MODALITÀ DI MOVIMENTO DEL SETTING POINT

Determinazione della velocità di un punto

La velocità è una grandezza vettoriale che caratterizza la velocità e la direzione del movimento di un punto in un dato sistema di riferimento.

In modo vettoriale task di movimento, la posizione di un punto in movimento in ogni momento è determinata dal vettore raggio, che è una funzione del tempo. Lascia al momento T il punto occupa una posizione m, determinato dal vettore raggio e al momento - la posizione m 1, determinato dal vettore raggio (Fig. 8.6). Da un triangolo OMM 1,

.

Riso. 8.6 Fig. 8.7

Quando un punto viene spostato, il suo vettore raggio viene incrementato:

Dalle ultime due uguaglianze segue che il vettore di spostamento del punto è un incremento del vettore del raggio del punto nell'intervallo di tempo T.

Il rapporto tra il vettore spostamento e l'intervallo di tempo T, durante il quale si è verificato questo movimento, è il vettore della velocità media del movimento immaginario del punto lungo la corda MM 1:

La direzione del vettore è la stessa della direzione di Δ . Con intervallo di tempo decrescente Δ T e avvicinandosi allo zero, anche il vettore Δ tende a zero e il vettore - a un certo limite. Questo limite è il vettore di velocità del punto al momento T:

.

Dal momento che Δ T- incremento argomento scalare T, e Δ è l'incremento della funzione vettoriale , allora il limite della relazione a è la derivata vettoriale di on T:

In questo modo, il vettore velocità del punto in un dato momento è uguale alla derivata del raggio vettore del punto rispetto al tempo.

Il vettore è diretto lungo la corda MM 1 nella direzione del movimento del punto. Quando Δ T va a punto zero m 1 tende a un punto m, cioè la posizione limite della secante MM 1 è tangente.

Ne consegue che il vettore della velocità del punto è diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del movimento del punto.

Quando un punto si muove lungo una traiettoria curvilinea, la direzione del vettore velocità cambia continuamente (Fig. 8.8).

Velocità del punto a irregolare moto curvilineo varia sia in grandezza che in direzione.

Nota un certo numero di posizioni del punto in movimento sulla traiettoria m 1 , m 2 , m 3 , m 4 e mostrare in queste posizioni le velocità del punto (Fig. 8.8, a).

Scegliendo nello spazio alcuni Punto fisso DI 1 , mettiamo da parte da questo punto i vettori geometricamente uguali alle velocità (Fig. 8.8, b). Se da un punto DI 1 mettere da parte le velocità corrispondenti a tutte le posizioni dei punti m sulla curva AB, e collega le estremità di questi vettori, ottieni una linea CD, essendo odografo di velocità.

In questo modo, l'odografo della velocità è il luogo delle estremità dei vettori di velocità di un punto in movimento, tracciato dallo stesso punto arbitrario nello spazio.

Rappresentiamo in fig. 8.9, ma traiettoria del punto AB e la sua velocità in qualsiasi momento T, e in fig. 8.9, B - odografo di velocità cd questo punto.

Passiamo per il punto DI 1 asse di coordinate X, Y, Z, parallelamente agli assi principali x,y,z. Quindi il vettore raggio di qualsiasi punto n odografo di velocità cd sarà la velocità e le coordinate dei punti dell'odografo X, Y, Z sarà uguale alle proiezioni di velocità sugli assi delle coordinate:

Queste equazioni sono equazioni parametriche odografo di velocità.

Determinazione dell'accelerazione di un punto

Con il movimento curvilineo irregolare di un punto, il modulo e la direzione della sua velocità cambiano. L'accelerazione di un punto caratterizza la velocità di cambiamento nel modulo e la direzione della velocità del punto.

Supponiamo che al momento T il punto occupa una posizione m e ha velocità e al tempo lei prende posizione m 1 e ha una velocità (Fig. 8.10, a).

Trova l'incremento del vettore velocità nell'intervallo di tempo Δ T. Per fare questo, mettere da parte dal punto m velocità e costruire a questo punto un parallelogramma, uno dei cui lati sarà la velocità , e la diagonale è la velocità.

Quindi il secondo lato del parallelogramma sarà l'incremento del vettore velocità, poiché

.

Dividendo l'incremento del vettore velocità per l'intervallo di tempo Δ T, otteniamo il vettore dell'accelerazione media del punto per questo intervallo:

Questo vettore ha una direzione e, quindi, è diretto verso la concavità della curva. Costruendo un odografo di velocità cd(Fig. 13,b), mettere da parte le velocità v e v 1 , incremento del vettore di velocità , così come il vettore di accelerazione medio diretto lungo la corda NN 1 odografo di velocità. Il limite a cui tende il vettore di accelerazione media quando Δ T tende a zero, è il vettore di accelerazione del punto α in un dato momento t: è nel piano passante per il punto tangente alla traiettoria m e una retta parallela alla tangente nel punto m 1 (Fig. 10a). La posizione limite di questo piano come tende il punto m 1 al punto m chiamata piano contiguo.

Ne consegue che vettore di accelerazione puntuale individuato in piano contiguo ed è diretto verso la concavità della curva.

Se la curva è piatta, il piano tangente è il piano della curva e il vettore di accelerazione giace su questo piano.

La velocità di un punto è un vettore che determina in ogni momento la velocità e la direzione del movimento del punto.

Velocità moto uniformeè determinato dal rapporto tra il percorso percorso da un punto in un certo periodo di tempo e il valore di questo periodo di tempo.

Velocità; S-via; t-tempo.

La velocità è misurata in unità di lunghezza divisa per un'unità di tempo: m/s; cm/s; km/h, ecc.

Nel caso di moto rettilineo, il vettore velocità è diretto lungo la traiettoria nella direzione del suo moto.

Se un punto percorre percorsi disuguali in intervalli di tempo uguali, questo movimento è detto irregolare. La velocità è una variabile ed è una funzione del tempo.

La velocità media di un punto in un dato periodo di tempo è la velocità di un movimento rettilineo così uniforme a cui il punto riceverebbe lo stesso movimento durante questo periodo di tempo come nel suo movimento considerato.

Si consideri un punto M che si muove lungo una traiettoria curvilinea data dalla legge

Nell'intervallo di tempo? t, il punto M si sposterà nella posizione M 1 lungo l'arco MM 1. Se l'intervallo di tempo? t è piccolo, allora l'arco MM 1 può essere sostituito da una corda e, in prima approssimazione, trovare velocità media movimento del punto

Questa velocità è diretta lungo la corda dal punto M al punto M 1 . Troviamo la vera velocità andando al limite quando?t> 0

Quando?t> 0, la direzione della corda nel limite coincide con la direzione della tangente alla traiettoria nel punto M.

Pertanto, la velocità di un punto è definita come il limite del rapporto tra l'incremento del percorso e il corrispondente intervallo di tempo poiché quest'ultimo tende a zero. La direzione della velocità coincide con la tangente alla traiettoria nel punto dato.

accelerazione puntiforme

Si noti che nel caso generale, quando ci si sposta lungo una traiettoria curvilinea, la velocità di un punto cambia sia in direzione che in grandezza. La variazione di velocità per unità di tempo è determinata dall'accelerazione. In altre parole, l'accelerazione di un punto è una grandezza che caratterizza la velocità di variazione della velocità nel tempo. Se per un intervallo di tempo?t la velocità cambia di un valore, allora l'accelerazione media

La vera accelerazione di un punto in un dato momento t è il valore a cui tende l'accelerazione media quando? t\u003e 0, cioè

Con un intervallo di tempo tendente a zero, il vettore di accelerazione cambierà sia in grandezza che in direzione, tendendo al suo limite.

Dimensione dell'accelerazione

L'accelerazione può essere espressa in m/s 2 ; cm/s 2 ecc.

Nel caso generale, quando il moto di un punto è dato in modo naturale, il vettore di accelerazione è solitamente scomposto in due componenti dirette lungo la tangente e lungo la normale alla traiettoria del punto.

Allora l'accelerazione di un punto al tempo t può essere rappresentata come

Indichiamo i limiti costitutivi con e.

La direzione del vettore non dipende dalla dimensione dell'intervallo di tempo?t.

Questa accelerazione coincide sempre con la direzione della velocità, cioè è diretta tangenzialmente alla traiettoria del punto ed è quindi detta accelerazione tangenziale o tangenziale.

La seconda componente dell'accelerazione del punto è diretta perpendicolarmente alla tangente alla traiettoria in questo punto verso la concavità della curva e influenza la variazione della direzione del vettore velocità. Questa componente di accelerazione viene chiamata normale accelerazione.

Poiché il valore numerico del vettore è uguale all'incremento della velocità del punto nell'intervallo di tempo considerato?t, allora il valore numerico dell'accelerazione tangenziale

Il valore numerico dell'accelerazione tangenziale di un punto è uguale alla derivata temporale del valore numerico della velocità. Il valore numerico dell'accelerazione normale di un punto è uguale al quadrato della velocità del punto diviso per il raggio di curvatura della traiettoria nel punto corrispondente della curva

L'accelerazione totale in caso di moto curvilineo non uniforme di un punto è geometricamente composta dalle accelerazioni tangenziali e normali.

Ad esempio, un'auto che parte si muove più velocemente man mano che aumenta la sua velocità. Al punto di partenza, la velocità dell'auto è zero. Avviando il movimento, l'auto accelera a una certa velocità. Se è necessario rallentare, l'auto non sarà in grado di fermarsi all'istante, ma per qualche tempo. Cioè, la velocità dell'auto tenderà a zero: l'auto inizierà a muoversi lentamente fino a quando non si fermerà completamente. Ma la fisica non ha il termine "decelerazione". Se il corpo si muove, diminuendo la velocità, viene chiamato anche questo processo accelerazione, ma con un segno "-".

Accelerazione mediaè il rapporto tra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo durante il quale si è verificata questa variazione. Calcola l'accelerazione media usando la formula:

dov'è . La direzione del vettore di accelerazione è la stessa della direzione della variazione di velocità Δ = - 0

dove 0 è la velocità iniziale. Al momento t1(vedi figura sotto) il corpo ha 0 . Al momento t2 il corpo ha velocità. Sulla base della regola di sottrazione del vettore, determiniamo il vettore della variazione di velocità Δ = - 0 . Da qui calcoliamo l'accelerazione:

.

Nel sistema SI unità di accelerazione si chiama 1 metro al secondo al secondo (o metro al secondo al quadrato):

.

Un metro al secondo quadrato è l'accelerazione di un punto che si muove in linea retta, alla quale la velocità di questo punto aumenta di 1 m / s in 1 s. In altre parole, l'accelerazione determina il grado di variazione della velocità di un corpo in 1 s. Ad esempio, se l'accelerazione è 5 m / s 2, la velocità del corpo aumenta di 5 m / s ogni secondo.

Accelerazione istantanea del corpo ( punto materiale) in un dato momento è una grandezza fisica uguale al limite a cui tende l'accelerazione media quando l'intervallo di tempo tende a 0. In altre parole, questa è l'accelerazione sviluppata dal corpo in un periodo di tempo molto piccolo:

.

L'accelerazione ha la stessa direzione della variazione di velocità Δ in intervalli di tempo estremamente piccoli durante i quali la velocità cambia. Il vettore di accelerazione può essere impostato utilizzando le proiezioni sugli assi delle coordinate corrispondenti in un dato sistema di riferimento (proiezioni a X, a Y , a Z).

Con accelerato moto rettilineo la velocità del corpo aumenta modulo, cioè v 2 > v 1 , e il vettore di accelerazione ha la stessa direzione del vettore di velocità 2 .

Se la velocità modulo del corpo diminuisce (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем decelerazione(l'accelerazione è negativa e< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Se c'è un movimento lungo una traiettoria curvilinea, il modulo e la direzione della velocità cambiano. Ciò significa che il vettore di accelerazione è rappresentato come 2 componenti.

Accelerazione tangenziale (tangenziale). chiamiamo quella componente del vettore di accelerazione, che è diretta tangenzialmente alla traiettoria in un dato punto della traiettoria di moto. L'accelerazione tangenziale descrive il grado di variazione del modulo di velocità quando si esegue un movimento curvilineo.

In vettori di accelerazione tangenzialeτ (vedi figura sopra) la direzione è la stessa di velocità lineare o opposto ad esso. Quelli. il vettore dell'accelerazione tangenziale è sullo stesso asse del cerchio tangente, che è la traiettoria del corpo.

Introduciamo un vettore unitario τ associato al punto in movimento A e diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione della coordinata dell'arco crescente (Fig. 1.6). Ovviamente, τ è un vettore variabile: dipende da l. Il vettore velocità v del punto A è diretto tangenzialmente alla traiettoria, quindi può essere rappresentato come segue

dove v τ =dl/dt è la proiezione del vettore v nella direzione del vettore τ, e v τ è una grandezza algebrica. Inoltre, |v τ |=|v|=v.

accelerazione puntiforme

Differenziare (1.22) rispetto al tempo

(1.23)

Trasformiamo l'ultimo termine di questa espressione

(1.24)

Definiamo l'incremento del vettore τ di dl (Fig. 1.7).

Come si può vedere dalla figura. 1.7, angolo , da dove e a .

Introducendo un vettore unitario n della normale alla traiettoria nel punto 1, diretto verso il centro di curvatura, scriviamo l'ultima uguaglianza in forma vettoriale

Sostituiamo (1.23) in (1.24) e l'espressione risultante in (1.22). Di conseguenza, troviamo

(1.26)

Qui si chiama il primo termine tangenziale a τ , il secondo - normale un .

In questo modo, piena accelerazione un punto può essere rappresentato come somma geometrica accelerazioni tangenziali e normali.

Modulo di accelerazione a punto pieno

(1.27)

È diretto verso la concavità della traiettoria ad un angolo α rispetto al vettore velocità, e .

Se l'angolo α è acuto, allora tgα>0, quindi dv/dt>0, poiché v 2 /R>0 è sempre.

In questo caso, l'entità della velocità aumenta con il tempo: viene chiamato il movimento accelerato(Fig. 1.8).

Nel caso in cui la velocità diminuisca di grandezza nel tempo, viene chiamato il movimento Lento(Fig. 1.9).

Se l'angolo α=90°, tgα=∞, cioè dv/dt=0. In questo caso, la velocità non cambia di grandezza nel tempo e l'accelerazione totale sarà uguale al centripeto

(1.28)

In particolare, l'accelerazione totale di un'uniforme moto rotatorio(R=cost, v=cost) sì accelerazione centripeta, uguale in grandezza a a n \u003d v 2 /R e diretto sempre al centro.

Nel moto rettilineo, invece, l'accelerazione totale del corpo è uguale a quella tangenziale. In questo caso, a n =0, poiché una traiettoria rettilinea può essere considerata una circonferenza di raggio infinitamente grande, e quando R→∞; v 2 /R=0; un n = 0; a=a τ .

Ora lascia che la funzione sia nota. Sulla fig. 5.10
e
 vettori di velocità del punto in movimento negli istanti T e  T. Per ottenere l'incremento del vettore velocità
sposta il vettore in parallelo
Esattamente m:

L'accelerazione media di un punto in un periodo di tempo  T è il rapporto tra l'incremento del vettore velocità
all'intervallo di tempo T:

Di conseguenza, l'accelerazione di un punto in un dato momento è uguale alla prima derivata temporale del vettore velocità del punto o alla seconda derivata temporale del vettore raggio

. (5.11)

accelerazione puntiforme questa è una grandezza vettoriale che caratterizza la velocità di variazione del vettore velocità rispetto al tempo.

Costruiamo un odografo di velocità (Fig.5.11). Per definizione, l'odografo di velocità è la curva che l'estremità del vettore di velocità disegna quando il punto si muove, se il vettore di velocità è tracciato dallo stesso punto.

Determinazione della velocità di un punto con il metodo delle coordinate per specificarne il movimento

Sia dato il movimento di un punto in modo coordinato sistema cartesiano coordinate

X = X(T), y = y(T), z = z(T)

Il raggio vettore di un punto è uguale a

.

Poiché i vettori unitari
costante, quindi per definizione

. (5.12)

Indichiamo le proiezioni del vettore velocità sugli assi Oh, UO e Oz attraverso v X , v y , v z

(5.13)

Confrontando le uguaglianze (5.12) e (5.13) otteniamo

(5.14)

In quanto segue, la derivata temporale sarà indicata da un punto dall'alto, cioè,

.

Il modulo di velocità puntuale è determinato dalla formula

. (5.15)

La direzione del vettore velocità è determinata dai coseni di direzione:

Determinazione dell'accelerazione di un punto con il metodo delle coordinate per specificarne il movimento

Il vettore velocità nel sistema di coordinate cartesiane è

.

Per definizione

Indichiamo le proiezioni del vettore di accelerazione sugli assi Oh, UO e Oz attraverso ma X , ma y , ma z rispettivamente, ed espandere il vettore velocità lungo gli assi:

. (5.17)

Confrontando le uguaglianze (5.16) e (5.17) otteniamo

Il modulo del vettore di accelerazione del punto è calcolato in modo simile al modulo del vettore di velocità del punto:

, (5.19)

e la direzione del vettore di accelerazione sono i coseni di direzione:

Determinare la velocità e l'accelerazione di un punto con un modo naturale di specificarne il movimento

Questo metodo utilizza assi naturali con origine nella posizione corrente del punto m sulla traiettoria (Figura 5.12) e sui vettori unitari Vettore unitario diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del riferimento positivo dell'arco, il vettore unitario diretto lungo la normale principale della traiettoria verso la sua concavità, il vettore unitario diretto lungo il binormale alla traiettoria nel punto m.

Horts e restare in piano contiguo, orts e in piano normale, orts e  dentro piano di raddrizzamento.

Il triangolo risultante è chiamato naturale.

Sia data la legge del moto di un punto S = S(T).

raggio vettore punti m rispetto a qualche punto fisso sarà una complessa funzione del tempo
.

Dalla geometria differenziale sono note le formule di Serre-Fresnet, che stabiliscono connessioni tra i vettori unitari degli assi naturali e la funzione vettoriale della curva

dove  è il raggio di curvatura della traiettoria.

Usando la definizione di velocità e la formula di Serre Frenet, otteniamo:

. (5.20)

Indica la proiezione della velocità sulla tangente e tenendo conto che il vettore velocità è diretto tangenzialmente, abbiamo

. (5.21)

Confrontando le uguaglianze (5.20) e (5.21), otteniamo formule per determinare il vettore velocità in grandezza e direzione

Valore è positivo se il punto m si muove nella direzione positiva di riferimento dell'arco S e negativo altrimenti.

Utilizzando la definizione di accelerazione e la formula di Serre Frenet, otteniamo:

Indica la proiezione dell'accelerazione del punto ad una tangente , normale principale e binormale
rispettivamente.

Allora l'accelerazione è

Dalle formule (5.23) e (5.24) segue che il vettore di accelerazione giace sempre nel piano contiguo e si espande nelle direzioni e :

(5.25)

Proiezione dell'accelerazione su una tangente
chiamata tangente o accelerazione tangenziale. Caratterizza il cambiamento nell'ampiezza della velocità.

Proiezione dell'accelerazione sulla normale principale
chiamata normale accelerazione. Caratterizza la variazione del vettore velocità nella direzione.

Il modulo del vettore di accelerazione è uguale a
.

Se e un segno, quindi il movimento del punto sarà accelerato.

Se e segni diversi, quindi il movimento della punta sarà lento.