Formule di interpolazione di Newton. Le formule di interpolazione di Newton Esempi di interpolazione del metodo di Newton

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Mosca Università Statale Strumentazione e Informatica Filiale Sergiev Posad

Abstract sull'argomento:

Formule di interpolazione di Newton

Completato da: Brevchik Taisiya Yurievna

Studente del 2° anno del gruppo EF-2

1. Introduzione

2. La prima formula di interpolazione di Newton

3. Seconda formula di interpolazione di Newton

Conclusione

Bibliografia

introduzione

Interpolazione, interpolazione - nella matematica computazionale, un modo per trovare valori intermedi di una quantità da un insieme discreto esistente di valori noti.

Molti di coloro che si occupano di calcoli scientifici e ingegneristici devono spesso lavorare con insiemi di valori ottenuti empiricamente o mediante campionamento casuale. Di norma, sulla base di questi insiemi, è necessario costruire una funzione su cui altri valori ottenuti possano cadere con elevata precisione. Tale compito è chiamato approssimazione. L'interpolazione è un tipo di approssimazione in cui la curva della funzione costruita passa esattamente attraverso i punti dati disponibili.

C'è anche un problema vicino all'interpolazione, che consiste nell'approssimarne alcuni funzione complessa un'altra funzione più semplice. Se una determinata funzione è troppo complessa per calcoli produttivi, puoi provare a calcolarne il valore in più punti e costruire, ovvero interpolare, una funzione più semplice da essi.

Ovviamente, l'utilizzo di una funzione semplificata non consente di ottenere gli stessi risultati esatti che darebbe la funzione originale. Ma in alcune classi di problemi, il guadagno in semplicità e velocità di calcolo può superare l'errore risultante nei risultati.

Dovremmo anche menzionare un tipo completamente diverso di interpolazione matematica, nota come "interpolazione operatore".

I classici lavori sull'interpolazione degli operatori includono il teorema di Riesz-Thorin e il teorema di Marcinkiewicz, che sono alla base di molti altri lavori.

Considera un sistema di punti non coincidenti () da una certa area. Lascia che i valori della funzione siano noti solo in questi punti:

Il problema dell'interpolazione è trovare una tale funzione da una data classe di funzioni che

I punti sono chiamati nodi di interpolazione e la loro totalità è chiamata griglia di interpolazione.

Le coppie sono chiamate punti dati o punti base.

La differenza tra i valori "adiacenti" è il passaggio della griglia di interpolazione. Può essere sia variabile che costante.

Una funzione è una funzione di interpolazione o un interpolante.

1. La prima formula di interpolazione di Newton

1. Descrizione del compito. Si forniscano i valori per i valori equidistanti della variabile indipendente per la funzione: , dove - passo di interpolazione. È necessario scegliere al massimo un polinomio di grado, prendendo i valori nei punti

Le condizioni (1) sono equivalenti a

Polinomio di interpolazione di Newton sembra:

È facile vedere che il polinomio (2) soddisfa completamente i requisiti del problema. Infatti, in primo luogo, il grado del polinomio non è superiore e, in secondo luogo,

Si noti che in , la formula (2) si trasforma in una serie di Taylor per la funzione:

Per uso pratico La formula di interpolazione di Newton (2) è solitamente scritta in una forma alquanto trasformata. Per fare ciò, introduciamo una nuova variabile secondo la formula; quindi otteniamo:

dove rappresenta numero di passaggi necessario per raggiungere il punto, venendo dal punto. Questo è lo sguardo finale Formula di interpolazione di Newton.

La formula (3) è vantaggiosa da usare per interpolare la funzione in prossimità del valore iniziale , dove è piccolo in valore assoluto.

Se viene fornita una tabella illimitata di valori di funzione, il numero nella formula di interpolazione (3) può essere qualsiasi numero. In pratica, in questo caso, il numero viene scelto in modo che la differenza sia costante con un certo grado di accuratezza. Qualsiasi valore di tabella dell'argomento può essere preso come valore iniziale.

Se la tabella dei valori delle funzioni è finita, il numero è limitato, ovvero: non può essere più numero valori della funzione, ridotti di uno.

Si noti che quando si applica la prima formula di interpolazione di Newton, è conveniente utilizzare una tabella orizzontale delle differenze, da allora valori desiderati le differenze di funzione sono nella corrispondente linea orizzontale della tabella.

2. Esempio. Facendo un passo, costruisci un polinomio di interpolazione di Newton per la funzione data dalla tabella

Il polinomio risultante permette di predire. Si ottiene una precisione sufficiente quando si risolve un problema di interpolazione, ad esempio, La precisione diminuisce quando si risolve un problema di estrapolazione, ad esempio .

2. Seconda formula di interpolazione di Newton

La prima formula di interpolazione di Newton è praticamente scomoda per interpolare una funzione vicino ai nodi della tabella. In questo caso, di solito lo è .

Descrizione del compito . Diamo una sequenza di valori di funzione

per valori equidistanti dell'argomento, dov'è il passo di interpolazione. Costruiamo un polinomio della seguente forma:

oppure, usando la potenza generalizzata, otteniamo:

Quindi, quando l'uguaglianza è soddisfatta, otteniamo

Sostituiamo questi valori nella formula (1). Poi, finalmente, Seconda formula di interpolazione di Newton sembra:

Introduciamo una notazione più conveniente per la formula (2). Lascia allora

Sostituendo questi valori nella formula (2), otteniamo:

Questo è l'aspetto normale Seconda formula di interpolazione di Newton. Per un calcolo approssimativo dei valori della funzione si assume:

Sia la prima che la seconda formula di interpolazione di Newton possono essere utilizzate per estrapolare una funzione, ovvero per trovare valori di funzione per valori di argomento che si trovano al di fuori della tabella.

Se e è vicino a, allora è vantaggioso usare la prima formula di interpolazione di Newton, e poi. Se e è vicino a, allora è più conveniente usare la seconda formula di interpolazione di Newton, inoltre.

Quindi la prima formula di interpolazione di Newton è comunemente usata per interpolazione in avanti e estrapolando indietro, e la seconda formula di interpolazione di Newton, al contrario, per interpolazione indietro e estrapolazione in avanti.

Si noti che l'operazione di estrapolazione è, in generale, meno accurata dell'operazione di interpolazione nel senso stretto della parola.

Esempio. Facendo un passo, costruisci un polinomio di interpolazione di Newton per la funzione data dalla tabella

Conclusione

interpolazione formula di estrapolazione newton

Nella matematica computazionale, l'interpolazione delle funzioni gioca un ruolo essenziale, ad es. costruzione di una data funzione di un'altra (solitamente più semplice), i cui valori coincidono con i valori della data funzione in un certo numero di punti. Inoltre, l'interpolazione ha un significato sia pratico che teorico. In pratica si pone spesso il problema del ripristino funzione continua secondo i suoi valori tabulari, ad esempio, ottenuti nel corso di qualche esperimento. Per calcolare molte funzioni, risulta essere efficiente approssimarle mediante polinomi o funzioni razionali frazionarie. La teoria dell'interpolazione viene utilizzata nella costruzione e nello studio di formule di quadratura per l'integrazione numerica, per ottenere metodi per la risoluzione di equazioni differenziali e integrali.

Bibliografia

1. VV Ivanov. Metodi informatici. Manuale di riferimento. Casa editrice "Naukova Dumka". Kiev. 1986.

2. NS Bakhvalov, NP Zhidkov, GM Kobelkov. Metodi numerici. Casa editrice "Laboratorio delle conoscenze di base". 2003.

3. I.S. Berezin, NP Zhidkov. Metodi di calcolo. ed. FizMatLit. Mosca. 1962.

4. K. De Bor. Una guida pratica alle spline. Casa editrice "Radio e comunicazione". Mosca. 1985.

5. J. Forsyth, M. Malcolm, K. Moler. Metodi macchina di calcoli matematici. Casa editrice "Mir". Mosca. 1980.

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La prima formula di interpolazione di Newton è praticamente scomoda per interpolare una funzione vicino ai nodi della tabella. In questo caso, di solito lo è .

Descrizione del compito . Diamo una sequenza di valori di funzione

per valori equidistanti dell'argomento, dov'è il passo di interpolazione. Costruiamo un polinomio della seguente forma:

oppure, usando la potenza generalizzata, otteniamo:

Quindi, quando l'uguaglianza è soddisfatta, otteniamo

Sostituiamo questi valori nella formula (1). Poi, finalmente, Seconda formula di interpolazione di Newton sembra:

Introduciamo una notazione più conveniente per la formula (2). Lascia allora

Sostituendo questi valori nella formula (2), otteniamo:

Questo è l'aspetto normale Seconda formula di interpolazione di Newton. Per un calcolo approssimativo dei valori della funzione si assume:

Si noti che l'operazione di estrapolazione è, in generale, meno accurata dell'operazione di interpolazione nel senso stretto della parola.

Esempio. Facendo un passo, costruisci un polinomio di interpolazione di Newton per la funzione data dalla tabella

Decisione. Compiliamo una tabella delle differenze (tabella 1). Poiché le differenze del terzo ordine sono praticamente costanti, nella formula (3) poniamo Accettando avremo:

Questo è il polinomio di interpolazione di Newton desiderato.

Tabella 1


	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

annotazione

Nota esplicativa tesina"Interpolazione di una funzione di una variabile con il metodo di Newton" contiene un'introduzione, un'analisi del compito con una descrizione dei dati di input e output, una rassegna di fonti letterarie, una descrizione del modello matematico e dei metodi della matematica computazionale, spiegazioni del algoritmo, testo del programma, istruzioni. Durante lo studio della disciplina "Informatica", varie fonti letterarie, elencate in questo documento, sono state utilizzate per scrivere una tesina. Questo lavoro del corso presenta un programma che viene utilizzato per interpolare una funzione tabella data dal metodo di Newton. Ha utilizzato il metodo di programmazione strutturato per semplificare la scrittura e il debug del programma, nonché per aumentarne la visibilità e la leggibilità. Lo scopo della stesura di questo lavoro era di ottenere e consolidare abilità pratiche nello sviluppo di algoritmi con vari metodi. Il programma presentato è implementato nel linguaggio di programmazione Pascal. La nota esplicativa contiene 25 fogli contenenti due figure, il testo del programma e una descrizione del programma e dell'algoritmo.

introduzione

Analisi del lavoro

Modello matematico del problema

Programmazione della funzione della formula di Newton

Articolo di letteratura

Sviluppo di un programma secondo lo schema dell'algoritmo

Istruzioni per l'uso del programma

Testo del programma

Dati iniziali e risultato della risoluzione del test case

Conclusione

Elenco delle fonti utilizzate

introduzione

Sviluppo moderno la fisica e la tecnologia sono strettamente legate all'uso dei computer elettronici (computer). Attualmente, i computer sono diventati apparecchiature comuni di molti istituti e uffici di progettazione. Ciò ha permesso di passare dai più semplici calcoli e valutazioni di varie strutture o processi a una nuova fase di lavoro - dettagliata modellazione matematica(esperimento computazionale), che riduce significativamente la necessità di esperimenti su vasta scala e in alcuni casi può sostituirli.

I problemi computazionali complessi che sorgono nello studio di problemi fisici e tecnici possono essere suddivisi in un certo numero di problemi elementari, come il calcolo di un integrale, la soluzione di un'equazione differenziale, ecc. Molti problemi elementari sono semplici e ben studiati. Sono già stati sviluppati metodi di soluzione numerica per questi problemi e spesso esistono programmi standard per risolverli su un computer. Ci sono anche compiti elementari abbastanza complessi; I metodi per risolvere tali problemi sono ora in fase di sviluppo intensivo.

A questo proposito, uno specialista moderno con istruzione superiore deve avere non solo alto livello formazione nel profilo della loro specialità, ma anche per conoscere bene metodi matematici risolvere problemi di ingegneria, concentrarsi sull'uso informatica, padroneggia praticamente i principi del lavoro su un computer.

Analisi del lavoro

Come dati di input sono stati utilizzati:

1. Numero di nodi.

2. Valori delle funzioni tabulari.

Dati di output, ad es. il risultato del programma è:

1. Valori di una funzione definita da tabella in valori intermedi.

2. Grafico polinomiale.

Modello matematico del problema

Durante l'esecuzione del lavoro del corso, è stato scelto il seguente modello matematico:

Interpolazione e approssimazione di funzioni.

1. Enunciato del problema.

Uno dei problemi principali dell'analisi numerica è il problema dell'interpolazione delle funzioni. Spesso necessita di essere ripristinato

per tutti i valori su un segmento se i suoi valori sono noti in un numero finito di punti di questo segmento. Questi valori possono essere trovati come risultato di osservazioni (misure) in qualche esperimento naturale, o come risultato di calcoli. Inoltre, può risultare che la funzione è data da una formula e il calcolo dei suoi valori usando questa formula è molto laborioso, quindi è desiderabile avere una formula più semplice (meno laboriosa da calcolare) per la funzione ciò consentirebbe di trovare il valore approssimativo della funzione in esame con la precisione richiesta in qualsiasi punto del segmento. Di conseguenza, sorge il seguente problema matematico.

Let e' segmentato

una griglia con

e i suoi nodi contengono i valori della funzione

, uguale.

È necessario costruire un interpolante - una funzione

, in coincidenza con la funzione ai nodi della griglia: .

Lo scopo principale dell'interpolazione è ottenere un algoritmo veloce (economico) per il calcolo dei valori

per valori non contenuti nella tabella dati.

2. Interpolazione secondo Newton

Data una funzione tabella:

io
0
1
2
..	..	..
n

, (1)

Punti con coordinate

sono detti punti nodali o nodi.

Il numero di nodi nella funzione tabella è N=n+1.

È necessario trovare il valore di questa funzione in un punto intermedio, ad esempio

, e . Per risolvere il problema viene utilizzato un polinomio di interpolazione.

Il polinomio di interpolazione secondo la formula di Newton ha la forma:

dove n è il grado del polinomio,

La formula della formula di interpolazione di Newton consente di esprimere il polinomio di interpolazione

attraverso il valore in uno dei nodi e attraverso le differenze divise della funzione costruita sui nodi.

Innanzitutto, diamo le informazioni necessarie sulle differenze divise.

Fai i nodi

i valori delle funzioni sono noti

. Supponiamo che tra i punti , , non ci siano coincidenti. Le differenze divise del primo ordine sono le relazioni , , .

Considereremo le differenze divise composte da nodi vicini, cioè le espressioni

Un metodo di interpolazione abbastanza comune è il metodo di Newton. Il polinomio di interpolazione per questo metodo è:

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0)(x-x 1) + ... + a n (x-x 0)(x-x 1)...(x-x n-1).

Il problema è trovare i coefficienti a i del polinomio P n (x). I coefficienti si trovano dall'equazione:

P n (x io) = y io , io = 0, 1, ..., n,

permettendo di scrivere il sistema:

un 0 + un 1 (x 1 - x 0) = y 1;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) = y 2;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0)(x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n ;

Usiamo il metodo delle differenze finite. Se i nodi x i sono dati a intervalli regolari h, cioè

x io+1 - x io = h,

quindi nel caso generale x i = x 0 + i×h, dove i = 1, 2, ..., n. L'ultima espressione permette di riportare nella forma l'equazione da risolvere

y 1 \u003d a 0 + a 1 × h;

y 2 = a 0 + a 1 (2h) + a 2 (2h)h;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y io = a 0 + a 1 ×i×h + a 2 ×i×h[(i-1)h] + ... + a io ×i!×h io ,

da cui per i coefficienti otteniamo

dove Dу 0 è la prima differenza finita.

Continuando i calcoli, otteniamo:

dove D 2 y 0 è la seconda differenza finita, che è la differenza delle differenze. Il coefficiente a i può essere rappresentato come:

Fornendo i valori trovati dei coefficienti a i ai valori per P n (x), otteniamo il polinomio di interpolazione di Newton:

Trasformiamo la formula, per la quale introduciamo una nuova variabile , dove q è il numero di passi necessari per raggiungere il punto x, spostandoci dal punto x 0 . Dopo le trasformazioni otteniamo:

La formula risultante è nota come prima formula di interpolazione di Newton o formula di Newton per l'interpolazione diretta. È vantaggioso utilizzarlo per interpolare la funzione y = f(x) in prossimità del valore iniziale x – x 0 , dove q è piccolo in valore assoluto.

Se scriviamo il polinomio di interpolazione come:

quindi in modo simile, puoi ottenere la seconda formula di interpolazione di Newton, o la formula di Newton per l'interpolazione "all'indietro":

È comunemente usato per interpolare una funzione vicino alla fine di una tabella.

Nello studio di questo argomento, va ricordato che i polinomi di interpolazione coincidono con data funzione f(x) nei nodi di interpolazione, e in altri punti, nel caso generale, differirà. L'errore indicato ci dà l'errore del metodo. L'errore del metodo di interpolazione è determinato dal termine residuo, che è lo stesso per le formule di Lagrange e Newton e che permette di ottenere la seguente stima dell'errore assoluto:

Se l'interpolazione viene eseguita con lo stesso passaggio, viene modificata la formula per il termine residuo. In particolare, quando si interpola "avanti" e "indietro" secondo la formula di Newton, l'espressione per R(x) è alquanto diversa l'una dall'altra.

Analizzando la formula risultante, si può notare che l'errore R(x) è, fino ad una costante, il prodotto di due fattori, di cui uno, f (n+1) (x), dove x risiede all'interno , dipende da le proprietà della funzione f(x) e non possono essere regolate, ma la grandezza dell'altra,

determinato unicamente dalla scelta dei nodi di interpolazione.

Se la disposizione di questi nodi non riesce, il limite superiore del modulo |R(x)| potrebbe essere abbastanza grande. Si pone quindi il problema della scelta più razionale dei nodi di interpolazione x i (per un dato numero di nodi n) in modo che il polinomio P n+1 (x) abbia il valore più piccolo.

Lezione 4

1. Differenze finite
2. Prima formula di interpolazione
Newton
3. Seconda formula di interpolazione
Newton
4. Errori di interpolazione

Differenze finite del 1° ordine

Se la funzione interpolata y = f(x) è definita in
nodi equidistanti, in modo che xi = x0 + i∙h, dove h è il passo della tabella, e
i = 0, 1, … n, quindi le formule possono essere utilizzate per l'interpolazione
Newton usando le differenze finite.
La differenza finita del primo ordine è la differenza yi
= yi+1 - yi, dove
yi+1= f(xi+h) e yi = f(xi). Per la funzione data
tabulare a (n+1) nodi, i = 0, 1, 2, …, n, differenze finite
il primo ordine può essere calcolato ai punti 0, 1, 2,…, n - 1:
y 0 y1 y 0 ,
y1 y 2 y1,
.......................
yn 1 yn yn 1.

Differenze finite di ordini superiori

Usando differenze finite del primo ordine, si può
ottieni differenze finite del secondo ordine 2yi = yi+1 - yi:
2 y 0 y1 y 0 ;
2 y1 y 2 y1;
..........................
2 y n 2 y n 1 y n 2 .
Le differenze finite del k-esimo ordine al nodo di numero i possono
essere calcolato per differenze (k-1)-esimo ordine:
k yi k 1yi 1k 1yi
Eventuali differenze finite possono essere calcolate attraverso i valori
funzioni nei nodi di interpolazione, ad esempio:
2 y 0 y1 y 0 (y 2 y1) (y1 y 0) y 2 2y1 y 0 .

Tabella delle differenze finite

X
y
Sì
∆2a
∆3 anni
x0
y0 Δy0 = y1 – y0 Δ2y0 = Δy1 – Δy0 Δ3y0 = Δ2y1 – Δ2y0
x1 = x0 + h
y1 Δy1 = y2 – y1 Δ2y1 = Δy2 – Δy1
x2 = x0 + 2h
y2 Δy2 = y3 – y2
x3 = x0 + 3 ore
y3

Per l'entità delle differenze finali, si può
fare
conclusione
di
livello
interpolazione
polinomio,
descrivendo
tabulare
dato
funzione.
Se un
per
tavoli
insieme a
equidistanti
nodi
finale
le differenze di k-esimo ordine sono costanti o
sono commisurati a un dato errore, quindi
La funzione può essere rappresentata da un polinomio
k-esimo grado.

Differenze finite e grado di un polinomio

Si consideri, ad esempio, una tabella alle differenze finite per
polinomio y = x2 – 3x + 2.
0
y
-0.16
2 anni
0.08
3 anni
0
1.2
-0.16
-0.08
0.08
0
1.4
-0.24
0
0.08
1.6
-0.24
0.08
1.8
-0.16
X
y
1.0
Le differenze finite del terzo ordine sono zero e tutto
le differenze finali del secondo ordine sono le stesse e pari a 0,08. Questo è
dice che una funzione data in una tabella può essere
essere rappresentato da un polinomio di 2° grado (risultato atteso,
considerando come si ottiene la tabella).

Sia definita la funzione y = f(x) in n+1 nodi equidistanti xi , i = 0, 1,
2,…n con il passo h. È necessario trovare il polinomio di interpolazione Pn(x)
grado n che soddisfa la condizione:
Pn(xi) = yi, io =0, 1, 2, …,n .
Cercheremo un polinomio di interpolazione nella forma:
Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1),
dove ai, i = 0, 1, 2,…n sono coefficienti sconosciuti che non dipendono dai nodi
interpolazione. Troviamo questi coefficienti dalle condizioni di interpolazione.
Sia x = x0, quindi Pn(x0) = y0 = a0. Pertanto, a0 = y0.
Sia x = x1, quindi Pn(x1) = y1 = a0 + a1(x1 - x0) = y0 + a1(x1 - x0), da cui
a1
y1 y0 y0
.
x1 x0
h
Ora sia x = x2, quindi:
Pn (x 2) y 2 a0 a1(x 2 -x 0) a2 (x 2 -x 0)(x 2 -x1) y 0
si 0
2h a2 2h2.
h
Esprimendo a2 da questa espressione, otteniamo:
y 2 2 y0 y0 y 2 2(y1 y0) y0 y 2 2y1 y 0 2 y 0
a2
.
2h2
2h2
2h2
2h2

La prima formula di interpolazione di Newton

Continuando le sostituzioni, si può ottenere un'espressione per qualsiasi
coefficiente con numero i:
io e 0
ai
,
io! Ciao
io 0,1,...,n.
Sostituendo i valori trovati dei coefficienti nell'espressione originale,
otteniamo la prima formula di interpolazione di Newton:
si0
2 anni
n e 0
Pn (x) y0
(xx0)
(xx0)(xx1) ...
(x x 0)...(x x n 1).
1!h
2!h2
n!h
La formula mostra che utilizza la riga superiore della tabella
differenze finite (diapositiva 4). La formula è anche
aumentando successivamente il grado del polinomio man mano che si aggiunge
termini successivi. Ciò consente di perfezionare il risultato senza
ricalcolo dei termini già presi in considerazione.

La prima formula di interpolazione di Newton

La prima formula di interpolazione di Newton può essere scritta come
più compatto e facile da usare implementazione del software modulo.
Denotando
q
xx0
,
h
x x 0 q
ed eseguire semplici trasformazioni della forma:
x x1 x x 0 h
q1;
h
h
x xn
xx2
q n 1,
q2;.....;
h
h
otteniamo la prima formula di interpolazione di Newton, espressa
rispetto all'incognita q:
n e 0
2 anni
q(q 1)...(q n 1).
q(q1) ...
Pn (x) Pn (x0 hq) y0 y0q
n!
2!

10. La prima formula di interpolazione di Newton

Differenze finite di ordine superiore utilizzate nella formula
Newton, di solito hanno un grande errore associato agli errori
arrotondamento quando si sottraggono valori vicini. Pertanto, il pertinente
anche i termini della formula hanno un grande errore. Diminuire
il loro contributo alla somma, cioè a risultato finale, è necessario eseguire
condizione |q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится
tra i primi due nodi della tabella: x0< x < x1. По этой причине
viene chiamata l'interpolazione usando la prima formula di Newton
interpolazione all'inizio della tabella o interpolazione in avanti.

interpolazione Prende la prima formula di interpolazione di Newton
la vista seguente:
P1(x) y0 y0q.
P2 (x) y 0 y 0 q 2 y 0
q(q1)
.
2

11. Un esempio di utilizzo della prima formula di interpolazione di Newton

come nell'esempio della diapositiva 6. È necessario trovare un approssimativo
il valore della funzione nel punto x = 1,1 per quadratico
interpolazione con la prima formula di Newton.
X
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2 anni 3 anni
0.08 0
0.08 0
0.08
Passo della tabella h = 0,2
q = (x – x0)/h = 0,5
q(q1)
2
0.5(0.5 1)
0 (0.16) 0.5 0.08
0.09
2
P2 (x) y 0 Δy 0 q Δ 2 y 0
Il risultato corrisponde
valore polinomiale
y = x2 – 3x + 2, da cui
tavola ricevuta

12. Schema dell'algoritmo di calcolo della prima formula di interpolazione di Newton

13. Seconda formula di interpolazione di Newton

La seconda formula di Newton ha proprietà simili
rispetto al lato destro della tabella. Per costruirlo, usa
polinomio della forma:
Pn(x) = a0 + a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) + … + an(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1),
dove ai, i = 0, 1, 2, … n sono coefficienti indipendenti dai nodi di interpolazione.
Per determinare i coefficienti ai, lo faremo alternativamente
sostituire i nodi di interpolazione. Per x = xn Pn(xn) = yn, quindi,
a0 = sn.
Per x = xn-1 abbiamo Pn(xn-1) = yn-1 = a0 + a1(xn-1-xn) = yn + a1(xn-1-xn),
dove
a1
yn 1 yn yn 1 yn 1
.
xn 1 xn xn xn 1
h

14. Seconda formula di interpolazione di Newton

Continuando le sostituzioni, otteniamo espressioni per tutti i coefficienti
polinomiale e seconda formula di interpolazione di Newton:
n e 0
yn 1
2 e 2
Pn(x)yn
(xxn)
(xxn)(xxn 1)
(xxn)...(xx1).
2
n
1!h
2!h
n!h
La formula mostra che utilizza la diagonale inferiore della tabella
differenze finite (diapositiva 4). Come nella prima formula di Newton, l'addizione
termini successivi portano ad un aumento successivo del grado
polinomio, che consente di affinare il risultato senza ricalcolare già
termini presi in considerazione.
Introducendo la notazione: q
x xn
,
h
x xn hq
e, fatte semplici trasformazioni, otteniamo la seconda interpolazione
Formula di Newton espressa rispetto alla variabile di sostituzione q:
n e 0
2 e 2
Pn (x) yn yn 1q
q(q1) ...
q(q 1)...(q n 1).
2!
n!

15. Seconda formula di interpolazione di Newton

Per le stesse ragioni del caso della prima formula di Newton, per
per ridurre l'errore di calcolo, è necessario che la condizione
|q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится между
gli ultimi due nodi della tabella: xn-1< x < xn. По этой причине
viene chiamata l'interpolazione usando la seconda formula di Newton
interpolazione alla fine della tabella o interpolazione all'indietro.
Per casi speciali di lineare (n=1) e quadratico (n=2)
interpolazione La seconda formula di interpolazione di Newton prende
la vista seguente:
P1 (x) y n y n 1q
2 e 2
P2 (x) y n y n 1 q
q(q1)
2!

16. Un esempio di utilizzo della seconda formula di interpolazione di Newton

Sia data la funzione interpolata f(x) dalla stessa tabella,
come nell'esempio della diapositiva 11. È necessario trovare un valore approssimativo
valore della funzione al punto x = 1,7 per quadratico
interpolazione con la seconda formula di Newton.
X
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2 anni 3 anni
0.08 0
0.08 0
0.08
Passo della tabella h = 0,2
q = (x – xn)/h = -0,5
Il risultato corrisponde
valore polinomiale
y = x2 - 3x + 2, da
ricevuto
tavolo
q(q1)
2
0.5(0.5 1)
0.16 0.08 (0.5) 0.08
0.21
2
P2 (x) y n Δy n 1 q Δ 2 y n 2

17. Schema dell'algoritmo di calcolo secondo la seconda formula di interpolazione di Newton

18. Errori di interpolazione

Funzione di interpolazione nei punti tra
i nodi di interpolazione sostituiscono l'interpolazione
funzione approssimativamente:
f(x) = F(x) + R(x), dove R(x) è l'errore
interpolazione.
Per stimare l'errore, è necessario avere
bisogno di avere alcune informazioni su
funzione interpolata f(x). Facciamo finta che
f(x) è definito su un segmento contenente tutto
i nodi xi, e per x appartenenti a , ha tutto
derivate f"(x), f""(x), … f(n+1)(x) fino a (n+1)esimo
ordine compreso.

19. Errori di interpolazione

Quindi

20. Selezione dei nodi di interpolazione mediante la formula di Lagrange

Per un grado fisso di un polinomio:
X*
x0
x1
x2
x3
x4
x5
X
Con un successivo aumento di grado
polinomio
X*
x4
x2
x0
x1
x3
x5
X

21. Stima pratica dell'errore di interpolazione mediante la formula di Lagrange

In pratica, valutazione valore massimo derivata della (n+1)esima
ordinare Mn+1 quando si utilizza la formula di Lagrange è raramente possibile,
e quindi utilizzare una stima approssimativa dell'errore
R n (x) f(x) Ln (x) Ln 1 (x) Ln (x) ,
dove n è il numero di nodi utilizzati.
Dalla formula di cui sopra segue che per stimare l'errore
è necessaria l'interpolazione del polinomio di Lagrange dell'ennesimo grado
calcolare inoltre il valore del polinomio (n+1)-esimo grado. Se un
viene dato l'errore di interpolazione consentito, è necessario sommando tutto
nuovi nodi, aumentare il grado del polinomio fino al modulo
differenza tra gli ultimi due valori del polinomio |Ln+1(x)-Ln(x)| non
diventa inferiore al valore impostato.

22. Schema dell'algoritmo di interpolazione secondo la formula di Lagrange con una data accuratezza

23. Stima degli errori nelle formule di interpolazione di Newton

Per interpolazione
assumere la seguente forma.
Prima formula di Newton:
R n (x) h
n 1
formule
Newton
stime
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
2a formula di Newton:
R n (x) h
n 1
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
errori

24. Stima pratica degli errori nelle formule di interpolazione di Newton

Quando si utilizzano le formule di interpolazione di Newton, la quantità
f(n+1)(ξ) può essere approssimativamente stimato dai valori delle differenze finite:
f
(n 1)
n 1
Δy0
() n 1
h
e in questo caso le formule per stimare l'errore acquisiscono quanto segue
Visualizza:
Prima formula di Newton:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!
2a formula di Newton:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!

25. Interpolazione con formule di Newton con una certa precisione

Confrontando queste formule con le formule
Newton, lo si può vedere per stimare
errori di interpolazione polinomiale
All'ennesima potenza, devi prendere un nodo aggiuntivo
e calcolare il termine (n+1)-esimo grado.
Se l'errore consentito è impostato
interpolazione ε, allora è necessario successivamente
aggiungere nuovi nodi e, di conseguenza,
nuovi termini, aumentando il grado
polinomio di interpolazione fino a
finché il termine successivo diventa minore di ε.