E perché è necessario. Sappiamo già cosa sono un sistema di riferimento, la relatività del moto e un punto materiale. Bene, è ora di andare avanti! Qui esamineremo i concetti di base della cinematica, riuniremo le formule più utili sulle basi della cinematica e forniremo un esempio pratico di risoluzione del problema.

Risolviamo il seguente problema: Un punto si muove in una circonferenza di raggio 4 metri. La legge del suo moto è espressa dall'equazione S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. In quale momento l'accelerazione normale di un punto è pari a 9 m/s^2? Trova la velocità, la tangenziale e l'accelerazione totale del punto per questo momento nel tempo.

Soluzione: sappiamo che per trovare la velocità, dobbiamo prendere la prima derivata temporale della legge del moto, e l'accelerazione normale è uguale al quadrato privato della velocità e al raggio del cerchio lungo il quale si muove il punto . Armati di questa conoscenza, troviamo i valori desiderati.

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Traffico punto materiale lungo una traiettoria curvilinea si accelera sempre, perché anche se la velocità non cambia in valore numerico, cambia sempre di direzione.

In generale, l'accelerazione moto curvilineo può essere rappresentato come somma vettoriale accelerazione tangenziale (o tangenziale). t e normale accelerazione n: =t+n- Riso. 1.4.

L'accelerazione tangenziale caratterizza la velocità di variazione della velocità modulo. Il valore di questa accelerazione sarà:

L'accelerazione normale caratterizza la velocità di variazione della velocità nella direzione. Il valore numerico di questa accelerazione, dove r- il raggio del cerchio contiguo, cioè un cerchio passante per tre punti infinitamente vicini B¢ , A, B sdraiato sulla curva (Fig. 1.5). Vettore n diretto lungo la normale alla traiettoria al centro di curvatura (il centro del cerchio contiguo).

Valore numerico piena accelerazione

dove è la velocità angolare.

dove è l'accelerazione angolare.

L'accelerazione angolare è numericamente uguale alla variazione della velocità angolare per unità di tempo.

In conclusione, diamo una tabella in cui viene stabilita un'analogia tra i parametri cinematici lineari e angolari del moto.

Fine del lavoro -

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Corso breve di fisica

Ministero dell'Istruzione e della Scienza dell'Ucraina Accademia marittima nazionale di Odessa..

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Unità SI di base
Attualmente è generalmente accettato Sistema internazionale unità - SI. Questo sistema contiene sette unità di base: metro, chilogrammo, secondo, mole, ampere, kelvin, candela e due ulteriori -

Meccanica
Meccanica - la scienza del movimento meccanico corpi materiali e le interazioni che avvengono tra di loro. Sotto movimento meccanico comprendere il cambiamento nel tempo del sesso reciproco

Le leggi di Newton
La dinamica è una branca della meccanica che studia il movimento dei corpi materiali sotto l'influenza delle forze ad essi applicate. La meccanica si basa sulle leggi di Newton. La prima legge di Newton

Legge di conservazione della quantità di moto
Si consideri la derivazione della legge di conservazione della quantità di moto basata sulla seconda e terza legge di Newton.

Relazione tra lavoro e variazione dell'energia cinetica
Riso. 3.3 Lascia che un corpo di massa m si muova lungo l'asse x sottostante

Relazione tra lavoro e cambiamento di energia potenziale
Riso. 3.4 Stabiliremo questa connessione usando l'esempio del lavoro della forza di gravità

Legge di conservazione dell'energia meccanica
Si consideri un sistema conservativo chiuso di corpi. Ciò significa che le forze esterne non agiscono sui corpi del sistema, ma forze interne sono intrinsecamente conservatori. Meccanica completa

collisioni
Consideriamo un caso importante di interazione di corpi rigidi: le collisioni. La collisione (impatto) è il fenomeno di una variazione finita delle velocità dei corpi solidi in periodi di tempo molto brevi quando non sono

La legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio
Riso. 4.3 Per derivare questa legge, si consideri il caso più semplice

Legge di conservazione del momento angolare
Si consideri un corpo isolato, ad es. un corpo che non è agito da un momento esterno di forza. Allora Mdt = 0 e (4.5) implica d(Iw)=0, cioè, iw=cost. Se il sistema isolato lo è

Giroscopio
Un giroscopio è un simmetrico solido, ruotando attorno ad un asse coincidente con l'asse di simmetria del corpo, passante per il baricentro, e corrispondente al momento d'inerzia intrinseco maggiore.

Caratteristiche generali dei processi oscillatori. Vibrazioni armoniche
Le oscillazioni sono chiamate movimenti o processi che hanno uno o un altro grado di ripetizione nel tempo. In ingegneria, i dispositivi che utilizzano processi oscillatori possono eseguire l'op

Oscillazioni di un pendolo a molla
Riso. 6.1 Fissiamo un corpo di massa m all'estremità della molla, che può

Energia di oscillazione armonica
Consideriamo ora, usando l'esempio di un pendolo a molla, i processi di variazione dell'energia in un'oscillazione armonica. Ovviamente, l'energia totale del pendolo a molla è W=Wk+Wp, dove la cinetica

Aggiunta di oscillazioni armoniche della stessa direzione
La soluzione di una serie di problemi, in particolare l'aggiunta di più oscillazioni della stessa direzione, è molto facilitata se le oscillazioni sono rappresentate graficamente, sotto forma di vettori su un piano. L'ho ricevuto

vibrazioni smorzate
Nelle condizioni reali, nei sistemi che oscillano, ci sono sempre forze di resistenza. Di conseguenza, il sistema consuma gradualmente la sua energia per eseguire il lavoro contro le forze di resistenza e

Vibrazioni forzate
In condizioni reali, un sistema oscillante perde gradualmente energia per vincere le forze di attrito, quindi le oscillazioni vengono smorzate. Affinché le oscillazioni non siano smorzate, è necessario in qualche modo

Onde elastiche (meccaniche).
Il processo di propagazione delle perturbazioni in una sostanza o campo, accompagnato dal trasferimento di energia, è chiamato onda. Onde elastiche - il processo di propagazione in un mezzo elastico meccanicamente

Interferenza delle onde
L'interferenza è il fenomeno della sovrapposizione di onde provenienti da due sorgenti coerenti, che si traduce in una ridistribuzione dell'intensità delle onde nello spazio, cioè si verifica un'interferenza

onde stazionarie
Un caso speciale di interferenza è la formazione di onde stazionarie. Le onde stazionarie derivano dall'interferenza di due onde coerenti opposte con la stessa ampiezza. Una situazione del genere può

Effetto Doppler in acustica
Le onde sonore sono dette onde elastiche con frequenze da 16 a 20.000 Hz, percepite dall'orecchio umano. Le onde sonore nei mezzi liquidi e gassosi sono longitudinali. Il duro

Equazione di base della teoria cinetica molecolare dei gas
Considera un gas ideale come il modello fisico più semplice. Un gas ideale è un tale gas per il quale sono soddisfatte le seguenti condizioni: 1) le dimensioni delle molecole sono così piccole che h

Distribuzione di velocità delle molecole
Fig. 16.1 Supponiamo di riuscire a misurare le velocità di tutti

formula barometrica
Si consideri il comportamento di un gas ideale in un campo gravitazionale. Come sai, quando ti alzi dalla superficie della Terra, la pressione dell'atmosfera diminuisce. Troviamo la dipendenza della pressione atmosferica dall'altezza

Distribuzione di Boltzmann
Esprimiamo la pressione del gas alle altezze h e h0 in termini del corrispondente numero di molecole per unità di volume ap u0, assumendo che a diverse altezze T=cost: P =

Il primo principio della termodinamica e la sua applicazione agli isoprocessi
La prima legge della termodinamica è una generalizzazione della legge di conservazione dell'energia, tenendo conto dei processi termici. La sua formulazione: la quantità di calore comunicata al sistema viene spesa per svolgere il lavoro

Numero di gradi di libertà. Energia interna di un gas ideale
Il numero di gradi di libertà è il numero di coordinate indipendenti che descrivono il movimento di un corpo nello spazio. Un punto materiale ha tre gradi di libertà, poiché quando si muove in n

processo adiabatico
Un processo adiabatico è un processo che avviene senza scambio di calore con l'ambiente. In un processo adiabatico, dQ = 0, quindi la prima legge della termodinamica applicata a questo processo è

Processi reversibili e irreversibili. Processi circolari (cicli). Il principio di funzionamento di una macchina termica
I processi reversibili sono quelli che soddisfano le seguenti condizioni. 1. Dopo aver attraversato questi processi e riportato il sistema termodinamico al suo stato originale in

La macchina termica ideale di Carnot
Riso. 25.1 Nel 1827, l'ingegnere militare francese S. Carnot, re

Secondo principio della termodinamica
La prima legge della termodinamica, che è una generalizzazione della legge di conservazione dell'energia, tenendo conto dei processi termici, non indica la direzione del flusso di vari processi in natura. Sì, il primo

Non è possibile alcun processo il cui unico risultato sarebbe il trasferimento di calore da un corpo freddo a uno caldo.
In un frigorifero, il calore viene trasferito da un corpo freddo (congelatore) a uno più caldo. ambiente. Sembrerebbe che ciò sia in contraddizione con la seconda legge della termodinamica. In realtà contro

Entropia
Introduciamo ora un nuovo parametro dello stato di un sistema termodinamico: l'entropia, che differisce fondamentalmente da altri parametri di stato nella direzione del suo cambiamento. Tradimento elementare

Carica elettrica discreta. La legge di conservazione della carica elettrica
fonte campo elettrostatico funge da carica elettrica - caratteristica interna particella elementare, che determina la sua capacità di entrare in interazioni elettromagnetiche.

Energia di campo elettrostatico
Per prima cosa troviamo l'energia di un condensatore piatto carico. Ovviamente questa energia è numericamente uguale al lavoro che si deve fare per scaricare il condensatore.

Principali caratteristiche attuali
Una corrente elettrica è un movimento ordinato (diretto) di particelle cariche. La forza attuale è numericamente uguale alla carica che è passata attraverso la sezione trasversale del conduttore per unità

Legge di Ohm per un tratto omogeneo della catena
Una sezione di un circuito che non contiene una sorgente di fem è chiamata omogenea. Ohm ha stabilito sperimentalmente che l'intensità della corrente in una sezione omogenea del circuito è proporzionale alla tensione e inversamente proporzionale a

Legge Joule-Lenz
Joule e, indipendentemente da lui, Lenz hanno sperimentalmente stabilito che la quantità di calore rilasciata in un conduttore con resistenza R durante il tempo dt, è proporzionale al quadrato dell'intensità della corrente, resistenza

Regole di Kirchhoff
Riso. 39.1 Per il calcolo di circuiti CC complessi, utilizzare

Differenza di potenziale di contatto
Se due conduttori metallici dissimili vengono messi in contatto, gli elettroni sono in grado di spostarsi da un conduttore all'altro e viceversa. Lo stato di equilibrio di un tale sistema

Effetto Seebeck
Riso. 41.1 In un circuito chiuso di due metalli dissimili per g

Effetto Peltier
Il secondo fenomeno termoelettrico - l'effetto Peltier è quello al passaggio corrente elettrica attraverso il contatto di due conduttori dissimili, rilascia o assorbe

Velocità. Sentiero.

Lascia che il punto materiale si muova nella CO scelta. Viene chiamato il vettore tracciato dalla posizione iniziale del punto alla posizione finale in movimento(). Quindi viene chiamata la quantità vettoriale velocità di marcia media. Viene chiamata la lunghezza della sezione della traiettoria percorsa dal punto nell'intervallo attraverso S(). velocità media caratterizza la velocità e la direzione del movimento delle particelle. La velocità media del corpo lungo la traiettoria è caratterizzata da velocità media al suolo. Caratterizza quanto velocemente e in quale direzione si sta muovendo il corpo in un dato momento t velocità istantanea . Velocità al suolo istantanea. Quando Modulo velocità istantanea uguale alla velocità istantanea al suolo La velocità istantanea è sempre diretta tangenzialmente alla traiettoria. Per uno spostamento infinitesimale. Per piccoli intervalli è effettuato approssimativamente.

La velocità è una quantità vettoriale, quindi può essere scritta come . D'altro canto . Pertanto, la proiezione della velocità ... Il valore (modulo) della velocità.

Espressione per la velocità in coordinate polari(): , . La direzione è data da un angolo o da un vettore unitario. vettore raggio di un punto , , è un vettore unitario perpendicolare a . .

Il percorso percorso dalla particella da a .

Accelerazione. Accelerazioni normali e tangenziali.

Quando un punto materiale si muove, la sua velocità cambia sia in grandezza che in direzione. La velocità con cui ciò accade in un momento arbitrario è caratterizzata dalla quantità vettoriale accelerazione. . Proiezione del vettore di accelerazione …

Considera il moto di una particella su un piano. La velocità è diretta lungo una traiettoria tangente, quindi possiamo scrivere . Qui il vettore unitario specifica la direzione della tangente, .

Si chiama accelerazione, diretta tangenzialmente alla traiettoria, determinata dalla velocità, la variazione dell'entità della velocità, o modulo accelerazione tangenziale.

– normale accelerazione(caratterizza la velocità di variazione nella direzione della velocità), è un vettore unitario, perpendicolare e diretto all'interno della curva, R è il raggio di curvatura della retta.

La terza legge di Newton. Il principio di relatività di Galileo.

3a legge di Newton: le forze con cui 2 corpi agiscono l'uno sull'altro sono uguali in grandezza, opposte in direzione, giacciono sulla stessa retta passante per i corpi e hanno la stessa natura fisica.

Le tre leggi di Newton ci permettono di risolvere il compito principale della dinamica: Su forze assegnate, la posizione iniziale e le velocità iniziali dei corpi, è possibile determinare l'ulteriore movimento del sistema meccanico. 1a legge fornisce un criterio per trovare l'ISO; 2a legge fornisce l'equazione dinamica del moto; 3a legge permette di prendere in considerazione tutte le forze agenti nel sistema. Durante il passaggio da una ISO ad un'altra ISO, le velocità vengono trasformate secondo la legge, e l'accelerazione -, cioè l'accelerazione dei corpi non cambia, così come le forze, pertanto l'equazione della 2a legge rimane invariata. Pertanto, per lo stesso condizioni iniziali(coordinate e velocità) otteniamo la stessa soluzione in entrambi i casi. Quindi gli ISO sono equivalenti.

Il principio di relatività di Galileo: tutti i fenomeni meccanici in diversi IFR procedono allo stesso modo nelle stesse condizioni iniziali, per cui è impossibile individuare qualsiasi IFR come assolutamente fermo.

Legge di conservazione della quantità di moto.

In meccanica, ci sono 3 fondamentali legge di conservazione(è una qualche funzione delle coordinate delle velocità delle particelle e del tempo, che rimane costante durante il movimento). Le leggi di conservazione consentono di risolvere problemi utilizzando equazioni differenziali del 1° ordine. Viene chiamata la quantità vettoriale quantità di moto punto materiale (slancio - slancio). Dalla seconda legge di Newton segue che la velocità di variazione della quantità di moto di un sistema meccanico è uguale alla somma delle forze esterne agenti sul sistema. N è il numero di punti materiali. Viene chiamato un sistema su cui non agiscono forze esterne Chiuso, o isolato. Per un sistema chiuso, il lato destro dell'equazione è 0. Quindi, . Noi abbiamo legge di conservazione della quantità di moto: la quantità di moto di un sistema chiuso si conserva (non cambia) nel tempo.

La legge di conservazione della quantità di moto è una conseguenza dell'omogeneità dello spazio. Appunti: 1) La quantità di moto di un sistema aperto sarà preservata se le forze esterne si compensano a vicenda e la loro risultante = 0; 2) se la risultante delle forze esterne , ma = 0 la sua proiezione su una certa direzione (es. OX), allora la proiezione della quantità di moto su tale direzione sarà preservata; 3) se sono presenti forze esterne, ma si considera un processo a breve termine (impatto, esplosione), allora le forze esterne agenti possono essere trascurate e si può usare la legge di conservazione della quantità di moto, perché dt è piccolo, quindi la quantità di moto delle forze esterne è piccola e può essere trascurata.

Sia dato un sistema di punti materiali, con masse , i cui raggi vettori relativi a qualche origine O . Viene chiamato il punto C, il cui vettore raggio è determinato dall'espressione centro di Massa, o il centro di inerzia del sistema. La sua posizione rispetto ai corpi non dipende dalla scelta di O. Velocità del centro di massa . Viene chiamata la ISO associata al centro di massa sistema del baricentro.

forze conservatrici.

L'interazione tra corpi posti ad una certa distanza l'uno dall'altro avviene per mezzo di campi di forza creati nell'intero spazio circostante. Se il campo non cambia, viene chiamato tale campo stazionario. Sia un punto O (il centro del campo di forza) tale che in qualsiasi punto dello spazio la forza che agisce sulla particella giace su una retta passante dato punto spazio e centro di potere. Se il modulo delle forze dipende solo dalla distanza tra questi punti, allora abbiamo campo di forza centrale(es. campo Coulomb). Se in tutti i punti dello spazio la forza è la stessa in grandezza e direzione, allora si dice circa campo di forza uniforme. Se il lavoro svolto su una particella dalle forze di un campo stazionario non dipende dalla scelta della traiettoria di moto, è determinato solo dalle posizioni iniziale e finale dei corpi, allora tale campo è chiamato conservatore.

1) il campo gravitazionale è detto stazionario omogeneo. . Quindi, il campo gravitazionale è conservativo.

2) il campo della forza elastica. . Quindi, il campo di forza elastica è conservativo.

3) Mostriamo che ogni campo di forza centrale è conservativo. , . . Qui il lavoro è determinato dalle posizioni di inizio e fine dei punti e non dal tipo di traiettoria. Pertanto, il campo di forza centrale è conservativo. Le forze centrali sono:

1) Forza di interazione di Coulomb , .

2) forza gravitazionale interazioni, .

Una definizione equivalente di forze conservative è: la forza è chiamata conservatore, se il suo lavoro su una traiettoria chiusa arbitraria = 0.

Il compito di 2 corpi.

Il compito di 2 corpi sul movimento di un sistema isolato di 2 punti materiali che interagiscono tra loro. A causa dell'isolamento del sistema, la sua quantità di moto viene conservata e il baricentro si muove a velocità costante rispetto al sistema di riferimento K'. Questo ti permette di andare al sistema del centro di massa (sarà inerziale, come K'). è il vettore raggio relativo a . sono i vettori raggio e relativi a C. Componiamo il sistema: . Risolvendo il sistema, otteniamo: , . Il moto dei corpi è determinato dalle forze , . Prendi in considerazione la 3a legge di Newton e isotropia dello spazio(se la rotazione del CO ad un angolo arbitrario non comporta una modifica dei risultati della misurazione). Otteniamo le equazioni: , . Risolviamo, di conseguenza otteniamo: .

Il centro di massa di un corpo rigido si muove nello stesso modo in cui un punto materiale di massa m si muoverebbe sotto l'azione di tutte le forze esterne che agiscono su un corpo rigido.

Giroscopi.

Giroscopio(o in alto) - un corpo solido massiccio, simmetrico a qualche asse, che ruota attorno ad esso con un'elevata velocità angolare. A causa della simmetria del giroscopio, . Quando si cerca di ruotare un giroscopio rotante attorno a un certo asse, si osserva effetto giroscopico- sotto l'azione di forze che, sembrerebbe, avrebbero dovuto far ruotare l'asse del giroscopio OO attorno alla retta O'O', l'asse del giroscopio ruota attorno alla retta O''O'' (l'asse OO e si presume che la retta O'O' giaccia nel piano del disegno, e la retta O''O'' e le forze f1 e f2 siano perpendicolari a questo piano). La spiegazione dell'effetto si basa sull'uso dell'equazione del momento. Il momento angolare ruota attorno all'asse OX a causa della relazione . Insieme al giroscopio ruota attorno a OX. A causa di effetto giroscopico sul cuscinetto su cui ruota il giroscopio, iniziano ad agire forze giroscopiche. Sotto l'azione delle forze giroscopiche, l'asse del giroscopio tende ad assumere una posizione parallela alla velocità angolare di rotazione terrestre.

Il comportamento descritto del giroscopio è la base bussola giroscopica. Vantaggi del giroscopio: indica l'esatta direzione geografica Polo Nord, il suo lavoro non è influenzato da oggetti metallici.

Precessione giroscopica – tipo speciale Il movimento del giroscopio avviene se il momento delle forze esterne che agiscono sul giroscopio, rimanendo costante in grandezza, ruota contemporaneamente all'asse del giroscopio, formando sempre un angolo retto con esso. Si consideri il moto di un giroscopio con un punto fisso sull'asse sotto l'azione della gravità, è la distanza dal punto fisso al centro di inerzia del giroscopio, è l'angolo tra il giroscopio e la verticale. il momento è diretto perpendicolarmente al piano verticale passante per l'asse del giroscopio. Equazione del moto: incremento della quantità di moto = Pertanto, cambia la sua posizione nello spazio in modo tale che la sua estremità descriva un cerchio sul piano orizzontale. Per un periodo di tempo, il giroscopio ha ruotato di un angolo l'asse del giroscopio descrive un cono attorno all'asse verticale con una velocità angolare è la velocità angolare di precessione.

Vibrazioni armoniche.

fluttuazioni- processi caratterizzati da diversi gradi di ripetibilità nel tempo. A seconda della natura fisica del processo ripetuto, si distinguono le oscillazioni: meccaniche, elettromagnetiche, elettromeccaniche e altre. Tutti questi processi, nonostante la loro diversa natura fisica, sono descritti dalle stesse equazioni matematiche e hanno una serie proprietà comuni. Si consideri una pallina di massa m sospesa su una leggera molla elastica di rigidità k. Nella posizione di equilibrio (x=0), la somma delle forze che agiscono sulla palla è 0, cioè . Quando la palla devia dalla posizione di equilibrio, il suo movimento sarà descritto dall'equazione: . Scriviamo l'equazione nella forma seguente: . La posizione del corpo è descritta attraverso la funzione coseno (o seno), che è chiamata armonica, per cui tali oscillazioni sono chiamate armonico. – ampiezza di oscillazione- fornisce la massima deviazione dalla posizione di equilibrio. - fase di oscillazione - è determinata dallo spostamento del corpo in un dato momento. - fase iniziale. La funzione coseno ha un punto. Ciò significa che lo stato del corpo oscillante si ripete quando la fase cambia di . Viene chiamato l'intervallo di tempo durante il quale la fase cambia periodo di oscillazione . Periodoè il tempo necessario per un'oscillazione completa. Frequenza di oscillazioneè il numero di oscillazioni per unità di tempo, . – frequenza circolare (ciclica)., cioè. numero di vibrazioni al secondo. Conoscendo la posizione iniziale e la velocità del corpo, possiamo determinare l'ampiezza e la fase iniziale: .Il movimento del corpo durante l'oscillazione armonica avviene sotto l'azione forza quasi elastica: , che è conservativo, e, quindi, la legge di conservazione dell'energia , . Valore medio delle energie cinetiche e potenziali col tempo: .

vibrazioni smorzate.

Nei sistemi fisici reali agiscono sempre forze di resistenza, per cui l'ampiezza delle oscillazioni diminuisce nel tempo. Consideriamo il movimento di un corpo in un mezzo viscoso, quando le forze di resistenza sono opposte alla velocità del corpo: , è il coefficiente di resistenza aerodinamica. . Sostituisci invece - l'equazione differenziale del 2° ordine è ridotta a una quadratica equazione algebrica. Un processo oscillatorio è possibile se le forze di resistenza sono sufficientemente piccole. Ciò significa che la condizione deve essere soddisfatta. In questo caso . Pertanto, la soluzione generale della nostra equazione sarà la funzione - legge cinematica delle oscillazioni smorzate. Possiamo dire che le oscillazioni armoniche si osservano con una frequenza, mentre l'ampiezza delle oscillazioni decresce secondo una legge esponenziale. Il tasso di decadimento è determinato dal valore fattore di smorzamento. Anche l'attenuazione è caratterizzata decremento di smorzamento, che mostra quante volte l'ampiezza delle oscillazioni è diminuita in un tempo pari al periodo: . Il logaritmo di questa espressione è chiamato decremento logaritmico dello smorzamento: . Nei sistemi smorzati, tale valore viene utilizzato anche come fattore di qualità: .

equazione d'onda.

L'equazione di qualsiasi onda è la soluzione di alcune equazione differenziale chiamato onda. Sulla base delle proprietà fisiche del mezzo e delle leggi di base della meccanica, otteniamo l'equazione d'onda da un'espressione esplicita per l'equazione d'onda piana.

Può essere scritto:- equazione d'onda. L'equazione d'onda sarà soddisfatta da qualsiasi onda di frequenza arbitraria che si propaga ad una velocità. determinato Proprietà fisiche ambiente. Nel caso di un'onda piana che si propaga nella direzione x, l'equazione d'onda è scritta come: .

Energia di un'onda elastica.

Lascia piatto onda longitudinale si propaga nella direzione OX in un mezzo elastico. La sua equazione è: Le particelle del mezzo, deviando dalla posizione di equilibrio, si muovono a determinate velocità. Pertanto, hanno cinetica e energie potenziali. Individuiamo un volume cilindrico V nel mezzo con area di base S e altezza x. Il suo valore è tale che possiamo considerare velocità delle particelle e a proposito di spostamento relativo lo stesso. Energia, racchiuso in questo volume. In questo modo, densità di energia delle onde elastiche . Sostituiamo in essa l'equazione dell'onda piana, trasformiamo e utilizziamo il fatto che : . Quindi trova con densità di energia media del periodo: . Si può vedere dall'espressione per la densità di energia che il suo valore varia nel tempo da 0 ad alcuni valore massimo, il che significa che l'energia dalle sorgenti di oscillazione viene trasferita da un'onda da un punto all'altro nello spazio ad una velocità.L'onda esegue il processo di trasferimento di energia, ma non di materia. Il trasferimento di energia avviene attraverso le forze di interazione elastica tra le particelle del mezzo. Viene chiamata la quantità di energia trasferita attraverso una determinata superficie per unità di tempo flusso di energia attraverso questa superficie: . Per una descrizione più dettagliata del processo di trasferimento di energia, viene utilizzato il vettore densità del flusso di energia. In grandezza, è uguale al flusso di energia trasferito attraverso l'area perpendicolare alla direzione di propagazione dell'onda, diviso per l'area di quest'area: - ultima cosa - vettore Umov. In direzione, coincide con la direzione di propagazione dell'onda. Media . Viene chiamato il modulo di questa espressione intensità delle onde.

L'aggiunta di velocità in SRT.

Nel 19° secolo, la meccanica classica ha affrontato il problema di estendere questa regola per aggiungere velocità ai processi ottici (elettromagnetici). In sostanza, c'era un conflitto tra le due idee della meccanica classica, trasferite in un nuovo campo di processi elettromagnetici. Ad esempio, se consideriamo l'esempio delle onde sulla superficie dell'acqua della sezione precedente e proviamo a generalizzare onde elettromagnetiche, allora otteniamo una contraddizione con le osservazioni (vedi, ad esempio, l'esperimento di Michelson). La regola classica per sommare le velocità corrisponde alla trasformazione delle coordinate da un sistema di assi a un altro sistema, muovendosi rispetto al primo senza accelerazione. Se con tale trasformazione manteniamo il concetto di simultaneità, cioè possiamo considerare simultanei due eventi non solo quando sono registrati in un sistema di coordinate, ma anche in qualsiasi altro sistema inerziale, allora le trasformazioni sono dette galileiane . Inoltre, con le trasformazioni galileiane, la distanza spaziale tra due punti - la differenza tra le loro coordinate in un IFR - è sempre uguale alla loro distanza in un altro sistema inerziale. La seconda idea è il principio di relatività. Essendo su una nave che si muove in modo uniforme e rettilineo, è impossibile rilevarne il movimento da alcuni effetti meccanici interni. Questo principio si estende agli effetti ottici? È impossibile da scoprire movimento assoluto sistemi dagli effetti ottici o, quali sono gli stessi, gli effetti elettrodinamici causati da questo movimento? L'intuizione (abbastanza esplicitamente correlata al classico principio di relatività) dice che il moto assoluto non può essere rilevato da nessun tipo di osservazione. Ma se la luce si propaga a una certa velocità rispetto a ciascuno dei frame inerziali in movimento, questa velocità cambierà quando ci si sposta da un frame all'altro. Questo segue dalla regola classica per l'aggiunta di velocità. Parlando matematicamente, la grandezza della velocità della luce non sarà invariante sotto le trasformazioni galileiane. Ciò viola il principio di relatività, o meglio, non consente di estendere il principio di relatività ai processi ottici. Pertanto, l'elettrodinamica ha distrutto la connessione tra due disposizioni apparentemente ovvie della fisica classica: la regola dell'addizione delle velocità e il principio di relatività. Inoltre, queste due posizioni applicate all'elettrodinamica si sono rivelate incompatibili. La teoria della relatività fornisce una risposta a questa domanda. Amplia il concetto di principio di relatività, estendendolo anche ai processi ottici. In questo caso, la regola per l'addizione delle velocità non viene affatto annullata, ma viene perfezionata solo per velocità elevate utilizzando la trasformazione di Lorentz.

Se un oggetto ha componenti di velocità relative al sistema S e - relative a S", allora esiste la seguente relazione tra loro:

In queste relazioni, la velocità relativa dei sistemi di riferimento v è diretta lungo l'asse x. L'addizione relativistica di velocità, come le trasformazioni di Lorentz, a basse velocità () rientra nella legge classica dell'addizione di velocità.

Se un oggetto si muove alla velocità della luce lungo l'asse x rispetto al sistema S, allora avrà la stessa velocità rispetto a S ": . Ciò significa che la velocità è invariante (la stessa) in tutti gli IFR.

formula barometrica.

La formula barometrica dà la dipendenza pressione atmosferica dall'altezza misurata dalla superficie terrestre. Si presume che la temperatura dell'atmosfera non cambi con l'altezza. Per ricavare la formula, selezioniamo un cilindro verticale: sezione trasversale S. In esso è allocato un piccolo volume cilindrico di altezza dh. È in equilibrio: è influenzato dalla forza di gravità mg, dalla forza di pressione F1 del gas diretta verticalmente verso l'alto e dalla forza di pressione F2 diretta verticalmente verso il basso. La loro somma = 0. In proiezione: -mg+ F1-. F2=0. Dall'equazione Clapeyron-Mendeleev . Integriamo nell'intervallo da 0 a e otteniamo: - formula barometrica Il usato per determinare l'altezza. Le variazioni di temperatura possono essere trascurate.

pressione del gas sulla parete.

distribuzione Maxwell.

Siano n molecole identiche in uno stato di moto termico casuale ad una certa temperatura. Dopo ogni evento di collisione tra le molecole, le loro velocità cambiano in modo casuale. Di conseguenza, inimmaginabile un largo numero collisioni, si stabilisce uno stato di equilibrio stazionario, quando il numero di molecole in un dato intervallo di velocità rimane costante.

Come risultato di ogni collisione, le proiezioni di velocità delle molecole subiscono una variazione casuale di , , , e le variazioni in ciascuna proiezione di velocità sono indipendenti l'una dall'altra. Assumiamo che i campi di forza non agiscano sulle particelle. Troviamo in queste condizioni quale numero di particelle dn del numero totale n ha una velocità compresa tra υ e υ+Δυ. Allo stesso tempo, non possiamo dire nulla di preciso sul valore esatto della velocità dell'una o dell'altra particella υi, poiché è impossibile seguire le collisioni e i movimenti di ciascuna delle molecole né in esperimento né in teoria. Informazioni così dettagliate difficilmente avrebbero un valore pratico.

La velocità è una quantità vettoriale. Per la proiezione della velocità sull'asse x (la componente x-esima della velocità), abbiamo quindi dove A1 è una costante uguale a

La rappresentazione grafica della funzione è mostrata in figura. Si può vedere che la frazione di molecole con velocità non è uguale a zero. A , (in questo significato fisico costante A1).

L'espressione e il grafico sopra sono validi per la distribuzione di molecole di gas su componenti di velocità x. Ovviamente, dalle componenti y e z della velocità, si può anche ottenere:

La probabilità che la velocità di una molecola soddisfi contemporaneamente tre condizioni: la componente x della velocità è compresa tra , e + ,; componente y, nell'intervallo da a + ; z-component, nell'intervallo da a +d, sarà uguale al prodotto delle probabilità di ciascuna delle condizioni (eventi) separatamente: dove , o ) è il numero di molecole in un parallelepipedo di lati , , d , cioè in un volume dV= d situato ad una distanza dall'origine nello spazio delle velocità. Questo valore () non può dipendere dalla direzione del vettore velocità. Pertanto, è necessario ottenere la funzione di distribuzione delle molecole in termini di velocità, indipendentemente dalla loro direzione, cioè in termini di valore assoluto della velocità. Se mettiamo insieme tutte le molecole per unità di volume, le cui velocità sono comprese tra υ e υ + dυ in tutte le direzioni, e le rilasciamo, in un secondo si troveranno in uno strato sferico con uno spessore di dυ e a raggio di υ. Questo strato sferico è costituito da quei parallelepipedi di cui menzionato sopra.

Il volume di questo strato sferico è . Numero totale di molecole nello strato: ciò implica legge di distribuzione delle molecole per valori assoluti delle velocità di Maxwell: dove è la frazione di tutte le particelle nello strato sferico di volume dV le cui velocità sono comprese nell'intervallo da υ a υ+dυ. Per dv = 1 otteniamo densità di probabilità, o funzione di distribuzione della velocità delle molecole: Questa funzione denota la frazione di molecole di un volume unitario di gas le cui velocità assolute sono contenute in un intervallo di velocità unitario che include la velocità data. Denota: e prendi: Il grafico di questa funzione è mostrato in figura. Ecco cos'è distribuzione Maxwell. O in un altro modo

.

Entropia.

Entropia termodinamica S, spesso indicato semplicemente come entropia, in chimica e termodinamica è una funzione dello stato di un sistema termodinamico. Il concetto di entropia è stato introdotto per la prima volta da Rudolf Clausius, che ha definito variazione dell'entropia di un sistema termodinamico a processo reversibile come rapporto tra la variazione della quantità di calore totale ΔQ e il valore della temperatura assoluta T (cioè la variazione di calore a temperatura costante): . Ad esempio, a 0 °C può esserci acqua stato liquido e con un leggero impatto esterno, inizia a trasformarsi rapidamente in ghiaccio, pur rilasciando una certa quantità di calore. In questo caso, la temperatura della sostanza rimane 0 °C. Lo stato della materia cambia, accompagnato da un cambiamento di calore, a causa di un cambiamento nella struttura.

Questa formula è applicabile solo per un processo isotermico (che si verifica a temperatura costante). La sua generalizzazione al caso di un processo quasi statico arbitrario è simile alla seguente: , dove dS è l'incremento (differenziale) dell'entropia e δQ è un incremento infinitamente piccolo della quantità di calore. Si precisa che la definizione termodinamica considerata è applicabile solo a processi quasi statici(costituito da stati di equilibrio continuamente successivi).

L'entropia è una quantità additiva, cioè L'entropia di un sistema è uguale alla somma delle entropie delle sue singole parti.

Insieme di Boltzmann relazione dell'entropia con la probabilità di un dato stato. Successivamente, questa relazione è stata presentata sotto forma della formula di Planck: , dove la costante k = 1,38×10−23 J/K è chiamata costante di Boltzmann da Planck, e Ω è il peso statistico (probabilità termodinamica) dello stato, è il numero di possibili microstati (vie) di cui si può andare ad un dato stato macroscopico. Questo postulato, chiamato principio di Boltzmann da Albert Einstein, ha dato origine alla meccanica statistica, che descrive sistemi termodinamici, utilizzando il comportamento statistico dei loro componenti. Il principio di Boltzmann mette in relazione le proprietà microscopiche di un sistema (Ω) con una delle sue proprietà termodinamiche (S). Secondo la definizione, l'entropia è una funzione dello stato, cioè non dipende dal modo in cui questo stato viene raggiunto, ma è determinata dai parametri di questo stato. Poiché Ω può essere solo numero naturale(1, 2, 3, ...), quindi l'entropia di Boltzmann deve essere non negativa, in base alle proprietà del logaritmo.

Entropia nei sistemi aperti:

In virtù del secondo principio della termodinamica, l'entropia Si di un sistema chiuso non può diminuire ( legge dell'entropia non decrescente). Matematicamente, questo può essere scritto come segue: , l'indice i denota la cosiddetta entropia interna corrispondente ad un sistema chiuso. In un sistema aperto, il calore scorre sia dal sistema che al suo interno. Se c'è un flusso di calore, la quantità di calore δQ1 entra nel sistema alla temperatura T1 e la quantità di calore δQ2 esce alla temperatura T2. L'incremento di entropia associato a questi flussi di calore è:

Nei sistemi stazionari, solitamente δQ1 = δQ2, T1 > T2, quindi dSo< 0. Поскольку здесь изменение энтропии отрицательно, то часто употребляют выражение «приток негэнтропии», вместо оттока энтропии из системы. Negentropiaè quindi definito come il reciproco dell'entropia.

Cambiamento totale di entropia sistema aperto sarà uguale a: dS = dSi + dSo.

Tipi di accelerazioni in SRT.

Quindi, abbiamo dimostrato che esistono due tipi di velocità misurabili. Inoltre è molto interessante anche la velocità, misurata nelle stesse unità. Per piccoli valori, tutte queste velocità sono uguali.

Quante accelerazioni ci sono? Quale accelerazione deve essere costante durante il moto uniformemente accelerato di un razzo relativistico in modo che l'astronauta eserciti sempre la stessa forza sul pavimento del razzo, in modo che non diventi privo di peso, o per non morire per sovraccarico?

Introduciamo definizioni tipi diversi accelerazioni.

Accelerazione coordinata d v/dt è un cambiamento coordinare la velocità, misurato da sincronizzato coordinare l'orologio

d v/dt=d2 r/dt 2 .

Guardando al futuro, notiamo che d v/dt = 1 giorno v/dt = g 0 d v/dt.

Coordinare la propria accelerazione d v/dt è un cambiamento coordinata velocità misurata da proprio orologio

d v/dt=d(d r/dt)/dt = gd 2 r/dt 2 .
d v/dt = g 1 g v/dt.

Accelerazione autocoordinata d b/dt è un cambiamento possedere velocità misurata da sincronizzata coordinare l'orologio, posto nella direzione di movimento del corpo di prova:

d b/dt = d(g r/dt)/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt.
Se una v|| d v/dt, quindi d b/dt = g 3 g v/dt.
Se una v perpendicolare a d v/dt, quindi d b/dt=gd v/dt.

Accelerazione propria d b/dt è un cambiamento possedere velocità misurata da proprio orologio associato al corpo in movimento:

d b/dt = d(g r/dt)/dt = g 4 v(v d v/dt)/c 2 + g 2 g v/dt.
Se una v|| d v/dt, quindi d b/dt = g 4 g v/dt.
Se una v perpendicolare a d v/dt, quindi d b/dt = g 2 g v/dt.

Confrontando le prestazioni al coefficiente g nei quattro tipi di accelerazioni sopra scritti, notiamo che in questo gruppo non c'è membro con il coefficiente g 2 ad accelerazioni parallele. Ma non abbiamo ancora preso le derivate della velocità. È anche velocità. Prendiamo la derivata temporale della velocità usando la formula v/c = th(r/c):

dr/dt = (c arth(v/c))" = g 2 dv/dt.

E se prendiamo dr/dt, otteniamo:

dr/dt = g 3 dv/dt,

o dr/dt = db/dt.

Quindi abbiamo due velocità misurabili v e b, e un'altra, incommensurabile, ma molto simmetrica, velocità r. E sei tipi di accelerazioni, due delle quali dr/dt e db/dt sono le stesse. Quale di queste accelerazioni è corretta, cioè sentito da un corpo in accelerazione?

Torneremo più avanti sulla nostra accelerazione, ma per ora scopriremo che tipo di accelerazione è inclusa nella seconda legge di Newton. Come è noto, nella meccanica relativistica la seconda legge della meccanica, scritta nella forma f= m un, risulta essere sbagliato. Invece, forza e accelerazione sono correlate dall'equazione

f= m (g 3 v(va)/c 2 + g un),

che è la base per i calcoli ingegneristici degli acceleratori relativistici. Se confrontiamo questa equazione con l'equazione appena ottenuta per l'accelerazione d b/dt:

d b/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt,

quindi notiamo che differiscono solo per il fattore m. Cioè, puoi scrivere:

f= m d b/dt.

L'ultima equazione restituisce alla massa lo stato di una misura di inerzia nella meccanica relativistica. La forza che agisce sul corpo è proporzionale all'accelerazione d b/dt. Il coefficiente di proporzionalità è la massa invariante. Forza vettori f e accelerazione d b/dt sono co-direzionali per qualsiasi orientamento dei vettori v e un, o b e d b/dt.

Formula scritta in termini di accelerazione d v/dt non fornisce tale proporzionalità. La forza e l'accelerazione delle coordinate generalmente non coincidono in direzione. Saranno paralleli solo in due casi: se i vettori v e d v/dt sono paralleli tra loro e se sono perpendicolari tra loro. Ma nel primo caso il potere f=mg 3 d v/dt, e nel secondo - f=mgg v/dt.

Quindi, nella legge di Newton, dobbiamo usare l'accelerazione d b/dt, ovvero cambia possedere velocità b, misurato da orologio sincronizzato.

Forse con lo stesso successo sarà possibile dimostrarlo f= md r/dt, dove d r/dt è il vettore dell'accelerazione intrinseca, ma la velocità è un valore incommensurabile, sebbene sia facilmente calcolabile. Non posso dire se l'uguaglianza vettoriale sarà vera, ma l'uguaglianza scalare è vera perché dr/dt=db/dt e f=md b/dt.

Accelerazioneè un valore che caratterizza la velocità di variazione della velocità.

Ad esempio, un'auto, allontanandosi, aumenta la velocità di movimento, cioè si muove a un ritmo accelerato. Inizialmente, la sua velocità è zero. Partendo da ferma, l'auto accelera gradualmente fino a una certa velocità. Se durante il tragitto si accende un semaforo rosso, l'auto si ferma. Ma non si fermerà immediatamente, ma dopo qualche tempo. Cioè, la sua velocità diminuirà fino a zero: l'auto si muoverà lentamente fino a quando non si fermerà completamente. Tuttavia, in fisica non esiste il termine "decelerazione". Se il corpo si muove, rallenta, allora questa sarà anche l'accelerazione del corpo, solo con un segno meno (come ricordi, velocitàè una quantità vettoriale).

Accelerazione media

Accelerazione media> è il rapporto tra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo durante il quale si è verificata tale variazione. L'accelerazione media può essere determinata dalla formula:

dove - vettore di accelerazione.

La direzione del vettore di accelerazione coincide con la direzione della variazione di velocità Δ = - 0 (qui 0 è la velocità iniziale, cioè la velocità alla quale il corpo ha iniziato ad accelerare).

All'istante t1 (vedi Figura 1.8) il corpo ha una velocità di 0 . All'istante t2 il corpo ha una velocità. Secondo la regola di sottrazione del vettore, troviamo il vettore della variazione di velocità Δ = - 0 . Quindi l'accelerazione può essere definita come segue:

Riso. 1.8. Accelerazione media.

in SI unità di accelerazioneè 1 metro al secondo al secondo (o metro al secondo al quadrato), cioè

Un metro al secondo quadrato è uguale all'accelerazione di un punto che si muove in linea retta, alla quale in un secondo la velocità di questo punto aumenta di 1 m / s. In altre parole, l'accelerazione determina quanto cambia la velocità di un corpo in un secondo. Ad esempio, se l'accelerazione è 5 m / s 2, significa che la velocità del corpo aumenta di 5 m / s ogni secondo.

Potenziamento istantaneo

Accelerazione istantanea di un corpo (punto materiale) a questo punto è quantità fisica, pari al limite a cui tende l'accelerazione media quando l'intervallo di tempo tende a zero. In altre parole, questa è l'accelerazione che il corpo sviluppa in un brevissimo periodo di tempo:

La direzione dell'accelerazione coincide anche con la direzione del cambio di velocità Δ per valori molto piccoli dell'intervallo di tempo durante il quale si verifica il cambio di velocità. Il vettore di accelerazione può essere impostato mediante proiezioni sugli assi delle coordinate corrispondenti in un dato sistema di riferimento (proiezioni a X, a Y , a Z).

Con accelerato moto rettilineo la velocità del corpo aumenta in valore assoluto, cioè

V2 > v1

e la direzione del vettore di accelerazione coincide con il vettore di velocità 2.

Se la velocità modulo del corpo diminuisce, cioè

V2< v 1

allora la direzione del vettore di accelerazione è opposta alla direzione del vettore di velocità 2. In altre parole, in questo caso, decelerazione, mentre l'accelerazione sarà negativa (e< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Riso. 1.9. Accelerazione istantanea.

Quando ci si sposta lungo una traiettoria curvilinea, non solo il modulo di velocità cambia, ma anche la sua direzione. In questo caso, il vettore di accelerazione è rappresentato da due componenti (vedere la sezione successiva).

Accelerazione tangenziale

Accelerazione tangenziale (tangenziale).è la componente del vettore di accelerazione diretto lungo la tangente alla traiettoria in un dato punto della traiettoria. L'accelerazione tangenziale caratterizza la variazione del modulo di velocità durante il movimento curvilineo.

Riso. 1.10. accelerazione tangenziale.

direzione del vettore accelerazione tangenzialeτ (vedi Fig. 1.10) coincide con la direzione velocità lineare o il contrario. Cioè, il vettore di accelerazione tangenziale giace sullo stesso asse del cerchio tangente, che è la traiettoria del corpo.

Accelerazione normale

Accelerazione normaleè un componente del vettore di accelerazione diretto lungo la normale alla traiettoria di movimento in un dato punto della traiettoria di movimento del corpo. Cioè, il normale vettore di accelerazione è perpendicolare alla velocità lineare del movimento (vedi Fig. 1.10). L'accelerazione normale caratterizza il cambio di velocità nella direzione ed è indicata dalla lettera n. Il vettore di accelerazione normale è diretto lungo il raggio di curvatura della traiettoria.

Piena accelerazione

Piena accelerazione nel moto curvilineo, consiste in accelerazioni tangenziali e normali lungo regola di addizione vettoriale ed è determinato dalla formula:

(secondo il teorema di Pitagora per un rettangolo rettangolare).

Viene anche determinata la direzione della piena accelerazione regola di addizione vettoriale:

= τ + n

Decomposizione dell'accelerazione a (t) (\ displaystyle \ mathbf (a) (t) \ \ ) in tangenziale e normale un n (\ displaystyle \ mathbf (a) _ (n)); (τ (\ displaystyle \ mathbf (\ tau ))- vettore tangente unitario).

Accelerazione tangenziale- componente di accelerazione diretta tangenzialmente alla traiettoria del moto. Caratterizza il cambiamento nel modulo di velocità, in contrasto con la componente normale , che caratterizza il cambiamento nella direzione della velocità. L'accelerazione tangenziale è uguale al prodotto vettore unitario, diretto rispetto alla velocità di movimento, sulla derivata del modulo di velocità rispetto al tempo. Pertanto, è diretto nella stessa direzione del vettore velocità durante il movimento accelerato (derivata positiva) e nella direzione opposta durante il movimento lento (derivata negativa).

Di solito è indicato dal simbolo scelto per l'accelerazione, con l'aggiunta di un indice che indica la componente tangenziale: un τ (\ displaystyle \ mathbf (a) _ (\ tau ) \ \ ) o un t (\ displaystyle \ mathbf (a) _ (t) \ \ ), w τ (\ displaystyle \ mathbf (w) _ (\ tau ) \ \ ),u τ (\ displaystyle \ mathbf (u) _ (\ tau ) \ \ ) eccetera.

A volte non viene utilizzata una forma vettoriale, ma scalare - un τ (\ displaystyle a_(\ tau ) \ \ ), che denota la proiezione del vettore di accelerazione completa sul vettore unitario della tangente alla traiettoria, che corrisponde al coefficiente di espansione nella base di accompagnamento.

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  Il valore dell'accelerazione tangenziale come proiezione del vettore di accelerazione sulla tangente alla traiettoria può essere espresso come segue:

  un τ = d v d t , (\ displaystyle a_(\ tau ) = (\ frac (dv) (dt)),)

  dove v = d l / d t (\ displaystyle v \ = dl/dt)- velocità al suolo lungo la traiettoria, coincidente con il valore assoluto della velocità istantanea in un dato momento.

  Se usato per un singolo vettore tangente designazione e τ (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (\ tau ) \ ), allora possiamo scrivere l'accelerazione tangenziale in forma vettoriale:

  un τ = d v d t e τ . (\ displaystyle \ mathbf (a) _(\ tau )=(\ frac (dv) (dt)) \ mathbf (e) _(\ tau).)

  Conclusione

  Conclusione 1

  L'espressione per l'accelerazione tangenziale può essere trovata differenziando rispetto al tempo il vettore velocità rappresentato come v = v e τ (\ displaystyle \ mathbf (v) = v \, \ mathbf (e) _ (\ tau)) attraverso il vettore tangente unitario e τ (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (\ tau)):

  un = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\ displaystyle \ mathbf (a) = (\ frac (d \ mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\,\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d ) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\ mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))= (\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ,)

  dove il primo termine è l'accelerazione tangenziale e il secondo è l'accelerazione normale.

  Qui usiamo la notazione e n (\ displaystyle e_ (n) \ ) per l'unità vettore normale alla traiettoria e l (\ displaystyle l \ )- per la lunghezza attuale della traiettoria ( l = l (t) (\ displaystyle l = l (t) \ )); l'ultima transizione usa anche l'ovvio

  d l / d t = v (\ displaystyle dl/dt = v \ )

  e, da considerazioni geometriche,

  d e τ d l = e n R . (\ displaystyle (\ frac (d \ mathbf (e) _ (\ tau )) (dl)) = (\ frac (\ mathbf (e) _ (n)) (R)).)

  Conclusione 2

  Se la traiettoria è regolare (cosa che si presume), allora:

  Entrambi derivano dal fatto che l'angolo del vettore rispetto alla tangente non sarà inferiore al primo ordine in . La formula richiesta segue immediatamente da questo.

  Meno strettamente parlando, proiezione v (\ displaystyle \ mathbf (v) \ ) a una tangente in piccolo d t (\ displaystyle dt \ ) coinciderà quasi con la lunghezza del vettore v (\ displaystyle \ mathbf (v) \ ), poiché l'angolo di deviazione di questo vettore dalla tangente è piccolo d t (\ displaystyle dt \ )è sempre piccolo, il che significa che il coseno di questo angolo può essere considerato uguale a uno.

  Osservazioni

  Il valore assoluto dell'accelerazione tangenziale dipende solo dall'accelerazione al suolo, coincidente con il suo valore assoluto, in contrasto con il valore assoluto dell'accelerazione normale, che non dipende dall'accelerazione al suolo, ma dipende dalla velocità al suolo.