Ora lascia che la funzione sia nota. Sulla fig. 5.10
e
 vettori di velocità del punto in movimento negli istanti t e  t. Per ottenere l'incremento del vettore velocità
sposta il vettore in parallelo
Esattamente M:

L'accelerazione media di un punto in un periodo di tempo  t è il rapporto tra l'incremento del vettore velocità
all'intervallo di tempo t:

Di conseguenza, l'accelerazione di un punto in un dato momento è uguale alla prima derivata temporale del vettore velocità del punto o alla seconda derivata temporale del vettore raggio

. (5.11)

accelerazione puntiforme questa è una grandezza vettoriale che caratterizza la velocità di variazione del vettore velocità rispetto al tempo.

Costruiamo un odografo di velocità (Fig.5.11). Per definizione, l'odografo di velocità è la curva che l'estremità del vettore di velocità disegna quando il punto si muove, se il vettore di velocità è tracciato dallo stesso punto.

Determinazione della velocità di un punto con il metodo delle coordinate per specificarne il movimento

Sia dato il movimento di un punto in modo coordinato in un sistema di coordinate cartesiane

X = X(t), y = y(t), z = z(t)

Il raggio vettore di un punto è uguale a

.

Poiché i vettori unitari
costante, quindi per definizione

. (5.12)

Indichiamo le proiezioni del vettore velocità sugli assi Oh, UO e Oz attraverso V X , V y , V z

(5.13)

Confrontando le uguaglianze (5.12) e (5.13) otteniamo

(5.14)

In quanto segue, la derivata temporale sarà indicata da un punto dall'alto, cioè,

.

Il modulo di velocità puntuale è determinato dalla formula

. (5.15)

La direzione del vettore velocità è determinata dai coseni di direzione:

Determinazione dell'accelerazione di un punto con il metodo delle coordinate per specificarne il movimento

Il vettore velocità nel sistema di coordinate cartesiane è

.

Per definizione

Indichiamo le proiezioni del vettore di accelerazione sugli assi Oh, UO e Oz attraverso un X , un y , un z rispettivamente, ed espandere il vettore velocità lungo gli assi:

. (5.17)

Confrontando le uguaglianze (5.16) e (5.17) otteniamo

Il modulo del vettore di accelerazione del punto è calcolato in modo simile al modulo del vettore di velocità del punto:

, (5.19)

e la direzione del vettore di accelerazione sono i coseni di direzione:

Determinare la velocità e l'accelerazione di un punto con un modo naturale di specificarne il movimento

Questo metodo utilizza assi naturali con origine nella posizione corrente del punto M sulla traiettoria (Figura 5.12) e sui vettori unitari Vettore unitario diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del riferimento positivo dell'arco, vettore unitario diretto lungo la normale principale della traiettoria verso la sua concavità, il vettore unitario diretto lungo il binormale alla traiettoria nel punto M.

Horts e restare in piano contiguo, orts e in piano normale, orts e  dentro piano di raddrizzamento.

Il triangolo risultante è chiamato naturale.

Sia data la legge del moto di un punto S = S(t).

raggio vettore punti M rispetto a qualche punto fisso sarà una complessa funzione del tempo
.

Dalla geometria differenziale sono note le formule di Serre-Fresnet, che stabiliscono connessioni tra i vettori unitari degli assi naturali e la funzione vettoriale della curva

dove  è il raggio di curvatura della traiettoria.

Usando la definizione di velocità e la formula di Serre Frenet, otteniamo:

. (5.20)

Indica la proiezione della velocità sulla tangente e tenendo conto che il vettore velocità è diretto tangenzialmente, abbiamo

. (5.21)

Confrontando le uguaglianze (5.20) e (5.21), otteniamo formule per determinare il vettore velocità in grandezza e direzione

Valore è positivo se il punto M si muove nella direzione positiva di riferimento dell'arco S e negativo altrimenti.

Utilizzando la definizione di accelerazione e la formula di Serre Frenet, otteniamo:

Indica la proiezione dell'accelerazione del punto ad una tangente , normale principale e binormale
rispettivamente.

Allora l'accelerazione è

Dalle formule (5.23) e (5.24) segue che il vettore di accelerazione giace sempre nel piano contiguo e si espande nelle direzioni e :

(5.25)

Proiezione dell'accelerazione su una tangente
chiamato tangente o accelerazione tangenziale. Caratterizza il cambiamento nell'ampiezza della velocità.

Proiezione dell'accelerazione sulla normale principale
chiamato normale accelerazione. Caratterizza la variazione del vettore velocità nella direzione.

Il modulo del vettore di accelerazione è uguale a
.

Se una e un segno, quindi il movimento del punto sarà accelerato.

Se una e segni diversi, quindi il movimento della punta sarà lento.

Il movimento meccanico è un cambiamento nel tempo nella posizione nello spazio di punti e corpi rispetto a qualsiasi corpo principale a cui è fissato il sistema di riferimento. La cinematica studia il movimento meccanico di punti e corpi, indipendentemente dalle forze che causano questi movimenti. Qualsiasi movimento, come il riposo, è relativo e dipende dalla scelta del quadro di riferimento.

La traiettoria di un punto è una linea continua descritta da un punto in movimento. Se la traiettoria è una retta, il movimento del punto è detto rettilineo, se è una curva è curvilineo. Se la traiettoria è piatta, il movimento del punto è detto piatto.

Il moto di un punto o di un corpo si considera dato o noto se per ogni momento di tempo (t) è possibile indicare la posizione del punto o del corpo rispetto al sistema di coordinate selezionato.

La posizione di un punto nello spazio è determinata dal compito:

a) traiettorie di punti;

b) l'inizio della lettura della distanza O 1 lungo la traiettoria (Figura 11): s = O 1 M - coordinata curvilinea del punto M;

c) la direzione della lettura positiva delle distanze s;

d) equazione o legge del moto di un punto lungo una traiettoria: S = s(t)

Velocità di punta. Se un punto percorre distanze uguali in intervalli di tempo uguali, il suo moto è detto uniforme. La velocità del moto uniforme è misurata dal rapporto tra il percorso z percorso da un punto in un certo periodo di tempo e il valore di questo periodo di tempo: v = s / 1. Se un punto percorre percorsi disuguali in intervalli di tempo uguali, il suo movimento è detto irregolare. Anche la velocità in questo caso è variabile ed è funzione del tempo: v = v(t). Consideriamo il punto A, che si muove lungo una data traiettoria secondo una certa legge s = s(t) (Figura 12):

Per un periodo di tempo t t A si è spostato in posizione A 1 lungo l'arco AA. Se l'intervallo di tempo Δt è piccolo, allora l'arco AA 1 può essere sostituito da una corda e, in prima approssimazione, il valore velocità media moto puntuale v cp = Ds/Dt. La velocità media è diretta lungo la corda da t.A a t.A 1.

La vera velocità del punto è diretta tangenzialmente alla traiettoria e il suo valore algebrico è determinato dalla derivata prima del percorso rispetto al tempo:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Unità di velocità del punto: (v) = lunghezza/tempo, ad es. m/s. Se il punto si muove nella direzione della coordinata curvilinea crescente s, allora ds > 0, e quindi v > 0, altrimenti ds< 0 и v < 0.

Accelerazione puntuale. La variazione di velocità per unità di tempo è determinata dall'accelerazione. Si consideri il movimento del punto A lungo una traiettoria curvilinea nel tempo Δt dalla posizione A alla posizione A 1 . In posizione A, il punto aveva velocità v e in posizione A 1 - velocità v 1 (Figura 13). quelli. la velocità del punto è cambiata in grandezza e direzione. Troviamo la differenza geometrica, velocità Δv, costruendo un vettore v 1 dal punto A.

L'accelerazione di un punto è chiamata vettore", uguale alla derivata prima del vettore velocità del punto rispetto al tempo:

Il vettore di accelerazione trovato a può essere scomposto in due componenti tra loro perpendicolari ma la tangente e la normale alla traiettoria del moto. L'accelerazione tangenziale a 1 coincide in direzione con la velocità durante il movimento accelerato o è opposta ad essa durante il movimento sostituito. Caratterizza la variazione del valore di velocità ed è uguale alla derivata temporale del valore di velocità

Il vettore di accelerazione normale a è diretto lungo la normale (perpendicolare) alla curva verso la concavità della traiettoria e il suo modulo è uguale al rapporto il quadrato della velocità del punto al raggio di curvatura della traiettoria nel punto in esame.

L'accelerazione normale caratterizza il cambiamento di velocità lungo
direzione.

Valore di piena accelerazione: , m/s 2

Tipi di movimento del punto in base all'accelerazione.

Uniforme moto rettilineo (moto per inerzia) è caratterizzato dal fatto che la velocità di movimento è costante e il raggio di curvatura della traiettoria è uguale all'infinito.

Cioè, r = ¥, v = const, quindi ; e quindi . Quindi, quando un punto si muove per inerzia, la sua accelerazione è zero.

Movimento rettilineo non uniforme. Il raggio di curvatura della traiettoria è r = ¥, e n = 0, quindi a = a t e a = a t = dv/dt.

Sia dato il movimento del punto M in modo vettoriale, ovvero il raggio vettore del punto sia dato in funzione del tempo

La linea descritta dalla fine di un vettore variabile, il cui inizio è in un dato punto fisso, è chiamata odografo di questo vettore. Da qui e dalla definizione della traiettoria, segue la seguente regola: la traiettoria di un punto è l'odografo del suo raggio-vettore.

Lascia che in un momento t il punto occupi la posizione M e abbia un vettore raggio, e in un momento - una posizione e un vettore raggio (Fig. 78).

Un vettore che collega le posizioni dei punti successivi a quello specificato

momenti, è chiamato vettore di spostamento del punto nel tempo. Il vettore di spostamento è espresso in termini di valori della funzione vettoriale (5) come segue:

Se il vettore spostamento è diviso per il valore dell'intervallo , otteniamo il vettore della velocità media del punto nel tempo

Diminuiremo ora l'intervallo, tendendolo a zero. Il limite a cui tende il vettore velocità media con un decremento illimitato dell'intervallo è detto velocità del punto al momento t o semplicemente velocità del punto 0. In accordo con quanto detto per la velocità si ottiene:

Quindi, il vettore velocità di un punto è uguale alla derivata temporale del suo vettore raggio:

Poiché la secante nel limite (at ) diventa una tangente , concludiamo che il vettore velocità è diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del movimento del punto.

Nel caso generale, anche la velocità di un punto è variabile e ci si può interessare alla velocità di variazione della velocità. La velocità di variazione della velocità è chiamata accelerazione del punto.

Per determinare l'accelerazione a, scegliamo un punto fisso A e tracciamo il vettore velocità u da esso in diversi momenti.

La linea che descrive la fine del vettore di velocità N è l'odografo della velocità (Fig. 79). La variazione del vettore velocità si esprime nel fatto che il punto geometrico N si muove lungo l'odografo della velocità, e la velocità di questo movimento serve, per definizione, come accelerazione del punto M.

1. Metodi per specificare il movimento di un punto in un dato sistema di riferimento

I compiti principali della cinematica puntuale sono:

1. Descrizione dei modi per specificare il movimento di un punto.

2. Determinazione delle caratteristiche cinematiche del movimento di un punto (velocità, accelerazione) secondo una data legge del movimento.

movimento meccanico − cambiare la posizione di un corpo rispetto a un altro (corpo di riferimento), che è associato a un sistema di coordinate chiamato sistema di riferimento .

Viene chiamato il luogo delle posizioni successive di un punto mobile nel sistema di riferimento in esame traiettoria punti.

Imposta movimento − è fornire un modo per determinare la posizione di un punto in qualsiasi momento rispetto al sistema di riferimento prescelto. I modi principali per specificare il movimento di un punto sono:

vettore, coordinato e naturale .

1.Modalità vettoriale per impostare il movimento (Fig. 1).

La posizione di un punto è determinata da un vettore raggio tracciato da un punto fisso associato al corpo di riferimento: − equazione vettoriale del moto del punto.

2. Coordinare il modo di impostare il movimento (Fig. 2).

In questo caso le coordinate del punto sono date in funzione del tempo:

- equazioni del moto di un punto in forma di coordinate.

Questo e equazioni parametriche traiettorie di un punto in movimento, in cui il tempo gioca il ruolo di parametro. Per scrivere la sua equazione in forma esplicita, è necessario escluderli. Nel caso di una traiettoria spaziale, escludendo , otteniamo:

Nel caso di una traiettoria piatta

eliminando otteniamo:

O .

3. Il modo naturale per definire il movimento (Fig. 3).

In questo caso, impostare:

1) traiettoria del punto,

2) punto di riferimento sulla traiettoria,

3) direzione di riferimento positiva,

4) la legge di variazione della coordinata dell'arco: .

Questo metodo è comodo da usare quando la traiettoria del punto è nota in anticipo.

2. Velocità e punto di accelerazione

Considera il movimento di un punto in un breve periodo di tempo(Fig. 4):

Allora − velocità media di un punto per un periodo di tempo.

La velocità di un punto in un dato momento si trova come limite della velocità media a :

Velocità puntuale − è la misura cinematica del suo moto, uguale a derivata temporale del vettore raggio di questo punto nel quadro di riferimento in esame.

Il vettore velocità è diretto tangenzialmente alla traiettoria del punto nella direzione del movimento.

L'accelerazione media caratterizza la variazione del vettore velocità in un breve periodo di tempo(Fig. 5).

L'accelerazione di un punto in un dato momento si trova come limite dell'accelerazione media a :

Accelerazione puntuale − è una misura della variazione della sua velocità, uguale alla derivata nel tempo dalla velocità di questo punto o dalla derivata seconda del raggio vettore del punto nel tempo .

L'accelerazione di un punto caratterizza la variazione del vettore velocità in magnitudine e direzione. Il vettore di accelerazione è diretto verso la concavità della traiettoria.

3. Determinazione della velocità e dell'accelerazione di un punto in modo coordinato compiti di movimento

La relazione tra il metodo vettoriale per specificare il movimento e il metodo delle coordinate è data dalla relazione

(Fig. 6).

Dalla definizione di velocità:

Le proiezioni di velocità sugli assi delle coordinate sono uguali alle derivate delle coordinate corrispondenti rispetto al tempo

, , . .

Il modulo e la direzione della velocità sono determinati dalle espressioni:

Qui e sotto, il punto sopra denota la differenziazione rispetto al tempo

Dalla definizione di accelerazione:

Le proiezioni di accelerazione sugli assi delle coordinate sono uguali alle seconde derivate temporali delle coordinate corrispondenti:

, , .

Il modulo e la direzione dell'accelerazione sono determinati dalle espressioni:

, , .

4 Velocità e accelerazione di un punto con un modo naturale di specificare il movimento

4.1 Assi naturali.

Determinare la velocità e l'accelerazione di un punto con un modo naturale di specificare il movimento

Gli assi naturali (tangente, normale principale, binormale) sono gli assi di un sistema di coordinate rettangolari in movimento con origine nel punto in movimento. La loro posizione è determinata dalla traiettoria del movimento. La tangente (con vettore unitario ) è diretta tangenzialmente nella direzione positiva della coordinata dell'arco di riferimento e si trova come posizione limite della secante passante dato punto(Fig. 9). Un piano di contatto passa attraverso la tangente (Fig. 10), che si trova come posizione limite del piano p poiché il punto M1 tende a puntare M. Il piano normale è perpendicolare alla tangente. La linea di intersezione dei piani normale e contigui è la normale principale. Il vettore unitario della normale principale è diretto verso la concavità della traiettoria. Il binormale (con vettore unitario ) è diretto perpendicolarmente alla tangente e alla normale principale in modo che l'ort , e formi la tripla destra dei vettori. Coordinare i piani del sistema di coordinate mobili introdotto (contiguo, normale e rettificante) formano un triangolo naturale, che si muove insieme al punto mobile, come solido. Il suo movimento nello spazio è determinato dalla traiettoria e dalla legge di cambiamento della coordinata dell'arco.

Dalla definizione di velocità puntuale

dove , è il vettore unitario della tangente.

Quindi

, .

Velocità algebrica − proiezione del vettore velocità sulla tangente uguale alla derivata temporale della coordinata dell'arco. Se la derivata è positiva, il punto si sposta nella direzione positiva del riferimento della coordinata dell'arco.

Dalla definizione di accelerazione

− vettore direzionale e

La derivata è determinata solo dal tipo di traiettoria in prossimità di un dato punto, pur tenendo conto dell'angolo di rotazione della tangente si ha

E perché è necessario. Sappiamo già cosa sono un sistema di riferimento, la relatività del moto e un punto materiale. Bene, è ora di andare avanti! Qui esamineremo i concetti di base della cinematica, riunendo di più formule utili sulle basi della cinematica e fornire un esempio pratico di risoluzione del problema.

Risolviamo il seguente problema: Un punto si muove in una circonferenza di raggio 4 metri. La legge del suo moto è espressa dall'equazione S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. A che punto normale accelerazione il punto è 9 m/s^2? Trova la velocità, tangenziale e piena accelerazione punti per questo momento.

Soluzione: sappiamo che per trovare la velocità, dobbiamo prendere la prima derivata temporale della legge del moto, e l'accelerazione normale è uguale al quadrato privato della velocità e al raggio del cerchio lungo il quale si muove il punto . Armati di questa conoscenza, troviamo i valori desiderati.

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