Calculați momentele de inerție J u , J v și J uv:
Adăugând primele două formule (3.14), obținem J u + J v= Jz+ Jy, adică pentru orice rotație a axelor reciproc perpendiculare, suma momente axiale inerția rămâne constantă (invariantă).
Axele principale și momentele principale de inerție
Explorarea funcției J u(a) la extrem. Pentru a face acest lucru, echivalăm derivata cu zero J u(a) prin a.
Obținem aceeași formulă egalând cu zero momentul de inerție centrifugal
.
Axele principale se numesc axe, în raport cu care momentele de inerție axiale iau valori extreme, iar momentul de inerție centrifugal este zero.
Un număr infinit de axe principale de inerție pot fi desenate luând ca origine orice punct din plan. Pentru a rezolva problemele de rezistență a materialelor, ne interesează doar axa centrală principală de inerție. Principalele axe centrale de inerție trece prin centrul de greutate al secțiunii.
Formula (3.17) dă două soluții care diferă cu 90°, adică. vă permite să determinați două valori ale unghiului de înclinare a axelor principale de inerție față de axele originale. Față de care dintre axe este momentul de inerție axial maxim J 1 = J max , și față de care dintre ele - minimul J 2 = J min , va trebui rezolvată în funcție de sensul problemei.
Mai convenabile sunt alte formule care determină în mod unic poziția axelor principale 1 și 2 (date fără derivație). În acest caz, unghiul pozitiv este măsurat de la axă Ozîn sens invers acelor de ceasornic.
În formula (3.19), semnul „+” corespunde momentului maxim de inerție, iar semnul „-” minimului.
cometariu . Dacă secțiunea are cel puțin o axă de simetrie, atunci în raport cu această axă și orice altă perpendiculară pe aceasta, momentul de inerție centrifugal este egal cu zero.În conformitate cu definiția axelor principale de inerție, putem concluziona că aceste axe sunt principalele axe de inerție, adică axa de simetrie este întotdeauna axa centrală principală.
Pentru profilele simetrice prezentate în sortiment, canal sau grindă în I, principalele axe centrale de inerție vor fi axele verticale și orizontale care se intersectează la jumătate din înălțimea profilului.
Luați în considerare modificarea momentelor de inerție atunci când axele de coordonate sunt rotite. Să presupunem că momentele de inerție ale unei anumite secțiuni față de axe X și y (nu neapărat central). Necesar pentru a defini J u , J v , J UV- momente de inerție față de axe u , v , rotit într-un unghi A. Deci proiecție OABC este egală cu proiecția celei de închidere:
u= y păcatun +X cos A (1)
v=y cos a – x sin a(2)
Eliminați u,v în expresiile pentru momentele de inerție:
J u = ∫v 2 dF; J v = ∫u 2 dF; J UV = ∫uvdF. Înlocuind expresiile (1) și (2) obținem:
J u =J X cos 2 a-J X y sin 2a + J y păcat 2 A
J v =J X păcat 2 a+J X y sin 2a + J y cos 2 A(3)
J UV =J X y cos2a + sin2a(J X -J y )/2
J u + J v = J X + J y = ∫ F (y 2 + X 2 ) dF => Suma momentelor axiale de inerție relativ la 2x reciproc perpendiculare. Axele independente de unghi A. observa asta X 2 + y 2 = p 2 . p- distanta de la originea coordonatelor pana la zona elementara. Acea. J X + J y = J p .(4)
J p =∫ F p 2 dF – moment polar, independent de rotație X y
2) T. Casteliano.
Derivata parțială a energiei potențiale a sistemului în raport cu forța este egală cu deplasarea punctului de aplicare a forței în direcția acestei forțe.
Luați în considerare o tijă încărcată sistem arbitrar forțe și fixate așa cum se arată în Fig.
Fie energia potențială de deformare, acumulată în volumul corpului ca urmare a muncii forțelor exterioare, egală cu U. Vom da incrementul d F n forței F n . Apoi energie potențială Veți primi o creștere 
și ia forma U+ 
.(5.4)
Să schimbăm acum ordinea aplicării forțelor. Să aplicăm mai întâi la corp elastic putere dPn.În punctul de aplicare a acestei forțe, va avea loc o deplasare în mod corespunzător mică, a cărei proiecție pe direcția forței dPn este egal cu . dδ n . Apoi munca forței dPn se dovedește a fi egal dPn dδn /2. Acum să aplicăm întregul sistem de forțe externe. În lipsa puterii dPn energia potenţială a sistemului ar lua din nou valoarea U. Dar acum această energie se va schimba prin cantitatea de muncă suplimentară dPnδn care forța va face dPn pe deplasare δ n , cauzate de întregul sistem de forţe externe. Valoarea lui δ n este din nou proiecția deplasării totale pe direcția forței Рn.
Ca urmare, cu succesiunea inversă de aplicare a forțelor, expresia energiei potențiale se obține sub forma
(5.5)
Echivalăm această expresie cu expresia (5.4) și, aruncând produsul dPn dδn /2 ca o cantitate de ordinul cel mai înalt al micimii, găsim
(5.6)
Biletul 23
Cineva nu are noroc
Biletul 24
1) Torsiunea unei bare de secțiune dreptunghiulară (determinarea tensiunilor și deplasărilor). Torsiunea grinzii dreptunghiulare, tensiuni în secțiune transversală
P 
În acest caz, legea secțiunilor plate este încălcată, secțiunile de formă necirculară sunt îndoite în timpul torsiunii - deformarea secțiunii transversale.
Diagrame ale tensiunilor tăietoare de secțiune dreptunghiulară.
;
, Jk și Wk - numite condiționat moment de inerție și momentul de rezistență în timpul torsii. Wk=hb2,
Jk= hb3, Tensiunile maxime de forfecare max vor fi în mijlocul laturii lungi, tensiunile în mijlocul laturii scurte: =max, coeficienții: ,, sunt dați în cărțile de referință în funcție de raportul h/b (de exemplu, la h /b=2,=0,246;=0,229;=0,795.
Când se calculează o bară pentru torsiune (ax), trebuie rezolvate două sarcini principale. În primul rând, este necesar să se determine tensiunile care apar în grinda și, în al doilea rând, este necesar să se găsească deplasările unghiulare ale secțiunilor grinzii în funcție de valorile momentelor externe.
Să presupunem că pentru o secțiune arbitrară (Fig. 1.13) sunt cunoscute momentele de inerție în jurul axelor de coordonate z și y, iar momentul de inerție centrifugal Izy este de asemenea cunoscut. Este necesar să se stabilească dependențe pentru momentele de inerție față de axele 11 zy, rotite cu un unghi față de axele inițiale z și y (Fig. 1.13). Vom considera unghiul pozitiv dacă rotația sistemului de coordonate are loc în sens invers acelor de ceasornic. Fie pentru o secțiune dată IzI. yPentru a rezolva problema, să găsim relația dintre coordonatele zonei dA din axa originală și cea rotită. Din Fig.1.13 rezultă: Dintr-un triunghi dintr-un triunghi Având în vedere acest lucru, obținem În mod similar pentru coordonata y1 obținem Având în vedere că în final avem ), determinăm momentul de inerție relativ la noile axe (rotate) z1 și y1: În mod similar, momentul de inerție centrifugal I în raport cu axele rotite este determinat de dependența . Scăzând (1.27) din (1.26) obținem Formula (1.30) poate servi la calcularea momentului de inerție centrifugal în jurul axelor z și y, conform momentelor de inerție cunoscute în jurul axelor z, y și z1, y1 și formula (1.29) poate fi folosit pentru a verifica calculele momentelor de inerție ale secțiunilor complexe. 1.8. Axele principale și momentele de inerție principale ale secțiunii Odată cu modificarea unghiului (vezi Fig. 1.13), se modifică și momentele de inerție. Pentru unele valori ale unghiului 0, momentele de inerție au valori extreme. Momentele axiale de inerție cu valori maxime și minime sunt numite momente de inerție axiale principale ale secțiunii. Axele față de care momentele axiale de inerție au valori maxime și minime sunt axele principale de inerție. Pe de altă parte, după cum sa menționat mai sus, axele principale sunt axele față de care momentul de inerție centrifugal al secțiunii este zero. Pentru a determina poziția axelor principale pentru secțiuni de formă arbitrară, luăm prima derivată față de I și o echivalăm cu zero: Trebuie remarcat faptul că formula (1.31) poate fi obținută din (1.28) prin echivalarea acesteia cu zero. Dacă înlocuim valorile unghiului determinat din expresia (1.31) în (1. 26) și (1.27), apoi după transformare obținem formule care determină principalele momente axiale de inerție ale secțiunii.În structura sa, această formulă este similară cu formula (4.12), care determină tensiunile principale (vezi Secțiunea 4.3). Dacă IzI, atunci, pe baza studiilor derivatei a doua, rezultă că momentul maxim de inerție Imax are loc în raport cu axa principală rotită într-un unghi față de axa z, iar momentul minim de inerție - față de cealaltă axă principală situată la un unghi de 0 Dacă II, totul se schimbă dimpotrivă. Valorile principalelor momente de inerție Imax și I pot fi calculate și din dependențele (1.26) și (1.27), dacă substituim în ele în loc de valoare. În acest caz, întrebarea se rezolvă de la sine: față de ce axă principală se obține momentul maxim de inerție și față de care axă este minimul? Trebuie remarcat faptul că, dacă pentru o secțiune principalele momente de inerție centrale în jurul axelor z și y sunt egale, atunci pentru această secțiune orice axă centrală este cea principală și toate momentele centrale principale de inerție sunt aceleași (cerc, pătrat). , hexagon, triunghi echilateral etc.). Acest lucru este ușor de stabilit din dependențe (1.26), (1.27) și (1.28). Într-adevăr, să presupunem că pentru o anumită secțiune axele z și y sunt principalele axe centrale și, în plus, I. y Atunci din formulele (1.26) și (1.27) obținem că Izy , 1a din formula (1.28) ne asigurăm că 11 e. orice axe sunt principalele axe centrale de inerție ale unei astfel de figuri. 1.9. Conceptul razei de rotație Momentul de inerție al unei secțiuni față de orice axă poate fi reprezentat ca produsul ariei secțiunii transversale prin pătratul unei anumite mărimi, numită raza de rotație a ariei secțiunii transversale în care iz ─ raza de inerție față de axa z. Apoi din (1.33) urmează: Principalele axe centrale de inerție corespund razelor principale de inerție: 1.10. Momente de rezistență Distingeți momentele de rezistență axiale și cele polare. 1. Momentul axial de rezistență este raportul dintre momentul de inerție în jurul unei axe date și distanța până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii transversale de această axă. Momentul axial de rezistență față de axa z: și față de axa y: max unde ymax și respectiv zmax─, distanțele de la axele centrale principale z și y până la punctele cele mai îndepărtate de acestea. În calcule se folosesc principalele axe centrale de inerție și principalele momente centrale, așadar, sub Iz și Iy în formulele (1.36) și (1.37) vom înțelege principalele momente centrale de inerție ale secțiunii. Luați în considerare calculul momentelor de rezistență ale unor secțiuni simple. 1. Dreptunghi (vezi Fig. 1.2): 2. Cerc (vezi Fig. 1.8): 3. Secțiune tubulară inelară (Fig. 1.14): . Pentru profilele laminate momentele de rezistenta sunt date in tabelele de sortiment si nu este nevoie sa le determinam (vezi anexa 24 - 27). 2. moment polar rezistența este raportul dintre momentul polar de inerție și distanța de la pol până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii max 30. Centrul de greutate al secțiunii este de obicei luat drept pol. De exemplu, pentru o secțiune solidă rotundă (Fig. 1.14): Pentru o secțiune rotundă tubulară. Momentele axiale de rezistență Wz și Wy caracterizează pur geometric rezistența tijei (grinzii) la deformare la încovoiere, iar momentul polar de rezistență W caracterizează rezistența la torsiune.
Luați în considerare o figură plană cu caracteristici geometrice cunoscute 1 X , 1 yși 1 hu despre topoare Xși la(Fig. 3.3). Să le folosim pentru a determina valorile similare caracteristici geometrice despre topoare șiși v, care fac un unghi a cu sistemul initial.
Calculați coordonatele centrului de greutate al unui element cu arie infinitezimală dAîn noul sistem de coordonate șiși v:
Orez. 3.3.
Moment de inerție în jurul axei rotite Oi va fi egal cu
Folosind notația caracteristicilor geometrice în raport cu axele originale, obținem
Pentru celelalte două caracteristici geometrice, formulele se obțin în mod similar:
Transformăm formulele rezultate folosind formule trigonometrice
După convertirea formulelor de calcul a momentelor de inerție axiale și centrifuge la rotirea axelor, acestea iau forma
Axele principale și momentele principale de inerție
S-a remarcat anterior că suma momentelor axiale este o valoare constantă. Este ușor de observat că această afirmație rezultă și din formulele (3.22):
Axe despre care momentele de inerție iau maxim și valoarea minima, sunt numite axele principale principalele momente de inerție.
Când axele sunt rotite, valorile momentelor axiale se modifică, deci trebuie să existe o pereche de axe principale reciproc perpendiculare, față de care momentele de inerție ating valorile minime și maxime. Să demonstrăm această poziție. Pentru a face acest lucru, studiem momentul axial de inerție pentru extremum 1 și:
Deoarece expresia dintre paranteze trebuie să fie egală cu zero, obținem o formulă care ne permite să determinăm poziția uneia dintre axele principale:
Unghiul a 0 numărat de la axă Ohîn sens invers acelor de ceasornic, definește poziția axei principale în raport cu axa Oh. Să demonstrăm că axa perpendiculară pe această axă este și cea principală. Înlocuiți în expresia pentru
unghi derivat a 0 + -:
Astfel, axele principale sunt axe reciproc perpendiculare.
Să fim atenți la faptul că expresia dintre paranteze conform celei de-a treia formule (3.22) corespunde momentului centrifugal. Astfel, am demonstrat că momentul de inerție centrifugal în jurul axelor principale este zero.
Să folosim acest rezultat și să obținem o formulă pentru calcularea principalelor momente de inerție. Pentru a face acest lucru, rescriem a doua și a treia formulă (3.22) în următoarea formă:
Pătratând și adunând părțile din dreapta și din stânga ambelor ecuații, obținem
Din aceasta rezultă formula de calcul a celor două momente principale de inerție:
În formula (3.25), semnul plus corespunde momentului principal de inerție maxim, iar semnul minus valorii sale minime.
În unele cazuri particulare, poziția axelor principale poate fi determinată fără calcule. Deci, dacă secțiunea este simetrică, atunci axa de simetrie este una dintre axele principale, iar a doua axă este orice axă perpendiculară pe aceasta. Această poziție urmează direct de la egalitatea la zero a momentului de inerție centrifugal în jurul axelor, dintre care una este axa de simetrie.
Dintre toate perechile de axe principale, se poate distinge o pereche specială, ambele axe trec prin centrul de greutate al secțiunii.
Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii axele centrale principale, și momentele de inerție despre astfel de axe - principal punctele centrale inerţie.
După cum sa menționat deja, rotația sistemului de coordonate provoacă o modificare a caracteristicilor geometrice ale figurilor plate. Se poate demonstra că setul de caracteristici geometrice aparținând unei secțiuni date este descris de un tensor simetric numit tensor de inerție secțiune, care poate fi scrisă ca o matrice:
Primul invariant al tensorului de inerție, care este suma momentelor axiale de inerție, a fost obținut de noi mai devreme (vezi formula (3.23)). Al doilea invariant al tensorului de inerție are forma
Această valoare va fi folosită pentru a obține o soluție generală pentru îndoirea tijei.