Per calcolare le quantità m, e devono essere utilizzate le formule (4), (5) e (7). Di conseguenza, otteniamo formule per le coordinate del baricentro di una lastra sottile :

Esempio 4 (calcolo delle coordinate del baricentro di un piatto omogeneo)

Trova le coordinate del centro di massa di una figura omogenea delimitata da linee e .

Costruita la figura, notiamo che essa è geometricamente simmetrica rispetto ad una retta.Poiché la figura è fatta di un materiale omogeneo, ha non solo simmetria geometrica, ma anche fisica, cioè la massa della sua parte, che si trova a sinistra dell'asse di simmetria, è uguale alla massa della parte che si trova a destra. Poi secondo il noto Proprietà fisiche centro di massa, concludiamo che è sull'asse di simmetria, cioè

Per calcolare , componiamo il momento statico e utilizziamo le formule (4) e (5):

;

Risposta: C.

Applicazioni integrali tripli

Le applicazioni di integrali tripli sono simili alle applicazioni di integrali doppi, ma solo per corpi tridimensionali.

Se usiamo una delle proprietà dell'integrale triplo (circa il suo valore da una funzione che è identicamente uguale a uno), allora otteniamo formula per calcolare il volume di qualsiasi corpo spaziale :

Scriviamo la formula per il volume in termini di integrale triplo e calcoliamo l'integrale triplo in coordinate cilindriche:

Risposta: (unità di volume).

Formula per calcolare la massa di un oggetto tridimensionale che occupa un volume V, sembra:

(13)

Ecco la densità apparente della distribuzione di massa.

Esempio 6 (calcolo della massa di un corpo tridimensionale)

Trova la massa di una palla di raggio R, se la densità è proporzionale al cubo della distanza dal centro e per unità di distanza è uguale a K.

V: volume elementare e .

Si noti che qui, quando si calcola l'integrale triplo, è stato ottenuto un prodotto di integrali, poiché gli integrali interni si sono rivelati indipendenti dalle variabili degli integrali esterni.

Risposta: (unità di massa).

Caratteristiche meccaniche per volume V(momenti statici, momenti di inerzia, coordinate del baricentro) sono calcolati utilizzando formule che

sono compilati per analogia con formule per corpi bidimensionali.

Momenti statici elementari e momenti di inerzia relativi a assi coordinati:

momenti elementari inerzia relativa a piani coordinati e punti di origine:

Successivamente, per calcolare la caratteristica meccanica dell'intero volume V, è necessario sommare i termini elementari di questa caratteristica su tutte le parti della partizione (poiché la caratteristica calcolata ha la proprietà di additività), quindi andare al limite nella somma risultante, a condizione che tutte le parti elementari della partizione diminuiscano senza limite (contratto a punti). Queste azioni sono descritte come l'integrazione del termine elementare della caratteristica meccanica calcolata in termini di volume V.

Il risultato è il seguente formule per il calcolo dei momenti statici M e dei momenti di inerzia I di corpi tridimensionali :

In pratica è utile non solo utilizzare queste formule come già pronte, ma anche ricavarle nel problema da risolvere.

Esempi 7 (calcolo delle caratteristiche meccaniche di corpi tridimensionali)

Trova il momento d'inerzia di un cilindro omogeneo la cui altezza è h e raggio di base R, rispetto all'asse coincidente con il diametro della base.

Troviamo la distanza d per un punto arbitrario del cilindro:

distanza dal punto con coordinate all'asse – è la lunghezza della perpendicolare tracciata da questo punto all'asse . Costruiamo un piano perpendicolare all'asse in modo che il punto appartenga a questo piano. Quindi qualsiasi linea che interseca l'asse e che appartiene a questo piano sarà perpendicolare . In particolare la retta che collega il punto e il punto sarà perpendicolare all'asse e la distanza tra questi punti sarà la distanza desiderata d. Lo calcoliamo usando la ben nota formula per la distanza tra due punti.

3 Applicazioni di integrali doppi

3.1 Introduzione teorica

Considera le applicazioni doppio integrale a un numero di problemi geometrici e compiti di meccanica.

3.1.1 Calcolo dell'area e della massa di una lastra piana

Considera una lastra di materiale sottile D situato nell'aereo Oh. Piazza S questa piastra può essere trovata usando la formula del doppio integrale:

3.1.2 Momenti statici. Centro di massa di un piatto piano

momento statico M X circa l'asse Bue punto materiale P(X;y) sdraiato sull'aereo Ossi e avere una massa m, è detto prodotto della massa di un punto e della sua ordinata, cioè M X = mio. Il momento statico è definito in modo simile M y circa l'asse Ehi: ­ ­ ­ M y = mx. Momenti statici piatto piano con densità superficiale γ = γ (x, y) sono calcolati con le formule:

Come è noto dalla meccanica, le coordinate X c ,y c il centro di massa di un sistema di materiale piano sono determinati dalle uguaglianze:

dove mè la massa del sistema, e M X e M y sono i momenti statici del sistema. Peso piatto mè determinato dalla formula (1), i momenti statici di una lastra piana possono essere calcolati dalle formule (3) e (4). Quindi, secondo le formule (5), otteniamo un'espressione per le coordinate del baricentro di una lastra piana:

Un calcolo tipico contiene due attività. In ogni problema viene data una lastra piana D, delimitato dalle righe specificate nella condizione del problema. G(x,y) è la densità superficiale della piastra D. Per questo piatto trovare: 1. S- quadrato; 2. m- messa; 3. M y , M X– momenti statici sugli assi Ehi e Oh rispettivamente; 4. , sono le coordinate del baricentro.

3.3 Come eseguire un calcolo tipico

Quando si risolve ogni problema, è necessario: 1. Fare un disegno di una determinata area. Selezionare il sistema di coordinate in cui verranno calcolati gli integrali doppi. 2. Registrare l'area come un sistema di disuguaglianze nel sistema di coordinate selezionato. 3. Calcola area S e massa m piastre secondo le formule (1) e (2). 4. Calcola i momenti statici M y , M X secondo le formule (3) e (4). 5. Calcolare le coordinate del centro di massa secondo le formule (6). Metti il ​​centro di massa sul disegno. In questo caso, c'è un controllo visivo (qualitativo) dei risultati ottenuti. Le risposte numeriche dovrebbero essere ricevute con tre cifre significative.

3.4 Esempi di calcolo di esempio

Compito 1. piatto D limitato da righe: y = 4 – X 2 ; X = 0; y = 0 (X ≥ 0; y≥ 0) Densità areale γ 0 = 3. Soluzione. L'area specificata nel problema è delimitata da una parabola y = 4 – X 2, coordinare gli assi e giace nel primo quarto (Fig. 1). Il problema sarà risolto nel sistema di coordinate cartesiane. Quest'area può essere descritta da un sistema di disuguaglianze:

Riso. uno

Piazza S piatto è uguale a (1): Poiché il piatto è omogeneo, la sua massa m = γ 0 S= 3 = 16. Usando le formule (3), (4), troviamo i momenti statici del piatto: Le coordinate del centro di massa si trovano con la formula (6): Risposta: S ≈ 5,33; m = 16; M X = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

Compito 2. piatto D limitato da righe: X 2 + a 2 = 4; X = 0, a = X (X ≥ 0, a≥ 0). Densità superficiale γ (x,y) = a. Soluzione. La lastra è delimitata da una circonferenza e da rette passanti per l'origine (Fig. 2). Pertanto, per risolvere il problema, è conveniente utilizzare il sistema di coordinate polari. angolo polare φ varia da π/4 a π/2. Una trave disegnata dal polo attraverso la piastra vi "entra" in ρ = 0 ed "esce" dal cerchio, la cui equazione è: X 2 + a 2 = 4 <=>p = 2.

Riso. 2

Pertanto, l'area data può essere scritta come un sistema di disuguaglianze: L'area della piastra si trova con la formula (1): Troviamo la massa del piatto con la formula (2), sostituendo γ (x,y) = y = ρ peccato φ :
Per calcolare i momenti statici della piastra, utilizziamo le formule (3) e (4):
Otteniamo le coordinate del centro di massa usando le formule (6): Risposta: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M X = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Segnalazione

Il rapporto dovrebbe contenere tutti i calcoli eseguiti, disegni ben eseguiti. Le risposte numeriche dovrebbero essere ricevute con tre cifre significative.

– calcolare il baricentro di una figura delimitata piatta. Molti lettori capiscono intuitivamente qual è il centro di gravità, ma, tuttavia, consiglio di ripetere il materiale di una delle lezioni geometria analitica, dove ho smontato il problema del baricentro di un triangolo e in una forma accessibile decifrata significato fisico questo termine.

In compiti indipendenti e di controllo, di regola, si propone di risolvere caso più semplice– appartamento limitato omogeneo una figura, cioè una figura di densità fisica costante: giocattoli di vetro, legno, ghisa di latta, infanzia difficile, ecc. Inoltre, per impostazione predefinita, parleremo solo di tali cifre =)

La prima regola e l'esempio più semplice: se ha una figura piatta centro di simmetria, allora è il baricentro di questa figura. Ad esempio, il centro di un piatto rotondo omogeneo. È logico e mondanamente chiaro: la massa di una tale figura è "equamente distribuita in tutte le direzioni" rispetto al centro. Credi - non voglio.

Tuttavia, nelle dure realtà, è improbabile che ti venga lanciato un dolce barretta di cioccolato ellittica, quindi devi armarti di uno strumento da cucina serio:

Vengono calcolate le coordinate del baricentro di una figura limitata omogenea piatta le seguenti formule :

, o:

, dov'è l'area della regione (figura); o molto corto:

, dove

Chiameremo condizionatamente l'integrale integrale “X” e l'integrale integrale “Y”.

Nota-aiuto : per appartamento limitato eterogeneo figura, la cui densità è data dalla funzione, le formule sono più complesse:
, dove - la massa della figura;nel caso di densità uniforme, si semplificano alle formule di cui sopra.

Sulle formule, infatti, finisce tutta la novità, il resto è la tua capacità risolvere integrali doppi A proposito, ora è una grande opportunità per esercitarti e migliorare la tua tecnica. E la perfezione, come sai, non c'è limite =)

Mettiamoci dentro una corroborante porzione di parabole:

Esempio 1

Trova le coordinate del baricentro di una figura piatta omogenea delimitata da linee.

Soluzione: le linee qui sono elementari: imposta l'asse delle ascisse e l'equazione - una parabola, che si costruisce facilmente e velocemente usando trasformazioni geometriche dei grafici:

– parabola, spostato 2 unità a sinistra e 1 unità in basso.

Completerò l'intero disegno in una volta con il punto finito del baricentro della figura:

Regola due: se la figura ha Asse di simmetria, allora il baricentro di questa figura giace necessariamente su questo asse.

Nel nostro caso, la figura è simmetrica dritto, cioè, infatti, conosciamo già la coordinata "x" del punto "em".

Si noti inoltre che verticalmente il centro di gravità è spostato più vicino all'asse x, poiché la figura è più massiccia lì.

Sì, forse non tutti hanno ancora capito bene qual è il baricentro: per favore alza il dito indice e posiziona mentalmente su di esso la “suola” ombreggiata con un punto. In teoria, la cifra non dovrebbe cadere.

Troviamo le coordinate del baricentro della figura con le formule , dove .

L'ordine di attraversamento dell'area (forma) è ovvio qui:

Attenzione! Determinazione dell'ordine di attraversamento più redditizio una volta- e usalo per tutti integrali!

1) Innanzitutto, calcola l'area della figura. Vista la relativa semplicità dell'integrale, la soluzione può essere formulata in modo compatto, l'importante è non confondersi nei calcoli:

Osserviamo il disegno e stimiamo l'area in base alle celle. Si è scoperto sul caso.

2) La coordinata x del baricentro è già stata trovata " metodo grafico”, quindi puoi fare riferimento alla simmetria e passare al paragrafo successivo. Tuttavia, continuo a non consigliare di farlo: è probabile che la soluzione venga rifiutata con la dicitura "usa la formula".

Nota che qui puoi cavartela con calcoli esclusivamente orali: a volte non è affatto necessario portare le frazioni a un denominatore comune o tormentare il calcolatore.

In questo modo:
che è ciò che era richiesto.

3) Trova l'ordinata del baricentro. Calcoliamo l'integrale del "gioco":

E qui sarebbe difficile senza una calcolatrice. Per ogni evenienza, commenterò che come risultato della moltiplicazione dei polinomi, si ottengono 9 termini e alcuni di essi sono simili. Ho dato termini simili oralmente (come di solito si fa in casi simili) e immediatamente annotato l'importo finale.

Di conseguenza:
che è molto, molto vicino alla verità.

Nella fase finale, segniamo un punto sul disegno. Secondo la condizione, non era necessario disegnare nulla, ma nella maggior parte dei problemi siamo costretti, volenti o nolenti, a disegnare una figura. Ma c'è un vantaggio assoluto: un controllo visivo e abbastanza efficace del risultato.

Risposta:

I prossimi due esempi per decisione indipendente.

Esempio 2

Trova le coordinate del baricentro di una figura piana omogenea delimitata da linee

A proposito, se immagini come si trova la parabola e hai visto i punti in cui interseca l'asse, allora qui puoi effettivamente fare a meno di un disegno.

E più difficile:

Esempio 3

Trova il baricentro di una figura piana omogenea delimitata da linee

Se hai difficoltà a tracciare, studia (recensione) lezione sulle parabole e/o Esempio n. 11 dell'art Integrali doppi per manichini.

Esempi di soluzioni alla fine della lezione.

Inoltre, una dozzina o due esempi simili possono essere trovati nell'archivio corrispondente nella pagina Soluzioni pronte per la matematica superiore.

Beh, non posso fare a meno di accontentare gli amanti matematica superiore che spesso mi chiedono di risolvere problemi difficili:

Esempio 4

Trova il baricentro di una figura piatta omogenea delimitata da linee. Disegna la figura e il suo baricentro sul disegno.

Soluzione: la condizione di questo compito richiede già categoricamente l'esecuzione di un disegno. Ma il requisito non è così formale! - anche una persona con un livello di formazione medio può immaginare questa figura nella sua mente:

Una linea retta taglia il cerchio in 2 parti e una clausola aggiuntiva (centimetro. disuguaglianze lineari) indica che stiamo parlando di un piccolo pezzo ombreggiato.

La figura è simmetrica rispetto a una linea retta (rappresentata da una linea tratteggiata), quindi il baricentro deve giacere su questa linea. E ovviamente le sue coordinate lo sono modulo. Un'ottima linea guida che praticamente esclude una risposta errata!

Ora la cattiva notizia =) All'orizzonte si profila uno spiacevole integrale dalla radice, che abbiamo analizzato in dettaglio nell'Esempio n. 4 della lezione Metodi efficienti per la risoluzione di integrali. E chissà cos'altro verrà attirato lì. Sembrerebbe che per la presenza cerchi redditizio, ma non tutto è così semplice. L'equazione della retta viene convertita nella forma e anche gli integrali risulteranno non zucchero (sebbene i fan integrali trigonometrici apprezzare). A questo proposito, è più prudente soffermarsi sulle coordinate cartesiane.

Ordine di attraversamento della forma:

1) Calcola l'area della figura:

È più razionale prendere il primo integrale sussumendo sotto il segno del differenziale:

E nel secondo integrale effettueremo la sostituzione standard:

Calcoliamo i nuovi limiti di integrazione:

2) Troviamo.

Qui nel 2° integrale è stato nuovamente utilizzato metodo per portare una funzione sotto un segno differenziale. Pratica e adotta questi ottimali (secondo me) metodi per la risoluzione di integrali tipici.

Dopo calcoli difficili e lunghi, rivolgiamo nuovamente la nostra attenzione al disegno (ricorda che i punti non lo sappiamo ancora! ) e otteniamo profonda soddisfazione morale dal valore trovato.

3) Sulla base dell'analisi effettuata in precedenza, resta da accertare che .

Eccellente:

Tracciamo un punto sul disegno. In accordo con la formulazione della condizione, la scriviamo come finale Rispondere:

Un compito simile per una soluzione indipendente:

Esempio 5

Trova il baricentro di una figura piatta omogenea delimitata da linee. Esegui il disegno.

Questo compito è interessante perché contiene una figura di dimensioni sufficientemente piccole e, se commetti un errore da qualche parte, c'è un'alta probabilità di non entrare affatto nell'area. Il che, ovviamente, è positivo in termini di controllo delle decisioni.

Esempio di design alla fine della lezione.

A volte utile transizione alle coordinate polari negli integrali doppi. Dipende dalla forma. Ho cercato e cercato un buon esempio, ma non l'ho trovato, quindi dimostrerò la soluzione nella prima attività demo della lezione sopra:


Ricordiamo che in quell'esempio siamo passati a coordinate polari, ha scoperto la procedura per aggirare l'area e calcolarne l'area

Troviamo il baricentro di questa figura. Lo schema è lo stesso: . Il valore è visibile direttamente dal disegno e la coordinata "x" dovrebbe essere spostata un po' più vicino all'asse y, poiché la parte più massiccia del semicerchio si trova lì.

Negli integrali usiamo formule standard transizione:

È probabile che non si fossero sbagliati.

Facciamo un esempio per determinare il centro di massa di un corpo dividendo lo stesso in corpi separati, i cui centri di massa sono noti.

Esempio 1. Determinare le coordinate del centro di massa di una piastra omogenea (Fig. 9). Le dimensioni sono espresse in millimetri nella Figura 9.

Soluzione: Mostra gli assi delle coordinate e . Dividiamo il piatto in parti, che sono formate da tre rettangoli. Per ogni rettangolo, disegniamo delle diagonali, i cui punti di intersezione determinano le posizioni dei centri di massa di ciascun rettangolo. Nel sistema di coordinate accettato, è facile trovare i valori delle coordinate di questi punti. Vale a dire:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Le aree di ciascun corpo sono rispettivamente pari a:

; ; .

L'area dell'intero piatto è:

Per determinare le coordinate del centro di massa di una data piastra, utilizziamo le espressioni (21). Sostituisci i valori di tutte le quantità conosciute in data equazione, noi abbiamo

In base ai valori ottenuti delle coordinate del baricentro della piastra, indichiamo il punto C in figura. Come puoi vedere, il centro di massa (punto geometrico) della lastra è al di fuori di essa.

Metodo di aggiunta. Questo metodo è un caso parziale del metodo di separazione. Può essere applicato a corpi che hanno tacche (vuoti). Inoltre, senza la parte ritagliata, è nota la posizione del baricentro del corpo. Si consideri, ad esempio, l'applicazione di tale metodo.

Esempio 2 Determinare la posizione del baricentro del peso di una piastra rotonda di raggio R, in cui è presente un ritaglio di raggio r (Fig. 10). Distanza.

Soluzione: Come si vede, dalla Fig. 10, il centro di massa della piastra giace sull'asse di simmetria della piastra, cioè sulla retta, poiché questa linea è l'asse di simmetria. Pertanto, per determinare la posizione del centro di massa di questa piastra, è necessario determinare solo una coordinata, poiché la seconda coordinata si troverà sull'asse di simmetria e equilibrerà gli zero. Mostriamo gli assi delle coordinate , . Assumiamo che il piatto sia composto da due corpi: da un cerchio completo (come se senza un ritaglio) e un corpo che sembra fatto con un ritaglio. Nel sistema di coordinate adottato, le coordinate degli enti indicati saranno: .Le aree degli enti sono: ; . L'area totale dell'intero corpo sarà uguale alla differenza tra le aree del primo e del secondo corpo, vale a dire