Per risolvere molti problemi di dinamica, soprattutto nella dinamica dei sistemi, invece di integrazione diretta equazioni differenziali del moto, risulta più efficiente utilizzare i cosiddetti teoremi generali, che sono conseguenze della legge fondamentale della dinamica.
Il significato dei teoremi generali è che stabiliscono relazioni chiare tra le corrispondenti caratteristiche dinamiche del moto corpi materiali e quindi aprire nuove possibilità per lo studio del movimento dei sistemi meccanici, che sono ampiamente utilizzati nella pratica ingegneristica. Inoltre, l'applicazione di teoremi generali elimina la necessità di eseguire per ogni problema quelle operazioni di integrazione che vengono eseguite una volta per tutte quando si derivano questi teoremi; semplificando così il processo decisionale.
Passiamo alla considerazione dei teoremi generali della dinamica puntuale.
§ 83. IMPORTO DI MOVIMENTO DI UN PUNTO. FORZA DI IMPULSO
Una delle principali caratteristiche dinamiche del movimento di un punto è la quantità di movimento
La quantità di movimento punto materiale detta quantità vettoriale uguale al prodotto della massa di un punto per la sua velocità. Il vettore è diretto allo stesso modo della velocità del punto, cioè tangente alla sua traiettoria.
L'unità di misura della quantità di moto è in SI - e nel sistema ICSS -.
Impulso di forza. Per caratterizzare l'azione esercitata sul corpo da una forza in un certo periodo di tempo, si introduce il concetto di impulso della forza. In primo luogo, introduciamo il concetto di impulso elementare, cioè un impulso per un periodo di tempo elementare
Un impulso elementare di forza è una quantità vettoriale uguale al prodotto della forza F per un periodo di tempo elementare
Un impulso elementare è diretto lungo la linea d'azione della forza.
L'impulso S di una qualsiasi forza F in un periodo di tempo finito è calcolato come limite della somma integrale degli impulsi elementari corrispondenti, cioè
Pertanto, l'impulso di forza per un certo periodo di tempo è uguale a integrale definito dall'impulso elementare, preso nell'intervallo da zero a
Consiste in n punti materiali. Cerchiamo di individuare un punto da questo sistema Mj con massa mj. È noto che su questo punto agiscono forze esterne e interne.
Applicare a un punto Mj risultante di tutte le forze interne F j i e risultante di tutto forze esterne F j e(Figura 2.2). Per il punto materiale selezionato Mj(come per un punto libero) scriviamo il teorema sulla variazione della quantità di moto in forma differenziale (2.3):
Scriviamo equazioni simili per tutti i punti sistema meccanico (j=1,2,3,…,n).
Figura 2.2
Mettiamo tutto insieme n equazioni:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)
Qui ∑mj ×Vj =Qè la quantità di moto del sistema meccanico;
∑ F j e = R e – vettore principale tutte le forze esterne che agiscono sul sistema meccanico;
∑ F j io = R io = 0- il vettore principale delle forze interne del sistema (secondo la proprietà delle forze interne, è uguale a zero).
Infine, per il sistema meccanico, otteniamo
dQ/dt = Ri. (2.11)
L'espressione (2.11) è un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma differenziale (in espressione vettoriale): la derivata temporale del vettore quantità di moto di un sistema meccanico è uguale al vettore principale di tutte le forze esterne agenti sul sistema.
Proiettando l'uguaglianza vettoriale (2.11) sugli assi delle coordinate cartesiane, otteniamo espressioni per il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in un'espressione coordinata (scalare):
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
quelli. la derivata temporale della proiezione della quantità di moto di un sistema meccanico su un qualsiasi asse è uguale alla proiezione su questo asse del vettore principale di tutte le forze esterne agenti su questo sistema meccanico.
Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza (2.12) per dt, otteniamo il teorema in un'altra forma differenziale:
dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)
quelli. il differenziale di quantità di moto di un sistema meccanico è uguale all'impulso elementare del vettore principale (la somma degli impulsi elementari) di tutte le forze esterne agenti sul sistema.
Integrazione dell'uguaglianza (2.13) nell'intervallo di tempo da 0 a t, otteniamo un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma finita (integrale) (in espressione vettoriale):
Q - Q 0 \u003d S e,
quelli. la variazione della quantità di movimento di un sistema meccanico in un periodo di tempo finito è uguale all'impulso totale del vettore principale (la somma degli impulsi totali) di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema nello stesso periodo di tempo.
Proiettando l'uguaglianza vettoriale (2.14) sugli assi delle coordinate cartesiane, otteniamo espressioni per il teorema in proiezioni (in un'espressione scalare):
quelli. la variazione nella proiezione della quantità di moto del sistema meccanico su qualsiasi asse in un periodo di tempo finito è uguale alla proiezione sullo stesso asse dell'impulso totale del vettore principale (la somma degli impulsi totali) di tutte le forze esterne agendo sul sistema meccanico per lo stesso periodo di tempo.
Dal teorema considerato (2.11) - (2.15) seguono i seguenti corollari:
- Se un R e = ∑ F j e = 0, poi Q = cost– abbiamo la legge di conservazione del vettore quantità di moto del sistema meccanico: se il vettore principale Rif di tutte le forze esterne che agiscono su un sistema meccanico è uguale a zero, quindi il vettore momento di questo sistema rimane costante in grandezza e direzione e uguale al suo valore iniziale Q0, cioè. Q = Q0.
- Se un R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), poi Q x = cost- abbiamo la legge di conservazione della proiezione sull'asse della quantità di moto del sistema meccanico: se la proiezione del vettore principale di tutte le forze agenti sul sistema meccanico su un qualsiasi asse è zero, allora la proiezione sullo stesso asse di il vettore della quantità di moto di questo sistema sarà un valore costante e uguale alla proiezione su questo vettore della quantità di moto iniziale dell'asse, cioè Qx = Q0x.
La forma differenziale del teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema materiale ha importanti e interessanti applicazioni nella meccanica dei continui. Dalla (2.11) si ricava il teorema di Eulero.
La quantità di moto del sistema sarà chiamata quantità vettoriale Q, uguale a somma geometrica(vettore principale) della quantità di moto di tutti i punti del sistema (Fig. 288):
Usando questa definizione, troveremo una formula con la quale è molto più facile calcolare il valore di Q, così come comprenderne il significato. Dall'uguaglianza (D) ne consegue che
Prendendo la derivata temporale di entrambe le parti, otteniamo
Da qui lo troviamo
cioè, la quantità di movimento del sistema è uguale al prodotto della massa dell'intero sistema e la velocità del suo centro di massa.
Questo risultato è particolarmente comodo da usare quando si calcola la quantità di moto di corpi rigidi.
Si può vedere dalla formula (19) che se il corpo (o il sistema) si muove in modo tale che il centro di massa rimane fermo, allora la quantità di moto del corpo è zero. Ad esempio, la quantità di moto di un corpo che ruota attorno ad un asse fisso passante per il suo centro di massa sarà zero.
Se il moto del corpo è complesso, il valore di Q non dipenderà dal suo moto di rotazione attorno al centro di massa. Ad esempio, per una ruota che rotola, indipendentemente da come la ruota ruoti attorno al suo centro di massa C.
Pertanto, la quantità di moto può essere considerata come una caratteristica movimento in avanti sistemi (corpi) e quando movimento complesso- come caratteristica della parte traslazionale del movimento insieme al baricentro.
Quantità di movimento del sistema chiamiamo la somma geometrica delle quantità di moto di tutti i punti materiali del sistema
Per chiarire senso fisico(70) calcola la derivata di (64)
.
(71)
Risolvendo (70) e (71) insieme, otteniamo
.
(72)
Così, il vettore della quantità di moto di un sistema meccanico è determinato dal prodotto della massa del sistema per la velocità del suo centro di massa.
Calcoliamo la derivata di (72)
.
(73)
Risolvendo (73) e (67) insieme, otteniamo
.
(74)
L'equazione (74) esprime il seguente teorema.
Teorema: La derivata temporale del vettore quantità di moto del sistema è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne del sistema.
Quando si risolvono problemi, l'equazione (74) deve essere proiettata sugli assi delle coordinate:
.
(75)
L'analisi di (74) e (75) implica quanto segue legge di conservazione della quantità di moto del sistema: Se la somma di tutte le forze del sistema è uguale a zero, il suo vettore quantità di moto mantiene la sua intensità e direzione.
Se un 
, poi 
,Q
=
cost
.
(76)
In un caso particolare, questa legge può essere soddisfatta lungo uno degli assi coordinati.
Se un 
, poi, Q z =
cost.
(77)
Si consiglia di utilizzare il teorema della variazione della quantità di moto nei casi in cui corpi liquidi e gassosi entrano nel sistema.
Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema meccanico
La quantità di movimento caratterizza solo la componente traslazionale del movimento. Per caratterizzare il moto rotatorio del corpo, il concetto di momento principale delle quantità di moto del sistema relativo a questo centro (momento angolare).
La quantità di moto del sistema relativa a un dato centro è la somma geometrica dei momenti delle quantità di moto di tutti i suoi punti relativi allo stesso centro
.
(78)
Proiettando (22) sugli assi coordinati si ottiene l'espressione del momento angolare rispetto agli assi coordinati
.
(79)
Il momento angolare del corpo attorno agli assiè uguale al prodotto del momento d'inerzia del corpo attorno a questo asse per la velocità angolare del corpo
.
(80)
Dalla (80) segue che il momento cinetico caratterizza solo la componente rotatoria del moto.
Una caratteristica dell'azione di rotazione di una forza è il suo momento relativo all'asse di rotazione.
Il teorema del cambiamento di quantità di moto stabilisce la relazione tra la caratteristica del movimento rotatorio e la forza che causa questo movimento.
Teorema: La derivata temporale del vettore momento angolare del sistema rispetto a qualche centro è uguale alla somma geometrica dei momenti di tutte le forze esterne del sistema rispetto alo stesso centro
.
(81)
Quando si risolvono problemi di ingegneria (81), è necessario proiettare sugli assi delle coordinate
La loro analisi (81) e (82) implica legge di conservazione della quantità di moto: Se la somma dei momenti di tutte le forze esterne attorno al centro (o asse) è uguale a zero, il momento cinetico del sistema attorno a questo centro (o asse) mantiene la sua intensità e direzione.
,
o 
Il momento di inerzia non può essere modificato dall'azione delle forze interne del sistema, ma a causa di queste forze, il momento di inerzia può essere modificato, e quindi velocità angolare.
Allo stesso modo, come per un punto materiale, deriviamo un teorema sulla variazione della quantità di moto per il sistema in varie forme.
Trasformiamo l'equazione (teorema sul movimento del baricentro di un sistema meccanico)
nel seguente modo:
;
L'equazione risultante esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma differenziale: la derivata temporale della quantità di moto di un sistema meccanico è uguale al vettore principale delle forze esterne agenti sul sistema .
Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:
; 
; 
.
Prendendo gli integrali di entrambe le parti delle ultime equazioni nel tempo, otteniamo un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma integrale: la variazione della quantità di moto di un sistema meccanico è uguale alla quantità di moto del vettore principale di forze esterne che agiscono sul sistema .
.
Oppure nelle proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:
; 
; 
.
Conseguenze dal teorema (leggi di conservazione della quantità di moto)
La legge di conservazione della quantità di moto si ottiene come casi speciali del teorema sulla variazione della quantità di moto per un sistema in funzione delle caratteristiche del sistema di forze esterne. forze interne possono essere qualsiasi, poiché non influiscono sui cambiamenti di quantità di moto.
Sono possibili due casi:
1. Se la somma vettoriale di tutte le forze esterne applicate al sistema è zero, la quantità di moto del sistema è costante in grandezza e direzione
2. Se la proiezione del vettore principale delle forze esterne su qualsiasi asse delle coordinate e/o e/o , allora la proiezione della quantità di movimento sugli stessi assi è un valore costante, cioè e/o e/o rispettivamente.
Si possono creare registrazioni simili per un punto materiale e per un punto materiale.
L'obiettivo. Da una pistola la cui massa M, un proiettile di massa vola in direzione orizzontale m con velocità v. Trova la velocità V pistole dopo aver sparato.
Decisione. Tutte le forze esterne che agiscono sul sistema meccanico pistola-proiettile sono verticali. Quindi, in base al corollario del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema, abbiamo: .
La quantità di movimento del sistema meccanico prima dello sparo:
La quantità di movimento del sistema meccanico dopo lo sparo:
.
Uguagliando le parti giuste delle espressioni, lo otteniamo
.
Il segno "-" nella formula risultante indica che dopo lo sparo, la pistola rotolerà indietro nella direzione opposta all'asse Bue.
ESEMPIO 2. Un getto di liquido con una densità esce ad una velocità V da un tubo con una sezione trasversale F e colpisce una parete verticale ad angolo. Determinare la pressione del fluido sulla parete.
DECISIONE. Applichiamo il teorema sulla variazione della quantità di moto in forma integrale al volume di liquido con massa m colpire un muro per un periodo di tempo t.
EQUAZIONE DI MESHCHERSKY
(equazione di base della dinamica di un corpo di massa variabile)
Nella tecnologia moderna si verificano casi in cui la massa di un punto e di un sistema non rimane costante nel processo di movimento, ma cambia. Quindi, ad esempio, durante il volo dei razzi spaziali, a causa dell'espulsione dei prodotti della combustione e delle singole parti non necessarie dei razzi, la variazione di massa raggiunge il 90-95% del valore iniziale totale. Ma non solo la tecnologia spaziale può essere un esempio della dinamica del movimento di una massa variabile. Nell'industria tessile, c'è un cambiamento significativo nella massa di vari fusi, bobine, rotoli alle moderne velocità della macchina e della macchina.
Consideriamo le principali caratteristiche associate a una variazione di massa, usando l'esempio del moto traslatorio di un corpo di massa variabile. La legge fondamentale della dinamica non può essere applicata direttamente a un corpo di massa variabile. Pertanto, otteniamo equazioni differenziali moto di un punto di massa variabile, applicando il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema.
Sia un punto di massa m+dm si muove a velocità. Poi c'è un distacco dal punto di una particella con una massa dm muovendosi a velocità.
La quantità di movimento del corpo prima del distacco della particella:
La quantità di movimento di un sistema costituito da un corpo e una particella staccata dopo il suo distacco:
Allora la variazione della quantità di moto è:
Sulla base del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema:
Indichiamo il valore - la velocità relativa della particella:
Denota 
il valore R chiamata forza reattiva. La forza del getto è la spinta del motore, dovuta al rilascio di gas dall'ugello.
Finalmente arriviamo
-
Questa formula esprime l'equazione di base della dinamica di un corpo di massa variabile (formula di Meshchersky). Dall'ultima formula segue che le equazioni differenziali del moto di un punto di massa variabile hanno la stessa forma di un punto di massa costante, fatta eccezione per la forza reattiva addizionale applicata al punto a causa della variazione di massa.
L'equazione di base della dinamica di un corpo di massa variabile indica che l'accelerazione di questo corpo si forma non solo a causa di forze esterne, ma anche a causa della forza reattiva.
La forza reattiva è una forza simile a quella provata da una persona che spara: quando spara con una pistola, viene avvertita dalla mano; quando si spara da un fucile, viene percepito dalla spalla.
La prima formula di Tsiolkovsky (per un razzo a stadio singolo)
Lascia che un punto di massa variabile o un razzo si muovano in linea retta sotto l'azione di una sola forza reattiva. Dal momento che per molti moderni motori a reazione 
, dove è la massima forza reattiva consentita dal progetto del motore (spinta del motore); è la forza di gravità che agisce sul motore superficie terrestre. Quelli. quanto sopra consente di trascurare la componente nell'equazione di Meshchersky e per ulteriori analisi di accettare questa equazione nella forma: ,
Denota:
Riserva di carburante (per motori a reazione a propellente liquido: la massa secca del razzo (la sua massa rimanente dopo che tutto il carburante si è esaurito);
La massa di particelle separate dal razzo; considerata come una variabile variabile da a .
Scriviamo l'equazione moto rettilineo punti di massa variabile nella forma seguente
.
Poiché la formula per determinare la massa variabile di un razzo
Pertanto, le equazioni del moto di un punto 
Prendendo gli integrali di entrambe le parti, otteniamo
dove - velocità caratteristica- questa è la velocità che il razzo acquisisce sotto l'azione della spinta dopo l'eruzione di tutte le particelle dal razzo (con motori a reazione a propellente liquido - dopo aver bruciato tutto il carburante).
Tolto dal segno integrale (che può essere fatto sulla base del noto matematica superiore teorema del valore medio) è velocità media particelle espulse dal razzo.
