FUNZIONI INFINITAMENTE PICCOLE E LORO PRINCIPALI PROPRIETÀ

Funzione y=f(x) chiamato infinitesimale a x→a o quando X→∞ se o , cioè infinitamente piccola funzioneè una funzione il cui limite in un dato punto è uguale a zero.

Esempi.

Stabiliamo la seguente importante relazione:

Teorema. Se la funzione y=f(x) rappresentabile a x→a come somma di un numero costante b e infinitamente piccolo α(x): f(x)=b+ α(x) poi .

Al contrario, se , allora f(x)=b+α(x), dove ascia)è infinitamente piccolo a x→a.

Prova.

Consideriamo le principali proprietà delle funzioni infinitesimali.

Teorema 1. La somma algebrica di due, tre e in generale qualsiasi numero finito di infinitesimi è una funzione infinitesimale.

Prova. Diamo una dimostrazione per due termini. Permettere f(x)=α(x)+β(x), dove e . Dobbiamo dimostrare che per ε arbitrariamente piccolo > 0 lì δ> 0, tale che per X soddisfacendo la disuguaglianza |x – a|<δ , eseguita |f(x)|< ε.

Quindi sistemiamo numero arbitrario ε > 0. Poiché, secondo l'ipotesi del teorema, a(x)è una funzione infinitesima, allora esiste δ 1 > 0, che a |x – a|< δ 1 abbiamo |α(x)|< ε / 2. Allo stesso modo, poiché β(x)è infinitesimale, allora esiste un tale δ 2 > 0, che a |x – a|< δ 2 abbiamo | β(x)|< ε / 2.

Prendiamo δ=min(δ1 , d2 } .Poi in un quartiere del punto un raggio δ ciascuna delle disuguaglianze sarà soddisfatta |α(x)|< ε / 2 e | β(x)|< ε / 2. Pertanto, in questo quartiere ci sarà

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

quelli. |f(x)|< ε, che doveva essere dimostrato.

Teorema 2. Prodotto di una funzione infinitesimale ascia) per funzione limitata f(x) a x→a(o quando x→∞) è una funzione infinitesimale.

Prova. Poiché la funzione f(x)è limitato, allora c'è un numero M tale che per tutti i valori X da qualche quartiere del punto a|f(x)|≤M. Inoltre, poiché ascia)è una funzione infinitesima per x→a, quindi per ε arbitrario > 0 c'è un intorno del punto un, in cui la disuguaglianza |α(x)|< ε /M. Quindi nel più piccolo di questi quartieri abbiamo | αf|< ε /M= e. E questo significa che af- infinitamente piccolo. Per l'occasione x→∞ la dimostrazione si svolge in modo analogo.

Dal teorema dimostrato segue:

Conseguenza 1. Se e , allora .

Conseguenza 2. Se e c= const, allora .

Teorema 3. Rapporto di una funzione infinitesimale a(x) per funzione f(x), il cui limite è diverso da zero, è una funzione infinitesimale.

Prova. Permettere . Poi 1 /f(x) c'è funzione limitata. Pertanto, la frazione è il prodotto di una funzione infinitesima e di una funzione limitata, cioè funzione è infinitesimale.

RELAZIONE TRA FUNZIONI INFINITAMENTE PICCOLE E INFINITAMENTE GRANDI

Teorema 1. Se la funzione f(x)è infinitamente grande a x→a, quindi funzione 1 /f(x)è infinitamente piccolo a x→a.

Prova. Prendi un numero arbitrario ε >0 e mostralo ad alcuni δ>0 (a seconda di ε) per tutti X, per cui |x – a|<δ , la disuguaglianza è soddisfatta, e questo significa che 1/f(x)è una funzione infinitesimale. Infatti, da allora f(x)è una funzione infinitamente grande per x→a, allora c'è δ>0 tale che non appena |x – a|<δ , quindi | f(x)|> 1/ ε. Ma poi per lo stesso X.

Esempi.

Si può dimostrare anche il teorema inverso.

Teorema 2. Se la funzione f(x)- infinitamente piccolo a x→a(o x→∞) e non svanisce, quindi e= 1/f(x)è una funzione infinita.

Dimostra tu stesso il teorema.

Esempi.

Pertanto, le proprietà più semplici di funzioni infinitamente piccole e infinitamente grandi possono essere scritte utilizzando le seguenti relazioni condizionali: UN≠ 0

TEOREMI SUI LIMITI

Teorema 1. Il limite della somma algebrica di due, tre e generalmente un certo numero di funzioni è uguale alla somma algebrica dei limiti di queste funzioni, cioè

Prova. Eseguiremo la dimostrazione per due termini, poiché per qualsiasi numero di termini si esegue allo stesso modo. Permettere .Quindi f(x)=b+α(x) e g(x)=c+β(x), dove α e β sono funzioni infinitesimali. Di conseguenza,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Perché b+cè una costante e α(x) + β(x)è una funzione infinitesimale, allora

Esempio. .

Teorema 2. Il limite del prodotto di due, tre e in generale un numero finito di funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni:

Prova. Permettere . Di conseguenza, f(x)=b+α(x) e g(x)=c+β(x) e

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Opera avanti Cristoè un valore costante. Funzione bβ + cα + αβ in base alle proprietà delle funzioni infinitesimali, esiste una quantità infinitesima. Ecco perchè .

Conseguenza 1. Il fattore costante può essere tolto dal segno limite:

.

Conseguenza 2. Il limite del grado è uguale al grado del limite:

.

Esempio..

Teorema 3. Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti di queste funzioni se il limite del denominatore è diverso da zero, cioè

.

Prova. Permettere . Di conseguenza, f(x)=b+α(x) e g(x)=c+β(x), dove α, β sono infinitamente piccoli. Considera il quoziente

Una frazione è una funzione infinitesimale perché il numeratore è una funzione infinitesimale e il denominatore ha un limite c2 ≠0.

Esempi.

Teorema 4. Si diano tre funzioni f(x), u(x) e v(x), soddisfacendo le disuguaglianze u (x)≤f(x)≤v(x). Se funzioni u(x) e v(x) hanno lo stesso limite x→a(o x→∞), quindi la funzione f(x) tende allo stesso limite, cioè Se

, poi .

Il significato di questo teorema è chiaro dalla figura.

La dimostrazione del Teorema 4 può essere trovata, ad esempio, nel libro di testo: Piskunov N. S. Calcolo differenziale e integrale, volume 1 - M.: Nauka, 1985.

Teorema 5. Se alle x→a(o x→∞) funzione y=f(x) assume valori non negativi y≥0 e tende al limite b, allora questo limite non può essere negativo: b≥0.

Prova. La dimostrazione sarà svolta per assurdo. Facciamo finta che b<0 , poi |y – b|≥|b| e, quindi, il modulo della differenza non tende a zero a x→a. Ma allora si non va al limite b a x→a, che contraddice la condizione del teorema.

Teorema 6. Se due funzioni f(x) e g(x) per tutti i valori dell'argomento X soddisfare la disuguaglianza f(x)≥g(x) e abbiamo dei limiti, allora abbiamo la disuguaglianza b≥c.

Prova. Secondo il teorema f(x)-g(x) ≥0, quindi, per il Teorema 5 , o .

LIMITI UNIVERSALI

Finora abbiamo considerato la definizione del limite di una funzione quando x→a arbitrariamente, cioè il limite della funzione non dipendeva da come il X verso qualcosa un, a sinistra oa destra di un. Tuttavia, è abbastanza comune trovare funzioni che non hanno limiti in questa condizione, ma hanno un limite se x→a, rimanendo su un lato di un, sinistra o destra (vedi fig.). Pertanto, viene introdotto il concetto di limiti unilaterali.

Se una f(x) tende al limite b a X cercando un certo numero un Così X accetta solo valori inferiori a un, quindi scrivi e chiama blimite della funzione f(x) nel punto a a sinistra.

La funzione è chiamata infinitamente piccolo a
o quando
, Se
o
.

Ad esempio: funzione
infinitesimale a
; funzione
infinitesimale a
.

Osservazione 1. Nessuna funzione senza specificare la direzione del cambiamento dell'argomento può essere definita infinitesimale. Sì, la funzione
a
è infinitesimale, e
non è più infinitesimale
).

Osservazione 2. Dalla definizione del limite di una funzione in un punto, per funzioni infinitesimali, la disuguaglianza
Useremo ripetutamente questo fatto in quanto segue.

Impostare alcuni importanti proprietà delle funzioni infinitesimali.

Teorema (sulla relazione tra una funzione, il suo limite e uno infinitesimale): Se la funzione
può essere rappresentato come la somma di un numero costante MA e una funzione infinitesimale
a
, quindi il numero

Prova:

Dalle condizioni del teorema segue che la funzione
.

Esprimere da qui
:
. Poiché la funzione
infinitesimale, soddisfa la disuguaglianza
, allora per l'espressione (
) soddisfa anche la disuguaglianza

E questo significa che
.

Teorema (inverso): se
, quindi la funzione
può essere rappresentato come la somma di un numero MA e infinitamente piccolo a
funzioni
, cioè.
.

Prova:

Perché
, quindi per
la disuguaglianza
(*) Consideriamo la funzione
come singola e riscrivi la disuguaglianza (*) nella forma

Dall'ultima disuguaglianza segue che la quantità (
) è infinitesimo a
. Indichiamolo
.

Dove
. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 1 . La somma algebrica di un numero finito di funzioni infinitamente piccole è una funzione infinitamente piccola.

Prova:

Facciamo la dimostrazione per due termini, poiché per ogni numero finito di termini si dà in modo analogo.

Permettere
e
infinitesimale a
funzioni e
è la somma di queste funzioni. Dimostriamolo per
, c'è tale
che per tutti X soddisfacendo la disuguaglianza
, la disuguaglianza
.

Poiché la funzione
funzione infinitesimale,
che per tutti
la disuguaglianza
.

Poiché la funzione
funzione infinitesimale,
, e quindi c'è che per tutti
la disuguaglianza
.

Prendiamo uguale al numero più piccolo e , poi dentro –vicinanza del punto un le disuguaglianze saranno soddisfatte
,
.

Comporre un modulo funzione
e valutarne il valore.

Questo è
, allora la funzione è infinitesimale, il che doveva essere dimostrato.

Teorema 2. Prodotto di una funzione infinitesimale
a
per funzione limitata
è una funzione infinitesimale.

Prova:

Poiché la funzione
limitato, allora esiste un numero positivo
che per tutti la disuguaglianza
.

Poiché la funzione
infinitesimale a
, allora esiste -vicinanza del punto che per tutti il loro vicinato soddisfa la disuguaglianza
.

Considera la funzione
e valutarne il modulo

Così
, poi
- infinitamente piccolo.

Il teorema è stato dimostrato.

Teoremi limite.

Teorema 1. Il limite della somma algebrica di un numero finito di funzioni è uguale alla somma algebrica dei limiti di queste funzioni

Prova:

Per dimostrarlo basta considerare due funzioni, il che non viola la generalità del ragionamento.

Permettere
,
.

Secondo il teorema sulla connessione tra una funzione, il suo limite e una funzione infinitamente piccola
e
può essere rappresentato come
dove
e
sono infinitamente piccoli a
.

Troviamo la somma delle funzioni
e

Valore
è un valore costante
è una quantità infinitesima. Quindi la funzione
rappresentata come somma di un valore costante e di una funzione infinitesimale.

Poi il numero
è il limite della funzione
, cioè.

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2 . Il limite di un prodotto di un numero finito di funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni

Prova:

Senza violare la generalità del ragionamento, dimostriamo per due funzioni
e
.

Lascia allora
,

Troviamo il prodotto di funzioni
e

Valore
è un valore costante, una funzione infinitamente piccola. Pertanto, il numero
è il limite della funzione
, cioè l'uguaglianza

Conseguenza:
.

Teorema 3. Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti di queste funzioni se il limite del denominatore è diverso da zero

.

Dimostrazione: Let
,

Quindi
,
.

Troviamo un privato ed eseguire alcune trasformazioni identiche su di esso

Valore costante, frazione
infinitamente piccolo. Pertanto, la funzione rappresentata come somma di un numero costante e di una funzione infinitesimale.

Quindi
.

Commento. I teoremi 1-3 sono dimostrati per il caso
. Tuttavia, possono essere applicabili a
, poiché la dimostrazione dei teoremi in questo caso si svolge in modo analogo.

Per esempio. Trova limiti:

Il primo e il secondo meraviglioso limite.

Funzione non definito a
. Tuttavia, esistono i suoi valori in prossimità del punto zero. Pertanto, possiamo considerare il limite di questa funzione a
. Questo limite è chiamato primo meraviglioso limite .

Sembra:
.

Per esempio . Trova i limiti: 1.
. designare
, Se
, poi
.
; 2.
. Trasformiamo questa espressione in modo che il limite sia ridotto al primo limite notevole.
; 3..

Consideriamo una variabile della forma
, in cui prende i valori dei numeri naturali in ordine crescente. Diamo valori diversi: se

Dando i valori successivi dall'insieme
, è facile vedere che l'espressione
a
sarà
. Inoltre, è dimostrato che
ha un limite. Questo limite è indicato dalla lettera :
.

Numero irrazionale:
.

Consideriamo ora il limite della funzione
a
. Questo limite è chiamato secondo limite notevole

Sembra
.

Per esempio.

un)
. Espressione
sostituire il prodotto fattori identici
, applicare il teorema del prodotto limite e il secondo limite notevole; b)
. Mettiamo
, poi
,
.

Il secondo limite notevole è utilizzato in problema del calcolo dell'interesse continuo

Quando si calcola il reddito in contanti sui depositi, viene spesso utilizzata la formula dell'interesse composto, che assomiglia a:

,

dove - investimento iniziale

- interessi bancari annuali,

- il numero di pagamenti di interessi all'anno,

- tempo, in anni.

Tuttavia, negli studi teorici, quando si giustificano le decisioni di investimento, viene spesso utilizzata la formula della legge di crescita esponenziale (esponenziale)

.

La formula della legge esponenziale della crescita si ottiene applicando il secondo limite notevole alla formula dell'interesse composto

Continuità delle funzioni.

Considera la funzione
definito ad un certo punto e alcuni dintorni del punto . Lascia che nel punto specificato la funzione abbia il valore
.

Definizione 1. Funzione
chiamato continuo in un punto , se è definito in un intorno di un punto, compreso il punto stesso e
.

La definizione di continuità può essere formulata diversamente.

Lascia la funzione
definito per un certo valore ,
. Se l'argomento incremento
, quindi la funzione verrà incrementata

Sia la funzione in un punto continuo (secondo la prima definizione della continuità di una funzione in un punto),

Cioè, se la funzione è continua in un punto , quindi un incremento infinitesimale dell'argomento
a questo punto corrisponde un incremento infinitesimale della funzione.

Vale anche la proposizione inversa: se ad un incremento infinitesimo dell'argomento corrisponde un incremento infinitesimo della funzione, allora la funzione è continua.

Definizione 2. Funzione
è detto continuo
(al punto ) se è definito a questo punto e alcuni dei suoi dintorni e se
.

Tenendo conto della prima e della seconda definizione della continuità di una funzione in un punto, possiamo ottenere la seguente affermazione:

o
, ma
, poi
.

Pertanto, per trovare il limite di una funzione continua a
abbastanza nell'espressione analitica della funzione invece che dell'argomento sostituirne il valore .

Definizione 3. Viene chiamata una funzione continua in ogni punto di un dominio continuo in questa regione.

Per esempio:

Esempio 1. Dimostrare che la funzione
è continua in tutti i punti del dominio di definizione.

Usiamo la seconda definizione della continuità di una funzione in un punto. Per fare ciò, prendi qualsiasi valore dell'argomento e dargli un incremento
. Troviamo il corrispondente incremento della funzione

Esempio 2. Dimostrare che la funzione
continuo in tutti i punti da
.

Diamo un argomento incremento
, quindi la funzione verrà incrementata

Troviamo dalla funzione
, che è limitato.

Allo stesso modo, si può dimostrare che tutte le funzioni elementari di base sono continue in tutti i punti del loro dominio di definizione, cioè il dominio di definizione di una funzione elementare coincide con il suo dominio di continuità.

Definizione 4. Se la funzione
è continua in ogni punto di un certo intervallo
, allora si dice che la funzione è continua su questo intervallo.

def.: La funzione è chiamata infinitesimale a, se .

Nella notazione " ", lo assumeremo x0 può assumere come valore finale: x0= Cost, e infinito: x0= ∞.

Proprietà delle funzioni infinitesimali:

1) La somma algebrica di un numero finito di infinitamente piccolo per funzioni è infinitamente piccolo per una funzione.

2) Il prodotto di un numero finito di funzioni for infinitamente piccole è una funzione for infinitamente piccola.

3) Il prodotto di una funzione limitata e di una funzione infinitesimale è una funzione infinitesimale.

4) Il quoziente della divisione di un infinitamente piccolo in una funzione per una funzione il cui limite è diverso da zero è un infinitamente piccolo in una funzione.

Esempio: Funzione si = 2 + Xè infinitesimale in , perché .

def.: La funzione è chiamata infinitamente grande a, se .

Proprietà di funzioni infinitamente grandi:

1) La somma di infinitamente grande per le funzioni è infinitamente grande per una funzione.

2) Il prodotto di un infinitamente grande per una funzione per una funzione il cui limite è diverso da zero è un infinitamente grande per una funzione.

3) La somma di una funzione infinitamente grande e di una funzione limitata è una funzione infinitamente grande.

4) Il quoziente della divisione di un infinitamente grande per una funzione per una funzione che ha un limite finito è un infinitamente grande per una funzione.

Esempio: Funzione si= è infinitamente grande per , perché .

Teorema.Relazione tra quantità infinitesimali e infinitamente grandi. Se una funzione è infinitesimale in , allora la funzione è infinitamente grande in . Al contrario, se una funzione è infinitamente grande in , allora la funzione è infinitamente piccola in .

Il rapporto tra due infinitesimi è solitamente indicato dal simbolo, due infinitamente grandi - dal simbolo. Entrambe le relazioni sono indefinite nel senso che il loro limite può esistere o meno, essere uguale a un certo numero o essere infinito, a seconda del tipo di funzioni specifiche incluse nelle espressioni indefinite.

Oltre agli indeterminati della forma e all'indefinito ci sono le seguenti espressioni:

Differenza di infinitamente grandi dello stesso segno;

Il prodotto di un infinitesimo per un infinitamente grande;

Una funzione di potenza esponenziale, la cui base tende a 1 e l'indicatore - a;

Una funzione di potenza esponenziale, la cui base è infinitesimale e l'esponente è infinitamente grande;

Una funzione esponenziale la cui base ed esponente sono infinitesimali;

Una funzione esponenziale la cui base è infinitamente grande e il cui esponente è infinitamente piccolo.

Si dice che ci sia un'incertezza del tipo corrispondente. Il calcolo del limite è chiamato in questi casi rivelazione dell'incertezza. Per rivelare l'incertezza, l'espressione sotto il segno limite viene convertita in una forma che non contiene incertezza.

Quando si calcolano i limiti, vengono utilizzate le proprietà dei limiti, nonché le proprietà delle funzioni infinitesimali e infinitamente grandi.

Considera esempi di calcoli di vari limiti.

1) . 2) .

4) , perché il prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata è infinitamente piccolo.

5) . 6) .

7) = =

. In questo caso, c'era un'indeterminatezza di tipo, che è stata risolta fattorizzando i polinomi e riducendo di un fattore comune.

= .

In questo caso si è verificata un'indeterminatezza di tipo , che è stata risolta moltiplicando il numeratore e il denominatore per l'espressione , utilizzando la formula , e quindi riducendo la frazione per (+1).

9)
. In questo esempio, l'incertezza del tipo è stata rivelata dalla divisione termine per termine del numeratore e del denominatore della frazione per il grado più alto.

Limiti notevoli

Primo meraviglioso limite : .

Prova. Considera un cerchio unitario (Fig. 3).

Fig.3. cerchio unitario

Permettere Xè la misura in radianti dell'angolo al centro MOA(), poi O.A = R= 1, MK= peccato X, A= tg X. Confronto tra le aree dei triangoli OMA, OTA e settori OMA, noi abbiamo:

,

.

Dividi l'ultima disuguaglianza per il peccato X, noi abbiamo:

.

Poiché per , quindi per la proprietà 5) dei limiti

Donde e il reciproco di at , che doveva essere dimostrato.

Commento: Se la funzione è infinitesimale in , cioè , allora il primo limite notevole ha la forma:

.

Considera esempi di calcoli limite utilizzando il primo limite notevole.

Nel calcolare questo limite, è stata utilizzata la formula trigonometrica: .

.

Considera esempi di calcoli limite utilizzando il secondo limite notevole.

2) .

3) . C'è un'ambiguità di tipo. Facciamo una sostituzione, allora ; a .

Data la definizione all'infinito grande sequenza. Vengono considerati i concetti di intorni di punti infinitamente distanti. Viene data una definizione universale del limite di una successione, che si applica sia ai limiti finiti che a quelli infiniti. Vengono considerati esempi di applicazione della definizione di una sequenza infinitamente grande.

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Guarda anche: Determinazione del limite di una successione

Definizione

Sotto sequenza (βn) si chiama successione infinita, se per qualsiasi numero arbitrariamente grande M , esiste tale numero naturale N M dipendente da M tale che per tutti gli interi positivi n > N M la disuguaglianza
|β n | >M.
In questo caso, scrivi
.
O a .
Dicono che tende all'infinito, o converge all'infinito.

Se , partendo da un numero N 0 , poi
( converge a più infinito).
Se poi
( converge a meno infinito).

Scriviamo queste definizioni usando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità:
(1) .
(2) .
(3) .

Le successioni con limiti (2) e (3) sono casi speciali di una successione infinitamente grande (1). Da queste definizioni segue che se il limite di una sequenza è più o meno infinito, allora è anche uguale a infinito:
.
Il contrario, ovviamente, non è vero. I membri della sequenza possono avere caratteri alternati. In questo caso il limite può essere uguale all'infinito, ma senza segno definito.

Si noti inoltre che se una certa proprietà vale per una successione arbitraria con un limite pari a infinito, allora la stessa proprietà vale per una successione il cui limite è più o meno infinito.

In molti manuali di calcolo, la definizione di sequenza infinitamente grande afferma che il numero M è positivo: M > 0 . Tuttavia, questo requisito è ridondante. Se viene annullato, non sorgono contraddizioni. Solo valori piccoli o negativi non ci interessano. Siamo interessati al comportamento della sequenza per valori positivi arbitrariamente grandi di M . Pertanto, se si presenta la necessità, allora M può essere limitato dal basso da un dato numero a, cioè supporre che M > a.

Quando abbiamo definito ε - l'intorno del punto finale, allora il requisito ε > 0 è un importante. In valori negativi, la disuguaglianza non può valere affatto.

Intorni di punti all'infinito

Quando abbiamo considerato i limiti finiti, abbiamo introdotto il concetto di un intorno di un punto. Ricorda che l'intorno di un punto finale è un intervallo aperto che contiene questo punto. Possiamo anche introdurre il concetto di intorni di punti all'infinito.

Sia M un numero arbitrario.
L'intorno del punto "infinito", , è chiamato insieme .
L'intorno del punto "più infinito", , è chiamato insieme .
L'intorno del punto "meno infinito", , è chiamato insieme .

A rigor di termini, l'intorno del punto "infinito" è l'insieme
(4) ,
dove m 1 e m 2 sono numeri positivi arbitrari. Useremo la prima definizione, , perché è più semplice. Tuttavia, tutto quanto detto di seguito è vero anche quando si utilizza la definizione (4).

Possiamo ora dare una definizione unificata del limite di una successione che si applica sia ai limiti finiti che a quelli infiniti.

Definizione universale di limite di sequenza.
Un punto a (finito o all'infinito) è il limite di una successione se per ogni intorno di questo punto esiste un numero naturale N tale che tutti gli elementi della successione con numeri appartengono a questo intorno.

Quindi, se il limite esiste, allora al di fuori dell'intorno del punto a può esserci solo un numero finito di membri della successione, o un insieme vuoto. Questa condizione è necessaria e sufficiente. La dimostrazione di questa proprietà è esattamente la stessa che per i limiti finiti.

Proprietà di vicinato di una successione convergente
Affinché il punto a (finito o all'infinito) sia il limite della successione è necessario e sufficiente che al di fuori di ogni intorno di questo punto ci sia un numero finito di membri della successione o un insieme vuoto.
Prova .

Inoltre, a volte vengono introdotti i concetti di ε - quartieri di punti infinitamente distanti.
Ricordiamo che l'intorno ε dell'estremo a è l'insieme.
Introduciamo la seguente notazione. Let denota ε - vicinato di un punto a . Quindi per il punto finale,
.
Per punti all'infinito:
;
;
.
Usando i concetti di ε - vicinanze, si può dare un'altra definizione universale del limite di una successione:

Un punto a (finito o all'infinito) è il limite di una successione se per qualsiasi numero positivo ε > 0 esiste un numero naturale N ε dipendente da ε tale che per tutti i numeri n > N ε i termini x n appartengono all'intorno ε del punto a :
.

Usando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, questa definizione può essere scritta come segue:
.

Esempi di successioni infinitamente grandi

Esempio 1

.

.
Scriviamo la definizione di una successione infinitamente grande:
(1) .
Nel nostro caso
.

Introduciamo i numeri e , collegandoli con le disuguaglianze:
.
Secondo le proprietà delle disuguaglianze , se e , allora
.
Si noti che quando questa disuguaglianza vale per qualsiasi n . Quindi puoi scegliere in questo modo:
a ;
a .

Quindi, per chiunque può trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza . Poi per tutti
.
Significa che . Cioè, la sequenza è infinitamente grande.

Esempio 2

Usando la definizione di sequenza infinitamente grande, dimostralo
.

(2) .
Il termine comune della sequenza data ha la forma:
.

Inserisci i numeri e:
.
.

Allora per ognuno può trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza , così che per tutti ,
.
Significa che .

.

Esempio 3

Usando la definizione di sequenza infinitamente grande, dimostralo
.

Scriviamo la definizione del limite di una successione uguale a meno infinito:
(3) .
Il termine comune della sequenza data ha la forma:
.

Inserisci i numeri e:
.
Questo dimostra che if e , then
.

Poiché per chiunque può trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza , allora
.

Dato , come N, puoi prendere qualsiasi numero naturale che soddisfi la seguente disuguaglianza:
.

Esempio 4

Usando la definizione di sequenza infinitamente grande, dimostralo
.

Scriviamo il termine comune della sequenza:
.
Scriviamo la definizione del limite di una successione uguale a più infinito:
(2) .

Poiché n è un numero naturale, n = 1, 2, 3, ... , poi
;
;
.

Introduciamo i numeri e M , mettendoli in relazione con le disuguaglianze:
.
Questo dimostra che if e , then
.

Quindi, per ogni numero M, puoi trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza . Poi per tutti
.
Significa che .

Riferimenti:
LD Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.
CENTIMETRO. Nikolsky. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.

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