Dependență liniarăși independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

În public există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar astăzi fiecare vizitator va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va acoperi două secțiuni simultan. matematica superioarași vom vedea cum se înțeleg într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă Twix! ... la naiba, ei bine, argumentând prostii. Deși bine, nu voi înscrie, în final, ar trebui să existe o atitudine pozitivă de a studia.

Dependența liniară a vectorilor, independența liniară a vectorilor, baza vectoriala iar alți termeni au nu doar o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare nu este întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem reprezenta într-un plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru o dovadă, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni . Sau vectorul meteo pe care tocmai am fost la Gismeteo pentru: - temperatura si Presiunea atmosferică respectiv. Exemplul este desigur incorect în ceea ce privește proprietățile spațiu vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...

Nu, nu am de gând să vă plictisesc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) sunt aplicabili tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar exemplele vor fi date geometric. Astfel, totul este simplu, accesibil și vizual. Pe lângă problemele de geometrie analitică, vom lua în considerare și câteva sarcini tipice algebră. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineȘi Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine

Luați în considerare planul biroului computerului dvs. (doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice doriți). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Selectați baza avionului. În linii mari, blatul mesei are o lungime și o lățime, așa că este intuitiv clar că sunt necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este suficient, trei vectori sunt prea mult.

2) Pe baza alese setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor elementelor de pe tabel.

Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător al mâinii stângi pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic al mâinii drepte pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptat către ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce se poate spune despre vectori? Vectori de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.

Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în lecție. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.

Vor stabili degetele tale baza pe planul mesei computerului? Evident nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, în timp ce un avion are o lungime și o lățime.

Astfel de vectori se numesc dependent liniar.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile, expresiile matematice nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).

Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, cu excepția 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar nu sunt dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este primită. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „oblică” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală

Orice vector plan singura cale extins din punct de vedere al bazei:
, unde sunt numerele reale . Se numesc numere coordonate vectorialeîn această bază.

Ei spun si asta vectorprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăbază sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, puteți spune că un vector este extins pe o bază ortonormală a planului sau puteți spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Să formulăm definiția de bază oficial: pe bază de avion este o pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în care orice vectorul plan este o combinație liniară a vectorilor de bază.

Punctul esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. bazele Acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, degetul mic al mâinii stângi nu poate fi mutat în locul degetului mic al mâinii drepte.

Ne-am dat seama de bază, dar nu este suficient să setați grila de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe întregul plan. Deci, cum atribui coordonatele acelor puncte mici murdare de tabel rămase dintr-un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de punct de referință este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Înțelegerea sistemului de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva dintre diferențele dintre un sistem de coordonate dreptunghiular și o bază ortonormală. Iată poza standard:

Când vorbim despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea ele înseamnă originea coordonatelor, axele de coordonateși scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” în motorul de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să trasați punctele pe un plan.

Pe de altă parte, se are impresia că un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi bine definit în termeni de bază ortonormală. Și aproape că este. Formularea sună astfel:

origine, Și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al planului . Adică un sistem de coordonate dreptunghiular categoric este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea, vedeți desenul pe care l-am dat mai sus - în probleme geometrice adesea (dar nu întotdeauna) desenați atât vectori, cât și axele de coordonate.

Cred că toată lumea înțelege asta cu ajutorul unui punct (origine) și a unei baze ortonormale ORICE PUNCT al planului și ORICE VECTOR al planului pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul din avion poate fi numerotat”.

Vectorii de coordonate trebuie să fie unitar? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali lungime arbitrară diferită de zero:

O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori definește grila de coordonate, iar orice punct al planului, orice vector are propriile coordonate în baza dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unu, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.

! Notă : în baza ortogonală, și, de asemenea, mai jos în baze afine sunt luate în considerare unitățile plane și spațiale de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de-a lungul abscisei conține 4 cm, o unitate de-a lungul ordonatei conține 2 cm. Aceste informații sunt suficiente pentru a converti coordonatele „non-standard” în „centimetrii noștri obișnuiți”, dacă este necesar.

Și a doua întrebare, la care de fapt a primit deja răspuns - este unghiul dintre vectorii de bază în mod necesar egal cu 90 de grade? Nu! După cum spune definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.

Un punct din avion numit origine, Și necoliniare vectori, , a stabilit sistemul de coordonate afín al planului :

Uneori se numește acest sistem de coordonate oblic sistem. Punctele și vectorii sunt prezentate ca exemple în desen:

După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil, formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, pe care le-am considerat în a doua parte a lecției, nu funcționează în el. Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în acest sens, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz special sistem afin coordonate este un sistem dreptunghiular cartezian. Prin urmare, ea, a ei, cel mai adesea trebuie văzută. ... Cu toate acestea, totul în această viață este relativ - există multe situații în care este potrivit să aveți un oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Da, și umanoizii astfel de sisteme pot veni la gust =)

Să trecem la partea practică. Toate problemele din această lecție sunt valabile atât pentru un sistem de coordonate dreptunghiular, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat aici, tot materialul este disponibil chiar și unui școlar.

Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?

Lucru tipic. Pentru doi vectori plani sunt coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor respective să fie proporționale.În esență, aceasta este o rafinare coordonată cu coordonată a relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Vectorii formează o bază? ?

Soluţie:
a) Aflați dacă există pentru vectori coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite:

Cu siguranță vă voi spune despre versiunea „foppish” a aplicării acestei reguli, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să întocmești imediat o proporție și să vezi dacă este corectă:

Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Relația ar putea fi făcută și invers, aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru autotestare, se poate folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin celălalt. În acest caz, există egalități . Corectitudinea lor poate fi ușor verificată prin actiuni elementare cu vectori:

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate . Să creăm un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Ieșire: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Compuneți proporția din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor :
, prin urmare, acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, recenzenții nu resping această opțiune, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Asa: . Sau cam asa: . Sau cam asa: . Cum să rezolvi proporția aici? (Serios, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.

Răspuns: a), b) formă.

Un mic exemplu creativ pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

La ce valoare a vectorilor parametri va fi coliniar?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm doar ca al cincilea punct:

Pentru doi vectori plani, următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este egal cu zero.

Sper cu adevărat că în acest moment înțelegeți deja toți termenii și afirmațiile care au apărut.

Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a utiliza această caracteristică, desigur, trebuie să fii capabil găsiți determinanți.

Vom decide Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor :
, deci acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul compus din coordonatele vectorilor :
, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns: a), b) formă.

Pare mult mai compact și mai frumos decât soluția cu proporții.

Cu ajutorul materialului considerat, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și să se demonstreze paralelismul segmentelor, liniilor drepte. Luați în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un paralelogram.

Dovada: Nu este nevoie să construiți un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Amintiți-vă definiția paralelogramului:
Paralelogram Se numește patrulater, în care laturile opuse sunt paralele pe perechi.

Astfel, este necesar să se dovedească:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și .

Demonstrăm:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul este același vector („conform școlii” - vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să iei decizia corect, cu aranjamentul. Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:
, deci acești vectori sunt coliniari și .

Ieșire: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele pe perechi, deci este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Cifre mai bune și diferite:

Exemplul 4

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți o definiție a unui trapez, dar este suficient doar să vă amintiți cum arată.

Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Soluție completă la sfarsitul lectiei.

Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:

Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale cu.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

dar) ;
b)
în)

Soluţie:
a) Verificați dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificat” se face prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.

Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali și printr-un determinant de ordinul trei, Pe aici tratate în articol Produsul încrucișat al vectorilor.

Similar cazului plan, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor și liniilor spațiale.

Bun venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor spațiali tridimensionali.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre regularitățile pe care le-am luat în considerare în avion vor fi valabile și pentru spațiu. Am încercat să minimizez rezumatul teoriei, deoarece partea leului din informații a fost deja mestecată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul mesei computerului, să examinăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, pentru a construi o bază, trei vector spațial. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.

Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să vă întindeți în direcții diferite degetul mare, arătător și mijlociu. Aceștia vor fi vectori, arată în direcții diferite, au lungimi diferite și au unghiuri diferite între ei. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu trebuie să le demonstrați profesorilor acest lucru, indiferent cum vă răsuciți degetele, dar nu puteți scăpa de definiții =)

În continuare, punem o întrebare importantă, dacă oricare trei vectori formează o bază a unui spațiu tridimensional? Vă rugăm să apăsați cu trei degete ferm pe blatul mesei computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre măsurători - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, destul de evident, că baza spațiului tridimensional nu este creată.

Trebuie remarcat faptul că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în plane paralele(doar nu o face cu degetele, doar Salvador Dali a ieșit așa =)).

Definiție: se numesc vectorii coplanare dacă există un plan cu care sunt paralele. Aici este logic să adăugăm că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, imaginați-vă din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: (și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).

Este adevărat și invers: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu sunt în niciun fel exprimate unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza unui spațiu tridimensional.

Definiție: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, în timp ce orice vector al spațiului singura cale se extinde în baza dată, unde sunt coordonatele vectorului în baza dată

Ca reamintire, puteți spune, de asemenea, că un vector este reprezentat ca combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca și pentru carcasă plată, un punct și oricare trei liniare vectori independenți:

origine, Și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, a stabilit sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite să categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar cu planul, în sistemul de coordonate afine al spațiului, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa.

Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, după cum toată lumea poate ghici, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:

punct din spațiu numit origine, Și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al spațiului . poza familiara:

Înainte de a trece la sarcinile practice, sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori spațiali, următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Afirmațiile opuse, cred, sunt de înțeles.

Dependența liniară/independența vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind determinantul (articolul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură algebrică pronunțată. Este timpul să atârnați un băț geometric pe un cui și să mânuiți o bâtă de baseball algebră liniară:

Trei vectori spațiali sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: .

Vă atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba de aici - vedeți proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților, sau poate că sunt deloc prost orientați, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori formează baza unui spațiu tridimensional:

Soluţie: De fapt, toată soluția se rezumă la calcularea determinantului.

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor (determinantul este extins pe prima linie):

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza unui spațiu tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează baza

b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există și sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?

Soluţie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:

În esență, este necesar să se rezolve o ecuație cu un determinant. Zburăm în zerouri ca zmeele în jerboas - cel mai profitabil este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cea mai simplă ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor să verificați aici, pentru aceasta trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul original și să vă asigurați că prin redeschiderea acestuia.

În concluzie, să luăm în considerare o altă problemă tipică, care este mai mult de natură algebrică și este inclusă în mod tradițional în cursul algebrei liniare. Este atât de comun încât merită un subiect separat:

Demonstrați că 3 vectori formează baza unui spațiu tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în baza dată

Exemplul 8

Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază a spațiului tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Soluţie: Să ne ocupăm mai întâi de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este baza - nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și primul pas este complet același cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt într-adevăr independenți liniar:

Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:

, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază a unui spațiu tridimensional.

! Important : coordonate vectoriale neapărat scrie în coloane determinant, nu șiruri. În caz contrar, va exista confuzie în algoritmul de soluție ulterioară.

O combinație liniară de vectori este un vector
, unde λ 1 , ... , λ m sunt coeficienți arbitrari.

Sistem vectorial
se numește dependent liniar dacă există combinația sa liniară egală cu , care are cel puțin un coeficient diferit de zero.

Sistem vectorial
se numește liniar independent dacă în oricare dintre combinațiile sale liniare este egală cu , toți coeficienții sunt zero.

Baza sistemului de vectori
este numit subsistemul său nevid liniar independent, prin care poate fi exprimat orice vector al sistemului.

Exemplul 2. Găsiți baza unui sistem de vectori = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) și exprimă vectorii rămași în termeni de bază.

Rezolvare.Construim o matrice in care aranjam coordonatele acestor vectori in coloane. Îl aducem într-o formă în trepte.

~
~
~
.

Baza acestui sistem este formată din vectori ,,, care corespund elementelor conducătoare ale rândurilor marcate cu cercuri. Pentru o expresie vectorială rezolva ecuatia x 1 +x2 +x4 =. Se reduce la un sistem de ecuații liniare, a cărui matrice se obține din original prin permutarea coloanei corespunzătoare , în locul coloanei de termeni liberi. Prin urmare, pentru a rezolva sistemul, folosim matricea rezultată într-o formă treptată, făcând permutările necesare în ea.

Găsim succesiv:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Observație 1. Dacă se cere exprimarea mai multor vectori prin bază, atunci pentru fiecare dintre ei se construiește sistemul corespunzător ecuatii lineare. Aceste sisteme vor diferi doar în coloanele de membri liberi. Prin urmare, pentru a le rezolva, poate fi compilată o matrice, în care vor exista mai multe coloane de membri liberi. În acest caz, fiecare sistem este rezolvat independent de celelalte.

Observația 2. Pentru a exprima orice vector, este suficient să folosiți doar vectorii de bază ai sistemului care îl precedă. În acest caz, nu este nevoie să remodelați matricea, este suficient să puneți o linie verticală la locul potrivit.

Exercițiul 2. Aflați baza sistemului de vectori și exprimați restul vectorilor prin baza:

dar) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

în) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Sistem decizional fundamental

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero.

Sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen de ecuații liniare stă la baza mulțimii soluțiilor sale.

Să fie dat un sistem neomogen de ecuații liniare. Un sistem omogen asociat unuia dat este un sistem obținut dintr-unul dat prin înlocuirea tuturor termenilor liberi cu zerouri.

Dacă un sistem neomogen este consistent și nedefinit, atunci soluția sa arbitrară are forma f н +  1 f о1 + ... +  k f о k , unde f н este o soluție particulară sistem eterogen iar f o1 , ... , f o k este sistemul fundamental de soluții al sistemului omogen asociat.

Exemplul 3. Găsiți o anumită soluție a sistemului neomogen din Exemplul 1 și sistemul fundamental de soluții al sistemului omogen asociat.

Rezolvare.Scriem solutia obtinuta in exemplul 1 sub forma vectoriala si extindem vectorul rezultat intr-o suma peste parametrii liberi pe care ii contine si valori numerice fixe:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Se obține f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Cometariu. Problema găsirii unui sistem fundamental de soluții pentru un sistem omogen se rezolvă în mod similar.

Exercițiul 3.1 Aflați sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen:

dar)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

EXERCIȚIUL 3.2. Găsiți o anumită soluție a sistemului neomogen și sistemul fundamental de soluții ale sistemului omogen asociat:

dar)

b)

Exprimarea formei numit combinație liniară de vectori A 1 , A 2 ,...,A n cu coeficienți λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinarea dependenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit dependent liniar, dacă există un set de numere diferit de zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, sub care combinaţia liniară de vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero, adică sistemul de ecuații: are o soluție diferită de zero.
Set de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n este diferit de zero dacă cel puțin unul dintre numere λ 1, λ 2 ,...,λ n diferit de zero.

Determinarea independenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit liniar independent, dacă combinația liniară a acestor vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n este egal cu vectorul zero numai pentru un set zero de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n , adică sistemul de ecuații: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ are o soluție unică zero.

Exemplul 29.1

Verificați dacă un sistem de vectori este dependent liniar

Soluţie:

1. Compunem un sistem de ecuații:

2. O rezolvăm folosind metoda Gauss. Transformările iordaniene ale sistemului sunt prezentate în Tabelul 29.1. Când se calculează, părțile corecte ale sistemului nu sunt notate, deoarece sunt egale cu zero și nu se modifică în cazul transformărilor Jordan.

3. Din ultimele trei rânduri ale tabelului scriem sistemul permis echivalent cu cel original sistem:

4. Obținem soluția generală a sistemului:

5. După ce ați stabilit la propria discreție valoarea variabilei libere x 3 =1, obținem o anumită soluție diferită de zero X=(-3,2,1).

Răspuns: Astfel, cu o mulțime de numere nenule (-3,2,1), combinația liniară de vectori este egală cu vectorul zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Prin urmare, sistem de vectori dependenti liniar.

Proprietățile sistemelor vectoriale

Proprietate (1)
Dacă sistemul de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectori este descompus în ceea ce privește restul și invers, dacă cel puțin unul dintre vectorii sistemului este descompus în raport cu restul, atunci sistemul de vectorii este dependent liniar.

Proprietate (2)
Dacă orice subsistem de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Proprietate (3)
Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este liniar independent.

Proprietate (4)
Orice sistem de vectori care conține un vector zero este dependent liniar.

Proprietate (5)
Un sistem de vectori m-dimensionali este întotdeauna dependent liniar dacă numărul de vectori n este mai mare decât dimensiunea lor (n>m)

Baza sistemului vectorial

Baza sistemului de vectori A 1 , A 2 ,..., A n un astfel de subsistem B 1 , B 2 ,...,B r(fiecare dintre vectorii B 1 ,B 2 ,...,B r este unul dintre vectorii A 1 , A 2 ,..., A n) care îndeplinește următoarele condiții:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistem liniar independent de vectori;
2. orice vector Aj a sistemului A 1 , A 2 ,..., A n se exprimă liniar în termeni de vectori B 1 ,B 2 ,...,B r

r este numărul de vectori incluși în bază.

Teorema 29.1 Pe baza unitară a unui sistem de vectori.

Dacă un sistem de vectori m-dimensionali conține m distincti vectori unitari E 1 E 2 ,..., E m , atunci ele formează baza sistemului.

Algoritm pentru găsirea bazei unui sistem de vectori

Pentru a afla baza sistemului de vectori A 1 ,A 2 ,...,A n este necesar:

• Alcătuiți sistemul corespunzător de vectori sistem omogen ecuații A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• aduce acest sistem

Prelegeri despre algebră și geometrie. Semestrul 1.

Cursul 9. Bazele unui spațiu vectorial.

Rezumat: sistem de vectori, combinație liniară a unui sistem de vectori, coeficienți ai unei combinații liniare a unui sistem de vectori, baza pe o dreaptă, plan și în spațiu, dimensiunile spațiilor vectoriale pe o dreaptă, plan și în spațiu, descompunerea un vector într-o bază, coordonatele unui vector față de o bază, teorema egalității doi vectori, operații liniare cu vectori în notație de coordonate, triplu ortonormal al vectorilor, triple dreapta și stânga ale vectorilor, bază ortonormală, teorema fundamentală a algebrei vectoriale.

Capitolul 9

elementul 1. Bazat pe linie, pe plan și în spațiu.

Definiție. Orice set finit de vectori se numește sistem de vectori.

Definiție. Expresia unde
se numește combinație liniară a unui sistem de vectori
, și numerele
se numesc coeficienții acestei combinații liniare.

Fie L, Р și S o dreaptă, un plan și, respectiv, un spațiu de puncte și
. Apoi
sunt spații vectoriale ale vectorilor ca segmente direcționate pe dreapta L, pe planul P și, respectiv, în spațiul S.

orice vector diferit de zero este numit
, adică orice vector diferit de zero coliniar cu dreapta L:
Și
.

Notația de bază
:
- baza
.

Definiție. Baza spațiului vectorial
este orice pereche ordonată de vectori necoliniari în spațiu
.

, Unde
,
- baza
.

Definiție. Baza spațiului vectorial
este orice triplu ordonat al vectorilor necoplanari (adică nu se află în același plan) a spațiului
.

- baza
.

Cometariu. Baza unui spațiu vectorial nu poate conține un vector zero: în spațiu
prin definiție, în spațiu
doi vectori vor fi coliniari dacă cel puțin unul dintre ei este zero, în spațiu
trei vectori vor fi coplanari, adică se vor afla în același plan dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero.

punctul 2. Descompunerea unui vector în termeni de bază.

Definiție. Lasa este un vector arbitrar,
– sistem arbitrar vectori. Dacă egalitatea

apoi se spune că vectorul reprezentată ca o combinație liniară a unui sistem dat de vectori. Dacă sistemul dat de vectori
este o bază a spațiului vectorial, atunci egalitatea (1) se numește descompunerea vectorului bază
. Coeficienți de combinație liniară
se numesc în acest caz coordonatele vectorului raportat la bază
.

Teorema. (Despre expansiunea unui vector în termeni de bază.)

Orice vector al unui spațiu vectorial poate fi descompus în baza lui și, în plus, într-un mod unic.

Dovada. 1) Fie L o dreaptă (sau axă) arbitrară și
- baza
. Luați un vector arbitrar
. Deoarece ambii vectori Și coliniar pe aceeași linie L, atunci
. Să folosim teorema privind coliniaritatea a doi vectori. pentru că
, atunci există (există) un astfel de număr
, ce
şi astfel am obţinut o descompunere a vectorului bază
spațiu vectorial
.

Demonstrăm acum unicitatea unei astfel de descompunere. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului bază
spațiu vectorial
:

Și
, Unde
. Apoi
și folosind legea distribuției, obținem:

pentru că
, atunci din ultima egalitate rezultă că
, etc.

2) Fie acum P un plan arbitrar și
- baza
. Lasa
vector arbitrar al acestui plan. Să amânăm toți cei trei vectori din orice punct al acestui plan. Să construim 4 linii drepte. Să tragem o linie dreaptă , pe care se află vectorul , direct
, pe care se află vectorul . Până la sfârșitul vectorului trageți o dreaptă paralelă cu vectorul și o dreaptă paralelă cu vectorul . Aceste 4 linii taie un paralelogram. Vezi mai jos fig. 3. După regula paralelogramului
, Și
,
,
- baza ,
- baza
.

Acum, prin ceea ce a fost deja dovedit în prima parte a acestei dovezi, există numere
, ce

Și
. De aici obținem:

si se dovedeste posibilitatea extinderii din punct de vedere al bazei.

Să demonstrăm acum unicitatea expansiunii din punct de vedere al bazei. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului bază
spațiu vectorial
:
Și
. Obținem egalitate

Unde ar trebui
. Dacă
, apoi
, și de când
, apoi
iar coeficienții de expansiune sunt:
,
. Lasă acum
. Apoi
, Unde
. Prin teorema privind coliniaritatea a doi vectori, aceasta implică faptul că
. Am obținut o contradicție cu condiția teoremei. Prin urmare,
Și
, etc.

3) Lasă
- baza
lăsați-l să plece
vector arbitrar. Să realizăm următoarele construcții.

Lăsați deoparte toți cei trei vectori de bază
și vector dintr-un punct și construiți 6 planuri: planul în care se află vectorii de bază
, avion
si avionul
; mai departe până la sfârșitul vectorului trageți trei plane paralele cu cele trei plane tocmai construite. Aceste 6 avioane decupează cutia:

Conform regulii de adunare vectorială, obținem egalitatea:

. (1)

Prin constructie
. Prin urmare, prin teorema privind coliniaritatea a doi vectori, rezultă că există un număr
, astfel încât
. De asemenea,
Și
, Unde
. Acum, înlocuind aceste egalități în (1), obținem:

si se dovedeste posibilitatea extinderii din punct de vedere al bazei.

Să demonstrăm unicitatea unei astfel de descompunere. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului bază
:

ȘI . Apoi

Rețineți că, prin presupunere, vectorii
non-coplanare, deci sunt necoliniare perechi.

Sunt posibile două cazuri:
sau
.

a) Fie
, apoi din egalitatea (3) rezultă:

. (4)

Din egalitatea (4) rezultă că vectorul extins din punct de vedere al bazei
, adică vector se află în planul vectorial
și de aici vectorii
coplanar, ceea ce contrazice condiția.

b) Rămâne un caz
, adică
. Apoi din egalitatea (3) obținem sau

pentru că
este baza spațiului vectorilor aflați în plan și am demonstrat deja unicitatea expansiunii în baza vectorilor planului, rezultă din egalitatea (5) că
Și
, etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori ai spațiului vectorial
și mulțimea numerelor reale R.

2) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori ai spațiului vectorial
și pătrat cartezian

3) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori ai spațiului vectorial
și cub cartezian
multimi de numere reale R.

Dovada. Să demonstrăm a treia afirmație. Primele două sunt dovedite în mod similar.

Să alegem și să reparăm în spațiu
vreo bază
și configurați un afișaj
conform următoarei reguli:

acestea. fiecare vector este asociat cu un set ordonat al coordonatelor sale.

Deoarece, cu o bază fixă, fiecare vector are un set unic de coordonate, corespondența dată de regula (6) este într-adevăr o mapare.

Din demonstrarea teoremei rezultă că diferiți vectori au coordonate diferite față de aceeași bază, i.e. cartografierea (6) este o injecție.

Lasa
un set arbitrar ordonat de numere reale.

Luați în considerare vectorul
. Prin construcție, acest vector are coordonate
. Prin urmare, maparea (6) este o suprajecție.

O mapare care este atât injectivă, cât și surjectivă este bijectivă, adică. unu-la-unu etc.

Consecința este dovedită.

Teorema. (Despre egalitatea a doi vectori.)

Doi vectori sunt egali dacă și numai dacă coordonatele lor față de aceeași bază sunt egale.

Dovada decurge imediat din corolarul anterior.

punctul 3. Dimensiunea unui spațiu vectorial.

Definiție. Numărul de vectori din baza unui spațiu vectorial se numește dimensiunea acestuia.

Desemnare:
este dimensiunea spațiului vectorial V.

Astfel, în conformitate cu aceasta și definițiile anterioare, avem:

1)
este spațiul vectorial al vectorilor dreptei L.

- baza
,
,
,
– descompunerea vectorială
bază
,
- coordonata vectoriala raportat la bază
.

2)
este spațiul vectorial al vectorilor planului Р.

- baza
,
,
,
– descompunerea vectorială
bază
,
sunt coordonate vectoriale raportat la bază
.

3)
este spațiul vectorial al vectorilor în spațiul punctelor S.

- baza
,
,
– descompunerea vectorială
bază
,
sunt coordonate vectoriale raportat la bază
.

Cometariu. Dacă
, apoi
și poți alege baza
spaţiu
asa de
- baza
Și
- baza
. Apoi
, Și
, .

Astfel, orice vector al dreptei L, al planului P și al spațiului S poate fi extins din punct de vedere al bazei
:

Desemnare. În virtutea teoremei egalității vectoriale, putem identifica orice vector cu un triplu ordonat al numerelor reale și să scriem:

Acest lucru este posibil numai dacă baza
fixat si nu exista pericol de incurcare.

Definiție. Înregistrarea unui vector sub forma unui triplu ordonat de numere reale se numește forma de coordonate a înregistrării vectoriale:
.

punctul 4. Operații liniare cu vectori în notație de coordonate.

Lasa
- baza spatiala
Și
sunt cei doi vectori arbitrari ai săi. Lasa
Și
este notația acestor vectori în formă de coordonate. Să, mai departe,
- arbitrar numar real. În aceste notații, este valabilă următoarea teoremă.

Teorema. (Despre operațiile liniare cu vectori sub formă de coordonate.)

2)
.

Cu alte cuvinte, pentru a adăuga doi vectori trebuie să adăugați coordonatele lor corespunzătoare și pentru a înmulți un vector cu un număr, trebuie să înmulțiți fiecare coordonată a acestui vector cu un număr dat.

Dovada. Întrucât, după condiția teoremei, folosind apoi axiomele spațiului vectorial, care sunt supuse operațiilor de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, obținem:

Asta implică .

A doua egalitate este dovedită în mod similar.

Teorema a fost demonstrată.

punctul 5. Vectori ortogonali. Baza ortonormala.

Definiție. Doi vectori se numesc ortogonali daca unghiul dintre ei este egal cu unghiul drept, i.e.
.

Desemnare:
– vectori Și ortogonală.

Definiție. Trio de vectori
se numește ortogonală dacă acești vectori sunt perechi ortogonali unul față de celălalt, adică.
,
.

Definiție. Trio de vectori
se numește ortonormal dacă este ortogonal și lungimile tuturor vectorilor sunt egale cu unu:
.

Cometariu. Din definiție rezultă că un triplu de vectori ortogonal și, prin urmare, ortonormal este necoplanar.

Definiție. Triplul necoplanar ordonat al vectorilor
, concediat dintr-un punct, se numește drept (orientat la dreapta) dacă, atunci când este observat de la sfârșitul celui de-al treilea vector la planul care conține primii doi vectori Și , cea mai scurtă rotație a primului vector la al doilea are loc în sens invers acelor de ceasornic. În caz contrar, triplul vectorilor se numește stânga (orientat la stânga).

Aici, Fig. 6 prezintă triplul corect al vectorilor
. Următoarea figură 7 arată tripletul stâng al vectorilor
:

Definiție. Bază
spațiu vectorial
se numeste ortonormal daca
triplul ortonormal al vectorilor.

Desemnare. În cele ce urmează, vom folosi baza ortonormală potrivită
, vezi figura următoare.

Găsiți baza sistemului de vectori și vectori care nu sunt incluși în bază, extindeți pe baza:

dar 1 = {5, 2, -3, 1}, dar 2 = {4, 1, -2, 3}, dar 3 = {1, 1, -1, -2}, dar 4 = {3, 4, -1, 2}, dar 5 = {13, 8, -7, 4}.

Soluţie. Considerăm un sistem omogen de ecuații liniare

dar 1 X 1 + dar 2 X 2 + dar 3 X 3 + dar 4 X 4 + dar 5 X 5 = 0

sau extins.

Vom rezolva acest sistem folosind metoda Gauss, fără a schimba rândurile și coloanele și, în plus, alegând elementul principal nu în colțul din stânga sus, ci pe toată linia. Sarcina este să selectați partea diagonală a sistemului transformat de vectori.

~ ~

~ ~ ~ .

Sistemul de vectori permis, care este echivalent cu cel original, are forma

dar 1 1 X 1 + dar 2 1 X 2 + dar 3 1 X 3 + dar 4 1 X 4 + dar 5 1 X 5 = 0 ,

Unde dar 1 1 = , dar 2 1 = , dar 3 1 = , dar 4 1 = , dar 5 1 = . (1)

Vectori dar 1 1 , dar 3 1 , dar 4 1 formează un sistem diagonal. De aici vectorii dar 1 , dar 3 , dar 4 formează baza sistemului de vectori dar 1 , dar 2 , dar 3 , dar 4 , dar 5 .

Acum extindem vectorii dar 2 Și dar 5 în bază dar 1 , dar 3 , dar 4 . Pentru a face acest lucru, extindem mai întâi vectorii corespunzători dar 2 1 Și dar 5 1 sistem diagonal dar 1 1 , dar 3 1 , dar 4 1 , având în vedere că coeficienții de expansiune a vectorului în sistemul diagonal sunt coordonatele acestuia x i.

Din (1) avem:

dar 2 1 = dar 3 1 (-1) + dar 4 1 0 + dar 1 1 1 dar 2 1 = dar 1 1 – dar 3 1 .

dar 5 1 = dar 3 1 0 + dar 4 1 1+ dar 1 1 2 dar 5 1 = 2dar 1 1 + dar 4 1 .

Vectori dar 2 Și dar 5 extinde în bază dar 1 , dar 3 , dar 4 cu aceiași coeficienți ca și vectorii dar 2 1 Și dar 5 1 sistem diagonal dar 1 1 , dar 3 1 , dar 4 1 (acei coeficienți x i). Prin urmare,

dar 2 = dar 1 – dar 3 , dar 5 = 2dar 1 + dar 4 .

Sarcini. unu.Găsiți baza sistemului de vectori și vectorii care nu sunt incluși în bază, extindeți pe baza:

1. A 1 = { 1, 2, 1 }, A 2 = { 2, 1, 3 }, A 3 = { 1, 5, 0 }, A 4 = { 2, -2, 4 }.

2. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 0, 1, 2 }, A 3 = { 2, 1, -4 }, A 4 = { 1, 1, 0 }.

3. A 1 = { 1, -2, 3 }, A 2 = { 0, 1, -1 }, A 3 = { 1, 3, 0 }, A 4 = { 0, -7, 3 }, A 5 = { 1, 1, 1 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Găsiți toate bazele unui sistem de vectori:

1. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 3, 1, 2 }, A 3 = { 1, 2, 1 }, A 4 = { 2, 1, 2 }.

2. A 1 = { 1, 1, 1 }, A 2 = { -3, -5, 5 }, A 3 = { 3, 4, -1 }, A 4 = { 1, -1, 4 }.