Sia dato un sistema di coordinate rettangolare.

Teorema 1.1. Per due punti qualsiasi M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2) del piano, la distanza d tra loro è espressa dalla formula

Prova. Scendiamo dai punti M 1 e M 2 rispettivamente le perpendicolari M 1 B e M 2 A

sugli assi Oy e Ox e indichiamo con K il punto di intersezione delle linee M 1 B e M 2 A (Fig. 1.4). Sono possibili i seguenti casi:

1) I punti M 1, M 2 e K sono diversi. Ovviamente, il punto K ha coordinate (x 2; y 1). È facile vedere che M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Perché ∆M 1 KM 2 è rettangolare, quindi per il teorema di Pitagora d = M 1 M 2 = = .

2) Il punto K coincide con il punto M 2, ma è diverso dal punto M 1 (Fig. 1.5). In questo caso y 2 = y 1

e d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Il punto K coincide con il punto M 1, ma è diverso dal punto M 2. In questo caso x 2 = x 1 e d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) Il punto M 2 coincide con il punto M 1. Quindi x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 e

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

La divisione del segmento in questo senso.

Sia dato un segmento arbitrario M 1 M 2 sul piano e sia M un punto qualsiasi di questo

segmento diverso dal punto M 2 (Fig. 1.6). Il numero l definito dall'uguaglianza l = , è chiamato atteggiamento, in cui il punto M divide il segmento M 1 M 2.

Teorema 1.2. Se il punto M (x; y) divide il segmento M 1 M 2 in relazione a l, le sue coordinate sono determinate dalle formule

x = , y = , (4)

dove (x 1; y 1) sono le coordinate del punto M 1, (x 2; y 2) sono le coordinate del punto M 2.

Prova. Dimostriamo la prima delle formule (4). La seconda formula è dimostrata in modo simile. Sono possibili due casi.

x = x 1 = = = .

2) La retta M 1 M 2 non è perpendicolare all'asse Ox (Fig. 1.6). Rilasciamo le perpendicolari dai punti M 1 , M, M 2 all'asse Ox e indichiamo i punti della loro intersezione con l'asse Ox rispettivamente P 1 , P, P 2 . Secondo il teorema dei segmenti proporzionali = l.

Perché P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô e i numeri (x - x 1) e (x 2 - x) hanno lo stesso segno (per x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sono negativi), quindi

l == ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Corollario 1.2.1. Se M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2) sono due punti arbitrari e il punto M (x; y) è il punto medio del segmento M 1 M 2, allora

x = , y = (5)

Prova. Poiché M 1 M = M 2 M, allora l = 1 e dalle formule (4) otteniamo le formule (5).

Area di un triangolo.

Teorema 1.3. Per tutti i punti A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) e C (x 3; y 3) che non giacciono sullo stesso

retta, l'area S del triangolo ABC è espressa dalla formula

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Prova. L'area ∆ ABC mostrata in fig. 1.7, calcoliamo come segue

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Calcola l'area del trapezio:

S-ADEC=
,

SBCEF=

S ABFD =

Ora abbiamo

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Per un'altra posizione ∆ ABC, la formula (6) è dimostrata in modo simile, ma può essere ottenuta con il segno “-”. Pertanto, nella formula (6) metti il ​​segno del modulo.

Lezione 2

Equazione di una retta in un piano: equazione di una retta con un coefficiente direttivo, equazione generale retta, equazione di una retta in segmenti, equazione di una retta passante per due punti. Angolo tra rette, condizioni di parallelismo e perpendicolarità delle rette su un piano.

2.1. Sia dato un sistema di coordinate rettangolare e una retta L sul piano.

Definizione 2.1. Viene chiamata un'equazione della forma F(x;y) = 0 relativa alle variabili xey equazione di linea L(in un dato sistema di coordinate) se questa equazione è soddisfatta dalle coordinate di qualsiasi punto che giace sulla linea L, e non dalle coordinate di qualsiasi punto che non giace su questa linea.

Esempi di equazioni di rette su un piano.

1) Considera una retta, parallelo all'asse Oy di un sistema di coordinate rettangolare (Fig. 2.1). Indichiamo con la lettera A il punto di intersezione di questa retta con l'asse Ox, (a; o) ─ il suo or-

dinat. L'equazione x = a è l'equazione della retta data. In effetti, questa equazione è soddisfatta dalle coordinate di qualsiasi punto M(a; y) di questa retta e non dalle coordinate di un punto che non giace sulla retta. Se a = 0, allora la retta coincide con l'asse Oy, che ha l'equazione x = 0.

2) L'equazione x - y \u003d 0 definisce l'insieme di punti nel piano che costituiscono le bisettrici degli angoli delle coordinate I e III.

3) L'equazione x 2 - y 2 \u003d 0 è l'equazione di due bisettrici degli angoli delle coordinate.

4) L'equazione x 2 + y 2 = 0 definisce un singolo punto O(0;0) sul piano.

5) L'equazione x 2 + y 2 \u003d 25 è l'equazione di un cerchio di raggio 5 centrata nell'origine.

La risoluzione dei problemi in matematica per gli studenti è spesso accompagnata da molte difficoltà. Aiutare lo studente a far fronte a queste difficoltà, nonché insegnargli come applicare le sue conoscenze teoriche nella risoluzione di problemi specifici in tutte le sezioni del corso della materia "Matematica" è lo scopo principale del nostro sito.

Iniziando a risolvere problemi sull'argomento, gli studenti dovrebbero essere in grado di costruire un punto su un piano in base alle sue coordinate, nonché trovare le coordinate di un dato punto.

Il calcolo della distanza tra due punti presi sul piano A (x A; y A) e B (x B; y B) si effettua con la formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), dove d è la lunghezza del segmento che collega questi punti sul piano.

Se una delle estremità del segmento coincide con l'origine e l'altra ha coordinate M (x M; y M), la formula per calcolare d assumerà la forma OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Calcolo della distanza tra due punti date le coordinate di questi punti

Esempio 1.

Trova la lunghezza del segmento che si connette piano delle coordinate punti A(2; -5) e B(-4; 3) (Fig. 1).

Soluzione.

La condizione del problema è data: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 e y B = 3. Trova d.

Applicando la formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), otteniamo:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Calcolo delle coordinate di un punto equidistante da tre punti dati

Esempio 2

Trova le coordinate del punto O 1, che è equidistante dai tre punti A(7; -1) e B(-2; 2) e C(-1; -5).

Soluzione.

Dalla formulazione della condizione del problema ne consegue che O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Lascia che il punto desiderato O 1 abbia coordinate (a; b). Secondo la formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) troviamo:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Componiamo un sistema di due equazioni:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Dopo aver quadrato i lati sinistro e destro delle equazioni, scriviamo:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Semplificando, scriviamo

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Risolto il sistema, otteniamo: a = 2; b = -1.

Il punto O 1 (2; -1) è equidistante dai tre punti dati nella condizione che non giacciono su una retta. Questo punto è il centro di una circonferenza passante per tre punti dati (Fig. 2).

3. Calcolo dell'ascissa (ordinata) di un punto che giace sull'asse delle ascisse (ordinata) ed è ad una data distanza da questo punto

Esempio 3

La distanza dal punto B(-5; 6) al punto A giacente sull'asse x è 10. Trova il punto A.

Soluzione.

Dalla formulazione della condizione del problema consegue che l'ordinata del punto A è zero e AB = 10.

Indicando l'ascissa del punto A con a, scriviamo A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Otteniamo l'equazione √((a + 5) 2 + 36) = 10. Semplificandola, abbiamo

a 2 + 10a - 39 = 0.

Le radici di questa equazione a 1 = -13; e 2 = 3.

Otteniamo due punti A 1 (-13; 0) e A 2 (3; 0).

Visita medica:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Entrambi i punti ottenuti soddisfano la condizione del problema (Fig. 3).

4. Calcolo dell'ascissa (ordinata) di un punto che giace sull'asse delle ascisse (ordinata) ed è alla stessa distanza da due punti dati

Esempio 4

Trova un punto sull'asse Oy che sia alla stessa distanza dai punti A (6; 12) e B (-8; 10).

Soluzione.

Siano le coordinate del punto richiesto dalla condizione del problema, giacente sull'asse Oy, O 1 (0; b) (nel punto giacente sull'asse Oy, l'ascissa è uguale a zero). Ne consegue dalla condizione che O 1 A \u003d O 1 B.

Secondo la formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) troviamo:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Abbiamo l'equazione √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) o 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Dopo la semplificazione, otteniamo: b - 4 = 0, b = 4.

Richiesto dalla condizione del punto problematico O 1 (0; 4) (Fig. 4).

5. Calcolo delle coordinate di un punto che si trova alla stessa distanza dagli assi delle coordinate e da un dato punto

Esempio 5

Trova il punto M situato sul piano delle coordinate alla stessa distanza dagli assi delle coordinate e dal punto A (-2; 1).

Soluzione.

Il punto richiesto M, come il punto A (-2; 1), si trova nel secondo angolo di coordinate, poiché è equidistante dai punti A, P 1 e P 2 (Fig. 5). Le distanze del punto M dagli assi delle coordinate sono le stesse, quindi le sue coordinate saranno (-a; a), dove a > 0.

Dalle condizioni del problema deriva che MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

quelli. |-a| = a.

Secondo la formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) troviamo:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Facciamo un'equazione:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Dopo la quadratura e la semplificazione, abbiamo: a 2 - 6a + 5 = 0. Risolviamo l'equazione, troviamo a 1 = 1; e 2 = 5.

Otteniamo due punti M 1 (-1; 1) e M 2 (-5; 5), soddisfacendo la condizione del problema.

6. Calcolo delle coordinate di un punto che si trova alla stessa distanza specificata dall'asse delle ascisse (ordinate) e da questo punto

Esempio 6

Trova un punto M tale che la sua distanza dall'asse y e dal punto A (8; 6) sia uguale a 5.

Soluzione.

Dalla condizione del problema segue che MA = 5 e l'ascissa del punto M è uguale a 5. Sia l'ordinata del punto M uguale a b, allora M(5; b) (Fig. 6).

Secondo la formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) abbiamo:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Facciamo un'equazione:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Semplificando, otteniamo: b 2 - 12b + 20 = 0. Le radici di questa equazione sono b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Pertanto, ci sono due punti che soddisfano la condizione del problema: M 1 (5; 2) e M 2 (5; 10).

È noto che molti studenti, quando risolvono i problemi da soli, necessitano di consultazioni costanti su tecniche e metodi per risolverli. Spesso uno studente non riesce a trovare un modo per risolvere un problema senza l'aiuto di un insegnante. Lo studente può ottenere i consigli necessari sulla risoluzione dei problemi sul nostro sito web.

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Ogni punto A del piano è caratterizzato dalle sue coordinate (x, y). Coincidono con le coordinate del vettore 0А , che esce dal punto 0 - l'origine.

Siano A e B punti arbitrari del piano con coordinate (x 1 y 1) e (x 2, y 2), rispettivamente.

Allora il vettore AB ha ovviamente le coordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). È noto che il quadrato della lunghezza di un vettore è uguale alla somma dei quadrati delle sue coordinate. Pertanto, dalla condizione si determina la distanza d tra i punti A e B, ovvero la lunghezza del vettore AB

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

La formula risultante consente di trovare la distanza tra due punti qualsiasi del piano, se si conoscono solo le coordinate di questi punti

Ogni volta, parlando delle coordinate di uno o di un altro punto del piano, abbiamo in mente un sistema di coordinate x0y ben definito. In generale, il sistema di coordinate sul piano può essere scelto in diversi modi. Quindi, invece del sistema di coordinate x0y, possiamo considerare il sistema di coordinate x-y', che si ottiene ruotando i vecchi assi di coordinate attorno a punto di partenza 0 Antiorario frecce sull'angolo α .

Se un punto del piano nel sistema di coordinate x0y aveva coordinate (x, y), allora dentro nuovo sistema coordinate хִу' avrà già altre coordinate (x', y').

Si consideri ad esempio un punto M posto sull'asse 0x' e distanziato dal punto 0 ad una distanza pari a 1.

Ovviamente, nel sistema di coordinate x0y, questo punto ha coordinate (cos α , peccato α ), e nel sistema di coordinate хִу' le coordinate sono (1,0).

Le coordinate di due punti qualsiasi del piano A e B dipendono da come il sistema di coordinate è impostato su questo piano. E qui la distanza tra questi punti non dipende da come viene specificato il sistema di coordinate .

Altri materiali Le coordinate determinano la posizione di un oggetto il globo. Le coordinate sono indicate da latitudine e longitudine. Le latitudini sono misurate dalla linea dell'equatore su entrambi i lati. Nell'emisfero nord le latitudini sono positive, nell'emisfero sud sono negative. La longitudine viene misurata dal meridiano iniziale verso est o verso ovest, rispettivamente, si ottiene la longitudine orientale o occidentale.

Secondo la posizione generalmente accettata, il meridiano è preso come quello iniziale, che passa attraverso il vecchio Osservatorio di Greenwich a Greenwich. Le coordinate geografiche della località possono essere ottenute utilizzando un navigatore GPS. Questo dispositivo riceve segnali da un sistema di posizionamento satellitare nel sistema di coordinate WGS-84, lo stesso per tutto il mondo.

I modelli di navigatore differiscono per produttori, funzionalità e interfaccia. Attualmente, in alcuni modelli di telefoni cellulari sono disponibili navigatori GPS integrati. Ma qualsiasi modello può registrare e salvare coordinate di punti.

Distanza tra le coordinate GPS

Per risolvere problemi pratici e teorici in alcuni settori, è necessario essere in grado di determinare le distanze tra i punti in base alle loro coordinate. Per fare ciò, puoi utilizzare diversi metodi. Rappresentazione canonica delle coordinate geografiche: gradi, minuti, secondi.

Ad esempio, è possibile determinare la distanza tra le seguenti coordinate: punto n. 1 - latitudine 55°45′07″ N, longitudine 37°36′56″ E; punto n. 2 - latitudine 58°00′02″ N, longitudine 102°39′42″ E

Il modo più semplice è utilizzare una calcolatrice per calcolare la distanza tra due punti. Nel motore di ricerca del browser è necessario impostare i seguenti parametri di ricerca: online - per calcolare la distanza tra due coordinate. Nel calcolatore online, i valori di latitudine e longitudine vengono inseriti nei campi di query per la prima e la seconda coordinata. Durante il calcolo, il calcolatore online ha fornito il risultato: 3.800.619 m.

Il metodo successivo richiede più tempo, ma anche più visivo. È necessario utilizzare qualsiasi programma di mappatura o navigazione disponibile. I programmi in cui è possibile creare punti in base alle coordinate e misurare le distanze tra di loro includono le seguenti applicazioni: BaseCamp (un moderno analogo del programma MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Tutti i programmi di cui sopra sono disponibili per qualsiasi utente della rete. Ad esempio, per calcolare la distanza tra due coordinate in Google Earth, devi creare due etichette che indichino le coordinate del primo punto e del secondo punto. Quindi, utilizzando lo strumento "Righello", è necessario collegare il primo e il secondo segno con una linea, il programma fornirà automaticamente il risultato della misurazione e mostrerà il percorso sull'immagine satellitare della Terra.

Nel caso dell'esempio sopra, il programma Google Earth ha restituito il risultato: la lunghezza della distanza tra il punto n. 1 e il punto n. 2 è 3.817.353 m.

Perché c'è un errore nel determinare la distanza

Tutti i calcoli della distanza tra le coordinate si basano sui calcoli della lunghezza dell'arco. Il raggio della Terra è coinvolto nel calcolo della lunghezza dell'arco. Ma poiché la forma della Terra è vicina a un ellissoide oblato, il raggio della Terra in certi punti è diverso. Per calcolare la distanza tra le coordinate, viene preso il valore medio del raggio terrestre, che dà un errore nella misurazione. Maggiore è la distanza misurata, maggiore è l'errore.

Conferenza: Formula della distanza tra due punti; equazione della sfera

Distanza tra due punti

Per trovare la distanza tra due punti su una retta nella domanda precedente, abbiamo usato la formula d = x 2 - x 1.

Ma, per quanto riguarda l'aereo, le cose sono diverse. Non basta solo trovare la differenza di coordinate. Per trovare la distanza tra i punti in base alle loro coordinate, utilizzare la seguente formula:

Ad esempio, se hai due punti con alcune coordinate, puoi trovare la distanza tra loro come segue:

A (4; -1), B (-4; 6):

AB \u003d ((4 + 4) 2 + (-1 - 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

Cioè, per calcolare la distanza tra due punti su un piano, è necessario trovare la radice della somma dei quadrati delle differenze di coordinate.

Se hai bisogno di trovare la distanza tra due punti su un piano, dovresti usare una formula simile con una coordinata aggiuntiva:

Equazione della sfera

Per posizionare una sfera nello spazio, devi conoscere le coordinate del suo centro, così come il suo raggio, in modo da utilizzare la seguente formula:

Questa equazione corrisponde a una sfera il cui centro è all'origine.

Se il centro della sfera viene spostato di un certo numero di unità lungo gli assi, è necessario utilizzare la seguente formula.