vettore(o lineare) spazio- una struttura matematica, che è un insieme di elementi, detti vettori, per i quali si definiscono le operazioni di addizione tra loro e di moltiplicazione per un numero - uno scalare. Queste operazioni sono soggette a otto assiomi. Gli scalari possono essere elementi di un campo numerico reale, complesso o qualsiasi altro. Un caso speciale di tale spazio è il consueto spazio euclideo tridimensionale, i cui vettori sono usati, ad esempio, per rappresentare le forze fisiche. Va notato che un vettore, in quanto elemento di uno spazio vettoriale, non deve essere specificato come segmento diretto. La generalizzazione del concetto di "vettore" ad un elemento di uno spazio vettoriale di qualsiasi natura non solo non crea confusione di termini, ma permette anche di comprendere o addirittura anticipare una serie di risultati validi per spazi di natura arbitraria .

Gli spazi vettoriali sono oggetto di studio in algebra lineare. Una delle caratteristiche principali di uno spazio vettoriale è la sua dimensione. La dimensione è il numero massimo di elementi dello spazio linearmente indipendenti, cioè, ricorrendo a una ruvida interpretazione geometrica, il numero di direzioni che sono inesprimibili l'una rispetto all'altra attraverso le sole operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. Lo spazio vettoriale può essere dotato di strutture aggiuntive, come la norma o il prodotto scalare. Tali spazi appaiono naturalmente nel calcolo, prevalentemente come spazi di funzione a dimensione infinita (Inglese), dove i vettori sono le funzioni. Molti problemi di analisi richiedono di scoprire se una sequenza di vettori converge a un dato vettore. La considerazione di tali domande è possibile in spazi vettoriali con struttura aggiuntiva, nella maggior parte dei casi una topologia adeguata, che consente di definire i concetti di prossimità e continuità. Tali spazi vettoriali topologici, in particolare gli spazi di Banach e Hilbert, consentono uno studio più approfondito.

I primi lavori che anticiparono l'introduzione del concetto di spazio vettoriale risalgono al XVII secolo. Fu allora che la geometria analitica, la dottrina delle matrici, i sistemi di equazioni lineari ei vettori euclidei ricevettero il loro sviluppo.

Definizione

Lineare o spazio vettoriale V (F) (\ displaystyle V \ sinistra (F \ destra)) sul campo F (\ displaystyle F)è una quadrupla ordinata (V , F , + , ⋅) (\ displaystyle (V, F, +, \ cdot)), dove

• V (\ displaystyle V)- un insieme non vuoto di elementi di natura arbitraria, che vengono chiamati vettori;
• F (\ displaystyle F)- un campo i cui elementi sono chiamati scalari;
• Operazione definita aggiunte vettori V × V → V (\ displaystyle V \ volte V \ a V), abbinando ogni coppia di elementi x , y (\ displaystyle \ mathbf (x) , \ mathbf (y)) imposta V (\ displaystyle V) V (\ displaystyle V) chiamandoli somma e indicato x + y (\ displaystyle \ mathbf (x) + \ mathbf (y));
• Operazione definita moltiplicazione di vettori per scalari F × V → V (\ displaystyle F \ volte V \ a V), che corrisponde a ciascun elemento λ (\ displaystyle \ lambda ) campi F (\ displaystyle F) e ogni elemento x (\ displaystyle \ mathbf (x) ) imposta V (\ displaystyle V) l'unico elemento dell'insieme V (\ displaystyle V), indicato λ ⋅ x (\ displaystyle \ lambda \ cdot \ mathbf (x)) o λ x (\ displaystyle \ lambda \ mathbf (x));

Gli spazi vettoriali definiti sullo stesso insieme di elementi ma su campi diversi saranno spazi vettoriali diversi (ad esempio, l'insieme di coppie di numeri reali R 2 (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (2)) può essere uno spazio vettoriale bidimensionale sul campo dei numeri reali o unidimensionale - sul campo dei numeri complessi).

Le proprietà più semplici

1. Lo spazio vettoriale è un gruppo abeliano per addizione.
2. elemento neutro 0 ∈ V (\ displaystyle \ mathbf (0) \ in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\ displaystyle 0 \ cdot \ mathbf (x) = \ mathbf (0)) per chiunque .
4. Per chiunque x ∈ V (\ displaystyle \ mathbf (x) \ in V) elemento opposto - X ∈ V (\ displaystyle - \ mathbf (x) \ in V)è l'unico che segue dalle proprietà del gruppo.
5. 1 ⋅ x = x (\ displaystyle 1 \ cdot \ mathbf (x) = \ mathbf (x)) per chiunque x ∈ V (\ displaystyle \ mathbf (x) \ in V).
6. (- α) ⋅ x = α ⋅ (- x) = - (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) per qualsiasi e x ∈ V (\ displaystyle \ mathbf (x) \ in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\ displaystyle \ alpha \ cdot \ mathbf (0) = \ mathbf (0)) per chiunque α ∈ F (\ displaystyle \ alfa \ in F).

Definizioni e proprietà correlate

sottospazio

Definizione algebrica: Sottospazio lineare o sottospazio vettorialeè un sottoinsieme non vuoto K (\ displaystyle K) spazio lineare V (\ displaystyle V) tale che K (\ displaystyle K)è esso stesso uno spazio lineare rispetto a quelli definiti in V (\ displaystyle V) le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. L'insieme di tutti i sottospazi è generalmente indicato come L a t (V) (\ displaystyle \ mathrm (Lat) (V)). Perché un sottoinsieme sia un sottospazio, è necessario e sufficiente

Le ultime due affermazioni equivalgono alle seguenti:

Per qualsiasi vettore x , y ∈ K (\ displaystyle \ mathbf (x) , \ mathbf (y) \ in K) vettore α X + β y (\ displaystyle \ alfa \ mathbf (x) + \ beta \ mathbf (y)) apparteneva anche K (\ displaystyle K) per ogni α , β ∈ F (\ displaystyle \ alfa, \ beta \ in F).

In particolare, uno spazio vettoriale costituito da un solo vettore zero è un sottospazio di qualsiasi spazio; ogni spazio è un sottospazio di se stesso. Si chiamano sottospazi che non coincidono con questi due possedere o non banale.

Proprietà del sottospazio

Combinazioni lineari

Somma finale della vista

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\ displaystyle \ alpha _ (1) \ mathbf (x) _ (1) + \ alpha _ (2) \ mathbf (x) _ (2) + \ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

La combinazione lineare si chiama:

Base. Dimensione

vettori x 1 , x 2 , ... , x n (\ displaystyle \ mathbf (x) _ (1), \ mathbf (x) _ (2), \ ldots, \ mathbf (x) _ (n)) chiamata linearmente dipendente, se esiste una loro combinazione lineare non banale, il cui valore è uguale a zero; cioè

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\ displaystyle \ alpha _ (1) \ mathbf (x) _ (1) + \ alpha _ (2) \ mathbf (x) _ (2) +\lpunti +\alfa _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

con alcuni coefficienti α 1 , α 2 , ... , α n ∈ F , (\ displaystyle \ alpha _ (1), \ alpha _ (2), \ ldots, \ alpha _ (n) \ in F,) e almeno uno dei coefficienti α io (\ displaystyle \ alfa _ (i)) diverso da zero.

Altrimenti, questi vettori sono chiamati linearmente indipendente.

Questa definizione consente la seguente generalizzazione: un insieme infinito di vettori da V (\ displaystyle V) chiamata linearmente dipendente, se alcuni finale il suo sottoinsieme, e linearmente indipendente, se presente finale sottoinsieme è linearmente indipendente.

Proprietà di base:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\ displaystyle \ mathbf (x) = \ alpha _ (1) \ mathbf (x) _ (1) + \ alpha _ (2) \ mathbf ( x) _(2)+\lpunti +\alfa _(n)\mathbf (x) _(n)).

Conchiglia lineare

Conchiglia lineare sottoinsiemi X (\ displaystyle X) spazio lineare V (\ displaystyle V)- intersezione di tutti i sottospazi V (\ displaystyle V) contenente X (\ displaystyle X).

La shell lineare è un sottospazio V (\ displaystyle V).

Viene anche chiamata shell lineare sottospazio generato X (\ displaystyle X). Si dice anche che la campata lineare V (X) (\ displaystyle (\ mathcal (V)) (X))- spazio, allungato un mucchio di X (\ displaystyle X).

Sia un sistema di vettori da . Conchiglia lineare sistemi vettoriali viene chiamato l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di un dato sistema, cioè

Proprietà della shell lineare: If , quindi for e .

Il guscio lineare ha la proprietà di essere chiuso rispetto alle operazioni lineari (operazioni di addizione e moltiplicazione per un numero).

Si chiama un sottoinsieme dello spazio che ha la proprietà di essere chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per numerisottospazio lineare dello spazio .

L'intervallo lineare di un sistema di vettori è un sottospazio lineare dello spazio.

Il sistema dei vettori da è chiamato base ,Se

Qualsiasi vettore può essere espresso come una combinazione lineare di vettori di base:

2. Il sistema dei vettori è linearmente indipendente.

Lemma Coefficienti di espansione vettoriale sono definiti in modo univoco in termini di base.

Vettore , composto dai coefficienti di espansione del vettore sulla base è chiamato vettore di coordinate del vettore in base .

Designazione . Questa voce sottolinea che le coordinate del vettore dipendono dalla base.

Spazi lineari

Definizioni

Sia dato un insieme di elementi di natura arbitraria. Si definiscano due operazioni per gli elementi di questo insieme: addizione e moltiplicazione per qualsiasi vero numero : , e impostare Chiuso riguardo a queste operazioni: . Lascia che queste operazioni obbediscano agli assiomi:

3. esiste un vettore zero con proprietà per ;

4. per ciascuno esiste un vettore inverso con la proprietà ;

6. per , ;

7. per , ;

Quindi viene chiamato un tale insieme spazio lineare (vettoriale)., i suoi elementi sono chiamati vettori, e - per sottolineare la loro differenza dai numeri da - questi ultimi sono chiamati scalari uno) . Viene chiamato uno spazio costituito da un solo vettore zero banale .

Se negli assiomi 6 - 8 consentiamo la moltiplicazione per scalari complessi, allora viene chiamato tale spazio lineare completo. Per semplificare il ragionamento, dappertutto di seguito considereremo solo spazi reali.

Uno spazio lineare è un gruppo rispetto all'operazione di addizione e un gruppo abeliano.

È elementare dimostrare l'unicità del vettore zero e l'unicità del vettore inverso al vettore: , è comunemente indicato come .

Viene chiamato un sottoinsieme di uno spazio lineare che è esso stesso uno spazio lineare (cioè chiuso per addizione vettoriale e moltiplicazione per uno scalare arbitrario) sottospazio lineare spazi. Sottospazi banali spazio lineare è chiamato se stesso e lo spazio costituito da un vettore zero.

Esempio. Lo spazio delle triple ordinate di numeri reali

operazioni definite da uguaglianze:

L'interpretazione geometrica è ovvia: un vettore nello spazio, "attaccato" all'origine, può essere dato nelle coordinate della sua estremità. La figura mostra anche un tipico sottospazio dello spazio: un piano passante per l'origine. Più precisamente, gli elementi sono vettori che iniziano all'origine e terminano in punti del piano. La chiusura di tale insieme con l'aggiunta di vettori e la loro espansione 2) è ovvia.

Sulla base di questa interpretazione geometrica, si parla spesso del vettore di uno spazio lineare arbitrario come punto nello spazio. Questo punto è talvolta indicato come la "fine del vettore". A parte la comodità della percezione associativa, a queste parole non viene dato alcun significato formale: il concetto di “fine vettore” è assente nell'assiomatica dello spazio lineare.

Esempio. Sulla base dello stesso esempio, è possibile dare un'altra interpretazione dello spazio vettoriale (inerente, tra l'altro, già all'origine stessa della parola "vettore" 3)) - definisce un insieme di "spostamenti" di punti in lo spazio. Questi spostamenti - o traslazioni parallele di qualsiasi figura spaziale - sono scelti per essere paralleli al piano.

In generale, con tali interpretazioni del concetto di vettore, le cose non sono così semplici. Tenta di fare appello al suo significato fisico - come un oggetto che ha valore e direzione- evocare un giusto rifiuto da parte di severi matematici. La definizione di vettore come elemento di uno spazio vettoriale ricorda molto l'episodio con sepolcri dal famoso racconto fantasy di Stanisław Lem (vedi ☞QUI). Non fissiamoci sul formalismo, ma esploriamo questo oggetto sfocato nelle sue particolari manifestazioni.

Esempio. Una generalizzazione naturale è lo spazio: uno spazio vettoriale di righe o una colonna . Un modo per definire un sottospazio in è definire un insieme di vincoli.

Esempio. L'insieme delle soluzioni del sistema di equazioni lineari omogenee:

forma un sottospazio lineare dello spazio. Infatti, se

La soluzione del sistema, quindi

Stessa soluzione per qualsiasi. Se un

Un'altra soluzione al sistema, quindi

Sarà anche la sua soluzione.

Perché tante soluzioni di sistema eterogeneo equazioni non forma un sottospazio lineare?

Esempio. Generalizzando ulteriormente, possiamo considerare lo spazio delle stringhe "infinite" o sequenze , che di solito è oggetto di analisi matematica - quando si considerano sequenze e serie. Puoi considerare le stringhe (sequenze) "infinite in entrambe le direzioni" - sono usate nella TEORIA DEI SEGNALI.

Esempio. L'insieme delle matrici con elementi reali con operazioni di addizione e moltiplicazione di matrici per numeri reali forma uno spazio lineare.

Nello spazio delle matrici di ordine quadrato si possono distinguere due sottospazi: il sottospazio delle matrici simmetriche e il sottospazio delle matrici antisimmetriche. Inoltre, i sottospazi formano ciascuno degli insiemi: matrici triangolari superiori, triangolari inferiori e diagonali.

Esempio. Un insieme di polinomi di un grado variabile esattamente uguale ai coefficienti da (dove è uno qualsiasi degli insiemi o ) con le consuete operazioni di addizione di polinomi e moltiplicazione per un numero da non si forma spazio lineare. Come mai? - Perché non è chiuso per addizione: la somma dei polinomi e non sarà un polinomio del esimo grado. Ma ecco un insieme di polinomi di grado non superiore

forme spaziali lineari; solo a questo insieme deve essere assegnato anche un polinomio identico a zero 4) . I sottospazi ovvi sono . Inoltre, i sottospazi saranno al massimo l'insieme dei polinomi pari e l'insieme dei polinomi dispari di grado . L'insieme di tutti i possibili polinomi (senza restrizioni sui gradi) forma anche uno spazio lineare.

Esempio. La generalizzazione del caso precedente è lo spazio dei polinomi di più variabili di grado al massimo con coefficienti da . Ad esempio, l'insieme dei polinomi lineari

forma uno spazio lineare. Anche l'insieme dei polinomi omogenei (forme) di grado (con un polinomio identico zero attaccato a questo insieme) è uno spazio lineare.

Nei termini della definizione di cui sopra, l'insieme di stringhe con componenti interi

considerato rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per componenti per numero intero scalari, non è uno spazio lineare. Tuttavia, tutti gli assiomi 1 - 8 valgono se consentiamo la moltiplicazione solo per scalari interi. In questa sezione non ci concentreremo su questo oggetto, ma è abbastanza utile nella matematica discreta, ad esempio in ☞ TEORIA DEI CODICI. Gli spazi lineari su campi finiti sono discussi ☞ QUI.

Le variabili sono isomorfe allo spazio delle matrici simmetriche del th ordine. L'isomorfismo è stabilito dalla corrispondenza, che illustreremo per il caso:

Il concetto di isomorfismo viene introdotto in modo tale che lo studio di oggetti che sorgono in aree diverse dell'algebra, ma con proprietà di operazioni "simili", venga effettuato utilizzando l'esempio di un campione, elaborando su di esso risultati, che possono quindi essere economicamente replicato. Quale spazio lineare prendere "per il campione"? - Vedi la fine del paragrafo successivo

1. Insieme di polinomi P n (X) gradi non superiori n.

2. Un mucchio di n-sequenze di termini (con addizione per termini e moltiplicazione per uno scalare).

3 . Molte funzionalità C [ un , b ] continuo su [ un, b] e con addizione puntuale e moltiplicazione per uno scalare.

4. L'insieme di funzioni definito su [ un, b] e scomparendo in un punto interno fisso c: f (c) = 0 e con operazioni puntuali di addizione e moltiplicazione per uno scalare.

5. L'insieme R + se X ⊕ y  X  y, ⊙X X  .

§otto. Definizione del sottospazio

Lascia che il set wè un sottoinsieme dello spazio lineare V (w  V) e così via

a)  X, yw  X ⊕ yw;

b)  Xw,    ⊙ Xw.

Le operazioni di addizione e moltiplicazione qui sono le stesse che nello spazio V(sono chiamati spazio-indotti V).

Una tale moltitudine wè chiamato sottospazio dello spazio V.

7  . sottospazio w stesso è lo spazio.

◀ Per dimostrarlo basta provare l'esistenza di un elemento neutro e di un elemento opposto. Uguaglianze 0⊙ X=  e (–1)⊙ X = –X dimostrare ciò che è necessario.

Un sottospazio costituito solo da un elemento neutro () e da un sottospazio coincidente con lo spazio stesso V, sono chiamati sottospazi banali dello spazio V.

§nove. Combinazione lineare di vettori. Intervallo lineare di un sistema di vettori

Passiamo ai vettori e 1 ,e 2 , …e n V e  1 ,  2 , …  n .

Vettore x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = chiamato lineare combinazione di vettori e 1 , e 2 , … , e n con coefficienti  1 ,  2 , …  n .

Se tutti i coefficienti in una combinazione lineare sono zero, allora la combinazione lineare chiamata banale.

Molte possibili combinazioni lineari di vettori
prende il nome di intervallo lineare questo sistema di vettori ed è indicato da:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ La correttezza dell'addizione e della moltiplicazione per uno scalare deriva dal fatto che ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari. L'elemento neutro è una banale combinazione lineare. Per elemento X=
l'elemento opposto è X =
. Sono soddisfatti anche gli assiomi che le operazioni devono soddisfare. Quindi,ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) è uno spazio lineare.

Ogni spazio lineare contiene, nel caso generale, un numero infinito di altri spazi lineari (sottospazi) - gusci lineari

In futuro cercheremo di rispondere alle seguenti domande:

Quando le campate lineari di diversi sistemi di vettori sono costituite dagli stessi vettori (cioè coincidono)?

2) Qual è il numero minimo di vettori che definisce lo stesso arco lineare?

3) Lo spazio originale è un arco lineare di un sistema di vettori?

§dieci. Sistemi completi di vettori

Se nello spazio V esiste un insieme finito di vettori
tale che,ℒ
 V, quindi il sistema dei vettori
chiamato sistema completo V, e lo spazio è detto a dimensione finita. Quindi, il sistema dei vettori e 1 , e 2 , …, e n V si chiama completo V sistema, cioè Se

XV   1 ,  2 , …  n tale che x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Se nello spazio V non esiste un sistema completo finito (ed esiste sempre un sistema completo, ad esempio l'insieme di tutti i vettori spaziali V), quindi lo spazio V si chiama infinito.

9  . Se un
pieno V sistema di vettori e y V, poi ( e 1 , e 2 , …, e n , y) è anche un sistema completo.

◀ Sufficiente nelle combinazioni lineari y prendere uguale a 0.

Sia un sistema di vettori da uno spazio vettoriale V sul campo P.

Definizione 2: Conchiglia lineare l sistemi UNè l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori del sistema UN. Designazione LA).

Si può dimostrare che per due sistemi qualsiasi UN e B,

UN espresso linearmente attraverso B se e solo se . (uno)

UNè equivalente a B se e solo se L(A)=L(B). (2)

La prova deriva dalla precedente proprietà

3 L'intervallo lineare di qualsiasi sistema di vettori è un sottospazio dello spazio V.

Prova

Prendi due vettori qualsiasi e LA), con le seguenti espansioni nei vettori da UN: . Verifichiamo la fattibilità delle condizioni 1) e 2) del criterio:

Poiché è una combinazione lineare dei vettori del sistema UN.

Poiché è anche una combinazione lineare dei vettori del sistema UN.

Consideriamo ora la matrice. Shell lineare di righe di matrice UNè chiamato spazio delle righe della matrice ed è indicato L r (A). Wrapper lineare di colonne di matrice UNè chiamato spazio delle colonne ed è indicato Lc (A). Si noti che per lo spazio di riga e colonna della matrice UN sono sottospazi di diversi spazi aritmetici P n e pm rispettivamente. Utilizzando l'affermazione (2), possiamo giungere alla seguente conclusione:

Teorema 3: Se una matrice è ottenuta da un'altra da una catena di trasformazioni elementari, gli spazi di riga di tali matrici coincidono.

Somma e intersezione di sottospazi

Lascia stare l e M- due sottospazi di spazio R.

Importo l+Mè chiamato l'insieme dei vettori x+y , dove X ∈l e y ∈M. Ovviamente, qualsiasi combinazione lineare di vettori da L+M appartiene L+M, quindi L+Mè un sottospazio dello spazio R(può coincidere con lo spazio R).

traversata l∩M sottospazi l e Mè l'insieme dei vettori che appartengono contemporaneamente ai sottospazi l e M(può essere costituito solo da un vettore nullo).

Teorema 6.1. Somma delle dimensioni di sottospazi arbitrari l e M spazio lineare a dimensione finita Rè uguale alla dimensione della somma di questi sottospazi e alla dimensione dell'intersezione di questi sottospazi:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Prova. Denota F=L+M e G=L∩M. Lascia stare Gg-sottospazio dimensionale. Scegliamo una base in esso. Come G⊂l e G⊂M, da cui la base G può essere aggiunto alla base l e alla base M. Lasciamo le basi del sottospazio l e passiamo alla base del sottospazio M. Mostriamo che i vettori

(6.1) costituiscono la base F=L+M. Affinché i vettori (6.1) formino la base dello spazio F devono essere linearmente indipendenti e qualsiasi vettore spaziale F può essere rappresentato da una combinazione lineare di vettori (6.1).

Dimostriamo l'indipendenza lineare dei vettori (6.1). Sia il vettore dello spazio nullo Fè rappresentato da una combinazione lineare di vettori (6.1) con alcuni coefficienti:

Il lato sinistro della (6.3) è il vettore del sottospazio l, e il lato destro è un vettore sottospaziale M. Da qui il vettore

(6.4) appartiene al sottospazio G=L∩M. D'altra parte, il vettore v può essere rappresentato da una combinazione lineare dei vettori base del sottospazio G:

(6.5) Dalle equazioni (6.4) e (6.5) abbiamo:

Ma i vettori sono la base di un sottospazio M, quindi sono linearmente indipendenti e . Allora la (6.2) assume la forma:

A causa dell'indipendenza lineare della base del sottospazio l noi abbiamo:

Poiché tutti i coefficienti nell'equazione (6.2) sono risultati nulli, i vettori

sono linearmente indipendenti. Ma qualsiasi vettore z a partire dal F(per definizione della somma dei sottospazi) può essere rappresentato dalla somma x+y , dove X ∈ ly ∈ M. Nel suo turno X è rappresentato da una combinazione lineare di vettori a y - una combinazione lineare di vettori. Quindi i vettori (6.10) generano il sottospazio F. Abbiamo trovato che i vettori (6.10) formano una base F=L+M.

Studio delle basi dei sottospazi l e M e base subspaziale F=L+M(6.10), abbiamo: fioco L=g+l, fioco M=g+m, fioco (L+M)=g+l+m. Quindi:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Somma diretta di sottospazi

Definizione 6.2. Spazio Fè una somma diretta di sottospazi l e M, se ogni vettore X spazio F può essere rappresentato solo come una somma x=y+z , dove y ∈L e z ∈M.

La somma diretta è indicata l⊕M. Dicono che se F=L⊕M, poi F si decompone in una somma diretta dei suoi sottospazi l e M.

Teorema 6.2. In modo da n-spazio dimensionale R era una somma diretta di sottospazi l e M, è sufficiente che l'incrocio l e M contiene solo l'elemento zero e che la dimensione di R è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi l e M.

Prova. Scegliamo delle basi nel sottospazio L e delle basi nel sottospazio M. Dimostriamolo

(6.11) è la base dello spazio R. Per l'ipotesi del teorema, la dimensione dello spazio R nè uguale alla somma dei sottospazi l e M (n=l+m). Basta provare l'indipendenza lineare degli elementi (6.11). Sia il vettore dello spazio nullo Rè rappresentato da una combinazione lineare di vettori (6.11) con alcuni coefficienti:

(6.13)Poiché il lato sinistro della (6.13) è un vettore sottospaziale l, e il lato destro è il vettore del sottospazio M e l∩M=0 , poi

(6.14)Ma vettori e sono basi di sottospazi l e M rispettivamente. Quindi sono linearmente indipendenti. Quindi

(6.15) Abbiamo stabilito che (6.12) vale solo alla condizione (6.15), e ciò dimostra l'indipendenza lineare dei vettori (6.11). Quindi costituiscono una base in R.

Sia x∈R. Lo espandiamo in termini di base (6.11):

(6.16) Da (6.16) abbiamo:

(6.18) Da (6.17) e (6.18) segue che qualsiasi vettore da R può essere rappresentato dalla somma dei vettori X 1 ∈l e X 2 ∈M. Resta da dimostrare che questa rappresentazione è unica. Sia, oltre alla rappresentazione (6.17), anche la seguente rappresentazione:

(6.19) Sottraendo (6.19) dalla (6.17), otteniamo

(6.20) Dal momento che , e l∩M=0 , poi e . Quindi e . ■

Teorema 8.4 sulla dimensione della somma dei sottospazi. Se e sono sottospazi di uno spazio lineare a dimensione finita, allora la dimensione della somma dei sottospazi è uguale alla somma delle loro dimensioni senza la dimensione della loro intersezione ( La formula di Grassmann):

(8.13)

Sia infatti la base dell'intersezione. Integriamolo con un insieme ordinato di vettori fino alla base del sottospazio e un insieme ordinato di vettori fino alla base del sottospazio. Tale addizione è possibile per il Teorema 8.2. Da questi tre insiemi di vettori, comporremo un insieme ordinato di vettori. Mostriamo che questi vettori sono generatori dello spazio. In effetti, qualsiasi vettore di questo spazio può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori dell'insieme ordinato

Quindi, . Dimostriamo che i generatori sono linearmente indipendenti e quindi sono la base dello spazio. Infatti, facciamo una combinazione lineare di questi vettori ed eguagliamola al vettore zero: . Tutti i coefficienti di questa espansione sono zero: i sottospazi di uno spazio vettoriale con una forma bilineare sono l'insieme di tutti i vettori ortogonali a ciascun vettore da . Questo insieme è un sottospazio vettoriale, che di solito è indicato con .

l- incrocio M tutti i sottospazi l contenente X .

Viene anche chiamata shell lineare sottospazio generato X. Solitamente indicato. Si dice anche che la campata lineare allungato un mucchio di X .

Proprietà

Guarda anche

Collegamenti

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GUSCIO LINEARE- l'intersezione di M tutti i sottospazi contenenti l'insieme dello spazio Avettore E. In questo caso, Mnas. anche un sottospazio generato da A. M. I. Voitsekhovsky ... Enciclopedia matematica

Inviluppo lineare dei vettori

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intervallo lineare di vettori- L'insieme delle combinazioni lineari di questi vettori ??iai con tutti i coefficienti possibili (?1, ..., ?n). Argomenti economia IT carena lineare …

algebra lineare- Disciplina matematica, sezione di algebra, contenente, in particolare, la teoria delle equazioni lineari, matrici e determinanti, nonché la teoria degli spazi vettoriali (lineari). Dipendenza lineare "relazione della forma: a1x1 + a2x2 + ... + ... ... Manuale tecnico del traduttore

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guscio- vedi Guscio lineare... Dizionario economico e matematico

Dipendenza lineare

Combinazione lineare- Lo spazio lineare, o spazio vettoriale, è il principale oggetto di studio dell'algebra lineare. Contenuti 1 Definizione 2 Proprietà più semplici 3 Definizioni e proprietà correlate ... Wikipedia

GRUPPO LINEAè il gruppo di trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale V di dimensione finita n su un corpo K. La scelta di una base nello spazio V realizza L. r. Enciclopedia matematica

Libri

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