I = ∑r eu 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

În principiu, atât definiția, cât și formula care o descrie nu sunt complicate și este mult mai ușor să le reții decât să ajungi la fundul ei. Dar totuși, să încercăm să ne dăm seama care este momentul de inerție și de unde a venit.

Conceptul de moment de inerție a ajuns la puterea materialelor și a mecanicii structurale dintr-o altă ramură a fizicii care studiază cinematica mișcării, în special mișcarea de rotație. Dar oricum, să începem de departe.

Nu stiu sigur daca un mar a cazut in capul lui Isaac Newton, a cazut in apropiere, sau nu a cazut deloc, teoria probabilitatii permite toate aceste optiuni (in plus, sunt prea multe in acest mar din biblica legenda arborelui cunoașterii), dar sunt sigur că Newton era o persoană observatoare, capabilă să tragă concluzii din observațiile sale. Deci observația și imaginația i-au permis lui Newton să formuleze legea de bază a dinamicii (a doua lege a lui Newton), conform căreia masa unui corp mînmulțit cu accelerația A, este egală cu forța care acționează Q(de fapt, denumirea F este mai familiară pentru forță, dar deoarece în continuare ne vom ocupa de aria, care este adesea denumită și F, folosesc denumirea Q pentru forța externă, considerată în mecanică teoretică ca o sarcină concentrată, esența problemei nu se schimbă):

Q=ma (1.2)

Pentru mine, măreția lui Newton constă tocmai în simplitate și claritate. această definiție. Mai mult, dacă ținem cont de faptul că mișcare uniform accelerată accelerare A egal cu raportul de creștere a vitezei ΔV la perioada de timp Δt, pentru care viteza s-a schimbat:

a \u003d Δv / Δt \u003d (v - v o) / t (1.3.1)

la V o \u003d 0 a = v/t (1.3.2)

apoi puteți determina parametrii de bază ai mișcării, cum ar fi distanța, viteza, timpul și chiar impulsul R caracterizarea cantității de mișcare:

p=mv (1.4)

De exemplu, un măr care cade de la diferite înălțimi sub influența gravitației singur va cădea la pământ în momente diferite, va avea viteze diferite în momentul aterizării și, în consecință, va avea un impuls diferit. Cu alte cuvinte, un măr care cade de la o înălțime mai mare va zbura mai mult și va crăpa mai tare pe fruntea unui observator nefericit. Și Newton a redus toate acestea la o formulă simplă și de înțeles.

Și Newton a formulat legea inerției (prima lege a lui Newton): dacă accelerația a = 0, atunci în cadrul de referință inerțial este imposibil să se determine dacă corpul observat, care nu este afectat de forțele externe, este în repaus sau se mișcă în linie dreaptă cu o viteză constantă. Această proprietate corpuri materiale a-și menține viteza, chiar dacă este zero, se numește inerție. Măsura inerției este masa inerțială a corpului. Uneori, masa inerțială este numită inerțială, dar acest lucru nu schimbă esența materiei. Se crede că masa inerțială este egală cu masa gravitațională și, prin urmare, adesea nu este specificat ce fel de masă se înțelege, ci pur și simplu este menționată masa corpului.

Nu mai puțin importantă și semnificativă este a treia lege a lui Newton, conform căreia forța de acțiune este egală cu forța de reacție dacă forțele sunt direcționate într-o singură dreaptă, dar în direcții opuse. În ciuda simplității aparente, această concluzie a lui Newton este ingenioasă și semnificația acestei legi cu greu poate fi supraestimată. Despre una dintre aplicațiile acestei legi de mai jos.

Cu toate acestea, aceste prevederi sunt valabile numai pentru organismele care avansează, adică. de-a lungul unei traiectorii rectilinie şi în acelaşi timp toate puncte materiale astfel de corpuri se deplasează cu aceeași viteză sau cu aceeași accelerație. Cu mișcarea curbilinie și în special cu mișcarea de rotație, de exemplu, când un corp se rotește în jurul axei sale de simetrie, punctele materiale ale unui astfel de corp se mișcă în spațiu cu aceeași viteză unghiulară w, dar in acelasi timp viteza liniei v puncte diferite vor avea diferite și această viteză liniară este direct proporțională cu distanța r de la axa de rotație până în acest punct:

v=wr (1.5)

în acest caz, viteza unghiulară este egală cu raportul incrementului unghiului de rotație Δφ la perioada de timp Δt, pentru care unghiul de rotație s-a modificat:

w \u003d Δφ / Δt \u003d (φ - φ o) / t (1.6.1)

la φ o = 0 w = φ/t (1.7.2)

respectiv acceleraţie normală un nîn timpul rotației este egal cu:

a n \u003d v 2 / r \u003d w 2 r (1.8)

Și rezultă că pentru mișcarea de rotație nu putem folosi în mod direct formula (1.2), deoarece în timpul mișcării de rotație valoarea masei corporale singură nu este suficientă, este de asemenea necesar să cunoaștem distribuția acestei mase în corp. Se dovedește că cu cât punctele materiale ale corpului sunt mai aproape de axa de rotație, cu atât este necesară o forță mai mică pentru a face corpul să se rotească și invers, cu atât punctele materiale ale corpului sunt mai îndepărtate de axa de rotație, cu atât trebuie aplicată forța mai mare pentru a face corpul să se rotească (în acest caz vorbim despre aplicarea forței în același punct). În plus, atunci când corpul se rotește, este mai convenabil să se ia în considerare nu forța care acționează, ci cuplul, deoarece în timpul mișcării de rotație punctul de aplicare al forței are și mare importanță.

Proprietățile uimitoare ale momentului ne sunt cunoscute încă de pe vremea lui Arhimede, iar dacă aplicăm conceptul de moment mișcării de rotație, atunci valoarea momentului M va fi mai mare cu cât distanța este mai mare r de la axa de rotație până la punctul de aplicare a forței F(în mecanica structurala forta externa adesea denumită R sau Q):

M = Qr (1.9)

Din această formulă nu foarte complicată, reiese că, dacă forța este aplicată de-a lungul axei de rotație, atunci nu va exista nicio rotație, deoarece r \u003d 0 și dacă forța este aplicată la distanța maximă de axa de rotație. rotație, atunci valoarea momentului va fi maximă. Și dacă înlocuim în formula (1.9) valoarea forței din formula (1.2) și valoarea accelerație normalăși formulele (1.8), obținem următoarea ecuație:

M \u003d mw 2 r r \u003d mw 2 r 2 (1.10)

În cazul particular în care corpul este un punct material, având dimensiuni mult mai mici decât distanța de la acest punct la axa de rotație, ecuația (1.10) este aplicabilă în forma sa pură. Cu toate acestea, pentru un corp care se rotește în jurul uneia dintre axele sale de simetrie, distanța de la fiecare punct material al componentei corp dat, este întotdeauna mai mică decât una dintre dimensiunile geometrice ale corpului și, prin urmare, distribuția masei corporale este de mare importanță, în acest caz este necesar să se țină cont de aceste distanțe separat pentru fiecare punct:

M = ∑r i 2 w 2 m i (1.11.1)

M c \u003d w 2 ∫r 2 dm

Și apoi se dovedește că, conform celei de-a treia legi a lui Newton, ca răspuns la acțiunea unui cuplu, va apărea așa-numitul moment de inerție. eu. În acest caz, valorile cuplului și ale momentului de inerție vor fi egale, iar momentele în sine sunt direcționate în direcții opuse. La o constantă viteză unghiulară rotație, de exemplu w = 1, marimile principale care caracterizează cuplul sau momentul de inerție vor fi masa punctelor materiale care alcătuiesc corpul și distanța de la aceste puncte până la axa de rotație. Ca rezultat, formula pentru momentul de inerție va lua următoarea formă:

[- M] = I = ∑r i 2 m i (1.12.1)

I c = ∫r 2 dm(1.11.2) - când corpul se rotește în jurul axei de simetrie

Unde eu- desemnarea general acceptată a momentului de inerție; IC- desemnarea momentului de inerție axial al corpului, kg/m 2. Pentru un corp omogen având aceeași densitate ρ prin corp V Formula pentru momentul axial de inerție al unui corp poate fi scrisă după cum urmează:

I c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Astfel, momentul de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație, la fel cum masa este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării rectilinie de translație.

Tot cercul este închis. Și aici poate apărea întrebarea, ce legătură au toate aceste legi ale dinamicii și cinematicii cu calculul structurilor statice ale clădirii? Se dovedește că niciunul nu este cel mai direct și imediat. În primul rând, pentru că toate aceste formule au fost derivate de fizicieni și matematicieni în acele vremuri îndepărtate când discipline precum " Mecanica teoretică"sau" Teoria Rezistenței Materialelor "pur și simplu nu a existat. Și în al doilea rând, pentru că întregul calcul al structurilor de construcție este construit pe baza legilor și formulărilor indicate și a afirmației despre egalitatea maselor gravitaționale și inerțiale care nu a avut încă a fost infirmat de oricine. Asta este doar în teoria rezistenței materialelor încă mai simplă, oricât de paradoxal pare.

Și este mai simplu pentru că la rezolvarea anumitor probleme nu se poate lua în considerare întregul corp, ci doar secțiunea transversală a acestuia și, dacă este necesar, mai multe secțiuni transversale. Dar în aceste secțiuni, la fel forte fizice, deși având o natură ușor diferită. Astfel, dacă luăm în considerare un anumit corp, a cărui lungime este constantă și corpul în sine este omogen, atunci dacă nu luăm în considerare parametrii constanți - lungimea și densitatea ( l = const, ρ = const) - vom obține un model de secțiune transversală. Pentru o astfel de secțiune transversală, din punct de vedere matematic, ecuația va fi valabilă:

I p \u003d ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

Unde Ip- momentul polar de inerție al secțiunii transversale, m 4 . Drept urmare, am primit formula cu care am început (dar nu știu dacă a devenit mai clar care este momentul de inerție al unei secțiuni).

Deoarece secțiunile dreptunghiulare sunt adesea luate în considerare în teoria rezistenței materialelor, iar un sistem de coordonate dreptunghiular este mai convenabil, două momente axiale de inerție ale secțiunii transversale sunt de obicei luate în considerare la rezolvarea problemelor:

Iz = ∫y 2dF (2.2.1)

I y = ∫z 2dF (2.2.2)

Poza 1. Valorile coordonatelor la determinarea momentelor axiale de inerție.

Aici poate apărea întrebarea de ce sunt folosite axele zși la mai degrabă decât mai familiar Xși la? S-a întâmplat că determinarea forțelor în secțiune transversală și selectarea unei secțiuni care poate rezista la solicitări de acțiune egale cu forțele aplicate sunt două sarcini diferite. Prima sarcină - determinarea forțelor - este rezolvată de mecanica structurală, a doua sarcină - selectarea secțiunii - teoria rezistenței materialelor. În același timp, în mecanica structurilor, la rezolvarea unor probleme simple, se ia în considerare destul de des o tijă (pentru structuri drepte), având o anumită lungime l, iar înălțimea și lățimea secțiunii nu sunt luate în considerare, în timp ce se presupune că axa X trece doar prin centrele de greutate ale tuturor secțiunilor transversale și astfel, la trasarea diagramelor (uneori destul de complexe), lungimea l doar concediat de-a lungul axei X, și de-a lungul axei la valorile parcelelor sunt amânate. În același timp, teoria rezistenței materialelor ia în considerare secțiunea transversală, pentru care lățimea și înălțimea sunt importante, iar lungimea nu este luată în considerare. Desigur, atunci când se rezolvă problemele teoriei rezistenței materialelor, care sunt uneori destul de complexe, se folosesc toate aceleași axe familiare. Xși la. Această stare de lucruri mi se pare că nu este în întregime corectă, deoarece, în ciuda diferenței, acestea sunt încă sarcini conexe și, prin urmare, ar fi mai potrivit să se utilizeze axe comune pentru structura calculată.

Valoarea momentului polar de inerție într-un sistem de coordonate dreptunghiular va fi:

I p \u003d ∫r 2 dF \u003d∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

Întrucât într-un sistem de coordonate dreptunghiular, raza este ipotenuza triunghi dreptunghicși după cum știți, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Și există, de asemenea, conceptul de momentul de inerție centrifugal al secțiunii transversale:

Ixz = ∫xzdF(2.4)

Printre axele unui sistem de coordonate dreptunghiulare care trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale, există două axe reciproc perpendiculare, față de care momentele axiale de inerție iau maxim și valoarea minima, în timp ce momentul de inerție centrifugal al secțiunii Izy = 0. Astfel de axe sunt numite axe centrale principale ale secțiunii transversale, iar momentele de inerție în jurul unor astfel de axe sunt numite momente centrale de inerție.

Când în teoria rezistenței materialelor este vorba de momentele de inerție, atunci, de regulă, sunt principalele momente centrale de inerție ale secțiunii transversale. Pentru secțiuni pătrate, dreptunghiulare, rotunde, axele principale vor coincide cu axele de simetrie. Momentele de inerție ale secțiunii transversale se mai numesc momente geometrice inerția sau momentele de inerție ale zonei, dar esența acesteia nu se schimbă.

În principiu, nu este mare nevoie să se determine valorile principalelor momente centrale de inerție pentru secțiunile transversale ale celor mai comune forme geometrice - un pătrat, un dreptunghi, un cerc, o țeavă, un triunghi și altele. . Astfel de momente de inerție au fost de multă vreme determinate și cunoscute pe scară largă. Și atunci când se calculează momentele axiale de inerție pentru secțiuni de formă geometrică complexă, teorema Huygens-Steiner este valabilă:

I \u003d I c + r 2 F (2.5)

astfel, dacă zonele și centrele de greutate ale simple forme geometrice, constituind o sectiune complexa, atunci nu va fi greu de determinat valoarea momentului de inertie axial al intregii sectiuni. Și pentru a determina centrul de greutate al unei secțiuni complexe, se folosesc momentele statice ale secțiunii transversale. Momentele statice sunt considerate mai detaliat într-un alt articol, voi adăuga doar aici. sens fizic a momentului static este următorul: momentul static al corpului este suma momentelor pentru punctele materiale care alcătuiesc corpul, relativ la un punct (moment static polar) sau relativ la ax (moment static axial), și întrucât momentul este produsul forței asupra brațului (1.9), atunci și momentul static al corpului se determină, respectiv:

S = ∑M = ∑r i m i= ∫rdm (2.6)

și atunci momentul static polar al secțiunii transversale va fi:

S p = ∫rdF (2.7)

După cum puteți vedea, definiția momentului static este similară cu definiția momentului de inerție. Dar există și o diferență fundamentală. Momentul static se numește așadar static, deoarece pentru un corp asupra căruia acționează forța de gravitație, momentul static este nul față de centrul de greutate. Cu alte cuvinte, un astfel de corp se află într-o stare de echilibru dacă suportul este aplicat pe centrul de greutate al corpului. Și conform primei legi a lui Newton, un astfel de corp fie este în repaus, fie se mișcă cu o viteză constantă, adică. accelerație \u003d 0. Și din punct de vedere pur matematic, momentul static poate fi egal cu zero din simplul motiv că atunci când se determină momentul static, este necesar să se țină cont de direcția momentului. De exemplu, în raport cu axele de coordonate care trec prin centrul de greutate al dreptunghiului, zonele părților superioare și inferioare ale dreptunghiului vor fi pozitive, deoarece simbolizează forța de gravitație care acționează într-o direcție. În acest caz, distanța de la axă la centrul de greutate poate fi considerată pozitivă (condițional: momentul de la forța gravitațională a părții superioare a dreptunghiului încearcă să rotească secțiunea în sensul acelor de ceasornic) și până la centrul de greutate al partea inferioară - ca negativă (condițional: momentul de la forța gravitațională a părții inferioare a dreptunghiului încearcă să rotească secțiunea în sens invers acelor de ceasornic). Și deoarece astfel de zone sunt numeric egale și egale cu distanța de la centrele de greutate ale părții superioare a dreptunghiului și a părții inferioare a dreptunghiului, atunci suma momentelor care acționează va fi 0 dorit.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

Și acest mare zero vă permite, de asemenea, să determinați reacțiile de sprijin ale structurilor clădirii. Dacă luăm în considerare o structură de clădire la care, de exemplu, o sarcină concentrată Q este aplicată la un anumit punct, atunci o astfel de structură de clădire poate fi considerată ca un corp cu un centru de greutate în punctul de aplicare a forței și suport. reacţiile în acest caz sunt considerate forţe aplicate la punctele de sprijin. Astfel, cunoscând valoarea sarcinii concentrate Q și distanța de la punctul de aplicare a sarcinii până la suporturile structurii clădirii, se pot determina reacțiile de susținere. De exemplu, pentru o grindă articulată pe doi suporturi, valoarea reacțiilor suportului va fi proporțională cu distanța până la punctul de aplicare a forței, iar suma reacțiilor suporturilor va fi egală cu sarcina aplicată. Dar, de regulă, la determinarea reacțiilor de sprijin, este și mai simplu: unul dintre suporturi este luat ca centru de greutate, iar apoi suma momentelor din sarcina aplicată și din restul reacțiilor suportului este încă zero. . În acest caz, momentul din reacția de sprijin față de care se compilează ecuația momentului este egal cu zero, întrucât brațul forței = 0, ceea ce înseamnă că în suma momentelor rămân doar două forțe: sarcina aplicată. si necunoscutul susține reacția(pentru construcții determinate static).

Astfel, diferența fundamentală dintre momentul static și momentul de inerție este că momentul static caracterizează secțiunea pe care gravitația încearcă să o rupă în jumătate față de centrul de greutate sau de axa de simetrie, iar momentul de inerție caracterizează corpul. , toate punctele materiale ale cărora se mișcă (sau încearcă să se deplaseze într-o direcție). Poate că următoarele scheme de proiectare mai degrabă condiționate pentru o secțiune dreptunghiulară vor ajuta la vizualizarea mai clară a acestei diferențe:

Figura 2. Diferența vizuală între momentul static și momentul de inerție.

Și acum să ne întoarcem la cinematica mișcării. Dacă facem analogii între tensiunile care apar în secțiunile transversale ale structurilor clădirii și diferitele tipuri de mișcare, atunci apar tensiuni uniforme în elementele întinse central și comprimate central pe întreaga suprafață a secțiunii transversale. Aceste tensiuni pot fi comparate cu acțiunea unei anumite forțe asupra unui corp, în care corpul se va deplasa în linie dreaptă și translațional. Și cel mai interesant lucru este că secțiunile transversale ale elementelor întinse central sau comprimate central se mișcă cu adevărat, deoarece solicitările care acționează provoacă deformații. Și amploarea unor astfel de deformații poate fi determinată pentru orice secțiune transversală a structurii. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți valoarea tensiunilor care acționează, lungimea elementului, aria secțiunii transversale și modulul de elasticitate al materialului din care este realizată structura.

Pentru elementele de îndoire, secțiunile transversale, de asemenea, nu rămân pe loc, ci se mișcă, în timp ce mișcarea secțiunilor transversale ale elementelor de îndoire este similară cu rotația unui anumit corp în jurul unei anumite axe. După cum probabil ați ghicit, momentul de inerție vă permite să determinați atât unghiul de înclinare a secțiunii transversale, cât și deplasarea Δ l pentru punctele finale ale secțiunii. Aceste puncte extreme pentru o secțiune dreptunghiulară se află la o distanță egală cu jumătate din înălțimea secțiunii (de ce - este descris suficient de detaliat în articolul „Bazele rezistenței materialului. Determinarea deformarii”). Și acest lucru, la rândul său, vă permite să determinați deformarea structurii.

Iar momentul de inerție vă permite să determinați momentul rezistenței secțiunii. Pentru a face acest lucru, momentul de inerție trebuie pur și simplu împărțit la distanța de la centrul de greutate al secțiunii până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii, pentru o secțiune dreptunghiulară cu h / 2. Și întrucât secțiunile studiate nu sunt întotdeauna simetrice, valoarea momentului de rezistență poate fi diferită pt părți diferite secțiuni.

Și totul a început cu un măr banal... deși nu, totul a început cu un cuvânt.

La determinarea momentelor de inerție ale unei secțiuni compozite, aceasta din urmă este împărțită în figuri simple, în care sunt cunoscute pozițiile centrelor de greutate și momentele de inerție în jurul propriilor axe centrale. Conform formulelor (2.5), coordonatele centrului de greutate al întregii secțiuni se găsesc în sistemul de axe auxiliare alese arbitrar. Paralel cu aceste axe se desenează axele centrale, în raport cu care se determină momentele de inerție axială și centrifugă folosind formulele (2.6). Momentele de inerție față de axele centrale principale sunt determinate de formula (2.12), iar poziția axelor centrale principale - de formulele (2.11).

Exemplul 2.1. Să determinăm momentele de inerție în jurul axelor centrale principale ale secțiunii transversale a unei grinzi în I 130, armată cu două foi de oțel cu secțiunea de 200 x 20 mm (Fig. 2.12).

Axele de simetrie Ooh, ooh sunt principalele axe centrale ale întregii secțiuni. Scriem din sortiment (vezi Anexa) valorile ariei și momentelor de inerție ale secțiunii grinzii I în raport cu axele Ooh, ooh

Momentele de inerție ale secțiunilor de foi față de propriile axe centrale sunt determinate de formulele (2.14):

Suprafața întregii secțiuni este egală cu F= 46,5 + 2 20 2 \u003d 126,5 cm 2.

Momentele de inerție ale secțiunii despre principalele axe centrale Ooh, ooh sunt determinate de formulele (2.6):

Exemplul 2.2. Să determinăm momentele de inerție în jurul axelor centrale principale ale secțiunii transversale a raftului de ferme din două colțuri isoscele 1_70x70x8, realizate transversal (Fig. 2.13). Munca de îmbinare a colțurilor este asigurată de benzi de legătură.

Coordonatele centrului de greutate al secțiunii unghiulare, valorile ariei și momentele de inerție în raport cu propriile axe centrale Oh^ și Oy 0 sunt date în sortiment (vezi anexa):

Distanța față de centrul de greutate Oîntreaga secțiune până la centrul de greutate al colțului este egală cu A\u003d (2,02 + 0,4) l / 2 \u003d 3,42 cm.

Suprafața întregii secțiuni este egală cu F= 2 10,7 \u003d 21,4 cm 2.

Momente de inerție față de principalele axe centrale, care sunt axele de simetrie Ooh, ooh sunt determinate de formulele (2.6):

Exemplul 2.3. Determinăm poziția centrului de greutate și momentele de inerție față de axele centrale principale ale secțiunii transversale a fasciculului, compusă din două canale x]și Oh x y (. Apoi prin formulele (2.5) obținem:

Aceste valori și coordonate ale centrelor de greutate ale canalului și unghiului din sistemul de coordonate Ohu prezentată în fig. 2.16 și, respectiv, sunt egale cu:

Să determinăm prin formulele (2.6) momentele de inerție ale secțiunii față de axele centrale Ohși OU

Folosind formulele (2.12) și (2.11), găsim valorile principalelor momente de inerție și unghiurile de înclinare ale axelor principale 1 și 2 față de axă. Oh:

Următoarele formule pentru determinarea momentelor de inerție ale secțiunilor simple în jurul axelor lor centrale se obțin din expresii integrale pentru momentele de inerție (5.4), (5.5), (5.6):

1. Dreptunghi

(5.10)

(5.11)

întrucât axele Z și Y sunt axele de simetrie.

2. Cercul

(5.12)

(5.13)

Aici este momentul polar de inerție al secțiunii.

3. Semicerc

(5.14)

(5.15)

4. Triunghi isoscel

(5.16)

(5.17)

5. Triunghi dreptunghic

(5.18)

(5.19)

(5.20)

Este util să ne amintim că în formulele (5.10), (5.11) și (5.16)–(5.19) dimensiunea laturii figurii perpendiculară pe axa considerată este cubă.

În formula (5.20), la determinarea momentului de inerție centrifug, semnul minus este plasat când unghiurile ascuțite ale triunghiului sunt în sferturi negative (adică, al 2-lea și al 4-lea). În cazurile în care aceste unghiuri sunt în sferturi pozitive (adică 1 și 3), se pune semnul plus în formula (5.20).

5.3. Momentele centrale de inerție principale ale secțiunilor simetrice complexe

Poziția axelor centrale principale și valorile momentelor centrale principale de inerție pentru secțiunile simetrice sunt determinate în următoarea ordine:

1. O secțiune complexă este împărțită în forme simple (cerc, dreptunghi, grindă în I, colț etc.) și axele lor centrale Z i și Y i sunt desenate (de regulă, orizontal și vertical).

2. Poziția centrului de greutate al întregii secțiuni este determinată prin formulele (5.3), iar prin acest punct sunt trasate axele sale centrale Z și Y. Dacă există două axe de simetrie, centrul de greutate al întregii secțiuni este situată în punctul de intersecție a acestora.

Dacă secțiunea are o singură axă de simetrie, atunci o singură coordonată a centrului de greutate este determinată de formulele (5.3). Să explicăm acest lucru pentru figura prezentată în fig. 5.8:

a) alegem axele Z" și Y" astfel încât axa Y" să coincidă cu axa de simetrie a figurii, iar axa Z" - astfel încât să fie convenabil să se determine distanța până la această axă față de axele centrale ale figuri simple;

b) determinăm momentul static al ariei secțiunii transversale față de o axă Z arbitrară" prin formula:

\u003d A 1 y 1 + A 2 y 2,

unde A i sunt ariile secțiunii transversale ale figurilor simple; y i - distanţele de la o axă arbitrară Z „la axele centrale ale figurilor simple Z i. Distanţele y i trebuie luate în considerare ţinând cont de semne;

c) determinați coordonata la C a centrului de greutate conform formulei (5.3):

=

d) la o distanță y C de axa Z desenăm a doua axă Z centrală. Prima axă centrală este axa de simetrie Y.

3. Momentele de inerție în jurul axelor centrale principale Z și Y (Fig. 5.8) sunt determinate de formulele (5.9), care în formă extinsă se vor scrie astfel:

întrucât una din axele considerate

(axa Y) este axa de simetrie.

În aceste formule:

- momentele axiale de inerție ale figurilor simple despre axele lor centrale (momentele intrinseci de inerție), care se determină prin formulele (5.10) - (5.19) sau după tabelele de sortimente pentru elemente laminate;

- distante de la axele centrale comune ale sectiunii Z si Y la axele centrale ale figurilor simple. În acest exemplu
și
prezentată în fig. 5,8;

A i sunt zonele figurilor simple. Dacă o figură simplă este o figură decupată din cea generală, i.e. figura „goală”, apoi în formulele corespunzătoare pentru aria unor astfel de figuri A și propriile momente de inerție
sunt înlocuite cu semnul minus.

EXEMPLU 5.1

Este necesar să se determine principalele momente centrale de inerție ale secțiunii prezentate în Fig. 5.9.

1. Împărțim secțiunea în figuri simple și le trasăm axele centrale orizontale și verticale Z i și Y i

2. Desenăm axele centrale pentru întreaga figură, adică. axele de simetrie Z și Y.

3. Determinați distanțele de la axele centrale comune Z și Y la axele centrale ale figurilor simple și aria acestor figuri:

4. Calculăm momentele centrale proprii ale figurilor folosind formulele (5.10)–(5.17):

5. Determinați momentele axiale de inerție ale întregii secțiuni în raport cu axele centrale Z și Y:

moment de inerție centrifugal
întrucât Z și Y sunt axe de simetrie. Prin urmare, I Z și I Y calculate de noi sunt, prin urmare, principalele axe centrale:

EXEMPLU 5.2

Necesar determinați principalele momente centrale de inerție ale secțiunii prezentate în (Fig. 5.10).

1. Împărțim secțiunea în figuri simple și le desenăm axele centrale și Y i .

2. Desenăm axa de simetrie Y. Este axa centrală principală a secțiunii date.

3. Pentru a determina poziția celei de-a doua axe centrale principale, selectați o axă Z arbitrară perpendiculară pe axa de simetrie. Fie ca această axă să coincidă cu axa Z 3.

4. Conform formulei (5.3), determinăm ordonata y din centrul de greutate al secțiunii transversale de-a lungul axei Y:

Setăm dimensiunea la C în sus față de axa Z" și desenăm a 2-a axă centrală principală Z.

5. Determinați momentele axiale de inerție ale figurilor simple în raport cu propriile axe centrale (vezi formulele (5.10)–(5.17)):

6. Calculăm distanțele de la axele centrale ale întregii secțiuni Z și Y la axele centrale ale figurilor individuale (Fig. 5.10):

deoarece axele Y 1, Y 2, Y 3 coincid cu axa de simetrie Y.

7. Calculăm momentele axiale de inerție ale întregii secțiuni în raport cu axele centrale Z și Y după formulele (5.9):

Momentul de inerție centrifugal I ZY al întregii secțiuni este zero, deoarece axa Y este axa de simetrie, adică. axele Z și Y sunt principalele axe centrale de inerție ale secțiunii, iar momentele de inerție axiale calculate sunt principalele momente centrale de inerție:

EXEMPLU 5.3

Necesar determinați principalele momente centrale de inerție ale secțiunii compozite prezentate în (Fig. 5.11).

Procedura de rezolvare este detaliată în Exemplul 5.2.

1. Împărțim secțiunea în figuri separate, ale căror caracteristici geometrice sunt date în tabelul de sortiment (grinda I și canal) sau sunt ușor de calculat folosind formulele (5.10) - (5.20) (în acest exemplu, un dreptunghi) și trasează-le axele centrale.

2. Desenăm axa de simetrie Y. Centrul de greutate al întregii secțiuni se află pe această axă.

3. Selectați o axă Z arbitrară. În acest exemplu, această axă coincide cu axa Z 3 .

4. Distanța la C este determinată de la o axă arbitrară Z până la centrul de greutate al întregii secțiuni:

Distanțele de la o axă Z aleasă în mod arbitrar până la axele centrale ale fiecărei figuri (y 1, y 2, y 3) sunt prezentate în Fig. 5.11.

Zonele secțiunii transversale ale canalului A 1 și ale fasciculului I A 2 sunt scrise din tabelele de sortiment corespunzătoare, iar aria dreptunghiului A 3 este calculată:

A 1 \u003d 23,4 cm 2, A 2 \u003d 46,5 cm 2, A 3 \u003d 24 2 \u003d 48 cm 2.

Să trasăm valoarea lui y C în sus de la axa Z" (deoarece y C > 0) și să desenăm axa centrală principală Z la această distanță.

5. Înscriem caracteristicile geometrice ale profilelor laminate din tabelul de sortiment, ținând cont de diferența de orientare a axelor din tabelul de sortimente și din fig. 5.12a, c.

1. Canalul numărul 20

GOST 8240-89

(Fig. 5.12a)
;

grindă în I nr. 30

GOST 8239-89

(Fig. 5.12b)
h= 30 cm.

Litera „c” din indicele momentelor axiale de inerție I înseamnă o referire la denumirea osiilor din sortiment.

Momentele de inerție ale dreptunghiului (Fig. 5.12c) se calculează separat folosind formulele (5.10) și (5.11):

6. Determinați distanțele de la axele centrale comune Y și Z la axele centrale ale figurilor individuale (sunt prezentate în Fig. 5.11):

întrucât axele Y 1, Y 2, Y 3 coincid cu axa de simetrie a întregii secțiuni Y.

7. Determinăm momentele axiale de inerție ale unei figuri complexe în raport cu axele centrale Z și Y după formulele (5.9):

moment de inerție centrifugal
întrucât axa Y este axa de simetrie. Prin urmare, axele Z și Y sunt principalele axe centrale.

Momentele de inerție ale secțiunilor sunt integrale de următoarea formă:

la;

- momentul de inerție axial al secțiunii în jurul axei z;

este momentul de inerție centrifugal al secțiunii;

este momentul polar de inerție al secțiunii.

3.2.1. Secțiunea Momentul de inerție Proprietăți

Dimensiunea momentelor de inerție este [lungimea 4 ], de obicei [ m 4 ] sau [ cm 4 ].

Momentele de inerție axiale și polare sunt întotdeauna pozitive. Momentul de inerție centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau zero.

Se numesc axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero axele principale de inerție secțiuni.

Axele de simetrie sunt întotdeauna principale. Dacă cel puțin una dintre cele două axe reciproc perpendiculare este o axă de simetrie, atunci ambele axe sunt principale.

Momentul de inerție al unei secțiuni compozite este egal cu suma momentelor de inerție ale elementelor acestei secțiuni.

Momentul polar de inerție este egal cu suma momentelor axiale de inerție.

Să demonstrăm ultima proprietate. În secțiune transversală cu aria DAR pentru platforma elementară dA vectorul rază ρ și coordonatele lași z(Fig. 6) sunt legate prin teorema lui Pitagora: ρ 2 = la 2 + z 2. Apoi

Orez. 6. Relația dintre coordonatele polare și carteziene

loc de joacă elementar

3.2.2. Momentele de inerție ale celor mai simple figuri

LA sectiune dreptunghiulara(Fig. 7) alegeți o zonă elementară dA cu coordonate yși z si zona dA = dydz.

Orez. 7. Secțiune dreptunghiulară

Momentul de inerție axial față de axă la

.

În mod similar, obținem momentul de inerție în jurul axei z:

În măsura în care lași z sunt axe de simetrie, apoi momentul centrifugal D zy = 0.

Pentru cerc diametru d calculele sunt simplificate dacă se ia în considerare simetria circulară și se folosesc coordonatele polare. Să luăm ca zonă elementară un inel infinit subțire cu raza ρ și grosimea dρ (Fig. 8). Zona sa dA= 2πρ dρ. Atunci momentul polar de inerție este:

.

Orez. 8. Secțiune rotundă

După cum se arată mai sus, momentele axiale de inerție în jurul oricărei axe centrale sunt aceleași și egale cu

.

Moment de inerție inele găsim ca diferență între momentele de inerție a două cercuri - cel exterior (cu un diametru D) și interioare (cu un diametru d):

Moment de inerție eu z triunghi definim relativ la axa care trece prin centrul de greutate (Fig. 9). Evident, lățimea unei benzi elementare situată la distanță laîn afara axei z, este egal cu

Prin urmare,

Orez. 9. Secțiune triunghiulară

3.3. Relații între momentele de inerție față de axe paralele

Cu valori cunoscute ale momentelor de inerție față de axe zși la determina momentele de inertie fata de alte axe z 1 și y 1 paralel cu cele date. Folosind formula generală pentru momentele axiale de inerție, găsim

Dacă axele zși y central, atunci
, și

Din formulele obținute se poate observa că momentele de inerție față de axele centrale (când
) au cele mai mici valori în comparație cu momentele de inerție față de oricare altul axe paralele.

3.4. Axele principale și momentele principale de inerție

Când axele sunt rotite printr-un unghi α, momentul de inerție centrifugal devine egal cu

.

Să determinăm poziția principalelor axe de inerție u, v despre care

,

unde α 0 este unghiul cu care trebuie rotite axele yși z pentru a le face cele principale.

Deoarece formula dă două valori de unghi și
, atunci există două axe principale reciproc perpendiculare. Axa maximă face întotdeauna un unghi mai mic ( ) cu una dintre axe ( z sau y), relativ la care moment axial inerția contează mai mult. Amintiți-vă că unghiurile pozitive sunt reprezentate de pe axă z în sens invers acelor de ceasornic.

Se numesc momentele de inerție față de axele principale principalele momente de inerție. Se poate demonstra că ei

.

Semnul plus din fața celui de-al doilea termen se referă la momentul maxim de inerție, semnul minus la minim.

Momentul de inerție axial (sau ecuatorial) al secțiunii despre o anumită axă se numește preluat pe întreaga ei zonă F dF prin pătratele distanțelor lor față de această axă, i.e.

Momentul polar de inerție al unei secțiuni față de un anumit punct (pol) este preluat pe întreaga sa zonă F suma produselor din zonele elementare dF prin pătratele distanțelor lor față de acest punct, adică.

Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni față de două axe reciproc perpendiculare se numește ocupat pe întreaga ei zonă F suma produselor din zonele elementare dF la distantele lor fata de aceste axe, i.e.

Momentele de inerție se exprimă în cm 4, m 4 etc. Momentele axiale și polare de inerție sunt întotdeauna pozitive, deoarece expresiile lor sub semnele integralelor includ valorile ariilor dF(întotdeauna pozitiv) și pătratele distanțelor acestor locuri față de axa sau polul dat.

Figura 2.3 prezintă o secțiune transversală cu o zonă Fși arătând topoarele lași X.

Orez. 2.3. Zona secțiunii F.

Momentele axiale de inerție ale acestei secțiuni în raport cu axele lași X:

Suma acestor momente de inerție

prin urmare,

Suma momentelor de inerție axiale ale unei secțiuni în jurul a două axe reciproc perpendiculare este egală cu momentul polar de inerție al acestei secțiuni în jurul punctului de intersecție al acestor axe.

Momentele de inerție centrifuge pot fi pozitive sau nule. Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni în jurul axelor, dintre care una sau ambele coincid cu axele sale de simetrie, este egal cu zero. Momentul axial de inerție al unei secțiuni complexe în jurul unei anumite axe este egal cu suma momentelor axiale de inerție ale părților sale constitutive în jurul aceleiași axe. În mod similar, momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe în jurul oricăror două axe reciproc perpendiculare este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale părților sale constitutive în jurul acelorași axe. De asemenea, momentul polar de inerție al unei secțiuni complexe față de un anumit punct este egal cu suma momentelor polare de inerție ale părților sale constitutive față de același punct. Trebuie avut în vedere faptul că momentele de inerție calculate față de diferite axe și puncte nu pot fi însumate.

Pentru dreptunghi

Pentru un cerc

Pentru inel

Adesea, la rezolvarea problemelor practice, este necesar să se determine momentele de inerție ale unei secțiuni în raport cu axele orientate în diferite moduri în planul ei. În acest caz, este convenabil să se utilizeze valorile deja cunoscute ale momentelor de inerție ale întregii secțiuni (sau părți individuale ale acesteia) în raport cu alte axe, date în literatura tehnică, cărți de referință și tabele speciale, precum și calculate folosind formulele disponibile. Prin urmare, este foarte important să se stabilească relația dintre momentele de inerție ale aceleiași secțiuni față de diferite axe.

În cel mai general caz, trecerea de la oricare vechi k orice nou sistemul de coordonate poate fi considerat ca două transformări succesive ale vechiului sistem de coordonate:

1) de către transfer paralel axele de coordonate către o nouă poziție;

2) prin rotirea lor în raport cu noua origine.

Prin urmare,

Dacă axa X trece prin centrul de greutate al secțiunii, apoi prin momentul static S x= 0 și

Dintre toate momentele de inerție în jurul axelor paralele, momentul de inerție axial are cea mai mică valoare în jurul axei care trece prin centrul de greutate al secțiunii.

Moment de inerție față de axă la

În cazul particular când axa / trece prin centrul de greutate al secțiunii,

moment de inerție centrifugal

Într-un caz particular, când originea vechiului sistem de coordonate y0x situat în centrul de greutate al secțiunii,

Dacă secțiunea este simetrică și una dintre vechile axe (sau ambele) coincide cu axa de simetrie, atunci