Come trovare il punto medio di un triangolo: un problema di geometria. I principali problemi elementari della geometria euclidea ci sono venuti dall'antichità. Contengono l'essenza primaria e le conoscenze di base necessarie sulla percezione delle forme spaziali da parte di una persona. Uno di questi problemi è il problema di trovare il punto medio di un triangolo. Oggi, questo problema è considerato come accoglienza formativa sviluppo delle capacità intellettive degli scolari. Nel mondo antico, la conoscenza di come trovare il centro di un triangolo era applicata anche nella pratica: nella gestione del territorio, nella fabbricazione di vari meccanismi, ecc. Qual è l'essenza di questo puzzle geometrico?

Cos'è una mediana? Prima di risolvere il problema, è necessario familiarizzare con la terminologia geometrica più semplice relativa ai triangoli. Innanzitutto ogni triangolo ha tre vertici, tre lati e tre angoli, da cui il nome di questo figura geometrica. È importante sapere come si chiamano le linee che collegano i vertici con lati opposti: altezza, bisettrice e mediana.

Altezza: una linea perpendicolare al lato opposto al vertice da cui è disegnata; bisettrice: divide l'angolo a metà; la mediana divide a metà il lato opposto al vertice uscente. Per risolvere questo problema, devi sapere come trovare le coordinate del centro del segmento, perché è il punto di intersezione delle mediane del triangolo che ne è il centro.

Trova i punti medi dei lati del triangolo. Anche trovare il punto medio di un segmento è classico. problema geometrico, per la soluzione di cui hai bisogno di una bussola e di un righello senza divisioni. Mettiamo l'ago della bussola nel punto finale del segmento e disegniamo un semicerchio più grande della metà del segmento nel mezzo di quest'ultimo. Facciamo lo stesso sull'altro lato del segmento. I semicerchi risultanti si intersecheranno necessariamente in due punti, perché i loro raggi sono maggiori della metà del segmento originale.

Colleghiamo i due punti di intersezione del cerchio con una linea retta usando un righello. Questa linea interseca il segmento originale esattamente al centro. Ora, sapendo come trovare il punto medio del segmento, lo facciamo con ciascun lato del triangolo. Dopo aver trovato tutti i punti medi dei lati del triangolo, sei pronto per costruire il proprio punto medio.

Costruiamo il centro del triangolo. Collegando i vertici del triangolo con i punti medi dei loro lati opposti con linee rette, otteniamo tre mediane. Questo potrebbe sorprendere qualcuno, ma una delle leggi dell'armonia di questa figura geometrica è che tutte e tre le mediane si intersecano sempre in un punto. È questo punto che sarà il punto medio desiderato del triangolo, che non è così difficile da trovare se si sa come costruire il punto medio del segmento.

È anche interessante notare che il punto di intersezione delle mediane non è solo il centro geometrico, ma anche "fisico" del triangolo. Cioè, se, ad esempio, tagli un triangolo di compensato, trovi il suo centro e posizioni questo punto sulla punta dell'ago, idealmente una tale figura si equilibrerà e non cadrà. La geometria elementare contiene molti "segreti" così eccitanti, la cui conoscenza aiuta a comprendere l'armonia del mondo circostante e la natura delle cose più complesse.

Il concetto di linea mediana di un triangolo

Introduciamo il concetto di linea mediana di un triangolo.

Definizione 1

Questo è un segmento che collega i punti medi dei due lati del triangolo (Fig. 1).

Figura 1. La linea mediana del triangolo

Teorema della linea mediana del triangolo

Teorema 1

La linea mediana di un triangolo è parallela a uno dei suoi lati e uguale alla metà di esso.

Prova.

Diamo un triangolo $ABC$. $MN$ - linea mediana (come in Figura 2).

Figura 2. Illustrazione del Teorema 1

Poiché $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, i triangoli $ABC$ e $MBN$ sono simili secondo il secondo criterio di somiglianza del triangolo. Si intende

Inoltre, ne consegue che $\angolo A=\angolo BMN$ significa $MN||AC$.

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenze dal teorema della linea mediana del triangolo

Corollario 1: Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto e dividono il punto di intersezione in un rapporto di $2:1$ partendo dal vertice.

Prova.

Si consideri il triangolo $ABC$, dove $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ è la sua mediana. Poiché le mediane dividono i lati a metà. Tenere conto linea di mezzo$A_1B_1$ (Fig. 3).

Figura 3. Illustrazione del corollario 1

Per il Teorema 1, $AB||A_1B_1$ e $AB=2A_1B_1$, quindi $\angolo ABB_1=\angolo BB_1A_1,\ \angolo BAA_1=\angolo AA_1B_1$. Quindi i triangoli $ABM$ e $A_1B_1M$ sono simili secondo il primo criterio di somiglianza del triangolo. Quindi

Allo stesso modo, è dimostrato che

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza 2: Le tre linee centrali del triangolo lo dividono in 4 triangoli simili al triangolo originale con coefficiente di somiglianza $k=\frac(1)(2)$.

Prova.

Si consideri il triangolo $ABC$ con le linee mediane $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (Fig. 4)

Figura 4. Illustrazione del corollario 2

Considera il triangolo $A_1B_1C$. Poiché $A_1B_1$ è la linea di mezzo, quindi

Angolo $C$ è l'angolo comune di questi triangoli. Pertanto, i triangoli $A_1B_1C$ e $ABC$ sono simili secondo il secondo criterio di somiglianza per i triangoli con coefficiente di somiglianza $k=\frac(1)(2)$.

Allo stesso modo, è dimostrato che i triangoli $A_1C_1B$ e $ABC$, ei triangoli $C_1B_1A$ e $ABC$ sono simili con coefficiente di similarità $k=\frac(1)(2)$.

Considera il triangolo $A_1B_1C_1$. Poiché $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ sono le linee mediane del triangolo, allora

Pertanto, secondo il terzo criterio di somiglianza per i triangoli, i triangoli $A_1B_1C_1$ e $ABC$ sono simili con coefficiente di somiglianza $k=\frac(1)(2)$.

Il teorema è stato dimostrato.

Esempi di attività sul concetto di linea mediana di un triangolo

Esempio 1

Dato un triangolo di lato $16$ cm, $10$ cm e $14$ cm, trova il perimetro di un triangolo i cui vertici giacciono nel punto medio dei lati del triangolo dato.

Decisione.

Poiché i vertici del triangolo desiderato si trovano nei punti medi dei lati del triangolo dato, i suoi lati sono le linee mediane del triangolo originale. Con il corollario 2, otteniamo che i lati del triangolo desiderato sono $ 8 $ cm, $ 5 $ cm e $ 7 $ cm.

Risposta:$ 20 $ vedi

Esempio 2

Viene fornito il triangolo $ABC$. I punti $N\ e\ M$ sono rispettivamente i punti medi dei lati $BC$ e $AB$ (Fig. 5).

Figura 5

Perimetro del triangolo $BMN=14$ cm Trova il perimetro del triangolo $ABC$.

Decisione.

Poiché $N\ e\ M$ sono i punti medi dei lati $BC$ e $AB$, allora $MN$ è la linea mediana. Si intende

Per il teorema 1, $AC=2MN$. Noi abbiamo:

A volte gli argomenti che vengono spiegati a scuola potrebbero non essere sempre chiari la prima volta. Ciò è particolarmente vero per una materia come la matematica. Ma le cose si complicano molto quando questa scienza comincia a dividersi in due parti: algebra e geometria.

Ogni studente può avere la capacità in una delle due direzioni, ma soprattutto in scuola elementareè importante comprendere le basi sia dell'algebra che della geometria. In geometria, uno degli argomenti principali è considerato la sezione sui triangoli.

Come trovare la linea mediana di un triangolo? Scopriamolo.

Concetti basilari

Per cominciare, per capire come trovare la linea mediana di un triangolo, è importante capire di cosa si tratta.

Non ci sono restrizioni per disegnare la linea mediana: il triangolo può essere qualsiasi (isoscele, equilatero, rettangolo). E tutte le proprietà relative alla linea di mezzo funzioneranno.

La linea mediana di un triangolo è un segmento di linea che collega i punti medi di 2 dei suoi lati. Pertanto, qualsiasi triangolo può avere 3 di queste linee.

Proprietà

Per sapere come trovare la linea mediana di un triangolo, indichiamo le sue proprietà che devono essere ricordate, altrimenti senza di esse sarà impossibile risolvere problemi con la necessità di designare la lunghezza della linea mediana, poiché tutti i dati ottenuti devono essere motivato e argomentato da teoremi, assiomi o proprietà.

Quindi, per rispondere alla domanda: "Come trovare la linea mediana del triangolo ABC?", Basta conoscere uno dei lati del triangolo.

Facciamo un esempio

Dai un'occhiata alla foto. Rappresenta il triangolo ABC con la linea mediana DE. Nota che è parallelo alla base AC nel triangolo. Pertanto, qualunque sia il valore di AC, la linea centrale DE sarà grande la metà. Ad esempio, AC=20 significa DE=10, ecc.

In modi così semplici, puoi capire come trovare la linea mediana di un triangolo. Ricorda le sue proprietà e la definizione di base, e quindi non avrai mai problemi a trovarne il valore.

Si dice quadrilatero con due soli lati paralleli trapezio.

I lati paralleli di un trapezio sono detti suoi motivi, e si chiamano i lati che non sono paralleli lati. Se i lati sono uguali, un tale trapezio è isoscele. La distanza tra le basi è chiamata altezza del trapezio.

Linea mediana del trapezio

La linea mediana è un segmento che collega i punti medi dei lati del trapezio. La linea mediana di un trapezio è parallela alle sue basi.

Teorema:

Se una linea che interseca il centro di un lato è parallela alle basi del trapezio, allora biseca il secondo lato del trapezio.

Teorema:

La lunghezza della linea mediana è uguale alla media aritmetica delle lunghezze delle sue basi

MN || AB || DC
AM=MD; BN=NC

Linea mediana MN, AB e CD - basi, AD e BC - lati

MN=(AB+DC)/2

Teorema:

La lunghezza della linea mediana di un trapezio è uguale alla media aritmetica delle lunghezze delle sue basi.

Il compito principale: Dimostra che la linea mediana di un trapezio taglia in due un segmento le cui estremità si trovano al centro delle basi del trapezio.

Linea mediana del triangolo

Il segmento di linea che collega i punti medi dei due lati di un triangolo è chiamato linea mediana del triangolo. È parallelo al terzo lato e la sua lunghezza è metà della lunghezza del terzo lato.
Teorema: Se una linea che interseca il punto medio di un lato di un triangolo è parallela all'altro lato del triangolo dato, allora biseca il terzo lato.

AM = MC e BN = NC =>

Applicazione delle proprietà della linea mediana del triangolo e del trapezio

La divisione di un segmento in un certo numero di parti uguali.
Compito: dividere il segmento AB in 5 parti uguali.
Decisione:
Sia p un raggio casuale la cui origine è il punto A e che non giace sulla retta AB. Mettiamo da parte in sequenza 5 segmenti uguali su p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Colleghiamo A 5 a B e tracciamo linee attraverso A 4 , A 3 , A 2 e A 1 parallele ad A 5 B. Intersecano AB rispettivamente in B 4 , B 3 , B 2 e B 1. Questi punti dividono il segmento AB in 5 parti uguali. Infatti dal trapezio BB 3 A 3 A 5 vediamo che BB 4 = B 4 B 3 . Allo stesso modo, dal trapezio B 4 B 2 A 2 A 4 otteniamo B 4 B 3 = B 3 B 2

Mentre dal trapezio B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Allora da B 2 AA 2 segue che B 2 B 1 = B 1 A. In conclusione, otteniamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
È chiaro che per dividere il segmento AB in un altro numero di parti uguali, dobbiamo proiettare sul raggio p lo stesso numero di segmenti uguali. E poi continuare nel modo descritto sopra.

\[(\Large(\text(Triangoli simili)))\]

Definizioni

Due triangoli si dicono simili se i loro angoli sono rispettivamente congruenti e i lati di un triangolo sono proporzionali ai lati simili dell'altro
(i lati si dicono simili se giacciono ad angoli uguali opposti).

Il coefficiente di somiglianza di triangoli (simili) è un numero uguale al rapporto tra i lati simili di questi triangoli.

Definizione

Il perimetro di un triangolo è la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati.

Teorema

Il rapporto dei perimetri di due triangoli simili è uguale al coefficiente di somiglianza.

Prova

Considera i triangoli \(ABC\) e \(A_1B_1C_1\) con i lati \(a,b,c\) e \(a_1, b_1, c_1\) rispettivamente (vedi figura sopra).

Quindi \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cpunto P_(A_1B_1C_1)\)

Teorema

Il rapporto delle aree di due triangoli simili è uguale al quadrato del coefficiente di somiglianza.

Prova

Lascia che i triangoli \(ABC\) e \(A_1B_1C_1\) siano simili e \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Indica con le lettere \(S\) e \(S_1\) rispettivamente le aree di questi triangoli.

Poiché \(\angle A = \angle A_1\) , allora \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(secondo il teorema sul rapporto delle aree di triangoli aventi angolo uguale).

Come \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), poi \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), che doveva essere dimostrato.

\[(\Large(\text(Test di somiglianza triangolo)))\]

Teorema (il primo criterio per la somiglianza dei triangoli)

Se due angoli di un triangolo sono rispettivamente uguali a due angoli di un altro triangolo, allora tali triangoli sono simili.

Prova

Siano \(ABC\) e \(A_1B_1C_1\) triangoli tali che \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Quindi per il teorema della somma triangolare \(\angolo C = 180^\circ - \angolo A - \angolo B = 180^\circ - \angolo A_1 - \angolo B_1 = \angolo C_1\), cioè gli angoli del triangolo \(ABC\) sono rispettivamente uguali agli angoli del triangolo \(A_1B_1C_1\) .

Poiché \(\angolo A = \angolo A_1\) e \(\angolo B = \angolo B_1\) , allora \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) e \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Da queste uguaglianze ne consegue che \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Allo stesso modo, è dimostrato che \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(usando le uguaglianze \(\angolo B = \angolo B_1\) , \(\angolo C = \angolo C_1\) ).

Di conseguenza, i lati del triangolo \(ABC\) sono proporzionali ai lati simili del triangolo \(A_1B_1C_1\), che doveva essere dimostrato.

Teorema (il secondo criterio per la somiglianza dei triangoli)

Se due lati di un triangolo sono proporzionali ai due lati di un altro triangolo e gli angoli compresi tra questi lati sono uguali, allora tali triangoli sono simili.

Prova

Considera due triangoli \(ABC\) e \(A"B"C"\) tali che \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angolo BAC = \angolo A"\) Dimostriamo che i triangoli \(ABC\) e \(A"B"C"\) sono simili. Dato il primo criterio di somiglianza del triangolo, è sufficiente mostrare che \(\angle B = \angle B"\) .

Considera un triangolo \(ABC""\) , dove \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . I triangoli \(ABC""\) e \(A"B"C"\) sono simili nel primo criterio di somiglianza del triangolo, quindi \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

D'altra parte, secondo la condizione \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Dalle ultime due uguaglianze segue che \(AC = AC""\) .

I triangoli \(ABC\) e \(ABC""\) sono uguali su due lati e l'angolo tra loro, quindi, \(\angolo B = \angolo 2 = \angolo B"\).

Teorema (il terzo criterio per la somiglianza dei triangoli)

Se tre lati di un triangolo sono proporzionali ai tre lati di un altro triangolo, allora tali triangoli sono simili.

Prova

Siano proporzionali i lati dei triangoli \(ABC\) e \(A"B"C"\): \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Proviamo che i triangoli \(ABC\) e \(A"B"C"\) sono simili.

Per fare ciò, tenendo conto del secondo criterio di somiglianza del triangolo, è sufficiente dimostrare che \(\angle BAC = \angle A"\) .

Considera un triangolo \(ABC""\) , dove \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .

I triangoli \(ABC""\) e \(A"B"C"\) sono simili nel primo criterio di somiglianza del triangolo, quindi, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Dall'ultima catena di uguaglianze e condizioni \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) ne consegue che \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

I triangoli \(ABC\) e \(ABC""\) sono uguali su tre lati, quindi, \(\angolo BAC = \angolo 1 = \angolo A"\).

\[(\Large(\text(Teorema di Talete)))\]

Teorema

Se su un lato dell'angolo segniamo segmenti uguali tra loro e disegniamo linee rette parallele attraverso le loro estremità, queste linee rette taglieranno segmenti uguali tra loro sul secondo lato.

Prova

Proviamo prima lemma: Se in \(\triangle OBB_1\) viene tracciata una linea \(a\parallel BB_1\) attraverso il punto medio \(A\) del lato \(OB\) , intersecherà anche il lato \(OB_1\) nel mezzo.

Disegna \(l\OB parallelo\) attraverso il punto \(B_1\) . Sia \(l\cap a=K\) . Allora \(ABB_1K\) è un parallelogramma, quindi \(B_1K=AB=OA\) e \(\angolo A_1KB_1=\angolo ABB_1=\angolo OAA_1\); \(\angolo AA_1O=\angolo KA_1B_1\) come verticale. Quindi, secondo il secondo segno \(\triangolo OAA_1=\triangolo B_1KA_1 \Freccia destra OA_1=A_1B_1\). Il lemma è dimostrato.

Procediamo alla dimostrazione del teorema. Sia \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) e dobbiamo dimostrare che \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

Quindi, in base a questo lemma \(OA_1=A_1B_1\) . Dimostriamo che \(A_1B_1=B_1C_1\) . Disegna una linea attraverso il punto \(B_1\) \(d\parallel OC\) e lascia \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Allora \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) sono parallelogrammi, quindi \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Così, \(\angolo A_1B_1D_1=\angolo C_1B_1D_2\) come verticale, \(\angolo A_1D_1B_1=\angolo C_1D_2B_1\) come giacente trasversalmente, e, quindi, secondo il secondo segno \(\triangolo A_1B_1D_1=\triangolo C_1B_1D_2 \Freccia destra A_1B_1=B_1C_1\).

Teorema di Talete

Le linee parallele tagliano segmenti proporzionali ai lati dell'angolo.

Prova

Lascia le linee parallele \(p\parallelo q\parallelo r\parallelo s\) dividere una delle linee in segmenti \(a, b, c, d\) . Quindi queste linee dovrebbero dividere la seconda retta in segmenti rispettivamente \(ka, kb, kc, kd\), dove \(k\) è un certo numero, lo stesso coefficiente di proporzionalità dei segmenti.

Tracciamo una retta \(p\parallelo OD\) attraverso il punto \(A_1\) (\(ABB_2A_1\) è un parallelogramma, quindi \(AB=A_1B_2\) ). Quindi \(\triangolo OAA_1 \sim \triangolo A_1B_1B_2\) ai due angoli. Quindi, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Freccia destra A_1B_1=kb\).

Allo stesso modo, tracciamo una linea retta attraverso \(B_1\) \(q\parallelo OD \Freccia destra \triangolo OBB_1\sim \triangolo B_1C_1C_2 \Freccia destra B_1C_1=kc\) eccetera.

\[(\Large(\text(Linea mediana del triangolo)))\]

Definizione

La linea mediana di un triangolo è un segmento di linea che collega i punti medi di due lati qualsiasi del triangolo.

Teorema

La linea mediana del triangolo è parallela al terzo lato e uguale alla metà di esso.

Prova

1) Il parallelismo della linea mediana alla base segue da quanto sopra lemmi.

2) Dimostriamo che \(MN=\dfrac12 AC\) .

Disegna una linea attraverso il punto \(N\) parallelo a \(AB\) . Lascia che questa linea intersechi il lato \(AC\) nel punto \(K\) . Allora \(AMNK\) è un parallelogramma ( \(AM\NK parallelo, MN\AK parallelo\) al punto precedente). Quindi \(MN=AK\) .

Perché \(NK\parallel AB\) e \(N\) è il punto medio di \(BC\) , quindi per il teorema di Thales, \(K\) è il punto medio di \(AC\) . Pertanto, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Conseguenza

La linea mediana del triangolo taglia un triangolo simile a quello dato con il coefficiente \(\frac12\) .