Doppia trasformazione integrale di coordinate rettangolari, a coordinate polari
, correlato alle coordinate rettangolari dalle relazioni
,
, viene eseguito secondo la formula

Se l'area di integrazione
limitato a due raggi
,
(
) emergente dal polo, e due curve
e
, poi doppio integrale calcolato secondo la formula

.

Esempio 1.3. Calcola l'area della figura delimitata da queste linee:
,
,
,
.

Soluzione. Per calcolare l'area di un'area
usiamo la formula:
.

Disegna un'area (Fig. 1.5). Per fare ciò, trasformiamo le curve: , , , . Passiamo alle coordinate polari: , . . Nel sistema di coordinate polari, l'area è descritto dalle equazioni:

.

1.2. Integrali tripli

Le proprietà principali degli integrali tripli sono simili a quelle degli integrali doppi.

In coordinate cartesiane, l'integrale triplo è solitamente scritto in questo modo:

.

Se
, quindi l'integrale triplo sull'area numericamente uguale al volume del corpo :

.

Calcolo del triplo integrale

Lascia che l'area di integrazione delimitate rispettivamente dall'alto e dal basso da superfici continue a valore singolo
,
, e la proiezione dell'area al piano delle coordinate
c'è una zona pianeggiante
(Fig. 1.6).

Quindi per valori fissi applicazioni corrispondenti punti dell'area cambiare dentro. Quindi otteniamo: . Se, inoltre, la proiezione è determinato dalle disuguaglianze , , dove - inequivocabile funzioni continue sul , poi

.

Esempio 1.4. Calcolare
, dove - un corpo delimitato da piani:

	, , , ( , , ). Soluzione. L'area di integrazione è la piramide (Fig. 1.7). Proiezione dell'area c'è un triangolo , delimitata da linee rette , , (Fig. 1.8). In applicazioni a punto soddisfare la disuguaglianza , Ecco perché .
	Stabilire i limiti di integrazione per un triangolo , noi abbiamo

Integrale triplo in coordinate cilindriche

Quando ci si sposta da coordinate cartesiane
a coordinate cilindriche
(Fig. 1.9) associato a
rapporti
,
,
, e

	, ,, l'integrale triplo trasforma: Esempio 1.5. Calcola il volume di un corpo delimitato da superfici: , , . Soluzione. Volume corporeo desiderato è uguale a .
	La regione di integrazione è la parte del cilindro delimitata dal basso dal piano , e sopra l'aereo (Fig. 1.10). Proiezione dell'area c'è un cerchio centrato all'origine e con raggio unitario. Passiamo alle coordinate cilindriche. , , . In applicazioni a punto , soddisfare la disuguaglianza o in coordinate cilindriche:

Regione
, delimitato da una curva
, assume la forma o
, mentre l'angolo polare
. Di conseguenza, abbiamo

.

2. Elementi di teoria dei campi

Ricordiamo innanzitutto i metodi per il calcolo degli integrali curvilinei e di superficie.

Calcolo di un integrale curvilineo su coordinate di funzioni definite su una curva , si riduce al calcolo di un integrale definito della forma

se la curva parametrico
corrisponde punto di partenza storto , ma
- il suo punto finale.

Calcolo dell'integrale di superficie di una funzione
definito su una superficie bifacciale , si riduce al calcolo di un integrale doppio, ad esempio, della forma

,

se la superficie , data dall'equazione
, viene proiettato in modo univoco sull'aereo
alla regione
. Qui - angolo tra il vettore normale unitario alla superficie e asse
:

.

Il lato della superficie richiesto dalle condizioni del problema è determinato scegliendo l'appropriata formula di accesso (2.3).

Definizione 2.1. Campo vettoriale
è chiamata funzione vettoriale del punto
insieme al suo scopo:

campo vettoriale
caratterizzato da un valore scalare - divergenza:

Definizione 2.2. flusso campo vettoriale
attraverso la superficie è chiamato integrale di superficie:

,

dove - vettore unitario normali al lato selezionato della superficie , ma
- prodotto scalare vettori e .

Definizione 2.3. circolazione campo vettoriale

su curva chiusa è detto integrale curvilineo

,

dove
.

Formula di Ostrogradskij-Gauss stabilisce una connessione tra un thread campo vettoriale attraverso una superficie chiusa e divergenza di campo:

dove - una superficie delimitata da un contorno chiuso , ma è il vettore unitario normale a questa superficie. La direzione della normale deve corrispondere alla direzione del contorno .

Esempio 2.1. Calcola l'integrale di superficie

,

dove - la parte esterna del cono
(
) tagliato dall'aereo
(Figura 2.1).

Soluzione. Superficie proiettato in modo univoco nel territorio
aereo
, e l'integrale è calcolato dalla formula (2.2).

Vettore normale di superficie unitaria troviamo dalla formula (2.3): . Qui, nell'espressione per la normale, viene scelto il segno più, poiché l'angolo tra l'asse e normale è muto e quindi deve essere negativo. Dato che , sulla superficie noi abbiamo

Regione
c'è un cerchio
. Pertanto, nell'ultimo integrale si passa alle coordinate polari, mentre
,
:

Esempio 2.2. Trova la divergenza e l'arricciatura di un campo vettoriale
.

Soluzione. Con la formula (2.4) otteniamo

Il rotore di questo campo vettoriale è trovato dalla formula (2.5)

Esempio 2.3. Trova il flusso di un campo vettoriale
attraverso una parte dell'aereo :
situato nel primo ottante (la normale forma un angolo acuto con l'asse
).

	Soluzione. Per formula (2.6) . Disegna una parte dell'aereo : situato nel primo ottante. L'equazione di questo piano in segmenti ha la forma (Fig. 2.3). Il vettore normale al piano ha coordinate: , vettore normale unitario
	. . , , dove , Di conseguenza,

dove
- proiezione piana sul
(Fig. 2.4).

Esempio 2.4. Calcola il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa formato dall'aereo
e parte del cono
(
) (Fig. 2.2).

Soluzione. Usiamo la formula di Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Trova la divergenza del campo vettoriale per formula (2.4):

dove
è il volume del cono su cui viene eseguita l'integrazione. Usiamo la famosa formula per calcolare il volume di un cono
(è il raggio della base del cono, - il suo sballo). Nel nostro caso, otteniamo
. Finalmente arriviamo

.

Esempio 2.5. Calcola la circolazione del campo vettoriale
lungo il contorno formato dall'intersezione di superfici
e
(
). Controlla il risultato usando la formula Stokes.

Soluzione. L'intersezione di queste superfici è un cerchio
,
(Fig. 2.1). La direzione della tangenziale è solitamente scelta in modo che l'area delimitata da essa rimanga sulla sinistra. Scriviamo le equazioni parametriche del contorno :

dove

dove il parametro cambia da prima
. Con la formula (2.7), tenendo conto della (2.1) e della (2.10), otteniamo

.

Applichiamo ora la formula di Stokes (2.9). Come superficie , attraversato dal contorno , puoi prendere parte dell'aereo
. Direzione normale
a questa superficie è coerente con la direzione di attraversamento del contorno . Il curl di questo campo vettoriale è calcolato nell'esempio 2.2:
. Pertanto, la circolazione desiderata

dove
- area della regione
.
- cerchio di raggio
, dove

1. Le coordinate cilindriche rappresentano il collegamento delle coordinate polari nel piano xy con la consueta z applicata cartesiana (Fig. 3).

Sia M(x, y, z) un punto arbitrario nello spazio xyz, P sia la proiezione del punto M sul piano xy. Il punto M è determinato univocamente da una tripla di numeri - le coordinate polari del punto P, z - l'applicata del punto M. Le formule che li collegano con quelle cartesiane hanno la forma

Mostra giacobino (8)

Esempio 2.

Calcola integrale

dove T è l'area delimitata dalle superfici

Soluzione. Passiamo dall'integrale alle coordinate sferiche secondo le formule (9). Quindi la regione di integrazione può essere specificata dalle disuguaglianze

E questo significa

Esempio 3 Trova il volume di un corpo delimitato da:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Abbiamo: x 2 +y 2 +z 2 =8 - sfera di raggio R= v8 centrata nel punto O(000),

La parte superiore del cono z 2 \u003d x 2 + y 2 con un asse di simmetria Oz e un vertice nel punto O (Fig. 2.20).

Troviamo la linea di intersezione della sfera e del cono:

E poiché per condizione z ? 0, allora

Cerchio R=2 giacente nel piano z=2.

Pertanto, secondo (2.28)

dove il dominio U è delimitato dall'alto

(parte della sfera),

(parte di un cono);

la regione U è proiettata sul piano Oxy nella regione D - un cerchio di raggio 2.

Pertanto, è opportuno passare l'integrale triplo a coordinate cilindriche usando le formule (2.36):

I limiti di variazione di q, r si trovano nell'area D v cerchio completo R=2 centrata nel punto O, quindi: 0?c?2p, 0?r?2. Pertanto, la regione U in coordinate cilindriche è data dalle seguenti disuguaglianze:

notare che

Scarica da Depositfiles

Triplo integrale.

Domande di prova.

Integrale triplo, sue proprietà.

Cambio di variabili nell'integrale triplo. calcolo triplo integrale in coordinate cilindriche.

Calcolo dell'integrale triplo in coordinate sferiche.

Lascia che la funzione tu= F(x,y,z) è definito in un dominio chiuso limitato V spazio R 3. Dividiamo l'area V a caso n elementare aree chiuse V 1 , … ,V n avente volumi  V 1 , …,  V n rispettivamente. Denota Dè il più grande dei diametri della regione V 1 , … ,V n. In ogni zona V K scegli un punto arbitrario P K (X K ,y K ,z K) e comporre somma integrale funzioni F(X, y,z)

S =

Definizione.triplo integrale dalla funzione F(X, y,z) per zona Vè detto limite della somma integrale
se esiste.

In questo modo,

(1)

Commento. Somma integrale S dipende da come è partizionata la regione V e selezione dei punti P K (K=1, …, n). Tuttavia, se esiste un limite, non dipende da come è partizionata la regione V e selezione dei punti P K. Se confrontiamo le definizioni di integrali doppi e tripli, è facile vedervi un'analogia completa.

Condizione sufficiente per l'esistenza di un integrale triplo. L'integrale triplo (13) esiste se la funzione F(X, y,z) è limitato a V e continuo dentro V, ad eccezione di un numero finito di superfici lisce a tratti situate in V.

Alcune proprietà dell'integrale triplo.

1) Se DAè una costante numerica, quindi

3) Additività sull'area. Se la zona V suddiviso in aree V 1 e V 2, quindi

4) Volume corporeo Vè uguale a

(2 )

Calcolo dell'integrale triplo in coordinate cartesiane.

Lascia stare D proiezione del corpo V all'aereo xOy, superfici z=φ 1 (X,y),z=φ 2 (X, y) limitare il corpo V rispettivamente sotto e sopra. Significa che

V = {(X, y, z): (X, y)D , φ 1 (X,y)≤ z ≤ φ 2 (X,y)}.

Chiameremo un tale corpo z- cilindrico. Integrale triplo (1) sopra z- corpo cilindrico V si calcola andando a integrale ripetuto, costituito da integrali doppi e definiti:

(3 )

In questo integrale iterato, l'interior integrale definito per variabile z, in cui X, y sono considerati permanenti. Quindi viene calcolato il doppio integrale della funzione risultante sull'area D.

Se V X- cilindrico o si- corpo cilindrico, allora le formule sono rispettivamente corrette

Nella prima formula D  proiezione del corpo V al piano delle coordinate yOz, e nel secondo - sull'aereo xOz

Esempi. 1) Calcola il volume corporeo V delimitata da superfici z = 0, X 2 + y 2 = 4, z = X 2 + y 2 .

Soluzione. Calcola il volume usando l'integrale triplo secondo la formula (2)

Passiamo all'integrale iterato della formula (3).

Lascia stare D cerchio X 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (X , y ) = 0, φ 2 (X , y )= X 2 +y 2. Quindi dalla formula (3) otteniamo

Per calcolare questo integrale si passa alle coordinate polari. Allo stesso tempo, il cerchio D convertito in un insieme

D R = { (R , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ R ≤ 2} .

2) Corpo V limitato alle superfici z=y , z= -y , x= 0 , x= 2, y= 1. Calcola

aerei z=y , z = -y limitano il corpo, rispettivamente, dal basso e dall'alto, piani x= 0 , x= 2 limitare il corpo, rispettivamente, dietro e davanti, e l'aereo y= 1 limite a destra. V-z- corpo cilindrico, la sua proiezione D all'aereo hoyè un rettangolo OABC. Mettiamo φ 1 (X , y ) = -y

Esempi di soluzioni di integrali tripli arbitrari.
Applicazioni fisiche dell'integrale triplo

Nella seconda parte della lezione, elaboreremo la tecnica per risolvere gli integrali tripli arbitrari , il cui integrando funzione di tre variabili nel caso generale è diverso da una costante e continua nella regione; e conoscere anche le applicazioni fisiche dell'integrale triplo

Consiglio ai visitatori appena arrivati ​​di iniziare con la prima parte, dove abbiamo rivisto i concetti di base e il problema di trovare il volume di un corpo usando un integrale triplo . Per il resto suggerisco di ripetere un po' funzioni derivate di tre variabili , poiché negli esempi di questo articolo utilizzeremo operazione inversa – integrazione parziale funzioni.

Inoltre, c'è un altro punto importante: se non ti senti bene, allora è meglio rimandare la lettura di questa pagina se possibile. E il punto non è solo che la complessità dei calcoli ora aumenterà: la maggior parte degli integrali tripli non ha metodi affidabili per la verifica manuale, quindi è altamente indesiderabile iniziare a risolverli in uno stato stanco. Adatto per toni bassi risolvere qualcosa prima o semplicemente prenditi una pausa (sono paziente, aspetterò =)), in modo che un'altra volta con la testa fresca per continuare il massacro dei tripli integrali:

Esempio 13

Calcola il triplo integrale

In pratica, il corpo è indicato anche con la lettera , ma questa non è un'ottima opzione, poiché "ve" è "riservato" per la designazione del volume.

Lascia che ti dica cosa NON fare. Non c'è bisogno di usare proprietà di linearità e rappresentare l'integrale come . Anche se se lo vuoi davvero, puoi. Alla fine, c'è un piccolo vantaggio: la registrazione sarà lunga, ma meno disordinata. Ma questo approccio non è ancora standard.

Nell'algoritmo soluzioni ci saranno poche novità. Per prima cosa devi affrontare l'area dell'integrazione. La proiezione del corpo su un piano è un triangolo dolorosamente familiare:

Corpo limitato dall'alto aereo , che passa per l'origine. In anticipo, tra l'altro, è necessario assicurati di controllare(mentalmente o su una bozza) se questo piano "taglia" parte del triangolo. Per fare ciò, troviamo la sua linea di intersezione con il piano delle coordinate, ad es. risolvere il sistema più semplice: - no, dato dritto (non sul disegno)"passa" e la proiezione del corpo sul piano è davvero un triangolo.

Anche il disegno spaziale non è complicato qui:

Ci si potrebbe infatti limitare solo a loro, poiché la proiezione è molto semplice. ...Beh, o semplicemente disegnare una proiezione, visto che anche il corpo è semplice =) Tuttavia, non disegnare nulla, ti ricordo, è una cattiva scelta.

E, naturalmente, non posso fare a meno di accontentarti con il compito finale:

Esempio 19

Trova il baricentro di un corpo omogeneo delimitato da superfici, . Esegui progetti dato corpo e la sua proiezione su un piano.

Soluzione: il corpo desiderato è limitato piani coordinati e piano, che, ai fini della successiva costruzione, risulta convenientemente presente in segmenti : . Scegliamo "a" come unità di scala e realizziamo un disegno tridimensionale:

Il disegno ha già fissato il punto finale del baricentro, tuttavia, finora non lo sappiamo.

La proiezione del corpo sul piano è ovvia, ma, tuttavia, lasciate che vi ricordi come trovarlo analiticamente - dopotutto, tale casi semplici non si trovano sempre. Per trovare la linea lungo la quale i piani si intersecano, devi risolvere il sistema:

Sostituiamo il valore nella prima equazione: e otteniamo l'equazione dritto "piatto". :

Calcola le coordinate del baricentro del corpo con le formule
, dove è il volume del corpo.