Permettere l- una linea di spazio. Come in planimetria, qualsiasi vettore

un =/= 0, retta collineare l, è chiamato vettore guida questa linea retta.

La posizione di una retta nello spazio è completamente determinata specificando un vettore di direzione e un punto appartenente alla retta.

Lascia la linea l con vettore guida un passa per il punto M 0 , e M è un punto arbitrario nello spazio. Ovviamente, il punto M (Fig. 197) appartiene alla retta l se e solo se il vettore \(\overrightarrow(M_0 M)\) è collineare al vettore un , cioè.

\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t un , t\(\in\) R. (1)

Se i punti M e M 0 sono dati dai loro vettori raggio r e r 0 (Fig. 198) rispetto ad un punto O dello spazio, quindi \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 e l'equazione (1) assume la forma

r = r 0 + t un , t\(\in\) R. (2)

Si chiamano le equazioni (1) e (2). equazioni vettore-parametriche di una retta. Variabile t nelle equazioni vettore-parametriche viene chiamata una retta parametro.

Sia il punto M 0 una retta l e il vettore di direzione a sono dati dalle loro coordinate:

M 0 ( X 0 ; a 0 , z 0), un = (un 1 ; un 2 ; un 3).

Allora se ( X; si; z) - coordinate di un punto arbitrario M della linea l, poi

\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; tu - tu 0 ; z - z 0)

e l'equazione vettoriale (1) è equivalente alle seguenti tre equazioni:

x - x 0 = ta 1 , tu - tu 0 = ta 2 , z - z 0 = ta 3

$$ \begin(casi) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(casi) (3)$$

Si chiamano le equazioni (3). equazioni parametriche della retta nello spazio.

Compito 1. Scrivi le equazioni parametriche di una retta passante per un punto

M 0 (-3; 2; 4) e avente un vettore di direzione un = (2; -5; 3).

In questo caso X 0 = -3, a 0 = 2, z 0 = 4; un 1 = 2; un 2 = -5; un 3 = 3. Sostituendo questi valori nelle formule (3), otteniamo le equazioni parametriche di questa retta

$$ \begin(casi) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​\;\;t\in R\end(casi) $$

Escludere il parametro t dalle equazioni (3). Questo può essere fatto perché un =/= 0, e quindi una delle coordinate del vettore un ovviamente diverso da zero.

Innanzitutto, lascia che tutte le coordinate siano diverse da zero. Quindi

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

e quindi

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Queste equazioni sono chiamate equazioni canoniche della retta .

Si noti che le equazioni (4) formano un sistema di due equazioni con tre variabili x, y e z.

Se nelle equazioni (3) una delle coordinate del vettore un , Per esempio un 1 è uguale a zero, quindi, escluso il parametro t, otteniamo ancora un sistema di due equazioni con tre variabili x, y e z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Queste equazioni sono anche chiamate equazioni canoniche della retta. Per uniformità, sono anche scritti condizionatamente nella forma (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

considerando che se il denominatore è uguale a zero, il numeratore corrispondente è uguale a zero. Queste equazioni sono equazioni di una retta passante per il punto M 0 ( X 0 ; a 0 , z 0) in parallelo piano delle coordinate yOz, poiché questo piano è parallelo al suo vettore di direzione (0; un 2 ; un 3).

Infine, se nelle equazioni (3) due coordinate del vettore un , Per esempio un 1 e un 2 sono uguali a zero, quindi queste equazioni prendono la forma

X = X 0 , y = a 0 , z = z 0 + t un 3 , t\(\in\) R.

Queste sono le equazioni di una retta passante per il punto M 0 ( X 0 ; a 0 ; z 0) parallelo all'asse Oz. Per una così diretta X = X 0 , y = a 0, a z- qualsiasi numero. E in questo caso, per uniformità, si possono scrivere (con la stessa riserva) le equazioni di una retta nella forma (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Quindi, per qualsiasi spazio diritto si può scrivere equazioni canoniche(4), e viceversa, qualsiasi equazione della forma (4) purché almeno uno dei coefficienti un 1 , un 2 , un 3 non è uguale a zero, definisce una linea di spazio.

Compito 2. Scrivi le equazioni canoniche di una retta passante per il punto M 0 (- 1; 1, 7) parallela al vettore un = (1; 2; 3).

Le equazioni (4) in questo caso si scrivono come segue:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Ricaviamo le equazioni di una retta passante per due punti dati M 1 ( X 1 ; a 1 ; z 1) e

M2( X 2 ; a 2 ; z 2). È ovvio che il vettore di direzione di questa retta può essere preso come vettore un = (X 2 - X 1 ; a 2 - a 1 ; z 2 - z 1), ma oltre il punto M 0 attraverso il quale passa la linea, ad esempio il punto M 1. Quindi le equazioni (4) saranno scritte come segue:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Queste sono le equazioni di una retta passante per due punti M 1 ( X 1 ; a 1 ; z 1) e

M2( X 2 ; a 2 ;z 2).

Compito 3. Scrivi le equazioni di una retta passante per i punti M 1 (-4; 1; -3) e M 2 (-5; 0; 3).

In questo caso X 1 = -4, a 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, a 2 = 0, z 2 = 3. Sostituendo questi valori nelle formule (5), otteniamo

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Compito 4. Scrivi le equazioni di una retta passante per i punti M 1 (3; -2; 1) e

M 2 (5; -2; 1/2).

Dopo aver sostituito le coordinate dei punti M 1 e M 2 nelle equazioni (5), otteniamo

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Lezione n. 7

Piano e linea nello spazio

prof. Dymkov MP

1. Equazione parametrica dritto

Sia dato un punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) su una retta e un vettore s = (l ,m ,n ) giacente su

questa linea (o parallela ad essa). Viene anche chiamato il vettore s guida il vettore dritto.

Queste condizioni definiscono in modo univoco una linea retta nello spazio. Troviamola

l'equazione. Prendi un punto arbitrario M (x, y, z) sulla retta. È chiaro che i vettori

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) e s sono collineari.

Pertanto, M 0 M = t s − è un'equazione vettoriale di una retta.

Nella notazione delle coordinate, l'ultima equazione ha la seguente rappresentazione parametrica

x = x0 + tl ,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

dove t - "corre attraverso"

intervallo (−∞ ,∞ ) ,

(perché il punto M (x, y, z) deve

"correre attraverso"

tutta la linea).

2. Equazione canonica di una retta

Eliminando il parametro t dalle equazioni precedenti, abbiamo

x - x

y - y

z-z

T-

equazione canonica di una retta.

3. Angolo tra le linee. Condizioni " " e " " di due righe

Siano date due righe

x-xi

y - yi

z-zi

io = 1,2.

Definizione.

Angolo tra le rette L 1 e L 2

chiamiamo qualsiasi angolo da

due angoli formati da due rette rispettivamente parallele a quella data e passanti per un punto (per cui può essere necessario fare trasferimento parallelo una delle righe).

Ne consegue dalla definizione che uno degli angoli è uguale all'angolo ϕ tra

vettori di direzione delle linee

= (l 1 ,m 1 ,n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [e il secondo angolo

allora sarà uguale a (π − φ ) ]. Quindi l'angolo è determinato dalla relazione

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Le rette sono parallele se s e s

collineare

Le linee sono perpendicolari a s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. L'angolo tra una linea e un piano. Condizioni « » e « » diretto e

aereo

Sia data la retta L dalla sua equazione canonica x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

e il piano P dall'equazione

Ax + By + Cz + D = 0.

Definizione. Angolo tra la linea L

e il piano p è l'angolo acuto tra la linea L e la sua proiezione sul piano.

Dalla definizione (e dalla figura) risulta che l'angolo richiesto ϕ è aggiuntivo (fino a angolo retto) all'angolo compreso tra il vettore normale n (A , B , C ) e

vettore di direzione s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Peccato φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(. è preso per ottenere un angolo acuto).

Se L Р, allora s n (s, n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 -					condizione " ".
Se L P , allora s è collineare a n
				C-	condizione " ".
5. Punti di intersezione di una retta e di un piano
L : x = x0 + l , t ,					y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P : Ax + By + Cz + D = 0 .
Sostituendo le espressioni per x, y, z nell'equazione del piano e trasformando,
		t = - Ax 0 + Per 0 + Cz 0 + D .
				Al + Bm + Cn

Ora, se sostituiamo la "t" trovata nelle equazioni parametriche della retta, troveremo il punto di intersezione desiderato

Lezione n. 8-9

Nozioni di base analisi matematica

prof. Dymkov MP

Una delle principali operazioni dell'analisi matematica è l'operazione di passaggio al limite, che avviene nel corso in varie forme. Inizieremo con la forma più semplice del passaggio all'operazione limite, basata sulla nozione di limite, la cosiddetta sequenza numerica. Ciò faciliterà l'introduzione di un'altra forma molto importante del passaggio all'operazione limite, il limite di una funzione. In quanto segue, le costruzioni dei passaggi al limite verranno utilizzate nella costruzione del calcolo differenziale e integrale.



 Sequenze infinitesime e infinitamente grandi

 Relazione tra sequenze infinitamente grandi e infinitamente piccole.

 Le proprietà più semplici delle successioni infinitesime

 Limite di sequenza.

 Proprietà delle successioni convergenti

 Operazioni aritmetiche su successioni convergenti

 Sequenze monotone

 Criterio di convergenza di Cauchy

 Il numero e e la sua illustrazione economica.

 Applicazione dei limiti nei calcoli economici

§ 1. Sequenze numeriche e proprietà semplici

1. Il concetto di sequenza numerica. Operazioni aritmetiche su sequenze

Le sequenze numeriche sono insiemi infiniti di numeri. Esempi di sequenze sono note a scuola:

1) la sequenza di tutti i membri di una progressione aritmetica e geometrica infinita;

2) sequenza di perimetri regolari n-gons inscritti in una data circonferenza;

	3) sequenza di numeri							approssimando il numero

sarà chiamata sequenza numerica (o solo una sequenza).

Numeri separati x 3 , x 5 , x n saranno chiamati elementi o membri della sequenza (1). Il simbolo x n è chiamato membro comune o n-esimo di questa sequenza. Dando il valore n = 1, 2, … nel termine comune x n otteniamo, rispettivamente, il primo x 1 , il secondo x 2 e così via. membri.

Una sequenza si considera data (vedi Def.) se viene specificato un metodo per ottenere uno qualsiasi dei suoi elementi. Spesso una sequenza è data da una formula per il termine comune della sequenza.

Per abbreviare la notazione, la sequenza (1) viene talvolta scritta come

(xn). Per esempio,			significa sequenza 1,
( 1+ (− 1)n ) abbiamo			0, 2, 0, 2, … .

La struttura del termine comune (la sua formula) può essere complessa. Per esempio,

							n N.
x n =					n-strano

A volte la sequenza è data dal cosiddetto formule ricorrenti, cioè. formule che consentono di trovare membri successivi della sequenza da quelli precedenti noti.

Esempio (numeri di Fibonacci). Sia x 1 = x 2 = 1 e sia data la formula ricorrente x n = x n − 1 + x n − 2 per n = 3, 4, …. Allora abbiamo la sequenza 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (i numeri di Leonardo da Pisa, soprannominato Fibonacci). Geometricamente, una sequenza numerica può essere rappresentata su un numero

asse sotto forma di una sequenza di punti le cui coordinate sono uguali alla corrispondente

membri corrispondenti della sequenza. Ad esempio, ( x n ) = 1 n .

Lezione № 8-9 Fondamenti di analisi matematica prof. Dymkov MP 66

Considera insieme alla sequenza ( x n ) un'altra sequenza ( y n ) : y 1 , y 2 , y ,n (2).

Definizione. La somma (differenza, prodotto, quoziente) della sequenza

valori ( xn ) e ( yn ) è chiamata sequenza ( zn ) i cui membri sono

formato secondo

z n = x n + y n

X-y

≠ 0

Il prodotto di una sequenza (xn) e di un numero c R è una sequenza (c xn).

Definizione. La sequenza ( xn ) è chiamata limitata

dall'alto (dal basso), se esiste un numero reale M (m) tale che ogni elemento di questa successione xn soddisfi il disuguale

xn ≤ M (xn ≥ m) . Una successione si dice limitata se è limitata sia al di sopra che al di sotto di m ≤ xn ≤ M . Viene chiamata la sequenza xn

è illimitato se per numero positivo A (non più) almeno c'è un elemento della sequenza xn , soddisfa

che dà la disuguaglianza xn > A.

( x n ) = ( 1 n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − è limitato dal basso da 1, ma è illimitato.

( x n ) = ( − n ) − limitato dall'alto (–1), ma anche illimitato.

Definizione. Viene chiamata la sequenza ( x n ). infinitesimale,

se per ogni numero reale positivo ε (non importa quanto piccolo sia preso) esiste un numero N , dipendente, in generale, da ε , (N = N (ε )) tale che per ogni n ≥ N la disuguaglianza x n< ε .

Esempio. ( x n ) = 1 n .

Definizione. Viene chiamata la sequenza ( xn ). dolore infinito-

scarso se per un numero reale positivo A (non importa quanto sia grande) esiste un numero N (N = N(A)) tale che per ogni n ≥ N

si ottiene la disuguaglianza xn > A.

Lascia che la retta passi per il punto M1 (x1, y1, z1) e sia parallela al vettore (m ,n, l). Scriviamo un'equazione per questa linea.

Prendiamo un punto arbitrario M (x, y, z) su questa retta e troviamo la relazione tra x, y, z. Costruiamo un vettore

I vettori sono collineari.

- equazione canonica di una retta nello spazio.

44 Equazioni parametriche di una retta

Perché questa equazione è soddisfatta dalle coordinate di qualsiasi punto della retta, quindi l'equazione risultante è un'equazione parametrica della retta.

Questa equazione vettoriale può essere rappresentata in forma di coordinate:

Trasformando questo sistema ed eguagliando i valori del parametro t, otteniamo le equazioni canoniche di una retta nello spazio:

Definizione. I coseni di direzione della retta sono i coseni di direzione del vettore, che possono essere calcolati con le formule:

Da qui si ottiene: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

I numeri m, n, p sono chiamati pendenza della retta. Poiché è un vettore diverso da zero, m, n e p non possono essere uguali a zero contemporaneamente, ma uno o due di questi numeri possono essere uguali a zero. In questo caso, nell'equazione di una retta, i numeratori corrispondenti devono essere equiparati a zero.

45 Equazione di una retta nello spazio passante per due punti dati diversi.

Geometria analitica

Equazione di una retta passante per due punti dati.

Siano dati M1(x1y1) e M2(x2y2) sul piano. Componiamo l'equazione canonica della retta passante per questi due punti, come vettore di direzione S prendiamo M1M2

troika.

Questa è l'equazione di una retta passante per due punti dati (x1 y1) e (x2, y2)

Passiamo ora alle equazioni della retta e del piano nello spazio.

Geometria analitica nello spazio tridimensionale

Analogamente al caso bidimensionale, qualsiasi equazione di primo grado rispetto a tre variabili x, y, z è l'equazione di un piano nello spazio Оxyz.planes. L'equazione canonica del piano passante per il punto M(x0,y0,z0) e avente la normale N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – qual è questa equazione?

I valori x-x0, y-y0 e z-z0 sono le differenze tra le coordinate del punto corrente e il punto fisso. Pertanto, il vettore a (x-x 0, y-y0, z-z0) è un vettore che giace nel piano descritto e il vettore N è un vettore perpendicolare al piano, il che significa che sono perpendicolari tra loro.

Allora loro prodotto scalare dovrebbe essere uguale a zero.

Nella forma delle coordinate (N,a)=0 appare così:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

Nello spazio si distinguono le triple di vettori destra e sinistra. Una terna di vettori non complanari a, b, c si dice giusta se, dalla loro comune origine, la traversata degli estremi dei vettori a, b, c nell'ordine indicato sembra all'osservatore essere in senso orario. Altrimenti caso a,b,c- sinistra.

46 Angolo tra le linee nello spazio

Un angolo tra rette nello spazio è uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date due rette nello spazio:

Ovviamente, l'angolo φ tra le linee può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e. Poiché, quindi, secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo

Le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette sono equivalenti alle condizioni di parallelismo e perpendicolarità dei loro vettori di direzione e:

Due rette sono parallele se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè l1 è parallelo a l2 se e solo se è parallelo .

Due rette sono perpendicolari se e solo se la somma dei prodotti dei coefficienti corrispondenti è uguale a zero: .

Trova le equazioni della retta passante per il punto М1(1;2;3) parallelo alla retta l1:

Poiché la retta desiderata l è parallela a l1, allora come vettore di direzione della retta desiderata l, possiamo prendere il vettore di direzione della retta l1.

Le equazioni parametriche di una retta si ottengono elementare dall'equazione canonica di questa retta, che ha la forma . Prendiamo come parametro il valore per il quale si possono moltiplicare le parti sinistra e destra dell'equazione canonica.

Poiché uno dei denominatori è necessariamente diverso da zero e il numeratore corrispondente può assumere qualsiasi valore, l'intero asse numeri reali: .

Riceveremo o finalmente

Le equazioni (1) sono le equazioni parametriche desiderate della retta. Queste equazioni consentono l'interpretazione meccanica. Se assumiamo che il parametro sia il tempo misurato da un momento iniziale, le equazioni parametriche determinano la legge del moto punto materiale in linea retta a velocità costante (tale movimento avviene per inerzia).

Esempio 1 Componi su un piano le equazioni parametriche di una retta passante per un punto e avente un vettore di direzione.

Soluzione. Sostituiamo i dati del punto e del vettore di direzione in (1) e otteniamo:

Spesso nelle attività è necessario trasformare le equazioni parametriche di una retta in altri tipi di equazioni e da equazioni di altro tipo per ottenere equazioni parametriche di una retta. Diamo un'occhiata ad alcuni di questi esempi. Per trasformare le equazioni parametriche di una retta in equazione generale di una retta prima devono essere ricondotti alla forma canonica, e poi dall'equazione canonica che otteniamo equazione generale dritto

Esempio 2 Scrivi l'equazione di una retta

in generale.

Soluzione. Innanzitutto, portiamo le equazioni parametriche della retta all'equazione canonica:

Ulteriori trasformazioni portano l'equazione alla forma generale:

È un po' più difficile convertire un'equazione generale in equazioni parametriche di una retta, ma per questa azione è anche possibile elaborare un chiaro algoritmo. In primo luogo, possiamo trasformare l'equazione generale in equazione della pendenza e trova da esso le coordinate di un punto appartenente alla linea, dando a una delle coordinate un valore arbitrario. Conoscendo le coordinate del punto e il vettore di direzione (dall'equazione generale), si possono scrivere le equazioni parametriche della retta.

Esempio 3 Scrivi l'equazione di una retta sotto forma di equazioni parametriche.

Soluzione. Portiamo l'equazione generale di una retta in un'equazione con una pendenza:

Troviamo le coordinate di un punto appartenente alla retta. Assegna a una delle coordinate del punto un valore arbitrario

Dall'equazione di una retta con pendenza, otteniamo un'altra coordinata del punto:

Quindi, conosciamo il punto e il vettore di direzione. Sostituiamo i loro dati in (1) e otteniamo le equazioni parametriche desiderate della retta:

Esempio 4 Trova la pendenza di una retta data dalle equazioni parametriche

Soluzione. Le equazioni parametriche di una retta devono essere prima convertite nell'equazione canonica, poi nella generale e infine nell'equazione della pendenza.

Quindi, la pendenza di una data retta:

Esempio 5 Componi le equazioni parametriche di una retta passante per un punto e una perpendicolare

Assicurati di leggere questo paragrafo! Le equazioni parametriche, ovviamente, non sono l'alfa e l'omega della geometria spaziale, ma la formica funzionante di molti problemi. Inoltre, questo tipo di equazioni viene spesso applicato in modo imprevisto, direi elegante.

Se sono noti il ​​punto appartenente alla retta e il vettore di direzione di questa retta, le equazioni parametriche di questa retta sono date dal sistema:

Ho parlato del concetto stesso di equazioni parametriche nelle lezioni Equazione di una retta su un piano e Derivata di una funzione definita parametricamente.

Tutto è più semplice di una rapa al vapore, quindi devi rendere più piccante il compito:

Esempio 7

Soluzione: Le rette sono date da equazioni canoniche e nella prima fase si dovrebbe trovare un punto appartenente alla retta e il suo vettore di direzione.

a) Rimuovere il punto e il vettore di direzione dalle equazioni: . Puoi scegliere un altro punto (come farlo è descritto sopra), ma è meglio prendere quello più ovvio. A proposito, per evitare errori, sostituisci sempre le sue coordinate nelle equazioni.

Componiamo le equazioni parametriche di questa retta:

La comodità delle equazioni parametriche è che con il loro aiuto è molto facile trovare altri punti della retta. Per esempio, troviamo un punto le cui coordinate, diciamo, corrispondono al valore del parametro:

In questo modo:

b) Considera le equazioni canoniche. La scelta di un punto qui è semplice, ma insidiosa: (attenzione a non confondere le coordinate!!!). Come estrarre un vettore guida? Puoi argomentare a cosa è parallela questa retta, oppure puoi usare un semplice trucco formale: la proporzione è "y" e "z", quindi scriviamo il vettore di direzione e mettiamo zero nello spazio rimanente: .

Componiamo le equazioni parametriche della retta:

c) Riscriviamo le equazioni nella forma , cioè "Z" può essere qualsiasi cosa. E se ce ne sono, allora lasciamo, per esempio, . Quindi, il punto appartiene a questa linea. Per trovare il vettore di direzione, utilizziamo la seguente tecnica formale: nelle equazioni iniziali ci sono "x" e "y", e nel vettore di direzione in questi punti scriviamo zeri: . Nel posto rimanente mettiamo unità: . Invece di uno, qualsiasi numero, tranne lo zero, andrà bene.

Scriviamo le equazioni parametriche della retta:

Per allenamento:

Esempio 8

Scrivi le equazioni parametriche per le seguenti linee:

Soluzioni e risposte alla fine della lezione. Le tue risposte potrebbero differire leggermente dalle mie risposte, il fatto è che le equazioni parametriche possono essere scritte in più di un modo. È importante che il tuo e il mio vettore di direzione siano collineari e che il tuo punto "si adatti" alle mie equazioni (beh, o viceversa, il mio punto con le tue equazioni).

In quale altro modo puoi definire una linea retta nello spazio? Vorrei inventare qualcosa con il vettore normale. Tuttavia, il numero non funzionerà, per una linea spaziale, i vettori normali possono guardare in direzioni completamente diverse.

Un altro metodo è già stato menzionato nella lezione Equazione piana e all'inizio di questo articolo.