Capitoloio. EVENTI CASUALI. PROBABILITÀ

1.1. Regolarità e casualità, variabilità casuale nelle scienze esatte, in biologia e medicina

La teoria della probabilità è una branca della matematica che studia i modelli nei fenomeni casuali. Un fenomeno casuale è un fenomeno che, con la riproduzione ripetuta della stessa esperienza, può procedere ogni volta in modo leggermente diverso.

Ovviamente, non c'è un singolo fenomeno in natura in cui elementi del caso non sarebbero presenti in un modo o nell'altro, ma in situazioni diverse li prendiamo in considerazione in modi diversi. Quindi, in una serie di problemi pratici, possono essere trascurati e invece di un fenomeno reale, il suo schema semplificato può essere considerato un "modello", supponendo che nelle condizioni sperimentali date il fenomeno proceda in modo completamente definito. Allo stesso tempo, vengono individuati i fattori più importanti e decisivi che caratterizzano il fenomeno. È questo schema per lo studio dei fenomeni che viene usato più spesso in fisica, tecnologia e meccanica; questo è il modo in cui viene rivelato lo schema principale , caratteristica di un dato fenomeno e che consente di predire il risultato di un esperimento in base a determinate condizioni iniziali. E l'influenza di fattori casuali, secondari, sul risultato dell'esperimento viene qui presa in considerazione da errori di misurazione casuali (considereremo il metodo del loro calcolo di seguito).

Tuttavia, lo schema classico descritto delle cosiddette scienze esatte è poco adatto a risolvere molti problemi in cui numerosi fattori casuali strettamente intrecciati giocano un ruolo evidente (spesso decisivo). Qui emerge la casualità del fenomeno, che non può più essere trascurata. Questo fenomeno va studiato proprio dal punto di vista delle leggi ad esso inerenti come fenomeno casuale. In fisica, esempi di tali fenomeni sono Moto browniano, decadimento radioattivo, una serie di processi quantomeccanici, ecc.

L'oggetto di studio di biologi e medici è un organismo vivente, la cui origine, sviluppo ed esistenza sono determinati da moltissimi e diversi fattori esterni e interni, spesso casuali. Ecco perché anche i fenomeni e gli eventi del mondo vivente sono in gran parte di natura casuale.

Gli elementi di incertezza, complessità, multi-causalità inerenti ai fenomeni casuali richiedono la creazione di metodi matematici speciali per lo studio di questi fenomeni. Lo sviluppo di tali metodi, la creazione di modelli specifici inerenti ai fenomeni casuali, sono i compiti principali della teoria della probabilità. È caratteristico che queste regolarità siano soddisfatte solo quando i fenomeni casuali sono massicci. Inoltre, le caratteristiche individuali dei singoli casi, per così dire, si annullano a vicenda e il risultato medio per una massa di fenomeni casuali risulta non più casuale, ma del tutto naturale. . In larga misura, questa circostanza è stata la ragione della diffusione metodi probabilistici ricerca in biologia e medicina.

Considera i concetti di base della teoria della probabilità.

1.2. Probabilità di un evento casuale

Ogni scienza che sviluppa una teoria generale di una certa gamma di fenomeni si basa su una serie di concetti di base. Ad esempio, in geometria, questi sono i concetti di un punto, una retta; in meccanica - i concetti di forza, massa, velocità, ecc. Esistono concetti di base nella teoria della probabilità, uno di questi è un evento casuale.

Un evento casuale è qualsiasi fenomeno (fatto) che, a seguito dell'esperienza (test), può verificarsi o meno.

Gli eventi casuali sono indicati da lettere A, B, C… ecc. Ecco alcuni esempi eventi casuali:

MA- perdita di un'aquila (stemma) quando si lancia una moneta standard;

A- la nascita di una ragazza in questa famiglia;

DA– la nascita di un bambino con un peso corporeo predeterminato;

D- il verificarsi di una malattia epidemica in una determinata regione in un determinato periodo di tempo, ecc.

La principale caratteristica quantitativa di un evento casuale è la sua probabilità. Permettere MA qualche evento casuale. La probabilità di un evento casuale A è valore matematico, che determina la possibilità del suo verificarsi.È designato R(MA).

Considera due metodi principali per determinare questo valore.

La definizione classica di probabilità di un evento casuale di solito sulla base dei risultati dell'analisi di esperimenti speculativi (test), la cui essenza è determinata dalle condizioni del compito. In questo caso, la probabilità di un evento casuale PAPÀ)è uguale a:

dove m- il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell'evento MA; nè il numero totale di casi ugualmente probabili.

Esempio 1 Un topo da laboratorio viene posto in un labirinto in cui solo uno dei quattro possibili percorsi conduce a una ricompensa alimentare. Determina la probabilità che il topo scelga un tale percorso.

Soluzione: secondo la condizione del problema da quattro casi ugualmente possibili ( n=4) evento MA(il topo trova il cibo)
ne favorisce solo uno, cioè m= 1 Allora R(MA) = R(il ratto trova cibo) = = 0,25 = 25%.

Esempio 2. Ci sono 20 palline nere e 80 bianche in un'urna. Da esso viene estratta una pallina a caso. Determina la probabilità che questa pallina sia nera.

Soluzione: il numero di tutte le palline nell'urna è il numero totale di casi ugualmente probabili n, cioè. n = 20 + 80 = 100, di cui evento MA(disegnando la pallina nera) è possibile solo a 20, cioè m= 20. Allora R(MA) = R(HW) = = 0,2 = 20%.

Elenchiamo le proprietà della probabilità seguendo dalla sua definizione classica - formula (1):

1. La probabilità di un evento casuale è una quantità adimensionale.

2. La probabilità di un evento casuale è sempre positiva e inferiore a uno, ovvero 0< P (UN) < 1.

3. La probabilità di un certo evento, cioè un evento che accadrà sicuramente come risultato dell'esperienza ( m = n) è uguale a uno.

4. Probabilità di un evento impossibile ( m= 0) è uguale a zero.

5. La probabilità di qualsiasi evento non è negativa e non supera uno:
0 £ P (UN) £ 1.

Determinazione statistica della probabilità di un evento casuale utilizzato quando non è possibile utilizzare la definizione classica (1). Questo è spesso il caso in biologia e medicina. In tal caso, la probabilità R(MA) è determinato riassumendo i risultati di serie di prove (esperimenti) effettivamente condotte.

Introduciamo il concetto di frequenza relativa di occorrenza di un evento casuale. Supponiamo una serie di N esperienze (n N può essere preselezionato) evento che ci interessa MAè successo M di loro ( M < N). Il rapporto tra il numero di esperimenti M, in cui si è verificato questo evento, al numero totale di esperimenti eseguiti Nè chiamata la frequenza relativa di occorrenza di un evento casuale MA in questa serie di esperimenti R* (MA)

R*(MA) = .

È stato sperimentalmente accertato che se si effettuano una serie di prove (esperimenti) in stesse condizioni e in ciascuno di essi il numero Nè abbastanza grande, allora la frequenza relativa mostra la proprietà della stabilità : non cambia molto da episodio a episodio. , avvicinandosi con un aumento del numero di esperimenti a un certo valore costante . Viene considerata come la probabilità statistica di un evento casuale MA:

R(MA)= lim , quando N , (2)

Quindi la probabilità statistica R(MA) evento casuale MA chiamare il limite al quale tende la relativa frequenza di accadimento di tale evento con un aumento illimitato del numero di prove (es N → ∞).

Approssimativamente, la probabilità statistica di un evento casuale è uguale alla frequenza relativa di occorrenza di questo evento a grandi numeri prove:

R(MA)≈ R*(MA)= (per grande N) (3)

Ad esempio, negli esperimenti sul lancio di una moneta, la frequenza relativa dello stemma che cadeva a 12.000 lanci si è rivelata 0,5016 ea 24.000 lanci - 0,5005. Secondo la formula (1):

P(stemma) == 0,5 = 50%

Esempio . Durante una visita medica di 500 persone, in 5 di loro è stato riscontrato un tumore ai polmoni (o.l.). Determinare la frequenza relativa e la probabilità di questa malattia.

Soluzione: in base alla condizione del problema M = 5, N= 500, frequenza relativa R*(ol) = M/N= 5/500 = 0,01; perché il Nè abbastanza grande, si può considerare con buona precisione che la probabilità di un tumore nei polmoni è uguale alla frequenza relativa di questo evento:

R(ol) = R* (ol.l.) \u003d 0,01 \u003d 1%.

Vengono conservate anche le proprietà della probabilità di un evento casuale sopra elencate definizione statistica dato valore.

1.3. Tipi di eventi casuali. Teoremi di base della teoria della probabilità

Tutti gli eventi casuali possono essere suddivisi in:

¾ incompatibile;

¾ indipendente;

¾ dipendente.

Ogni tipo di evento ha le sue caratteristiche e teoremi della teoria della probabilità.

1.3.1. Eventi casuali incompatibili. Teorema di addizione

Eventi casuali (A, B, C,D…) sono chiamati incoerenti , se il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi di altri eventi nello stesso processo.

Esempio 1 . Moneta lanciata. Quando cade, la comparsa di uno “stemma” esclude la comparsa di una “croce” (iscrizione che determina il prezzo di una moneta). Gli eventi "stemma caduto" e "coda caduta" sono incompatibili.

Esempio 2 . Ottenere da uno studente in un esame un voto di "2", o "3", o "4" o "5" sono eventi incoerenti, poiché uno di questi voti esclude l'altro nello stesso esame.

Per eventi casuali incompatibili, teorema dell'addizione: probabilità di occorrenza uno, ma pur sempre quale, di diversi eventi incompatibili A1, A2, A3 ... AK è uguale alla somma delle loro probabilità:

P(A1 o A2 ... o AK) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(АK). (4)

Esempio 3. Ci sono 50 palline in un'urna: 20 bianche, 20 nere e 10 rosse. Trova la probabilità della comparsa del bianco (evento MA) o pallina rossa (evento A) quando una pallina viene estratta a caso dall'urna.

Soluzione: p(A o B)= p(MA)+ P(A);

R(MA) = 20/50 = 0,4;

R(A) = 10/50 = 0,2;

R(MA o A)= p(b. sh. o k. sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Esempio 4 . Ci sono 40 bambini nella classe. Di questi, di età compresa tra 7 e 7,5 anni, 8 ragazzi ( MA) e 10 ragazze ( A). Trova la probabilità che ci siano bambini di questa età nella classe.

Soluzione: p(MA)= 8/40 = 0,2; R(A) = 10/40 = 0,25.

P(A o B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Il prossimo concetto importante è gruppo completo di eventi: più eventi incompatibili formano un gruppo completo di eventi se ogni prova può risultare in uno solo degli eventi in questo gruppo e in nessun altro.

Esempio 5 . Il tiratore ha sparato al bersaglio. Uno dei seguenti eventi accadrà sicuramente: colpire il "dieci", "nove", "otto", .., "uno" o un errore. Questi 11 eventi disgiunti formano un gruppo completo.

Esempio 6 . All'esame di Ateneo, uno studente può ricevere uno dei seguenti quattro voti: 2, 3, 4 o 5. Questi quattro eventi non congiunti formano anche un gruppo completo.

Se eventi incompatibili A1, A2 ... AK formare un gruppo completo, quindi la somma delle probabilità di questi eventi è sempre uguale a uno:

R(A1)+ P(A2)+…P(MAK) = 1, (5)

Questa affermazione è spesso usata per risolvere molti problemi applicati.

Se due eventi sono unici e incompatibili, allora sono chiamati opposti e denotati MA e . Tali eventi costituiscono un gruppo completo, quindi la somma delle loro probabilità è sempre uguale a uno:

R(MA)+ P() = 1. (6)

Esempio 7. Let R(MA) è la probabilità di un esito letale in una determinata malattia; è noto e pari al 2%. Quindi la probabilità di un esito positivo in questa malattia è del 98% ( R() = 1 – R(MA) = 0,98), poiché R(MA) + R() = 1.

1.3.2. eventi casuali indipendenti. Teorema della moltiplicazione delle probabilità

Gli eventi casuali sono chiamati indipendenti se il verificarsi di uno di essi non influisce sulla probabilità che si verifichino altri eventi.

Esempio 1 . Se ci sono due o più urne con palline colorate, l'estrazione di una pallina da un'urna non influisce sulla probabilità di estrarre altre palline dalle urne rimanenti.

Per eventi indipendenti, teorema della moltiplicazione di probabilità: giunto di probabilità(simultaneo)il verificarsi di più eventi casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro probabilità:

P(LA1 e LA2 e LA3... e LAK) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(AK). (7)

Il verificarsi congiunto (simultaneo) di eventi significa che gli eventi si verificano e A1, e A2, e A3… e MAK .

Esempio 2 . Ci sono due urne. Uno contiene 2 palline nere e 8 bianche, l'altro contiene 6 nere e 4 bianche. Lascia che l'evento MA- selezione casuale di una pallina bianca dalla prima urna, A- dal secondo. Qual è la probabilità di scegliere a caso da queste urne una pallina bianca, cioè qual è R (MA e A)?

Soluzione: probabilità di estrarre una pallina bianca dalla prima urna
R(MA) = = 0,8 dal secondo – R(A) = = 0,4. La probabilità di ottenere una pallina bianca da entrambe le urne contemporaneamente è
R(MA e A) = R(MA)· R(A) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Esempio 3 Una dieta a basso contenuto di iodio provoca ingrossamento della tiroide nel 60% degli animali in una vasta popolazione. Per l'esperimento sono necessarie 4 ghiandole ingrossate. Trova la probabilità che 4 animali selezionati casualmente abbiano una ghiandola tiroidea ingrossata.

Soluzione: Evento casuale MA- una selezione casuale di un animale con una ghiandola tiroidea ingrossata. Secondo la condizione del problema, la probabilità di questo evento R(MA) = 0,6 = 60%. Quindi la probabilità che si verifichino congiuntamente quattro eventi indipendenti - la scelta a caso di 4 animali con tiroide ingrossata - sarà pari a:

R(MA 1 e MA 2 e MA 3 e MA 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. eventi dipendenti. Teorema della moltiplicazione di probabilità per eventi dipendenti

Gli eventi casuali A e B sono chiamati dipendenti se il verificarsi di uno di essi, ad esempio A cambia la probabilità che si verifichi l'altro evento - B. Pertanto, per gli eventi dipendenti vengono utilizzati due valori di probabilità: probabilità incondizionate e condizionate .

Se una MA e A eventi dipendenti, quindi la probabilità che l'evento si verifichi A prima (cioè prima dell'evento MA) è chiamato incondizionato probabilità di questo evento ed è designato R(A). Probabilità di un evento A a condizione che l'evento MA già successo, si chiama probabilità condizionale sviluppi A e indicato R(A/MA) o RA(A).

L'incondizionato - R(MA) e condizionale - R(A/B) probabilità per l'evento MA.

Il teorema della moltiplicazione delle probabilità per due eventi dipendenti: la probabilità del verificarsi simultaneo di due eventi dipendenti A e B è uguale al prodotto della probabilità incondizionata del primo evento per la probabilità condizionata del secondo:

R(A e B)= p(MA)∙P(B/A) , (8)

MA, o

R(A e B)= p(A)∙P(A/B), (9)

se l'evento si verifica per primo A.

Esempio 1. Ci sono 3 palline nere e 7 palline bianche in un'urna. Trova la probabilità che 2 palline bianche vengano estratte una ad una da questa urna (e la prima pallina non venga rimessa nell'urna).

Soluzione: probabilità di estrarre la prima pallina bianca (evento MA) è pari a 7/10. Dopo che è stata estratta, nell'urna rimangono 9 palline, di cui 6 bianche. Poi la probabilità della comparsa della seconda pallina bianca (l'evento A) è uguale a R(A/MA) = 6/9, e la probabilità di ottenere due palline bianche di fila è

R(MA e A) = R(MA)∙R(A/MA) = = 0,47 = 47%.

Il dato teorema di moltiplicazione di probabilità per eventi dipendenti può essere generalizzato a qualsiasi numero di eventi. In particolare, per tre eventi correlati tra loro:

R(MA e A e DA)= p(MA)∙ R(B/A)∙ R(TAXI). (10)

Esempio 2. In due asili nido, frequentati ciascuno da 100 bambini, si è verificata un'epidemia di una malattia infettiva. La percentuale di casi è rispettivamente di 1/5 e 1/4 e nella prima istituzione il 70% e nella seconda il 60% dei casi sono bambini di età inferiore ai 3 anni. Un bambino viene selezionato casualmente. Determina la probabilità che:

1) il bambino prescelto appartiene al primo asilo nido (evento MA) e malati (evento A).

2) un bambino viene selezionato dal secondo asilo(evento DA), malato (evento D) e di età superiore a 3 anni (evento e).

Soluzione. 1) la probabilità desiderata -

R(MA e A) = R(MA) ∙ R(A/MA) = = 0,1 = 10%.

2) la probabilità desiderata:

R(DA e D e e) = R(DA) ∙ R(D/C) ∙ R(e/CD) = = 5%.

1.4. Formula di Bayes

Se la probabilità di occorrenza congiunta di eventi dipendenti MA e A non dipende dall'ordine in cui si verificano, quindi R(MA e A)= p(MA)∙P(B/A)= p(A) × R(A/B). In questo caso, la probabilità condizionata di uno degli eventi può essere trovata conoscendo le probabilità di entrambi gli eventi e la probabilità condizionata del secondo:

R(B/A) = (11)

La generalizzazione di questa formula per il caso di molti eventi è la formula di Bayes.

Permettere " n» eventi casuali incompatibili H1, H2, …, Hn, formano un gruppo completo di eventi. Le probabilità di questi eventi sono R(H1), R(H2), …, R(Hn) sono noti e poiché formano un gruppo completo, allora = 1.

qualche evento casuale MA associati agli eventi H1, H2, …, Hn, e sono note le probabilità condizionate del verificarsi dell'evento MA con ogni evento Hio, cioè noto R(A/H1), R(A/H2), …, R(UNn). In questo caso, la somma delle probabilità condizionate R(UNio) può non essere uguale a uno, cioè ≠ 1.

Quindi la probabilità condizionata del verificarsi dell'evento Hio quando l'evento è implementato MA(vale a dire, a condizione che l'evento MA successe) è determinato dalla formula di Bayes :

E per queste probabilità condizionate .

La formula di Bayes ha trovato ampia applicazione non solo in matematica, ma anche in medicina. Ad esempio, viene utilizzato per calcolare le probabilità di alcune malattie. Quindi se H 1,…, Hn- diagnosi stimate per questo paziente, MA- qualche segno ad essi correlato (un sintomo, un certo indicatore di un esame del sangue, l'urina, un dettaglio di una radiografia, ecc.) e le probabilità condizionate R(UNio) manifestazioni di questo sintomo in ciascuna diagnosi Hio (io = 1,2,3,…n) sono noti in anticipo, quindi la formula di Bayes (12) ci permette di calcolare le probabilità condizionali di malattie (diagnosi) R(Hio/MA) dopo che è stato accertato che l'elemento caratteristico MA presente nel paziente.

Esempio 1. Durante l'esame iniziale del paziente si ipotizzano 3 diagnosi H 1, H 2, H 3. Le loro probabilità, secondo il medico, sono distribuite come segue: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Pertanto, la prima diagnosi sembra provvisoriamente la più probabile. Per chiarirlo, ad esempio, viene prescritto un esame del sangue, in cui è previsto un aumento della VES (evento MA). È noto in anticipo (sulla base dei risultati della ricerca) che le probabilità di un aumento della VES nelle malattie sospette sono pari a:

R(MA/H 1) = 0,1; R(MA/H 2) = 0,2; R(MA/H 3) = 0,9.

Nell'analisi ottenuta è stato registrato un aumento della VES (evento MA accaduto). Quindi il calcolo secondo la formula di Bayes (12) fornisce i valori delle probabilità delle presunte malattie con un valore di VES aumentato: R(H 1/MA) = 0,13; R(H 2/MA) = 0,09;
R(H 3/MA) = 0,78. Queste cifre mostrano che, tenendo conto dei dati di laboratorio, non la prima, ma la terza diagnosi, la cui probabilità si è ora rivelata piuttosto alta, è la più realistica.

L'esempio sopra è l'illustrazione più semplice di come, utilizzando la formula di Bayes, si possa formalizzare la logica del medico quando si effettua una diagnosi e, grazie a ciò, creare metodi diagnostici computerizzati.

Esempio 2. Determinare la probabilità che valuta il grado di rischio di morte perinatale* di un bambino in donne con bacino anatomicamente stretto.

Soluzione: lascia evento H 1 - consegna sicura. Secondo i rapporti clinici, R(H 1) = 0,975 = 97,5%, quindi se H2- il fatto della mortalità perinatale, quindi R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Denota MA- il fatto della presenza di un bacino stretto in una donna in travaglio. Dagli studi effettuati è noto: a) R(MA/H 1) - la probabilità di una pelvi stretta con parto favorevole, R(MA/H 1) = 0,029, b) R(MA/H 2) - la probabilità di una pelvi stretta nella mortalità perinatale,
R(MA/H 2) = 0,051. Quindi la probabilità desiderata di mortalità perinatale in una pelvi stretta in una donna in travaglio è calcolata dalla formula di Bays (12) ed è uguale a:

Pertanto, il rischio di mortalità perinatale nella pelvi anatomicamente stretta è significativamente più alto (quasi il doppio) rispetto al rischio medio (4,4% contro 2,5%).

Tali calcoli, solitamente eseguiti utilizzando un computer, costituiscono la base dei metodi per formare gruppi di pazienti ad aumentato rischio associato alla presenza dell'uno o dell'altro fattore aggravante.

La formula di Bayes è molto utile per valutare molte altre situazioni biomediche, che risulteranno evidenti quando si risolveranno i compiti indicati nel manuale.

1.5. A proposito di eventi casuali con probabilità vicine a 0 o 1

Quando si risolvono molti problemi pratici, si ha a che fare con eventi la cui probabilità è molto piccola, cioè vicina a zero. Sulla base dell'esperienza con tali eventi, è stato adottato il seguente principio. Se un evento casuale ha una probabilità molto piccola, allora in pratica possiamo presumere che non si verificherà in una singola prova, in altre parole, la possibilità che si verifichi può essere trascurata. La risposta alla domanda su quanto piccola dovrebbe essere questa probabilità è determinata dall'essenza dei problemi da risolvere, da quanto sia importante per noi il risultato della previsione. Ad esempio, se la probabilità che un paracadute non si apra durante un salto è 0,01, l'uso di tali paracadute è inaccettabile. Tuttavia, la stessa probabilità di 0,01 che un treno a lunga percorrenza arrivi in ​​ritardo ci rende quasi certi che arriverà in tempo.

Viene chiamata una probabilità sufficientemente piccola alla quale (in un dato problema specifico) un evento può essere considerato praticamente impossibile livello di significatività. In pratica, il livello di significatività è generalmente considerato 0,01 (livello di significatività dell'uno percento) o 0,05 (livello di significatività del cinque percento), molto meno spesso è considerato 0,001.

L'introduzione di un livello di significatività ci permette di affermare che se qualche evento MA praticamente impossibile, allora l'evento opposto - praticamente affidabile, cioè per lui R() » 1.

CapitoloII. VALORI CASUALI

2.1. Variabili casuali, loro tipi

In matematica, una quantità è un nome generico per vari caratteristiche quantitative oggetti e fenomeni. Lunghezza, area, temperatura, pressione, ecc. sono esempi di diverse grandezze.

Un valore che assume diversi valori numerici sotto l'influenza di circostanze casuali, è chiamata variabile casuale. Esempi di variabili casuali: il numero di pazienti presso lo studio medico; le dimensioni esatte degli organi interni delle persone, ecc.

Distinguere tra variabili casuali discrete e continue .

Una variabile casuale si dice discreta se assume solo determinati valori separati tra loro, che possono essere impostati ed enumerati.

Esempi di una variabile casuale discreta sono:

- il numero di studenti nel pubblico - può essere solo un numero intero numero positivo: 0,1,2,3,4….. 20…..;

- il numero che appare sulla faccia superiore quando viene lanciato dado– può assumere solo valori interi da 1 a 6;

- frequenza relativa di colpire il bersaglio con 10 colpi - i suoi valori: 0; 0,1; 0,2; 0,3 …1

- il numero di eventi che si verificano negli stessi intervalli di tempo: frequenza cardiaca, numero di chiamate in ambulanza all'ora, numero di interventi al mese con esito fatale, ecc.

Una variabile casuale è chiamata continua se può assumere qualsiasi valore entro un certo intervallo, che a volte ha confini ben definiti, a volte no.*. Le variabili casuali continue includono, ad esempio, il peso corporeo e l'altezza degli adulti, il peso corporeo e il volume cerebrale, il contenuto quantitativo di enzimi in persone sane, dimensioni delle cellule del sangue, R H sangue, ecc.

concetto variabile casuale gioca un ruolo decisivo nel teoria moderna probabilità, che ha sviluppato tecniche speciali per il passaggio da eventi casuali a variabili casuali.

Se una variabile casuale dipende dal tempo, allora possiamo parlare di un processo casuale.

2.2. Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta

Per dare una descrizione completa di una variabile casuale discreta, è necessario indicarne tutti i possibili valori e le relative probabilità.

La corrispondenza tra i possibili valori di una variabile casuale discreta e le loro probabilità è chiamata legge di distribuzione di questa variabile.

Indica i possibili valori della variabile casuale X attraverso Xio, e le corrispondenti probabilità attraverso Rio *. Quindi la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta può essere specificata in tre modi: sotto forma di tabella, grafico o formula.

In un tavolo chiamato vicino alla distribuzione, sono elencati tutti i possibili valori di una variabile casuale discreta X e le probabilità corrispondenti a questi valori R(X):

X

…..

…..

P(X)

…..

…..

In questo caso, la somma di tutte le probabilità Rio deve essere uguale a uno (condizione di normalizzazione):

Rio = p1 + p2 + ... + pag = 1. (13)

Graficamente la legge è rappresentata da una linea spezzata, che di solito viene chiamata poligono di distribuzione (Fig. 1). Qui, lungo l'asse orizzontale, vengono tracciati tutti i possibili valori della variabile casuale Xio, , e sull'asse verticale - le probabilità corrispondenti Rio

Analiticamente la legge è espressa da una formula. Ad esempio, se la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è R, quindi la probabilità di colpire il bersaglio 1 volta a n scatti è dato dalla formula R(n) = n qn-1 × p, dove q= 1 - pag- la probabilità di sbagliare con un colpo.

2.3. La legge di distribuzione di una variabile casuale continua. Densità di probabilità

Per le variabili casuali continue, è impossibile applicare la legge di distribuzione nelle forme sopra indicate, poiché tale variabile ha un insieme non numerabile ("non numerabile") di valori possibili che riempiono completamente un certo intervallo. Pertanto, è impossibile creare una tabella in cui siano elencati tutti i suoi possibili valori o costruire un poligono di distribuzione. Inoltre, la probabilità di un valore particolare è molto piccola (vicino a 0)*. Allo stesso tempo, diverse aree (intervalli) di possibili valori di una variabile casuale continua non sono ugualmente probabili. Così, anche in questo caso, opera una certa legge di distribuzione, sebbene non nel primo senso.

Considera una variabile casuale continua X, i cui possibili valori riempiono completamente un certo intervallo (un, b)**. La legge della distribuzione di probabilità di un tale valore dovrebbe permetterci di trovare la probabilità che il suo valore rientri in un dato intervallo ( x1, x2) sdraiato dentro ( un,b), Fig.2.

Questa probabilità è R(x1< Х < х2 ), o
R(x1£ X£ x2).

Considera prima un intervallo di valori molto piccolo X- da X prima ( x +DX); vedi fig.2. bassa probabilità dR che la variabile casuale X prenderà un valore dall'intervallo ( x, x +DX), sarà proporzionale al valore di questo intervallo DX:dR~ DX, o introducendo il fattore di proporzionalità f, da cui essa stessa può dipendere X, noi abbiamo:

dP =f(X) × D x =f(X) × dx (14)

Funzione introdotta qui f(X) è chiamato densità di probabilità variabile casuale X, o, in breve, densità di probabilità, densità di distribuzione. L'equazione (13) è un'equazione differenziale, la cui soluzione dà la probabilità di raggiungere il valore X nell'intervallo ( x1,x2):

R(x1<X<x2) = f(X) dX. (15)

Graficamente probabilità R(x1<X<x2) è uguale all'area del trapezio curvilineo delimitata dall'asse delle ascisse, la curva f(X) e diretto X = x1 e X = x2(Fig. 3). Ciò deriva dal significato geometrico dell'integrale definito (15) Curva f(X) è chiamata curva di distribuzione.

Dalla (15) segue che se la funzione f(X), quindi, modificando i limiti di integrazione, possiamo trovare la probabilità per qualsiasi intervallo di nostro interesse. Pertanto, è compito della funzione f(X) determina completamente la legge di distribuzione per variabili aleatorie continue.

Per la densità di probabilità f(X) la condizione di normalizzazione deve essere soddisfatta nella forma:

f(X) dx = 1, (16)

se è noto che tutti i valori X giacciono nell'intervallo ( un,b), o nella forma:

f(X) dx = 1, (17)

se l'intervallo limita i valori X esattamente indefinito. Le condizioni per normalizzare la densità di probabilità (16) o (17) sono una conseguenza del fatto che i valori della variabile casuale X giacciono in modo affidabile all'interno ( un,b) o (-¥, +¥). Da (16) e (17) segue che l'area della figura delimitata dalla curva di distribuzione e dall'asse x è sempre uguale a 1 .

2.4. Caratteristiche numeriche di base delle variabili casuali

I risultati presentati nelle sezioni 2.2 e 2.3 mostrano che una caratterizzazione completa di variabili casuali discrete e continue può essere ottenuta conoscendo le leggi della loro distribuzione. Tuttavia, in molte situazioni praticamente significative vengono utilizzate le cosiddette caratteristiche numeriche delle variabili casuali, lo scopo principale di queste caratteristiche è quello di esprimere in forma compressa le caratteristiche più significative della distribuzione delle variabili casuali. È importante che questi parametri siano valori specifici (costanti) che possono essere stimati utilizzando i dati ottenuti negli esperimenti. Queste stime sono gestite da Statistica descrittiva.

Nella teoria della probabilità e nella statistica matematica vengono utilizzate molte caratteristiche diverse, ma considereremo solo quelle più utilizzate. E solo per alcuni di loro daremo le formule con cui vengono calcolati i loro valori, in altri casi lasceremo i calcoli al computer.

Ritenere caratteristiche di posizione - aspettativa matematica, moda, mediana.

Caratterizzano la posizione di una variabile casuale sull'asse dei numeri , ovvero indicano un valore approssimativo attorno al quale sono raggruppati tutti i possibili valori della variabile casuale. Tra questi, l'aspettativa matematica gioca il ruolo più importante. M(X).

Che cos'è una probabilità?

Di fronte a questo termine per la prima volta, non capirei di cosa si tratta. Quindi cercherò di spiegare in modo comprensibile.

La probabilità è la possibilità che si verifichi l'evento desiderato.

Ad esempio, hai deciso di visitare un amico, ricordare l'ingresso e persino il piano in cui abita. Ma ho dimenticato il numero e l'ubicazione dell'appartamento. E ora sei sulla tromba delle scale e di fronte a te ci sono le porte tra cui scegliere.

Qual è la possibilità (probabilità) che se suoni il primo campanello, il tuo amico lo apra per te? Appartamento intero e un amico vive solo dietro uno di loro. Con pari possibilità, possiamo scegliere qualsiasi porta.

Ma qual è questa possibilità?

Porte, la porta giusta. Probabilità di indovinare suonando la prima porta: . Cioè, una volta su tre indovinerai di sicuro.

Vogliamo sapere chiamando una volta, quante volte indovineremo la porta? Diamo un'occhiata a tutte le opzioni:

1. hai chiamato 1° Porta
2. hai chiamato 2° Porta
3. hai chiamato 3° Porta

E ora considera tutte le opzioni in cui un amico può essere:

un. Per 1° porta
b. Per 2° porta
in. Per 3° porta

Confrontiamo tutte le opzioni sotto forma di tabella. Un segno di spunta indica le opzioni quando la tua scelta corrisponde alla posizione di un amico, una croce - quando non corrisponde.

Come vedi tutto Forse opzioni la posizione dell'amico e la tua scelta di quale porta suonare.

MA esiti favorevoli di tutti . Cioè, indovinerai i tempi suonando una volta alla porta, ad es. .

Questa è la probabilità: il rapporto tra un esito favorevole (quando la tua scelta ha coinciso con la posizione di un amico) e il numero di eventi possibili.

La definizione è la formula. La probabilità è solitamente indicata con p, quindi:

Non è molto conveniente scrivere una formula del genere, quindi prendiamo per - il numero di risultati favorevoli e per - il numero totale di risultati.

La probabilità può essere scritta in percentuale, per questo è necessario moltiplicare il risultato risultante per:

Probabilmente, la parola "risultati" ha attirato la tua attenzione. Poiché i matematici chiamano esperimenti varie azioni (per noi, tale azione è un campanello), è consuetudine chiamare il risultato di tali esperimenti un risultato.

Bene, i risultati sono favorevoli e sfavorevoli.

Torniamo al nostro esempio. Diciamo che abbiamo suonato a una delle porte, ma uno sconosciuto l'ha aperta per noi. Non abbiamo indovinato. Qual è la probabilità che se suoniamo una delle porte rimanenti, il nostro amico la apri per noi?

Se lo pensavi, allora questo è un errore. Scopriamolo.

Abbiamo due porte rimaste. Quindi abbiamo possibili passaggi:

1) Chiama a 1° Porta
2) Chiama 2° Porta

Un amico, con tutto questo, è sicuramente dietro uno di loro (dopotutto, non era dietro quello che abbiamo chiamato):

a) un amico 1° porta
b) un amico per 2° porta

Disegniamo di nuovo la tabella:

Come puoi vedere, ci sono tutte le opzioni, di cui - favorevole. Cioè, la probabilità è uguale.

Perché no?

La situazione che abbiamo considerato è esempio di eventi dipendenti. Il primo evento è il primo campanello, il secondo evento è il secondo campanello.

E sono chiamati dipendenti perché influenzano le seguenti azioni. Dopotutto, se un amico aprisse la porta dopo il primo squillo, quale sarebbe la probabilità che si trovi dietro a uno degli altri due? Correttamente, .

Ma se ci sono eventi dipendenti, allora devono esserci indipendente? Vero, ci sono.

Un esempio da manuale è lanciare una moneta.

1. Lanciamo una moneta. Qual è la probabilità che, ad esempio, esca testa? Esatto, perché le opzioni per tutto (testa o croce, trascureremo la probabilità che una moneta rimanga sul limite), ma si adattano solo a noi.
2. Ma le code sono cadute. Va bene, facciamolo di nuovo. Qual è la probabilità che esca testa adesso? Niente è cambiato, tutto è uguale. Quante opzioni? Due. Di quanto siamo soddisfatti? Uno.

E lascia che le code cadano almeno mille volte di seguito. La probabilità di cadere testa in una volta sarà la stessa. Ci sono sempre opzioni, ma favorevoli.

Distinguere eventi dipendenti da eventi indipendenti è facile:

1. Se l'esperimento viene eseguito una volta (una volta lanciata una moneta, il campanello suona una volta, ecc.), gli eventi sono sempre indipendenti.
2. Se l'esperimento viene eseguito più volte (una moneta viene lanciata una volta, il campanello viene suonato più volte), il primo evento è sempre indipendente. E poi, se cambia il numero dei favorevoli o il numero di tutti i risultati, gli eventi sono dipendenti e, in caso negativo, sono indipendenti.

Facciamo un po' di pratica per determinare la probabilità.

Esempio 1

La moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità di ottenere un heads up due volte di seguito?

Soluzione:

Considera tutte le opzioni possibili:

1. aquila aquila
2. coda d'aquila
3. coda-aquila
4. Code-code

Come puoi vedere, tutte le opzioni. Di questi, siamo solo soddisfatti. Questa è la probabilità:

Se la condizione richiede semplicemente di trovare la probabilità, la risposta deve essere data come frazione decimale. Se fosse indicato che la risposta deve essere data in percentuale, allora moltiplicheremmo per.

Risposta:

Esempio 2

In una scatola di cioccolatini, tutte le caramelle sono confezionate nello stesso involucro. Tuttavia, dai dolci - con noci, cognac, ciliegie, caramello e torrone.

Qual è la probabilità di prendere una caramella e ottenere una caramella con le noci. Dai la tua risposta in percentuale.

Soluzione:

Quanti possibili esiti ci sono? .

Cioè, prendendo una caramella, sarà una di quelle nella scatola.

E quanti esiti favorevoli?

Perché la scatola contiene solo cioccolatini con noci.

Risposta:

Esempio 3

In una scatola di palline. di cui sono bianchi e neri.

1. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?
2. Abbiamo aggiunto altre palline nere alla scatola. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca adesso?

Soluzione:

a) Ci sono solo palline nella scatola. di cui sono bianchi.

La probabilità è:

b) Ora ci sono le palline nella scatola. E sono rimasti altrettanti bianchi.

Risposta:

Piena probabilità

La probabilità di tutti i possibili eventi è ().

Ad esempio, in una scatola di palline rosse e verdi. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa? Palla verde? Palla rossa o verde?

Probabilità di estrarre una pallina rossa

Pallone verde:

Palla rossa o verde:

Come puoi vedere, la somma di tutti i possibili eventi è uguale a (). Comprendere questo punto ti aiuterà a risolvere molti problemi.

Esempio 4

Ci sono pennarelli nella confezione: verde, rosso, blu, giallo, nero.

Qual è la probabilità di pescare NON un segnalino rosso?

Soluzione:

Contiamo il numero esiti favorevoli.

NON un indicatore rosso, ciò significa verde, blu, giallo o nero.

Probabilità di tutti gli eventi. E la probabilità di eventi che consideriamo sfavorevoli (quando tiriamo fuori un pennarello rosso) è .

Pertanto, la probabilità di disegnare NON un pennarello rosso è -.

Risposta:

La probabilità che un evento non si verifichi è meno la probabilità che l'evento si verifichi.

Regola per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti

Sai già cosa sono gli eventi indipendenti.

E se hai bisogno di trovare la probabilità che si verifichino due (o più) eventi indipendenti di seguito?

Diciamo che vogliamo sapere qual è la probabilità che lanciando una moneta una volta, vedremo un'aquila due volte?

Abbiamo già considerato - .

E se lanciassimo una moneta? Qual è la probabilità di vedere un'aquila due volte di seguito?

Totale opzioni possibili:

1. Aquila-aquila-aquila
2. Coda d'aquila
3. Testa-code-aquila
4. Testa-croce-croce
5. code-aquila-aquila
6. Croce-testa-croce
7. Testa-croce-testa
8. Code-code-code

Non so voi, ma una volta ho sbagliato questa lista. Oh! E l'unica opzione (la prima) ci si addice.

Per 5 lanci, puoi fare tu stesso un elenco di possibili risultati. Ma i matematici non sono così industriosi come te.

Pertanto, hanno prima notato, e poi dimostrato, che la probabilità di una certa sequenza di eventi indipendenti diminuisce ogni volta della probabilità di un evento.

In altre parole,

Considera l'esempio della stessa, sfortunata moneta.

Probabilità di testare in un processo? . Ora stiamo lanciando una moneta.

Qual è la probabilità di ottenere croce di fila?

Questa regola non funziona solo se ci viene chiesto di trovare la probabilità che lo stesso evento si verifichi più volte di seguito.

Se volessimo trovare la sequenza TAILS-EAGLE-TAILS su lanci consecutivi, faremmo lo stesso.

La probabilità di ottenere croce - , testa - .

La probabilità di ottenere la sequenza CODE-EAGLE-TAILS-TAILS:

Puoi verificarlo tu stesso creando un tavolo.

La regola per sommare le probabilità di eventi incompatibili.

Quindi fermati! Nuova definizione.

Scopriamolo. Prendiamo la nostra moneta consumata e la lanciamo una volta.
Possibili opzioni:

1. Aquila-aquila-aquila
2. Coda d'aquila
3. Testa-code-aquila
4. Testa-croce-croce
5. code-aquila-aquila
6. Croce-testa-croce
7. Testa-croce-testa
8. Code-code-code

Quindi qui ci sono eventi incompatibili, questa è una certa sequenza di eventi. sono eventi incompatibili

Se vogliamo determinare qual è la probabilità di due (o più) eventi incompatibili, aggiungiamo le probabilità di questi eventi.

Devi capire che la perdita di un'aquila o della croce sono due eventi indipendenti.

Se vogliamo determinare qual è la probabilità che una sequenza) (o qualsiasi altra) cada, usiamo la regola della moltiplicazione delle probabilità.
Qual è la probabilità di ottenere testa al primo lancio e croce al secondo e al terzo?

Ma se vogliamo sapere qual è la probabilità di ottenere una delle diverse sequenze, ad esempio, quando esce testa esattamente una volta, ad es. opzioni e, quindi, dobbiamo aggiungere le probabilità di queste sequenze.

Le opzioni totali ci soddisfano.

Possiamo ottenere la stessa cosa sommando le probabilità di occorrenza di ciascuna sequenza:

Quindi, aggiungiamo le probabilità quando vogliamo determinare la probabilità di alcune sequenze di eventi incompatibili.

C'è una grande regola per aiutarti a non confonderti quando moltiplicare e quando aggiungere:

Torniamo all'esempio in cui abbiamo lanciato una moneta più volte e vogliamo conoscere la probabilità di vedere testa una volta.
Cosa succederà?

Dovrebbe cadere:
(testa E croce E croce) OR (croce E testa E croce) OR (croce E croce E testa).
E così risulta:

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 5

Ci sono matite nella scatola. rosso, verde, arancione e giallo e nero. Qual è la probabilità di disegnare matite rosse o verdi?

Soluzione:

Cosa succederà? Dobbiamo tirare fuori (rosso OPPURE verde).

Ora è chiaro, sommiamo le probabilità di questi eventi:

Risposta:

Esempio 6

Un dado viene lanciato due volte, qual è la probabilità che esca un totale di 8?

Soluzione.

Come possiamo ottenere punti?

(e) o (e) o (e) o (e) o (e).

La probabilità di cadere da una (qualsiasi) faccia è .

Calcoliamo la probabilità:

Risposta:

Allenamento.

Penso che ora ti sia diventato chiaro quando hai bisogno di come contare le probabilità, quando aggiungerle e quando moltiplicarle. Non è vero? Facciamo un po' di esercizio.

Compiti:

Prendiamo un mazzo di carte in cui le carte sono picche, cuori, 13 fiori e 13 tamburelli. Dall'asso di ogni seme.

1. Qual è la probabilità di pescare fiori di seguito (rimettiamo la prima carta estratta nel mazzo e mescoliamo)?
2. Qual è la probabilità di pescare una carta nera (picche o fiori)?
3. Qual è la probabilità di estrarre un'immagine (jack, regina, re o asso)?
4. Qual è la probabilità di pescare due immagini di seguito (togliamo la prima carta estratta dal mazzo)?
5. Qual è la probabilità, prendendo due carte, di raccogliere una combinazione - (Jack, Regina o Re) e Asso La sequenza in cui verranno pescate le carte non ha importanza.

Risposte:

1. In un mazzo di carte di ogni valore, significa:
2. Gli eventi dipendono, poiché dopo la prima carta estratta, il numero di carte nel mazzo è diminuito (così come il numero di "foto"). Il totale di jack, regine, re e assi nel mazzo inizialmente, il che significa la probabilità di pescare il "quadro" con la prima carta:

   Dato che stiamo rimuovendo la prima carta dal mazzo, significa che c'è già una carta rimasta nel mazzo, di cui ci sono le immagini. Probabilità di disegnare un'immagine con la seconda carta:

   Poiché siamo interessati alla situazione in cui otteniamo dal mazzo: "immagine" E "immagine", allora dobbiamo moltiplicare le probabilità:

   Risposta:

3. Dopo aver pescato la prima carta, il numero di carte nel mazzo diminuirà, quindi abbiamo due opzioni:
   1) Con la prima carta prendiamo l'asso, la seconda - jack, regina o re
   2) Con la prima carta prendiamo un jack, una regina o un re, la seconda un asso. (asso e (jack o regina o re)) o ((jack o regina o re) e asso). Non dimenticare di ridurre il numero di carte nel mazzo!

Se sei stato in grado di risolvere tutti i problemi da solo, allora sei un bravo ragazzo! Ora i compiti sulla teoria della probabilità nell'esame farai clic come matti!

TEORIA DELLA PROBABILITÀ. LIVELLO MEDIO

Considera un esempio. Diciamo di lanciare un dado. Che razza di osso è questo, lo sai? Questo è il nome di un cubo con dei numeri sulle facce. Quanti volti, quanti numeri: da a quanti? Prima.

Quindi tiriamo un dado e vogliamo che esca con un o. E cadiamo.

In teoria probabilistica dicono cosa è successo evento favorevole(da non confondere con il bene).

Se cadesse, anche l'evento sarebbe di buon auspicio. In totale possono verificarsi solo due eventi favorevoli.

Quanti cattivi? Poiché tutti gli eventi possibili, gli sfavorevoli sono gli eventi (questo è se cade o).

Definizione:

La probabilità è il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili.. Cioè, la probabilità mostra quale proporzione di tutti i possibili eventi è favorevole.

Denotano la probabilità con una lettera latina (apparentemente, dalla parola inglese probabilità - probabilità).

È consuetudine misurare la probabilità in percentuale (vedi argomenti e). Per fare ciò, il valore di probabilità deve essere moltiplicato per. Nell'esempio dei dadi, probabilità.

E in percentuale: .

Esempi (decidi tu stesso):

1. Qual è la probabilità che il lancio di una moneta vada a testa? E qual è la probabilità di croce?
2. Qual è la probabilità che esca un numero pari quando viene lanciato un dado? E con cosa - strano?
3. In un cassetto di matite semplici, blu e rosse. Disegniamo a caso una matita. Qual è la probabilità di estrarne uno semplice?

Soluzioni:

1. Quante opzioni ci sono? Testa e croce: solo due. E quanti di loro sono favorevoli? Solo uno è un'aquila. Quindi la probabilità

   Lo stesso con le code: .

2. Opzioni totali: (quanti lati ha un cubo, tante opzioni diverse). Quelli favorevoli: (questi sono tutti numeri pari :).
   Probabilità. Con dispari, ovviamente, la stessa cosa.
3. Totale: . Favorevole: . Probabilità: .

Piena probabilità

Tutte le matite nel cassetto sono verdi. Qual è la probabilità di disegnare una matita rossa? Non ci sono possibilità: probabilità (dopotutto, eventi favorevoli -).

Un tale evento è chiamato impossibile.

Qual è la probabilità di disegnare una matita verde? Ci sono esattamente tanti eventi favorevoli quanti sono gli eventi totali (tutti gli eventi sono favorevoli). Quindi la probabilità è o.

Un tale evento è chiamato certo.

Se nella scatola ci sono matite verdi e rosse, qual è la probabilità di disegnare una verde o una rossa? Ancora una volta. Nota la seguente cosa: la probabilità di disegnare il verde è uguale e il rosso è .

In sintesi, queste probabilità sono esattamente uguali. Questo è, la somma delle probabilità di tutti i possibili eventi è uguale a o.

Esempio:

In una scatola di matite, tra queste ci sono blu, rosse, verdi, semplici, gialle e le altre sono arancioni. Qual è la probabilità di non disegnare il verde?

Soluzione:

Ricorda che tutte le probabilità si sommano. E la probabilità di disegnare verde è uguale. Ciò significa che la probabilità di non disegnare il verde è uguale.

Ricorda questo trucco: La probabilità che un evento non si verifichi è meno la probabilità che l'evento si verifichi.

Eventi indipendenti e regola della moltiplicazione

Lanci una moneta due volte e vuoi che esca testa entrambe le volte. Qual è la probabilità di questo?

Esaminiamo tutte le opzioni possibili e determiniamo quante ce ne sono:

Aquila-aquila, coda-aquila, coda-aquila, coda-coda. Cos'altro?

L'intera variante. Di questi, solo uno ci si addice: Eagle-Eagle. Quindi, la probabilità è uguale.

Bene. Ora lanciamo una moneta. Conta te stesso. Accaduto? (Rispondere).

Potresti aver notato che con l'aggiunta di ogni lancio successivo, la probabilità diminuisce di un fattore. Si chiama la regola generale regola di moltiplicazione:

Le probabilità di eventi indipendenti cambiano.

Cosa sono gli eventi indipendenti? Tutto è logico: questi sono quelli che non dipendono l'uno dall'altro. Ad esempio, quando lanciamo più volte una moneta, ogni volta viene effettuato un nuovo lancio, il cui risultato non dipende da tutti i lanci precedenti. Con lo stesso successo, possiamo lanciare due monete diverse contemporaneamente.

Altri esempi:

1. Un dado viene lanciato due volte. Qual è la probabilità che esca entrambe le volte?
2. Una moneta viene lanciata volte. Qual è la probabilità di ottenere prima testa e poi croce due volte?
3. Il giocatore tira due dadi. Qual è la probabilità che la somma dei numeri su di essi sia uguale?

Risposte:

1. Gli eventi sono indipendenti, il che significa che la regola di moltiplicazione funziona: .
2. La probabilità di un'aquila è uguale. Anche la probabilità di croce. Moltiplichiamo:
3. 12 può essere ottenuto solo se due -ki cadono: .

Eventi incompatibili e regola dell'addizione

Gli eventi incompatibili sono eventi che si completano a vicenda con piena probabilità. Come suggerisce il nome, non possono accadere contemporaneamente. Ad esempio, se lanciamo una moneta, possono cadere testa o croce.

Esempio.

In una scatola di matite, tra queste ci sono blu, rosse, verdi, semplici, gialle e le altre sono arancioni. Qual è la probabilità di disegnare verde o rosso?

Soluzione.

La probabilità di disegnare una matita verde è uguale. Rosso - .

Eventi di buon auspicio per tutti: verde + rosso. Quindi la probabilità di disegnare verde o rosso è uguale.

La stessa probabilità può essere rappresentata nella forma seguente: .

Questa è la regola dell'addizione: le probabilità di eventi incompatibili si sommano.

Compiti misti

Esempio.

La moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità che il risultato dei lanci sia diverso?

Soluzione.

Ciò significa che se esce testa per prima, croce dovrebbe essere seconda e viceversa. Si scopre che qui ci sono due coppie di eventi indipendenti e queste coppie sono incompatibili tra loro. Come non confondersi su dove moltiplicare e dove aggiungere.

C'è una semplice regola per tali situazioni. Prova a descrivere cosa dovrebbe accadere collegando gli eventi con i sindacati "AND" o "OR". Ad esempio, in questo caso:

Deve rotolare (testa e croce) o (croce e testa).

Dove c'è un'unione "e", ci sarà la moltiplicazione e dove "o" è l'addizione:

Provate voi stessi:

1. Qual è la probabilità che due lanci di monete escano con lo stesso lato entrambe le volte?
2. Un dado viene lanciato due volte. Qual è la probabilità che la somma perda punti?

Soluzioni:

1. (A testa in su e in testa a testa) o (Croda in su e croce in su): .
2. Quali sono le opzioni? e. Quindi:
   Arrotolato (e) o (e) o (e): .

Un altro esempio:

Lanciamo una moneta una volta. Qual è la probabilità che esca testa almeno una volta?

Soluzione:

Oh, come non voglio ordinare le opzioni ... Testa-croce-croce, Aquila-testa-croce, ... Ma non è necessario! Parliamo di piena probabilità. Ricordato? Qual è la probabilità che l'aquila non cadrà mai? È semplice: le code volano sempre, questo significa.

TEORIA DELLA PROBABILITÀ. IN BREVE SUL PRINCIPALE

La probabilità è il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili.

Eventi indipendenti

Due eventi sono indipendenti se il verificarsi di uno non cambia la probabilità che si verifichi l'altro.

Piena probabilità

La probabilità di tutti i possibili eventi è ().

La probabilità che un evento non si verifichi è meno la probabilità che l'evento si verifichi.

Regola per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti

La probabilità di una certa sequenza di eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di ciascuno degli eventi

Eventi incompatibili

Gli eventi incompatibili sono quegli eventi che non possono verificarsi simultaneamente come risultato di un esperimento. Un certo numero di eventi incompatibili formano un gruppo completo di eventi.

Le probabilità di eventi incompatibili si sommano.

Dopo aver descritto cosa dovrebbe accadere, usando le unioni "AND" o "OR", invece di "AND" mettiamo il segno di moltiplicazione e invece di "OR" - addizione.

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Probabilità evento è il rapporto tra il numero di esiti elementari che favoriscono un dato evento e il numero di tutti egualmente possibili esiti dell'esperienza in cui questo evento può verificarsi. La probabilità di un evento A è indicata da P(A) (qui P è la prima lettera della parola francese probabilite - probabilità). Secondo la definizione
(1.2.1)
dove è il numero di esiti elementari favorevoli all'evento A; - il numero di tutti gli esiti elementari dell'esperienza ugualmente possibili, che formano un insieme completo di eventi.
Questa definizione di probabilità è chiamata classica. Sorse nella fase iniziale dello sviluppo della teoria della probabilità.

La probabilità di un evento ha le seguenti proprietà:
1. La probabilità di un determinato evento è uguale a uno. Designiamo un certo evento con la lettera. Per un certo evento, dunque
(1.2.2)
2. La probabilità di un evento impossibile è zero. Indichiamo l'evento impossibile con la lettera. Per un evento impossibile, dunque
(1.2.3)
3. La probabilità di un evento casuale è espressa come un numero positivo minore di uno. Dal momento che le disuguaglianze, o sono soddisfatte per un evento casuale, quindi
(1.2.4)
4. La probabilità di qualsiasi evento soddisfa le disuguaglianze
(1.2.5)
Ciò risulta dalle relazioni (1.2.2) -(1.2.4).

Esempio 1 Un'urna contiene 10 palline della stessa dimensione e peso, di cui 4 rosse e 6 blu. Una pallina viene estratta dall'urna. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia blu?

Soluzione. L'evento "il pareggio è risultato essere blu" sarà indicato con la lettera A. Questa prova ha 10 esiti elementari ugualmente possibili, di cui 6 favorevoli all'evento A. Secondo la formula (1.2.1), otteniamo

Esempio 2 Tutti i numeri naturali da 1 a 30 sono scritti su carte identiche e posti in un'urna. Dopo aver mescolato accuratamente le carte, una carta viene rimossa dall'urna. Qual è la probabilità che il numero sulla carta estratta sia un multiplo di 5?

Soluzione. Indichiamo con A l'evento "il numero sulla carta presa è un multiplo di 5". In questo test ci sono 30 esiti elementari ugualmente possibili, di cui 6 esiti favorevoli all'evento A (numeri 5, 10, 15, 20, 25, 30). Di conseguenza,

Esempio 3 Vengono lanciati due dadi, viene calcolata la somma dei punti sulle facce superiori. Trova la probabilità dell'evento B, consistente nel fatto che le facce superiori dei cubi avranno un totale di 9 punti.

Soluzione. Ci sono 6 2 = 36 esiti elementari ugualmente possibili in questo studio. L'evento B è favorito da 4 risultati: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), quindi

Esempio 4. Viene scelto a caso un numero naturale non superiore a 10. Qual è la probabilità che questo numero sia primo?

Soluzione. Indichiamo con la lettera C l'evento "il numero scelto è primo". In questo caso, n = 10, m = 4 (primi 2, 3, 5, 7). Pertanto, la probabilità desiderata

Esempio 5 Vengono lanciate due monete simmetriche. Qual è la probabilità che entrambe le monete abbiano delle cifre sui lati superiori?

Soluzione. Indichiamo con la lettera D l'evento "c'era un numero sul lato superiore di ogni moneta". Ci sono 4 risultati elementari ugualmente possibili in questo test: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notazione (G, C) significa che sulla prima moneta c'è uno stemma, sulla seconda - un numero). L'evento D è favorito da un esito elementare (C, C). Poiché m = 1, n = 4, allora

Esempio 6 Qual è la probabilità che le cifre di un numero a due cifre scelto casualmente siano le stesse?

Soluzione. I numeri a due cifre sono numeri da 10 a 99; ci sono 90 numeri in totale.9 numeri hanno le stesse cifre (questi sono i numeri 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Poiché in questo caso m = 9, n = 90, allora
,
dove A è l'evento "numero con le stesse cifre".

Esempio 7 Dalle lettere della parola differenziale una lettera viene scelta a caso. Qual è la probabilità che questa lettera sia: a) una vocale b) una consonante c) una lettera h?

Soluzione. Ci sono 12 lettere nella parola differenziale, di cui 5 sono vocali e 7 sono consonanti. Lettere h questa parola no. Indichiamo gli eventi: A - "vocale", B - "consonante", C - "lettera h". Il numero di risultati elementari favorevoli: - per l'evento A, - per l'evento B, - per l'evento C. Da n \u003d 12, quindi
, e .

Esempio 8 Vengono lanciati due dadi, viene annotato il numero di punti sulla faccia superiore di ciascun dado. Trova la probabilità che entrambi i dadi abbiano lo stesso numero di punti.

Soluzione. Indichiamo questo evento con la lettera A. L'evento A è favorito da 6 esiti elementari: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). In totale ci sono esiti elementari ugualmente possibili che formano un gruppo completo di eventi, in questo caso n=6 2 =36. Quindi la probabilità desiderata

Esempio 9 Il libro ha 300 pagine. Qual è la probabilità che una pagina aperta casualmente abbia un numero di sequenza multiplo di 5?

Soluzione. Dalle condizioni del problema deriva che ci saranno n = 300 di tutti gli esiti elementari ugualmente possibili che formano un gruppo completo di eventi, di cui m = 60 favoriscono il verificarsi dell'evento specificato. Infatti, un numero multiplo di 5 ha la forma 5k, dove k è un numero naturale, e , da cui . Di conseguenza,
, dove A - l'evento "pagina" ha un numero di sequenza multiplo di 5".

Esempio 10. Vengono lanciati due dadi, viene calcolata la somma dei punti sulle facce superiori. Cos'è più probabile che ottenga un totale di 7 o 8?

Soluzione. Designiamo gli eventi: A - "7 punti sono caduti", B - "8 punti sono caduti". L'evento A è favorito da 6 risultati elementari: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) e l'evento B - da 5 risultati: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Ci sono n = 6 2 = 36 di tutti i risultati elementari ugualmente possibili. Quindi, e .

Quindi, P(A)>P(B), ovvero ottenere un totale di 7 punti è un evento più probabile che ottenere un totale di 8 punti.

Compiti

1. Viene scelto a caso un numero naturale non superiore a 30. Qual è la probabilità che questo numero sia un multiplo di 3?
2. Nell'urna un rosso e b palline blu della stessa dimensione e peso. Qual è la probabilità che una pallina estratta a caso da questa urna sia blu?
3. Si sceglie a caso un numero non superiore a 30. Qual è la probabilità che questo numero sia un divisore di zo?
4. Nell'urna un blu e b palline rosse della stessa dimensione e peso. Una palla viene estratta da questa urna e messa da parte. Questa palla è rossa. Quindi un'altra palla viene estratta dall'urna. Trova la probabilità che anche la seconda pallina sia rossa.
5. Viene scelto a caso un numero naturale non superiore a 50. Qual è la probabilità che questo numero sia primo?
6. Vengono lanciati tre dadi, viene calcolata la somma dei punti sulle facce superiori. Cos'è più probabile: ottenere un totale di 9 o 10 punti?
7. Vengono lanciati tre dadi, viene calcolata la somma dei punti lasciati. Cos'è più probabile che ottenga un totale di 11 (evento A) o 12 punti (evento B)?

Risposte

1. 1/3. 2 . b/(un+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(un+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - la probabilità di ottenere 9 punti in totale; p 2 \u003d 27/216 - la probabilità di ottenere 10 punti in totale; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Domande

1. Come si chiama la probabilità di un evento?
2. Qual è la probabilità di un determinato evento?
3. Qual è la probabilità di un evento impossibile?
4. Quali sono i limiti della probabilità di un evento casuale?
5. Quali sono i limiti della probabilità di ogni evento?
6. Quale definizione di probabilità è chiamata classica?

È improbabile che molte persone pensino se sia possibile calcolare eventi più o meno casuali. In parole povere, è realistico sapere quale lato del dado cadrà dopo. È stata questa domanda che si sono posti due grandi scienziati, che hanno gettato le basi per una scienza come la teoria della probabilità, in cui la probabilità di un evento è studiata in modo abbastanza approfondito.

Origine

Se provi a definire un tale concetto come teoria della probabilità, ottieni quanto segue: questo è uno dei rami della matematica che studia la costanza degli eventi casuali. Naturalmente, questo concetto non rivela davvero l'intera essenza, quindi è necessario considerarlo in modo più dettagliato.

Vorrei iniziare con i creatori della teoria. Come accennato in precedenza, ce n'erano due, e furono loro tra i primi a cercare di calcolare l'esito di un evento usando formule e calcoli matematici. Nel complesso, gli inizi di questa scienza sono apparsi nel Medioevo. A quel tempo, vari pensatori e scienziati hanno cercato di analizzare il gioco d'azzardo, come la roulette, i dadi e così via, stabilendo così uno schema e una percentuale di caduta di un determinato numero. Le fondamenta furono poste nel diciassettesimo secolo dai suddetti scienziati.

All'inizio, il loro lavoro non poteva essere attribuito ai grandi successi in questo campo, perché tutto ciò che facevano erano semplicemente fatti empirici e gli esperimenti venivano fatti visivamente, senza l'uso di formule. Nel tempo, si sono ottenuti ottimi risultati, che sono apparsi come risultato dell'osservazione del lancio dei dadi. È stato questo strumento che ha contribuito a derivare le prime formule intelligibili.

Gente simile mentalmente

Impossibile non citare una persona come Christian Huygens, in procinto di studiare un argomento chiamato "teoria della probabilità" (la probabilità di un evento è trattata proprio in questa scienza). Questa persona è molto interessante. Lui, come gli scienziati presentati sopra, ha cercato di derivare la regolarità di eventi casuali sotto forma di formule matematiche. È interessante notare che non lo fece insieme a Pascal e Fermat, cioè tutte le sue opere non si intersecavano in alcun modo con queste menti. Huygens ha tirato fuori

Un fatto interessante è che il suo lavoro è uscito molto prima dei risultati del lavoro degli scopritori, o meglio, vent'anni prima. Tra i concetti designati, i più famosi sono:

• il concetto di probabilità come grandezza del caso;
• aspettativa matematica per casi discreti;
• teoremi di moltiplicazione e addizione di probabilità.

Impossibile non ricordare anche chi ha dato un contributo significativo allo studio del problema. Conducendo le proprie prove, indipendentemente da chiunque, riuscì a presentare una prova della legge dei grandi numeri. A loro volta, gli scienziati Poisson e Laplace, che lavorarono all'inizio del diciannovesimo secolo, furono in grado di dimostrare i teoremi originali. Fu da questo momento che la teoria della probabilità iniziò ad essere utilizzata per analizzare gli errori nel corso delle osservazioni. Anche gli scienziati russi, o meglio Markov, Chebyshev e Dyapunov, non potevano aggirare questa scienza. Basandosi sul lavoro svolto dai grandi geni, hanno fissato questa materia come una branca della matematica. Queste figure operarono già alla fine dell'ottocento, e grazie al loro contributo, fenomeni quali:

• legge dei grandi numeri;
• teoria delle catene di Markov;
• teorema del limite centrale.

Quindi, con la storia della nascita della scienza e con i principali personaggi che l'hanno influenzata, tutto è più o meno chiaro. Ora è il momento di concretizzare tutti i fatti.

Concetti basilari

Prima di toccare leggi e teoremi, vale la pena studiare i concetti base della teoria della probabilità. L'evento ha un ruolo da protagonista. Questo argomento è piuttosto voluminoso, ma senza di esso non sarà possibile capire tutto il resto.

Un evento nella teoria della probabilità è qualsiasi insieme di risultati di un esperimento. Non ci sono così tanti concetti di questo fenomeno. Quindi, lo scienziato Lotman, che lavora in questo settore, ha affermato che in questo caso stiamo parlando di ciò che "è successo, anche se potrebbe non essere accaduto".

Gli eventi casuali (la teoria della probabilità presta loro particolare attenzione) è un concetto che implica assolutamente qualsiasi fenomeno che ha la capacità di verificarsi. O, al contrario, questo scenario potrebbe non verificarsi quando vengono soddisfatte molte condizioni. Vale anche la pena sapere che sono gli eventi casuali a catturare l'intero volume dei fenomeni che si sono verificati. La teoria della probabilità indica che tutte le condizioni possono essere ripetute costantemente. Era la loro condotta che veniva chiamata "esperimento" o "prova".

Un determinato evento è quello che si verificherà al 100% in un determinato test. Di conseguenza, un evento impossibile è quello che non accadrà.

La combinazione di una coppia di azioni (condizionatamente caso A e caso B) è un fenomeno che si verifica simultaneamente. Sono designati come AB.

La somma delle coppie di eventi A e B è C, in altre parole, se si verifica almeno uno di essi (A o B), si otterrà C. La formula del fenomeno descritto è scritta come segue: C \u003d A + B.

Gli eventi disgiunti nella teoria della probabilità implicano che i due casi si escludono a vicenda. Non possono mai accadere allo stesso tempo. Gli eventi congiunti nella teoria della probabilità sono i loro antipodi. Ciò implica che se A è successo, allora non impedisce a B in alcun modo.

Gli eventi opposti (la teoria della probabilità li tratta in modo molto dettagliato) sono facili da capire. È meglio affrontarli in confronto. Sono quasi gli stessi eventi incompatibili nella teoria della probabilità. Ma la loro differenza sta nel fatto che uno dei tanti fenomeni in ogni caso deve verificarsi.

Eventi ugualmente probabili sono quelle azioni la cui possibilità di ripetizione è uguale. Per chiarire meglio, possiamo immaginare il lancio di una moneta: la perdita di una delle sue facce è ugualmente probabile che cada dall'altra.

Un evento favorevole è più facile da vedere con un esempio. Diciamo che c'è l'episodio B e l'episodio A. Il primo è il lancio del dado con l'apparizione di un numero dispari, e il secondo è l'apparizione del numero cinque sul dado. Poi si scopre che A favorisce B.

Gli eventi indipendenti nella teoria della probabilità sono proiettati solo su due o più casi e implicano l'indipendenza di qualsiasi azione da un'altra. Ad esempio, A - perdere croce quando si lancia una moneta e B - ottenere un jack dal mazzo. Sono eventi indipendenti nella teoria della probabilità. A questo punto è diventato più chiaro.

Anche gli eventi dipendenti nella teoria della probabilità sono ammissibili solo per il loro insieme. Implicano la dipendenza dell'uno dall'altro, cioè il fenomeno B può verificarsi solo se A è già avvenuto o, al contrario, non è avvenuto quando questa è la condizione principale per B.

Il risultato di un esperimento casuale costituito da una componente sono eventi elementari. La teoria della probabilità spiega che questo è un fenomeno accaduto solo una volta.

Formule di base

Quindi, sono stati considerati sopra i concetti di "evento", "teoria della probabilità", è stata data anche la definizione dei termini principali di questa scienza. Ora è il momento di familiarizzare direttamente con le formule importanti. Queste espressioni confermano matematicamente tutti i concetti principali in un argomento così difficile come la teoria della probabilità. Anche qui la probabilità di un evento gioca un ruolo enorme.

È meglio iniziare con i principali E prima di procedere con loro, vale la pena considerare di cosa si tratta.

La combinatoria è principalmente una branca della matematica, si occupa dello studio di un numero enorme di numeri interi, nonché di varie permutazioni sia dei numeri stessi che dei loro elementi, vari dati, ecc., Portando alla comparsa di un numero di combinazioni. Oltre alla teoria della probabilità, questo ramo è importante per la statistica, l'informatica e la crittografia.

Quindi, ora puoi passare alla presentazione delle formule stesse e alla loro definizione.

La prima di queste sarà un'espressione per il numero di permutazioni, assomiglia a questa:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

L'equazione si applica solo se gli elementi differiscono solo nel loro ordine.

Ora verrà considerata la formula di posizionamento, simile a questa:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n-m)!

Questa espressione è applicabile non solo all'ordine dell'elemento, ma anche alla sua composizione.

La terza equazione della combinatoria, ed è anche l'ultima, è chiamata formula per il numero di combinazioni:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

Una combinazione è chiamata selezione non ordinata, rispettivamente, e questa regola si applica ad esse.

Si è rivelato facile capire le formule della combinatoria, ora possiamo passare alla definizione classica di probabilità. Questa espressione si presenta così:

In questa formula, m è il numero di condizioni favorevoli all'evento A, e n è il numero di esiti assolutamente tutti ugualmente possibili ed elementari.

Ci sono un gran numero di espressioni, l'articolo non le coprirà tutte, ma verranno toccate le più importanti, come ad esempio la probabilità della somma degli eventi:

P(A + B) = P(A) + P(B) - questo teorema serve ad aggiungere solo eventi incompatibili;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - e questo serve per aggiungere solo quelli compatibili.

Probabilità di produzione di eventi:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - questo teorema è per eventi indipendenti;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - e questo è per i dipendenti.

La formula dell'evento chiuderà l'elenco. La teoria della probabilità ci parla del teorema di Bayes, che assomiglia a questo:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

In questa formula, H 1 , H 2 , …, H n è l'intero gruppo di ipotesi.

Esempi

Se studi attentamente qualsiasi ramo della matematica, non è completo senza esercizi e soluzioni campione. Così è la teoria della probabilità: gli eventi, gli esempi qui sono una componente integrale che conferma i calcoli scientifici.

Formula per il numero di permutazioni

Diciamo che ci sono trenta carte in un mazzo di carte, a partire dal valore nominale uno. Prossima domanda. Quanti modi ci sono per impilare il mazzo in modo che le carte con un valore nominale di uno e due non siano una accanto all'altra?

Il compito è impostato, ora passiamo a risolverlo. Per prima cosa devi determinare il numero di permutazioni di trenta elementi, per questo prendiamo la formula sopra, risulta P_30 = 30!.

In base a questa regola, scopriremo quante opzioni ci sono per piegare il mazzo in diversi modi, ma dobbiamo sottrarre da esse quelle in cui la prima e la seconda carta sono successive. Per fare ciò, iniziamo con l'opzione quando la prima è sopra la seconda. Si scopre che la prima carta può prendere ventinove posti - dalla prima al ventinovesimo, e la seconda carta dalla seconda al trentesimo, risulta solo ventinove posti per una coppia di carte. A sua volta, il resto può prendere ventotto posti, e in qualsiasi ordine. Cioè, per una permutazione di ventotto carte, ci sono ventotto opzioni P_28 = 28!

Di conseguenza, si scopre che se consideriamo la soluzione quando la prima carta è sopra la seconda, ci sono 29 ⋅ 28 possibilità extra! = 29!

Utilizzando lo stesso metodo, è necessario calcolare il numero di opzioni ridondanti per il caso quando la prima carta è inferiore alla seconda. Risulta anche 29 ⋅ 28! = 29!

Da ciò ne consegue che ci sono 2 ⋅ 29! opzioni extra, mentre ci sono 30 modi necessari per costruire il mazzo! - 2 ⋅ 29!. Resta solo da contare.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Ora devi moltiplicare tutti i numeri da uno a ventinove tra loro, e poi alla fine moltiplicare tutto per 28. La risposta è 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Esempio di soluzione. Formula per il numero di collocamento

In questo problema, devi scoprire quanti modi ci sono per mettere quindici volumi su uno scaffale, ma a condizione che ci siano trenta volumi in totale.

In questo problema, la soluzione è leggermente più semplice rispetto al precedente. Utilizzando la formula già nota, è necessario calcolare il numero totale degli arrangiamenti da trenta volumi di quindici.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

La risposta, rispettivamente, sarà pari a 202.843.204.931.727.360.000.

Ora prendiamo il compito un po' più difficile. Devi scoprire quanti modi ci sono per disporre trenta libri su due scaffali, a condizione che solo quindici volumi possano essere su uno scaffale.

Prima di iniziare la soluzione, vorrei chiarire che alcuni problemi vengono risolti in diversi modi, quindi ci sono due modi in questo, ma in entrambi viene utilizzata la stessa formula.

In questo problema, puoi prendere la risposta dal precedente, perché lì abbiamo calcolato quante volte puoi riempire uno scaffale con quindici libri in modi diversi. Si è scoperto A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Calcoliamo il secondo ripiano secondo la formula di permutazione, perché in esso vengono inseriti quindici libri, mentre ne rimangono solo quindici. Usiamo la formula P_15 = 15!.

Si scopre che in totale ci saranno A_30^15 ⋅ P_15 modi, ma, inoltre, il prodotto di tutti i numeri da trenta a sedici dovrà essere moltiplicato per il prodotto di numeri da uno a quindici, di conseguenza, il si otterrà il prodotto di tutti i numeri da uno a trenta, cioè la risposta è 30!

Ma questo problema può essere risolto in un modo diverso: più facile. Per fare questo, puoi immaginare che ci sia uno scaffale per trenta libri. Tutti sono posizionati su questo piano, ma poiché la condizione richiede che ci siano due ripiani, ne tagliamo uno lungo a metà, ne risulta due quindici ciascuno. Da ciò risulta che le opzioni di posizionamento possono essere P_30 = 30!.

Esempio di soluzione. Formula per il numero di combinazione

Consideriamo ora una variante del terzo problema dalla combinatoria. Devi scoprire quanti modi ci sono per sistemare quindici libri, a patto che tu debba sceglierne trenta assolutamente identici.

Per la soluzione, ovviamente, verrà applicata la formula per il numero di combinazioni. Dalla condizione diventa chiaro che l'ordine dei quindici libri identici non è importante. Pertanto, inizialmente devi scoprire il numero totale di combinazioni di trenta libri di quindici.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : quindici ! = 155 117 520

È tutto. Utilizzando questa formula, nel più breve tempo possibile è stato possibile risolvere un problema del genere, la risposta, rispettivamente, è 155 117 520.

Esempio di soluzione. La classica definizione di probabilità

Usando la formula sopra, puoi trovare la risposta in un semplice problema. Ma aiuterà a vedere visivamente e tracciare il corso delle azioni.

Il problema è dato che nell'urna ci sono dieci palline assolutamente identiche. Di questi, quattro sono gialli e sei blu. Una palla viene presa dall'urna. Devi scoprire la probabilità di diventare blu.

Per risolvere il problema, è necessario designare come evento A l'acquisizione del pallone azzurro. Questa esperienza può avere dieci esiti, che, a loro volta, sono elementari ed ugualmente probabili. Allo stesso tempo, sei su dieci sono favorevoli per l'evento A. Risolviamo usando la formula:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Applicando questa formula, abbiamo scoperto che la probabilità di ottenere una pallina blu è 0,6.

Esempio di soluzione. Probabilità della somma degli eventi

Ora verrà presentata una variante, che viene risolta utilizzando la formula per la probabilità della somma degli eventi. Quindi, a condizione che ci siano due scatole, la prima contiene una palla grigia e cinque bianche, e la seconda contiene otto palline grigie e quattro bianche. Di conseguenza, uno di loro è stato prelevato dalla prima e dalla seconda casella. È necessario scoprire qual è la possibilità che le palline estratte siano grigie e bianche.

Per risolvere questo problema, è necessario designare gli eventi.

• Quindi, A - prendi una pallina grigia dalla prima casella: P(A) = 1/6.
• A' - hanno preso una palla bianca anche dalla prima area: P (A") \u003d 5/6.
• B - è già stata estratta una pallina grigia dalla seconda casella: P(B) = 2/3.
• B' - hanno preso una palla grigia dalla seconda area: P(B") = 1/3.

A seconda della condizione del problema, è necessario che si verifichi uno dei fenomeni: AB 'o A'B. Usando la formula, otteniamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Ora è stata utilizzata la formula per moltiplicare la probabilità. Successivamente, per scoprire la risposta, è necessario applicare l'equazione per la loro aggiunta:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Quindi, usando la formula, puoi risolvere problemi simili.

Risultato

L'articolo fornisce informazioni sull'argomento "Teoria della probabilità", in cui la probabilità di un evento gioca un ruolo cruciale. Naturalmente, non tutto è stato preso in considerazione, ma, sulla base del testo presentato, si può teoricamente familiarizzare con questa sezione della matematica. La scienza in questione può essere utile non solo nel lavoro professionale, ma anche nella vita di tutti i giorni. Con il suo aiuto, puoi calcolare qualsiasi possibilità di qualsiasi evento.

Il testo ha anche toccato date significative nella storia della formazione della teoria della probabilità come scienza e nomi di persone le cui opere sono state investite in essa. È così che la curiosità umana ha portato al fatto che le persone hanno imparato a calcolare anche eventi casuali. Una volta erano solo interessati a questo, ma oggi lo sanno già tutti. E nessuno dirà cosa ci aspetta in futuro, quali altre brillanti scoperte legate alla teoria in esame verranno fatte. Ma una cosa è certa: la ricerca non si ferma!

Nell'economia, così come in altri ambiti dell'attività umana o della natura, abbiamo costantemente a che fare con eventi che non possono essere previsti con precisione. Pertanto, il volume delle vendite di beni dipende dalla domanda, che può variare in modo significativo, e da una serie di altri fattori di cui è quasi impossibile tenere conto. Pertanto, nell'organizzazione della produzione e della vendita, si deve prevedere l'esito di tali attività sulla base o della propria esperienza precedente, o di esperienze simili di altre persone, o dell'intuizione, anch'essa in gran parte basata su dati sperimentali.

Per valutare in qualche modo l'evento in esame, è necessario tenere conto o organizzare in modo speciale le condizioni in cui questo evento viene registrato.

Viene chiamata l'attuazione di determinate condizioni o azioni per identificare l'evento in questione Esperienza o sperimentare.

L'evento è chiamato a caso se, a seguito dell'esperimento, può verificarsi o meno.

L'evento è chiamato autentico, se appare necessariamente come risultato di questa esperienza, e impossibile se non può apparire in questa esperienza.

Ad esempio, la nevicata a Mosca il 30 novembre è un evento casuale. L'alba quotidiana può essere considerata un evento certo. Le nevicate all'equatore possono essere viste come un evento impossibile.

Uno dei problemi principali della teoria della probabilità è il problema di determinare una misura quantitativa della possibilità che si verifichi un evento.

Algebra degli eventi

Gli eventi si dicono incompatibili se non possono essere osservati insieme nella stessa esperienza. Pertanto, la presenza di due e tre auto in un negozio in vendita contemporaneamente sono due eventi incompatibili.

somma events è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di questi eventi

Un esempio di somma di eventi è la presenza di almeno uno dei due prodotti in un punto vendita.

opera eventi è chiamato un evento consistente nel verificarsi simultaneo di tutti questi eventi

Un evento consistente nell'apparizione di due merci contemporaneamente nel negozio è un prodotto di eventi: - l'aspetto di un prodotto, - l'aspetto di un altro prodotto.

Gli eventi formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi si verifica necessariamente nell'esperienza.

Esempio. Il porto dispone di due ormeggi per le navi. Si possono considerare tre eventi: - l'assenza di navi agli ormeggi, - la presenza di una nave in uno degli ormeggi, - la presenza di due navi in ​​due ormeggi. Questi tre eventi formano un gruppo completo di eventi.

Di fronte vengono chiamati due eventi possibili univoci che formano un gruppo completo.

Se uno degli eventi opposti è indicato con , l'evento opposto è solitamente indicato con .

Definizioni classiche e statistiche della probabilità di un evento

Ciascuno degli egualmente possibili risultati del test (esperimenti) è chiamato risultato elementare. Di solito sono indicati da lettere. Ad esempio, viene lanciato un dado. Ci possono essere sei risultati elementari in base al numero di punti sui lati.

Dai risultati elementari, puoi comporre un evento più complesso. Quindi, l'evento di un numero pari di punti è determinato da tre risultati: 2, 4, 6.

Una misura quantitativa della possibilità di accadimento dell'evento in esame è la probabilità.

Le due definizioni di probabilità di un evento sono le più utilizzate: classico e statistico.

La definizione classica di probabilità è correlata alla nozione di esito favorevole.

Si chiama Esodo favorevole tale evento, se il suo verificarsi comporta il verificarsi di tale evento.

Nell'esempio dato, l'evento in esame è un numero pari di punti sul bordo di caduta, ha tre esiti favorevoli. In questo caso, il generale
il numero di possibili esiti. Quindi, qui puoi usare la definizione classica di probabilità di un evento.

Definizione classicaè uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di possibili esiti

dove è la probabilità dell'evento, è il numero di esiti favorevoli per l'evento, è il numero totale di possibili esiti.

Nell'esempio considerato

La definizione statistica di probabilità è associata al concetto di frequenza relativa di occorrenza di un evento negli esperimenti.

La frequenza relativa di occorrenza di un evento è calcolata dalla formula

dove è il numero di occorrenza di un evento in una serie di esperimenti (test).

Definizione statistica. La probabilità di un evento è il numero relativo al quale si stabilizza (stabilita) la relativa frequenza con un aumento illimitato del numero di esperimenti.

Nei problemi pratici si assume come probabilità di un evento la frequenza relativa per un numero sufficientemente grande di prove.

Da queste definizioni della probabilità di un evento, si può vedere che la disuguaglianza vale sempre

Per determinare la probabilità di un evento in base alla formula (1.1), le formule combinatorie vengono spesso utilizzate per trovare il numero di esiti favorevoli e il numero totale di possibili esiti.