Sistemul liniar se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt 0.

Sub formă de matrice, sistemul omogen se scrie:
.

Sistemul omogen (2) este întotdeauna consistent . Este evident că setul de numere
,
, …,
satisface fiecare ecuație a sistemului. Soluţie
numit zero sau banal decizie. Astfel, un sistem omogen are întotdeauna o soluție zero.

În ce condiții sistemul omogen (2) va avea soluții diferite de zero (netriviale)?

Teorema 1.3 Sistem omogen (2) are soluții diferite de zero dacă şi numai dacă rangul r matricea sa principală mai mic decât numărul necunoscut n .

Sistemul (2) - nedefinit
.

Consecința 1. Dacă numărul de ecuații m sistem omogen este mai mic decât numărul de variabile
, atunci sistemul este nedefinit și are un set de soluții diferite de zero.

Consecința 2. Sistem omogen pătrat
are soluții diferite de zero dacă și dacă matricea principală a acestui sistem este degenerat, adică determinant
.

În caz contrar, dacă determinantul
, sistemul omogen pătrat are singurul lucru soluție zero
.

Fie rangul sistemului (2)
adică sistemul (2) are soluții netriviale.

Lasa Și - soluții particulare ale acestui sistem, de ex.
Și
.

Proprietățile soluțiilor unui sistem omogen

Într-adevăr, .

Într-adevăr, .

Combinând proprietățile 1) și 2), putem spune că dacă

…,
- soluții ale sistemului omogen (2), atunci orice combinație liniară a acestora este și soluția sa. Aici
sunt numere reale arbitrare.

Poate fi găsit
soluții particulare liniar independente sistem omogen (2), care poate fi utilizat pentru a obține orice altă soluție particulară a acestui sistem, de ex. obțineți soluția generală a sistemului (2).

Definiție 2.2 Agregat
soluții particulare liniar independente

…,
sistem omogen (2) astfel încât fiecare soluție a sistemului (2) poate fi reprezentată ca o combinație liniară a acestora se numește sistem fundamental de decizie (FSR) de sistem omogen (2).

Lasa

…,
- sistem fundamental soluții, atunci soluția generală a sistemului omogen (2) poate fi reprezentată ca:

Unde

.

Cometariu. Pentru a obține FSR, trebuie să găsiți soluții private

…,
, dând la rândul său oricărei variabile libere valoarea „1”, iar tuturor celorlalte variabile libere - valoarea „0”.

obține ,, …,- FSR.

Exemplu. Aflați soluția generală și sistemul fundamental de soluții ale sistemului omogen de ecuații:

Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului, mai întâi punând ultima ecuație a sistemului pe primul loc și să o reducem la o formă în trepte. Deoarece părțile corecte ale ecuațiilor ca rezultat transformări elementare nu modificați, zerouri rămase, coloana

poate să nu fie scris.

̴
̴
̴

Rangul sistemului unde
- numărul de variabile. Sistemul este incert și are multe soluții.

Baza minoră cu variabile
diferit de zero:
alege
ca variabile de bază, restul
- variabile libere (iau orice valori reale).

Ultima matrice din lanț corespunde sistemului de ecuații în trepte:

(3)

Exprimați variabilele de bază
prin variabile libere
(cursul invers al metodei Gauss).

Din ultima ecuație pe care o exprimăm :
și înlocuiți în prima ecuație. Vom primi. Deschidem parantezele, dăm altele asemănătoare și exprimăm :
.

Presupunând
,
,
, Unde
, scrie

este soluția generală a sistemului.

Să găsim un sistem fundamental de soluții

,,.

Atunci soluția generală a sistemului omogen poate fi scrisă astfel:

Cometariu. FSR-ul putea fi găsit în alt mod, fără a găsi mai întâi soluția generală a sistemului. Pentru a face acest lucru, sistemul de etape rezultat (3) a trebuit rezolvat de trei ori, presupunând pt :
; pentru :
; pentru :
.

Sistem m ecuatii lineare c n necunoscut este numit sistem de omogen liniar ecuații dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero. Un astfel de sistem arată astfel:

Unde şi ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numere date; x i- necunoscut.

Sistemul de ecuații liniare omogene este întotdeauna consistent, deoarece r(A) = r(). Are întotdeauna cel puțin zero ( banal) soluție (0; 0; ...; 0).

Să considerăm în ce condiții sistemele omogene au soluții diferite de zero.

Teorema 1. Un sistem de ecuații liniare omogene are soluții diferite de zero dacă și numai dacă rangul matricei sale principale r mai putine necunoscute n, adică r < n.

□ unu). Fie că sistemul de ecuații liniare omogene are o soluție diferită de zero. Deoarece rangul nu poate depăși dimensiunea matricei, este evident că r ≤ n. Lasa r = n. Apoi unul dintre minorii de mărime n n diferit de zero. Prin urmare, sistemul corespunzător de ecuații liniare are o soluție unică: , , . Prin urmare, nu există alte soluții decât cele banale. Deci, dacă există o soluție non-trivială, atunci r < n.

2). Lasa r < n. Atunci un sistem omogen, fiind consistent, este nedefinit. Prin urmare, are un număr infinit de soluții, adică are și soluții diferite de zero. ■

Luați în considerare un sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscut:

(2)

Teorema 2. sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscute (2) are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul său este egal cu zero: = 0.

□ Dacă sistemul (2) are o soluție diferită de zero, atunci = 0. Pentru la , sistemul are doar o soluție unică zero. Dacă = 0, atunci rangul r matricea principală a sistemului este mai mică decât numărul de necunoscute, adică r < n. Și, prin urmare, sistemul are un număr infinit de soluții, adică. are și soluții diferite de zero. ■

Indicați soluția sistemului (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ca o sfoară .

Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

1. Dacă sfoara este o soluție pentru sistemul (1), atunci șirul este și o soluție pentru sistemul (1).

2. Dacă liniile și sunt soluții ale sistemului (1), apoi pentru orice valoare din 1 și din 2 combinația lor liniară este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1).

Puteți verifica validitatea acestor proprietăți prin înlocuirea lor directă în ecuațiile sistemului.

Din proprietățile formulate rezultă că orice combinație liniară de soluții la un sistem de ecuații liniare omogene este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

Sistem de soluții liniar independente e 1 , e 2 , …, e r numit fundamental dacă fiecare soluție a sistemului (1) este combinație liniară aceste decizii e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Dacă rang r matrici de coeficienti pentru variabile de sistem ecuațiile liniare omogene (1) este mai mică decât numărul de variabile n, atunci orice sistem fundamental de soluții la sistemul (1) constă din n–r solutii.

De aceea decizie comună sistemul de ecuații liniare omogene (1) are forma:

Unde e 1 , e 2 , …, e r este orice sistem fundamental de soluții pentru sistemul (9), din 1 , din 2 , …, cu p – numere arbitrare, R = n–r.

Teorema 4. Soluție generală de sistem m ecuații liniare c n necunoscute este egală cu suma soluției generale a sistemului corespunzător de ecuații liniare omogene (1) și a unei soluții particulare arbitrare a acestui sistem (1).

Exemplu. Rezolvați sistemul

Soluţie. Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are doar o soluție trivială: X = y = z = 0.

Exemplu. 1) Găsiți soluții generale și particulare ale sistemului

2) Găsiți un sistem fundamental de soluții.

Soluţie. 1) Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are soluții diferite de zero.

Deoarece există o singură ecuație independentă în sistem

X + y – 4z = 0,

apoi din ea exprimam X =4z- y. De unde obținem un set infinit de soluții: (4 z- y, y, z) este soluția generală a sistemului.

La z= 1, y= -1, obținem o soluție particulară: (5, -1, 1). Punând z= 3, y= 2, obținem a doua soluție particulară: (10, 2, 3), etc.

2) În soluția generală (4 z- y, y, z) variabile yȘi z sunt libere, iar variabila X- dependent de ele. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, dăm gratuit valori variabile: la început y = 1, z= 0, atunci y = 0, z= 1. Obținem soluții particulare (-1, 1, 0), (4, 0, 1), care formează sistemul fundamental de soluții.

Ilustrații:

Orez. 1 Clasificarea sistemelor de ecuații liniare

Orez. 2 Studiul sistemelor de ecuații liniare

Prezentari:

soluție SLAU_ metoda matricei

Soluție Metoda SLAU_Cramer

Soluție Metoda SLAE_Gauss

· Pachete pentru rezolvarea problemelor matematice Mathematica: căutarea soluției analitice și numerice a sistemelor de ecuații liniare

întrebări de testare:

1. Definiți o ecuație liniară

2. Ce fel de sistem face m ecuații liniare cu n necunoscut?

3. Ce se numește soluția sistemelor de ecuații liniare?

4. Ce sisteme se numesc echivalente?

5. Ce sistem se numește incompatibil?

6. Ce sistem se numește articulație?

7. Ce sistem se numește definit?

8. Ce sistem se numește nedefinit

9. Enumeraţi transformările elementare ale sistemelor de ecuaţii liniare

10. Enumeraţi transformările elementare ale matricelor

11. Formulați o teoremă privind aplicarea transformărilor elementare la un sistem de ecuații liniare

12. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda matricei?

13. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda lui Cramer?

14. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda Gauss?

15. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss

16. Descrieţi metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare

17. Descrieți metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

18. Descrieți metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

19. Ce sisteme pot fi rezolvate folosind matrice inversă?

20. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer

Literatură:

1. matematica superioara pentru economiști: Manual pentru universități / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 p.

2. Curs general de matematică superioară pentru economiști: Manual. / Ed. IN SI. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 p.

3. Culegere de probleme de matematică superioară pentru economiști: Tutorial/ Sub redacția V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 p.

4. V. E. Gmurman, Ghid pentru rezolvarea problemelor în teoria probabilității și statistica magmatică. - M.: liceu, 2005. - 400 p.

5. Gmurman. VE Teoria Probabilității și Statistica Matematică. - M.: Liceu, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematică superioară în exerciții și sarcini. Partea 1, 2. - M .: Onix secolul XXI: Lumea și educația, 2005. - 304 p. Partea 1; – 416 p. Partea 2

7. Matematică în economie: Manual: În 2 ore / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Finanțe și statistică, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematică superioară: manual pentru elevi. universități - M .: Liceu, 2007. - 479 p.

Informații similare.

Considera sistem omogen m ecuații liniare cu n variabile:

(15)

Sistemul de ecuații liniare omogene este întotdeauna compatibil, deoarece are întotdeauna o soluție zero (trivială) (0,0,…,0).

Dacă în sistemul (15) m=n și , atunci sistemul are doar o soluție zero, care rezultă din teoremă și din formulele lui Cramer.

Teorema 1. Sistemul omogen (15) are o soluție netrivială dacă și numai dacă rangul matricei sale este mai mic decât numărul de variabile, adică. . r(A)< n.

Dovada. Existența unei soluții netriviale a sistemului (15) este echivalentă cu dependența liniară a coloanelor matricei sistemului (adică există astfel de numere x 1 , x 2 ,…, xn , nu toate egale cu zero , că egalitățile (15) sunt valabile).

Conform teoremei minore de bază, coloanele unei matrice sunt dependente liniar , când nu toate coloanele acestei matrice sunt de bază, adică.  când ordinul r al bazei minore a matricei este mai mic decât numărul n al coloanelor sale. Ch.t.d.

Consecinţă. Un sistem omogen pătrat are soluții netriviale  când |A|=0.

Teorema 2. Dacă coloanele x (1), x (2), ..., x (s) ale soluției sistemului omogen AX=0, atunci orice combinație liniară a acestora este de asemenea o soluție pentru acest sistem.

Dovada. Luați în considerare orice combinație de soluții:

Apoi AX=A()===0. h.t.d.

Consecința 1. Dacă un sistem omogen are o soluție netrivială, atunci are infinite de soluții.

Acea. este necesar să se găsească astfel de soluții x (1), x (2), ..., x (s) ale sistemului Ax = 0, astfel încât orice altă soluție a acestui sistem să poată fi reprezentată ca o combinație liniară a acestora și , de altfel, într-un mod unic.

Definiție. Sistemul k=n-r (n este numărul de necunoscute din sistem, r=rg A) al soluțiilor liniar independente x (1) ,x (2) ,…,x (k) ale sistemului Ax=0 se numește sistem fundamental de decizie acest sistem.

Teorema 3. Să fie dat un sistem omogen Ax=0 cu n necunoscute și r=rg A. Atunci există o mulțime de k=nr soluții x (1) ,x (2) ,…,x (k) ale acestui sistem care formează sistem fundamental de soluții.

Dovada. Fără pierderea generalității, putem presupune că baza minoră a matricei A este situată în colțul din stânga sus. Apoi, după teorema minoră a bazei, rândurile rămase ale matricei A sunt combinații liniare ale rândurilor de bază. Aceasta înseamnă că dacă valorile x 1 ,x 2 ,…,x n satisfac primele r ecuații, adică. ecuații corespunzătoare rândurilor minorului de bază), apoi satisfac și alte ecuații. Prin urmare, setul de soluții al sistemului nu se va schimba dacă toate ecuațiile care încep de la (r + 1)-a sunt aruncate. Obținem sistemul:

Să mutăm necunoscutele libere x r +1, x r +2 ,…,x n în partea dreaptă și să lăsăm pe cele de bază x 1 , x 2 ,…, x r în partea stângă:

(16)

pentru că în acest caz, toate b i =0, apoi în loc de formule

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), obținem:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Dacă necunoscutelor libere х r +1 ,х r +2 ,…,x n sunt date valori arbitrare, atunci față de necunoscutele de bază obținem un SLAE pătrat cu o matrice nesingulară care are o soluție unică. Astfel, orice soluție a unui SLAE omogen este determinată în mod unic de valorile necunoscutelor libere х r +1 ,х r +2 ,…,x n . Luați în considerare următoarea serie k=n-r de valori ale necunoscutelor libere:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Numărul seriei este indicat printr-un superscript între paranteze, iar seria de valori este scrisă în coloane. În fiecare serie =1 dacă i=j și =0 dacă ij.

I-a serie de valori ale necunoscutelor libere corespund în mod unic cu valorile,,..., ale necunoscutelor de bază. Valorile necunoscutelor libere și de bază împreună oferă soluții sistemului (17).

Să arătăm că coloanele e i =,i=1,2,…,k (18)

formează un sistem fundamental de soluții.

pentru că Prin construcție, aceste coloane sunt soluții ale sistemului omogen Ax=0 și numărul lor este egal cu k, atunci rămâne de demonstrat independența liniară a soluțiilor (16). Să existe o combinație liniară de soluții e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), egal cu coloana zero:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Atunci partea stângă a acestei egalități este o coloană ale cărei componente cu numere r+1,r+2,…,n sunt egale cu zero. Dar componenta (r+1)-a este egală cu  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . În mod similar, componenta (r+2)-a este egală cu  2 ,…, componenta k-a este egală cu  k . Prin urmare  1 =  2 = …= k =0, ceea ce înseamnă independența liniară a soluțiilor e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Sistemul fundamental construit de soluții (18) se numește normal. În virtutea formulei (13), are următoarea formă:

(20)

Consecința 2. Lasa e 1 , e 2 ,…, e k-sistem fundamental normal de soluții ale unui sistem omogen, atunci mulțimea tuturor soluțiilor poate fi descrisă prin formula:

x=c 1 e 1 + de la 2 e 2 +…+с k e k (21)

unde с 1 ,с 2 ,…,с k – iau valori arbitrare.

Dovada. După teorema 2, coloana (19) este o soluție a sistemului omogen Ax=0. Rămâne de demonstrat că orice soluție a acestui sistem poate fi reprezentată sub forma (17). Luați în considerare o coloană X=y r +1 e 1 +…+yn e k. Această coloană coincide cu coloana y în ceea ce privește elementele cu numere r+1,…,n și este soluția pentru (16). Prin urmare coloanele XȘi la meci, pentru că soluțiile sistemului (16) sunt determinate în mod unic de setul de valori ale necunoscutelor sale libere x r +1 ,…,x n , și coloanele laȘi X aceste seturi se potrivesc. Prin urmare, la=X= y r +1 e 1 +…+yn e k, adică soluţie la este o combinație liniară de coloane e 1 ,…,y n FSR normal. Ch.t.d.

Afirmația dovedită este adevărată nu numai pentru FSR normal, ci și pentru un FSR arbitrar al unui SLAE omogen.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - decizie comună sisteme de ecuaţii liniare omogene

Unde Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r este orice sistem fundamental de soluții,

c 1 ,c 2 ,…,с n - r sunt numere arbitrare.

Exemplu. (pag. 78)

Să stabilim o legătură între soluțiile SLAE neomogen (1) și SLAE omogen corespunzătoare (15)

Teorema 4. Suma oricărei soluții a unui sistem neomogen (1) și a sistemului omogen corespunzător (15) este o soluție a sistemului (1).

Dovada. Dacă c 1 ,…,cn este o soluție a sistemului (1), iar d 1 ,…,dn este o soluție a sistemului (15), atunci înlocuind în orice (de exemplu, i-a) ecuație a sistemului (1) în locul numerelor necunoscute c 1 +d 1 ,…,cn +dn , obținem:

B i +0=b i

Teorema 5. Diferența dintre două soluții arbitrare ale sistemului neomogen (1) este soluția sistemului omogen (15).

Dovada. Dacă c 1 ,…,c n și c 1 ,…,c n sunt soluții ale sistemului (1), atunci înlocuind în orice (de exemplu, i-a) ecuație a sistemului (1) în loc de necunoscut numerele c 1 -с 1 ,…,c n -с n , obținem:

B i -b i \u003d 0 h.t.d.

Din teoremele demonstrate rezultă că soluția generală a unui sistem de m ecuații liniare omogene cu n variabile este egală cu suma soluției generale a sistemului corespunzător de ecuații liniare omogene (15) și un număr arbitrar de soluții particulare ale acestui sistem (15).

X neod. =X total unu +X frecvent mai mult de o (22)

Ca soluție particulară a unui sistem neomogen, este firesc să luăm soluția acestuia, care se obține dacă în formulele cj =(M j (bi)-cr +1 M j (ai , r +1)-…-cn M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) egale cu zero toate numerele cr +1 ,…,cn , i.e.

Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Adăugând această soluție particulară la soluția generală X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r sistem omogen corespunzător, obținem:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C n - r X n - r (24)

Să considerăm un sistem de două ecuații cu două variabile:

în care cel puţin unul dintre coeficienţi aij 0.

Pentru a rezolva, excludem x 2 înmulțind prima ecuație cu a 22, iar a doua cu (-a 12) și adunându-le: Eliminați x 1 înmulțind prima ecuație cu (-a 21), iar a doua cu a 11 si adaugandu-le: Exprimarea între paranteze – determinant

Denotand ,, atunci sistemul va lua forma:, adică dacă, atunci sistemul are o soluție unică:,.

Dacă Δ=0, a (sau), atunci sistemul este inconsecvent, deoarece se reduce la forma Dacă Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, atunci sistemul este incert, deoarece adus în minte

Se numește un sistem de ecuații liniare în care toți termenii liberi sunt egali cu zero omogen :

Orice sistem omogen este întotdeauna consistent, din moment ce a fost întotdeauna zero (banal ) soluție. Se pune întrebarea în ce condiții un sistem omogen va avea o soluție nebanală.

Teorema 5.2.Un sistem omogen are o soluție netrivială dacă și numai dacă rangul matricei de bază este mai mic decât numărul necunoscutelor sale.

Consecinţă. Un sistem omogen pătrat are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.

Exemplul 5.6. Determinați valorile parametrului l pentru care sistemul are soluții netriviale și găsiți următoarele soluții:

Soluţie. Acest sistem va avea o soluție netrivială atunci când determinantul matricei principale este egal cu zero:

Astfel, sistemul este netrivial când l=3 sau l=2. Pentru l=3, rangul matricei principale a sistemului este 1. Apoi, lăsând o singură ecuație și presupunând că y=AȘi z=b, primim x=b-a, adică

Pentru l=2, rangul matricei principale a sistemului este 2. Apoi, alegând ca minor de bază:

obținem un sistem simplificat

De aici aflăm că x=z/4, y=z/2. Presupunând z=4A, primim

Ansamblul tuturor solutiilor unui sistem omogen are o foarte importanta proprietate liniară : dacă X coloane 1 și X 2 - soluții ale sistemului omogen AX = 0, apoi orice combinație liniară a acestora A X 1+b X 2 va fi si solutia acestui sistem. Într-adevăr, pentru că TOPOR 1 = 0 Și TOPOR 2 = 0 , apoi A(A X 1+b X 2) = a TOPOR 1+b TOPOR 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Datorită acestei proprietăți, dacă un sistem liniar are mai multe soluții, atunci vor exista infinite dintre aceste soluții.

Coloane liniar independente E 1 , E 2 , E k, care sunt soluții ale unui sistem omogen, se numește sistem fundamental de decizie sistem omogen de ecuații liniare dacă soluția generală a acestui sistem poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor coloane:

Dacă un sistem omogen are n variabile, iar rangul matricei principale a sistemului este egal cu r, apoi k = n-r.

Exemplul 5.7. Găsiți sistemul fundamental de soluții al următorului sistem de ecuații liniare:

Soluţie. Aflați rangul matricei principale a sistemului:

Astfel, mulțimea de soluții a acestui sistem de ecuații formează un subspațiu liniar de dimensiune n - r= 5 - 2 = 3. Alegem ca minor de bază

Apoi, lăsând doar ecuațiile de bază (restul va fi o combinație liniară a acestor ecuații) și variabilele de bază (transferăm restul, așa-numitele variabile libere în dreapta), obținem un sistem simplificat de ecuații:

Presupunând X 3 = A, X 4 = b, X 5 = c, găsim

Presupunând A= 1, b=c= 0, obținem prima soluție de bază; presupunând b= 1, a = c= 0, obținem a doua soluție de bază; presupunând c= 1, a = b= 0, obținem a treia soluție de bază. Ca rezultat, sistemul fundamental normal de soluții ia forma

Folosind sistemul fundamental, soluția generală a sistemului omogen poate fi scrisă ca

X = aE 1 + fi 2 + cE 3 . A

Să notăm câteva proprietăți ale soluțiilor sistemului neomogen de ecuații liniare AX=Bși relația lor cu sistemul omogen de ecuații corespunzător AX = 0.

Soluție generală a unui sistem neomogeneste egală cu suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător AX = 0 și a unei soluții particulare arbitrare a sistemului neomogen. Într-adevăr, să Y 0 este o soluție particulară arbitrară a unui sistem neomogen, adică AY 0 = B, Și Y este soluția generală a unui sistem neomogen, adică. AY=B. Scăzând o egalitate din cealaltă, obținem
A(A-Y 0) = 0, adică A-Y 0 este soluția generală a sistemului omogen corespunzător TOPOR=0. Prin urmare, A-Y 0 = X, sau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Lasa sistem eterogen are forma AX = B 1 + B 2 . Atunci soluția generală a unui astfel de sistem poate fi scrisă ca X = X 1 + X 2 , unde AX 1 = B 1 și AX 2 = B 2. Această proprietate exprimă proprietatea universală a oricăror sisteme liniare în general (algebric, diferențial, funcțional etc.). În fizică, această proprietate se numește principiul suprapunerii, în inginerie electrică și radio - principiul suprapunerii. De exemplu, în teoria circuitelor electrice liniare, curentul din orice circuit poate fi obținut ca o sumă algebrică a curenților provocați de fiecare sursă de energie separat.

Exemplul 1. Găsiți o soluție generală și un sistem fundamental de soluții pentru sistem

Soluţie găsiți cu un calculator. Algoritmul de soluție este același ca pentru sistemele de ecuații liniare neomogene.
Operând numai cu rânduri, găsim rangul matricei, minorul de bază; declarăm necunoscute dependente și libere și găsim soluția generală.

Primul și al doilea rând sunt proporționale, unul dintre ele va fi șters:

.
Variabile dependente - x 2, x 3, x 5, libere - x 1, x 4. Din prima ecuație 10x 5 = 0 găsim x 5 = 0, atunci
; .
Soluția generală arată astfel:

Găsim sistemul fundamental de soluții, care constă din (n-r) soluții. În cazul nostru, n=5, r=3, prin urmare, sistemul fundamental de soluții este format din două soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente. Pentru ca rândurile să fie liniar independente este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elementele rândurilor să fie egal cu numărul de rânduri, adică 2. Este suficient să se dea necunoscutele libere x 1 și x 4 valori din rândurile determinantului de ordinul doi, care este diferit de zero, și calculați x 2 , x 3 , x 5 . Cel mai simplu determinant diferit de zero este .
Deci prima soluție este: , al doilea - .
Aceste două decizii constituie sistemul fundamental de decizie. Rețineți că sistemul fundamental nu este unic (alți determinanți decât zero pot fi alcătuiți câte doriți).

Exemplul 2 . Aflați soluția generală și sistemul fundamental de soluții ale sistemului
Soluţie.



,
rezultă că rangul matricei este 3 și este egal cu numărul necunoscut. Aceasta înseamnă că sistemul nu are necunoscute gratuite și, prin urmare, are o soluție unică - una trivială.

Sarcina . Explorează și rezolvă un sistem de ecuații liniare.
Exemplul 4

Sarcina . Găsiți soluții generale și particulare pentru fiecare sistem.
Soluţie. Scriem matricea principală a sistemului:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Aducem matricea într-o formă triunghiulară. Vom lucra doar cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând dintr-o matrice cu un număr diferit de zero și adăugarea lui la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia la o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția. a sistemului.
Înmulțiți al 2-lea rând cu (-5). Să adăugăm a doua linie la prima:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Înmulțiți al 2-lea rând cu (6). Înmulțiți al treilea rând cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:
Aflați rangul matricei.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Distinsul minor are ordinul cel mai înalt(dintre posibilii minori) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala reciprocă), deci rang(A) = 2.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscut x 1, x 2, ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1, x 2 sunt dependente (de bază) și x 3, x 4, x 5 sunt libere.
Transformăm matricea, lăsând doar minorul de bază în stânga.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Prin metoda eliminării necunoscutelor, găsim soluție nebanală:
Am obținut relații care exprimă variabile dependente x 1 ,x 2 prin liber x 3 ,x 4 ,x 5 , adică am găsit decizie comună:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Găsim sistemul fundamental de soluții, care constă din (n-r) soluții.
În cazul nostru, n=5, r=2, prin urmare, sistemul fundamental de soluții este format din 3 soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente.
Pentru ca rândurile să fie liniar independente, este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elementele rândurilor să fie egal cu numărul de rânduri, adică 3.
Este suficient să dați necunoscutele libere x 3 ,x 4 ,x 5 valori din rândurile determinantului de ordinul 3, diferit de zero, și să calculați x 1 ,x 2 .
Cel mai simplu determinant diferit de zero este matricea de identitate.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

O sarcină . Găsiți un set fundamental de soluții pentru un sistem omogen de ecuații liniare.