Doppia trasformazione integrale di coordinate rettangolari, alle coordinate polari
, correlato alle coordinate rettangolari dalle relazioni
,
, viene eseguito secondo la formula

Se l'area di integrazione
limitato a due raggi
,
(
) emergente dal polo, e due curve
e
, quindi l'integrale doppio viene calcolato dalla formula

.

Esempio 1.3. Calcola l'area della figura delimitata da queste linee:
,
,
,
.

Soluzione. Per calcolare l'area di un'area
usiamo la formula:
.

Disegna un'area (Fig. 1.5). Per fare ciò, trasformiamo le curve: , , , . Passiamo alle coordinate polari: , . . Nel sistema di coordinate polari, l'area è descritto dalle equazioni:

.

1.2. Integrali tripli

Proprietà di base integrali tripli sono simili alle proprietà degli integrali doppi.

IN coordinate cartesiane L'integrale triplo di solito si scrive così:

.

Se
, quindi l'integrale triplo sull'area numericamente uguale al volume del corpo :

.

Calcolo del triplo integrale

Lascia che l'area di integrazione delimitate rispettivamente dall'alto e dal basso da superfici continue a valore singolo
,
, e la proiezione dell'area sul piano delle coordinate
c'è una zona pianeggiante
(Fig. 1.6).

Quindi per valori fissi applicazioni corrispondenti punti dell'area cambiare dentro. Quindi otteniamo: . Se, inoltre, la proiezione è determinato dalle disuguaglianze , , dove - inequivocabile funzioni continue sul , poi

.

Esempio 1.4. Calcolare
, dove - un corpo delimitato da piani:

	, , , ( , , ). Soluzione. L'area di integrazione è la piramide (Fig. 1.7). Proiezione dell'area c'è un triangolo , delimitata da linee rette , , (Fig. 1.8). In applicazioni a punto soddisfare la disuguaglianza , Ecco perché .
	Stabilire i limiti di integrazione per un triangolo , noi abbiamo

Integrale triplo in coordinate cilindriche

Quando ci si sposta da coordinate cartesiane
a coordinate cilindriche
(Fig. 1.9) associato a
rapporti
,
,
, e

	, ,, l'integrale triplo trasforma: Esempio 1.5. Calcola il volume di un corpo delimitato da superfici: , , . Soluzione. Volume corporeo desiderato è uguale a .
	La regione di integrazione è la parte del cilindro delimitata dal basso dal piano , e sopra l'aereo (Fig. 1.10). Proiezione dell'area c'è un cerchio centrato all'origine e con raggio unitario. Passiamo alle coordinate cilindriche. , , . In applicazioni a punto , soddisfare la disuguaglianza o in coordinate cilindriche:

Regione
, delimitato da una curva
, assume la forma o
, mentre l'angolo polare
. Di conseguenza, abbiamo

.

2. Elementi di teoria dei campi

Ricordiamo innanzitutto i metodi per il calcolo degli integrali curvilinei e di superficie.

Calcolo di un integrale curvilineo su coordinate di funzioni definite su una curva , si riduce al calcolo di un integrale definito della forma

se la curva parametrico
corrisponde punto di partenza storto , ma
- il suo punto finale.

Calcolo dell'integrale di superficie di una funzione
definito su una superficie bifacciale , si riduce al calcolo di un integrale doppio, ad esempio, della forma

,

se la superficie , data dall'equazione
, viene proiettato in modo univoco sull'aereo
alla regione
. Qui - angolo tra il vettore normale unitario alla superficie e asse
:

.

Il lato della superficie richiesto dalle condizioni del problema è determinato scegliendo l'appropriata formula di accesso (2.3).

Definizione 2.1. Campo vettoriale
è chiamata funzione vettoriale del punto
insieme al suo scopo:

campo vettoriale
caratterizzato da un valore scalare - divergenza:

Definizione 2.2. flusso campo vettoriale
attraverso la superficie è chiamato integrale di superficie:

,

dove - vettore normale unitario al lato selezionato della superficie , ma
- prodotto scalare vettori e .

Definizione 2.3. circolazione campo vettoriale

su curva chiusa è detto integrale curvilineo

,

dove
.

Formula di Ostrogradskij-Gauss stabilisce una connessione tra un thread campo vettoriale attraverso una superficie chiusa e divergenza di campo:

dove - una superficie delimitata da un contorno chiuso , ma è il vettore unitario normale a questa superficie. La direzione della normale deve corrispondere alla direzione del contorno .

Esempio 2.1. Calcola l'integrale di superficie

,

dove - la parte esterna del cono
(
) tagliato dall'aereo
(Figura 2.1).

Soluzione. Superficie proiettato in modo univoco nel territorio
aereo
, e l'integrale è calcolato dalla formula (2.2).

Vettore normale di superficie unitaria troviamo dalla formula (2.3): . Qui, nell'espressione per la normale, viene scelto il segno più, poiché l'angolo tra l'asse e normale è muto e quindi deve essere negativo. Dato che , sulla superficie noi abbiamo

Regione
c'è un cerchio
. Pertanto, nell'ultimo integrale si passa alle coordinate polari, mentre
,
:

Esempio 2.2. Trova la divergenza e l'arricciatura di un campo vettoriale
.

Soluzione. Con la formula (2.4) otteniamo

Il rotore di questo campo vettoriale è trovato dalla formula (2.5)

Esempio 2.3. Trova il flusso di un campo vettoriale
attraverso una parte dell'aereo :
situato nel primo ottante (la normale forma un angolo acuto con l'asse
).

	Soluzione. Per formula (2.6) . Disegna una parte dell'aereo : situato nel primo ottante. L'equazione di questo piano in segmenti ha la forma (Fig. 2.3). Il vettore normale al piano ha coordinate: , vettore normale unitario
	. . , , dove , Di conseguenza,

dove
- proiezione piana sul
(Fig. 2.4).

Esempio 2.4. Calcola il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa formato dall'aereo
e parte del cono
(
) (Fig. 2.2).

Soluzione. Usiamo la formula di Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Trova la divergenza del campo vettoriale per formula (2.4):

dove
è il volume del cono su cui viene eseguita l'integrazione. Usiamo la famosa formula per calcolare il volume di un cono
(è il raggio della base del cono, - il suo sballo). Nel nostro caso, otteniamo
. Finalmente arriviamo

.

Esempio 2.5. Calcola la circolazione del campo vettoriale
lungo il contorno formato dall'intersezione di superfici
e
(
). Controlla il risultato usando la formula Stokes.

Soluzione. L'intersezione di queste superfici è un cerchio
,
(Fig. 2.1). La direzione della tangenziale è solitamente scelta in modo che l'area delimitata da essa rimanga sulla sinistra. Scriviamo le equazioni parametriche del contorno :

dove

dove il parametro cambia da prima
. Con la formula (2.7), tenendo conto della (2.1) e della (2.10), otteniamo

.

Applichiamo ora la formula di Stokes (2.9). Come superficie , attraversato dal contorno , puoi prendere parte dell'aereo
. Direzione normale
a questa superficie è coerente con la direzione di attraversamento del contorno . Il curl di questo campo vettoriale è calcolato nell'esempio 2.2:
. Pertanto, la circolazione desiderata

dove
- area della regione
.
- cerchio di raggio
, dove

Abbiamo due sistemi di coordinate rettangolari nello spazio e
, e un sistema di funzioni

(1)

che stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra i punti di alcune aree
e
in questi sistemi di coordinate. Assumiamo che le funzioni del sistema (1) abbiano in
derivate parziali continue. Il determinante costituito da queste derivate parziali

,

è chiamato Jacobian (o Jacobi determinante) del sistema di funzioni (1). Lo assumiamo
in
.

Sotto le ipotesi fatte sopra, vale la seguente formula generale per la modifica delle variabili nell'integrale triplo:

Come nel caso dell'integrale doppio, l'uno a uno del sistema (1) e la condizione
può essere violato in singoli punti, su singole linee e su singole superfici.

Sistema di funzioni (1) per ogni punto
corrisponde a un solo punto
. Questi tre numeri
sono dette coordinate curvilinee del punto . Punti di spazio
, per cui una di queste coordinate rimane costante, formano le cosiddette. superficie coordinata.

II Integrale triplo in coordinate cilindriche

Il sistema di coordinate cilindriche (CCS) è definito dal piano
, in cui il sistema di coordinate polari e l'asse
perpendicolare a questo piano. Coordinate del punto cilindrico
, dove
– coordinate polari del punto – proiezioni t occhiali all'aereo
, ma sono le coordinate di proiezione del punto per asse
o
.

In aereo
introduciamo le coordinate cartesiane nel solito modo, indirizziamo l'asse applicato lungo l'asse
CSK. Ora non è difficile ottenere formule che mettono in relazione le coordinate cilindriche con quelle cartesiane:

(3)

Queste formule mappano l'area sull'intero spazio
.

Le superfici coordinate in questo caso saranno:

1)
- superfici cilindriche con generatori paralleli all'asse
, le cui guide sono cerchi nel piano
, centrato in un punto ;

2)

;

3)
- piani paralleli ai piani
.

Sistema giacobino (3):

.

La formula generale nel caso di CSC assume la forma:

Nota 1 . Il passaggio alle coordinate cilindriche è consigliato quando l'area di integrazione è un cilindro o cono circolare, o un paraboloide di rivoluzione (o parti di esso), e l'asse di questo corpo coincide con l'asse dell'applicata
.

Nota 2. Le coordinate cilindriche possono essere generalizzate allo stesso modo delle coordinate polari nel piano.

Esempio 1 Calcola l'integrale triplo di una funzione

per regione
, che è l'interno del cilindro
, delimitata da un cono
e paraboloide
.

Soluzione. Abbiamo già considerato quest'area nel §2, esempio 6, e abbiamo ottenuto una notazione standard in DPSC. Tuttavia, il calcolo dell'integrale in questa regione è difficile. Andiamo al CSK:

.

Proiezione
corpo
all'aereo
è un cerchio
. Pertanto, la coordinata cambia da 0 a
, ma – da 0 a R. Attraverso un punto arbitrario
traccia una linea parallela all'asse
. Entra direttamente
su un cono, ma uscirà su un paraboloide. Ma il cono
ha l'equazione in CSK
, e il paraboloide
- l'equazione
. Quindi abbiamo

III Integrale triplo in coordinate sferiche

Il sistema di coordinate sferiche (SCS) è definito dal piano
, in cui è specificato l'UCS e l'asse
, perpendicolare al piano
.

Coordinate del punto sferico lo spazio è chiamato tripla di numeri
, dove è l'angolo polare della proiezione del punto sul piano
,- l'angolo tra l'asse
e vettore
e
.

In aereo
introdurre gli assi delle coordinate cartesiane
e
come di consueto, e l'asse dell'applicata è compatibile con l'asse
. Le formule che mettono in relazione le coordinate sferiche con le cartesiane sono:

(4)

Queste formule mappano l'area sull'intero spazio
.

Jacobiano del sistema di funzioni (4):

.

Le superfici coordinate costituiscono tre famiglie:

1)
– sfere concentriche centrate all'origine;

2)
- semipiani passanti per l'asse
;

3)
sono coni circolari con un vertice all'origine, il cui asse è l'asse
.

La formula per la transizione a SSC nell'integrale triplo:

Osservazione 3. Il passaggio a SSC è consigliato quando l'area di integrazione è una palla o parte di essa. In questo caso, l'equazione della sfera
entra. Come il CSC discusso in precedenza, il CSC è "legato" all'asse
. Se il centro della sfera è spostato di un raggio lungo l'asse delle coordinate, si otterrà l'equazione sferica più semplice con uno spostamento lungo l'asse
:

Osservazione 4. È possibile generalizzare il SSC:

con giacobino
. Questo sistema di funzioni tradurrà l'ellissoide

in un parallelepipedo

Esempio 2 Trova la distanza media dei punti della sfera di raggio dal suo centro.

Soluzione. Ricordiamo che il valore medio della funzione
nella regione di
è l'integrale triplo della funzione sull'area divisa per il volume dell'area. Nel nostro caso

Quindi abbiamo

1. Le coordinate cilindriche rappresentano il collegamento delle coordinate polari nel piano xy con la consueta applicata cartesiana z (Fig. 3).

Sia M(x, y, z) un punto arbitrario nello spazio xyz, P sia la proiezione del punto M sul piano xy. Il punto M è determinato univocamente da una tripla di numeri - le coordinate polari del punto P, z - l'applicata del punto M. Le formule che li collegano con quelle cartesiane hanno la forma

Mostra giacobino (8)

Esempio 2.

Calcola integrale

dove T è l'area delimitata dalle superfici

Soluzione. Passiamo dall'integrale alle coordinate sferiche secondo le formule (9). Quindi la regione di integrazione può essere specificata dalle disuguaglianze

E questo significa

Esempio 3 Trova il volume di un corpo delimitato da:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Abbiamo: x 2 +y 2 +z 2 =8 - sfera di raggio R= v8 centrata nel punto O(000),

La parte superiore del cono z 2 \u003d x 2 + y 2 con un asse di simmetria Oz e un vertice nel punto O (Fig. 2.20).

Troviamo la linea di intersezione della sfera e del cono:

E poiché per condizione z ? 0, allora

Cerchio R=2 giacente nel piano z=2.

Pertanto, secondo (2.28)

dove il dominio U è delimitato dall'alto

(parte della sfera),

(parte di un cono);

la regione U è proiettata sul piano Oxy nella regione D - un cerchio di raggio 2.

Pertanto, è opportuno passare l'integrale triplo a coordinate cilindriche usando le formule (2.36):

I limiti di variazione di q, r si trovano nell'area D v cerchio completo R=2 centrata nel punto O, quindi: 0?c?2p, 0?r?2. Pertanto, la regione U in coordinate cilindriche è data dalle seguenti disuguaglianze:

notare che

Che sia dato corpo materiale, che è una regione spaziale P piena di massa. È necessario trovare la massa m di questo corpo a condizione che in ogni punto P € P sia nota la densità di distribuzione della massa. Dividiamo la regione P rispettivamente in parti cubabili non sovrapposte (cioè aventi volume) con volumi. In ciascuna delle regioni parziali ft* scegliamo un punto arbitrario P*. Assumiamo approssimativamente che entro i limiti della regione parziale ft* la densità sia costante e uguale a /*(P*). Quindi la massa Atk di questa parte del corpo sarà espressa dall'uguaglianza approssimativa Atpk e la massa dell'intero corpo sarà approssimativamente uguale all'integrale triplo Proprietà degli integrali tripli Calcolo dell'integrale triplo in coordinate cartesiane Calcolo dell'integrale triplo in coordinate cilindriche e sferiche Sia d il maggiore dei diametri delle regioni parziali Se a d - * 0 la somma (1) ha un limite finito, che non dipende dal metodo di divisione del dominio ft in sottodomini parziali, o da la scelta dei punti Р* € ft*, allora questo limite è preso come la massa m di un dato corpo. Sia definita una funzione limitata in un dominio chiuso a cubo ft. ft in n parti cubite non intersecanti e indichiamo i loro volumi con , rispettivamente. In ogni sottodominio parziale P*, scegliamo arbitrariamente il punto Pk(xk, yk, zk) e componiamo la somma integrale Sia d il maggiore dei diametri dei domini parziali Definizione. Se, per d 0, le somme integrali a hanno un limite che non dipende né dal metodo di divisione del dominio A in sottodomini parziali П*, né dalla scelta dei punti Pk ∈ П*, allora tale limite è detto trinità di integrali della funzione f(x) y, z) rispetto al dominio Q ed è indicato dal simbolo Teorema 6. Se una funzione f(x, y, z) è continua in un dominio chiuso a cubetti Π, allora è integrabile in questo dominio. Proprietà degli integrali tripli Le proprietà degli integrali tripli sono simili a quelle degli integrali doppi Elenchiamo le principali. Siano integrabili le funzioni in un dominio al cubo L. 1. Linearità. In questo caso la funzione si dice integrabile nel dominio Q. Quindi, per definizione, si ha Tornando al problema del calcolo della massa di un corpo, si nota che il limite (2) è l'integrale triplo della funzione p( P) sul dominio P. Quindi, qui dx dy dz - elemento volume dv in coordinate rettangolari. dove a e (3 sono costanti reali arbitrarie. ovunque nel dominio P, allora 3. Se f(P) = 1 nel dominio P, allora n dove V è il volume del dominio Q. Se la funzione f(P) è continuo nel dominio cubico chiuso f e M e t - il suo più grande e valore più piccolo in piedi, quindi dove V è il volume dell'area in piedi. 5. Additività. Se il dominio ft è diviso in domini cubabili senza punti interni comuni e f(P) è integrabile nel dominio ft, allora f(P) è integrabile su ciascuno dei domini ft| e ft2, e 6. Teorema del valore medio. Teorema 7 (sul valore medio). Se la funzione f(P) è continua in un dominio chiuso a cubo ft, allora c'è un sottile Pc € ft tale che la formula è valida dove V è il volume del dominio ft (ricordiamo che il dominio è un insieme connesso). § 7. Calcolo dell'integrale triplo in coordinate cartesiane Come nel calcolo degli integrali doppi, la questione si riduce al calcolo degli integrali iterati. Assumiamo che la funzione sia continua in qualche dominio ft. 1° caso. L'area ft è un parallelepipedo rettangolare proiettato sul piano yOz in un rettangolo i2; Quindi otteniamo Sostituendo l'integrale doppio con quello ripetuto, finalmente otteniamo Quindi, nel caso in cui la regione П sia un parallelepipedo rettangolare, abbiamo ridotto il calcolo dell'integrale triplo al calcolo sequenziale di tre integrali ordinari. La formula (2) può essere riscritta nella forma in cui il rettangolo è la proiezione ortogonale del parallelepipedo P sul piano xOy. 2° caso. Consideriamo ora un'area Q tale che la sua superficie di delimitazione 5 intersechi una retta parallela all'asse di Oz al massimo in due punti o lungo un intero segmento (Fig. 22). Sia z = tpi(x, y) l'equazione della superficie 5 che delimita il dominio Π dal basso, e la superficie S2 che delimita il dominio Π dall'alto abbia l'equazione z = y). Lascia che entrambe le superfici S1 e S2 proiettino sulla stessa regione del piano x0y. Indichiamolo con D, e la curva che lo delimita con L. Il resto del confine 5 del corpo Q giace su una superficie cilindrica con generatori, parallelo all'asse Oz, e con la curva L come guida. Quindi, per analogia con la formula (3), otteniamo Se l'area D del piano xOy è un trapezio curvilineo delimitato da due curve, allora l'integrale doppio nella formula (4) può essere ridotto a uno iterato, e infine otteniamo Questa formula è una generalizzazione della formula (2). Fig-23 Esempio. Calcolare il volume di un tetraedro delimitato da piani La proiezione di un tetraedro sul piano xOy è un triangolo formato da rette in modo che x cambi da 0 a 6, e ad una x fissa (0 ^ x ^ 6) y cambia da 0 a 3 - | (Fig. 23). Se sia x che y sono fissi, il punto può spostarsi verticalmente da un piano all'altro e varia da 0 a 6 - x - 2y. Secondo la formula, otteniamo §8. Calcolo dell'integrale triplo in coordinate cilindriche e sferiche La questione del cambiamento di variabili nell'integrale triplo viene risolta allo stesso modo del caso dell'integrale doppio. Sia la funzione /(x, y, z) continua in un dominio cubico chiuso ft, e le funzioni siano continue insieme alle loro derivate parziali del primo ordine in un dominio cubico chiuso ft*. Assumiamo che le funzioni (1) stabiliscano una corrispondenza biunivoca tra tutti i punti rj, () dell'area ft*, da un lato, e tutti i punti (x, y, z) dell'area ft, su l'altro. Allora vale la formula per la modifica delle variabili nell'integrale triplo - dov'è lo Jacobiano del sistema di funzioni (1). In pratica, quando si calcolano gli integrali tripli, si usa spesso la sostituzione di coordinate rettangolari con coordinate cilindriche e sferiche. 8.1. Integrale triplo in coordinate cilindriche B sistema cilindrico coordinate, la posizione del punto P nello spazio è determinata da tre numeri p, dove p e (p sono le coordinate polari della proiezione P1 del punto P sul piano xOy, az è l'applicata del punto P (Fig. 24) I numeri sono detti coordinate cilindriche del punto P. È chiaro che Nel sistema Coordinate cilindriche Superfici coordinate Integrale triplo Proprietà degli integrali tripli Calcolo dell'integrale triplo in coordinate cartesiane Calcolo dell'integrale triplo in coordinate cilindriche e sferiche , rispettivamente, descrive: un cilindro circolare il cui asse coincide con l'asse di Oz, un semipiano adiacente all'asse di Oz, e un piano, parallela al piano ho. Le coordinate cilindriche sono legate a cartesiane dalle seguenti formule (vedi Fig. 24). Per il sistema (3), mappando l'area ft sull'area, abbiamo anche la formula (2) per il passaggio dall'integrale triplo in coordinate rettangolari all'integrale in coordinate cilindriche assume la forma (4) L'espressione è chiamata volume elemento in coordinate cilindriche. Questa espressione per l'elemento volume può essere ottenuta anche da considerazioni geometriche. Dividiamo il dominio П in sottodomini elementari per superfici coordinate e calcoliamo i volumi dei prismi curvilinei risultanti (Fig. 25). Si può vedere che scartare all'infinito piccola quantità di più ordine elevato, otteniamo Questo ci permette di prendere il seguente valore per l'elemento volume in coordinate cilindriche Esempio 1. Trovare il volume di un corpo delimitato da superfici 4 In coordinate cilindriche, le superfici date avranno equazioni (vedi formule (3)). Queste superfici si intersecano lungo la linea r, che è descritta dal sistema di equazioni (cilindro), (piano), Fig. 26 e la sua proiezione sul piano xOy dal sistema.Quindi, il volume desiderato è calcolato dalla formula (4) , in quale. Integrale triplo in coordinate sferiche In un sistema di coordinate sferiche, la posizione del punto P(x, y, z) nello spazio è determinata da tre numeri, dove r è la distanza dall'origine delle coordinate all'angolo tra l'asse Ox e la proiezione del vettore raggio OP del punto P sul piano xOy, e c è l'angolo tra l'asse di Oz e il vettore raggio OP del punto P, contato dall'asse di Oz (Fig. 27). È chiaro che. Superfici coordinate in questo sistema di coordinate: r = const - sfere centrate all'origine; ip = const semipiani emanati dall'asse di Oz; c = const - coni circolari con asse Oz. Riso. 27 Dalla figura si può vedere che le coordinate sferiche e cartesiane sono legate dalle seguenti relazioni Calcoliamo la Jacobiana delle funzioni (5). Abbiamo Pertanto, e la formula (2) assume la forma Elemento volume in coordinate sferiche - L'espressione per l'elemento volume può essere ottenuta anche da considerazioni geometriche. Consideriamo una regione elementare nello spazio delimitata da sfere di raggi r e r + dr, coni β e β + d$ e semipiani.Approssimativamente, questa regione può essere considerata cuboide con misure. Allora proprietà del triplo integrale di tripli integrali Calcolo di un triplo integrale in coordinate cartesiane Calcolo di un triplo integrale in coordinate cilindriche e sferiche Dalla terza equazione troviamo i limiti dell'angolo modificato 9: da dove

Integrali tripli. Calcolo del volume corporeo.
Integrale triplo in coordinate cilindriche

Per tre giorni il morto giaceva nell'ufficio del preside, vestito con pantaloni pitagorici,
Nelle mani di Fikhtengoltz teneva un volume che lo aveva salvato dal mondo bianco,
Un triplo integrale era legato alle gambe e il cadavere era avvolto in una matrice,
E invece di pregare, qualche persona impudente ha letto il teorema di Bernoulli.

Gli integrali tripli sono qualcosa di cui non puoi più aver paura =) Perché se stai leggendo questo testo, molto probabilmente hai una buona comprensione di teoria e pratica degli integrali "ordinari"., così come integrali doppi. E dove c'è un doppio, vicino c'è un triplo:

E davvero, cosa c'è da temere? Integrale di meno, integrale di più....

Comprendere il record:

– icona tripla integrale;
– integrando funzione di tre variabili;
è il prodotto di differenziali.
è la regione dell'integrazione.

Soffermiamoci in particolare su aree di integrazione. Se dentro doppio integrale lei rappresenta figura piatta, poi qui - corpo spaziale, noto per essere limitato dall'insieme superfici. Quindi, oltre a quanto sopra, devi navigare principali superfici dello spazio ed essere in grado di eseguire semplici disegni tridimensionali.

Alcune persone sono arrabbiate, ho capito... Purtroppo, l'articolo non può essere intitolato "integrali tripli per manichini" e devi sapere / essere in grado di fare qualcosa. Ma va bene così: tutto il materiale è presentato in una forma estremamente accessibile e padroneggiato nel più breve tempo possibile!

Cosa significa calcolare un integrale triplo e di cosa si tratta?

Calcolo della media integrale tripla trova NUMERO:

Nel caso più semplice, quando l'integrale triplo è numericamente uguale al volume del corpo. E infatti, secondo il significato generale di integrazione, il prodotto è infinitamente piccolo il volume del "mattone" elementare del corpo. E il triplo integrale è giusto riunisce tutti questi particelle infinitesime sull'area, risultando in un valore integrale (totale) del volume del corpo: .

Inoltre, l'integrale triplo ha importanza applicazioni fisiche. Ma ne parleremo più avanti - nella seconda parte della lezione, dedicata a calcolo di integrali tripli arbitrari, la cui funzione è generalmente diversa da una costante e continua nel dominio. In questo articolo considereremo in dettaglio il problema di trovare il volume, che, secondo la mia valutazione soggettiva, si verifica 6-7 volte più spesso.

Come risolvere un integrale triplo?

La risposta segue logicamente dal paragrafo precedente. Necessità di definire ordine di camminata corporea e vai a integrali iterati . Quindi trattare in sequenza tre integrali singoli.

Come puoi vedere, l'intera cucina ricorda molto, molto integrali doppi, con la differenza che ora abbiamo aggiunto una dimensione aggiuntiva (più o meno l'altezza). E, probabilmente, molti di voi hanno già intuito come si risolvono gli integrali tripli.

Sfatiamo ogni dubbio residuo:

Esempio 1

Si prega di scrivere in una colonna su carta:

E rispondi alle seguenti domande. Sai quali superfici definiscono queste equazioni? Capisci il significato informale di queste equazioni? Riesci a immaginare come si trovano queste superfici nello spazio?

Se ti stai orientando verso la risposta generale "piuttosto che no", assicurati di completare la lezione, altrimenti non andrai oltre!

Soluzione: usa la formula .

Per scoprirlo ordine di camminata corporea e vai a integrali iterati bisogna (tutto ingegnoso è semplice) capire che tipo di corpo è. E tale comprensione in molti casi è molto facilitata dai disegni.

Per condizione, il corpo è delimitato da diverse superfici. Da dove iniziare a costruire? Suggerisco la seguente linea di condotta:

Disegniamo prima parallela ortogonale proiezione del corpo sul piano delle coordinate. La prima volta che ho detto come si chiama questa proiezione, lol =)

Poiché la proiezione viene eseguita lungo l'asse, è opportuno innanzitutto occuparsene superfici paralleli all'asse dato. Ti ricordo che le equazioni di tali superfici non contengono la lettera "z". Ce ne sono tre in questo problema:

– l'equazione definisce il piano delle coordinate, che passa per l'asse;
– l'equazione definisce il piano delle coordinate, che passa per l'asse;
- gli insiemi di equazioni aereo linea "piatta". parallelo all'asse.

Molto probabilmente, la proiezione desiderata è il seguente triangolo:

Forse non tutti hanno capito bene di cosa si trattava. Immagina che un asse esca dallo schermo del monitor e si attacchi direttamente al ponte del naso ( quelli. si scopre che stai guardando un disegno tridimensionale dall'alto). Il corpo spaziale studiato si trova in un "corridoio" infinito di tre dimensioni e la sua proiezione sul piano è molto probabilmente un triangolo ombreggiato.

Attiro in particolare l'attenzione sul fatto che finora abbiamo espresso solo una proiezione e le clausole “molto probabile”, “molto probabile” non erano casuali. Il fatto è che non tutte le superfici sono state ancora analizzate e può capitare che una di esse “spezzi” parte del triangolo. A titolo illustrativo, sfera centrato all'origine con raggio minore di uno, ad esempio una sfera è la sua proiezione su un piano (cerchio ) non "coprirà" completamente l'area ombreggiata e la proiezione finale del corpo non sarà affatto un triangolo (il cerchio "taglierà" i suoi angoli acuti).

Nella seconda fase, scopriamo come il corpo è limitato dall'alto, che dal basso, ed eseguiamo un disegno spaziale. Torniamo alla condizione del problema e vediamo quali superfici sono rimaste. L'equazione definisce il piano delle coordinate stesso e l'equazione - cilindro parabolico, situato sopra piano e passante per l'asse. Pertanto, la proiezione del corpo è davvero un triangolo.

A proposito, ho trovato qui ridondanza condizioni - non era necessario includere l'equazione del piano, poiché la superficie, toccando l'asse delle ascisse, chiude così il corpo. È interessante notare che in questo caso non saremmo in grado di disegnare subito la proiezione: il triangolo "disegnerebbe" solo dopo aver analizzato l'equazione.

Disegniamo con cura un frammento di un cilindro parabolico:

Dopo aver completato i disegni con l'ordine del corpo nessun problema!

Innanzitutto, determiniamo l'ordine di attraversamento della proiezione (allo stesso tempo è MOLTO PIÙ CONVENIENTE navigare secondo un disegno bidimensionale). E 'fatto ASSOLUTAMENTE UGUALE, Come in integrali doppi! Richiamare il puntatore laser e scansionare un'area piatta. Scegliamo la prima soluzione "tradizionale":

Successivamente, prendiamo una torcia magica, guardiamo il disegno tridimensionale e rigorosamente dal basso verso l'alto illuminare il paziente. I raggi entrano nel corpo attraverso il piano e lo lasciano attraverso la superficie. Quindi l'ordine di attraversamento del corpo è:

Passiamo agli integrali iterati:

1) Dovresti iniziare con l'integrale "Z". Noi usiamo Formula di Newton-Leibniz:

Sostituisci il risultato nell'integrale "gioco":

Quello che è successo? In sostanza, la soluzione è stata ridotta a un integrale doppio, cioè alla formula volume di una trave cilindrica! Quello che segue è noto:

2)

Prestare attenzione alla tecnica razionale per risolvere il 3° integrale.

Risposta:

I calcoli possono sempre essere scritti su "una riga":


Ma fai attenzione con questo metodo: il guadagno di velocità è irto di perdita di qualità e più difficile è l'esempio, più è probabile che si commetta un errore.

Rispondiamo a una domanda importante:

È necessario realizzare disegni se le condizioni dell'attività non richiedono la loro attuazione?

Puoi andare in quattro modi:

1) Raffigura la proiezione e il corpo stesso. Questa è l'opzione più vantaggiosa: se è possibile completare due disegni decenti, non essere pigro, esegui entrambi i disegni. Mi raccomando prima.

2) Disegna solo il corpo. Adatto quando il corpo ha una proiezione semplice ed evidente. Quindi, ad esempio, nell'esempio analizzato, basterebbe un disegno tridimensionale. Tuttavia, c'è anche un aspetto negativo: è scomodo determinare l'ordine del bypass di proiezione da un'immagine 3D e consiglierei questo metodo solo a persone con buon livello preparazione.

3) Mostra solo la proiezione. Anche non male, ma poi sono richiesti commenti scritti aggiuntivi, che limitano l'area da più lati. Sfortunatamente, la terza opzione è spesso forzata: quando il corpo è troppo grande o la sua costruzione è irta di altre difficoltà. E considereremo anche tali esempi.

4) Fai a meno dei disegni. In questo caso, è necessario immaginare mentalmente il corpo e commentare per iscritto la sua forma/posizione. Adatto per corpi molto semplici o compiti in cui la realizzazione di entrambi i disegni è difficoltosa. Tuttavia, è meglio fare almeno un disegno schematico, poiché una soluzione "nuda" può essere rifiutata.

Il seguente organismo per il caso indipendente:

Esempio 2

Usando l'integrale triplo, calcola il volume di un corpo delimitato da superfici

In questo caso, il dominio di integrazione è dato principalmente dalle disuguaglianze, ed è ancora meglio: l'insieme delle disuguaglianze definisce il 1° ottante, inclusi i piani delle coordinate, e la disuguaglianza - semispazio, contenente l'origine (dai un'occhiata)+ l'aereo stesso. Il piano "verticale" taglia il paraboloide lungo la parabola ed è opportuno costruire questa sezione sul disegno. Per fare ciò, è necessario trovare un punto di riferimento aggiuntivo, il modo più semplice è la parte superiore della parabola (consideriamo i valori e calcola la Z corrispondente).

Continuiamo ad allungare:

Esempio 3

Utilizzare l'integrale triplo per calcolare il volume del corpo delimitato dalle superfici specificate. Esegui il disegno.

Soluzione: la dicitura "esegui un disegno" ci dà una certa libertà, ma molto probabilmente implica l'esecuzione di un disegno spaziale. Tuttavia, anche la proiezione non fa male, soprattutto perché qui non è delle più facili.

Aderiamo alle tattiche elaborate in precedenza: prima ci occuperemo superfici paralleli all'asse dell'applicata. Le equazioni di tali superfici non contengono esplicitamente la variabile "z":

– l'equazione definisce il piano delle coordinate passante per l'asse ( che sul piano è determinato dall'equazione "omonima");
- gli insiemi di equazioni aereo passando per "l'omonimo" linea "piatta". parallelo all'asse.

Il corpo desiderato è delimitato da un piano dal basso e cilindro parabolico sopra:

Comportiamo l'ordine di bypassare il corpo, mentre i limiti "x" e "y" di integrazione, ti ricordo, è più conveniente scoprirli da un disegno bidimensionale:

In questo modo:

1)

Quando si integra su "y" - "x" è considerata una costante, quindi è consigliabile togliere immediatamente la costante dal segno di integrale.

3)

Risposta:

Sì, quasi dimenticavo, nella maggior parte dei casi serve a poco (e anche dannoso) confrontare il risultato ottenuto con un disegno tridimensionale, poiché è molto probabile che illusione di volume di cui ho parlato a lezione Volume di un corpo di rivoluzione. Quindi, valutando il corpo del compito considerato, mi è sembrato personalmente che avesse molto più di 4 "cubi".

L'esempio seguente è per una soluzione autonoma:

Esempio 4

Usa l'integrale triplo per calcolare il volume del corpo delimitato dalle superfici indicate. Disegna il corpo dato e la sua proiezione sul piano.

Un esempio di compito alla fine della lezione.

Non è raro quando l'esecuzione di un disegno tridimensionale è difficoltosa:

Esempio 5

Usando l'integrale triplo, trova il volume del corpo dato dalle superfici che lo delimitano

Soluzione: la proiezione qui è semplice, ma devi pensare all'ordine del suo bypass. Se scegli il 1° metodo, la cifra dovrà essere divisa in 2 parti, che non illusoriamente minacciano di calcolare la somma Due integrali tripli. A questo proposito, il 2° modo sembra molto più promettente. Esprimiamo e rappresentiamo la proiezione di questo corpo nel disegno:

Mi scuso per la qualità di alcune immagini, le ho ritagliate direttamente dai miei stessi manoscritti.

Scegliamo un ordine più favorevole per aggirare la figura:

Ora tocca al corpo. Dal basso è delimitato da un piano, dall'alto - da un piano che passa per l'asse y. E tutto andrebbe bene, ma l'ultimo piano è troppo ripido e non è così facile costruire un'area. La scelta qui non è invidiabile: o i gioielli funzionano su piccola scala (perché il corpo è piuttosto magro), o un disegno alto circa 20 centimetri (e anche allora, se si adatta).

Ma c'è un terzo metodo primordialmente russo per risolvere il problema: segnare =) E invece di un disegno tridimensionale, cavarsela con una descrizione verbale: "Questo corpo è limitato da cilindri e un piano sul lato, un piano in basso e un piano in alto.

I limiti "verticali" di integrazione sono ovviamente i seguenti:

Calcoliamo il volume del corpo, senza dimenticare che abbiamo bypassato la proiezione in un modo meno comune:

1)

Risposta:

Come hai notato, i corpi offerti nei compiti per non più di cento dollari sono spesso limitati a un aereo dal basso. Ma questo non è un qualche tipo di regola, quindi devi sempre stare all'erta: un compito potrebbe imbattersi in dove si trova il corpo e sotto aereo . Quindi, ad esempio, se nel problema analizzato invece di considerare il piano, il corpo investigato sarà visualizzato simmetricamente nel semispazio inferiore e sarà limitato dal piano dal basso e dal piano - già dall'alto!

È facile verificare che si otterrà lo stesso risultato:

(ricorda che il corpo deve essere bypassato rigorosamente dal basso!)

Inoltre, l'aereo "preferito" potrebbe rivelarsi completamente fuori mercato, l'esempio più semplice: una palla situata sopra l'aereo - quando si calcola il suo volume, l'equazione non è affatto necessaria.

Considereremo tutti questi casi, ma per ora un compito simile per una soluzione indipendente:

Esempio 6

Usando l'integrale triplo, trova il volume di un corpo delimitato da superfici

Breve soluzione e risposta alla fine della lezione.

Passiamo al secondo paragrafo con materiali non meno apprezzati:

Integrale triplo in coordinate cilindriche

Le coordinate cilindriche sono, infatti, coordinate polari nello spazio.
In un sistema di coordinate cilindriche, la posizione di un punto nello spazio è determinata da coordinate polari e il punto è la proiezione del punto sul piano e l'applicazione del punto stesso.

Il passaggio dal tridimensionale sistema cartesiano a un sistema di coordinate cilindrico viene eseguito secondo le seguenti formule:

Per il nostro tema, la trasformazione si presenta così:

E, di conseguenza, nel caso semplificato, che consideriamo in questo articolo:

La cosa principale è non dimenticare il moltiplicatore aggiuntivo "er" e posizionarlo correttamente limiti polari di integrazione quando si bypassa la proiezione:

Esempio 7

Soluzione: seguiamo la stessa procedura: consideriamo innanzitutto le equazioni in cui non esiste una variabile "z". È qui da solo. Proiezione superficie cilindrica sull'aereo c'è l'"omonimo" cerchio .

aerei limita il corpo desiderato dal basso e dall'alto ("scolpiscilo" dal cilindro) e proiettalo in un cerchio:

Il prossimo è il disegno 3D. La difficoltà principale sta nella costruzione di un piano che intersechi il cilindro con un angolo "obliquo", risultando ellisse. Perfezioniamo analiticamente questa sezione: per questo riscriviamo l'equazione del piano nella forma funzionale e calcola i valori della funzione ("altezza") nei punti ovvi che giacciono sul confine di proiezione:

Segnaliamo i punti trovati sul disegno e con attenzione (non come me =)) collegali con una linea:

La proiezione del corpo sul piano è un cerchio, e questo è un argomento importante a favore del passaggio a un sistema di coordinate cilindrico:

Troviamo le equazioni delle superfici in coordinate cilindriche:

Ora è necessario scoprire l'ordine di bypassare il corpo.

Affrontiamo prima la proiezione. Come determinare il suo ordine di attraversamento? ESATTAMENTE COME CON calcolo di integrali doppi in coordinate polari. Qui è elementare:

Anche i limiti "verticali" dell'integrazione sono evidenti: entriamo nel corpo attraverso il piano e ne usciamo attraverso il piano:

Passiamo agli integrali iterati:

Allo stesso tempo, mettiamo immediatamente il moltiplicatore "er" nell'integrale "nostro".

La scopa, come al solito, è più facile da spezzare lungo i ramoscelli:

1)

Portiamo il risultato nel seguente integrale:

E qui non dimentichiamo che "phi" è considerato una costante. Ma questo è per il momento:

Risposta:

Un compito simile per una soluzione indipendente:

Esempio 8

Usa l'integrale triplo per calcolare il volume di un corpo delimitato da superfici. Disegna il corpo dato e la sua proiezione sul piano.

Un esempio approssimativo di finitura alla fine della lezione.

Si noti che nelle condizioni dei problemi non viene detta una parola sulla transizione a un sistema di coordinate cilindrico e una persona ignorante si scontra con integrali difficili in coordinate cartesiane. ... O forse no - dopotutto, c'è un terzo modo primordialmente russo per risolvere i problemi =)

È solo l'inizio! …in senso buono: =)

Esempio 9

Usando l'integrale triplo, trova il volume di un corpo delimitato da superfici

Modesto e di buon gusto.

Soluzione: dato corpo limitato superficie conica e paraboloide ellittico. Lettori che hanno letto attentamente i materiali dell'articolo Principali superfici dello spazio, ho già immaginato che aspetto abbia il corpo, ma in pratica spesso ce ne sono di più casi difficili, quindi effettuerò un ragionamento analitico dettagliato.

Innanzitutto, trova le linee lungo le quali le superfici si intersecano. Creiamo e risolviamo il seguente sistema:

Dalla prima equazione, sottraiamo il secondo termine per termine:

Il risultato sono due radici:

Sostituiamo il valore trovato in qualsiasi equazione del sistema:
, da cui ne consegue
Pertanto, la radice corrisponde a un unico punto: l'origine. Naturalmente i vertici delle superfici considerate coincidono.

Ora sostituiamo la seconda radice - anche in qualsiasi equazione del sistema:

Qual è il significato geometrico del risultato ottenuto? "All'altezza" (nel piano) il paraboloide e il cono si intersecano lungo cerchi– raggio unitario centrato nel punto .

In questo caso, la “coppa” del paraboloide contiene l'“imbuto” del cono, quindi generatori la superficie conica dovrebbe essere disegnata con una linea tratteggiata (ad eccezione del segmento del generatore più lontano da noi, che è visibile da questo angolo):

La proiezione del corpo sul piano è un cerchio centrato all'origine del raggio 1, che non mi sono nemmeno degnato di disegnare per l'ovvietà di questo fatto (tuttavia, facciamo un commento scritto!). A proposito, nei due compiti precedenti, anche il disegno di proiezione potrebbe essere valutato, se non per la condizione.

Quando si passa a coordinate cilindriche lungo formule standard la disuguaglianza sarà scritta nella forma più semplice e non ci sono problemi con l'ordine di aggirare la proiezione:

Troviamo le equazioni delle superfici in un sistema di coordinate cilindrico:

Poiché il problema considera la parte superiore del cono, esprimiamo dall'equazione:

"Scansione del corpo" dal basso verso l'alto. I raggi di luce vi entrano attraverso un paraboloide ellittico ed escono attraverso una superficie conica. Pertanto, l'ordine "verticale" di attraversamento del corpo è:

Il resto della tecnica:

Risposta:

Non è raro che un corpo sia definito non dalle sue superfici di delimitazione, ma da un insieme di disuguaglianze:

Esempio 10

senso geometrico disuguaglianze spaziali, ho spiegato in modo sufficientemente dettagliato nello stesso articolo di aiuto – Le principali superfici dello spazio e la loro costruzione.

Sebbene questa attività contenga un parametro, consente l'esecuzione di un disegno esatto che riflette la vista fondamentale del corpo. Considera come costruire. Una breve soluzione e una risposta si trovano alla fine della lezione.

... beh, un altro paio di compiti? Ho pensato di finire la lezione, ma mi sembra che tu voglia di più =)

Esempio 11

Usando l'integrale triplo, calcola il volume di un dato corpo:
, dove è un numero positivo arbitrario.

Soluzione: disuguaglianza definisce una pallina centrata all'origine delle coordinate di raggio e la disuguaglianza - "all'interno" di un cilindro circolare con un asse di simmetria di raggio. Pertanto, il corpo desiderato è limitato da un cilindro circolare sul lato e segmenti sferici simmetrici rispetto al piano dall'alto e dal basso.

Prendendo come unità di misura base, eseguiremo il disegno:

Più precisamente, dovrebbe chiamarsi disegno, poiché non ho mantenuto molto bene le proporzioni lungo l'asse. Tuttavia, in tutta onestà, secondo la condizione, non era necessario disegnare nulla e una tale illustrazione si è rivelata abbastanza.

Tieni presente che qui non è necessario scoprire l'altezza alla quale il cilindro taglia i "cappucci" dalla palla - se prendi una bussola e segni un cerchio con un centro all'origine delle coordinate con un raggio di 2 cm , quindi i punti di intersezione con il cilindro risulteranno da soli.