Aducerea sistemului de forțe la cea mai simplă formă de teorie. Cazuri de reducere a unui sistem plat de forțe la cea mai simplă formă

Cazul I.

În cazul în care un vector principal sistemul de forțe este zero și sa punctul principal relativ la centrul de reducere este zero, atunci forțele sunt echilibrate reciproc.

Cazul II.

Dacă vectorul principal al sistemului de forțe este egal cu zero, iar momentul său principal față de centrul de reducere nu este egal cu zero, atunci forțele sunt reduse la o pereche de forțe. Momentul acestei perechi de forțe este egal cu momentul principal al sistemului de forțe relativ la centrul de reducere.

În acest caz, momentele principale ale sistemului de forțe în raport cu toate punctele din spațiu sunt geometrice egale.

Cazul III.

Dacă vectorul principal al sistemului de forțe nu este egal cu zero, iar momentul său principal relativ la centrul de reducere este egal cu zero, atunci forțele sunt reduse la rezultanta, a cărei linie de acțiune trece prin centrul de fantoma.

Cazul IV. și .

Dacă momentul principal al sistemului de forțe relativ la centrul de reducere este perpendicular pe vectorul principal, atunci forțele sunt reduse la rezultanta, a cărei linie de acțiune nu trece prin centrul de reducere (Fig. 145) .

Cazul V. și .

Dacă momentul principal al sistemului de forțe relativ la centrul de reducere nu este perpendicular pe vectorul principal, atunci forțele sunt reduse la două forțe de încrucișare sau la un șurub de putere (dinam), adică. la o combinație a unei forțe și a unei perechi de forțe al căror plan este perpendicular pe forță.

Reducerea la două forțe de încrucișare (Fig. 147):

Ecuații de echilibru pentru diferite sisteme de forțe

Pentru forțele situate în mod arbitrar în spațiu, corespund două condiții de echilibru:

Modulele momentului principal și vectorului principal pentru sistemul de forțe considerat sunt determinate de formulele:

Condițiile sunt îndeplinite numai cu cele șase ecuații de bază corespunzătoare ale balanței de forțe, situate arbitrar în spațiu:

Primele trei ecuații se numesc ecuațiile momentelor forțelor raportate la axele de coordonate, iar ultimele trei sunt ecuațiile proiecțiilor forțelor pe axă.

Forme de ecuații de echilibru pentru un sistem plan de forțe

Pentru forțele situate în mod arbitrar pe un plan, există două condiții de echilibru:

Două condiții pentru echilibrul forțelor situate arbitrar pe un plan pot fi exprimate ca un sistem de trei ecuații:

Aceste ecuații sunt numite ecuații de bază pentru echilibrul unui sistem plan de forțe. Centrul momentelor și direcția axelor de coordonate pentru acest sistem de ecuații pot fi alese în mod arbitrar.

Există alte două sisteme de trei ecuații ale sistemului de forțe.

În același timp, axa din sistem u nu trebuie să fie perpendiculară pe dreapta care trece prin punctele A și B.

Deoarece momentele principale ale sistemului de forțe față de doi centre sunt egale cu zero, sistemul de forțe considerat nu se reduce la o pereche de forțe. Proiecția rezultantei pe orice axă este egală cu suma proiecțiilor forțelor componente, i.e. prin urmare, presupusa rezultanta.Astfel, sistemul de forte nu se reduce nici la o pereche de forte, nici la o rezultanta si, prin urmare, este echilibrat.

unde punctele A, B, C nu se află pe o singură dreaptă. În acest caz, forțele nu sunt reduse la o pereche de forțe, deoarece momentele principale ale forțelor în jurul celor trei centre sunt egale cu zero. Nici forțele nu se reduc la o rezultantă, deoarece dacă aceasta există, atunci linia de acțiune a acesteia nu poate trece prin trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă. Astfel, sistemul de forțe nu se reduce nici la o pereche de forțe, nici la o rezultantă și, prin urmare, este echilibrat.

Centrul Forțelor Paralele

Când se adaugă două forțe paralele, două forțe paralele sunt reduse la o singură forță - rezultanta, a cărei linie de acțiune este îndreptată paralel cu liniile de acțiune ale forțelor. Rezultanta se aplică într-un punct care împarte linia dreaptă, la distanțe invers proporționale cu mărimea forțelor.

Deoarece forța poate fi transferată de-a lungul liniei de acțiune, punctul de aplicare al rezultantei nu este definit. Dacă forțele sunt rotite prin același unghi și forțele sunt adăugate din nou, atunci obținem o direcție diferită a liniei de acțiune a rezultantei. Punctul de intersecție al acestor două drepte rezultante poate fi considerat ca punct de aplicare al rezultantei, care nu își schimbă poziția atunci când toate forțele sunt rotite simultan prin același unghi. Un astfel de punct se numește centrul forțelor paralele.

Luați în considerare câteva cazuri speciale ale teoremei anterioare.

1. Dacă pentru un sistem dat de forțe R = 0, M 0 = 0, atunci acesta este în echilibru.

2. Dacă pentru un sistem dat de forţe R = 0, M 0  0, atunci acesta se reduce la o pereche cu momentul M 0 = m 0 (F i). În acest caz, valoarea lui M 0 nu depinde de alegerea centrului O.

3. Dacă pentru un sistem dat de forțe R  0, atunci acesta se reduce la o rezultantă, iar dacă R  0 și M 0 = 0, atunci sistemul este înlocuit cu o singură forță, adică. rezultanta R care trece prin centrul O; dacă R  0 și M 0  0, atunci sistemul este înlocuit cu o forță care trece printr-un punct C, iar OS = d(OCR) și d = |M 0 |/R.

Astfel, un sistem plat de forțe, dacă nu este în echilibru, se reduce fie la o rezultantă (când R  0), fie la o pereche (când R = 0).

Exemplul 2 Forțele aplicate discului:

(Fig. 3.16) aduce acest sistem de forțe la forma cea mai simplă.

Soluție: alegeți sistemul de coordonate Oxy. Pentru centrul de reducere alegem punctul O. Vectorul principal R:

R x \u003d F ix \u003d -F 1 cos30 0 - F 2 cos30 0 + F 4 cos45 0 \u003d 0; Orez. 3.16

R y \u003d F iy \u003d -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 - F 3 + F 4 cos45 0 \u003d 0. Prin urmare, R \u003d 0.

Momentul principal al sistemului M 0:

M 0: \u003d m 0 (F i) \u003d F 3 *a - F 4 *a * sin45 0 \u003d 0, unde a este raza discului.

Răspuns: R = 0; M0 = 0; corpul este în echilibru.

Aduceți la forma cea mai simplă sistemul de forțe F 1, F 2, F 3 prezentat în figură (Fig. 3.17). Forțele F 1 și F 2 sunt direcționate pe laturi opuse, iar forța F 3 este direcționată de-a lungul diagonalei dreptunghiului ABCD, a cărui latură AD este egală cu a. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

Soluție: direcționați axele de coordonate așa cum se arată în figură. Definim proiecțiile tuturor forțelor pe axele de coordonate:

Modulul vectorului principal R este:
;
.

Cosinusurile direcției vor fi:
;
.

Prin urmare: (x, R) = 150 0; (y, R) = 60 0 .

O să limităm momentul principal al sistemului de forţe faţă de centrul de reducere A. Atunci

m A \u003d m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

Având în vedere că m A (F 1) \u003d m A (F 3) \u003d 0, deoarece direcția forțelor trece prin punctul A, atunci

m A \u003d m A (F 2) \u003d F * a.

Astfel, sistemul de forțe se reduce la o forță R și o pereche de forțe cu un moment m A îndreptate în sens invers acelor de ceasornic (Fig. 3.18).

Răspuns: R = 2F; (x, ^ R) \u003d 150 0; (y,^R) = 600; m A = F*a.

Întrebări pentru autocontrol

Care este momentul de forță despre centru?

Ce înseamnă câteva forțe?

Aducerea unui sistem plat arbitrar de forțe într-un anumit centru?

Adăugarea forțelor paralele?

Literatură:,,.

Cursul 4

Forma de bază a condițiilor de echilibru. Pentru echilibrul unui sistem planar arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca suma proiecțiilor tuturor forțelor pe fiecare dintre cele două axe de coordonate și suma momentelor acestora față de orice centru aflat în planul de acțiune al fortele sunt egale cu zero:

Fix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

A doua formă a condițiilor de echilibru: Pentru echilibrul unui sistem plat arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca suma momentelor tuturor acestor forțe în raport cu oricare doi centre A și B și suma proiecțiilor lor pe axa Ox să nu fie perpendiculară pe dreapta. AB sunt egale cu zero:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; Fix = 0.

A treia formă de condiții de echilibru (ecuația celor trei momente): Pentru echilibrul unui sistem plat arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca suma tuturor acestor forțe în raport cu oricare trei centre A, B, C, care nu se află pe o singură dreaptă, să fie egală cu zero:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

P Exemplul 1. Determinați reacția încastrării unei grinzi cantilever sub acțiunea unei sarcini uniform distribuite, a unei forțe concentrate și a două perechi de forțe (Fig. 4.1); intensitatea sarcinii q \u003d 3 * 10 4 H / m; F \u003d 4 * 10 4 H; m 1 \u003d 2 * 10 4 H * m; m 2 \u003d 3 * 10 4 H * m. BN = 3m; NC = 3m; CA = 4m.

R Soluţie:

Conform principiului eliberării din legături, vom înlocui legăturile cu reacțiile corespunzătoare. Cu o etanșare rigidă în perete, ia naștere o forță de reacție R A de direcție necunoscută și moment necunoscut m A (Fig. 4.2). Înlocuim sarcina distribuită cu o forță concentrată echivalentă Q aplicată în punctul K (VK = 1,5 m). Alegem sistemul de coordonate VHU și compunem condițiile de echilibru pentru fascicul în forma principală:

proiecții de forță pe axa X: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

proiecții de forță pe axa Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

suma momentelor: m A (F) \u003d m 1 - m 2 + m A + Q * KA + F ”* CA \u003d 0 (3)

Descompunem forța F în punctul C în două componente reciproc perpendiculare F ”și F ’; forța F’ nu creează un moment relativ la punctul A, deoarece linia de acțiune a forței trece prin punctul A. Modulul forței F ”= Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

Înlocuind valorile numerice în ecuațiile (1), (2) și (3), obținem:

În acest sistem de trei ecuații, există trei necunoscute, deci sistemul are o soluție și, în plus, doar una.

4*10 4 *0,7 = R Ax R Ax = 2,8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0,7 + R Ay = 0 R Ay = 11,8*10 4 H

m A – 10 4 + 3*10 4 *3*8,5 + 4*10 4 *2,8 = 0 m A = - 86,8*10 4 H*m

Răspuns: R Ax \u003d 2,8 * 10 4 H; R Ay \u003d 11,8 * 10 4 H; m A \u003d - 86,8 * 10 4 H * m.

Exemplul 2. Determinați reacțiile suporturilor A, B, C și balamaua D a grinzii compozite (Fig. 4.3).

q \u003d 1,75 * 10 4 H / m; F \u003d 6 * 10 4 H; P \u003d 5 * 10 4 H.

Soluție: Conform principiului eliberării din legături, vom înlocui legăturile cu reacțiile corespunzătoare.

Înlocuim sarcina distribuită q cu forța concentrată echivalentă Q = q * KA aplicată în punctul M (AM = 2m). Numărul de forțe de reacție necunoscute: R Ax , R Ay , RB , R C și două perechi de forțe de reacție componente în balamaua D.

R Să luăm în considerare separat reacțiile din balamaua D. Pentru a face acest lucru, luați în considerare separat grinzile AD și DE (Fig. 4.5a, 4.5b).

Conform celei de-a treia legi a lui Newton din balamaua D, sistemul de forțe R Dx și R Dy acționează asupra grinzii KD, iar sistemul opus de forțe acționează asupra grinzii DE: R' Dx și R' Dy , iar modulele lui forțele sunt egale pe perechi, adică R Dx = R Dx și R Dy = R Dy . Aceasta este forțe interne fascicul compozit, astfel încât numărul de forțe de reacție necunoscute este șase. Pentru a le determina, este necesar să se compună șase ecuații independente ale stărilor de echilibru. Sunt posibile următoarele opțiuni pentru compilarea ecuațiilor de stare.

Compunem condițiile de echilibru pentru întreaga structură (3 ecuații) și pentru un element separat al acestei structuri: grinzi KD sau grinzi DE. La compilarea ecuațiilor de echilibru pentru întreaga structură, forțele interne nu sunt luate în considerare, deoarece atunci când sunt însumate, se anulează reciproc.

Ecuații de condiție de echilibru pentru întreaga structură:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay - Fsin60 0 + R B + R C - P = 0

m A (F) = Q*m A - Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC - P*AE = 0

Ecuații de condiție de echilibru pentru elementul DE:

R’ Dy , + R C – P*DE = 0

M D (F) = R C *DC - P*DE = 0

Astfel, se compun șase ecuații independente cu șase necunoscute, deci sistemul de ecuații are o soluție și, în plus, doar una. Rezolvând sistemul de ecuații, determinăm forțele de reacție necunoscute.

După cum se arată în § 12, oricare este redus în cazul general la o forță egală cu vectorul principal R și aplicată la un centru arbitrar O și la o pereche cu un moment egal cu momentul principal (vezi Fig. 40, b ). Să găsim cea mai simplă formă la care se poate reduce sistem spațial forțe care sunt dezechilibrate. Rezultatul depinde de valorile pe care R și R le au pentru acest sistem.

1. Dacă pentru un anumit sistem de forțe , și atunci se reduce la o pereche de forțe, al căror moment este egal cu și poate fi calculat folosind formulele (50). În acest caz, așa cum sa arătat în § 12, valoarea nu depinde de alegerea centrului O.

2. Dacă pentru un anumit sistem de forțe, atunci acesta se reduce la o rezultantă egală cu R, a cărei linie de acțiune trece prin centrul O. Valoarea lui R poate fi găsită prin formulele (49).

3. Dacă pentru un anumit sistem de forțe dar atunci și acest sistem se reduce la o rezultantă egală cu R, dar care nu trece prin centrul O.

Într-adevăr, la , perechea reprezentată de vector și forța R se află în același plan (Fig. 91).

Apoi, alegând forțele perechii egale în modulo R și aranjandu-le așa cum se arată în Fig. 91, constatăm că forțele sunt echilibrate reciproc, iar sistemul este înlocuit cu o linie de acțiune rezultantă a căreia trece prin punctul O (vezi, § 15, p. 2, b). Distanța ) este determinată în acest caz prin formula (28), unde

Este ușor de verificat că cazul luat în considerare va avea loc, în special, întotdeauna pentru orice sistem de forțe paralele sau forțe situate în același plan, dacă vectorul principal al acestui sistem Dacă pentru un anumit sistem de forțe și în același timp vectorul este paralel cu R (Fig. 92, a) , atunci aceasta înseamnă că sistemul de forțe se reduce la totalitatea forței R și a perechii P, P, aflată într-un plan perpendicular pe forță (Fig. 92). , b). O astfel de combinație de forță și o pereche se numește șurub dinamic, iar linia dreaptă de-a lungul căreia este îndreptat vectorul R se numește axa șurubului. Simplificarea în continuare a acestui sistem de forțe este imposibilă. Într-adevăr, dacă luăm ca centru de reducere orice alt punct C (Fig. 92, a), atunci vectorul poate fi transferat în punctul C ca liber, iar când forța R este transferată în punctul C (vezi § 11), se va adăuga încă o pereche cu moment perpendicular pe vectorul R și, prin urmare, și . Ca urmare, momentul perechii rezultate va fi numeric mai mare în acest fel, momentul perechii rezultate are în acest caz când este redus la centrul O cea mai mică valoare. Acest sistem de forțe nu poate fi redus la o singură forță (rezultă) sau la o pereche.

Dacă la forța R se adaugă una dintre forțele unei perechi, de exemplu P, atunci sistemul de forțe luat în considerare poate fi încă înlocuit cu două forțe care se intersectează, adică forțele Q și care nu se află în același plan (Fig. 93). ). Deoarece sistemul de forțe rezultat este echivalent cu un șurub dinamic, nici nu are o rezultantă.

5. Dacă pentru un anumit sistem de forțe și în același timp, vectorii și R nu sunt perpendiculari între ei și nu sunt paraleli, atunci un astfel de sistem de forțe se reduce și la un șurub dinamic, dar axa șurubului va nu trece prin centrul O.

Pentru a demonstra acest lucru, descompunem vectorul în componente: direcționate de-a lungul lui R și perpendicular pe R (Fig. 94). În acest caz, unde sunt vectorii și R. Perechea reprezentată de vector și forța R poate, ca în cazul prezentat în Fig. 91, înlocuiți cu o forță R aplicată în punctul O, Apoi acest sistem forțele vor fi înlocuite cu o forță și o pereche de momente paralele, iar vectorul, ca liber, poate fi aplicat și în punctul O. Rezultatul va fi într-adevăr un șurub dinamic, dar cu o axă care trece prin punct.

Cazuri de reducere la forma cea mai simplă

Aducerea la un cuplu

Fie, ca urmare a aducerii forțelor în centrul O, s-a dovedit că vectorul principal este egal cu zero, iar momentul principal este diferit de zero: . Apoi, în virtutea teoremei fundamentale a staticii, putem scrie

Aceasta înseamnă că sistemul original de forțe în acest caz este echivalent cu o pereche de forțe cu moment.

Momentul unui cuplu nu depinde de care punct este ales ca centru de momente la calcularea momentului unui cuplu. Prin urmare, în acest caz, momentul principal nu ar trebui să depindă de alegerea centrului de reducere. Dar tocmai la această concluzie relația

legând punctele principale cu privire la două centre diferite. Pentru , termenul suplimentar este, de asemenea, egal cu zero și obținem

Reducere la rezultat

Să fie acum vectorul principal nu este egal cu zero, iar momentul principal este egal cu zero: . În virtutea teoremei fundamentale a staticii, avem

adică sistemul de forțe se dovedește a fi echivalent cu o singură forță - vectorul principal. Prin urmare, în acest caz, sistemul inițial de forțe este redus la rezultantă, iar această rezultantă coincide cu vectorul principal aplicat la centrul de reducere: .

Sistemul de forte se reduce la rezultanta chiar si in cazul in care vectorul principal si momentul principal sunt ambele nenule, dar reciproc perpendiculare: . Dovada se realizează folosind următoarea secvență de acțiuni.

Prin centrul de reducere O trasăm un plan perpendicular pe momentul principal (Fig. 50, a). În figură, acest plan este aliniat cu planul desenului, iar vectorul principal este situat în el. În acest plan, construim o pereche cu un moment și alegem forțele perechii egale în valoare absolută cu vectorul principal; atunci pârghia perechii va fi egală cu . În continuare, deplasăm perechea în planul ei în așa fel încât una dintre forțele perechii să fie aplicată la centrul de reducere O opus celui principal; a doua forță a perechii se va aplica în punctul C, care se află departe de centrul O în direcția dorită, determinată de direcția, la o distanță OS egală cu umărul perechii h (Fig. 50, b). Acum, eliminând forțele echilibrate R și - aplicate în punctul O, ajungem la o forță aplicată în punctul C (Fig. 50, c). Va servi ca rezultat al acestui sistem de forțe.

Se poate observa că rezultanta este încă egală cu vectorul principal, dar diferă de vectorul principal în punctul său de aplicare. Dacă vectorul principal este aplicat la centrul de reducere O, atunci rezultanta este în punctul C, a cărui poziție necesită o definiție specială. Modul geometric de găsire a punctului C este vizibil din construcția de mai sus.

Pentru momentul rezultantei relativ la centrul de reducere O, se poate scrie (vezi Fig. 50):

sau, omițând valorile intermediare:

Dacă proiectăm această egalitate vectorială pe orice axă care trece prin punctul O, obținem egalitatea corespunzătoare în proiecții:

Reamintind că proiecția momentului de forță în jurul unui punct de pe axa care trece prin acest punct este momentul de forță în jurul axei, rescriem această egalitate după cum urmează:

Egalitățile rezultate exprimă teorema lui Varignon în ea vedere generala(în cursul 2, teorema a fost formulată doar pentru forțele convergente): dacă un sistem de forțe are o rezultantă, atunci momentul acestei rezultante (relativ la un punct, raportat la o axă) este egal cu suma momentelor de toate forţe date- componente (față de același punct, aceeași axă). Este clar că în cazul unui punct însumarea momentelor este vectorială, în cazul unei axe este algebrică.

Aducerea la dinam

Un dinam sau un șurub dinamic este o combinație între o pereche de forțe și o forță direcționată perpendicular pe planul de acțiune al perechii. Se poate arăta că în cazul general al reducerii, când și nu este perpendicular pe , sistemul original de forțe este echivalent cu un anumit dinam.