. Ma come si chiama e a cosa corrisponde? Proviamo a capirlo e allo stesso tempo scopriamo come sono venuti fuori i matematici dei grandi numeri.

Sulla linea reale, oltre ai numeri algebrici, c'è un altro insieme, la cui cardinalità coincide con la cardinalità dell'intera linea: questo è l'insieme dei numeri trascendentali.

Definizione 6 : Viene chiamato un numero non algebrico trascendente, cioè un numero trascendentale (lat. trascendere - passare, superare) - questo è un reale o numero complesso, che non può essere una radice di un polinomio (non identico a zero) con coefficienti razionali

Proprietà dei numeri trascendenti:

· L'insieme dei numeri trascendentali è continuo.

Ogni trascendentale numero realeè irrazionale, ma non è vero il contrario. Ad esempio, un numero è irrazionale, ma non trascendente: è la radice di un polinomio (e quindi è algebrico).

· L'ordine sull'insieme dei numeri trascendentali reali è isomorfo all'ordine sull'insieme dei numeri irrazionali.

· La misura dell'irrazionalità di quasi tutti i numeri trascendentali è uguale a 2.

L'esistenza dei numeri trascendentali fu dimostrata per la prima volta da Liouville. La dimostrazione di Laouville dell'esistenza dei numeri trascendentali è efficace; sulla base del seguente teorema, che è una diretta conseguenza del Teorema 5, si costruiscono esempi concreti di numeri trascendentali.

Teorema 6 [3, pagina 54].: Lascia stare è un numero reale Se per qualsiasi naturale n 1 e qualsiasi reale c>0, esiste almeno una frazione razionale tale che (11), allora è un numero trascendentale.

Prova: Se fosse algebrico, allora ci sarebbe (Teorema 5) un intero positivo n e valido c>0 tale che per qualsiasi frazione sarebbe, e questo contraddice il fatto che (11) ha luogo. L'ipotesi che numero algebrico, cioè numero trascendente. Il teorema è stato dimostrato.

Numeri per cui, per qualsiasi n 1 e c>0 disuguaglianza (11) ha una soluzione in numeri interi un e b sono detti numeri trascendentali di Liouville.

Ora abbiamo una struttura per costruire numeri reali non algebrici. È necessario costruire un numero che consenta approssimazioni arbitrarie ordine elevato.

Esempio:

unè un numero trascendentale.

Prendi reale arbitrario n 1 e c>0. Lascia dove K scelto così grande che kn, poi

Dal momento che per arbitrario n 1 e c>0, puoi trovare una frazione tale che allora sia un numero trascendentale.

Imposta il numero su infinito frazione decimale: dove

Quindi, per qualsiasi luogo, . Quindi, e questo significa che ammette approssimazioni di ordine arbitrariamente alto e quindi non può essere algebrico.

Nel 1873 Sh. Hermit dimostrò la trascendenza del numero e, basi dei logaritmi naturali.

Per dimostrare la trascendenza di un numero e sono richiesti due lemmi.

Lemma 1. Se un g(X) è un polinomio con coefficienti interi, quindi per qualsiasi KN tutti i coefficienti K- oh derivato g (K) (X) sono divisi in K!.

Prova. Dal momento che l'operatore d/dx lineare, allora basta verificare l'asserzione del lemma solo per polinomi della forma g(X)=X S , S 0.

Se un K>S, poi g (K) (X)=0 e K!|0.

Se un K< s , poi

il coefficiente binomiale è un intero e g(K) ( X) è nuovamente divisibile per K! completamente.

Lemma 2 (Identità dell'eremita) . Lascia stare f(X) è un polinomio di grado arbitrario K con coefficienti reali,

F( X)=f(X)+f" (X)+f"(X)+ … +f (K) (X) è la somma di tutte le sue derivate. Quindi per qualsiasi cosa reale (e anche complessa, ma non ne avremo ancora bisogno) X fatto:

Prova. Integrazione per parti:

L'integrale è di nuovo integrato da parti, e così via. Ripetendo questa procedura K+1 volte, otteniamo:

Teorema 7 (Eremita, 1873). Numero e trascendente.

Prova. Proviamo questa affermazione per assurdo. Assumiamo che e - numero algebrico, gradi m. Quindi

un m e m + … +un 1 e+un 0 =0

per alcuni naturale m e un po' intero un m ,… un 1 , un 0. Sostituiamo nell'identità eremita (12) invece di X numero intero K che assume valori da 0 a m; moltiplica ogni equazione

rispettivamente acceso un K e poi sommali tutti. Noi abbiamo:

Poiché (questo è il nostro brutto presupposto), risulta che per qualsiasi polinomio f(X) l'uguaglianza deve essere soddisfatta:

Con un'opportuna scelta del polinomio f(X) possiamo rendere il lato sinistro di (13) un intero diverso da zero, mentre il lato destro sarà compreso tra zero e uno.

Si consideri un polinomio dove n definire dopo ( nN, e n larga).

Il numero 0 è la radice della molteplicità n-1 polinomio f(X), numeri 1, 2,…, m- radici di molteplicità n, quindi:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0)=(-1) mn (m!) n

f (l) (K)=0, l=0,1, …, n-1; K=1,2,…, m

Considera g( X)=X n-1 (X-1) n (X-2) n … (x-m) n è un polinomio simile a f(X), ma con coefficienti interi. Per il Lemma 1, i coefficienti g ( l) (X) sono numeri interi divisibili per l!, quindi, quando l< n , la derivata g ( l) (X) tutti i coefficienti sono numeri interi divisibili per n, perché g( l) (X) si ottiene da g (l) ( X) dividendo solo per ( n-uno)!. Ecco perché

dove MAè un numero intero adatto e sopra il segno di somma c'è il numero ( m+1) n-1 - grado polinomiale f(X) e, sebbene sia possibile sommare all'infinito, le derivate diverse da zero di y f(X) è esattamente così.

Allo stesso modo

dove B K- numeri interi adatti, K = 1, 2,…, m.

Lascia ora nN - qualsiasi numero intero che soddisfi le condizioni:

Considera ancora l'uguaglianza (13):

Nella somma a sinistra, tutti i termini sono interi e un K F(K) A K = 1, 2,…, m diviso per n, un un 0 F(0) acceso n non condivide. Ciò significa che l'intera somma, essendo un intero, n non condivide, cioè non è nullo. Quindi,

Stimiamo ora il lato destro dell'uguaglianza (13). È chiaro che sul segmento e quindi su questo segmento

dove sono le costanti C 0 e C 1 non dipendono n. È risaputo che

Pertanto, per sufficientemente grande n, il lato destro di (13) è minore di uno e l'uguaglianza (13) è impossibile.

Nel 1882 Lindemann dimostrò il teorema di trascendenza della potenza e con esponente algebrico diverso da zero, dimostrando così la trascendenza del numero.

Teorema 8 (Lindemann) [3, pagina 58]. Se è un numero algebrico e, allora il numero è trascendentale.

Il teorema di Lindemann permette di costruire numeri trascendentali.

Esempi:

Dal teorema di Lindemann segue, ad esempio, che il numero ln 2 - trascendente, perché 2=es ln 2, e il numero 2 è algebrico, e se il numero ln 2 era algebrico, quindi per il lemma il numero 2 sarebbe un numero trascendentale.

In generale, per qualsiasi algebrica, ln per il teorema di Lindemann è trascendentale. Se trascendente, allora ln non necessariamente un numero trascendentale, ad es. ln e =1

Si scopre che siamo fermi Scuola superiore ha visto molti numeri trascendentali - ln 2,ln 3,ln() eccetera.

Notiamo anche che i numeri della forma sono trascendentali, per qualsiasi numero algebrico diverso da zero (per il teorema di Lindemann-Weierstrass, che è una generalizzazione del teorema di Lindemann). Ad esempio, i numeri sono trascendentali, .

Se è trascendentale, allora, non necessariamente numeri trascendentali, per esempio,

La dimostrazione del teorema di Lindemann può essere effettuata utilizzando l'identità eremita, allo stesso modo in cui è stata dimostrata la trascendenza, con alcune complicazioni nelle trasformazioni. Questo è esattamente come lo stesso Lindemann lo ha dimostrato. E puoi dimostrare questo teorema in un modo diverso, come dice il matematico sovietico A.O. Gelfond, le cui idee portarono a metà del 20° secolo alla soluzione del Settimo Problema di Hilbert.

Nel 1900, al II Congresso Internazionale dei Matematici, Hilbert, tra i problemi da lui formulati, formulò il settimo problema: "Se, è vero che i numeri della forma, dove, sono algebrici e sono numeri irrazionalmente trascendentali?" . Questo problema fu risolto nel 1934 da Gelfond, che dimostrò che tutti questi numeri sono effettivamente trascendentali.

Prova della trascendenza dei significati funzione esponenziale, proposto da Gelfond, si basa sulla domanda metodi di interpolazione.

Esempi:

1) Sulla base del teorema di Gelfond, si può dimostrare, ad esempio, che un numero è trascendentale, perché se fosse algebrico irrazionale, allora, poiché il numero 19 secondo il teorema di Gelfond sarebbe trascendentale, il che non è vero.

2) Lascia un e b- ir numeri razionali. Può un numero un b essere razionale?

Naturalmente, utilizzando il settimo problema di Hilbert, questo problema non è difficile da risolvere. In effetti, il numero è trascendente (perché è un numero irrazionale algebrico). Ma tutti i numeri razionali sono algebrici, quindi - irrazionali. Dall'altro lato,

Quindi, abbiamo appena presentato questi numeri:, Tuttavia, questo problema può essere risolto anche senza alcun riferimento al risultato di Gelfond. Possiamo ragionare come segue: considera un numero. Se questo numero è razionale, allora il problema è risolto, tale un e b trovato. Se è irrazionale, allora prendiamo e.

Quindi, abbiamo presentato due coppie di numeri un e b, tale che una di queste coppie soddisfa la condizione, ma non sa quale. Ma dopotutto, non era necessario presentare una coppia del genere! Quindi, questa soluzione è, in un certo senso, un teorema di esistenza.

La parola "trascendentale" è solitamente associata alla meditazione trascendentale ea vari esoterismi. Ma per usarlo correttamente, è necessario almeno distinguerlo dal termine "trascendentale" e, al massimo, ricordarne il ruolo nelle opere di Kant e di altri filosofi.

Questo concetto deriva dal latino trascendens - "trascendere", "superiore", "andare oltre". In generale, denota qualcosa che è fondamentalmente inaccessibile alla conoscenza empirica o non è basato sull'esperienza. I presupposti per il termine sorsero nella filosofia del neoplatonismo - il fondatore della direzione Plotino creò la dottrina dell'Uno - l'origine del tutto buona, che non può essere conosciuta né con lo sforzo del pensiero né con l'aiuto dell'esperienza sensoriale. “L'Uno non è un essere, ma il suo genitore”, spiega il filosofo.

Il termine "trascendentale" è stato divulgato in modo più completo nella filosofia di Immanuel Kant, dove è stato utilizzato per caratterizzare coloro che esistono indipendentemente dalla coscienza e agiscono sui nostri sensi, pur rimanendo fondamentalmente inconoscibili, sia in pratica che in teoria. L'opposto della trascendenza è -: significa o l'inalienabilità, la connessione interna di una qualche qualità dell'oggetto con l'oggetto stesso, o la conoscibilità dell'oggetto su esperienza personale. Ad esempio, se assumiamo che l'Universo sia stato creato secondo un piano superiore, il piano stesso è trascendente per noi - possiamo solo ipotizzarlo. Ma se questo disegno esiste davvero, le sue conseguenze sono immanenti per noi, manifestandosi in leggi fisiche e le circostanze in cui ci troviamo. Pertanto, in alcuni concetti teologici, Dio è trascendente ed è al di fuori dell'essere da lui creato.

Alcune cose in sé sono ancora accessibili alla conoscenza a priori: per esempio, lo spazio e il tempo, le idee di Dio, la bontà e la bellezza, le categorie logiche. Cioè, gli oggetti trascendentali sono, in senso figurato, "preimpostati per impostazione predefinita" nella nostra mente

Il concetto di trascendenza esiste anche in matematica: un numero trascendentale è un numero che non può essere calcolato tramite l'algebra o espresso algebricamente (cioè non può essere la radice di un polinomio a coefficienti interi che non sia identico a zero). Questi includono, ad esempio, i numeri π ed e.

Un concetto vicino a "trascendentale", ma diverso nel significato - "trascendentale". Inizialmente denotava semplicemente l'area delle categorie mentali astratte, e in seguito Kant la sviluppò, cadendo nella sua stessa trappola: si rivelò impossibile costruire un sistema filosofico solo su dati empirici e non riconobbe altre fonti di esperienza oltre all'empirismo. Per uscirne, il filosofo ha dovuto ammettere che alcune cose in sé sono ancora accessibili alla conoscenza a priori: per esempio, lo spazio e il tempo, le idee di Dio, il bene e il bello, le categorie logiche. Cioè, gli oggetti trascendentali sono, in senso figurato, "preimpostati per impostazione predefinita" nella nostra mente - mentre le informazioni su di essi esistono da sole e non derivano dalla nostra esperienza.

C'è un altro concetto correlato: la trascendenza. In senso lato, significa il passaggio di confine tra due aree eterogenee, in particolare il passaggio dalla sfera di questo mondo alla sfera dell'altro mondo, il trascendente. Per semplicità, prendiamo un esempio dalla fantascienza: un mondo parallelo per una persona comune è un fenomeno trascendentale. Ma quando l'eroe entra in questo mondo parallelo o è in qualche modo in grado di percepirlo, questa è trascendenza. O più esempio complesso dalla filosofia esistenziale: Jean-Paul Sartre credeva che l'uomo sia trascendente perché va oltre ogni possibile esperienza propria: possiamo studiare noi stessi e il mondo da diverse parti, ma non ci avvicineremo mai nemmeno alla conoscenza completa di noi stessi. Ma allo stesso tempo, una persona ha la capacità di trascendere: trascende qualsiasi cosa, dandole un significato. La trascendenza è anche un elemento importante nella religione: aiuta una persona a liberarsi dalla sua natura materiale ea toccare qualcosa al di là.

Dalla filosofia, il concetto di trascendentalità è migrato alla psicologia: lo psicologo svizzero Carl Jung ha introdotto il concetto di "funzione trascendentale" - questa è una funzione che unisce il conscio e l'inconscio. In particolare, uno psicoanalista può svolgere una funzione trascendentale: aiuta il paziente ad analizzare le immagini dell'inconscio (ad esempio i sogni) e le collega insieme ai processi consci nella sua psiche.

Come dire

Errato "Mi sono iscritto a un corso di Meditazione Trascendentale". Esatto - "trascendentale".

Giusto "Quando entro nel tempio, provo la sensazione di fondermi con qualcosa di trascendentale".

Esatto, "l'arte trascende gli oggetti a noi familiari dal mondo materiale, riempiendoli di un significato superiore".