Uguale a zero:
.Un sistema ortogonale, se completo, può essere utilizzato come base per lo spazio. In questo caso, la scomposizione di qualsiasi elemento può essere calcolata con le formule: , dove .
Il caso in cui la norma di tutti gli elementi è chiamata sistema ortonormale.
Ortogonalizzazione
Qualsiasi sistema completo linearmente indipendente in uno spazio a dimensione finita è una base. Da una base semplice, quindi, si può passare a una base ortonormale.
Decomposizione ortogonale
Quando si scompongono i vettori di uno spazio vettoriale in base ortonormale, il calcolo del prodotto scalare è semplificato: , dove e .
Guarda anche
Fondazione Wikimedia. 2010.
Guarda cos'è il "Sistema Ortogonale" in altri dizionari:
1) Ah... Enciclopedia matematica
- (Greco orthogonios rettangolare) un sistema finito o numerabile di funzioni appartenenti ad uno spazio di Hilbert (separabile) L2(a,b) (funzioni perfettamente integrabili) e che soddisfano le condizioni Funzione g(x) chiamata. pesare O. s. f., * significa ... ... Enciclopedia fisica
Sistema di funzioni??n(x)?, n=1, 2,..., definito sul segmento TRASFORMAZIONE ORTOGONALE trasformazione lineare euclideo spazio vettoriale, che conserva le lunghezze o (che equivale a questo) i prodotti scalari dei vettori ... Grande dizionario enciclopedico
Un sistema di funzioni (φn(x)), n = 1, 2, ..., definito sul segmento [a, b] e che soddisfa la seguente condizione di ortogonalità: per k≠l, dove ρ(x) è una funzione chiamato peso. Ad esempio, sistema trigonometrico 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... dizionario enciclopedico
Un sistema di funzioni ((fn(x)), n=1, 2, ..., definito sul segmento [a, b] e che soddisfa la traccia, condizione di ortogonalità per k diversa da l, dove p(x) è una funzione non al contorno, chiamata peso Ad esempio, sistema trigonometrico 1, sin x, cosx, sin 2x, cos 2x, ... O.s.f. con peso ... ... Scienze naturali. dizionario enciclopedico
Sistema di funzioni ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonale con peso ρ (x) sul segmento [a, b], cioè tale che Esempi. Sistema trigonometrico 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., OSF con peso 1 sull'intervallo [ π, π].Bessel … Grande enciclopedia sovietica
Le ortogonali sono coordinate in cui il tensore metrico ha una forma diagonale. dove d Nei sistemi di coordinate ortogonali q = (q1, q², …, qd) le superfici delle coordinate sono ortogonali tra loro. In particolare, nel sistema cartesiano coordinate ... ... Wikipedia
sistema multicanale ortogonale- - [L.G. Sumenko. Dizionario inglese russo delle tecnologie dell'informazione. M.: GP TsNIIS, 2003.] Argomenti informatica in generale EN multiplex ortogonale ...
(fotogrammetrico) sistema di coordinate dell'immagine- Ortogonale destra sistema spaziale coordinate fissate su un'immagine fotogrammetrica da immagini di segni fiduciali. [GOST R 51833 2001] Argomenti fotogrammetria ... Manuale tecnico del traduttore
sistema- 4.48 combinazione di sistema di elementi interagenti organizzati per raggiungere uno o più obiettivi dichiarati Nota 1 da inserire: un sistema può essere visto come un prodotto o come i servizi che fornisce. Nota 2 In pratica… … Dizionario-libro di consultazione dei termini della documentazione normativa e tecnica
Definizione. vettoriun eB detti ortogonali (perpendicolari) tra loro se loro prodotto scalareè uguale a zero, cioèun × B = 0.
Per vettori diversi da zero un e B prodotto scalare zero significa che cos J= 0, cioè . Il vettore zero è ortogonale a qualsiasi vettore, perché un × 0 = 0.
L'esercizio. Siano e vettori ortogonali. Allora è naturale considerare la diagonale di un rettangolo di lati e . Prova che
quelli. il quadrato della lunghezza della diagonale di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze dei suoi due lati non paralleli(Teorema di Pitagora).
Definizione. Sistema vettorialeun 1 ,…, un m è detto ortogonale se due vettori qualsiasi di questo sistema sono ortogonali.
Quindi, per un sistema ortogonale di vettori un 1 ,…,un m l'uguaglianza è vera: un io × un J= 0 a io¹ J, io= 1,…, m; J= 1,…,m.
Teorema 1.5. Un sistema ortogonale costituito da vettori diversi da zero è linearmente indipendente. .
□ Dimostriamo per assurdo. Supponiamo che un sistema ortogonale di vettori diversi da zero un 1 , …, un m linearmente dipendente. Quindi
l 1 un 1 + …+l mun m= 0 , in cui . (1.15)
Sia, ad esempio, l 1 ¹ 0. Moltiplica per un 1 entrambi i lati dell'uguaglianza (1.15):
l 1 un 1× un 1 + …+l m un m × un 1 = 0.
Tutti i termini, tranne il primo, sono uguali a zero per l'ortogonalità del sistema un 1 , …, un m. Allora io 1 un 1× un 1 = 0, da cui segue un 1 = 0 , che contraddice la condizione. La nostra ipotesi si è rivelata sbagliata. Quindi, il sistema ortogonale di vettori diversi da zero è linearmente indipendente. ■
Vale il seguente teorema.
Teorema 1.6. Nello spazio R n esiste sempre una base costituita da vettori ortogonali(base ortogonale)
(nessuna prova).
Le basi ortogonali sono convenienti, prima di tutto, perché i coefficienti di espansione di un vettore arbitrario in tali basi sono facilmente determinabili.
Sia richiesto di trovare una scomposizione di un vettore arbitrario B su base ortogonale e 1 ,…,e n. Componiamo l'espansione di questo vettore con i coefficienti di espansione finora sconosciuti in questa base:
Moltiplicare scalarmente per il vettore entrambi i membri di questa uguaglianza e uno . In virtù degli assiomi 2° e 3° del prodotto scalare dei vettori, otteniamo
Poiché i vettori di base e 1 ,…,e n sono mutuamente ortogonali, allora tutti i prodotti scalari dei vettori di base, tranne il primo, sono uguali a zero, cioè coefficiente è determinato dalla formula
Moltiplicando a sua volta l'uguaglianza (1.16) per altri vettori base, otteniamo semplici formule per calcolare i coefficienti di espansione del vettore B :
Le formule (1.17) hanno senso perché .
Definizione. Vettoreun si dice normalizzato (o unitario) se la sua lunghezza è uguale a 1, cioè. (un , un )= 1.
Qualsiasi vettore diverso da zero può essere normalizzato. Lascia stare un ¹ 0 . Allora , e il vettore è un vettore normalizzato.
Definizione. Sistema vettoriale e 1 ,…,e n si dice ortonormale se è ortogonale e lo è la lunghezza di ogni vettore del sistema 1, cioè
Poiché lo spazio R n ha sempre una base ortogonale ei vettori di questa base possono essere normalizzati, allora R n ha sempre una base ortonormale.
Un esempio di base ortonormale per lo spazio R n è il sistema di vettori e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) con il prodotto scalare definito dall'uguaglianza (1.9). In base ortonormale e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formule (1.17) per determinare le coordinate della scomposizione del vettore B hanno la forma più semplice:
Lascia stare un e B sono due vettori arbitrari nello spazio R n con base ortonormale e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Indica le coordinate dei vettori un e B in base e 1 ,…,e n rispettivamente attraverso un 1 ,…,un n e B 1 ,…, B n e trova l'espressione per il prodotto scalare di questi vettori in termini di coordinate in questa base, cioè. Facciamo finta che
Dall'ultima uguaglianza, in virtù degli assiomi del prodotto scalare e delle relazioni (1.18), si ottiene
Finalmente abbiamo
In questo modo, in base ortonormale, il prodotto scalare di due vettori qualsiasi è uguale alla somma dei prodotti delle coordinate corrispondenti di questi vettori.
Consideriamo ora una base completamente arbitraria (in generale, non ortonormale) nello spazio euclideo n-dimensionale R n e troviamo l'espressione per il prodotto scalare di due vettori arbitrari un e B attraverso le coordinate di questi vettori nella base specificata. F 1 ,…,F n Spazio euclideo R n il prodotto scalare di due vettori qualsiasi era uguale alla somma dei prodotti delle coordinate corrispondenti di questi vettori, è necessario e sufficiente che la base F 1 ,…,F n era ortonormale.
Infatti, l'espressione (1.20) diventa (1.19) se e solo se sono soddisfatte le relazioni che stabiliscono l'ortonormalità della base F 1 ,…,F n.
Se sul piano vengono scelti due vettori tra loro perpendicolari di lunghezza unitaria (Fig. 7), è possibile espandere un vettore arbitrario nello stesso piano nelle direzioni di questi due vettori, ovvero rappresentarlo nella forma
dove sono numeri uguali alle proiezioni del vettore sulle direzioni degli assi.Poiché la proiezione sull'asse è uguale al prodotto della lunghezza per il coseno dell'angolo con l'asse, allora, ricordando la definizione del prodotto scalare , possiamo scrivere
Allo stesso modo, se in spazio tridimensionale scegli tre vettori qualsiasi tra loro perpendicolari di lunghezza unitaria, quindi un vettore arbitrario in questo spazio può essere rappresentato come
In uno spazio di Hilbert, si possono anche considerare sistemi di vettori ortogonali a coppie di questo spazio, cioè funzioni
Tali sistemi di funzioni sono chiamati sistemi di funzioni ortogonali e svolgono un ruolo importante nell'analisi. Si incontrano in vari problemi di fisica matematica, equazioni integrali, calcoli approssimati, teoria delle funzioni di una variabile reale e così via. creare concetto generale Spazio di Hilbert.
Diamo definizioni precise. Sistema funzionale
si dice ortogonale se due funzioni qualsiasi di questo sistema sono ortogonali tra loro, cioè se
Nello spazio tridimensionale, abbiamo richiesto che le lunghezze dei vettori del sistema fossero uguali a uno. Richiamando la definizione della lunghezza di un vettore, vediamo che nel caso di uno spazio di Hilbert, tale requisito è scritto come segue:
Un sistema di funzioni che soddisfa i requisiti (13) e (14) è detto ortogonale e normalizzato.
Diamo esempi di tali sistemi di funzioni.
1. Sull'intervallo, considera la sequenza di funzioni
Ogni due funzioni di questa sequenza sono ortogonali l'una all'altra. Ciò è verificato mediante il semplice calcolo degli integrali corrispondenti. Il quadrato della lunghezza di un vettore nello spazio di Hilbert è l'integrale del quadrato della funzione. Quindi, i quadrati delle lunghezze dei vettori di sequenza
l'essenza degli integrali
cioè. la nostra sequenza vettoriale è ortogonale ma non normalizzata. La lunghezza del primo vettore della sequenza è e tutto
il resto ha lunghezza. Dividendo ogni vettore per la sua lunghezza, otteniamo un sistema ortogonale e normalizzato funzioni trigonometriche
Questo sistema è storicamente uno dei primi e più importanti esempi di sistemi ortogonali. Sorse nelle opere di Eulero, D. Bernoulli, D'Alembert in connessione con il problema delle vibrazioni delle corde. Il suo studio ha svolto un ruolo essenziale nello sviluppo dell'intera analisi.
La comparsa di un sistema ortogonale di funzioni trigonometriche in connessione con il problema delle vibrazioni delle corde non è casuale. Ogni problema di piccole oscillazioni di un mezzo porta a un certo sistema di funzioni ortogonali che descrivono le cosiddette oscillazioni naturali del sistema dato (vedi § 4). Ad esempio, in connessione con il problema delle vibrazioni di una sfera, compaiono le cosiddette funzioni sferiche; in connessione con il problema delle vibrazioni di una membrana circolare o di un cilindro, compaiono le cosiddette funzioni cilindriche, ecc.
2. Possiamo fornire un esempio di un sistema ortogonale di funzioni, ciascuna delle quali è un polinomio. Un tale esempio è la sequenza dei polinomi di Legendre
cioè, esiste (fino a un fattore costante) la derivata dell'ordine di . Scriviamo i primi polinomi di questa successione:
Ovviamente, esiste un polinomio di grado in generale. Lasciamo al lettore verificare da sé che questi polinomi sono una successione ortogonale sull'intervallo
La teoria generale dei polinomi ortogonali (i cosiddetti polinomi ortogonali con peso) fu sviluppata dal notevole matematico russo P. L. Chebyshev nella seconda metà del XIX secolo.
Espansione in sistemi di funzioni ortogonali. Proprio come nello spazio tridimensionale, ogni vettore può essere rappresentato
come combinazione lineare tre vettori ortogonali a coppie di lunghezza unitaria
nello spazio delle funzioni si pone il problema di espandere una funzione arbitraria in una serie in termini di un sistema di funzioni ortogonale e normalizzato, cioè di rappresentare una funzione nella forma
In questo caso, la convergenza della serie (15) ad una funzione è intesa nel senso della distanza tra gli elementi nello spazio di Hilbert. Ciò significa che la deviazione quadratica media della radice della somma parziale della serie dalla funzione tende a zero in , cioè
Questa convergenza è solitamente chiamata "convergenza media".
Espansioni in vari sistemi di funzioni ortogonali si incontrano spesso in analisi e sono un metodo importante per risolvere problemi di fisica matematica. Quindi, ad esempio, se un sistema ortogonale è un sistema di funzioni trigonometriche sull'intervallo
allora tale espansione è la classica espansione di una funzione in una serie trigonometrica
Assumiamo che l'espansione (15) sia possibile per qualsiasi funzione dallo spazio di Hilbert e troviamo i coefficienti di tale espansione. Per fare ciò, moltiplichiamo entrambi i lati dell'uguaglianza in modo scalare per la stessa funzione del nostro sistema. Otteniamo l'uguaglianza
da cui, per il fatto che at è determinato dal valore del coefficiente
Vediamo che, come nello spazio tridimensionale ordinario (vedi l'inizio di questa sezione), i coefficienti sono uguali alle proiezioni del vettore sulle direzioni dei vettori.
Richiamando la definizione del prodotto scalare, otteniamo che i coefficienti di espansione di una funzione in termini di sistema di funzioni ortogonale e normalizzato
sono determinati dalle formule
Ad esempio, si consideri il sistema trigonometrico normalizzato ortogonale di funzioni fornito sopra:
Abbiamo ottenuto una formula per calcolare i coefficienti di espansione di una funzione in una serie trigonometrica, assumendo, ovviamente, che tale espansione sia possibile.
Abbiamo stabilito la forma dei coefficienti di espansione (18) di una funzione in termini di un sistema ortogonale di funzioni assumendo che tale espansione avvenga. Tuttavia, un sistema ortogonale infinito di funzioni potrebbe non essere sufficiente per espandere qualsiasi funzione da uno spazio di Hilbert in termini di esso. Affinché tale scomposizione sia possibile, il sistema di funzioni ortogonali deve soddisfare una condizione aggiuntiva, la cosiddetta condizione di completezza.
Un sistema di funzioni ortogonale si dice completo se è impossibile aggiungervi una singola funzione che non sia identicamente zero e ortogonale a tutte le funzioni del sistema.
È facile fare un esempio di un sistema ortogonale incompleto. Per fare ciò, prendiamo un sistema ortogonale, ad esempio, lo stesso
sistema di funzioni trigonometriche ed escludono una delle funzioni di questo sistema, ad esempio il sistema di funzioni infinito rimanente
sarà comunque ortogonale, ovviamente, non sarà completo, poiché la funzione : da noi esclusa è ortogonale a tutte le funzioni del sistema.
Se il sistema di funzioni non è completo, non tutte le funzioni dello spazio di Hilbert possono essere espanse in termini di esso. Infatti, se proviamo ad espandere una funzione zero ortogonale a tutte le funzioni del sistema in tale sistema, allora, in virtù delle formule (18), tutti i coefficienti saranno uguali a zero, mentre la funzione non sarà uguale a zero.
Vale il seguente teorema: se viene fornito un sistema completo di funzioni ortogonali e normalizzate in uno spazio di Hilbert, allora qualsiasi funzione può essere espansa in una serie in termini di funzioni di questo sistema
In questo caso i coefficienti di dilatazione sono uguali alle proiezioni dei vettori sugli elementi del sistema normalizzato ortogonale
Il teorema di Pitagora del § 2 nello spazio di Hilbert permette di trovare un'interessante relazione tra i coefficienti e la funzione, denota con la differenza tra e la somma dei primi termini della sua serie, cioè
Un tale sottoinsieme di vettori che due distinti di loro sono ortogonali, cioè il loro prodotto scalare è zero:
.
Un sistema ortogonale, se completo, può essere utilizzato come base dello spazio. In questo caso, la scomposizione di qualsiasi elemento può essere calcolato utilizzando le formule: , dove .
Il caso in cui la norma di tutti gli elementi , è chiamato sistema ortonormale.
Ortogonalizzazione
Qualsiasi sistema completo linearmente indipendente in uno spazio a dimensione finita è una base. Da una base semplice, quindi, si può passare a una base ortonormale.
Decomposizione ortogonale
Quando si scompongono i vettori di uno spazio vettoriale in base ortonormale, il calcolo del prodotto scalare è semplificato: , dove e .
Guarda anche
Scrivi una recensione sull'articolo "Sistema ortogonale"
Un estratto che caratterizza il sistema ortogonale
- Ebbene, cosa vuoi? Siete tutti innamorati in questi giorni. Bene, innamorato, quindi sposalo! disse la contessa, ridendo rabbiosamente. - Con Dio!“No, mamma, non sono innamorato di lui, non devo esserlo.
«Be', diglielo e basta.
- Mamma, sei arrabbiata? Non essere arrabbiato, mia cara, di cosa devo incolpare?
“No, che c'è, amico mio? Se vuoi, vado a dirglielo», disse la contessa sorridendo.
- No, io stesso, insegno e basta. Tutto è facile per te", ha aggiunto, rispondendo al suo sorriso. "E se hai visto come me l'ha detto!" Dopotutto, so che non voleva dirlo, ma l'ha detto per caso.
- Beh, devi ancora rifiutare.
- No, non devi. Mi dispiace tanto per lui! Lui è così carino.
Bene, accetta l'offerta. E poi è ora di sposarsi ", ha detto la madre con rabbia e beffarda.
“No, mamma, mi dispiace tanto per lui. Non so come dirò.
"Sì, non hai niente da dire, lo dirò io", disse la contessa, indignata per il fatto che hanno osato guardare questa piccola Natasha come una grande.
"No, assolutamente no, sono da solo, e tu ascolti alla porta", e Natasha corse attraverso il soggiorno nell'ingresso, dove Denisov era seduto sulla stessa sedia, al clavicordo, coprendosi il viso con il suo mani. Si alzò di scatto al suono dei suoi passi leggeri.
- Natalie, - disse, avvicinandosi a lei a passi veloci, - decidi il mio destino. Lei è nelle tue mani!
"Vasily Dmitritch, mi dispiace tanto per te!... No, ma sei così gentile... ma non... è... ma ti amerò sempre così."