E per risolverlo, è necessaria una conoscenza minima dell'argomento. Il prossimo anno accademico sta finendo, tutti vogliono andare in vacanza e per avvicinare questo momento mi metto subito al lavoro:
Cominciamo con la zona. L'area di cui alla condizione è limitato Chiuso insieme di punti nel piano. Ad esempio, un insieme di punti delimitati da un triangolo, incluso l'INTERO triangolo (se da frontiere"Spuntare" almeno un punto, poi l'area non sarà più chiusa). In pratica ci sono anche zone rettangolari, tonde e leggermente di più forme complesse. Va notato che in teoria analisi matematica vengono date definizioni rigorose limitazioni, isolamento, confini, ecc., ma penso che tutti siano a conoscenza di questi concetti a livello intuitivo e ora non è necessario altro.
L'area piatta è normalmente indicata dalla lettera e, di regola, è data analiticamente - da diverse equazioni (non necessariamente lineare); meno spesso disuguaglianze. Un tipico ribaltamento verbale: "area chiusa delimitata da linee".
Parte integrante del compito in esame è la costruzione dell'area sul disegno. Come farlo? È necessario tracciare tutte le linee elencate (in questo caso 3 dritto) e analizzare cosa è successo. L'area desiderata è solitamente leggermente tratteggiata e il suo bordo è evidenziato con una linea in grassetto: 
È possibile impostare la stessa area disuguaglianze lineari: , che per qualche ragione sono scritti più spesso come un elenco di enumerazione e non sistema.
Poiché il confine appartiene alla regione, tutte le disuguaglianze, ovviamente, non severo.
E ora il nocciolo della questione. Immagina che l'asse arrivi direttamente a te dall'origine delle coordinate. Considera una funzione che continuo in ciascun punto dell'area. Il grafico di questa funzione è superficie, e la piccola felicità è che per risolvere il problema di oggi, non abbiamo bisogno di sapere come appare questa superficie. Può essere posizionato sopra, sotto, attraversare l'aereo: tutto questo non è importante. E quanto segue è importante: secondo Teoremi di Weierstrass, continuo in chiuso limitato area, la funzione raggiunge il suo massimo (del "più alto") e meno (del "più basso") valori da trovare. Questi valori sono raggiunti o in punti stazionari, appartenente alla regioneD , o in punti che si trovano al confine di questa regione. Da cui segue un algoritmo di soluzione semplice e trasparente:
Esempio 1
In un'area circoscritta limitata
Soluzione: Prima di tutto, devi rappresentare l'area sul disegno. Purtroppo per me è tecnicamente difficile realizzare un modello interattivo del problema, e quindi darò subito l'illustrazione finale, che mostra tutti i punti "sospetti" riscontrati durante lo studio. Di solito vengono posati uno dopo l'altro man mano che si trovano: 
Sulla base del preambolo, la decisione può essere convenientemente suddivisa in due punti:
I) Troviamo punti stazionari. Questa è un'azione standard che abbiamo eseguito ripetutamente nella lezione. circa estremi di diverse variabili:
Trovato punto fermo appartiene le zone: (segnalo sul disegno), il che significa che dovremmo calcolare il valore della funzione in un dato punto:
- come nell'art I valori più grande e più piccolo di una funzione su un segmento, evidenzierò i risultati importanti in grassetto. In un quaderno, è conveniente circondarli con una matita.
Presta attenzione alla nostra seconda felicità: non ha senso controllare condizione sufficiente per un estremo. Come mai? Anche se nel punto in cui la funzione raggiunge, ad esempio, minimo locale , allora questo NON SIGNIFICA che il valore risultante sarà minimo in tutta la regione (vedi inizio lezione sugli estremi incondizionati) .
E se il punto stazionario NON appartiene all'area? Quasi niente! Va notato che e vai al paragrafo successivo.
II) Indaghiamo il confine della regione.
Poiché il bordo è costituito dai lati di un triangolo, è conveniente dividere lo studio in 3 sottoparagrafi. Ma è meglio non farlo comunque. Dal mio punto di vista, è più vantaggioso considerare prima i segmenti paralleli assi coordinati, e, in primis, quelli sdraiati sulle asce stesse. Per cogliere l'intera sequenza e la logica delle azioni, prova a studiare il finale "in un fiato":
1) Trattiamo il lato inferiore del triangolo. Per fare ciò, sostituiamo direttamente nella funzione:
In alternativa, puoi farlo in questo modo: 
Geometricamente, questo significa questo piano delle coordinate (che è data anche dall'equazione)"tagliare" da superfici Parabola “spaziale”, la cui sommità cade subito in sospetto. Scopriamolo dov'è lei:
- il valore risultante "colpito" nell'area, e potrebbe essere quello al momento (segno sul disegno) la funzione raggiunge il valore più grande o più piccolo nell'intera area. Comunque facciamo i calcoli:
Altri "candidati" sono, ovviamente, gli estremi del segmento. Calcola i valori della funzione in punti 
(segno sul disegno):
Qui, tra l'altro, puoi effettuare un mini-check orale sulla versione "spogliata": 
2) Per studiare il lato destro del triangolo, lo sostituiamo nella funzione e "mettiamo le cose in ordine lì":
Qui eseguiamo immediatamente un controllo di massima, "suonando" l'estremità già elaborata del segmento:
, Perfetto.
La situazione geometrica è correlata al punto precedente:
- il valore risultante è anche “entrato nell'ambito dei nostri interessi”, il che significa che dobbiamo calcolare a cosa è uguale la funzione nel punto che è apparso:
Esaminiamo la seconda estremità del segmento:
Usando la funzione 
, controlliamo: 
3) Probabilmente tutti sanno come esplorare il lato rimanente. Sostituiamo nella funzione ed eseguiamo semplificazioni:
La linea finisce 
sono già stati studiati, ma sulla bozza controlliamo ancora se abbiamo trovato la funzione correttamente 
:
– ha coinciso con il risultato del 1° comma;
– ha coinciso con il risultato del 2° comma.
Resta da scoprire se c'è qualcosa di interessante all'interno del segmento:
- c'è! Sostituendo una retta nell'equazione, otteniamo l'ordinata di questo "interesse":
Segniamo un punto sul disegno e troviamo il valore corrispondente della funzione:
Controlliamo i calcoli in base alla versione "budget". 
:
, ordine.
E il passo finale: Guarda ATTENTAMENTE tutti i numeri "grassi", consiglio anche ai principianti di fare un unico elenco: 
da cui scegliamo i valori più grande e più piccolo. Risposta scrivere nello stile del problema di trovare i valori più grande e più piccolo della funzione sull'intervallo:
Commenterò di nuovo per ogni evenienza. significato geometrico risultato:
– ecco il punto più alto della superficie della regione;
- ecco il punto più basso della superficie della zona.
Nel problema analizzato abbiamo trovato 7 punti “sospetti”, ma il loro numero varia da compito a compito. Per una regione triangolare, il "set di esplorazione" minimo è costituito da tre punti. Ciò accade quando la funzione, ad esempio, viene impostata aereo– è abbastanza chiaro che non ci sono punti stazionari, e la funzione può raggiungere il massimo / i valori più piccoli solo ai vertici del triangolo. Ma non ci sono esempi simili una, due volte - di solito devi affrontare una sorta di superficie del 2° ordine.
Se risolvi un po 'questi compiti, i triangoli possono farti girare la testa, e quindi ho preparato esempi insoliti per te per renderlo quadrato :))
Esempio 2
Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione 
in una zona chiusa delimitato da linee
Esempio 3
Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa delimitata.
Prestare particolare attenzione all'ordine razionale e alla tecnica di esplorazione del confine dell'area, nonché alla catena di controlli intermedi, che eviteranno quasi completamente errori di calcolo. In generale, puoi risolverlo come preferisci, ma in alcuni problemi, ad esempio, nello stesso Esempio 2, ci sono tutte le possibilità di complicarti notevolmente la vita. Un esempio approssimativo di completamento dei compiti alla fine della lezione.
Sistemiamo l'algoritmo della soluzione, altrimenti, con la mia diligenza di un ragno, in qualche modo si è perso in un lungo thread di commenti del 1 ° esempio:
- Nel primo passaggio, costruiamo un'area, è preferibile ombreggiarla ed evidenziare il bordo con una linea in grassetto. Durante la soluzione, appariranno i punti che devono essere inseriti nel disegno.
– Trova punti stazionari e calcola i valori della funzione solo in quelli, che appartengono alla zona. I valori ottenuti sono evidenziati nel testo (ad esempio cerchiati con una matita). Se il punto stazionario NON appartiene all'area, contrassegniamo questo fatto con un'icona o verbalmente. Se non ci sono punti stazionari, traiamo una conclusione scritta che sono assenti. In ogni caso, questo articolo non può essere saltato!
– Esplorare la zona di confine. Innanzitutto, è vantaggioso trattare le rette parallele agli assi delle coordinate (Se ce ne sono). Vengono inoltre evidenziati i valori della funzione calcolati nei punti "sospetti". Molto è stato detto sulla tecnica di soluzione sopra e qualcos'altro sarà detto di seguito: leggi, rileggi, approfondisci!
- Dai numeri selezionati, seleziona il valore più grande e quello più piccolo e dai una risposta. A volte capita che la funzione raggiunga tali valori in più punti contemporaneamente: in questo caso, tutti questi punti dovrebbero riflettersi nella risposta. Lasciamo, per esempio, 
e si è scoperto che questo è il valore più piccolo. Allora lo scriviamo
Gli esempi finali sono dedicati ad altre idee utili che torneranno utili nella pratica:
Esempio 4
Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa 
.
Ho mantenuto la formulazione dell'autore, in cui l'area è data come una doppia disuguaglianza. Questa condizione può essere scritta in un sistema equivalente o in una forma più tradizionale per questo problema: 
Te lo ricordo con non lineare abbiamo riscontrato disuguaglianze su , e se non capisci il significato geometrico della voce, per favore non ritardare e chiarire la situazione in questo momento ;-)
Soluzione, come sempre, inizia con la costruzione dell'area, che è una sorta di "sole": 
Hmm, a volte devi rosicchiare non solo il granito della scienza ....
I) Trova i punti stazionari: 
Il sistema dei sogni dell'idiota :) 
Il punto stazionario appartiene alla regione, cioè giace al suo confine.
E quindi, non è niente ... è andata una lezione divertente: ecco cosa significa bere il tè giusto =)
II) Indaghiamo il confine della regione. Senza ulteriori indugi, iniziamo con l'asse x:
1) Se , allora
Trova dove si trova la parte superiore della parabola:
- Apprezzare questi momenti - "colpisci" fino al punto, da cui tutto è già chiaro. Ma non dimenticare di controllare: 
Calcoliamo i valori della funzione alle estremità del segmento: 
2) Tratteremo la parte inferiore della "suola" "in una sola seduta" - senza complessi la sostituiamo nella funzione, inoltre, saremo interessati solo al segmento:
Controllo:
Ora questo sta già portando un po' di rinascita alla monotona corsa su una pista zigrinata. Troviamo i punti critici:
Noi decidiamo equazione quadrata ti ricordi questo? ... Comunque ricorda, ovviamente, altrimenti non leggeresti queste righe =) Se nei due esempi precedenti i calcoli fossero convenienti in frazioni decimali(che, tra l'altro, è raro), allora eccoci qui ad aspettare le solite frazioni ordinarie. Troviamo le radici "x" e, usando l'equazione, determiniamo le corrispondenti coordinate di "gioco" dei punti "candidato": 
Calcoliamo i valori della funzione nei punti trovati: 
Controlla tu stesso la funzione.
Ora studiamo attentamente i trofei vinti e scriviamo Rispondere:
Ecco i "candidati", quindi i "candidati"!
Esempio 5
Trova il più piccolo e maggior valore funzioni 
in una zona chiusa 
Una voce tra parentesi graffe recita così: "un insieme di punti tale che".
A volte dentro esempi simili uso Metodo del moltiplicatore di Lagrange, ma è improbabile che si presenti la reale necessità di utilizzarlo. Quindi, ad esempio, se viene data una funzione con la stessa area "de", dopo la sostituzione in essa - con una derivata senza difficoltà; inoltre il tutto è redatto a “una riga” (con segni) senza la necessità di considerare separatamente i semicerchi superiore e inferiore. Ma, ovviamente, ce ne sono di più casi difficili, dove senza la funzione di Lagrange (dove, ad esempio, è la stessa equazione del cerchio)è difficile cavarsela - quanto è difficile cavarsela senza un buon riposo!
Tutto il meglio per passare la sessione e ci vediamo presto alla prossima stagione!
Soluzioni e risposte:
Esempio 2: Soluzione: disegna l'area sul disegno:
Definizione 1.11 Sia data una funzione di due variabili z=z(x,y), (x,y) D . Punto M 0 (X 0 ;y 0 ) - punto interno dell'area D .
Se dentro D c'è un tale quartiere UM 0 punti M 0 , che per tutti i punti
quindi punta M 0 è detto punto di massimo locale. Ma il significato stesso z(M 0 ) - massimo locale.
Ma se per tutti i punti
quindi punta M 0 è chiamato punto di minimo locale della funzione z(x,y) . Ma il significato stesso z(M 0 ) - minimo locale.
Il massimo locale e il minimo locale sono detti estremi locali della funzione z(x,y) . Sulla fig. 1.4 spiega il significato geometrico del massimo locale: M 0 è il punto massimo, poiché sulla superficie z=z(x,y) il suo punto corrispondente C 0 è al di sopra di qualsiasi punto vicino C (questa è la località del massimo).
Si noti che ci sono punti sulla superficie nel suo insieme (ad esempio, A ) che sono sopra C 0 , ma questi punti (ad esempio A ) non sono "adiacenti" al punto C 0 .
In particolare, il punto A corrisponde al concetto di massimo globale:
Il minimo globale è definito in modo simile:
La ricerca di massimi e minimi globali sarà discussa nella Sezione 1.10.
Teorema 1.3 ( le condizioni necessarie estremo).
Lascia che la funzione z = z (x, y), (x, y) D . Punto M 0 (X 0 ;y 0 D - punto estremo locale.
Se a questo punto ci sono z" X e z" y , poi
La dimostrazione geometrica è "ovvia". Se al punto C 0 su (Fig. 1.4) per disegnare un piano tangente, quindi "naturalmente" passerà orizzontalmente, cioè ad angolo 0° all'asse Oh e all'asse UO .
Quindi, secondo il significato geometrico delle derivate parziali (Fig. 1.3):
QED
Definizione 1.12.
Se al punto M 0 sono soddisfatte le condizioni (1.41), allora si dice punto stazionario della funzione z (x,y) .
Teorema 1.4 (condizioni sufficienti per un estremo).
Permettere z = z (x, y), (x, y) D , che ha derivate parziali del secondo ordine in alcune vicinanze del punto M 0 (X 0 ,y 0 ) D . E M 0 - punto stazionario (vale a dire che le condizioni necessarie (1.41) sono soddisfatte). Calcoliamo:
La dimostrazione del teorema utilizza argomenti (formula di Taylor per funzioni di più variabili e teoria delle forme quadratiche) che non sono trattati in questo tutorial.
Esempio 1.13.
Esplora fino all'estremo:
1. Trova i punti stazionari risolvendo il sistema (1.41):
cioè si trovano quattro punti stazionari. 2.
per il Teorema 1.4 in un punto è minimo. E 
dal Teorema 1.4 al punto
Massimo. E
§10 I valori più grande e più piccolo di una funzione di due variabili in una regione chiusa
Teorema 1.5 Sia in un dominio chiuso D funzione è data z=z(x,y) , che ha derivate parziali continue del primo ordine. Il confine G le zone D è liscio a tratti (cioè, è costituito da pezzi di curve o linee rette "lisce al tatto"). Poi in zona D funzione z(x,y) raggiunge il suo massimo M e meno m i valori.
Senza prove.
Puoi suggerire il seguente piano per la ricerca M e m . 1. Costruiamo un disegno, selezioniamo tutte le parti del bordo dell'area D e trova tutti i punti "d'angolo" del confine. 2. Trova i punti stazionari all'interno D . 3. Trova i punti stazionari su ciascuno dei confini. 4. Calcoliamo in tutti i punti stazionari e d'angolo, quindi scegliamo il più grande M e meno m i valori.
Esempio 1.14 Trova il più grande M e meno m valori di funzione z = 4x2-2xy+y2-8x in una zona chiusa D , limitato: x=0, y=0, 4x+3y=12 .
1. Costruiamo l'area D (Fig. 1.5) sull'aereo Oh .
Punte d'angolo: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .
Il confine G le zone D si compone di tre parti:
2. Trova i punti stazionari all'interno dell'area D :
3. Punti stazionari sui confini l 1 , l 2 , l 3 :
4. Calcola sei valori:
Tra i sei valori ottenuti, scegliamo il più grande e il più piccolo.
Valori massimi e minimi
Una funzione delimitata in una regione chiusa delimitata raggiunge i suoi valori massimo e minimo in punti stazionari o in punti che si trovano sul confine della regione.
Per trovare i valori più grandi o più piccoli di una funzione, è necessario:
1. Trova i punti stazionari che si trovano all'interno della regione data e calcola il valore della funzione in essi.
2. Trova il valore più grande (minimo) della funzione sul confine della regione.
3. Confronta tutti i valori ottenuti della funzione: il più grande (minore) e sarà il valore più grande (minore) della funzione nell'area data.
Esempio 2. Trova il valore più grande (minimo) della funzione: in un cerchio.
Soluzione.
il punto è fermo; .
2 .Il confine di quest'area chiusa è un cerchio o , dove .
La funzione sul confine della regione diventa una funzione di una variabile: , dove . Troviamo i valori più grandi e più piccoli di questa funzione.
Per x=0 ; (0,-3) e (0,3) sono punti critici.
Calcola i valori della funzione alle estremità del segmento
3 . Confrontando i valori, otteniamo
Ai punti A e B.
Ai punti C e D.
Esempio 3 Trova i valori più grande e più piccolo della funzione nell'area chiusa data dalla disuguaglianza:
Soluzione. L'area è un triangolo delimitato dagli assi delle coordinate e dalla retta x+y=1.
1. Trova i punti stazionari all'interno dell'area:
; ; y \u003d - 1/ 8; x = 1/8.
Il punto stazionario non appartiene all'area in esame, quindi il valore di z in esso non viene calcolato.
2 .Indagare la funzione sul confine. Poiché il confine è costituito da tre sezioni descritte da tre diverse equazioni, studiamo la funzione su ciascuna sezione separatamente:
un) nella sezione 0A: y=0 - equazione 0A, quindi ; è chiaro dall'equazione che la funzione aumenta di 0A da 0 a 1. Quindi .
b) nella sezione 0B: x=0 - equazione 0B, quindi ; –6y+1=0; - punto critico.
in) sulla riga x+y = 1: y=1-x, quindi otteniamo la funzione
Calcoliamo il valore della funzione z nel punto B(0,1).
3 Confrontando i numeri lo otteniamo
Sulla retta AB.
Al punto B.
Test per l'autocontrollo della conoscenza.
uno . L'estremo della funzione è
a) le sue derivate del primo ordine
b) la sua equazione
c) il suo programma
d) il suo massimo o minimo
2. Si può raggiungere l'estremo di una funzione di più variabili:
a) solo nei punti che giacciono all'interno del suo dominio di definizione, in cui tutte le derivate parziali del primo ordine sono maggiori di zero
b) solo nei punti che giacciono all'interno del suo dominio di definizione, in cui tutte le derivate parziali del primo ordine sono minori di zero
c) solo nei punti che giacciono all'interno del suo dominio di definizione, in cui tutte le derivate parziali del primo ordine non sono uguali a zero
d) solo nei punti che giacciono all'interno del suo dominio di definizione, in cui tutte le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero
3. Una funzione continua in un'area delimitata e chiusa raggiunge i suoi valori massimo e minimo:
a) in punti stazionari
b) sia in punti stazionari, sia in punti che si trovano al confine della regione
c) in punti che si trovano al confine della regione
d) in tutti i punti
4. I punti stazionari per una funzione di più variabili sono detti punti:
a) in cui tutte le derivate parziali del primo ordine non sono uguali a zero
b) in cui tutte le derivate parziali del primo ordine sono maggiori di zero
c) in cui tutte le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero
d) in cui tutte le derivate parziali del primo ordine sono minori di zero
Lezione 28 Estremi condizionali di funzioni di più variabili.
Lo studio delle funzioni di molte variabili per un estremo è una procedura molto più complicata di una procedura simile per le funzioni di una variabile. Pertanto, ci limitiamo a considerare questo problema sull'esempio più semplice ed illustrativo di una funzione di due variabili (vedi Fig. 1). Qui M1(x1; si 1), M2(x2; y2), M3(x 3; si 3) sono i punti estremi di questa funzione. Vale a dire, i punti M1 e M 3 - i punti minimi della funzione e il punto M2è il suo punto massimo. La figura 1 mostra una funzione con tre punti estremi, ma questi punti, ovviamente, possono essere più o meno.
Definiamo più precisamente quali sono i punti estremi per una funzione di due variabili.
Definizione. La funzione ha massimo(minimo) in un punto , se per qualsiasi punto situato in un quartiere - un quartiere del punto , 
(
). - il vicinato può essere rappresentato da un insieme di punti le cui coordinate soddisfano la condizione 
, dove è un numero positivo sufficientemente piccolo.
Vengono chiamati i massimi e i minimi di una funzione estremi, un - punto estremo.
Permettere M0(x 0 ; si 0) è un punto di qualche estremo (punto massimo o punto minimo) della funzione . Quindi
Teorema 1.
Se al punto estremo M0(x 0 ; si 0) esistono derivate parziali 
e 
, allora sono entrambi uguali a zero:
2) Consideriamo ora la funzione 
.
Perché 
è il valore estremo di questa funzione, quindi la derivata di questa funzione a y = y0, se esiste, è uguale a zero:
| (3) |
Il teorema è stato dimostrato.
Si noti che le condizioni (1) sono solo necessario condizioni estreme nel punto M0(x 0 ; si 0) della funzione derivabile a questo punto. Cioè, queste condizioni non lo sono condizioni sufficienti cosa c'è al punto M0(x 0 ; si 0) la funzione avrà un estremo (massimo o minimo). In altre parole, punto M0(x 0 ; si 0), in cui valgono entrambe le uguaglianze (1), è solo sospetto al punto estremo per la funzione. La conclusione finale sulla natura di un tale punto di estremo sospetto può essere fatta usando il seguente teorema (lo presentiamo senza derivazioni):
Teorema 2.(Condizioni sufficienti per un estremo)
Permettere M0(x 0 ; si 0) è un tale punto dalla regione D determinare la funzione che le condizioni necessarie (1) per l'estremo di questa funzione sono soddisfatte per essa. Questo è M0(x 0 ; si 0) è un punto sospetto per un extremum. Troviamo i numeri a questo punto
| (4) |
1) Se > 0 e > 0 (o С>0 a A=0), poi M0(x 0 ; si 0) – punto minimo della funzione .
2) Se > 0 e < 0 (o DA<0 a A=0), poi M0(x 0 ; si 0) – punto massimo della funzione .
3) Se < 0 quindi punto M0(x 0 ; si 0) – non l'estremo della funzione .
4) Se = 0, la domanda rimane aperta: sono necessarie ulteriori ricerche.
Esempio 1 Permettere X e a- la quantità di due beni prodotti; p 1 = 8 strofinare. e p 2 = 10 sfregamenti. - prezzo unitario di ciascuno di questi beni, rispettivamente; C= 0,01(x 2 + xy + y 2) è una funzione dei costi (in rubli) per la produzione di questi beni. Poi reddito R dalla vendita di beni sarà R = 8x+10a(rub.), e profitto P sarà (in rubli)
P \u003d R - C \u003d 8x + 10si- 0,01(x2+xy+y2).
Troviamo i volumi X e a beni per i quali il profitto P sarà massimo.
1) Innanzitutto, trova i valori ( x;y), sospettoso di un estremo per la funzione P:
2) Ora esaminiamo il trovato sospetto per l'estremo per la funzione P punto M0(200; 400). Per fare ciò, troviamo a questo punto i valori determinati dalle espressioni (4). Perché
e questo vale per chiunque X; a), e quindi anche al punto M0(200; 400), quindi
Da un punto M0(200; 400) – punto massimo della funzione P. Questo è il profitto P dalle vendite sarà massimo a x = 200(unità) e y= 400(unità) ed è pari a 2800 rubli.
Esempio 2 Trova punti estremi e valori estremi di una funzione
Soluzione. Questa funzione è una funzione di due variabili definite per any X e a, cioè sull'intero piano come, e aventi derivate parziali del primo ordine in ciascuno dei suoi punti:
Per prima cosa, trova i punti del piano come, sospettoso per un estremo per questa funzione :
Quindi, trovate le derivate parziali del secondo ordine della funzione , scriviamo le espressioni per :
Calcolando ora i valori numerici di queste quantità per ciascuno dei quattro punti sospetti di un estremo, otteniamo le seguenti conclusioni su questi punti:
Punto min.
Punto max.
Non un punto estremo.
Non un punto estremo.
Ora troviamo due valori estremi (massimi) della funzione che determinano l'altezza dei due vertici del grafico di questa funzione:
Determinazione dei valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in un'area chiusa.
Considera il seguente problema. Sia una funzione continua di due variabili considerate in un dominio chiuso, dove è l'interno del dominio, e G- il suo confine (Fig. 8.6).
Il fatto che la funzione sia continua nel dominio significa che il grafico di questa funzione (una superficie nello spazio) è una superficie continua (senza discontinuità) per tutti . Cioè, il concetto di continuità di una funzione di due variabili è simile al concetto di continuità di una funzione di una variabile. Come le funzioni di una variabile, le funzioni di due variabili formate da funzioni elementari sono continue per tutti i valori dei loro argomenti per i quali sono definite. Questo vale anche per funzioni di tre, quattro o più variabili.
Torniamo alla fig. 2. Poniamoci la seguente domanda: in quali punti della regione la funzione raggiunge i suoi valori massimo e minimo z più e z nome? E quali sono questi valori? Si noti che questo problema è simile a quello considerato per una funzione di una variabile considerata su un intervallo chiuso [ un; b] asse oh.
Ovviamente, i punti desiderati della regione, in cui la funzione raggiunge i suoi valori massimo e minimo, sono o tra i punti estremi di questa funzione, situati all'interno della regione (nella regione), oppure si trovano da qualche parte sul confine G quest'area. In una regione chiusa, tali punti esistono certamente (il teorema di Weierstrass). E in un'area aperta (senza confine G) tali punti potrebbero non esistere.
Quanto segue segue da quanto sopra. lo schema per trovare questi punti, simile a quello indicato per le funzioni di una variabile.
1. Troviamo tutti i punti della funzione sospetti per extremum situati nell'area D. Questi sono i punti in cui entrambe le derivate parziali e sono uguali a zero (una è uguale a zero e l'altra non esiste; oppure entrambe non esistono).
2. Troviamo tutti i punti estremi sospetti della funzione situati sul confine G le zone. In questo caso, utilizziamo l'equazione al contorno G.
3. Senza esaminare i punti sospetti trovati ai punti 1 e 2 (questo è ridondante), troviamo i valori della funzione in tutti i punti sospetti trovati e selezioniamo quelli dove z sarà il più grande e il più piccolo.
Esempio 3 Trova z più e z nome funzione considerata in un'area chiusa, che è una piastra triangolare con vertici o(0; 0), UN(1; 0), B(0; 1) (Fig. 3).
Soluzione. Facciamo il diagramma sopra.
1. Trova all'interno del triangolo (nell'area D) punti sospettati di essere un estremo per la nostra funzione z. Per fare ciò, troviamo prima le derivate parziali del primo ordine e:
Questi derivati esistono (possono essere calcolati) per qualsiasi (x; y). Di conseguenza, solo quei punti per i quali entrambe queste derivate parziali sono uguali a zero saranno punti sospetti di un estremo:
Il punto è ovviamente di zona D(il triangolo in esame). Cioè, è un punto estremo sospetto per una data funzione z all'interno del triangolo, ed è l'unico lì.
2. Troviamo ora i punti sospetti di un estremo sul bordo del triangolo.
a) Esaminiamo prima il sito OA frontiere ( a= 0; 0 £ X£ 1). In questa sezione c'è una funzione di una variabile X. Il suo derivato esiste per tutti XО . Pertanto, la funzione z può avere sia nel punto in cui , cioè nel punto , sia alle estremità del segmento OA, cioè nei punti o(0; 0) e MA(1; 0).
b) Esploriamo ora il sito OV bordi triangolari (là X= 0; 0 £ a£ 1). Su questo segmento, la funzione (0 £ a£ 1) è una funzione di una variabile a. Ripetendo il ragionamento del paragrafo (a), giungiamo alla conclusione che i suoi valori estremi della funzione z può avere nel punto o alle estremità del segmento OV, cioè nei punti o(0; 0) e B(0; 1).
c) Infine, esplora il sito AB frontiere. Da allora AB(assicurati di farlo) y = - x + 1 (0 £ X£ 1), quindi c'è la funzione z assume la forma: 
(0 £ X£ 1). La sua derivata è quindi la sua funzione di valori estremi z può arrivare solo al punto in cui , cioè al punto , o alle estremità del segmento AB, cioè nei punti MA e A.
Quindi, l'insieme completo dei punti estremi sospetti della funzione
in un triangolo OABè:
; ; ; ; ; ; .
3. Ora troviamo i valori della funzione z in tutti trova punti sospetti e scegli tra questi valori il valore più grande z più e il valore più piccolo z nome:
In questo modo, z max = 3 ed è ottenuto dalla funzione z in un triangolo OAB in due punti contemporaneamente - ai suoi vertici MA e A. Ed è ottenuto dalla funzione z in un triangolo OAB al suo punto interno.
Esempio 4 Il bilancio della città ha l'opportunità di spendere non più di 600 milioni di rubli in alloggi sociali, avendo progetti e appezzamenti di terreno per 10 case a cinque piani con 90 appartamenti ciascuna e 8 case a nove piani con 120 appartamenti ciascuna. Il costo medio stimato di un appartamento in un edificio di cinque piani è di 400 mila rubli e in un edificio di nove piani di 500 mila rubli. Quanti edifici di cinque e nove piani dovrebbe costruire la città per ottenere il numero massimo di appartamenti?
Soluzione. Permettere X- il numero desiderato di case a cinque piani, si - nove piani, e z- numero totale di appartamenti in questi edifici:
z= 90x + 120y
Il costo di tutti gli appartamenti in edifici a cinque piani sarà 90 × 0,4 X = 36X milioni di rubli e negli edifici di nove piani 120 × 0,5 a = 60a milioni di rubli. In base alle condizioni del problema si ha:
0 £ X£ 10; 0 £ a£ 8; 36 X + 60a£ 600
Queste disuguaglianze restrittive sono ovviamente soddisfatte nel pentagono 
(Fig. 4). In questa zona chiusa, devi trovare un punto M(x; y), per cui la funzione z= 90x + 120y assume il valore più alto z più.
Implementiamo lo schema di cui sopra per risolvere tali problemi.
1. Trova i punti all'interno del pentagono che sono sospetti di un estremo per la funzione z. Perché 
, e queste derivate parziali ovviamente non sono uguali a zero, allora non ci sono punti all'interno del pentagono sospetti per un estremo.
2. Troviamo i punti sospetti per un extremum ai confini del pentagono. Su ciascuno dei cinque segmenti che compongono il confine del pentagono, la funzione zè una funzione lineare della forma z = ax + di, e di conseguenza, raggiunge i suoi valori massimo e minimo ai confini dei segmenti. Cioè, il valore massimo desiderato z più funzione z raggiunge uno dei punti d'angolo (O; A; M 1; M 2; B). Calcolo del valore z a questi punti otteniamo:
z(o) = 0; z( UN) = 960; z( M1) = 1260; z( M2) = 1380; z( B) = 900.
In questo modo z naimb= 1380 e si raggiunge nel punto M2(10; 4). Cioè, il maggior numero di appartamenti (1380) si otterrà se si costruiranno 10 case a cinque piani e 4 case a nove piani.
Esempio 5. Dimostra che di tutti i triangoli con un dato perimetro 2p, il triangolo equilatero ha l'area più grande M(2p/3, 2p/3), perché i punti rimanenti non soddisfano il senso del problema: non può esistere un triangolo il cui lato sia uguale a metà del perimetro.
Indagare il punto estremo M(2p/3, 2p/3):
∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);
D=AC-B 2 = ;
D>0, e da allora MA<0 , allora la funzione raggiunge il suo massimo nel punto in esame. Quindi, in un unico punto stazionario, la funzione raggiunge il suo massimo, e quindi il massimo valore; quindi, a x=2p/3, y=2p/3 la funzione raggiunge il suo valore massimo. Ma allora z=2p-x-y=2p/3. E da allora x=y=z, allora il triangolo è equilatero.
Sia la funzione y=f(x) continua sul segmento . Come è noto, tale funzione raggiunge il suo massimo. e denominazione i valori. La funzione può assumere questi valori sia nel punto interno del segmento, sia al confine del segmento, ad es. con =a o =b. Se , allora il punto va ricercato tra i punti critici della funzione data.
Otteniamo la seguente regola per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su:
1) trovare i punti critici della funzione sull'intervallo (a,b);
2) calcolare i valori della funzione nei punti critici trovati;
3) calcolare i valori della funzione alle estremità del segmento, ad es. nei punti x=a e x=b;
4) tra tutti i valori calcolati della funzione, scegli il più grande e il più piccolo.
Appunti:
1. Se la funzione y=f(x) sul segmento ha un solo punto critico ed è il punto massimo (minimo), a questo punto la funzione assume il valore più grande (minimo).
2. Se la funzione y=f(x) su un segmento non ha punti critici, significa che la funzione è monotonicamente crescente o decrescente su di esso. Di conseguenza, la funzione assume il suo valore più grande (M) a un'estremità del segmento e il più piccolo (m) all'altra.
60. Numeri complessi. Formule Moivre.
numero complesso nome un'espressione della forma z = x + iy, dove xey sono numeri reali, e i è il cosiddetto. unità immaginaria, . Se x=0, allora viene chiamato il numero 0+iy=iy. numero immaginario; se y=0, allora il numero x+i0=x viene identificato con il numero reale x, il che significa che l'insieme R di tutti è valido. numeri yavl. un sottoinsieme dell'insieme C di tutti i numeri complessi, cioè . Numero x nome. parte reale di z, . Due numeri complessi e si dicono uguali (z1=z2) se e solo se le loro parti reali sono uguali e le loro parti immaginarie sono uguali: x1=x2, y1=y2. In particolare, il numero complesso Z=x+iy è uguale a zero se e solo se x=y=0. Non vengono introdotti i concetti di "maggiore di" e "minore di" per i numeri complessi. Due numeri complessi z=x+iy e , che differiscono solo per il segno della parte immaginaria, sono detti coniugati.
Rappresentazione geometrica di numeri complessi.
Qualsiasi numero complesso z = x + iy può essere rappresentato da un punto M(x,y) del piano Oxy tale che x=Re z, y=Im z. Al contrario, ogni punto M(x;y) del piano delle coordinate può essere considerato come l'immagine di un numero complesso z = x + iy. Il piano su cui sono rappresentati i numeri complessi è chiamato piano complesso, perché i numeri reali z = x + 0i = x giacciono su di esso. L'asse y è chiamato asse immaginario, poiché i numeri complessi puramente immaginari z = 0 + iy giacciono su di esso. Il numero complesso Z=x+iy può essere specificato usando il vettore raggio r=OM=(x,y). La lunghezza di un vettore r che rappresenta un numero complesso z è chiamata modulo di questo numero ed è indicata con |z| o r. L'angolo tra il positivo La direzione dell'asse reale e del vettore r che rappresenta un numero complesso è chiamata argomento di questo numero complesso, indicato con Arg z o . L'argomento del numero complesso Z=0 non è definito. L'argomento di un numero complesso è un valore multivalore ed è determinato fino al termine dove arg z è il valore principale dell'argomento contenuto nell'intervallo (), cioè - (a volte il valore appartenente all'intervallo (0; ) viene preso come valore principale dell'argomento).
La scrittura del numero z nella forma z=x+iy è detta forma algebrica di un numero complesso.
Operazioni sui numeri complessi
Aggiunta. La somma di due numeri complessi z1=x1+iy1 e z2=x2+iy2 è un numero complesso definito dall'uguaglianza: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). L'addizione di numeri complessi ha proprietà commutative e associative: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Sottrazione. La sottrazione è definita come l'inverso dell'addizione. La differenza dei numeri complessi z1 e z2 è un numero così complesso z, che, sommato a z2, dà il numero z1, cioè z=z1-z2 se z+z2=z1. Se z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, allora è facile ottenere z da questa definizione: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Moltiplicazione. Il prodotto dei numeri complessi z1=x1+iy1 e z2=x2+iy2 è il numero complesso definito dall'uguaglianza z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Pertanto, in particolare, segue: . Se i numeri sono dati in forma trigonometrica: .
Quando i numeri complessi vengono moltiplicati, i loro moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti. Formula di De Moivre(se ci sono n fattori e sono tutti uguali): .