o (equivalentemente) un poliedro con sei facce che sono parallelogrammi. Esagono.

I parallelogrammi che compongono il parallelepipedo sono facce questo parallelepipedo, i lati di questi parallelogrammi sono bordi parallelepipedi, e sono i vertici dei parallelogrammi picchi parallelepipedo. Ogni faccia di un parallelepipedo è parallelogramma.

Di norma, ogni 2a faccia opposta viene distinta e chiamata le basi del parallelepipedo e le facce rimanenti facce laterali del parallelepipedo. I bordi del parallelepipedo che non appartengono alle basi sono nervature laterali.

Le 2 facce di un cuboide che condividono un bordo sono imparentato e quelli che non hanno bordi comuni - opposto.

Un segmento che collega 2 vertici che non appartengono alla prima faccia è la diagonale del parallelepipedo.

Lunghezze delle coste cuboide, che non sono paralleli, lo sono dimensioni lineari (misurazioni) un parallelepipedo. Un parallelepipedo rettangolare ha 3 dimensioni lineari.

Tipi di parallelepipedi.

Esistono diversi tipi di parallelepipedi:

Direttoè un parallelepipedo con il bordo perpendicolare al piano della base.

Un cubo con tutte e 3 le dimensioni valore uguale, è un cubo. Ciascuna delle facce del cubo è uguale piazze .

Parallelepipedo arbitrario. Il volume e i rapporti in una skew box sono per lo più definiti utilizzando l'algebra vettoriale. Il volume della scatola è uguale al valore assoluto del prodotto misto di 3 vettori, che sono determinati dai 3 lati della scatola (che provengono dallo stesso vertice). Il rapporto tra le lunghezze dei lati del parallelepipedo e gli angoli tra loro mostra l'affermazione che il determinante di Gram dei 3 vettori dati è uguale al quadrato del loro prodotto misto.

Proprietà di un parallelepipedo.

• Il parallelepipedo è simmetrico rispetto al punto medio della sua diagonale.
• Qualsiasi segmento con estremità che appartengano alla superficie del parallelepipedo e che passi per il punto medio della sua diagonale è da esso diviso in due parti uguali. Tutte le diagonali del parallelepipedo si intersecano nel 1° punto e sono da esso divise in due parti uguali.
• Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e hanno dimensioni uguali.
• Il quadrato della lunghezza della diagonale di un cubo è

In questa lezione, tutti potranno studiare l'argomento "Scatola rettangolare". All'inizio della lezione, ripeteremo cosa sono i parallelepipedi arbitrari e rettilinei, ricordiamo le proprietà delle loro facce opposte e le diagonali del parallelepipedo. Quindi considereremo cos'è un cuboide e discuteremo le sue proprietà principali.

Argomento: Perpendicolarità di rette e piani

Lezione: Cuboide

Si chiama una superficie composta da due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e da quattro parallelogrammi ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 parallelepipedo(Fig. 1).

Riso. 1 Parallelepipedo

Cioè: abbiamo due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (basi), giacciono in piani paralleli in modo che le nervature laterali AA 1, BB 1, DD 1, SS 1 siano parallele. Si chiama così una superficie composta da parallelogrammi parallelepipedo.

Pertanto, la superficie di un parallelepipedo è la somma di tutti i parallelogrammi che compongono il parallelepipedo.

1. Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e uguali.

(le cifre sono uguali, cioè possono essere combinate per sovrapposizione)

Per esempio:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (parallelogrammi uguali per definizione),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (poiché AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (poiché AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo).

2. Le diagonali del parallelepipedo si intersecano in un punto e lo bisecano.

Le diagonali del parallelepipedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B si intersecano in un punto O e ciascuna diagonale è divisa a metà da questo punto (Fig. 2).

Riso. 2 Le diagonali del parallelepipedo si intersecano e bisecano il punto di intersezione.

3. Ci sono tre quadruple di bordi uguali e paralleli del parallelepipedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definizione. Un parallelepipedo si dice diritto se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alle basi.

Lascia che il bordo laterale AA 1 sia perpendicolare alla base (Fig. 3). Ciò significa che la retta AA 1 è perpendicolare alle rette AD e AB, che giacciono nel piano della base. E, quindi, i rettangoli si trovano nelle facce laterali. E le basi sono parallelogrammi arbitrari. Denota, ∠BAD = φ, l'angolo φ può essere qualsiasi.

Riso. 3 Casella giusta

Quindi, una scatola destra è una scatola in cui i bordi laterali sono perpendicolari alle basi della scatola.

Definizione. Il parallelepipedo è detto rettangolare, se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alla base. Le basi sono rettangoli.

Il parallelepipedo АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 è rettangolare (Fig. 4) se:

1. AA 1 ⊥ ABCD (lo spigolo laterale è perpendicolare al piano della base, cioè un parallelepipedo rettilineo).

2. ∠BAD = 90°, cioè la base è un rettangolo.

Riso. 4 Cuboide

Una scatola rettangolare ha tutte le proprietà di una scatola arbitraria. Ma ci sono proprietà aggiuntive che derivano dalla definizione di cuboide.

Così, cuboideè un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari alla base. La base di un cuboide è un rettangolo.

1. In un cuboide, tutte e sei le facce sono rettangoli.

ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 sono rettangoli per definizione.

2. Le nervature laterali sono perpendicolari alla base. Ciò significa che tutte le facce laterali di un cuboide sono rettangoli.

3. Tutti gli angoli diedri di un cuboide sono angoli retti.

Si consideri, ad esempio, l'angolo diedro di un parallelepipedo rettangolare di spigolo AB, ovvero l'angolo diedro tra i piani ABB 1 e ABC.

AB è un bordo, il punto A 1 giace su un piano - nel piano ABB 1 e il punto D nell'altro - nel piano A 1 B 1 C 1 D 1. Quindi l'angolo diedro considerato può anche essere indicato come segue: ∠А 1 АВD.

Prendi il punto A sul bordo AB. AA 1 è perpendicolare allo spigolo AB nel piano ABB-1, AD è perpendicolare allo spigolo AB nel piano ABC. Quindi, ∠A 1 AD è l'angolo lineare dell'angolo diedro dato. ∠A 1 AD \u003d 90 °, il che significa che l'angolo diedro sul bordo AB è 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Allo stesso modo è dimostrato che tutti gli angoli diedri di un parallelepipedo rettangolare sono retti.

Il quadrato della diagonale di un cuboide è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni.

Nota. Le lunghezze dei tre bordi che emanano dallo stesso vertice del cuboide sono le misure del cuboide. A volte sono chiamati lunghezza, larghezza, altezza.

Dato: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - un parallelepipedo rettangolare (Fig. 5).

Dimostra: .

Riso. 5 Cuboide

Prova:

La retta CC 1 è perpendicolare al piano ABC, e quindi alla retta AC. Quindi il triangolo CC 1 A è un triangolo rettangolo. Secondo il teorema di Pitagora:

Tenere conto triangolo rettangolo ABC. Secondo il teorema di Pitagora:

Ma BC e AD sono lati opposti del rettangolo. Quindi BC = AD. Quindi:

Come , un , poi. Poiché CC 1 = AA 1, allora ciò che doveva essere dimostrato.

Le diagonali di un parallelepipedo rettangolare sono uguali.

Indichiamo le dimensioni del parallelepipedo ABC come a, b, c (vedi Fig. 6), quindi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Un parallelepipedo è un prisma quadrangolare le cui basi sono parallelogrammi. L'altezza di un parallelepipedo è la distanza tra i piani delle sue basi. Nella figura, l'altezza è mostrata come una linea . Esistono due tipi di parallelepipedi: diritti e obliqui. Generalmente, insegnante di matematica prima fornisce le definizioni appropriate per il prisma, quindi le trasferisce al parallelepipedo. Faremo lo stesso.

Ricordo che un prisma si dice diritto se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alle basi, se non c'è perpendicolarità il prisma si dice obliquo. Questa terminologia è ereditata anche dal parallelepipedo. Un parallelepipedo diritto non è altro che una specie di prisma rettilineo, il cui bordo laterale coincide con l'altezza. Le definizioni di concetti come una faccia, un bordo e un vertice, che sono comuni all'intera famiglia dei poliedri, vengono mantenute. Appare il concetto di facce opposte. Un parallelepipedo ha 3 coppie di facce opposte, 8 vertici e 12 spigoli.

La diagonale di un parallelepipedo (la diagonale di un prisma) è un segmento che collega due vertici di un poliedro e non giace in nessuna delle sue facce.

Una sezione diagonale è una sezione di un parallelepipedo che passa per la sua diagonale e la diagonale della sua base.

Proprietà della scatola obliqua:
1) Tutte le sue facce sono parallelogrammi e le facce opposte sono parallelogrammi uguali.
2)Le diagonali del parallelepipedo si intersecano in un punto e si bisecano in quel punto.
3)Ogni parallelepipedo è costituito da sei piramidi triangolari di uguale volume. Per mostrarli a uno studente, un tutor di matematica deve tagliare la metà del parallelepipedo con la sua sezione diagonale e spezzarlo separatamente in 3 piramidi. Le loro basi devono poggiare su facce diverse della scatola originale. Un tutor di matematica troverà un'applicazione per questa proprietà nella geometria analitica. Viene utilizzato per visualizzare il volume della piramide attraverso prodotto misto vettori.

Formule per il volume di un parallelepipedo:
1) , dove è l'area della base, h è l'altezza.
2) Il volume del parallelepipedo è uguale al prodotto dell'area della sezione trasversale per il bordo laterale.
insegnante di matematica: Come sai, la formula è comune a tutti i prismi, e se il tutor l'ha già provata, non ha senso ripetere la stessa cosa per il parallelepipedo. Tuttavia, quando si lavora con uno studente di livello medio (una formula debole non è utile), è consigliabile che l'insegnante agisca esattamente al contrario. Lascia stare il prisma e fai una prova accurata per il parallelepipedo.
3) , dove è il volume di una delle sei piramidi triangolari che compongono il parallelepipedo.
4) Se , allora

L'area della superficie laterale di un parallelepipedo è la somma delle aree di tutte le sue facce:
La superficie totale di un parallelepipedo è la somma delle aree di tutte le sue facce, cioè l'area + due aree di base:.

Sul lavoro di un tutore con parallelepipedo inclinato:
Un tutor di matematica non affronta spesso problemi su un parallelepipedo inclinato. La probabilità della loro apparizione all'esame è piuttosto piccola e la didattica è indecentemente scarsa. Un problema più o meno decente sul volume di un parallelepipedo inclinato provoca problemi seri associato alla determinazione della posizione del punto H - la base della sua altezza. In questo caso, al tutor di matematica potrebbe essere consigliato di ritagliare la scatola su una delle sue sei piramidi (che sono discusse nella proprietà n. 3), provare a trovarne il volume e moltiplicarlo per 6.

Se il bordo laterale del parallelepipedo ha angoli uguali ai lati della base, allora H giace sulla bisettrice dell'angolo A della base ABCD. E se, ad esempio, ABCD è un rombo, allora

Compiti del tutor di matematica:
1) Le facce di un parallelepipedo sono robs uguali con un lato di 2 cm e un angolo acuto. Trova il volume del parallelepipedo.
2) In un parallelepipedo inclinato, il bordo laterale è di 5 cm. La sezione perpendicolare ad esso è un quadrilatero con diagonali tra loro perpendicolari di lunghezza di 6 cm e 8 cm Calcolare il volume del parallelepipedo.
3) In un parallelepipedo obliquo è noto che , e nella definizione di ABCD è un rombo di lato 2 cm e angolo di . Determina il volume del parallelepipedo.

Insegnante di matematica, Alexander Kolpakov