Ci sono molte diverse espressioni matematiche in matematica e alcune di esse hanno i loro nomi fissi. Dobbiamo conoscere uno di questi concetti: questo è un monomio.

Un monomio è un'espressione matematica che consiste in un prodotto di numeri, variabili, ognuna delle quali può essere inclusa in una certa misura nel prodotto. Per comprendere meglio il nuovo concetto, è necessario familiarizzare con diversi esempi.

Esempi di monomi

Espressioni 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 sono singleton. Come puoi vedere, anche un numero o una variabile da sola (con o senza una potenza) è un monomio. Ma, ad esempio, le espressioni 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 sono già non sono monomiali perché non corrispondono alla definizione. La prima espressione usa “somma”, che non è consentita, la seconda usa “divisione” e la terza usa la differenza.

Tenere conto qualche altro esempio.

Ad esempio, anche l'espressione 2*a^3*b/3 è un monomio, sebbene vi sia presente una divisione. Ma in questo caso la divisione avviene per un numero, e quindi l'espressione corrispondente può essere riscritta come segue: 2/3*a^3*b. Un altro esempio: Quale delle espressioni 2/x e x/2 è un monomio e quale no? rispondi correttamente che la prima espressione non è un monomio, ma la seconda.

Forma standard di un monomio

Osserva le seguenti due espressioni monomiali: ¾*a^2*b^3 e 3*a*1/4*b^3*a. In realtà, questi sono due monomi identici. Non è vero che la prima espressione sembra più conveniente della seconda?

La ragione di ciò è che la prima espressione è scritta in forma standard. La forma standard di un polinomio è un prodotto costituito da un fattore numerico e potenze di varie variabili. Il fattore numerico è chiamato coefficiente monomio.

Per riportare il monomio alla sua forma standard, è sufficiente moltiplicare tutti i fattori numerici presenti nel monomio e mettere al primo posto il numero risultante. Quindi moltiplica tutte le potenze che hanno la stessa base di lettere.

Ridurre un monomio alla sua forma standard

Se nel nostro esempio nella seconda espressione moltiplichiamo tutti i fattori numerici 3 * 1/4 e poi moltiplichiamo a * a, otteniamo il primo monomio. Questa azione è chiamata portare il monomio alla sua forma standard.

Se due monomi differiscono solo per un coefficiente numerico o sono uguali tra loro, tali monomi sono chiamati simili in matematica.

I monomi sono uno dei principali tipi di espressioni studiate nell'ambito di un corso di algebra scolastica. In questo materiale, ti diremo quali sono queste espressioni, definiremo la loro forma standard e mostreremo esempi, oltre a trattare concetti correlati, come il grado di un monomio e il suo coefficiente.

Cos'è un monomio

I libri di testo scolastici di solito danno la seguente definizione di questo concetto:

Definizione 1

I monomeri includono numeri, variabili, nonché i loro gradi con indicatore naturale e tipi diversi opere realizzate da loro.

Sulla base di questa definizione, possiamo fornire esempi di tali espressioni. Quindi, tutti i numeri 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 si riferiranno a monomi. Tutte le variabili, ad esempio x , a , b , p , q , t , y , z saranno anche monomi per definizione. Ciò include anche le potenze di variabili e numeri, ad esempio 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 e t 15, nonché espressioni come 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z ecc. Si noti che un monomio può includere un numero o una variabile o più e possono essere menzionati più volte come parte di un polinomio.

Tali tipi di numeri come interi, razionali, naturali appartengono anche ai monomi. Può anche includere reale e numeri complessi. Quindi, anche espressioni come 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 saranno monomi.

Qual è la forma standard di un monomio e come convertirvi un'espressione

Per comodità, tutti i monomi portano prima a tipo speciale chiamato standard. Cerchiamo di essere precisi su cosa significa.

Definizione 2

La forma standard del monomio chiamalo una tale forma in cui è il prodotto di un fattore numerico e gradi naturali variabili diverse. Il fattore numerico, chiamato anche coefficiente monomio, viene solitamente scritto per primo dal lato sinistro.

Per chiarezza, selezioniamo diversi monomi della forma standard: 6 (questo è un monomio senza variabili), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Ciò include anche l'espressione x y(qui il coefficiente sarà uguale a 1), − x 3(qui il coefficiente è - 1).

Ora diamo esempi di monomi che devono essere portati alla forma standard: 4 a a 2 a 3(qui devi combinare le stesse variabili), 5 x (− 1) 3 e 2(qui devi combinare i fattori numerici a sinistra).

Di solito, nel caso in cui un monomio abbia più variabili scritte in lettere, i fattori lettera sono scritti in ordine alfabetico. Ad esempio, la voce preferita 6 a b 4 c z 2, come b 4 6 a z 2 c. Tuttavia, l'ordine può essere diverso se lo scopo del calcolo lo richiede.

Qualsiasi monomio può essere ridotto alla forma standard. Per fare ciò, è necessario eseguire tutte le trasformazioni identiche necessarie.

Il concetto di grado di un monomio

La nozione di accompagnamento del grado di un monomio è molto importante. Scriviamo la definizione di questo concetto.

Definizione 3

Grado di monomio, scritto in forma standard, è la somma degli esponenti di tutte le variabili incluse nel suo record. Se non contiene una singola variabile e il monomio stesso è diverso da 0, il suo grado sarà zero.

Diamo esempi dei gradi del monomio.

Esempio 1

Quindi, il monomio a ha grado 1 perché a = a 1 . Se abbiamo un monomio 7 , allora avrà un grado zero, poiché non ha variabili ed è diverso da 0 . Ed ecco la voce 7 a 2 x y 3 a 2 sarà un monomio di 8° grado, perché la somma degli esponenti di tutti i gradi delle variabili in esso comprese sarà uguale a 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Il monomio standardizzato e il polinomio originale avranno lo stesso grado.

Esempio 2

Mostriamo come calcolare il grado di un monomio 3 x 2 e 3 x (− 2) x 5 a. In forma standard, può essere scritto come − 6 x 8 e 4. Calcoliamo il grado: 8 + 4 = 12 . Quindi anche il grado del polinomio originario è uguale a 12 .

Il concetto di coefficiente monomio

Se abbiamo un monomio standardizzato che include almeno una variabile, allora ne parliamo come di un prodotto con un fattore numerico. Questo fattore è chiamato coefficiente numerico o coefficiente monomio. Scriviamo la definizione.

Definizione 4

Il coefficiente di un monomio è il fattore numerico di un monomio ridotto alla forma standard.

Prendi, ad esempio, i coefficienti di vari monomi.

Esempio 3

Quindi, nell'espressione 8 un 3 il coefficiente sarà il numero 8, e in (− 2 , 3) ​​x y z lo faranno − 2 , 3 .

Particolare attenzione dovrebbe essere prestata ai coefficienti pari a uno e meno uno. Di norma, non sono esplicitamente indicati. Si ritiene che in un monomio della forma standard, in cui non esiste un fattore numerico, il coefficiente sia 1, ad esempio, nelle espressioni a, x z 3, a t x, poiché possono essere considerati come 1 a, x z 3 - come 1xz 3 eccetera.

Allo stesso modo, nei monomi che non hanno un fattore numerico e che iniziano con un segno meno, possiamo considerare il coefficiente - 1.

Esempio 4

Ad esempio, le espressioni − x, − x 3 y z 3 avranno un tale coefficiente, poiché possono essere rappresentate come − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 ecc.

Se un monomio non ha affatto un singolo moltiplicatore letterale, anche in questo caso è possibile parlare di coefficiente. I coefficienti di tali numeri-monomi saranno questi stessi numeri. Quindi, ad esempio, il coefficiente del monomio 9 sarà uguale a 9.

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Il concetto di monomio

Definizione di monomio: un monomio è un'espressione algebrica che utilizza solo la moltiplicazione.

Forma standard di un monomio

Qual è la forma standard di un monomio? Il monomio è scritto in forma standard, se ha in primo luogo un fattore numerico e questo fattore, si chiama coefficiente del monomio, ce n'è solo uno nel monomio, le lettere del monomio sono disposte in ordine alfabetico e ogni lettera compare una sola volta.

Un esempio di monomio in forma standard:

qui in primo luogo c'è il numero, il coefficiente del monomio, e questo numero è solo uno nel nostro monomio, ogni lettera ricorre una sola volta e le lettere sono disposte in ordine alfabetico, in questo caso è l'alfabeto latino.

Un altro esempio di monomio in forma standard:

ogni lettera ricorre una sola volta, sono disposte in ordine alfabetico latino, ma dov'è il coefficiente del monomio, cioè fattore numerico che dovrebbe venire prima? Qui è uguale a uno: 1adm.

Il coefficiente monomio può essere negativo? Sì, forse, esempio: -5a.

Un coefficiente monomio può essere frazionario? Sì, forse, esempio: 5.2a.

Se il monomio è composto solo da un numero, cioè non ha lettere, come portarlo al modulo standard? Qualsiasi monomio che è un numero è già in forma standard, ad esempio: il numero 5 è un monomio in forma standard.

Riduzione dei monomi alla forma standard

Come portare il monomio alla forma standard? Considera degli esempi.

Sia dato il monomio 2a4b, dobbiamo portarlo alla forma standard. Moltiplichiamo due dei suoi fattori numerici e otteniamo 8ab. Ora il monomio è scritto nella forma standard, cioè ha un solo fattore numerico, scritto in primo luogo, ogni lettera del monomio compare una sola volta e queste lettere sono disposte in ordine alfabetico. Quindi 2a4b = 8ab.

Dato: monomio 2a4a, portare il monomio alla forma standard. Moltiplichiamo i numeri 2 e 4, il prodotto aa viene sostituito dalla seconda potenza a 2 . Otteniamo: 8a 2 . Questa è la forma standard di questo monomio. Quindi, 2a4a = 8a 2 .

Monomi simili

Cosa sono i monomi simili? Se i monomi differiscono solo per coefficienti o sono uguali, vengono chiamati simili.

Un esempio di monomi simili: 5a e 2a. Questi monomi differiscono solo per i coefficienti, il che significa che sono simili.

I monomi 5abc e 10cba sono simili? Portiamo il secondo monomio nella forma standard, otteniamo 10 abc. Ora è chiaro che i monomi 5abc e 10abc differiscono solo per i loro coefficienti, il che significa che sono simili.

Aggiunta di monomi

Qual è la somma dei monomi? Possiamo solo sommare monomi simili. Consideriamo l'esempio dell'addizione di monomi. Qual è la somma dei monomi 5a e 2a? La somma di questi monomi sarà un monomio simile a loro, il cui coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti dei termini. Quindi, la somma dei monomi è 5a + 2a = 7a.

Altri esempi di addizione di monomi:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Ancora. Puoi solo aggiungere monomi simili; l'addizione si riduce alla somma dei loro coefficienti.

Sottrazione di monomi

Qual è la differenza dei monomi? Possiamo solo sottrarre monomi simili. Considera un esempio di sottrazione di monomi. Qual è la differenza tra i monomi 5a e 2a? La differenza di questi monomi sarà un monomio simile a loro, il cui coefficiente è uguale alla differenza coefficienti di questi monomi. Quindi, la differenza dei monomi è uguale a 5a - 2a = 3a.

Altri esempi di sottrazione di monomi:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Moltiplicazione dei monomi

Qual è il prodotto dei monomi? Considera un esempio:

quelli. il prodotto dei monomi è uguale al monomio i cui fattori sono composti dai fattori dei monomi originari.

Un altro esempio:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Come si è arrivati ​​a questo risultato? Ogni fattore ha "a" nel grado: nel primo - "a" nel grado 2 e nel secondo - "a" nel grado 5. Ciò significa che il prodotto avrà "a" nel grado di 7, perché quando si moltiplicano lettere identiche, i loro esponenti si sommano:

UN 2 * un 5 = un 7 .

Lo stesso vale per il fattore "b".

Il coefficiente del primo fattore è uguale a due e il secondo - a uno, quindi otteniamo 2 * 1 = 2 come risultato.

Così è stato calcolato il risultato 2a 7 b 12.

Da questi esempi si può vedere che i coefficienti dei monomi si moltiplicano, e le stesse lettere sono sostituite dalla somma dei loro gradi nel prodotto.

IO. Le espressioni che sono composte da numeri, variabili e loro potenze, con l'aiuto della moltiplicazione sono dette monomi.

Esempi di monomi:

un) un; b) ab; in) 12; G)-3c; e) 2a 2 ∙(-3.5b) 3 ; e)-123,45xy 5z; g) 8ac∙2.5a 2∙(-3c 3).

II. Questo tipo di monomio, quando il fattore numerico (coefficiente) è al primo posto, seguito dalle variabili con le loro potenze, è chiamato tipo standard di monomio.

Quindi, i monomi dati sopra, sotto le lettere a B C), G) e e) sono scritti in forma standard e i monomi sotto le lettere e) e g)è necessario portarlo in una forma standard, cioè in una tale forma quando il fattore numerico è al primo posto e dopo di esso sono scritti i fattori letterali con i loro indicatori, inoltre i fattori letterali sono in ordine alfabetico. Diamo i monomi e) e g) alla vista standard.

e) 2a 2 ∙(-3.5b) 3=2a 2 ∙(-3.5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3.5∙3.5∙3.5∙b 3 = -85.75a2b3;

g) 8ac∙2.5a 2∙(-3c 3)=-8∙2.5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .

III.La somma degli esponenti di tutte le variabili che compongono il monomio è chiamata grado del monomio.

Esempi. Che grado hanno i monomi a) - g)?

aa. Primo;

b) ab. Secondo: un in primo grado e b nel primo grado - la somma degli indicatori 1+1=2 ;

in) 12. Zero, poiché non ci sono fattori alfabetici;

G) -3c. Primo;

e) -85.75a 2 b 3 . Quinto. Abbiamo ridotto questo monomio alla forma standard, l'abbiamo fatto un nel secondo grado e b nel terzo. Aggiunta di indicatori: 2+3=5 ;

e) -123.45xy 5z. Settimo. Aggiunti gli esponenti dei fattori letterali: 1+5+1=7 ;

g) -60a 3 c 3 . Il sesto, essendo la somma degli indicatori dei moltiplicatori letterali 3+3=6 .

IV. I monomi che hanno la stessa parte letterale sono chiamati monomi simili.

Esempio. Indicare monomi simili tra monomi dati 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4.1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98.7a 2bac; 5) 10aaa 2x; 6) -2.3a 4x; 7) 34x2 anni.

Diamo i monomi 1), 4) e 5) alla vista standard. Quindi la linea di questi monomi sarà simile a questa:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4.1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98.7a 3bc; 5) 10a 4x; 6) -2.3a 4x; 7) 34x2 anni.

Simili saranno quelli che hanno la stessa parte letterale, cioè 1) e 3) ; 2) e 4); 5) e 6).

1) 3a 2 b 2 c e 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4.1a 3bc e 4) 98.7a 3bc;

5) 10a 4x e 6) -2.3a 4x.

Abbiamo notato che qualsiasi monomio può essere portare in forma standard. In questo articolo capiremo quella che viene chiamata riduzione di un monomio a una forma standard, quali azioni consentono di eseguire questo processo e considereremo le soluzioni di esempi con spiegazioni dettagliate.

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Cosa significa portare un monomio in forma standard?

È conveniente lavorare con i monomi quando sono scritti in forma standard. Tuttavia, i monomi sono abbastanza spesso dati in una forma diversa da quella standard. In questi casi si può sempre passare dal monomio originale al monomio standard eseguendo trasformazioni identiche. Il processo di esecuzione di tali trasformazioni è chiamato portare il monomio alla forma standard.

Generalizziamo il ragionamento di cui sopra. Porta il monomio alla forma standard- questo significa eseguire con esso trasformazioni così identiche in modo che assuma una forma standard.

Come portare il monomio alla forma standard?

È ora di capire come portare i monomi nella forma standard.

Come è noto dalla definizione, i monomi di una forma non standard sono prodotti di numeri, variabili e loro potenze e, eventualmente, ripetute. E il monomio del modulo standard può contenere nel suo record un solo numero e variabili non ripetitive o loro gradi. Ora resta da capire come si possono ridurre i prodotti della prima tipologia alla forma della seconda?

Per fare ciò, è necessario utilizzare quanto segue la regola per ridurre un monomio alla forma standard composto da due passaggi:

• In primo luogo, viene eseguito il raggruppamento di fattori numerici, nonché variabili identiche e loro gradi;
• In secondo luogo, viene calcolato e applicato il prodotto dei numeri.

Per effetto dell'applicazione della norma indicata, l'eventuale monomio sarà ridotto alla forma standard.

Esempi, Soluzioni

Resta da imparare come applicare la regola del paragrafo precedente quando si risolvono esempi.

Esempio.

Portare il monomio 3·x·2·x 2 alla forma standard.

Decisione.

Raggruppiamo i fattori numerici ei fattori con la variabile x . Dopo il raggruppamento, il monomio originale assumerà la forma (3 2) (x x 2) . Il prodotto dei numeri tra le prime parentesi è 6, e la regola per moltiplicare le potenze con le stesse basi permette di rappresentare l'espressione tra le seconde parentesi come x 1 +2=x 3. Di conseguenza, otteniamo un polinomio della forma standard 6·x 3 .

Ecco un riassunto della soluzione: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

Risposta:

3 x 2 x 2 = 6 x 3 .

Quindi, per portare un monomio in una forma standard, è necessario essere in grado di raggruppare fattori, eseguire moltiplicazioni di numeri e lavorare con le potenze.

Per consolidare il materiale, risolviamo un altro esempio.

Esempio.

Esprimere il monomio in forma standard e indicarne il coefficiente.

Decisione.

Il monomio originale ha un singolo fattore numerico −1 nella sua notazione, spostiamolo all'inizio. Dopodiché, raggruppiamo i fattori separatamente con la variabile a , separatamente - con la variabile b , e non c'è nulla con cui raggruppare la variabile m, lasciala così com'è, abbiamo . Dopo aver eseguito le operazioni con i gradi tra parentesi, il monomio assumerà la forma standard di cui abbiamo bisogno, da cui si vede il coefficiente del monomio, pari a −1. Uno meno può essere sostituito da un segno meno: .