Scheda di istruzioni n. 20

Takyryby/Argomento: « La derivata seconda e la sua significato fisico ».

Maқsaty / Scopo:

Essere in grado di trovare l'equazione della tangente, nonché la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente all'asse OX. Essere in grado di trovare il tasso di variazione di una funzione e l'accelerazione.

Creare una condizione per la formazione di competenze per confrontare, classificare i fatti e i concetti studiati.

Coltivare un atteggiamento responsabile verso lavoro educativo, volontà e perseveranza da raggiungere risultati finali quando si trova l'equazione della tangente, nonché quando si trova la velocità di variazione della funzione e dell'accelerazione.

Materiale teorico:

(Significato geometrico della derivata)

L'equazione per la tangente al grafico della funzione è:

Esempio 1: Troviamo l'equazione della tangente al grafico della funzione nel punto con oscissa 2.

Risposta: y = 4x-7

La pendenza k della tangente al grafico della funzione nel punto con l'ascissa x o è uguale a f / (x o) (k = f / (x o)). L'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione in un dato punto è

arctg k \u003d arctg f / (x o), cioè k= f / (x o)= tg

Esempio 2: A che angolo è la sinusoide interseca l'asse x all'origine?

L'angolo in cui il grafico di questa funzione interseca l'asse delle ascisse è uguale all'angolo di inclinazione a della tangente tracciata al grafico della funzione f (x) in questo punto. Troviamo la derivata: Considerando senso geometrico derivata, abbiamo: e a = 60°. Risposta: =60 0 .

Se una funzione ha una derivata in ogni punto del suo dominio, allora la sua derivata è una funzione di . La funzione, a sua volta, può avere una derivata, che viene chiamata derivata del secondo ordine funzioni (o derivata seconda) e sono indicati dal simbolo .

Esempio 3: Trova la derivata seconda della funzione: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

All'inizio troviamo la derivata prima di questa funzione f "(x) \u003d (x 3 -4x 2 + 2x-7) '= 3x 2 -8x + 2,

Quindi, troviamo la derivata seconda della derivata prima ottenuta

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. Risposta: f""x) = 6x-8.

(Significato meccanico della derivata seconda)

Se il punto si muove in linea retta ed è data la legge del suo moto, allora l'accelerazione del punto è uguale alla derivata seconda del percorso rispetto al tempo:

Velocità corpo materialeè uguale alla derivata prima del cammino, cioè:

L'accelerazione di un corpo materiale è uguale alla derivata prima della velocità, cioè:

Esempio 4: Il corpo si muove in linea retta secondo la legge s (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m). Determinare la sua velocità e accelerazione al tempo t = 3 s. (Il percorso si misura in metri, il tempo in secondi).
Soluzione
v (t) = S (t) =(3+2t+t 2)'= 2 + 2t
un (t) = v΄ (t) =(2+2t)'= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Risposta: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Parte pratica:

1 opzione	opzione 2	3 opzione	4 opzione	5 opzione
Trova la tangente dell'angolo di inclinazione all'asse x della tangente passante dato punto M grafico della funzione f.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione f nel punto con l'ascissa x 0.
f (x) \u003d x 3 -1, x 0 \u003d 2	f (x) \u003d x 2 +1, x 0 \u003d 1	f (x) \u003d 2x-x 2, x 0 \u003d -1	f(x)=3 sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Trova la pendenza della tangente alla funzione f nel punto con l'ascissa x 0.
Trova la derivata seconda di una funzione:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Il corpo si muove in linea retta secondo la legge x(t). Determina la sua velocità e accelerazione al momento tempo t. (Lo spostamento è misurato in metri, il tempo in secondi).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x (t) \u003d t 4 -0,5t 2 \u003d 2, t \u003d 0,5

Domande di prova:

Quale pensi sia il significato fisico della derivata: è velocità istantanea o velocità media?

Qual è la connessione tra una tangente tracciata al grafico di una funzione attraverso un punto qualsiasi e il concetto di derivata?

Qual è la definizione di tangente al grafico di una funzione nel punto M (x 0; f (x 0))?

Qual è il significato meccanico della derivata seconda?

Derivato(funziona in un punto) - concetto di base Calcolo differenziale che caratterizza la velocità di variazione della funzione (in un dato punto). È definito come il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento del suo argomento poiché l'incremento dell'argomento tende a zero, se tale limite esiste. Una funzione che ha una derivata finita (a un certo punto) è chiamata derivabile (a un dato punto).

Derivato. Considera qualche funzione y = f (X ) in due punti X 0 e X 0 + : f (X 0) e f (X 0+). Qui, denotato da qualche piccola modifica nell'argomento, chiamato incremento dell'argomento; rispettivamente, la differenza tra i due valori della funzione: f (X 0 + )  f (X 0 ) è chiamato incremento della funzione.derivato funzioni y = f (X ) al punto X 0 chiamato limite:

Se questo limite esiste, allora la funzione f (X ) è chiamato differenziabile al punto X 0. Derivata di funzione f (X ) è indicato come segue:

Il significato geometrico della derivata. Considera il grafico della funzione y = f (X ):

Si può vedere dalla Fig. 1 che per due punti A e B qualsiasi del grafico della funzione:

dove è l'angolo di inclinazione della secante AB.

Pertanto, il rapporto di differenza è uguale alla pendenza della secante. Se fissiamo il punto A e spostiamo il punto B verso di esso, allora diminuisce indefinitamente e si avvicina a 0 e la secante AB si avvicina alla tangente AC. Pertanto, il limite del rapporto di differenza è uguale alla pendenza della tangente nel punto A. Ne consegue: la derivata di una funzione in un punto è la pendenza della tangente al grafico di quella funzione in quel punto. Questo è ciò che consiste senso geometrico derivato.

Equazione tangente. Ricaviamo l'equazione della tangente al grafico della funzione nel punto A ( X 0 , f (X 0 )). Nel caso generale, l'equazione di una retta con una pendenza f ’(X 0 ) sembra:

y = f ’(X 0 ) · x + b.

Trovare b, usiamo il fatto che la tangente passa per il punto A:

f (X 0 ) = f ’(X 0 ) · X 0 +b ,

da qui b = f (X 0 ) – f ’(X 0 ) · X 0 , e sostituendo questa espressione con b, otterremo equazione tangente:

y =f (X 0 ) + f ’(X 0 ) · ( x-x 0 ) .

Il significato meccanico della derivata. Ritenere caso più semplice: traffico punto materiale lungo asse delle coordinate, e la legge del moto è data: coordinata X punto mobile è una funzione nota X (t) volta t. Durante l'intervallo di tempo dal t 0 a t 0 + il punto si sposta di una distanza: X (t 0 + ) X (t 0) = , e il suo velocità media è uguale a: v un =  . A valore 0 velocità media tende a un certo valore, che viene chiamato velocità istantanea v ( t 0 ) momento materiale t 0. Ma per definizione di derivata abbiamo:

da qui v (t 0 ) = x' (t 0 ) , cioè. la velocità è la derivata della coordinata Su volta. Questo è ciò che consiste senso meccanico derivato . Allo stesso modo, l'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo: un = v' (t).

8. Tabella delle derivate e regole di differenziazione

Abbiamo parlato di cos'è una derivata nell'articolo "Il significato geometrico della derivata". Se una funzione è data da un grafico, la sua derivata in ogni punto è uguale alla tangente della pendenza della tangente al grafico della funzione. E se la funzione è data da una formula, ti aiuteranno la tabella delle derivate e le regole di differenziazione, ovvero le regole per trovare la derivata.

§ 2. Definizione di derivato.

Lascia che la funzione y= f(X) definito sull'intervallo ( un;b). Considera il valore dell'argomento

(un;b) . Incrementiamo l'argomento ∆ X 0 in modo che la condizione ( X 0 +∆ X)

un;b). Indichiamo i valori corrispondenti della funzione attraverso y 0 e y 1:

y 0 = f(X 0 ), y 1 = f(X 0 +∆ X). Quando ci si sposta da X 0 a X 0 +∆ X la funzione verrà incrementata

∆y= y 1 -y 0 = f(X 0 +∆ X) -f(X 0 ). Se, nello sforzo ∆ X a zero c'è un limite al rapporto tra l'incremento della funzione ∆y all'argomento incremento che lo ha chiamato ∆ X,

quelli. c'è un limite

=

,

allora questo limite è chiamato derivata della funzione y= f(X) al punto X 0 . Quindi la derivata della funzione y= f(X) al punto X=X 0 esiste un limite al rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento quando l'incremento dell'argomento tende a zero. Derivata di funzione y= f(X) al punto X indicato da simboli (X) o (X). Vengono utilizzate anche le denominazioni , , ,. Le ultime tre notazioni sottolineano il fatto che la derivata è presa rispetto alla variabile X.

Se la funzione y= f(X) ha una derivata in ogni punto di un intervallo, quindi su questo intervallo la derivata ( X) è una funzione argomento X.

§ 3. Significato meccanico e geometrico della derivata.

Equazioni della normale e tangente al grafico della funzione.

Come mostrato nel § 1, la velocità istantanea di un punto è

v = .

Ma questo significa che la velocità v è la derivata della distanza percorsa S col tempo t ,

v =. Quindi, se la funzione y= f(X) descrive la legge moto rettilineo punto materiale dove yè il percorso percorso da un punto materiale dal momento dell'inizio del movimento al momento del tempo X, quindi la derivata ( X) determina la velocità istantanea di un punto alla volta X. Questo è il significato meccanico della derivata.

Nel § 1 abbiamo anche trovato la pendenza della tangente al grafico della funzione y= f(X) K= tgα= . Questa relazione significa che la pendenza della tangente è uguale alla derivata ( X). Più in senso stretto, la derivata ( X) funzioni y= f(X) , calcolato con il valore dell'argomento uguale a X, è uguale alla pendenza della tangente al grafico di questa funzione in un punto la cui ascissa è uguale a X. Questo è il significato geometrico della derivata.

Lascia a X=X 0 funzione y= f(X) assume il valore y 0 =f(X 0 ) , e il grafico di questa funzione ha una tangente nel punto con coordinate ( X 0 ;y 0). Poi la pendenza della tangente

k = ( X 0). Usare le conoscenze del corso geometria analitica equazione di una retta passante dato punto in una determinata direzione ( y-y 0 =K(X-X 0)), scriviamo l'equazione della tangente:

La retta passante per il punto di contatto perpendicolare alla tangente si dice normale alla curva. Poiché la normale è perpendicolare alla tangente, la sua pendenza K le norme sono legate alla pendenza della tangente K la relazione nota dalla geometria analitica: K norme = ─ , cioè per una normale passante per un punto di coordinate ( X 0 ;y 0),K norma = ─ . Pertanto, l'equazione per questa normale è:

(purché

).

§ 4. Esempi di calcolo della derivata.

Per calcolare la derivata di una funzione y= f(X) al punto X, necessario:

Discussione X incremento ∆ X;

Trova l'incremento corrispondente della funzione ∆ y=f(X+∆X) -f(X);

Componi una relazione ;

Trova il limite di questo rapporto per ∆ X→0.

Esempio 4.1. Trova la derivata di una funzione y=C=cost.

Discussione X dare un incremento ∆ X.

Qualunque X, ∆y=0: ∆y=f(X+∆X) ─f(X)=С─С=0;

Da qui =0 e =0, cioè =0.

Esempio 4.2. Trova la derivata di una funzione y=X.

∆ y=f(X+∆X) ─f(X)= X+∆X– X=∆ X;

1, =1, cioè =1.

Esempio 4.3. Trova la derivata di una funzione y=X 2.

∆ y= (X+∆ X)2–X 2= 2 X∙∆ X+ (∆ X)2;

= 2 X+ ∆ X, = 2 X, cioè. =2 X.

Esempio 4.4. Trova la derivata della funzione y=sin X.

∆ y=peccato( X+∆X) -peccato X= 2 peccato cos( X+);

=

;

=



= cos X, cioè. = cos X.

Esempio 4.5. Trova la derivata di una funzione y=

.

=

, cioè. = .

SIGNIFICATO MECCANICO DEL DERIVATO

È noto dalla fisica che moto uniforme ha la forma s = v t, dove S- percorso percorso fino a quel momento t, vè la velocità del moto uniforme.

Tuttavia, da quando la maggior parte dei movimenti che si verificano in natura sono irregolari, quindi nel caso generale la velocità e, di conseguenza, la distanza S dipenderà dal tempo t, cioè. sarà una funzione del tempo

Quindi, lascia che il punto materiale si muova in linea retta in una direzione secondo la legge s=s(t).

Nota un momento nel tempo t 0. A questo punto, il punto ha superato il percorso s=s(t 0 ). Determiniamo la velocità v momento materiale t 0 .

Per fare ciò, considera un altro momento nel tempo t 0 + Δ t. Corrisponde alla distanza percorsa s =s(t 0 + Δ t). Quindi per l'intervallo di tempo Δ t il punto ha percorso il percorso Δs =s(t 0 + Δ t)–s(t).

Consideriamo la relazione. Si chiama velocità media nell'intervallo di tempo Δ t. La velocità media non può caratterizzare con precisione la velocità di movimento di un punto in questo momento t 0 (perché il movimento è irregolare). Per esprimere in modo più accurato questa velocità reale utilizzando la velocità media, è necessario prendere un intervallo di tempo Δ più piccolo t.

Quindi, la velocità di movimento in un dato momento t 0 (velocità istantanea) è il limite della velocità media nell'intervallo da t 0 a t 0 +Δ t quando Δ t→0:

,

quelli. velocità di movimento irregolareè la derivata della distanza percorsa rispetto al tempo.

SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL DERIVATO

Introduciamo dapprima la definizione di tangente ad una curva in un dato punto.

Abbiamo una curva e un punto fisso su di essa M0(vedi figura) Considera un altro punto M questa curva e disegna una secante M 0 M. Se punto M inizia a muoversi lungo la curva e il punto M0 rimane ferma, la secante cambia posizione. Se, con approssimazione illimitata del punto M curva a punto M0 da ogni lato, la secante tende ad assumere la posizione di una certa retta M O T, quindi la retta M O Tè chiamata tangente alla curva nel punto dato M0.

Quella., tangente alla curva in un dato punto M0 detta posizione limite della secante M 0 M quando il punto M tende lungo la curva ad un punto M0.

Considera ora funzione continua y=f(x) e la curva corrispondente a questa funzione. Per un certo valore X La funzione 0 assume un valore y0=f(x0). Questi valori X 0 e y 0 sulla curva corrisponde a un punto M 0 (x 0; y 0). Diamo un argomento x0 incremento Δ X. Il nuovo valore dell'argomento corrisponde al valore incrementato della funzione y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ X). Otteniamo un punto M(x 0+Δ X; si 0+Δ y). Disegniamo una secante M 0 M e indichiamo con φ l'angolo formato dalla secante con la direzione positiva dell'asse Bue. Facciamo una relazione e notiamo che .

Se ora Δ X→0, quindi, per la continuità della funzione Δ a→0, e quindi il punto M, muovendosi lungo la curva, si avvicina indefinitamente al punto M0. Poi la secante M 0 M tenderà ad assumere la posizione di una tangente alla curva nel punto M0, e l'angolo φ→α a Δ X→0, dove α indica l'angolo tra la tangente e la direzione positiva dell'asse Bue. Poiché la funzione tg φ dipende continuamente da φ a φ≠π/2, allora a φ→α tg φ → tg α e, quindi, la pendenza della tangente sarà:

quelli. f"(x)= tga.

Quindi, geometricamente y "(x 0) rappresenta la pendenza della tangente al grafico di questa funzione nel punto x0, cioè. a dato valore discussione X, la derivata è uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente al grafico della funzione f(x) nel punto corrispondente M 0 (x; y) con direzione dell'asse positiva Bue.

Esempio. Trova la pendenza della tangente alla curva y = x 2 al punto M(-1; 1).

Abbiamo già visto che ( X 2)" = 2X. Ma la pendenza della tangente alla curva è tg α = y"| x=-1 = - 2.

Significato geometrico, meccanico, economico della derivata

Definizione di derivato.

Conferenza №7-8

Bibliografia

1 Ukhobotov, V. I. Matematica: Esercitazione.- Chelyabinsk: Chelyab. stato un-t, 2006.- 251 p.

2 Ermakov, VI Raccolta di problemi di matematica superiore. Esercitazione. -M.: INFRA-M, 2006. - 575 pag.

3 Ermakov, VI Corso generale matematica superiore. Manuale. -M.: INFRA-M, 2003. - 656 pag.

Tema "Derivato"

Obbiettivo: spiegare il concetto di derivata, tracciare la relazione tra la continuità e la differenziabilità di una funzione, mostrare l'applicabilità dell'uso di una derivata con esempi.

.

Questo limite in economia è chiamato costo marginale di produzione.

Definizione di derivato. Il significato geometrico e meccanico della derivata, l'equazione di una funzione tangente al grafico.

Serve una risposta breve (niente acqua in più)

Bianca_morta_neve

La derivata è il concetto di base del calcolo differenziale, che caratterizza la velocità di variazione di una funzione.
Geometrico?
Tangente alla funzione in un punto... .
Condizione di aumento della funzione: f "(x) > 0.
Condizione di funzione decrescente: f "(x)< 0.
Punto di flesso ( condizione necessaria) : f " " (x0) = 0.
Convesso in alto: f " " (x) Convesso in basso: f " " (x) >0
Equazione normale: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Meccanico?
La velocità è la derivata rispetto alla distanza, l'accelerazione è la derivata rispetto alla velocità e la seconda derivata rispetto alla distanza...
L'equazione della tangente al grafico della funzione f nel punto x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Utente eliminato

Se c'è un limite al rapporto delta y a delta x tra l'incremento della funzione delta y e l'incremento dell'argomento delta x che l'ha causato, quando delta x tende a zero, allora questo limite è chiamato derivata della funzione y = f (x) in un dato punto x ed è indicato con y "oppure f" (x)
La velocità v del moto rettilineo è la derivata del cammino s rispetto al tempo t: v = ds/dt. Questo è il significato meccanico della derivata.
La pendenza della tangente alla curva y \u003d f (x) nel punto con l'ascissa x zero è la derivata di f "(x zero). Questo è il significato geometrico della derivata.
La curva tangente al punto M zero è chiamata retta M zero T, la cui pendenza è uguale al limite della pendenza della secante M zero M uno quando delta x tende a zero.
tg phi = lim tg alpha quando delta x si avvicina a zero = lim (delta x/delta y) quando delta x si avvicina a zero
Dal significato geometrico della derivata, l'equazione tangente assumerà la forma:
y - y null = f "(x null) (x - x null)

Derivato(funzioni in un punto) - il concetto di base del calcolo differenziale, che caratterizza la velocità di variazione di una funzione (in un dato punto). È definito come il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento del suo argomento poiché l'incremento dell'argomento tende a zero, se tale limite esiste. Una funzione che ha una derivata finita (a un certo punto) è chiamata derivabile (a un dato punto).

Derivato. Considera qualche funzione y = f (X ) in due punti X 0 e X 0 + : f (X 0) e f (X 0+). Qui, denotato da qualche piccola modifica nell'argomento, chiamato incremento dell'argomento; rispettivamente, la differenza tra i due valori della funzione: f (X 0 + )  f (X 0 ) è chiamato incremento della funzione.derivato funzioni y = f (X ) al punto X 0 chiamato limite:

Se questo limite esiste, allora la funzione f (X ) è chiamato differenziabile al punto X 0. Derivata di funzione f (X ) è indicato come segue:

Il significato geometrico della derivata. Considera il grafico della funzione y = f (X ):

Si può vedere dalla Fig. 1 che per due punti A e B qualsiasi del grafico della funzione:

dove è l'angolo di inclinazione della secante AB.

Pertanto, il rapporto di differenza è uguale alla pendenza della secante. Se fissiamo il punto A e spostiamo il punto B verso di esso, allora diminuisce indefinitamente e si avvicina a 0 e la secante AB si avvicina alla tangente AC. Pertanto, il limite del rapporto di differenza è uguale alla pendenza della tangente nel punto A. Ne consegue: la derivata di una funzione in un punto è la pendenza della tangente al grafico di quella funzione in quel punto. Questo è ciò che consiste senso geometrico derivato.

Equazione tangente. Ricaviamo l'equazione della tangente al grafico della funzione nel punto A ( X 0 , f (X 0 )). Nel caso generale, l'equazione di una retta con una pendenza f ’(X 0 ) sembra:

y = f ’(X 0 ) · x + b.

Trovare b, usiamo il fatto che la tangente passa per il punto A:

f (X 0 ) = f ’(X 0 ) · X 0 +b ,

da qui b = f (X 0 ) – f ’(X 0 ) · X 0 , e sostituendo questa espressione con b, otterremo equazione tangente:

y =f (X 0 ) + f ’(X 0 ) · ( x-x 0 ) .

Il significato meccanico della derivata. Considera il caso più semplice: il movimento di un punto materiale lungo l'asse delle coordinate e viene data la legge del movimento: coordinata X punto mobile è una funzione nota X (t) volta t. Durante l'intervallo di tempo dal t 0 a t 0 + il punto si sposta di una distanza: X (t 0 + )  X (t 0) = , e il suo velocità media è uguale a: v un =  . A 0, il valore della velocità media tende ad un certo valore, che viene chiamato velocità istantanea v ( t 0 ) momento materiale t 0. Ma per definizione di derivata abbiamo:

da qui v (t 0 ) = x' (t 0 ) , cioè. la velocità è la derivata della coordinata Su volta. Questo è ciò che consiste senso meccanico derivato . Allo stesso modo, l'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo: un = v' (t).

8. Tabella delle derivate e regole di differenziazione

Abbiamo parlato di cos'è una derivata nell'articolo "Il significato geometrico della derivata". Se una funzione è data da un grafico, la sua derivata in ogni punto è uguale alla tangente della pendenza della tangente al grafico della funzione. E se la funzione è data da una formula, ti aiuteranno la tabella delle derivate e le regole di differenziazione, ovvero le regole per trovare la derivata.

Il significato meccanico della derivata

L'interpretazione meccanica della derivata fu data per la prima volta da I. Newton. Consiste in quanto segue: la velocità di movimento di un punto materiale in un dato momento è uguale alla derivata del percorso rispetto al tempo, cioè Quindi, se la legge del moto di un punto materiale è data da un'equazione, allora per trovare la velocità istantanea di un punto in un determinato momento, è necessario trovare la derivata e sostituirvi il valore corrispondente di t.

La derivata del secondo ordine e il suo significato meccanico

Otteniamo (un'equazione da ciò che è stato fatto nel libro di testo Lisichkin V.T. Soloveychik I.L. "Mathematics" p. 240):

In questo modo, l'accelerazione del moto rettilineo del corpo in un dato momento è uguale alla derivata seconda del percorso rispetto al tempo, calcolata per un dato momento. Questo è il significato meccanico della derivata seconda.

Definizione e significato geometrico del differenziale

Definizione 4. Viene chiamata la parte principale dell'incremento di una funzione, lineare rispetto all'incremento della funzione, lineare rispetto all'incremento della variabile indipendente differenziale funzioni ed è indicato con d, cioè .

Il differenziale di una funzione è rappresentato geometricamente dall'incremento dell'ordinata della tangente tracciata nel punto M (x; y) per i valori dati di x e ?x.

calcolo differenziale - .

Applicazione del differenziale nei calcoli approssimativi - , il valore approssimativo dell'incremento della funzione coincide con il suo differenziale.

Teorema 1.Se una funzione derivabile aumenta (diminuisce) in un dato intervallo, la derivata di questa funzione non è negativa (non positiva) in questo intervallo.

Teorema 2.Se la funzione derivata è positivo (negativo) in un certo intervallo, quindi la funzione in questo intervallo è monotonicamente crescente (monotonicamente decrescente).

Formuliamo ora la regola per trovare intervalli di monotonia della funzione

1. Calcola la derivata di questa funzione.

2. Trova i punti in cui è uguale a zero o non esiste. Questi punti sono chiamati critico per funzione

3. Utilizzando i punti trovati, il dominio della funzione viene suddiviso in intervalli, su ciascuno dei quali la derivata conserva il suo segno. Questi intervalli sono intervalli di monotonia.

4. Esaminare il segno su ciascuno degli intervalli trovati. Se sull'intervallo considerato, allora su questo intervallo aumenta; se, allora diminuisce in un tale intervallo.

A seconda delle condizioni del problema, la regola per trovare gli intervalli di monotonicità può essere semplificata.

Definizione 5. Un punto è chiamato punto massimo (minimo) di una funzione se la disuguaglianza vale, rispettivamente, per ogni x di un intorno del punto.

Se è il punto di massimo (minimo) della funzione, allora lo dicono (minimo) al punto. Le funzioni massime e minime uniscono il nome estremo funzioni e vengono chiamati i punti massimo e minimo punti estremi (punti estremi).

Teorema 3.(segno necessario di un estremo). Se è il punto estremo della funzione e la derivata esiste in questo punto, allora è uguale a zero: .

Teorema 4.(segno sufficiente di un estremo). Se la derivata cambia segno quando x passa per a, allora a è il punto estremo della funzione.

I punti principali dello studio della derivata:

1. Trova la derivata.

2. Trova tutti i punti critici dal dominio della funzione.

3. Impostare i segni della derivata della funzione quando si passa per i punti critici e scrivere i punti estremi.

4. Calcola i valori della funzione in ogni punto estremo.

Sia dato un punto materiale sul piano. La legge del suo movimento lungo l'asse delle coordinate è descritta dalla legge $ x(t) $, dove $ t $ specifica il tempo. Quindi nel tempo da $ t_0 $ a $ t_0 + \Delta t $ il punto percorre il percorso $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Si scopre che velocità media tale punto si trova con la formula: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Se $ \Delta t $ tende a zero, allora il valore della velocità media tenderà al valore chiamato velocità istantanea al punto $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Per definizione della derivata attraverso il limite, si ottiene una connessione tra la velocità e la legge del moto del percorso di un punto materiale:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Esempi di soluzioni

Esempio 1

Calcola la velocità istantanea di un punto materiale al tempo $ t_0 = 1 $ muovendosi secondo la legge $ x(t) = t^2+3t-1 $

Soluzione

Per definizione del significato meccanico della derivata si ottiene la legge della velocità di un punto materiale: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Conoscendo l'istante $ t_0 = 1 $ dalla condizione del problema, troviamo la velocità in questo momento: $$ v(t_0) = 2\cpunto 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Abbiamo ottenuto che la velocità istantanea di un punto al momento $ t_0 = 1 $ è uguale a $ v = 5 $ Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Noi forniremo soluzione dettagliata. Potrai familiarizzare con lo stato di avanzamento del calcolo e raccogliere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere un credito dall'insegnante in modo tempestivo!

Risposta

$$ v(t_0) = 5 $$

Esempio 2

Il movimento di un punto materiale è dato dalla legge $ x(t)=t^2-t+3 $. Trova in quale momento $ t_0 $ la velocità di questo punto sarà zero.

Soluzione

Poiché la velocità è una derivata della legge della traiettoria del moto: