Logaritmul unui număr complex. Logaritmi complexe

Plan:

1 Logaritm real
- 1.1 Proprietăți
- 1.2 funcţie logaritmică
- 1.3 logaritmi naturali
- 1.4 Logaritmi zecimali
2 Logaritm complex
- 2.1 Definiție și proprietăți
- 2.2 Exemple
- 2.3 Continuare analitică
- 2.4 Suprafata Riemann
3 Contur istoric
- 3.1 Logaritm real
- 3.2 Logaritm complex
4 Tabelele logaritmice
5 Aplicații

Introducere

Orez. 1. Grafice ale funcțiilor logaritmice

Logaritmul unui număr b prin rațiune A (din greaca. λόγος - „cuvânt”, „atitudine” și ἀριθμός - „număr”) este definit ca un indicator al gradului în care trebuie ridicată baza A pentru a obține numărul b. Denumire: . Din definiție rezultă că intrările și sunt echivalente.

De exemplu, pentru că .

1. Logaritm real

Logaritmul unui log de numere reale A b are sens când . După cum știți, funcția exponențială y = A X este monotonă și fiecare valoare ia o singură dată, iar intervalul valorilor sale conține toate numerele reale pozitive. Rezultă că valoarea logaritmului real număr pozitiv există întotdeauna și este determinat în mod unic.

Cele mai utilizate sunt următoarele tipuri de logaritmi.

1.1. Proprietăți

Dovada

Să demonstrăm că.

(deoarece prin condiția bc > 0). ■

Dovada

Să demonstrăm asta

(deoarece prin condiția ■

Dovada

Să folosim identitatea pentru a o dovedi. Logaritmăm ambele părți ale identității la baza c. Primim:

Dovada

Să demonstrăm că.

(deoarece b p> 0 prin condiție). ■

Dovada

Să demonstrăm asta

Dovada

Luați logaritmul părților din stânga și din dreapta la bază c :

Partea stângă: Partea dreaptă:

Egalitatea expresiilor este evidentă. Deoarece logaritmii sunt egali, atunci, din cauza monotonității funcţie logaritmică expresiile în sine sunt egale. ■

1.2. funcţie logaritmică

Dacă considerăm un număr logaritmic ca o variabilă, obținem funcţie logaritmică y= jurnal A X (vezi fig. 1). Este definit la . Interval de valori: .

Funcția crește strict pentru A> 1 și în scădere strictă la 0< A < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Drept X= 0 este asimptota verticală stângă, deoarece la A> 1 și la 0< A < 1 .

Derivata functiei logaritmice este:

Dovada

I. Să dovedim asta

Să scriem identitatea e ln X = X și diferențiați laturile sale stânga și dreapta

Obținem asta, de unde rezultă că

II. Să demonstrăm asta

Funcția logaritmică implementează un izomorfism grup multiplicativ pozitiv numere realeși grupul aditiv al tuturor numerelor reale.

1.3. logaritmi naturali

Relația cu logaritmul zecimal: .

După cum sa menționat mai sus, derivata logaritmului natural are o formulă simplă:

Din acest motiv, logaritmii naturali sunt utilizați în principal în cercetarea matematică. Apar adesea când ecuatii diferentiale, studiul dependențelor statistice (de exemplu, distribuția numere prime) etc.

Integrala nedefinită a logaritmului natural este ușor de găsit prin integrarea pe părți:

Expansiunea seriei Taylor poate fi reprezentată după cum urmează:
când egalitatea

(1)

În special,

Această serie converge mai repede și, în plus, partea stângă a formulei poate exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv.

1.4. Logaritmi zecimali

Orez. 2a. Scară logaritmică

Orez. 2b. Scară logaritmică cu simboluri

Logaritmi la baza 10 (simbol: lg A) înainte de inventarea calculatoarelor erau utilizate pe scară largă pentru calcule. Scara neuniformă a logaritmilor zecimal este de obicei aplicată și regulilor de calcul. O scară similară este utilizată în multe domenii ale științei, de exemplu:

Fizica - intensitatea sunetului (decibeli).
Astronomia este o scară pentru luminozitatea stelelor.
Chimie - activitatea ionilor de hidrogen (pH).
Seismologie - scara Richter.
Teoria muzicală - scara muzicală, în raport cu frecvențele sunetelor muzicale.
Istoria este o scară de timp logaritmică.

Scara logaritmică este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a identifica exponentul în dependențe exponențiale și coeficientul în exponent. În același timp, un grafic trasat pe o scară logaritmică de-a lungul uneia sau două axe ia forma unei linii drepte, care este mai ușor de studiat.

2. Logaritm complex

2.1. Definiție și proprietăți

Pentru numerele complexe, logaritmul este definit în același mod ca și cel real. În practică, se folosește aproape exclusiv logaritmul complex natural, pe care îl notăm și îl definim ca mulțime a tuturor numerelor complexe. z astfel încât e z = w . Logaritmul complex există pentru orice , iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce imaginarul are un număr infinit de valori. Din acest motiv, se numește funcție cu mai multe valori. Dacă vă imaginați w sub forma exponentiala:

atunci logaritmul se găsește prin formula:

Iată logaritmul real, r = | w | , k este un întreg arbitrar. Valoarea obţinută când k= 0 este numit importanta principala logaritm natural complex; se obișnuiește să se ia valoarea argumentului în intervalul (− π,π] . Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală logaritm și se notează cu . Uneori denotă și valoarea logaritmului, care nu se află pe ramura principală.

Din formula urmează:

Partea reală a logaritmului este determinată de formula:

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:

Deoarece funcțiile trigonometrice complexe sunt asociate cu exponentul (formula lui Euler), logaritmul complex, ca inversul funcției exponențiale, este asociat cu inversele funcții trigonometrice. Un exemplu de astfel de conexiune:

2.2. Exemple

Iată valoarea principală a logaritmului pentru unele argumente:

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Un exemplu de raționament eronat:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - o absurditate evidentă.

Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă este în dreapta ( k= − 1). Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății, care, în general, în cazul complex implică întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

2.3. Continuare analitică

Orez. 3. Logaritm complex (partea imaginară)

Logaritm număr complex poate fi definită și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Lăsați curba Γ să înceapă de la 1, să nu treacă prin zero și să nu intersecteze partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final w curba Γ poate fi determinată prin formula:

Dacă Γ este o curbă simplă (fără auto-intersecții), atunci pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu

Dacă curbei Γ i se permite să intersecteze partea negativă a axei reale, atunci prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii la ramura vecină, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice ( Vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului

Pentru orice cerc S anexând punctul 0:

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind seria (1) de mai sus, generalizată la caz argument complex. Cu toate acestea, din tipul de expansiune rezultă că este egală cu zero la unitate, adică seria se referă numai la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex.

2.4. Suprafata Riemann

Funcția logaritmică complexă este un exemplu de suprafață Riemann; partea sa imaginară (Fig. 3) este formată dintr-un număr infinit de ramuri răsucite sub formă de spirală. Această suprafață este pur și simplu conectată; singurul său zero (de ordinul întâi) este obţinut prin z= 1 , puncte speciale: z= 0 și (puncte de ramificare de ordin infinit).

Suprafața Riemann a logaritmului este acoperirea universală pentru plan complex fara punctul 0.

3. Contur istoric

3.1. Logaritm real

Nevoia de calcule complexe în secolul al XVI-lea a crescut rapid și o mare parte din dificultate a fost asociată cu înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre, precum și cu extragerea rădăcinilor. La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea consumatoare de timp cu adunarea simplă, comparând progresiile geometrice și aritmetice folosind tabele speciale, în timp ce cea geometrică va fi cea originală. Apoi împărțirea este înlocuită automat cu o scădere nemăsurat mai simplă și mai de încredere și extragerea rădăcinii gradului n reduce la împărțirea logaritmului expresiei radicalului cu n. El a fost primul care a publicat această idee în cartea sa Aritmetica integra» Michael Stiefel, care, însă, nu a făcut eforturi serioase pentru a-și pune în aplicare ideea.

În 1614, matematicianul amator scoțian John Napier a publicat pe latin eseu intitulat " Descrierea uimitoarei tabele logaritmice„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). A avut scurta descriere logaritmi și proprietățile acestora, precum și tabele de 8 cifre ale logaritmilor de sinusuri, cosinusuri și tangente, cu un pas de 1". Termen logaritm, propus de Napier, s-a impus în știință. Napier a subliniat teoria logaritmilor în cealaltă carte a sa " Construirea unui tabel uimitor de logaritmi„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicat postum în 1619 de fiul său.

Conceptul de funcție nu exista încă, iar Napier a determinat logaritmul cinematic, comparând mișcarea uniformă și logaritmică lentă; de exemplu, el a definit logaritmul sinusului după cum urmează:

Logaritmul unui sinus dat este un număr care crește întotdeauna aritmetic în aceeași rată cu care sinusul complet a început să scadă geometric.

În notația modernă, modelul cinematic al lui Napier poate fi reprezentat printr-o ecuație diferențială: dx/x = -dy/M, unde M este factorul de scalare introdus pentru a face din valoare un număr întreg cu numărul dorit de cifre ( zecimaleîncă nefolosit pe scară largă). Napier a luat M = 10000000.

Strict vorbind, Napier a tabulat funcția greșită, care se numește acum logaritm. Dacă notăm funcția sa ca LogNap(x), atunci este legată de logaritmul natural după cum urmează:

Evident, LogNap (M) = 0, adică logaritmul „sinusului complet” este zero - asta a căutat Napier cu definiția sa. .

Proprietatea principală a logaritmului Napier: dacă mărimile formează progresie geometrică, atunci logaritmii lor formează o progresie aritmetică. Totuși, regulile pentru logaritmul pentru funcția non-Pieriană diferă de regulile pentru logaritmul modern.

De exemplu, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Din păcate, toate valorile din tabelul lui Napier conțineau o eroare de calcul după a șasea cifră. Cu toate acestea, acest lucru nu a împiedicat noua metodă de calcul să câștige o mare popularitate, iar mulți matematicieni europeni, inclusiv Kepler, au preluat compilarea tabelelor logaritmice. Deja 5 ani mai târziu, în 1619, profesorul de matematică londonez John Spydell ( John Spidell) au republicat tabelele lui Napier, transformate astfel încât acestea să devină de fapt tabele de logaritmi naturali (deși Spydell a păstrat scalarea la numere întregi). Termenul „logaritm natural” a fost inventat de matematicianul italian Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) la mijlocul secolului al XVI-lea.

În anii 1620, Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul, înainte de apariția calculatoarelor de buzunar, un instrument indispensabil pentru un inginer.

Aproape de înțelegerea modernă a logaritmului - ca operație inversă ridicării la putere - a apărut pentru prima dată la Wallis și Johann Bernoulli și a fost în cele din urmă legalizat de Euler în secolul al XVIII-lea. În Introducere în analiza infinitelor (1748), Euler a dat definiții moderne atât funcțiile exponențiale, cât și cele logaritmice, au condus extinderea lor în serii de puteri, în special a remarcat rolul logaritmului natural.

Euler are și meritul de a extinde funcția logaritmică la domeniul complex.

3.2. Logaritm complex

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică - în primul rând pentru că conceptul de logaritm în sine nu era încă clar. definit. Discuția pe acest subiect a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că este necesar să se definească log(-x) = log(x). Teorie completă logaritmii numerelor negative și complexe a fost publicat de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferit de cel modern.

Deși disputa a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), punctul de vedere al lui Euler a câștigat rapid recunoașterea generală.

4. Tabele logaritmice

Tabelele logaritmice

Din proprietățile logaritmului rezultă că, în loc de înmulțirea consumatoare de timp a numerelor cu mai multe valori, este suficient să găsiți (din tabele) și să adăugați logaritmii acestora și apoi să efectuați potențarea folosind aceleași tabele, adică să găsiți valoarea rezultatului prin logaritmul său. Efectuarea împărțirii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți. Laplace a spus că inventarea logaritmilor „a prelungit viața astronomilor” prin accelerarea mult procesul de calcul.

Când mutați punctul zecimal într-un număr la n cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se modifică cu n. De exemplu, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Rezultă că este suficient să faci un tabel cu logaritmi zecimal pentru numerele din intervalul de la 1 la 10.

Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier (1614) și conțineau doar logaritmii funcțiilor trigonometrice și cu erori. Independent de el, Joost Burgi, un prieten al lui Kepler, și-a publicat tabelele (1620). În 1617, profesorul de matematică de la Oxford, Henry Briggs, a publicat tabele care includeau deja logaritmii zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele Briggs. Prima ediție infailibilă bazată pe tabelele Vega (1783) a apărut abia în 1857 la Berlin (tabelele Bremiver).

În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703, cu participarea lui L. F. Magnitsky. Mai multe colecții de tabele de logaritmi au fost publicate în URSS.

Bradis V. M. Tabelele matematice din patru cifre. Ediția a 44-a, M., 1973.

Tabelele lui Bradys (1921) au fost folosite în institutii de invatamant iar în calculele de inginerie care nu necesită o mare precizie. Ele conțineau mantise de logaritmi zecimali ai numerelor și funcții trigonometrice, logaritmi naturali și alte câteva instrumente utile de calcul.

Vega G. Tabele de logaritmi cu șapte cifre, ediția a IV-a, M., 1971.

Colecție profesională pentru calcule precise.

Tabelele cu cinci cifre ale valorilor naturale ale mărimilor trigonometrice, logaritmii lor și logaritmii numerelor, ed. a 6-a, M .: Nauka, 1972.
Tabele de logaritmi naturali, ediția a II-a, în 2 volume, Moscova: Nauka, 1971.

În prezent, odată cu răspândirea calculatoarelor, nevoia de a folosi tabele de logaritmi a dispărut.

M, Caracteristică (analiza complexă).

(din greaca λόγος - „cuvânt”, „relație” și ἀριθμός - „număr”) numere b prin rațiune A(log α b) se numește un astfel de număr c, Și b= a c, adică log α b=cȘi b=ac sunt echivalente. Logaritmul are sens dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Cu alte cuvinte logaritm numerele b prin rațiune dar formulat ca un exponent la care trebuie ridicat un număr A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numere pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x= log α b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b.

De exemplu:

log 2 8 = 3 deoarece 8=2 3 .

Remarcăm că formularea indicată a logaritmului face posibilă determinarea imediată valoarea logaritmului când numărul de sub semnul logaritmului este o anumită putere a bazei. Într-adevăr, formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b prin rațiune A egală din. De asemenea, este clar că subiectul logaritmului este strâns legat de subiect grad de număr.

Se face referire la calculul logaritmului logaritm. Logaritmul este operația matematică de luare a unui logaritm. Atunci când se ia un logaritm, produsele factorilor sunt transformate în sume de termeni.

Potentarea este operația matematică inversă logaritmului. La potențare, baza dată este ridicată la puterea expresiei pe care se realizează potențarea. În acest caz, sumele de termeni sunt transformate în produsul factorilor.

Destul de des, se folosesc logaritmi reali cu baze 2 (binare), e număr Euler e ≈ 2,718 (logaritm natural) și 10 (zecimal).

În această etapă, merită luat în considerare mostre de logaritmi jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Și intrările lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nu au sens, deoarece în primul dintre ele un număr negativ este plasat sub semnul logaritmului, în al doilea - un număr negativ în baza, iar în al treilea - și un număr negativ sub semnul logaritmului și al unității în bază.

Condiții pentru determinarea logaritmului.

Merită să luăm în considerare separat condițiile a > 0, a ≠ 1, b > 0. definirea unui logaritm. Să ne gândim de ce sunt luate aceste restricții. Acest lucru ne va ajuta cu o egalitate de forma x = log α b, numită identitate logaritmică de bază, care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.

Luați condiția a≠1. Deoarece unul este egal cu unu la orice putere, atunci egalitatea x=log α b poate exista doar atunci când b=1, dar log 1 1 va fi orice număr real. Pentru a elimina această ambiguitate, luăm a≠1.

Să dovedim necesitatea condiției a>0. La a=0 conform formulării logaritmului, poate exista numai atunci când b=0. Și apoi în consecință log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Pentru a elimina această ambiguitate, condiția a≠0. Și atunci când A<0 ar trebui să respingem analiza valorilor raționale și iraționale ale logaritmului, deoarece exponentul cu exponent rațional și irațional este definit doar pentru baze nenegative. Din acest motiv, condiția a>0.

Și ultima condiție b>0 rezultă din inegalitate a>0, deoarece x=log α b, și valoarea gradului cu bază pozitivă A intotdeauna pozitiv.

Caracteristicile logaritmilor.

Logaritmi caracterizat prin distinctiv Caracteristici, ceea ce a dus la utilizarea lor pe scară largă pentru a facilita foarte mult calculele minuțioase. În trecerea „în lumea logaritmilor”, înmulțirea se transformă într-o adunare mult mai ușoară, împărțirea în scădere, iar ridicarea la putere și luarea rădăcinii se transformă în înmulțire și, respectiv, împărțirea cu un exponent.

Formularea logaritmilor și un tabel al valorilor acestora (pentru funcțiile trigonometrice) au fost publicate pentru prima dată în 1614 de matematicianul scoțian John Napier. Tabelele logaritmice, mărite și detaliate de alți oameni de știință, au fost utilizate pe scară largă în calculele științifice și de inginerie și au rămas relevante până când calculatoarele electronice și calculatoarele au început să fie folosite.

Sunt date principalele proprietăți ale logaritmului, graficul logaritmului, domeniul de definiție, setul de valori, formulele de bază, creșterea și scăderea. Se ia în considerare găsirea derivatei logaritmului. Și, de asemenea, integrala, extinderea în serie de puteri iar reprezentarea prin intermediul numerelor complexe.

Conţinut

Domeniu, set de valori, crescător, descendent

Logaritmul este funcţie monotonă, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului sunt prezentate în tabel.


Domeniu	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Gama de valori	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y= 0	x= 1	x= 1
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	Nu	Nu
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valori private

Se numește logaritmul de bază 10 logaritm zecimal si este marcat astfel:

logaritm de bază e numit logaritmul natural:

Formule logaritmice de bază

Proprietățile logaritmului care rezultă din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Logaritmul este operația matematică de luare a unui logaritm. Când se ia un logaritm, produsele factorilor sunt convertite în sume de termeni.
Potențiarea este operația matematică inversă logaritmului. La potențare, baza dată este ridicată la puterea expresiei pe care se realizează potențarea. În acest caz, sumele termenilor sunt convertite în produse de factori.

Dovada formulelor de bază pentru logaritmi

Formulele legate de logaritmi decurg din formulele pentru funcții exponențiale și din definiția unei funcții inverse.

Luați în considerare proprietatea functie exponentiala
.
Apoi
.
Aplicați proprietatea funcției exponențiale
:
.

Să demonstrăm formula schimbării bazei.
;
.
Punând c = b , avem:

Funcție inversă

Reciproca bazei a logaritmului este funcția exponențială cu exponentul a.

Daca atunci

Derivată a logaritmului

Derivată a logaritmului modulo x :
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Pentru a găsi derivata unui logaritm, aceasta trebuie redusă la bază e.
;
.

Integral

Integrala logaritmului se calculează prin integrarea pe părți : .
Asa de,

Expresii în termeni de numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
.
Să exprimăm un număr complex z prin modul rși argumentare φ :
.
Apoi, folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau

Cu toate acestea, argumentul φ nu este clar definit. Dacă punem
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru diferit n.

Prin urmare, logaritmul, ca funcție a unei variabile complexe, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Pentru , expansiunea are loc:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Vezi si:

Funcția exponențială a unei variabile reale (pentru teren pozitiv) se determină în mai multe etape. În primul rând, pentru valorile naturale - ca un produs al factorilor egali. Definiția este apoi extinsă la valori întregi negative și non-zero pentru prin reguli. În continuare, sunt considerați indicatori fracționali, în care valoarea funcției exponențiale este determinată folosind rădăcinile: . Pentru valorile iraționale, definiția este deja legată de conceptul de bază al analizei matematice - cu trecerea la limită, din motive de continuitate. Toate aceste considerații nu sunt în niciun caz aplicabile încercărilor de a extinde funcția exponențială la valorile complexe ale indicatorului și ceea ce, de exemplu, este complet de neînțeles.

Pentru prima dată, un grad cu un exponent complex cu bază naturală a fost introdus de Euler pe baza analizei unui număr de construcții ale calculului integral. Uneori, expresii algebrice foarte asemănătoare, atunci când sunt integrate, dau răspunsuri complet diferite:

În același timp, aici se obține formal a doua integrală din prima prin înlocuirea ei cu

Din aceasta putem concluziona că, cu o definire corectă a unei funcții exponențiale cu un exponent complex, funcțiile trigonometrice inverse sunt legate de logaritmi și astfel funcția exponențială este legată de funcțiile trigonometrice.

Euler a avut curajul și imaginația să dea o definiție rezonabilă pentru funcția exponențială cu bază, și anume,

Aceasta este o definiție și, prin urmare, această formulă nu este dovedită, se pot căuta doar argumente în favoarea caracterului rezonabil și oportunității unei astfel de definiții. Analiza matematică ofera o multime de argumente de acest gen. Ne vom limita la unul singur.

Se știe că în realitate, relația limită se ține: . În partea dreaptă există un polinom care are sens chiar și pentru valori complexe pentru . Limita unei secvențe de numere complexe este definită într-un mod natural. O secvență este considerată convergentă dacă șirurile părților reale și imaginare converg și este luată

Sa gasim . Pentru a face acest lucru, ne întoarcem la forma trigonometrică, iar pentru argument vom alege valori din intervalul . Cu această alegere, este clar că pentru . Mai departe,

Pentru a trece la limită, trebuie să verificați existența limitelor pentru și și să găsiți aceste limite. Este clar că și

Deci în expresie

partea reală tinde spre , imaginarul - la astfel încât

Acest argument simplu oferă unul dintre argumentele în favoarea definiției lui Euler a funcției exponențiale.

Să stabilim acum că atunci când înmulțim valorile funcției exponențiale, exponenții se adună. Într-adevăr:

2. Formule Euler.

Introducem în definiția funcției exponențiale . Primim:

Înlocuind b cu -b, obținem

Adunând și scăzând aceste egalități termen cu termen, găsim formulele

numite formule lui Euler. Ele stabilesc o legătură între funcțiile trigonometrice și exponențiale cu exponenții imaginari.

3. Logaritmul natural al unui număr complex.

Un număr complex dat în formă trigonometrică poate fi scris sub forma Această formă de scriere a unui număr complex se numește exponențială. Ea păstrează toate proprietățile bune ale formei trigonometrice, dar este și mai concis. În plus, prin urmare, este firesc să presupunem că, deci, partea reală a logaritmului unui număr complex este logaritmul modulului său, parte imaginară este argumentul lui. Aceasta explică într-o oarecare măsură proprietatea „logaritmică” a argumentului - argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.

Dovada formulei .

= =

întrucât sinusul și cosinusul nu depind de adăugarea unui unghi care este multiplu al

Și această egalitate este deja evidentă, deoarece aceasta este forma trigonometrică a unui număr complex.

Astfel, logaritmul există pentru toate punctele din plan, cu excepția zero. Pentru un număr pozitiv real, argumentul este 0, deci acest set infinit de puncte este , adică una dintre valori, și anume, la , va cădea pe axa reală. Dacă calculăm logaritmul unui număr negativ, obținem , adică setul de puncte este deplasat în sus și niciunul dintre ele nu cade pe axa reală.

Din formula se poate observa că numai atunci când argumentul numărului inițial este zero, una dintre valorile logaritmului cade pe axa reală. Și aceasta corespunde semiaxei drepte, și de aceea în cursul matematicii școlare au fost luate în considerare doar logaritmii numerelor pozitive. Există și logaritmii numerelor negative și imaginare, dar nu au o singură valoare pe axa reală.

Următorul desen arată unde în plan sunt situate toate valorile logaritmului unui număr pozitiv. Unul dintre ele se află pe axa reală, restul sunt deasupra și dedesubt cu , și așa mai departe. Pentru un număr negativ sau complex, argumentul este diferit de zero, astfel încât această secvență de puncte este deplasată vertical, rezultând niciun punct pe axa reală.

Exemplu. Calculati .

Soluţie. Să definim modulul numărului (egal cu 2) și argumentul 180 0 , adică . Apoi = .

Anexa 1. Întrebări pentru dovezi (pentru bilete).

Prelegerea #1

1. Demonstrați formula pentru integrarea pe părți.

Prelegerea #2

1. Demonstrați că înlocuirea , unde r = LCM (r 1 ,...,r k) reduce integrala la integrala unei fracții raționale.

2. Demonstrați că substituția reduce integrala formei la integrala unei fracții raționale.

3. Deduceți formulele de transformare pentru sinus și cosinus

Pentru schimbarea trigonometrică universală .

4. Demonstrați că în cazul în care funcția este impară față de cosinus, înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.

5. Demonstrați că în cazul în care

înlocuire: reduce integrala la o fracție rațională.

6. Demonstrați că pentru o integrală a formei

7. Demonstrați formula

8. Demonstrați că pentru o integrală a formei înlocuirea are propria sa integrală la o fracție rațională.

9. Demonstrați că pentru o integrală a formei înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.

Prelegerea #3

1. Demonstrați că funcția este antiderivata functiei .

2. Demonstrați formula Newton-Leibniz: .

3. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe date explicit:

4. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe dată în coordonate polare

Prelegerea #4

Demonstrați teorema: converge, converge.

Prelegerea #5

1. Deduceți (demonstrați) formula zonei în mod explicit suprafata data .

2. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele polare.

3. Derivarea determinantului Jacobi al coordonatelor polare.

4. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele cilindrice.

5. Derivarea determinantului Jacobi coordonate cilindrice.

6. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele sferice:

Prelegerea #6

1. Demonstrați că înlocuirea reduce ecuația omogenă la o ecuație cu variabile separabile.

2. Retragere forma generala liniar ecuație omogenă.

3. Obține o vedere generală a soluției unei ecuații liniare neomogene prin metoda Lagrange.

4. Demonstrați că înlocuirea reduce ecuația lui Bernoulli la o ecuație liniară.

Cursul numărul 7.

1. Demonstrați că înlocuirea scade ordinea ecuației cu k.

2. Demonstrați că înlocuirea scade ordinea ecuației cu unu .

3. Demonstrați teorema: Funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare omogene, există o rădăcină caracteristică.

4. Demonstrați teorema că combinație liniară soluții ale unui dif liniar omogen. ecuația este și soluția ei.

5. Demonstrați teorema privind impunerea soluțiilor: Dacă este soluția unei ecuații diferențiale liniare neomogene cu partea dreaptă și este soluția aceleiași ecuații diferențiale, dar cu partea dreaptă, atunci suma este soluția a ecuației cu partea dreaptă.

Cursul numărul 8.

1. Demonstrați teorema că sistemul de funcții este dependent liniar.

2. Demonstrați teorema că există n soluții liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n.

3. Demonstrați că dacă 0 este o rădăcină a multiplicității , atunci sistemul de soluții corespunzător acestei rădăcini are forma .

Cursul numărul 9.

1. Demonstrați folosind forma exponențială că la înmulțirea numerelor complexe se înmulțesc modulele și se adună argumentele.

2. Demonstrați formula lui De Moivre pentru gradul n

3. Demonstrați formula pentru rădăcina de ordin n a unui număr complex

4. Demonstrează că Și

sunt generalizări ale sinusului și cosinusului, i.e. pentru numere reale conform acestor formule se va obtine un sinus (cosinus).

5. Demonstrați formula pentru logaritmul unui număr complex:

Anexa 2

Întrebări mici și orale despre cunoașterea teoriei (pentru colocvii).

Prelegerea #1

1. Ce este un antiderivat și integrală nedefinită, Care este diferența?

2. Explicați de ce este și antiderivat.

3. Scrieți o formulă de integrare pe părți.

4. Ce înlocuire este necesară în forma integrală și cum elimină rădăcinile?

5. Scrieți tipul de expansiune al integrandului unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care toate rădăcinile sunt diferite și reale.

6. Scrieți tipul de expansiune al integranților fracțiilor raționale în fracții simple în cazul în care toate rădăcinile sunt reale și există o rădăcină multiplă a multiplicității k.

Cursul numărul 2.

1. Scrieți care este descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care numitorul are un factor de 2 grade cu discriminant negativ.

2. Ce înlocuire reduce integrala la o fracție rațională?

3. Ce este o substituție trigonometrică universală?

4. Ce înlocuiri se fac în cazurile în care funcția sub semnul integral este impară față de sinus (cosinus)?

5. Ce substituții se fac dacă integrandul conține expresiile , , sau .

Cursul numărul 3.

1. Definiția unei integrale determinate.

2. Enumeraţi câteva dintre principalele proprietăţi ale integralei definite.

3. Scrieți formula Newton-Leibniz.

4. Scrieți formula pentru volumul unui corp de revoluție.

5. Scrieți formula pentru lungimea unei curbe explicite.

6. Scrieți formula lungimii unei curbe parametrice.

Cursul numărul 4.

1. Definirea unei integrale improprie (cu ajutorul unei limite).

2. Care este diferența dintre integralele improprie de primul și al doilea fel.

3. Dați exemple simple de integrale convergente de primul și al doilea fel.

4. Pentru care converg integralele (T1).

5. Cum este legată convergența de limita finită a antiderivatei (T2)

6. Ce este semn necesar convergenţa, formularea ei.

7. Semn de comparație în forma finală

8. Test de comparatie in forma limitativa.

9. Definirea unei integrale multiple.

Cursul numărul 5.

1. Schimbarea ordinii de integrare, arătați în cel mai simplu exemplu.

2. Scrieți formula pentru suprafața.

3. Ce este coordonate polare, scrieți formule de tranziție.

4. Care este jacobianul sistemului de coordonate polare?

5. Care sunt coordonatele cilindrice și sferice, care este diferența lor.

6. Care este iacobianul coordonatelor cilindrice (sferice).

Cursul numărul 6.

1. Ce este o ecuație diferențială de ordinul 1 (vedere generală).

2. Ce este o ecuație diferențială de ordinul I, rezolvată în raport cu derivata. Dați un exemplu.

3. Ce este o ecuație cu variabile separabile.

4. Care este o soluție generală, particulară, condiții Cauchy.

5. Ce este o ecuație omogenă, care este metoda generală de rezolvare a acesteia.

6. Ce este ecuație liniară, care este algoritmul de rezolvare, care este metoda Lagrange.

7. Care este ecuația lui Bernoulli, algoritmul de rezolvare a acesteia.

Cursul numărul 7.

1. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de forma .

2. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de formă .

3. Arată cu exemple cum poate fi exprimat ca .

4. Ce este o ecuație diferențială liniară de ordinul n.

5. Ce este un polinom caracteristic, o ecuație caracteristică.

6. Formulați o teoremă pe care r funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare omogene.

7. Formulați o teoremă conform căreia o combinație liniară de soluții a unei ecuații liniare omogene este și soluția ei.

8. Formulați teorema de impunere a soluției și corolarele acesteia.

9. Care sunt sistemele de funcții liniar dependente și liniar independente, dați câteva exemple.

10. Care este determinantul Wronsky al unui sistem de n funcții, dați un exemplu de determinant Wronsky pentru sistemele LZS și LNS.

Cursul numărul 8.

1. Ce proprietate are determinantul Wronsky dacă sistemul este o funcție dependentă liniar.

2. Câte soluții liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n există.

3. Definiția FSR ( sistem fundamental soluții) unei ecuații liniare omogene de ordinul n.

4. Câte funcții sunt conținute în SRF?

5. Notați forma sistemului de ecuații pentru găsirea prin metoda Lagrange pentru n=2.

6. Notați tipul de soluție particulară în cazul în care

7. Ce este sistem liniar ecuații diferențiale, scrieți un exemplu.

8. Ce este un sistem autonom de ecuații diferențiale.

9. sens fizic sisteme de ecuații diferențiale.

10. Notați în ce funcții constă FSR-ul sistemului de ecuații, dacă este cunoscut valori propriiși vectorii proprii ai matricei principale a acestui sistem.

Cursul numărul 9.

1. Ce este o unitate imaginară.

2. Ce este un număr conjugat și ce se întâmplă când este înmulțit cu originalul.

3. Ce este trigonometric, forma indicativa număr complex.

4. Scrieți formula lui Euler.

5. Care este modulul, argumentul unui număr complex.

6. ce se întâmplă cu modulele și argumentele în timpul înmulțirii (împărțirii).

7. Scrieți formula lui De Moivre pentru gradul n.

8. Scrieți formula pentru rădăcina ordinului n.

9. Scrieți formulele generalizate de sinus și cosinus pentru argumentul complex.

10. Scrieți formula pentru logaritmul unui număr complex.

Anexa 3. Sarcini de la prelegeri.

Prelegerea #1

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Prelegerea #2

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu.. , unde, număr .

Exemplu.Împărțiți în formă exponențială.

Exemplu. Găsiți după formula lui De Moivre.

Exemplu. Găsiți toate valorile rădăcină.