Un gruppo O è detto ciclico se tutti i suoi elementi sono potenze dello stesso elemento.Questo elemento è chiamato generatore del gruppo ciclico O. Qualsiasi gruppo ciclico è ovviamente abeliano.

Un gruppo ciclico è, ad esempio, il gruppo di interi per addizione. Indicheremo questo gruppo con il simbolo 2. La sua generatrice è il numero 1 (e anche il numero - 1). Un gruppo ciclico è anche un gruppo costituito da un solo elemento (uno).

In un gruppo arbitrario O, le potenze di qualsiasi elemento g formano un sottogruppo ciclico con generatore g. L'ordine di questo sottogruppo coincide ovviamente con l'ordine dell'elemento g. Da qui, in virtù del teorema di Lagrange (vedi p. 32), ne consegue che l'ordine di ogni elemento del gruppo divide l'ordine del gruppo (si noti che tutti gli elementi gruppo finito sono elementi di ordine finito).

Pertanto, per ogni elemento g di un gruppo di ordine finito, l'uguaglianza

Questa semplice osservazione è spesso utile.

Infatti, se il gruppo O è ciclico e il suo generatore, allora l'ordine dell'elemento è . Viceversa, se il gruppo O ha un elemento di ordine, allora tra le potenze di questo elemento ce ne sono di diverse, e quindi questi gradi esauriscono l'intero gruppo O.

Vediamo, quindi, che un gruppo ciclico può avere diversi generatori (ovvero, qualsiasi elemento dell'ordine è un generatore).

Un compito. Dimostralo qualsiasi gruppo ordine sempliceè un gruppo ciclico.

Un compito. Dimostra che il gruppo ciclico di ordine ha esattamente dei generatori, dove è il numero numeri positivi, più piccolo e coprimi con .

Insieme all'ordine, a qualsiasi gruppo finito può essere assegnato un numero, il minimo comune multiplo degli ordini di tutti i suoi elementi.

Un compito. Dimostra che per ogni gruppo finito O il numero divide l'ordine del gruppo.

Ovviamente, per un gruppo ciclico, il numero coincide con l'ordine. In genere non è vero il contrario. Tuttavia, vale la seguente affermazione, che caratterizza i gruppi ciclici nella classe dei gruppi abeliani finiti:

un gruppo abeliano finito O per il quale il numero è uguale al suo ordine è un gruppo ciclico.

Infatti, lasciate

Gli ordini di tutti i possibili elementi non uno di un gruppo abeliano finito O sono di ordine , e sia il loro multiplo minimo comune.

Espandiamo il numero in un prodotto di potenze di vari numeri primi:

Sia poiché un numero è, per definizione, il minimo comune multiplo dei numeri (1), tra questi numeri esiste almeno un numero divisibile esattamente per ie, avente la forma , dove b è coprima con . Sia questo numero l'ordine dell'elemento g. Quindi l'elemento ha un ordine (vedi Corollario 1) a p. 29).

Quindi, per ogni elemento del gruppo O c'è almeno un elemento dell'ordine. Scegliendo uno di questi elementi per ciascuno, considera il loro prodotto. Secondo l'affermazione dimostrata alle pagine 29-30, l'ordine di questo prodotto è uguale al prodotto degli ordini di , cioè è uguale al numero. Poiché l'ultimo numero è uguale a , ciò dimostra che il gruppo O contiene un elemento di ordine n. Pertanto, questo gruppo è un gruppo ciclico.

Sia ora O un gruppo ciclico arbitrario con un generatore e H alcuni dei suoi sottogruppi. Poiché qualsiasi elemento del sottogruppo H è un elemento del gruppo O, può essere rappresentato come , dove d è un numero intero positivo o negativo (in generale, non è definito in modo univoco). Considera l'insieme di tutti i numeri positivi per i quali l'elemento appartiene al sottogruppo H. Poiché questo insieme non è vuoto (perché?), in esso esiste numero più piccolo Si scopre che qualsiasi elemento h del sottogruppo H è un grado dell'elemento. In effetti, per definizione, esiste un numero d tale che (anche il numero d può essere negativo). Dividere (con resto) il numero d per il numero

Poiché , quindi, per la minimalità del numero, il resto deve essere uguale a zero. In questo modo, .

Ciò dimostra che l'elemento è un generatore del gruppo H, cioè che il gruppo H è ciclico. Quindi, qualsiasi sottogruppo di un gruppo ciclico è un gruppo ciclico.

Un compito. Dimostrare che il numero è uguale all'indice del sottogruppo H e, quindi, divide l'ordine del gruppo O (se il gruppo O è finito).

Notiamo anche che per ogni divisore d'ordine di un gruppo ciclico finito Q nel gruppo O esiste uno ed un solo sottogruppo H di ordine (vale a dire, un sottogruppo con generatore

Ciò implica che se un gruppo ciclico finito è semplice, il suo ordine è un numero primo (o uno).

Infine, notiamo che qualsiasi gruppo quoziente, quindi qualsiasi immagine omomorfa) di un gruppo ciclico Q è un gruppo ciclico.

Per la dimostrazione basti notare che il generatore del gruppo è il coset contenente il generatore del gruppo O.

In particolare, qualsiasi gruppo di fattori del gruppo di interi Z è un gruppo ciclico. Studiamo più in dettaglio questi gruppi ciclici.

Poiché il gruppo Z è abeliano, qualsiasi suo sottogruppo R è un normale divisore. D'altra parte, secondo quanto sopra dimostrato, il sottogruppo H è un gruppo ciclico. Poiché ci sono noti gruppi quozienti per sottogruppi banali, possiamo considerare il sottogruppo Η non banale. Sia un numero un generatore del sottogruppo H. Possiamo considerare questo numero positivo (perché?) e, quindi, maggiore di uno.

Il sottogruppo H. è ovviamente costituito da tutti gli interi divisibili per . Pertanto, due numeri appartengono allo stesso coset rispetto al sottogruppo H se e solo se la loro differenza è divisibile per , cioè quando sono comparabili in modulo (vedi Corso, p. 277). Pertanto, i cosetti rispetto al sottogruppo H non sono altro che le classi di numeri che sono confrontabili modulo .

In altre parole, il gruppo fattoriale del gruppo Z rispetto al sottogruppo H è un gruppo (per addizione) di classi di numeri confrontabili modulo . Indicheremo questo gruppo con il suo generatore è la classe contenente il numero 1.

Si scopre che qualsiasi gruppo ciclico è isomorfo al gruppo Z (se è infinito) oa uno dei gruppi (se il suo ordine è finito).

Sia infatti un generatore del gruppo O. Definiamo una mappatura del gruppo 2 nel gruppo O per impostazione

Definizione 1.22. Lascia stare R- Numero primo. Gruppo G chiamata gruppo p, se l'ordine di un qualsiasi elemento del gruppo è uguale a una potenza di un numero primo R.

Definizione 1.23. Sylow p-sottogruppo gruppo finito G viene chiamato un sottogruppo p di questo gruppo che non è contenuto in un sottogruppo p più grande del gruppo dato.

Teorema 1.25. Un gruppo abeliano finito è uguale al prodotto diretto dei suoi p-sottogruppi di Sylow.

Prova. Si consideri un gruppo abeliano finito G ordina n e lascia n = R" ! p 2 2 p*1 k - espansione del numero P nel prodotto di potenze di vari numeri primi. Per 1, 2,..., a indichiamo con λ, il sottogruppo Sylow rg, e con λ, il sottogruppo generato da tutte le λ; per; * io.È facile dimostrare che I, n I, = (e). Pertanto, I \u003d (H 1, H 2, ..., H a) \u003d H 1 xH 2 x ... xH a. Supponiamo che esista un elemento g e G, tale che g g H. Per il Corollario 2 del teorema di Lagrange, |G| : |g|. Quindi ne consegue che

|g| = pf "pjf 2 pk k > g D e Pi - un io Per ogni i = 1, 2, a. Per un corollario del Teorema 1.23, ci sono elementi g 1; g2, ..., gk e G, tale che = x x... x (g k) e | g,-1 = pf 1 per i = 1, 2, ..., /s. Se assumiamo che g, g R, per qualche r, otteniamo un p,-sottogruppo (gi, IO,) F I, che contraddice la definizione di Sylow p,-sottogruppo. Quindi, per ogni i = 1, 2,..., /eg, e e vengo da dove g e H. Di conseguenza, H = G e il teorema è dimostrato.

Teorema 1.26. Un p-gruppo abeliano finito è uguale al prodotto diretto di sottogruppi ciclici.

Prova. Sia dato un p-gruppo abeliano finito G. Selezioniamo un elemento ma di ordine massimo p“, e sia H un sottogruppo massimale tale che (a) n H = (e). Allora (a, R) = (a) x R. Indichiamo Gj = (a) x R.

Facciamo finta che G F G y Tra tutti gli elementi non appartenenti a G x , scegliamo un elemento g di ordine minimo pP. Se assumiamo che gPg GB poi da |gp| = pP- 1 , si arriva ad una contraddizione con la scelta dell'elemento g. Pertanto, gP e G x = (a) x I e ci sono un intero /ce un elemento h e I, tale che gP = a fc /i. Da qui un k= mo/i -1 . Se gcd(/c, p) = 1, allora gcd(/c, p°9 = 1 e ci sono numeri interi u, v tali che /u + p un v = 1. Allora

A causa del massimo | | a = p a abbiamo gP" = e ed e Lontano“ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u P a~1=/i _u p““ 1 e R, che contraddice la condizione (a) p R = (e). Pertanto, /s: r.

Lascia stare a= r/s x. Poi aP fc i \u003d a k \u003d g Ph ~ 1, dove h = a~P k igP == (a _fc ig)P. Denota gj=a _/c ig. Poi gf -heH. Supponendo che gj =ar fc "geG] \u003d (a) xH, quindi g e G x , che contraddice la scelta dell'elemento g. Pertanto, g x g G x , e quindi gj g I. Poiché I è il sottogruppo massimale con la condizione (ma) n I = (e), quindi (a) n (g x , I) ^ (e). Pertanto, ci sono t, pag e Z e l'elemento hj e i tale che e * a= gf

Se lo assumiamo n:r,top=rp 1 a un certo n, eZ ed e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, che contraddice la condizione (a) n I = = (e). Pertanto, gcd(p, p) = 1 Hgf =am /if 1 . Se |g x | =pY, quindi gcd(n, p'0 = 1 e ci sono u x , v x g Z, tale che gsh x -t-pYv x = 1. Quindi g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i Siamo di nuovo giunti a una contraddizione. Quindi, resta da accettare G - (a) x I. Ora, nel sottogruppo I, individuiamo similmente con un fattore diretto il sottogruppo ciclico di massimale in h ordine, ecc., fino ad ottenere la scomposizione del gruppo G in un prodotto diretto di sottogruppi ciclici. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 1.27. Un gruppo abeliano finito è uguale al prodotto diretto di p-sottogruppi ciclici.

La dimostrazione segue dai Teoremi 1.25 e 1.26.

In conclusione del capitolo sui gruppi, notiamo che un gruppo può essere considerato come un insieme con un'operazione binaria, che è associativa, e per qualsiasi elemento ma e Kommersant le equazioni sono risolvibili in modo univoco ax = b uya-b. Questa visione del gruppo porta a due generalizzazioni. Da un lato, ci si può concentrare sullo studio del significato dell'associatività di un'operazione, e questo porta al concetto di semigruppo come insieme con un'operazione associativa (vedi lavoro). D'altra parte, il requisito dell'associatività può essere ignorato, e questo porta al concetto di quasigruppo come insieme con un'operazione binaria, rispetto al quale le equazioni nominate sono risolvibili in modo univoco. Un quasigruppo con identità è chiamato ciclo (vedi il documento). La teoria dei semigruppi e la teoria dei quasigruppi si sono trasformate in due teorie sostanziali che si sviluppano indipendentemente. Non li menzioniamo nel testo principale per ragioni di "massimo minimo possibile".

gruppi finiti

Viene chiamato un gruppo (semigruppo). ultimo se è formato da un numero finito di elementi. Il numero di elementi di un gruppo finito è detto suo al fine. Qualsiasi sottogruppo di un gruppo finito è finito. E se hÍ G– sottogruppo di un gruppo G, quindi per qualsiasi elemento maÎ G molti Sul={X: X=h◦un, per ogni hÎ h) è chiamato classe di adiacenza sinistra per G relativamente h. È chiaro che il numero di elementi in Sul uguale all'ordine h. (Allo stesso modo, si può formulare la definizione un– giusto coset rispetto a h).

È importante che per qualsiasi sottogruppo h gruppi G qualsiasi due cosets a sinistra (a destra) di h coincidono o non si intersecano, quindi qualsiasi gruppo può essere rappresentato come un'unione di cosets disgiunti di sinistra (destra) da h.

Infatti, se due classi N / A e Hb, dove un, BÎ G, hanno un elemento comune X, allora esiste TÎ h tale che X = T◦un. E poi la classe a sinistra per X: H x={y: y=h◦X= h◦(T◦un) = (h◦T)◦un} Í H a, ma un=T ‑1 ◦X e N / A={y: y=h◦un= h◦(T ‑1 ◦X) = (h◦T ‑1)◦X} Í H x. Da qui H x=N / A. Allo stesso modo, lo si può dimostrare H x=H b. E quindi N / A=H b. Se le classi N / A e Hb Non ho elementi comuni, quindi non si intersecano.

Viene chiamata tale partizione di un gruppo in cosets sinistro (destro). scomposizione del gruppo in termini di sottogruppo H.

Teorema 2.6.1. L'ordine di un gruppo finito è divisibile per l'ordine di uno qualsiasi dei suoi sottogruppi.

Prova. Perché Gè un gruppo finito, quindi uno qualsiasi dei suoi sottogruppi h ha un ordine finito. Considera la scomposizione di un gruppo in sottogruppi h. In ogni coset in questa scomposizione, il numero di elementi è lo stesso e uguale all'ordine h. Pertanto, se n- ordine di gruppo G, ma K- ordine di sottogruppo h, poi n=m× K, dove mè il numero di cosets di h nella scomposizione di gruppo G.

Se per qualsiasi elemento unÎ G Þ N / A=un(coset sinistro e destro per sottogruppo h partita), quindi h chiamata divisore normale gruppi G.

Dichiarazione: Se Gè un gruppo commutativo, quindi uno qualsiasi dei suoi sottogruppi hè un normale divisore G.

In vista dell'associatività di un'azione in un gruppo (semigruppo), si può parlare di un “prodotto” di tre elementi ( ma◦B◦C) =(ma◦B)◦C = ma◦(B◦C). La nozione lavoro complesso da n elementi: ma 1 ◦ma 2 ◦…◦un = ◦ un = = ◦.

Lavoro n vengono chiamati elementi identici di un gruppo grado dell'elemento e indicato un=. Questa definizione ha senso per qualsiasi naturale n. Per qualsiasi elemento del gruppo unÎ G designare ma 0 =eè l'elemento neutro del gruppo G. E i poteri negativi di un elemento un ‑ n definito come ( un ‑1)n o ( un) -1 , dove un-1 - elemento inverso a ma. Entrambe le definizioni un ‑ n partita, perché un◦(un ‑1)n = (ma◦ma◦ ¼◦ ma)◦(un ‑1 ◦un-1◦ ¼◦ un ‑1) = ma◦ma◦¼◦( ma◦un ‑1)◦un-1 ◦¼◦ un ‑1 =e n =e. In questo modo, ( un ‑1)n = (un) ‑1 .

In un gruppo additivo, un analogo del grado di un elemento un volere n-multiplo di esso, generalmente indicato n / A, che non deve essere considerato un prodotto n sul ma, nella misura in cui nÎℕ e forse nÏ G. Quella. n / A⇋ dove nнℕ e 0 ma=e⇋0 e (- n)un = ‑(n / A) = n(‑un) per qualsiasi naturale n, dove (- un) è inverso a unÎ G.

È facile mostrarlo con la notazione scelta per qualsiasi numero intero m e n e per qualsiasi unÎ G proprietà note sono soddisfatte: ma) con notazione moltiplicativa un ◦sono = un n + m E ( un)m = un nm; B) con notazione additiva n / A+ma = (n+m)un e n(ma)=(nm)un.

Considera un sottoinsieme del gruppo G, composto da tutti i poteri di un elemento arbitrario GÎ G. Indichiamolo Ag. In questo modo, Ag ={G 0 , G 1 , G ‑1 , G 2 , G-2,¼). Ovviamente, Agè un sottogruppo del gruppo G, perché per qualsiasi elemento X,aÎ Ag segue che ( X◦a)Î Ag, e per qualsiasi elemento XÎ Ag ci sarà X-1 О Ag, Oltretutto, G 0 =eÎ Ag.

Sottogruppo Ag chiamata sottogruppo ciclico gruppi G generato dall'elemento G. Questo sottogruppo è sempre commutativo, anche se è esso stesso G non commutativo. Se il gruppo G coincide con uno dei suoi sottogruppi ciclici, quindi viene chiamato gruppo ciclico generato dall'elemento G.

Se tutte le potenze di un elemento G diverso, quindi il gruppo G chiamata senza fine gruppo ciclico e l'elemento G- elemento ordine infinito.

Se tra gli elementi del gruppo ciclico sono uguali, ad esempio, g k=g m a K>m, poi G km=e; e denotando km attraverso n, noi abbiamo gn=e, nÎℕ.

Meno indicatore naturale n tale che gn=e, è chiamato l'ordine dell'elemento g e l'elemento stesso G chiamata elemento di ordine finito.

Un tale elemento può sempre essere trovato in un gruppo finito, ma può anche essere in un gruppo infinito.

Vengono chiamati i gruppi i cui elementi sono tutti di ordine finito periodico.

Poiché ogni elemento di un gruppo finito ha un ordine finito, tutti i gruppi finiti sono periodici. Inoltre, tutti i sottogruppi ciclici di un gruppo finito sono periodici, poiché sono finiti, e ogni elemento di ordine finito n genera un gruppo ciclico dello stesso ordine n, costituito da elementi ( G 0 , G 1 , G 2,¼, gn-uno ). Infatti, se il numero degli elementi fosse uguale ad alcuni K<n, poi g k=e=gn, il che è contrario alla scelta n, come il minimo grado tale che gn=e; d'altro canto, K>nè anche impossibile, perché in questo caso, ci sarebbero elementi identici.

Dichiarazione: 1) tutti i gradi G 0 , G 1 , G 2,¼, gn-1 sono diversi perché se ci fossero uguali, per esempio, gi=gj (io>J), poi g i-j=e, ma ( io‑J)<n, e per definizione n- il grado più piccolo tale che gn=e.

2) Qualsiasi altra laurea G, positivo o negativo, è uguale a uno degli elementi G 0 , G 1 , G 2,¼, gn-1 perché qualsiasi numero intero K può essere rappresentato dall'espressione: K=nq+R, dove Q,RÎℤ e 0 £ R<n, R- resto e g k=gnq + r= gnq° R= (gn)Q° R= eq° R= R.

1) Ogni gruppo ha un elemento unico del primo ordine ( e) generando un sottogruppo ciclico del primo ordine costituito da un elemento e.

2) Considera il gruppo di permutazione S 3, costituito dagli elementi: , , , , , . Ordine S 3=6. Ordine degli elementi maè uguale a 2, perché . Ordine degli elementi Bè anche uguale a 2, perché . Ordine degli elementi daè uguale a 3, perché E . Ordine degli elementi Fè anche uguale a 3, perché E . E infine l'ordine Dè uguale a 2, perché . Quindi, sottogruppi ciclici S 3 generato da elementi e, un, B, D, C e F, rispettivamente, sono uguali: ( e}, {e, un}, {e, B}, {e, D}, {e, C, F) E ( e, F, C), dove gli ultimi due coincidono. Si noti inoltre che l'ordine di ciascun sottogruppo ciclico divide l'ordine del gruppo senza resto. È vero il seguente teorema.

Teorema 2.7.1. (Lagrange) L'ordine di un gruppo finito è divisibile per l'ordine di uno qualsiasi dei suoi elementi (perché l'ordine di un elemento e l'ordine del sottogruppo ciclico da esso generato coincidono).

Ne consegue anche che ogni elemento di un gruppo finito, quando elevato a un potere dell'ordine del gruppo, dà l'identità del gruppo. (Perché g m=gnk=e k=e, dove m- ordine di gruppo n- ordine degli elementi G, Kè un numero intero).

Ci sono 3 sottogruppi nel gruppo S h={e, C, F) è un divisore normale, mentre i sottogruppi di ordine 2 non sono divisori normali. Questo è facile da controllare trovando i cosets sinistro e destro di h per ogni elemento del gruppo. Ad esempio, per un elemento ma classe di adiacenza sinistra Sul={e ◦ a, da◦ ma, F◦ un} = {ma, B, D) e il coset giusto un={a ◦ e, ma◦ C, ma◦ F} = {ma, D, B) incontro. Allo stesso modo per tutti gli altri elementi S 3 .

3) L'insieme di tutti gli interi con addizione forma un gruppo ciclico infinito con un elemento generatore 1 (o -1), perché qualsiasi numero intero multiplo di 1.

4) Considera l'insieme delle radici n‑° grado dall'unità: E n=. Questo insieme è un gruppo rispetto all'operazione di moltiplicazione delle radici. Infatti, il prodotto di due elementi qualsiasi e k e e m da E n, dove K, m £ n-1 sarà anche un elemento E n, poiché = = , dove R=(k+m) mod n e R £ n-uno; la moltiplicazione è un elemento associativo, neutro e=e 0 =1 e per qualsiasi elemento e k c'è un inverso e . Questo gruppo è ciclico, il suo elemento generatore è la radice primitiva. È facile vedere che tutti i gradi sono diversi: , più avanti per K³ n le radici iniziano a ripresentarsi. Sul piano complesso, le radici si trovano su un cerchio di raggio unitario e lo dividono in n archi uguali, come mostrato nella Figura 11.

Gli ultimi due esempi esauriscono essenzialmente tutti i gruppi ciclici. Poiché è vero il seguente teorema.

Teorema 2.7.2. Tutti i gruppi ciclici infiniti sono isomorfi tra loro. Tutti i gruppi ciclici finiti di ordine n isomorfi tra loro.

Prova. Lascia che sia ( G, ∘) è un gruppo ciclico infinito con generatore G. Poi c'è una mappatura biiettiva F: ℤ ® G tale che per qualsiasi numero intero K e m le loro immagini F(K) E F(m), rispettivamente uguali g k e g m, sono elementi G. E dove F(K+m)=F(K)∘F(m), nella misura in cui g k + m=g k∘ g m.

Lascia ora ( G, ∘) è un gruppo ciclico finito di ordine n con elemento padre G. Poi ogni elemento g kÎ G l'unico modo è abbinare l'elemento e kÎ E n(0£ K<n), secondo la regola F(g k)=e k. Eppure, per qualsiasi g k e g mÎ G segue quello F(g k∘ g m)=F(g k) ∘F(g m), nella misura in cui F(g k∘ g m)=F(g k + m)=F(R), dove R=(K+m) mod n, E F(R)=ehm=e k× e m. È chiaro che tale confronto è una mappatura biiettiva.

• 1. Gruppo Z numeri interi con operazione di addizione.
• 2. Il gruppo di tutte le radici complesse di grado n dall'unità con l'operazione di moltiplicazione. Poiché il numero ciclico è un isomorfismo

il gruppo è ciclico e l'elemento è generatore.

Vediamo che i gruppi ciclici possono essere finiti o infiniti.

3. Sia un gruppo arbitrario e un elemento arbitrario. L'insieme è un gruppo ciclico con generatore g . È chiamato il sottogruppo ciclico generato dall'elemento g e il suo ordine è l'ordine dell'elemento g. Per il teorema di Lagrange, l'ordine di un elemento è un divisore dell'ordine di un gruppo. Schermo

agendo secondo la formula:

è ovviamente un omomorfismo e la sua immagine coincide con . Una mappatura è suriettiva se e solo se il gruppo G- ciclico e G suo elemento costitutivo. In questo caso, chiameremo l'omomorfismo standard per un gruppo ciclico G con la generatrice scelta G.

Applicando il teorema dell'omomorfismo in questo caso, otteniamo un'importante proprietà dei gruppi ciclici: ogni gruppo ciclico è un'immagine omomorfa del gruppo Z .

In qualsiasi gruppo G può essere definito grado elemento con esponenti interi:

C'è una proprietà

Questo è ovvio se . Considera il caso quando . Quindi

Altri casi sono considerati in modo simile.

Da (6) ne segue che

Inoltre, per definizione. Quindi le potenze di un elemento formano un sottogruppo nel gruppo G.È chiamato sottogruppo ciclico generato da un elemento, ed è indicato da .

Sono possibili due casi fondamentalmente diversi: o tutti i gradi di un elemento sono diversi oppure no. Nel primo caso, il sottogruppo è infinito. Consideriamo più in dettaglio il secondo caso.

Lascia stare ,; poi. Il numero naturale più piccolo T, per il quale, in questo caso, è chiamato al fine elemento ed è indicato da .

Suggerimento 1. Se , poi

Prova. 1) Dividere m sul P con il resto:

Quindi, dalla definizione dell'ordine

In virtù del precedente

Conseguenza. Se, il sottogruppo mo contiene n elementi.

Prova. Veramente,

e tutti gli elementi elencati sono diversi.

Se non c'è tale naturale T, che (vale a dire, si verifica il primo dei casi sopra descritti), assumiamo . Notare che; gli ordini di tutti gli altri elementi del gruppo sono maggiori di 1.

In un gruppo additivo, non stanno parlando dei poteri di un elemento , ma di lui multipli, che sono indicati da . In base a ciò, l'ordine dell'elemento del gruppo additivo Gè il numero naturale più piccolo T(se presente) per cui

ESEMPIO 1. La caratteristica di un campo è l'ordine di qualsiasi elemento diverso da zero nel suo gruppo additivo.

ESEMPIO 2. Ovviamente, in un gruppo finito, l'ordine di ogni elemento è finito. Mostriamo come si calcolano gli ordini degli elementi di un gruppo, si chiama una sostituzione ciclo lunghezza ed è indicato da se permuta ciclicamente

e lascia tutti gli altri numeri al loro posto. Ovviamente, l'ordine del ciclo di lunghezza è R. I cicli sono chiamati indipendente se tra i numeri effettivamente da essi riordinati non ve ne sono quelli comuni; in questo caso . Qualsiasi permutazione si decompone in modo univoco in un prodotto di cicli indipendenti. Per esempio,

che è chiaramente mostrato nella figura, dove l'azione di sostituzione è rappresentata dalle frecce. Se la permutazione si decompone in un prodotto di cicli indipendenti di lunghezze , poi

ESEMPIO 3. L'ordine di un numero complesso c in un gruppo è finito se e solo se questo numero è radice di qualche potenza di unità, che, a sua volta, ha luogo se e solo se a è commensurabile, cioè .

ESEMPIO 4. Troviamo elementi di ordine finito nel gruppo dei moti piani. Lascia stare. Per qualsiasi punto

sono riordinati ciclicamente dal movimento , quindi il loro baricentro di relativamente immobile. Pertanto, - una rotazione dell'angolo di visione attorno al punto di, o riflessione su una linea retta passante di.

ESEMPIO 5. Troviamo l'ordine della matrice

come parte di un gruppo. abbiamo

così. Naturalmente, questo esempio è scelto in modo speciale: la probabilità che l'ordine di una matrice scelta a caso sia finito è zero.

Suggerimento 2. Se , poi

Prova. Lascia stare

così. abbiamo

Di conseguenza, .

Definizione 1 . Gruppo G chiamata ciclico, se esiste un tale elemento , che cosa . Ciascuno di questi elementi è chiamato elemento generativo gruppi G.

ESEMPIO 6. Il gruppo additivo di interi è ciclico, poiché è generato dall'elemento 1.

ESEMPIO 7. Gruppo residuo additivo Modulo nè ciclico, poiché è generato dall'elemento .

ESEMPIO 8. Il gruppo moltiplicativo delle radici ennesima complessa di 1 è ciclico. In effetti, queste radici sono i numeri

È chiaro che . Pertanto, il gruppo è generato dall'elemento.

È facile vedere che in un gruppo ciclico infinito si generano solo elementi. Quindi, nel gruppo Z, gli unici elementi generatori sono 1 e -- 1.

Numero di elementi del gruppo finito G l'ha chiamata al fine e indicato da. L'ordine di un gruppo ciclico finito è uguale all'ordine del suo elemento generatore. Pertanto, la Proposizione 2 implica

Suggerimento 3 . Elemento di gruppo ciclico di ordine n sta generando se e solo se

ESEMPIO 9. Vengono chiamati gli elementi generatori di un gruppo radici primitive n th power out of 1. Queste sono le radici della forma , dove. Ad esempio, le radici primitive del 12° grado di 1 sono.

I gruppi ciclici sono i gruppi più semplici immaginabili. (In particolare, sono abeliani.) Il seguente teorema ne fornisce una descrizione completa.

Teorema 1. Ogni gruppo ciclico infinito è isomorfo a un gruppo. Ogni gruppo ciclico finito di ordine n è isomorfo a un gruppo.

Prova. Se è un gruppo ciclico infinito, allora per la formula (4) la mappatura è un isomorfismo.

Sia un gruppo ciclico finito di ordine P. Considera la mappatura

quindi la mappatura è ben definita e biunivoca. Proprietà

segue dalla stessa formula (1). Quindi, è un isomorfismo.

Il teorema è stato dimostrato.

Per comprendere la struttura di un gruppo, la conoscenza dei suoi sottogruppi gioca un ruolo importante. Tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico possono essere facilmente descritti.

Teorema 2. 1) Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.

2)Nel gruppo dell'ordine ciclico n l'ordine di ogni sottogruppo divide n e per qualsiasi divisore q del numero n esiste esattamente un sottogruppo di ordine q.

Prova. 1) Sia un gruppo ciclico e h-- il suo sottogruppo distinto da (Il sottogruppo di identità è ovviamente ciclico.) Nota che se per alcuni, allora . Lascia stare Tè il numero naturale più piccolo per cui . Dimostriamolo . Lascia stare . Dividiamo a sul T con il resto:

donde, in virtù della definizione del numero T ne consegue che e, quindi, .

2) Se , quindi il ragionamento precedente si applicava a (in questo caso ), mostra che . in cui

e hè l'unico sottogruppo di ordine Q in un gruppo G. Viceversa, se Q-- qualsiasi numero divisore P e , quindi il sottoinsieme H, definito dall'uguaglianza (9) è un sottogruppo di ordine Q. Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza . In un gruppo ciclico di ordine primo, qualsiasi sottogruppo non banale coincide con l'intero gruppo.

ESEMPIO 10. In un gruppo, ogni sottogruppo ha la forma dove.

ESEMPIO 11. Nell'ennesimo gruppo radice di 1, qualsiasi sottogruppo è un gruppo radice Q- esimo grado su 1, dove.