Esiste un intero gruppo di attività (incluse nei tipi di attività di esame) associate al piano delle coordinate. Si tratta di compiti che iniziano da quelli più elementari, che vengono risolti oralmente (determinando l'ordinata o l'ascissa dato punto, o punti di un dato simmetrico e altri), terminando con compiti che richiedono conoscenze, comprensione e buone abilità di alta qualità (compiti relativi alla pendenza di una retta).

A poco a poco, li considereremo tutti. In questo articolo, inizieremo con le basi. Questi sono semplici compiti per determinare: l'ascissa e l'ordinata di un punto, la lunghezza di un segmento, il punto medio di un segmento, il seno o coseno dell'angolo di inclinazione di una retta.La maggior parte di questi compiti non sarà interessante. Ma credo sia necessario enunciarli.

Il fatto è che non tutti vanno a scuola. Molte persone superano l'esame 3-4 anni o più dopo la laurea e ricordano vagamente cosa sono l'ascissa e l'ordinata. Analizzeremo anche altre attività relative al piano delle coordinate, da non perdere, iscriviti all'aggiornamento del blog. Ora n un po' di teoria

Continuiamo piano delle coordinate punto A con coordinate x=6, y=3.

Dicono che l'ascissa del punto A è sei, l'ordinata del punto A è tre.

Per dirla semplicemente, l'asse x è l'asse delle ascisse, l'asse y è l'asse y.

Cioè, l'ascissa è un punto sull'asse x in cui viene proiettato un punto dato sul piano delle coordinate; L'ordinata è il punto sull'asse y in cui viene proiettato il punto specificato.

La lunghezza del segmento sul piano delle coordinate

La formula per determinare la lunghezza di un segmento, se si conoscono le coordinate delle sue estremità:

Come puoi vedere, la lunghezza del segmento è la lunghezza dell'ipotenusa in un triangolo rettangolo con gambe uguali a

X B - X A e Y B - Y A

* * *

La metà del taglio. Le sue coordinate.

Formula per trovare le coordinate del punto medio di un segmento:

Equazione di una retta passante per due punti dati

La formula per l'equazione di una retta passante per due punti dati è:

dove (x 1; y 1) e (x 2; y 2 ) coordinate di punti dati.

Sostituendo i valori delle coordinate nella formula, si riduce alla forma:

y = kx + b, dove k è la pendenza della retta

Avremo bisogno di queste informazioni per risolvere un altro gruppo di problemi relativi al piano delle coordinate. Ci sarà un articolo su questo, non perdetelo!

Cos'altro si può aggiungere?

L'angolo di inclinazione di una retta (o segmento) è l'angolo tra l'asse oX e questa retta, compreso tra 0 e 180 gradi.

Consideriamo i compiti.

Dal punto (6;8) la perpendicolare si abbassa all'asse y. Trova l'ordinata della base della perpendicolare.

La base della perpendicolare caduta sull'asse y avrà coordinate (0; 8). L'ordinata è otto.

Risposta: 8

Trova la distanza da un punto UN con le coordinate (6;8) all'asse y.

La distanza dal punto A all'asse y è uguale all'ascissa del punto A.

Risposta: 6.

UN(6;8) attorno all'asse Bue.

Un punto simmetrico al punto A rispetto all'asse oX ha coordinate (6; - 8).

L'ordinata è meno otto.

Risposta: - 8

Trova l'ordinata di un punto simmetrico rispetto a un punto UN(6;8) rispetto all'origine.

Un punto simmetrico al punto A rispetto all'origine ha coordinate (- 6; - 8).

La sua ordinata è -8.

Risposta: -8

Trova l'ascissa del punto medio del segmento di retta che collega i puntio(0;0) e UN(6;8).

Per risolvere il problema, è necessario trovare le coordinate del centro del segmento. Le coordinate delle estremità del nostro segmento sono (0;0) e (6;8).

Calcoliamo con la formula:

Ottenuto (3;4). L'ascissa è tre.

Risposta: 3

* L'ascissa del centro del segmento può essere determinata senza calcolare con la formula, costruendo questo segmento sul piano delle coordinate su un foglio in una gabbia. Il centro del segmento sarà facile da determinare dalle celle.

Trova l'ascissa del punto medio del segmento di retta che collega i punti UN(6;8) e B(–2;2).

Per risolvere il problema, è necessario trovare le coordinate del centro del segmento. Le coordinate delle estremità del nostro segmento sono (–2;2) e (6;8).

Calcoliamo con la formula:

Ottenuto (2;5). L'ascissa è due.

Risposta: 2

* L'ascissa del centro del segmento può essere determinata senza calcolare dalla formula costruendo questo segmento sul piano delle coordinate sul foglio in una cella.

Trova la lunghezza del segmento che collega i punti (0;0) e (6;8).

La lunghezza del segmento alle coordinate date delle sue estremità è calcolata dalla formula:

nel nostro caso abbiamo O(0;0) e A(6;8). Si intende,

*L'ordine delle coordinate durante la sottrazione non ha importanza. Puoi sottrarre l'ascissa e l'ordinata del punto A dall'ascissa e l'ordinata del punto O:

Risposta: 10

Trova il coseno della pendenza del segmento che collega i punti o(0;0) e UN(6;8), con l'asse x.

L'angolo di inclinazione di un segmento è l'angolo tra questo segmento e l'asse x.

Dal punto A abbassiamo la perpendicolare all'asse x:

Cioè, l'angolo di inclinazione del segmento è l'angoloSAInel triangolo rettangolo ABO.

Il coseno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è

rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa

Necessità di trovare l'ipotenusaOA.

Secondo il teorema di Pitagora:In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.

Pertanto, il coseno dell'angolo di inclinazione è 0,6

Risposta: 0.6

Dal punto (6;8) si abbassa la perpendicolare all'asse delle ascisse. Trova l'ascissa della base della perpendicolare.

Si traccia una retta passante per il punto (6; 8), asse parallelo ascissa. Trova l'ordinata del suo punto di intersezione con l'asse UO.

Trova la distanza da un punto UN con le coordinate (6;8) all'asse x.

Trova la distanza da un punto UN con le coordinate (6;8) all'origine.

La lunghezza, come già notato, è indicata dal segno del modulo.

Se vengono dati due punti del piano e, la lunghezza del segmento può essere calcolata con la formula

Se vengono dati due punti nello spazio e, la lunghezza del segmento può essere calcolata con la formula

Nota: Le formule rimarranno corrette se le coordinate corrispondenti vengono riorganizzate: e , ma la prima opzione è più standard

Esempio 3

Decisione: secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Per chiarezza, farò un disegno

Segmento - non è un vettore, e non puoi spostarlo da nessuna parte, ovviamente. Inoltre, se completi il ​​disegno in scala: 1 unità. \u003d 1 cm (due celle tetradi), quindi la risposta può essere verificata con un normale righello misurando direttamente la lunghezza del segmento.

Sì, la soluzione è breve, ma ci sono un paio di punti importanti che vorrei chiarire:

Innanzitutto, nella risposta impostiamo la dimensione: "unità". La condizione non dice COSA sia, millimetri, centimetri, metri o chilometri. Pertanto, la formulazione generale sarà una soluzione matematicamente competente: "unità" - abbreviato in "unità".

Secondo, ripetiamo materiale scolastico, utile non solo per il problema considerato:

prestare attenzione a trucco tecnico importante – togliendo il moltiplicatore da sotto la radice. Come risultato dei calcoli, abbiamo ottenuto il risultato e un buon stile matematico prevede di estrarre il moltiplicatore da sotto la radice (se possibile). Il processo è simile a questo in modo più dettagliato: . Naturalmente, lasciare la risposta nel modulo non sarà un errore, ma è sicuramente un difetto e un argomento pesante per pignoleria da parte dell'insegnante.

Ecco altri casi comuni:

Spesso sotto la radice risulta abbastanza gran numero, Per esempio . Come essere in questi casi? Sulla calcolatrice, controlliamo se il numero è divisibile per 4:. Sì, dividi completamente, quindi: . O forse il numero può essere diviso di nuovo per 4? . Così: . L'ultima cifra del numero è dispari, quindi è chiaramente impossibile dividere per 4 per la terza volta. Provando a dividere per nove: . Di conseguenza:
Pronto.

Conclusione: se sotto la radice otteniamo un numero intero che non può essere estratto, allora proviamo a togliere il fattore da sotto la radice - sulla calcolatrice controlliamo se il numero è divisibile per: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , eccetera.

Nel corso della risoluzione di vari problemi, spesso si trovano le radici, cerca sempre di estrarre fattori da sotto la radice per evitare un punteggio più basso e problemi inutili con la finalizzazione delle tue soluzioni secondo il commento dell'insegnante.

Ripetiamo contemporaneamente la quadratura delle radici e delle altre potenze:

Regole per le azioni con lauree in vista generale può essere trovato in un libro di testo scolastico di algebra, ma penso che tutto o quasi sia già chiaro dagli esempi forniti.

Compito per una soluzione indipendente con un segmento nello spazio:

Esempio 4

Dati punti e . Trova la lunghezza del segmento.

Soluzione e risposta alla fine della lezione.

Se tocchi un foglio di quaderno con una matita ben affilata, rimarrà una traccia che dà un'idea del punto. (Fig. 3).

Segnaliamo su un foglio di carta due punti A e B. Questi punti possono essere collegati da varie linee ( fig. 4). Come collegare i punti A e B linea corta? Questo può essere fatto usando un righello ( fig. 5). Viene chiamata la riga risultante segmento.

Punto e linea - Esempi forme geometriche.

Vengono chiamati i punti A e B le estremità del segmento.

C'è un singolo segmento le cui estremità sono i punti A e B. Pertanto, un segmento è indicato scrivendo i punti che sono le sue estremità. Ad esempio, il segmento nella Figura 5 è designato in due modi: AB o BA. Leggi: "segmento AB" o "segmento BA".

La figura 6 mostra tre segmenti. La lunghezza del segmento AB è pari a 1 cm È posizionato esattamente tre volte nel segmento MN ed esattamente 4 volte nel segmento EF. Lo diremo lunghezza del segmento MN è 3 cm e la lunghezza del segmento EF è 4 cm.

È anche consuetudine dire: "segmento MN è 3 cm", "segmento EF è 4 cm". Scrivono: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Abbiamo misurato le lunghezze dei segmenti MN ed EF singolo segmento, la cui lunghezza è di 1 cm Per misurare i segmenti, puoi sceglierne altri unità di lunghezza, ad esempio: 1 mm, 1 dm, 1 km. Nella figura 7, la lunghezza del segmento è di 17 mm. È misurato da un singolo segmento, la cui lunghezza è di 1 mm, utilizzando un righello con divisioni. Inoltre, usando un righello, puoi costruire (disegnare) un segmento di una determinata lunghezza (vedi fig. 7).

In genere, misurare un segmento significa contare quanti singoli segmenti contiene.

La lunghezza di un segmento ha la seguente proprietà.

Se il punto C è segnato sul segmento AB, allora la lunghezza del segmento AB è uguale alla somma delle lunghezze dei segmenti AC e CB(Fig. 8).

Scrivono: AB = AC + CB.

La figura 9 mostra due segmenti AB e CD. Questi segmenti coincideranno quando sovrapposti.

Due segmenti si dicono uguali se coincidono quando sono sovrapposti.

Quindi i segmenti AB e CD sono uguali. Scrivono: AB = CD.

Segmenti uguali hanno lunghezze uguali.

Dei due segmenti disuguali considereremo maggiore quello di lunghezza maggiore. Ad esempio, nella Figura 6, il segmento EF è più grande del segmento MN.

Viene chiamata la lunghezza del segmento AB distanza tra i punti A e B.

Se diversi segmenti sono disposti come mostrato nella Figura 10, otteniamo figura geometrica, che è chiamato linea spezzata. Si noti che tutti i segmenti nella Figura 11 non formano una linea spezzata. Si ritiene che i segmenti formino una linea spezzata se la fine del primo segmento coincide con la fine del secondo e l'altra estremità del secondo segmento coincide con la fine del terzo, ecc.

Punti A, B, C, D, E − vertici della polilinea ABCDE, punti A ed E − la linea spezzata finisce, e i segmenti AB, BC, CD, DE sono i suoi collegamenti(vedi fig. 10).

La lunghezza della linea spezzataè la somma delle lunghezze di tutti i suoi collegamenti.

La figura 12 mostra due linee spezzate, le cui estremità coincidono. Tali linee spezzate sono chiamate Chiuso.

Esempio 1 . Il segmento BC è 3 cm inferiore al segmento AB, la cui lunghezza è di 8 cm (Fig. 13). Trova la lunghezza del segmento AC.

Decisione. Abbiamo: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Usando la proprietà della lunghezza di un segmento, possiamo scrivere AC = AB + BC. Quindi AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Risposta: 13 cm.

Esempio 2 . È noto che MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Fig. 14). Trova la lunghezza del segmento NK.

Decisione. Abbiamo: MN = MP − NP.

Quindi MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Abbiamo: NK = MK − MN.

Quindi NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Risposta: 6 cm.

Istruzione

Se le coordinate dei punti estremi segmento sono dati in coordinate bidimensionali, quindi disegnando linee attraverso questi punti perpendicolari agli assi delle coordinate, otterrai triangolo rettangolo. La sua ipotenusa sarà il segmento originale e le gambe formeranno segmenti la cui lunghezza è uguale all'ipotenusa su ciascuno degli assi coordinati. Dal teorema di Pitagora, che definisce la lunghezza dell'ipotenusa come la somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe, possiamo farlo per trovare la lunghezza dell'originale segmento basta trovare le lunghezze delle sue due sporgenze assi coordinati.

Trova le lunghezze (X e Y) delle proiezioni dell'originale segmento per ogni asse del sistema di coordinate. In un sistema bidimensionale da punti estremi è rappresentato da una coppia di valori numerici (X1;Y1 e X2;Y2). Le lunghezze di proiezione sono calcolate trovando la differenza nelle coordinate di questi punti lungo ciascun asse: X = X2-X1, Y = Y2-Y1. È possibile che uno o entrambi i valori risultanti siano , ma in questo caso non si tratta di un ruolo.

Calcolare lunghezza originale segmento(A) ritrovamento Radice quadrata dai quadrati delle lunghezze di proiezione sugli assi delle coordinate calcolate nel passaggio precedente: A = √ (X² + Y²) = √ ((X2-X1)² + (Y2-Y1)²). Ad esempio, se il segmento viene disegnato tra punti con le coordinate 2;4 e 4;1, allora la sua lunghezza sarà uguale a √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Se le coordinate dei punti che delimitano il segmento sono date in un sistema di coordinate tridimensionale (X1;Y1;Z1 e X2;Y2;Z2), allora le lunghezze (A) di questo segmento sarà simile a quello ottenuto nel passaggio precedente. In questo caso, devi trovare la radice quadrata della somma dei quadrati delle proiezioni su tre assi coordinati: A = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²+(Z2-Z1)²) . Ad esempio, se il segmento viene disegnato tra punti, con coordinate 2;4;1 e 4;1;3, allora la sua lunghezza sarà uguale a √((4-2)²+(1-4)²+(3-1)²) = √17 ≈ 4.12 .

Fonti:

• formula della lunghezza del segmento

Lascia che il segmento sia dato da due punti nel piano delle coordinate, quindi puoi trovare la sua lunghezza usando il teorema di Pitagora.

Istruzione

Dopo aver presentato questo schema per trovare la lunghezza di un segmento nel caso generale, è facile calcolare un segmento senza costruire un segmento. Calcoliamo la lunghezza del segmento, le coordinate delle estremità (1;3) e (2;5). Allora |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5, quindi la lunghezza del segmento desiderato è 5^1/2.

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Fonti:

• Taglia la lunghezza
• qual è la lunghezza del segmento

A volte nelle attività quotidiane può essere necessario trovare mezzo segmento di retta. Ad esempio, se devi realizzare un motivo, uno schizzo di un prodotto o semplicemente tagliare un blocco di legno in due parti uguali. La geometria e un po' di ingegno mondano vengono in soccorso.

Avrai bisogno

• Bussole, righello; spilla, matita, filo

Istruzione

Utilizzare i soliti strumenti progettati per la lunghezza. Questo è il modo più semplice per trovarlo mezzo segmento. Misurare con un righello o la lunghezza del segmento, dividere il risultato a metà e misurare il risultato ottenuto da una delle estremità del segmento. Otterrai un punto corrispondente al centro del segmento.

Impostare la distanza tra le gambe della bussola in modo che sia uguale alla lunghezza del segmento o maggiore della metà del segmento. Quindi metti l'ago della bussola a un'estremità del segmento e disegnalo in modo che attraversi il segmento. Sposta l'ago all'altra estremità del segmento e, senza modificare l'estensione delle gambe della bussola, disegna il secondo semicerchio esattamente allo stesso modo.

Se non c'era una bussola a portata di mano o la lunghezza del segmento supera significativamente l'estensione consentita delle sue gambe, puoi utilizzare un semplice dispositivo improvvisato. Puoi farlo da un normale spillo, filo e matita. Lega le estremità del filo a uno spillo e una matita, mentre la lunghezza del filo dovrebbe essere leggermente più lunga della lunghezza del segmento. Con un sostituto della bussola così improvvisato, resta da seguire i passaggi sopra descritti.

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Consigli utili

Puoi trovare con precisione il centro di una tavola o di una barra usando un filo o una corda normale. Per fare ciò, taglia il filo in modo che corrisponda alla lunghezza della tavola o della barra. Resta da piegare il filo esattamente a metà e tagliarlo in due parti uguali. Attacca un'estremità della misurazione ricevuta all'estremità dell'oggetto da misurare e l'altra estremità corrisponderà al suo centro.

Ci sono tre principali sistemi di coordinate utilizzati in geometria, meccanica teorica, altre branche della fisica: cartesiana, polare e sferica. In questi sistemi di coordinate, ogni punto ha tre coordinate. Conoscendo le coordinate di due punti, puoi determinare la distanza tra questi due punti.

Avrai bisogno

• Coordinate cartesiane, polari e sferiche degli estremi di un segmento

Istruzione

Considera le coordinate cartesiane rettangolari per cominciare. La posizione di un punto nello spazio a questa coordinata è determinata da coordinate x,yez. Un raggio viene disegnato dall'origine delle coordinate a un punto. Le proiezioni di questo raggio vettore sugli assi delle coordinate saranno coordinate questo punto.
Supponiamo ora di avere due punti con coordinate rispettivamente x1,y1,z1 e x2,y2 e z2. Indichiamo con r1 e r2, rispettivamente, i vettori raggio del primo e del punto. Ovviamente la distanza tra questi punti sarà il modulo del vettore r = r1-r2, dove (r1-r2) è la differenza del vettore.
Le coordinate del vettore r saranno ovviamente le seguenti: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Quindi il vettore r o la distanza tra due punti sarà: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

Consideriamo ora un sistema di coordinate polari in cui la coordinata di un punto sarà data dalla coordinata radiale r (vettore raggio XY), la coordinata angolare? (l'angolo tra il vettore r e l'asse X) e la coordinata z, che è simile alla coordinata z nel sistema cartesiano.Le coordinate polari di un punto possono essere in cartesiane come segue: x = r*cos?, y = r*peccato?, z = z. Quindi la distanza tra due punti con coordinate r1, ?1 ,z1 e r2, ?2, z2 saranno uguali a R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

Ora considera sistema sferico coordinate. In esso, la posizione del punto è data da tre coordinate r, ? e?. r - distanza dall'origine, ? e? sono rispettivamente gli angoli di azimut e zenit. Iniezione? simile all'angolo con la stessa designazione nel sistema di coordinate polari, eh? - l'angolo tra il vettore raggio r e l'asse Z e 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с coordinate r1, ?1, ?1 e r2, ?2 e ?2 saranno uguali a R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *peccato?1*peccato?1-r2*peccato?2*peccato?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*peccato ?1 )^2)+((r2*peccato?2)^2)-2r1*r2*peccato?1*peccato?2*(cos?1*cos?2+peccato?1*peccato?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

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Un segmento di linea è definito da due punti estremi ed è costituito da un insieme di punti giacenti su una retta passante per i punti estremi. Se il segmento è posizionato in qualsiasi sistema di coordinate, trovando i punti medi delle sue proiezioni su ciascuno degli assi, puoi scoprire coordinate mezzo segmento. In effetti, l'operazione si riduce a trovare la media aritmetica di coppie di numeri per ciascuno degli assi delle coordinate.

Istruzione

Dividi a metà la somma delle coordinate di inizio e fine dei punti estremi segmento lungo ciascun asse fino al punto medio lungo tale asse. Ad esempio, lascia che il segmento venga posizionato nel sistema di coordinate XYZ tridimensionale e coordinate i suoi punti estremi A(Xa,Ya,Za) e C(Xc,Yc,Zc). Quindi coordinate il suo punto medio E(Xe,Ye,Ze) può essere dato dalle formule Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.

Usa una qualsiasi delle calcolatrici se calcoli i valori medi delle coordinate dei punti estremi segmento nella mente non è possibile. Se non è presente alcun gadget a portata di mano, utilizzare il software dal sistema operativo Windows. Può essere avviato facendo clic sul pulsante "Start" per aprire il menu di sistema. Nel menu, vai nella sezione "Standard", quindi nella sottosezione "Utilità", quindi nella sezione "Tutto", seleziona la voce "Calcolatrice". Puoi ignorare il menu principale premendo WIN + R, digitando calc e quindi premendo Invio.

Somma a coppie l'iniziale e il finale coordinate punti estremi segmento lungo ciascun asse e dividere il risultato per due. L'interfaccia della calcolatrice software imita una calcolatrice convenzionale e puoi inserire valori numerici e simboli di operazioni matematiche facendo clic sui pulsanti con il cursore del mouse sullo schermo o premendo i tasti sulla tastiera. Non ci sono difficoltà con questi calcoli.

Annota le operazioni matematiche in forma di testo e inseriscile nel campo della query di ricerca nella pagina principale del sito di Google, se non puoi utilizzare una calcolatrice, ma hai accesso a Internet. Questo motore di ricerca ha un calcolatore multifunzionale integrato, che è molto più facile da usare di qualsiasi altro. Non c'è interfaccia con pulsanti - tutti i dati devono essere inseriti in forma di testo in un unico campo. Ad esempio, se noto coordinate punti estremi segmento nel sistema di coordinate tridimensionale A(51.34 17.2 13.02) e A(-11.82 7.46 33.5), quindi coordinate punto medio segmento C((51.34-11.82)/2 (17.2+7.46)/2 (13.02+33.5)/2). Immettendo (51.34-11.82) / 2 nel campo della query di ricerca, quindi (17.2 + 7.46) / 2 e (13.02 + 33.5) / 2, puoi utilizzare Google per ottenere coordinate C (19.76 12.33 23.26).