Il concetto di numero complesso è principalmente associato all'equazione. Non esiste numeri reali, che soddisferebbe questa equazione.

Pertanto, i numeri complessi sono nati come generalizzazione (estensione) del campo dei numeri reali quando si cerca di risolvere equazioni quadratiche arbitrarie (e più generali) aggiungendo nuovi numeri in modo che l'insieme esteso formi un campo numerico in cui l'azione di estrazione la radice sarebbe sempre fattibile.

Definizione.Un numero il cui quadrato è - 1, solitamente indicato dalla letteraio e chiama unità immaginaria.

Definizione. campo numeri complessi Insieme a è chiamata estensione minima del campo dei numeri reali contenente la radice dell'equazione.

Definizione. Campo Insieme a chiamata campo dei numeri complessi se soddisfa le seguenti condizioni:

Teorema. (Sull'esistenza e l'unicità del campo dei numeri complessi). Ce n'è solo uno, fino alla notazione della radice dell'equazione campo dei numeri complessi Insieme a .

Ogni elemento può essere rappresentato in modo univoco come segue:

dove , è la radice dell'equazione io 2 +1=0.

Definizione. Qualsiasi elemento chiamata numero complesso, viene chiamato il numero reale x parte reale numero z ed è indicato con , viene chiamato il numero reale y parte immaginaria numero z ed è indicato da .

Pertanto, un numero complesso è una coppia ordinata, un complesso composto da numeri reali X e y.

Se un X=0, quindi il numero z= 0+io=io chiamata puramente immaginario o immaginario. Se un y=0, quindi il numero z=x+ 0i=xè identificato con un numero reale X.

Due numeri complessi e sono considerati uguali se le loro parti reale e immaginaria sono uguali:

Un numero complesso è zero quando sia la sua parte reale che quella immaginaria sono zero:

Definizione. Due numeri complessi che hanno lo stesso valore parte reale, le cui parti immaginarie sono uguali in valore assoluto, ma opposte nel segno, si chiamano complesso coniugato o semplicemente coniugato.

Il numero coniugato z, è indicato da . Quindi, se , allora .

1.3. Modulo e argomento di un numero complesso.
Rappresentazione geometrica di numeri complessi

Geometricamente, un numero complesso è rappresentato su un piano (Fig. 1) come un punto M con coordinate ( X, y).

Definizione. Viene chiamato il piano su cui vengono disegnati i numeri complessi piano complesso C, assi Ox e Oy, su cui si trovano i numeri reali e numeri puramente immaginari , sono chiamati valido e immaginario rispettivamente assi.

Posizione del punto può anche essere determinato utilizzando coordinate polari r e φ , cioè. utilizzando la lunghezza del raggio vettore e il valore dell'angolo di inclinazione del raggio vettore del punto M(x, y) al semiasse reale positivo Oh.

Definizione. modulo numero complesso è la lunghezza del vettore che rappresenta il numero complesso sul piano delle coordinate (complesso).

Il modulo di un numero complesso è indicato da o dalla lettera r ed è uguale a valore aritmetico la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue parti reale e immaginaria.

si consideri l'insieme R2 di tutte le possibili coppie ordinate (x» Y) di numeri reali xxy € R. Per tali coppie (a, b) = (c, d) se e solo se a = c e b - d. Introduciamo su questo insieme R2 le leggi interne di composizione sotto forma di operazioni di addizione e moltiplicazione. Definiamo addizione con l'uguaglianza £faa l'operazione è associativa e commutativa; esso ha (secondo la Definizione 4.5) un elemento neutro (0, 0), e, per la Definizione 4.6, per ogni coppia (a, 6) si può specificare un elemento simmetrico (opposto) (-a, -6). Infatti, V(a, 6) £ R2 Inoltre, o Il campo dei numeri complessi. Definiamo la moltiplicazione per uguaglianza È facile verificare che l'operazione così introdotta è associativa, commutativa e distributiva rispetto all'addizione. Questa operazione ha un elemento neutro, che è la coppia (1, 0), poiché Quindi, rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione introdotte, l'insieme R2 è un anello abeliano con unità (vedi Tabella 4.1). u* Tra l'insieme delle coppie (x, 0) € R2 e l'insieme dei numeri reali x G R è facile stabilire una corrispondenza biunivoca (x, 0) x) da cui segue che, Il campo di numeri complessi. quelli. l'addizione e la moltiplicazione di tali coppie vengono eseguite allo stesso modo dei numeri reali. Sostituiamo le coppie della forma (x, 0) con numeri reali, ad es. invece di (x, 0) scriveremo semplicemente x, in particolare, invece di (1, 0), scriveremo semplicemente 1. La coppia (0, 1) occupa un posto speciale nell'insieme R2. Secondo la (4.3), ha le proprietà e ha ricevuto una notazione speciale i, quindi, in vista delle (4.2) e (4.3), qualsiasi coppia (x, y) ∈ R2 può essere rappresentata come il campo dei numeri complessi . Denota z. L'elemento z è detto coniugato complesso dell'elemento z. Tenendo conto della (4.3) z-z = x2 -by2. Se z non corrisponde all'elemento neutro (0, 0), cioè se x e y non sono contemporaneamente uguali a 0 (indicano 2^0), allora x2 + + y2 φ 0. Quindi l'inverso (simmetrico, opposto rispetto all'operazione di moltiplicazione - vedi 4.1) all'elemento z \u003d x + iy sarà un tale elemento r "1, che zz~l = 1 o zzz~l = z, cioè (x2 + y2)z~l = x - y Quindi -1_ X 2 Y \ Pertanto, ogni elemento di gf O ha un inverso a svb rispetto all'operazione di moltiplicazione, e l'insieme R2 con le operazioni di addizione e moltiplicazione unite su di esso secondo (4.1) e (4.3) è quindi un campo (vedi Tabella 4.1 ) Si chiama campo (o insieme) dei numeri complessi ed è indicato con C. B In virtù della corrispondenza biunivoca di cui sopra (r, 0) € R2 ++ x € R alla frazione di numeri complessi è un estensione del campo dei numeri reali. Qualsiasi elemento r in C è chiamato numero complesso e la sua rappresentazione nella forma z = x + iy> dove x, y £ R e i2 = -l,- algebrico forma rappresentata da un numero complesso. In questo caso, £ è chiamata parte reale del numero complesso e indicata con Re z, e y è chiamata parte immaginaria e indicata con Imz (t è chiamata unità immaginaria). Nota che la parte immaginaria di un numero complesso è un numero reale. Il nome per y non ha del tutto successo, ma in omaggio alla tradizione storica, è rimasto fino ad oggi. Il termine "numero complesso"44 fu introdotto nel 1803 dal matematico francese JI. Carnot (1753-1823), ma K. Gauss iniziò a usare sistematicamente questo termine dal 1828 per sostituire il meno fortunato “numero immaginario”44. Nella letteratura matematica russa del XIX secolo. usava il termine "numero composto"44. Già in R. Descartes si contrappongono la parte reale e quella immaginaria di un numero complesso. Successivamente, le prime lettere delle parole francesi reele (reale) e imagimaire (immaginario) divennero le designazioni di queste parti, sebbene molti matematici considerassero l'essenza delle quantità immaginarie poco chiara e persino misteriosa e mistica. Quindi, I. Newton non li ha inclusi nel concetto di numero, e G. Leibniz appartiene alla Frase: “I numeri immaginari sono un meraviglioso e meraviglioso rifugio dello spirito divino, quasi come un anfibio dell'essere con il non essere44. Poiché l'insieme R2 di tutte le possibili coppie di numeri reali può essere identificato con punti sul piano, ogni numero complesso z =? x + iy corrisponde al punto y) (Fig. 4.1), che permette di parlare della forma geometrica della rappresentazione di un numero complesso. Quando i numeri complessi sono identificati con i punti del piano, si parla di piano complesso, o piano dei numeri complessi. I numeri reali sono posti sull'asse x, cioè numeri z, per cui lmz = y = 0, e sull'asse Oy - numeri z = iy, detti puramente immaginari, per i quali Re r = x = 0. Poeto-Fig. 4,1 milioni assi coordinati nel piano complesso sono chiamati rispettivamente reale e immaginario. I punti del piano corrispondenti agli elementi coniugati complessi zez (numeri coniugati complessi) sono simmetrici rispetto all'asse reale ei punti che rappresentano ze -z sono simmetrici rispetto all'origine. Distanza Campo di numeri complessi. punto M(x, y), raffigurante un numero complesso z = x + iy sul piano, dall'origine è chiamato modulo del numero complesso ed è indicato con \z\ o r. L'angolo che forma il vettore raggio del il punto M con la direzione positiva dell'asse Ox è chiamato argomento di un numero complesso e denota Argz o (p (vedi Fig. 4.1). L'angolo è letto come in trigonometria: la direzione antioraria è considerata la direzione positiva di la variazione dell'angolo È chiaro che Arg z non è definito in modo univoco, ma fino a un multiplo di 2n\ L'unico valore dell'argomento che soddisfa la condizione (a volte 0 è chiamato principale e denotato da argz. Quindi, Arg * = arg2: + 2mg, m € Z. Per z - 0, il valore di Args non è definito. I punti corrispondenti a questo numero (l'origine) sono caratterizzati solo dalla condizione \z\ = r = 0. Quindi , per ogni numero complesso z acceso piano complesso corrisponde al vettore raggio del punto M(x, y), che può essere specificato da its coordinate polari: raggio polare r ≥ 0, uguale al modulo del numero complesso, e angolo polare coincidente con il valore principale dell'argomento di questo numero complesso. Secondo le definizioni note dal corso scolastico di trigonometria funzioni trigonometriche ed inversamente ad essi (vedi 3.5), per qualsiasi posizione del punto z sul piano complesso, abbiamo x=rcosy>= X Tenendo conto delle restrizioni imposte al valore principale dell'argomento del numero complesso, otteniamo se x > 0; se x 0; se x = 0 e y. Dalla (4.6) segue che vale la notazione + tsiny>), (4.8), che è chiamata forma trigonometrica della rappresentazione di un numero complesso. Per il passaggio dalla forma algebrica di rappresentazione alla forma trigonometrica, utilizzare (4.5) e (4.7) ”e per la transizione inversa - (4.6). Si noti che due numeri complessi diversi da zero sono uguali se e solo se i loro moduli sono uguali e gli argomenti differiscono per termini multipli di 2n. Secondo (4.1), la somma dei numeri complessi z \ e r2 sarà un numero complesso e la loro differenza - Da queste formule segue che l'addizione (o sottrazione) di numeri complessi è simile all'addizione (o sottrazione) di vettori nel piano complesso secondo la regola del parallelogramma (Fig. 4.2) (mentre si sommano o sottraggono le corrispondenti coordinate dei vettori). Pertanto, per moduli di numeri complessi, le disuguaglianze triangolari a sono valide nella forma (la lunghezza di qualsiasi lato di un triangolo non è maggiore della somma delle lunghezze dei suoi altri due lati). Tuttavia, è qui che finisce l'analogia tra numeri complessi e vettori. La somma o la differenza di numeri complessi può essere un numero reale (ad esempio, la somma di complessi coniugati numeri r-f z = = 2x, x = Rez e R). Secondo (4.3), il prodotto dei numeri complessi z\ e z2 è un numero complesso. il quoziente Z1/22 per V*2 φ 0 si intende un numero complesso -r che soddisfa l'uguaglianza z^z = z\. Dopo aver moltiplicato entrambe le parti di questa uguaglianza per 22, otteniamo.Elevare un numero complesso z alla potenza n ∈ N significa moltiplicare z per se stesso n volte, tenendo conto del fatto che per k 6 N è il campo dei numeri complessi. La notazione trigonometrica (4.8) permette di semplificare la moltiplicazione, la divisione e l'esponenziazione di numeri complessi. Quindi, per z\ \u003d r\ (cos (p\ + isiny?i) e Z2 \u003d Г2 (co + -f isin no (4.3) si può stabilire che Sul piano complesso (Fig. 4.3) corrisponde la moltiplicazione alla rotazione del segmento OM di un angolo (in senso antiorario a 0) e una variazione della sua lunghezza di r2 = \z2\ volte; esponenziazione n £ N moltiplicando z per se stesso n volte, semi-nay grado razionale q = m/n, q € Q, m € Z, n6N, è connesso con l'elevazione di questo numero alla potenza 1/n, o, come si suol dire, con l'estrazione radice ennesima potenze da un numero complesso. L'estrazione di una radice è l'operazione inversa dell'esponenziazione, cioè = w se wn = z. lascia stare). Allora dalla (4.13) abbiamo e, tenendo conto dell'uguaglianza dei numeri complessi, otteniamo Dall'espressione (4.14), chiamata formula di Moivre per estrarre la radice di un grado intero positivo da un numero complesso), segue che tra i possibili valori di y/z, ci saranno n valori corrispondenti a k ​​= = 0, n - 1. Tutti gli n valori distinti per $fz hanno lo stesso modulo e i loro argomenti differiscono per angoli multipli di 2jr/n. I valori corrispondono ai punti del piano complesso ai vertici regolare n-gon inscritta in una circonferenza di raggio 1/f centrata all'origine. In questo caso, il vettore raggio di uno dei vertici forma un angolo (p/n) con l'asse Ox. Da (4.13) e (4.14) segue la formula per elevare il numero complesso z /0 ad una potenza razionale g € Q. Beli g = m/n, dove m € Z e n € N, tenendo conto della (4.7), otteniamo (Quindi, in forma trigonometrica. Secondo (4.11) e (4.12) troviamo: Utilizzando (4.13 ), eleviamo z\ alla potenza n = 4, applicando (4.14), estraiamo da z2 la radice di grado n = 3 Risultati dei calcoli mostrati in Fig. 4.4. I tre valori della terza radice di zi corrispondono ai vertici triangolo rettangolo ABC, inscritto in un cerchio di raggio, e gli angoli polari di questi vertici = n*/18, 4>v = 13m/18 e = 25m/18 (o = -11^/18).

Definizioni . Lascia stare un, b sono numeri reali, ioè un personaggio. Un numero complesso è un record del modulo un+bi.

Aggiunta e moltiplicazione numeri sull'insieme dei numeri complessi: (un+bi)+(c+di)=(un+c)+(b+d) io ,

(un+bi)(c+di)=(corrente alternata–bd)+(anno Domini+bc)i. .

Teorema 1 . Insieme di numeri complessi Insieme a con le operazioni di addizione e moltiplicazione forma un campo. Proprietà aggiuntive

1) commutatività b: (un+bi)+(c+di)=(un+c)+(b+d) i=(c+di)+(un+bi).

2) Associatività :[(un+bi)+(c+di)]+(es+fi)=(un+c+e)+(b+d+f) i=(un+bi)+[(c+di)+(es+fi)].

3) Esistenza elemento neutro :(un+bi)+(0 +0i)=(un+bi). Numero 0 +0 io chiameremo zero e indicheremo 0 .

4) Esistenza elemento opposto : (un+bi)+(–un–bi)=0 +0i=0 .

5) Commutatività della moltiplicazione : (un+bi)(c+di)=(corrente alternata–bd)+(avanti Cristo+ad) i=(c+di)(a+bi).

6) Associatività della moltiplicazione :Se z1=un+bi, z2=c+di, z3=e+fi, poi (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) Distributività: Se z1=un+bi, z2=c+di, z3=e+fi, poi z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) Elemento neutro per la moltiplicazione :(un+bi)(1+0i)=(un 1–b 0)+(un 0+b 1) i=un+bi.

9) Numero 1 +0i=1 - unità.

9) Esistenza elemento inverso : "z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .

Lascia stare z=un+bi. Numeri reali un, chiamata valido, un b - parti immaginarie numero complesso z. Le notazioni sono usate: un=Riz, b=imz.

Se un b=0 , poi z=un+ 0i=unè un numero reale Pertanto, l'insieme dei numeri reali R fa parte dell'insieme dei numeri complessi C: RÍ C.

Nota: io 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Usando questa proprietà del numero io, oltre alle proprietà delle operazioni dimostrate nel Teorema 1, si possono eseguire operazioni con numeri complessi secondo le regole usuali, sostituendo io 2 sul - 1 .

Commento. Le relazioni £, ³ ("minore di", "maggiore di") per i numeri complessi non sono definite.

2 Notazione trigonometrica .

Viene chiamata la notazione z = a+bi algebrico notazione di un numero complesso . Considera un aereo con un prescelto sistema cartesiano coordinate. Rappresentiamo il numero z punto con coordinate (a,b). Poi i numeri reali un=un+0i sarà rappresentato da punti dell'asse BUE- è chiamato valido asse. Asse OY chiamata immaginario asse, i suoi punti corrispondono ai numeri del modulo bi, che a volte sono chiamati puramente immaginario . Viene chiamato l'intero piano piano complesso .Il numero viene chiamato modulo numeri z: ,

angolo polare j chiamata discussione numeri z: j=argz.

L'argomento è determinato fino al termine 2kp; valore per il quale - p< j £ p , è chiamato importanza principale discussione. Numeri r, j sono le coordinate polari del punto z. È chiaro che un=r cosj, b=r sinj, e otteniamo: z=un+b io=r (cosj+io sinj). forma trigonometrica notazione di un numero complesso.

Numeri coniugati . Un numero complesso si dice coniugato di un numero.z = un + bi . È chiaro che. Proprietà : .

Commento. La somma e il prodotto dei numeri coniugati sono numeri reali:

def. Il sistema dei numeri complessi è il campo min-esimo, che è un'estensione del campo dei numeri reali e in cui è presente un elemento i (i 2 -1 = 0)

def. Algebra<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>chiamati sys-th comp-th numeri, se si emettono le seguenti condizioni (assiomi):

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - campo d'azione numeri

13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ e (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

Numeri di St. va ℂ:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i

2. Il campo dei numeri comp non può essere ordinato in modo lineare, ad es. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-impossibile.

3. Il teorema fondamentale dell'algebra: Il campo ℂ dei numeri è algebricamente chiuso, cioè qualsiasi pl. gradi nel campo ℂ di numeri ha almeno un set. radice

Il prossimo dal principale. teoremi alg.: Qualsiasi plurale posit. i gradi nel campo dei numeri complessi possono essere scomposti in un prodotto ... di primo grado con un coefficiente positivo.

Avanti: ogni quadrato ur-e ha 2 radici: 1) D>0 2-a diff. azione radice 2)D=0 2-a reale. coincidente-x radice 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. Assiomi. la teoria dei numeri complessi è categorica e coerente

Metodologia.

Nelle classi di istruzione generale, il concetto di numero complesso non viene considerato, sono limitate solo allo studio dei numeri reali. Ma nelle classi superiori, gli scolari hanno già un'educazione matematica abbastanza matura e sono in grado di comprendere la necessità di espandere il concetto di numero. Dal punto di vista dello sviluppo generale, la conoscenza dei numeri complessi viene utilizzata nelle scienze naturali e nella tecnologia, che è importante per uno studente nel processo di scelta di una futura professione. Gli autori di alcuni libri di testo includono lo studio di questo argomento come obbligatorio nei loro libri di testo sull'algebra e sui principi dell'analisi matematica per i livelli specialistici, previsti dalla norma statale.

Da un punto di vista metodologico, l'argomento “Numeri Complessi” sviluppa e approfondisce le idee sui polinomi e sui numeri formulate nel corso di matematica di base, completando in un certo senso lo sviluppo del concetto di numero al liceo.

Tuttavia, anche al liceo, molti scolari hanno un pensiero astratto poco sviluppato, oppure è molto difficile immaginare un'unità "immaginaria, immaginaria", per capire le differenze tra il piano coordinato e quello complesso. O viceversa, lo studente opera con concetti astratti isolati dal loro contenuto reale.

Dopo aver studiato l'argomento "Numeri complessi", gli studenti dovrebbero avere una chiara comprensione dei numeri complessi, conoscere le forme algebriche, geometriche e trigonometriche di un numero complesso. Gli studenti dovrebbero essere in grado di eseguire addizioni, moltiplicazioni, sottrazioni, divisioni, elevazione a potenza, estrazione di una radice da un numero complesso su numeri complessi; tradurre i numeri complessi dalla forma algebrica in trigonometrica, avere un'idea del modello geometrico dei numeri complessi

Nel libro di testo per classi di matematica di N.Ya. Vilenkin, OS Ivashev-Musatov, S.I. Shvartsburd "Algebra e inizio dell'analisi matematica", l'argomento "Numeri complessi" viene introdotto nell'undicesimo anno. Lo studio dell'argomento è offerto nella seconda metà dell'undicesimo anno dopo che la sezione di trigonometria è stata studiata nel decimo anno e nell'undicesimo grado: le equazioni integrali e differenziali, le funzioni esponenziali, logaritmiche e di potenza, i polinomi. Nel libro di testo, l'argomento "Numeri complessi e operazioni su di essi" è diviso in due sezioni: Numeri complessi in forma algebrica; Forma trigonometrica dei numeri complessi. La considerazione dell'argomento "Numeri complessi e operazioni su di essi" inizia con una considerazione del problema della risoluzione di equazioni quadratiche, equazioni di terzo e quarto grado e, di conseguenza, viene rivelata la necessità di introdurre un "nuovo numero i". Vengono forniti immediatamente i concetti di numeri complessi e le operazioni su di essi: trovare la somma, il prodotto e il quoziente dei numeri complessi. Successivamente viene data una definizione rigorosa del concetto di numero complesso, proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione, sottrazione e divisione. La prossima sottosezione tratta i numeri complessi coniugati e alcune delle loro proprietà. Successivamente, consideriamo la questione dell'estrazione di radici quadrate da numeri complessi e della risoluzione di equazioni quadratiche con coefficienti complessi. Il paragrafo successivo tratta: rappresentazione geometrica di numeri complessi; sistema di coordinate polari e forma trigonometrica dei numeri complessi; moltiplicazione, esponenziazione e divisione di numeri complessi in forma trigonometrica; la formula di de Moivre, l'applicazione dei numeri complessi alla dimostrazione delle identità trigonometriche; estrarre una radice da un numero complesso; il teorema fondamentale dell'algebra polinomiale; numeri complessi e trasformazioni geometriche, funzioni di una variabile complessa.

Nel libro di testo S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, NN Reshetnikova, AV Shevkin "Algebra e inizi dell'analisi matematica", l'argomento "I numeri complessi sono considerati nell'undicesimo anno dopo aver studiato tutti gli argomenti, ad es. al termine del corso di algebra scolastica. L'argomento è suddiviso in tre sezioni: Forma algebrica e interpretazione geometrica dei numeri complessi; Forma trigonometrica dei numeri complessi; Radici dei polinomi, forma esponenziale dei numeri complessi. Il contenuto dei paragrafi è piuttosto voluminoso, contiene molti concetti, definizioni, teoremi. Il paragrafo "Forma algebrica e interpretazione geometrica dei numeri complessi" contiene tre sezioni: la forma algebrica di un numero complesso; coniugare numeri complessi; interpretazione geometrica di un numero complesso. Il paragrafo "Forma trigonometrica di un numero complesso" contiene definizioni e concetti necessari per introdurre il concetto di forma trigonometrica di un numero complesso, nonché un algoritmo per passare da una forma algebrica di notazione a una forma trigonometrica di un numero complesso. Nell'ultimo paragrafo “Radici dei polinomi. La forma esponenziale dei numeri complessi” contiene tre sezioni: le radici dei numeri complessi e le loro proprietà; radici di polinomi; forma esponenziale di un numero complesso.

Il materiale del libro di testo è presentato in un piccolo volume, ma abbastanza sufficiente per consentire agli studenti di comprendere l'essenza dei numeri complessi e padroneggiare le conoscenze minime su di essi. Il libro di testo ha un piccolo numero di esercizi e non affronta il problema dell'elevazione a potenza di un numero complesso e la formula di De Moivre

Nel libro di testo A.G. Mordkovich, PV Semenov "Algebra e inizi dell'analisi matematica", livello di profilo, grado 10, l'argomento "Numeri complessi" viene introdotto nella seconda metà del grado 10 subito dopo aver studiato gli argomenti "Numeri reali" e "Trigonometria". Questa collocazione non è casuale: sia il cerchio numerico che le formule trigonometriche sono attivamente utilizzate nello studio della forma trigonometrica di un numero complesso, la formula Moivre, quando si estraggono radici quadrate e cubiche da un numero complesso. L'argomento "Numeri complessi" è presentato nel 6° capitolo ed è suddiviso in 5 sezioni: numeri complessi e operazioni aritmetiche su di essi; numeri complessi e piano delle coordinate; forma trigonometrica di scrittura di un numero complesso; numeri complessi ed equazioni quadratiche; elevare un numero complesso a potenza, estraendo la radice cubica di un numero complesso.

Il concetto di numero complesso viene introdotto come estensione del concetto di numero e dell'impossibilità di eseguire determinate operazioni in numeri reali. Il libro di testo contiene una tabella con i principali insiemi numerici e le operazioni consentite in essi. Vengono elencate le condizioni minime che i numeri complessi devono soddisfare, quindi si introduce il concetto di unità immaginaria, la definizione di numero complesso, l'uguaglianza dei numeri complessi, la loro somma, differenza, prodotto e quoziente.

Dal modello geometrico dell'insieme dei numeri reali si passa al modello geometrico dell'insieme dei numeri complessi. La considerazione dell'argomento "Forma trigonometrica di scrittura di un numero complesso" inizia con la definizione e le proprietà del modulo di un numero complesso. Successivamente, consideriamo la forma trigonometrica di scrittura di un numero complesso, la definizione dell'argomento di un numero complesso e la forma trigonometrica standard di un numero complesso.

Successivamente, studiamo l'estrazione della radice quadrata di un numero complesso, la soluzione di equazioni quadratiche. E nell'ultimo paragrafo viene introdotta la formula Moivre e viene derivato un algoritmo per estrarre la radice cubica da un numero complesso.

Anche nel libro di testo in esame, in ogni paragrafo, parallelamente alla parte teorica, vengono considerati alcuni esempi che illustrano la teoria e danno una percezione più significativa dell'argomento. Vengono forniti brevi fatti storici.

numero complesso z chiamata espressione, dove un e in- numeri reali, ioè un'unità immaginaria o un segno speciale.

Si seguono i seguenti accordi:

1) con l'espressione a + bi si possono eseguire operazioni aritmetiche secondo le regole accettate per le espressioni letterali in algebra;

5) l'uguaglianza a+bi=c+di, dove a, b, c, d sono numeri reali, avviene se e solo se a=c e b=d.

Viene chiamato il numero 0+bi=bi immaginario o puramente immaginario.

Qualsiasi numero reale a è un caso speciale di un numero complesso, perché può essere scritto come a=a+ 0i. In particolare, 0=0+0i, ma allora se a+bi=0, allora a+bi=0+0i, quindi a=b=0.

Quindi, un numero complesso a+bi=0 se e solo se a=0 e b=0.

Le leggi di trasformazione dei numeri complessi seguono dalle convenzioni:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Vediamo che la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente (dove il divisore non è uguale a zero) dei numeri complessi, a sua volta, è un numero complesso.

Numero un chiamata parte reale di un numero complesso z(indicato) inè la parte immaginaria del numero complesso z (indicato con ).

Viene chiamato un numero complesso z con parte reale zero. puramente immaginario, con zero immaginario - puramente reale.

Vengono chiamati due numeri complessi. pari, se hanno le stesse parti reali e immaginarie.

Vengono chiamati due numeri complessi. coniugato se contengono sostanze. le parti coincidono e quelle immaginarie differiscono nei segni. , quindi il coniugato ad esso .

La somma dei numeri coniugati è il numero delle sostanze e la differenza è un numero puramente immaginario. Sull'insieme dei numeri complessi si definiscono naturalmente le operazioni di moltiplicazione e addizione di numeri. Vale a dire, se e sono due numeri complessi, la somma è: ; lavoro: .

Definiamo ora le operazioni di sottrazione e divisione.

Si noti che il prodotto di due numeri complessi è il numero di sostanze.

(perché i=-1). Questo numero è chiamato modulo quadrato numeri. Quindi, se un numero , allora il suo modulo è un numero reale.

A differenza dei numeri reali, per i numeri complessi non viene introdotto il concetto di "più", "meno".

Rappresentazione geometrica di numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla linea dei numeri:

Ecco il punto UN significa numero -3, punto Bè il numero 2, e o- zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti sul piano delle coordinate. Per questo, scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con le stesse scale su entrambi gli assi. Poi il numero complesso a + bi sarà rappresentato da un punto P con ascissa a e ordinata b(Riso.). Questo sistema di coordinate viene chiamato piano complesso.

modulo numero complesso è chiamato lunghezza del vettore OPERAZIONE, raffigurante un numero complesso sulla coordinata ( integrato) aereo. Modulo numerico complesso a + bi indicato da | a + bi| o lettera r ed è uguale a:

I numeri complessi coniugati hanno lo stesso modulo. __

Discussione numero complesso è l'angolo tra l'asse BUE e vettore OPERAZIONE che rappresenta questo numero complesso. Quindi, abbronzatura = b / un .

Forma trigonometrica di un numero complesso. Oltre a scrivere un numero complesso in forma algebrica, se ne usa anche un altro, chiamato trigonometrico.

Sia rappresentato il numero complesso z=a+bi dal vettore ОА con coordinate (a,b). Indichiamo la lunghezza del vettore OA come r: r=|OA|, e l'angolo che forma con la direzione positiva dell'asse Ox per l'angolo φ.

Utilizzando le definizioni delle funzioni sinφ=b/r, cosφ=a/r, il numero complesso z=a+bi può essere scritto come z=r(cosφ+i*sinφ), dove , e l'angolo φ è determinato da le condizioni

forma trigonometrica il numero complesso z è la sua rappresentazione nella forma z=r(cosφ+i*sinφ), dove r e φ sono numeri reali e r≥0.

Infatti, il numero r è chiamato modulo numero complesso ed è indicato con |z|, e l'angolo φ è indicato dall'argomento del numero complesso z. L'argomento φ di un numero complesso z è indicato con Arg z.

Operazioni con numeri complessi rappresentati in forma trigonometrica:

È famoso Formula Moivre.

8 .Spazio vettoriale. Esempi e proprietà semplici di spazi vettoriali. Dipendenza lineare e indipendenza del sistema di vettori. Base e rango di un sistema finito di vettori

Spazio vettoriale - concetto matematico che generalizza il concetto di totalità di tutti i vettori (liberi) dello spazio tridimensionale ordinario.

Per i vettori nello spazio tridimensionale, vengono fornite le regole per sommare vettori e moltiplicarli per numeri reali. Applicato a qualsiasi vettore x, y, z ed eventuali numeri α, β queste regole soddisfano le seguenti condizioni:

1) X+A=A+X(commutatività di addizione);

2)(X+A)+z=X+(y+z) (associatività di addizione);

3) esiste un vettore zero 0 (o vettore nullo) che soddisfa la condizione X+0 =X: per qualsiasi vettore X;

4) per qualsiasi vettore X esiste un vettore opposto A tale che X+A =0 ,

5) 1x=X,dove 1 è l'unità di campo

6) α (βx)=(αβ )X(associatività della moltiplicazione), dove il prodotto αβ è il prodotto di scalari

7) (α +β )X=αх+βx(proprietà distributiva rispetto ad un fattore numerico);

8) α (X+A)=αх+ay(proprietà distributiva rispetto al fattore vettoriale).

Uno spazio vettoriale (o lineare) è un insieme R, costituito da elementi di qualsiasi natura (detti vettori), che definisce le operazioni di addizione e moltiplicazione di elementi per numeri reali che soddisfano le condizioni 1-8.

Esempi di tali spazi sono l'insieme dei numeri reali, l'insieme dei vettori sul piano e nello spazio, le matrici, ecc.

Teorema “Le proprietà più semplici degli spazi vettoriali”

1. C'è un solo vettore nullo in uno spazio vettoriale.

2. In uno spazio vettoriale, ogni vettore ha un unico opposto.

4. .

Doc-in

Sia 0 il vettore zero dello spazio vettoriale V. Allora . Sia un altro vettore zero. Quindi . Prendiamo nel primo caso e nel secondo - . Allora e, da cui ne consegue che, p.t.d.

Per prima cosa dimostriamo che il prodotto di uno scalare zero e qualsiasi vettore è uguale a un vettore zero.

Lascia stare. Quindi, applicando gli assiomi dello spazio vettoriale, otteniamo:

Per quanto riguarda l'addizione, uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano e la legge di cancellazione vale in qualsiasi gruppo. Applicando la legge di riduzione, deriva dall'ultima uguaglianza 0 * x \u003d 0

Dimostriamo ora l'asserzione 4). Sia un vettore arbitrario. Quindi

Ciò implica immediatamente che il vettore (-1)x è l'opposto del vettore x.

Sia ora x=0. Quindi, applicando gli assiomi dello spazio vettoriale, otteniamo:

Assumiamo che. Poiché , dove K è un campo, esiste . Moltiplichiamo l'uguaglianza a sinistra per: , che implica o 1*x=0 o x=0

Dipendenza lineare e indipendenza del sistema di vettori. Un insieme di vettori è chiamato sistema vettoriale.

Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente se ci sono numeri, non tutti uguali a zero contemporaneamente, tali che (1)

Un sistema di k vettori è detto linearmente indipendente se l'uguaglianza (1) è possibile solo per , cioè quando la combinazione lineare sul lato sinistro dell'uguaglianza (1) è banale.

Appunti:

1. Un vettore forma anche un sistema: per linearmente dipendente e per linearmente indipendente.

2. Qualsiasi parte di un sistema di vettori è chiamata sottosistema.

Proprietà dei vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti:

1. Se il sistema di vettori include un vettore zero, allora è linearmente dipendente.

2. Se ci sono due vettori uguali in un sistema di vettori, allora è linearmente dipendente.

3. Se ci sono due vettori proporzionali nel sistema di vettori, allora è linearmente dipendente.

4. Un sistema di k>1 vettori è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei vettori è una combinazione lineare degli altri.

5. Tutti i vettori inclusi in un sistema linearmente indipendente formano un sottosistema linearmente indipendente.

6. Un sistema di vettori contenente un sottosistema linearmente dipendente è linearmente dipendente.

7. Se il sistema di vettori è linearmente indipendente e dopo aver aggiunto un vettore risulta essere linearmente dipendente, il vettore può essere espanso in vettori e, inoltre, l'unico modo, cioè. i coefficienti di espansione si trovano in modo univoco.

Dimostriamo, ad esempio, l'ultima proprietà. Poiché il sistema di vettori è linearmente dipendente, ci sono numeri che non sono tutti uguali a 0, che è. in questa uguaglianza. Infatti, se , allora. Ciò significa che una combinazione lineare di vettori non banale è uguale al vettore zero, il che contraddice l'indipendenza lineare del sistema. Pertanto, e poi, cioè vettore è una combinazione lineare di vettori. Resta da mostrare l'unicità di una tale rappresentazione. Assumiamo il contrario. Siano presenti due espansioni e , e non tutti i coefficienti di espansione siano rispettivamente uguali tra loro (ad esempio ).

Quindi dall'uguaglianza otteniamo .

Pertanto, la combinazione lineare di vettori è uguale al vettore nullo. Poiché non tutti i suoi coefficienti sono uguali a zero (almeno ), questa combinazione non è banale, il che contraddice la condizione di indipendenza lineare dei vettori. La contraddizione risultante conferma l'unicità della scomposizione.

Rango e basi del sistema dei vettori. Il rango di un sistema di vettori è il numero massimo vettori linearmente indipendenti sistemi.

Le basi del sistema dei vettoriè il massimo sottosistema linearmente indipendente del dato sistema di vettori.

Teorema. Qualsiasi vettore di sistema può essere rappresentato come combinazione lineare vettori di base del sistema. (Qualsiasi vettore del sistema può essere scomposto in vettori di base.) I coefficienti di espansione sono determinati in modo univoco per un dato vettore e una data base.

Doc-in:

Lascia che il sistema abbia una base.

1 caso. Archivio Fotografico - dalla base. Pertanto, è uguale a uno dei vettori di base, diciamo . Allora = .

2° caso. Il vettore non è dalla base. Quindi r>k.

Consideriamo un sistema di vettori. Questo sistemaè linearmente dipendente, poiché è una base, cioè massimo sottosistema linearmente indipendente. Pertanto, ci sono numeri con 1 , con 2 , …, con k , con, non tutti uguali a zero, tali che

È ovvio che (se c=0, allora la base del sistema è linearmente dipendente).

Dimostriamo che l'espansione di un vettore in termini di base è unica. Supponiamo il contrario: ci sono due espansioni del vettore in termini di base.

Sottraendo queste uguaglianze, otteniamo

Considerando indipendenza lineare vettori di base, otteniamo

Pertanto, l'espansione di un vettore in termini di base è unica.

Il numero di vettori in qualsiasi base del sistema è lo stesso e uguale al rango del sistema di vettori.