L'equazione caratteristica viene compilata per il circuito dopo la commutazione. Può essere ottenuto nei seguenti modi:

• direttamente sulla base di un'equazione differenziale della forma (2) (vedi lezione n. 24), cioè escludendo dal sistema di equazioni che descrivono lo stato elettromagnetico del circuito in base alla prima e alla seconda legge di Kirchhoff, tutte le incognite, tranne una, rispetto alla quale si scrive l'equazione (2);
• utilizzando l'espressione per la resistenza di ingresso del circuito su una corrente sinusoidale;
• sulla base dell'espressione del determinante principale.

Secondo il primo metodo, nella lezione precedente, è stata ottenuta un'equazione differenziale per la tensione ai capi del condensatore per un circuito R-L-C in serie, sulla base della quale viene scritta l'equazione caratteristica.

Va notato che, poiché il circuito lineare è coperto da un unico processo transitorio, le radici equazione caratteristica sono comuni a tutti i componenti liberi di tensioni e correnti dei rami del circuito, i cui parametri sono inclusi nell'equazione caratteristica. Pertanto, secondo il primo metodo di compilazione dell'equazione caratteristica, una qualsiasi variabile può essere scelta come variabile rispetto alla quale è scritta.

L'applicazione del secondo e del terzo metodo per la compilazione dell'equazione caratteristica sarà considerata utilizzando l'esempio del circuito di Fig. uno.

La compilazione dell'equazione caratteristica secondo il metodo della resistenza di ingresso è la seguente:

viene registrata l'impedenza di ingresso del circuito in corrente alternata;

jw è sostituito dall'operatore p;

l'espressione risultante è impostata su zero.

L'equazione

corrisponde alla caratteristica.

Va sottolineato che la resistenza di ingresso può essere scritta rispetto al punto di interruzione di qualsiasi ramo del circuito. In questo caso, la rete attiva a due terminali viene sostituita da una passiva, per analogia con il metodo del generatore equivalente. Questo metodo la stesura dell'equazione caratteristica implica l'assenza di rami accoppiati magneticamente nel circuito; se ve ne sono, è necessario effettuare il loro scioglimento preliminare.

Per il circuito di fig. 1 rispetto ai terminali sorgente

.

Sostituendo jw con p e uguagliando l'espressione risultante a zero, scriviamo

.

(1)

Quando si compila un'equazione caratteristica basata sull'espressione del determinante principale, il numero di equazioni algebriche in base alle quali è scritta è uguale al numero di componenti di corrente libera sconosciute. Algebraizzazione del sistema originario di integro equazioni differenziali, compilata, ad esempio, sulla base delle leggi di Kirchhoff o con il metodo delle correnti d'anello, viene effettuata sostituendo i simboli di differenziazione e integrazione, rispettivamente, con moltiplicazione e divisione ad opera dell'operatore p. L'equazione caratteristica si ottiene uguagliando a zero il determinante scritto. Poiché l'espressione per il determinante principale non dipende dalle parti giuste del sistema di equazioni disomogenee, può essere compilata sulla base di un sistema di equazioni scritte per correnti totali.

Per il circuito di fig. 1, il sistema di equazioni algebraizzato basato sul metodo delle correnti d'anello ha la forma

Da qui l'espressione per il determinante principale di questo sistema

Uguagliando D a zero, otteniamo un risultato simile a (1).

Metodologia generale per il calcolo dei transitori con il metodo classico

Nel caso generale, il metodo per calcolare i processi transitori con il metodo classico comprende i seguenti passaggi:

Esempi di calcolo di processi transitori con il metodo classico

1. Processi di transizione in Catene R-L quando collegato a una sorgente di tensione

Tali processi hanno luogo, ad esempio, quando elettromagneti, trasformatori, motori elettrici, ecc. sono collegati a una fonte di alimentazione.

Considera due casi:

Secondo il metodo considerato per la corrente nel circuito in fig. 2 può essere scritto

Equazione caratteristica

da dove e tempo costante .

Così,

.

(5)

Sostituendo (4) e (5) nella relazione (3), scriviamo

.

Secondo la prima legge di commutazione. Quindi

,

Pertanto, la corrente nel circuito nel processo transitorio è descritta dall'equazione

,

e la tensione sull'induttore - dall'espressione

.

La forma qualitativa delle curve e corrispondenti alle soluzioni ottenute è mostrata in Fig. . 3.

Con il secondo tipo di sorgente, la componente forzata viene calcolata con il metodo simbolico:

,

L'espressione per la componente libera non dipende dal tipo di sorgente di tensione. Quindi,

.

Perché poi

Così, finalmente otteniamo

.

(6)

L'analisi dell'espressione risultante (6) mostra:

Se è di entità significativa, la componente libera non diminuisce in modo significativo in mezzo periodo. In questo caso, il valore massimo della corrente transitoria può superare significativamente l'ampiezza della corrente in regime stazionario. Come si può vedere dalla figura. 4, dove

, la corrente massima si verifica approssimativamente dopo . Nel limite di .

Pertanto, per un circuito lineare, il valore massimo della corrente transitoria non può superare il doppio dell'ampiezza della corrente forzata: .

Allo stesso modo per un circuito lineare con un condensatore: se al momento della commutazione la tensione forzata è uguale al suo valore di ampiezza e la costante di tempo del circuito è abbastanza grande, allora dopo circa metà del periodo la tensione sul condensatore raggiunge il suo valore massimo , che non può superare il doppio dell'ampiezza della tensione forzata: .

2. Transitori quando l'induttore è scollegato dalla fonte di alimentazione

Quando si apre la chiave nel circuito di fig. 5 è la componente forzata della corrente attraverso l'induttore.

Equazione caratteristica

,

dove e .

Secondo la prima legge di commutazione

.

Pertanto, l'espressione per la corrente nel modo transitorio

e la tensione ai capi dell'induttore

.

(7)

L'analisi (7) mostra che all'apertura di circuiti contenenti elementi induttivi possono verificarsi grandi sovratensioni che, senza l'adozione di misure speciali, possono danneggiare l'apparecchiatura. Infatti, a il modulo di tensione sull'induttore al momento della commutazione sarà molte volte superiore alla tensione della sorgente: . In assenza di un resistore di spegnimento R, la tensione specificata viene applicata ai contatti di apertura della chiave, a seguito della quale si verifica un arco tra di loro.

3. Carica e scarica del condensatore

Quando la chiave viene ruotata in posizione 1 (vedi Fig. 6), inizia il processo di carica del condensatore:

.

Componente forzata della tensione ai capi del condensatore.

Dall'equazione caratteristica

la radice è determinata . Da qui la costante di tempo.

L'equazione caratteristica viene compilata per il circuito dopo la commutazione. Può essere ottenuto nei seguenti modi:

Direttamente sulla base di un'equazione differenziale della forma (1.2), cioè escludendo dal sistema di equazioni che descrivono lo stato elettromagnetico del circuito sulla base delle leggi di Kirchhoff, tutte le incognite, tranne una, rispetto alla quale si scrive l'equazione;

Utilizzando l'espressione per la resistenza di ingresso del circuito su una corrente sinusoidale;

Basato sull'espressione del determinante principale.

Secondo il primo metodo in 1.4.1, è stata ottenuta un'equazione differenziale rispetto alla tensione u C su un condensatore per serie r-L-C-catene (vedi fig. 1.6):

sulla base della quale si scrive l'equazione caratteristica

.

Si noti che, essendo il circuito lineare coperto da un unico processo transitorio, le radici dell'equazione caratteristica sono comuni a tutte le componenti libere delle tensioni e delle correnti dei rami circuitali, i cui parametri sono inclusi nell'equazione caratteristica . Pertanto, secondo il primo metodo di compilazione dell'equazione caratteristica, qualsiasi valore può essere scelto come grandezza rispetto alla quale è scritto.

La compilazione dell'equazione caratteristica secondo il metodo della resistenza di ingresso è la seguente:

1. Viene scritta un'espressione per la resistenza di ingresso del circuito sulla corrente alternata in forma complessa ;

2. Nell'espressione risultante jω viene sostituito dall'operatore R;

3. L'espressione risultante è impostata su zero.

L'equazione coincide con quella caratteristica.

Va sottolineato che la resistenza di ingresso può essere scritta rispetto al punto di interruzione di qualsiasi ramo del circuito. In questo caso, le fonti di energia sono escluse dal circuito e le loro resistenze interne rimangono al loro posto.

Questo metodo di compilazione dell'equazione caratteristica presuppone l'assenza di rami accoppiati magneticamente nel circuito elettrico. Se ce ne sono, è necessario effettuare un disaccoppiamento magnetico.

Per il circuito in esame (vedi Fig. 1.6), secondo il metodo della resistenza di ingresso, si ha:

;

;

.

Quando si compila un'equazione caratteristica basata sull'espressione del determinante principale, il numero di equazioni algebriche in base alle quali è scritta è uguale al numero di componenti di corrente libera sconosciute.

L'algebrazione del sistema originario di equazioni integro-differenziali, compilato, ad esempio, sulla base delle leggi di Kirchhoff o con il metodo delle correnti d'anello, viene effettuata sostituendo le operazioni di differenziazione e integrazione, rispettivamente, moltiplicando e dividendo per il operatore R. L'equazione caratteristica si ottiene uguagliando a zero il determinante scritto.

Poiché l'espressione per il determinante principale non dipende dalle parti giuste del sistema di equazioni disomogenee, può essere compilata sulla base di un sistema di equazioni scritte per correnti totali.

Per lo schema in esame (vedi Fig. 1.6) per la modalità libera abbiamo:

.

Sostituendo la derivata e l'integrale nell'equazione, come accennato in precedenza, otteniamo equazione algebrica

o .

Dove arriviamo

o .

) MA = ||aik||n 1 sottraendo il valore λ dagli elementi diagonali. Questo determinante è un polinomio in X - il polinomio caratteristico. Nella forma aperta X. at. si scrive così:

dove S1 = un 11 + un 22 +... ann- cosiddetto. traccia Matrix, S2- la somma di tutti i principali minori di 2° ordine, cioè minori della forma i k), ecc., e S n- determinante di matrice MA. Radici H. u. λ 1 , λ 2 ,..., λ n sono detti autovalori della matrice MA. Per una matrice simmetrica reale, così come per una matrice hermitiana, tutti λ K sono reali, una matrice asimmetrica reale ha tutto λ K puramente numeri immaginari; nel caso di una matrice ortogonale reale, oltre che unitaria, tutti |λ K| = 1.

H. u. trovato in un'ampia varietà di aree di matematica, meccanica, fisica, tecnologia. In astronomia, nel determinare le perturbazioni secolari dei pianeti, arrivano anche a X. at .; da qui il secondo nome di H. u. - equazione secolare.

2) X. y. equazione differenziale lineare con coefficienti costanti

uno 0λ y (n) + a 1 anno (n-1) +... + un n-1 y" + qualunque = 0

L'equazione algebrica che risulta dall'equazione differenziale data dopo un cambio di funzione A e le sue derivate dalle potenze corrispondenti di λ, cioè l'equazione

uno 0λ n + un 1λ n-1 + ... + un n-1 si" + qualunque = 0.

A questa equazione si arriva quando si trova una soluzione particolare della forma A = se λ X per una data equazione differenziale. Per un sistema di equazioni differenziali lineari

H. u. scritto usando il determinante

H. u. matrici UN =

Grande enciclopedia sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

Guarda cos'è la "Equazione caratteristica" in altri dizionari:

In molti casi processi fisici, che si verificano nei sistemi, sono descritti da un sistema di equazioni differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti, che in un caso abbastanza generale possono essere ridotti a un'equazione differenziale ... Enciclopedia della tecnologia

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equazione caratteristica Enciclopedia "Aviazione"

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L'antica equazione, cfr. Polinomio caratteristico … Enciclopedia matematica

Un polinomio caratteristico è un polinomio che definisce gli autovalori di una matrice. Un altro significato: il polinomio caratteristico di una ricorrenza lineare è un polinomio. Sommario 1 Definizione ... Wikipedia

Libri

• Anelli di Lie caratteristici ed equazioni integrabili non lineari, Zhiber A.V.