Este necesar și suficient ca suma muncii, a tuturor forțelor active aplicate sistemului la orice posibilă deplasare a sistemului, să fie egală cu zero.

Numărul de ecuații care pot fi scrise pentru un sistem mecanic, pe baza principiului posibile mișcări, este egal cu numărul de grade de libertate ale acestui sistem foarte mecanic.

Literatură

• Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. Proc. pentru colegii tehnice.- ed. a X-a, revăzută. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 1986.- 416 p., ill.
• Cursul principal de mecanică teoretică (partea întâi) N. N. Bukhgolts, editura „Nauka”, Colegiul editorial principal al literaturii fizice și matematice, Moscova, 1972, 468 pagini.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți care este „Principiul mișcărilor posibile” în alte dicționare:

principiul miscarilor posibile

Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, care stabilește condiția generală pentru echilibrul unei mecanice. sisteme. După V. p. p., pentru echilibrul mecanicului. sisteme cu constrângeri ideale (vezi CONEXIUNI MECANICE) este necesar și suficient ca suma lucrărilor dAi… … Enciclopedia fizică

Dicţionar enciclopedic mare

PRINCIPIUL MIȘCĂRILOR POSIBILE, pentru echilibrul unui sistem mecanic, este necesar și suficient ca suma muncii tuturor forțelor care acționează asupra sistemului pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero. Principiul posibilului deplasare se aplică atunci când… … Dicţionar enciclopedic

Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii (vezi Principiile variaționale ale mecanicii), care stabilește o condiție generală pentru echilibrul unui sistem mecanic. Potrivit V. p. p., pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni ideale (vezi Conexiuni ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Principiul vitezelor virtuale, principiul variațional diferențial al mecanicii clasice, care exprimă condițiile cele mai generale pentru echilibrul sistemelor mecanice constrânse de conexiuni ideale. Potrivit lui V. p. p. mechan. sistemul este in echilibru... Enciclopedie matematică

Pentru echilibrul unui sistem mecanic, este necesar și suficient ca suma muncii tuturor forțelor care acționează asupra sistemului pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero. Principiul posibilelor deplasări este aplicat în studiul condițiilor de echilibru ...... Dicţionar enciclopedic

Pentru echilibru mecanic sistem este necesar și suficient ca suma muncii tuturor forțelor care acționează asupra sistemului pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero. V. p. p. este utilizat în studiul condițiilor de echilibru pentru mecanice complexe. sisteme…… Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

principiul deplasărilor virtuale- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. principiul deplasării virtuale vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. principiul deplasărilor virtuale, m; principiul miscarilor posibile, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, după Roma, pentru o anumită clasă de mișcări mecanice în comparație între ele. sistem este valabil pentru care fizic. valoare, numită acțiune, are cea mai mică (mai precis, staționară) ... ... Enciclopedia fizică

Cărți

• Mecanica teoretică. În 4 volume. Volumul 3: Dinamica. Mecanica analitica. Textele prelegerilor. Vultur al Ministerului Apărării al Federației Ruse, Bogomaz Irina Vladimirovna. LA ghid de studiu sunt prezentate două părți ale unui curs unificat de mecanică teoretică: dinamică și mecanică analitică. În prima parte, prima și a doua problemă de dinamică sunt luate în considerare în detaliu, de asemenea...

1. Coordonate generalizate și număr de grade de libertate.

Când un sistem mecanic se mișcă, toate punctele sale nu se pot mișca în mod arbitrar, deoarece sunt limitate de conexiuni. Aceasta înseamnă că nu toate coordonatele punctului sunt independente. Poziția punctelor este determinată prin specificarea doar a coordonatelor independente.

coordonate generalizate. Pentru sistemele holonomice (adică cele ale căror conexiuni sunt exprimate prin ecuații care depind doar de coordonate), numărul de coordonate generalizate independente ale unui sistem mecanic egal cu numărul de grade de libertate acest sistem.

Exemple:

Poziția tuturor punctelor este determinată în mod unic de unghiul de rotație

manivelă.

Un grad de libertate.

2. Poziția unui punct liber în spațiu este determinată de trei coordonate independente una de cealaltă. Asa de trei grade de libertate.

3. Corp rotativ rigid, poziție determinată de unghiul de rotație j . Un grad de libertate.

4. Un corp rigid liber a cărui mișcare este determinată de șase ecuații - șase grade de libertate.

2. Posibile deplasări ale sistemului mecanic.

Conexiuni ideale.

Posibil deplasările sunt deplasări infinitezimale imaginare permise la un moment dat de constrângerile impuse sistemului. Posibilele deplasări ale punctelor unui sistem mecanic sunt considerate mărimi de ordinul întâi al micii, prin urmare mișcări curbilinii punctele sunt înlocuite cu segmente drepte așezate tangențial la traiectoriile punctelor și sunt notate dS.

dS A = dj . OA

Toate forțele care acționează asupra unui punct material sunt împărțite în forțe date și reacții de constrângere.

Dacă suma muncii reacțiilor legăturilor la orice posibilă deplasare a sistemului este egală cu zero, atunci astfel de legături se numesc ideal.

3. Principiul mișcărilor posibile.

Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu constrângeri ideale, este necesar și suficient ca suma lucrări elementare din toate forțele active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă deplasare a sistemului a fost egală cu zero.

Sens principiul miscarilor posibile:

1. Sunt luate în considerare doar forțele active.

2. Oferă într-o formă generală condiția de echilibru pentru orice sistem mecanic, în timp ce în statică este necesar să se ia în considerare echilibrul fiecărui corp al sistemului separat.

Sarcină.

Pentru o poziție dată a mecanismului manivelă-glisor la echilibru, găsiți relația dintre moment și forță dacă OA = ℓ.

Ecuația generală a dinamicii.

Principiul deplasărilor posibile oferă o metodă generală de rezolvare a problemelor de statică. Pe de altă parte, principiul d'Alembert face posibilă utilizarea metodelor staticii pentru a rezolva probleme de dinamică. Prin urmare, prin aplicarea simultană a acestor două principii, se poate obține o metodă generală de rezolvare a problemelor de dinamică.

Să considerăm un sistem mecanic căruia i se impun constrângeri ideale. Dacă la toate punctele sistemului, cu excepția forțelor active care acționează asupra lor și a reacțiilor legăturilor, adăugăm forțele de inerție corespunzătoare, atunci conform principiului d'Alembert, sistemul de forțe rezultat va fi în echilibru. Aplicând principiul posibilelor deplasări, obținem:

Deoarece conexiunile sunt ideale, atunci:

Această egalitate reprezintă ecuație generală dinamica.

Din aceasta rezultă principiul d'Alembert-Lagrange- când un sistem se mișcă cu constrângeri ideale în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor inerțiale asupra oricărei mișcări posibile a sistemului va fi egală cu zero.

Sarcină.

În liftul de viteze 2 greutate 2G cu raza R2=R cuplul aplicat M=4GR.

Determinați accelerația sarcinii ridicate DAR cântărind G, neglijând greutatea frânghiei și frecarea în osii. O tobă pe care este înfășurată o frânghie și un angrenaj fixat rigid de ea 1 , au o greutate totală 4Gși raza de rotație r = R. raza tamburului R A = R si angrenaje 1

R 1 \u003d 0,5R.

Să descriem toate forțele care acționează, direcția accelerațiilor și posibilele deplasări.

________________

Inlocuim in ecuatia generala a dinamicii

Exprimăm deplasarea în termeni de unghi de rotație δφ 1

Înlocuiți valorile

δφ 1 ≠0

Să exprimăm toate accelerațiile în termeni de dorit un Ași egalați expresia dintre paranteze cu zero

Înlocuiți valorile

Principiul mișcărilor posibile.

a = 0,15 m

b = 2a = 0,3 m

m = 1,2 Nm _________________

x V; la B; N / A ; Mp

Decizie: Să aflăm reacția suportului mobil DAR de ce renunțăm mental la această conexiune, înlocuind acțiunea ei cu o reacție N / A

Posibila mișcare a tijei AC este rotația sa în jurul balamalei Cu in colt dj. Nucleu soare rămâne nemișcat.

Să compunem ecuația muncii, ținând cont de faptul că munca forțelor în timpul rotației corpului este egal cu produsul dintre momentul de forță în jurul centrului de rotație și unghiul de rotație al corpului.

Pentru a determina reacțiile de fixare rigidă într-un suport LA mai întâi găsiți momentul reacției M p. Pentru a face acest lucru, aruncăm constrângerea care împiedică tija să se rotească soare, înlocuind prinderea rigidă cu un suport fixat cu balamale și aplicând un moment M p .

Spuneți tijei o posibilă rotație printr-un unghi dj 1.

Compuneți ecuația de lucru pentru tijă soare:

Să definim deplasările:

Pentru a determina componenta verticală a reacției de fixare rigidă, renunțăm la constrângerea care împiedică punctul să se miște vertical LA, înlocuind fixarea rigidă cu una glisantă (este imposibil să se rotească) și aplicând reacția:

Să informăm partea stângă (tija soare cu glisor LA) viteza posibilă V B mișcare înainte jos. Nucleu AC rotiți în jurul punctului DAR .

Să facem ecuația lucrărilor:

Pentru a determina componenta orizontală a reacției de ancorare rigidă, renunțăm la constrângerea care împiedică punctul să se miște orizontal LAînlocuirea terminației rigide cu una glisantă și aplicarea reacției:

Să informăm partea stângă (cursor LAîmpreună cu tija soare) viteza posibilă V B mișcare înainte spre stânga. De la sprijin DAR pe role, apoi partea dreaptă se va deplasa înainte cu aceeași viteză. Prin urmare .

Să facem ecuația lucrărilor pentru toate proiectele.

Pentru a verifica corectitudinea soluției, compunem ecuațiile de echilibru pentru întregul sistem:

Condiția este îndeplinită.

Răspuns: yB = -14,2 H; XB = -28,4 H; NA = 14,2 H; V P \u003d 3,33 Nm.

Viteze generalizate. Forțe generalizate.

Se numesc mărimi independente care determină în mod unic poziția tuturor punctelor unui sistem mecanic coordonate generalizate. – q

Dacă sistemul are S grade de libertate, atunci poziția acestuia va fi determinată S coordonate generalizate:

q1; q2; …; q s .

Deoarece coordonatele generalizate sunt independente unele de altele, incrementele elementare ale acestor coordonate vor fi, de asemenea, independente:

dq 1; dq 2 ; …; dq S .

În același timp, fiecare dintre cantități dq 1; dq 2 ; …; dq S determină mișcarea corespunzătoare, independentă de celelalte, posibilă a sistemului.

Când sistemul se mișcă, coordonatele sale generalizate se vor schimba continuu în timp, legea acestei mișcări este determinată de ecuațiile:

, …. ,

Acestea sunt ecuațiile de mișcare ale sistemului în coordonate generalizate.

Derivatele coordonatelor generalizate în raport cu timpul se numesc viteze generalizate ale sistemului:

Dimensiunea depinde de dimensiune q.

Luați în considerare un sistem mecanic format din n puncte materiale, care sunt afectate de forțe F1, F2, Fn. Lasă sistemul să aibă S grade de libertate și poziția sa este determinată de coordonatele generalizate q1; q2; q 3. Să spunem sistemului o posibilă mișcare, în care coordonatele q 1 primește o creștere dq 1, iar restul coordonatelor nu se modifică. Atunci vectorul rază al punctului k primește un increment elementar (dr k) 1. Acesta este incrementul pe care îl primește vectorul rază atunci când se schimbă doar coordonatele. q 1 prin suma dq 1. Restul coordonatelor rămân neschimbate. Asa de (dr k) 1 calculat la fel de diferenţial privat:

Să calculăm munca elementară a tuturor forțelor aplicate:

Să-l scoatem din paranteze dq 1, primim:

Unde - putere generalizată.

Asa de, forta generalizata – este coeficientul pentru incremente ale coordonatei generalizate.

Calculul forțelor generalizate se reduce la calculul posibilului lucru elementar.

Dacă totul se schimbă q, apoi:

Conform principiului posibilelor deplasări, pentru echilibrul sistemului este necesar și suficient ca SdA a k = 0. În coordonate generalizate Î1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dqs = 0 prin urmare, pentru echilibrul sistemului necesar si suficient pentru a forţe generalizate, corespunzând posibilelor deplasări alese pentru sistem și deci coordonatele generalizate, au fost egale cu zero.

Q1 = 0; Q2 = 0; …Qs = 0.

Ecuațiile lui Lagrange.

Folosind ecuația generală a dinamicii pentru un sistem mecanic, se pot găsi ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic.

4) determinați energia cinetică a sistemului, exprimați această energie în termeni de viteze generalizate și coordonate generalizate;

5) găsiți derivatele parțiale corespunzătoare ale T pentru și și înlocuiți toate valorile din ecuație.

Teoria impactului.

Mișcarea unui corp sub acțiunea forțelor obișnuite se caracterizează printr-o schimbare continuă a modulelor și direcțiilor vitezelor acestui corp. Cu toate acestea, există cazuri în care viteza punctelor corpului și, prin urmare, cantitatea de mișcare a corpului rigid într-o perioadă foarte mică de timp primesc modificări finite.

Fenomen, la care, pentru o perioadă de timp neglijabil de mică, vitezele punctelor corpului se modifică într-o cantitate finită, se numește a sufla.

forte, sub acţiunea cărora se produce impactul se numesc percuţie.

Perioada mică de timp tîn timpul căreia are loc impactul se numește timpul de impact.

Deoarece forțele de impact sunt foarte mari și se modifică semnificativ în timpul impactului, în teoria impactului, nu forțele de impact în sine, ci impulsurile lor sunt considerate ca o măsură a interacțiunii corpurilor.

Impulsuri ale forțelor non-impact în timp t sunt foarte mici și pot fi neglijate.

Teorema privind modificarea impulsului unui punct la impact:

Unde v este viteza punctului la începutul impactului,

u este viteza punctului la sfârșitul impactului.

Ecuația de bază a teoriei impactului.

Mișcarea punctelor într-o perioadă foarte scurtă de timp, adică în timpul impactului, va fi și ea mică și, prin urmare, vom considera corpul nemișcat.

Deci, putem trage următoarele concluzii despre forțele de impact:

1) acţiunea forţelor non-impact în timpul impactului poate fi neglijată;

2) deplasările punctelor corpului în timpul impactului pot fi neglijate și corpul poate fi considerat nemișcat în timpul impactului;

După cum se știe din cursul mecanicii teoretice, starea de echilibru a unui obiect poate avea o formulă de forță sau energie. Prima opțiune este condiția egalității la zero a vectorului principal și momentul principal al tuturor forțelor și reacțiilor care acționează asupra corpului. A doua abordare (variațională), numită principiul posibilelor deplasări, s-a dovedit a fi foarte utilă pentru rezolvarea unui număr de probleme din mecanica structurală.

Pentru un sistem de corpuri absolut rigide, principiul posibilelor deplasări este formulat astfel: dacă un sistem de corpuri absolut rigide este în echilibru, atunci suma lucrărilor tuturor forțe externe pe orice posibilă deplasare infinitezimală este zero. Se numește mișcare posibilă (sau virtuală), care nu încalcă conexiunile cinematice și continuitatea corpurilor. Pentru sistemul din fig. 3.1, este posibilă doar rotirea tijei față de suport. Când întoarceți printr-un unghi mic arbitrar, forțează și lucrează Conform principiului posibilelor deplasări, dacă sistemul este în echilibru, atunci trebuie să existe . Inlocuind aici relatiile geometrice obţinem condiţia de echilibru în formularea forţei

Principiul deplasărilor posibile pentru corpurile elastice este formulat după cum urmează: dacă un sistem de corpuri elastice este în echilibru, atunci suma lucrărilor tuturor celor externe și forțe interne pe orice posibilă deplasare infinitezimală este zero. Acest principiu se bazează pe conceptul de energie totală a unui sistem elastic deformat P. Dacă structura este încărcată static, atunci această energie este egală cu munca efectuată de forțele externe U și W interne atunci când sistemul este transferat din starea deformată. la cea inițială:

Cu această translație, forțele externe nu își schimbă valoarea și fac lucru negativ U= -F . În acest caz, forțele interne scad la zero și efectuează un lucru pozitiv, deoarece acestea sunt forțele de aderență ale particulelor de material și sunt îndreptate în direcția opusă sarcinii externe:

Unde - energia potenţială specifică de deformare elastică; V este volumul corpului. Pentru sistem liniar, Unde . Conform teoremei Lagrange-Dirichlet, starea de echilibru stabil corespunde minimului energiei potenţiale totale a sistemului elastic, i.e.

Ultima egalitate corespunde pe deplin formulării principiului posibilelor deplasări. Creșterile de energie dU și dW pot fi calculate pe orice posibile deplasări (abateri) ale sistemului elastic de la starea de echilibru. Pentru a calcula structuri care îndeplinesc cerințele de liniaritate, deplasarea posibilă infinit de mică d poate fi înlocuită cu o deplasare finală foarte mică, care poate fi orice stare deformată a structurii creată de un sistem de forțe ales arbitrar. Având în vedere acest lucru, condiția de echilibru rezultată ar trebui scrisă ca

Lucrarea forțelor externe

Luați în considerare metoda de calcul a muncii forțelor externe asupra deplasării reale și posibile. Sistemul de tije este încărcat cu forțe și (Fig. 3.2, a), care acționează simultan, iar în orice moment raportul rămâne constant. Dacă luăm în considerare forța generalizată, atunci după valoare în orice moment puteți calcula toate celelalte sarcini (în acest caz, ). Linia întreruptă arată deplasarea elastică reală care decurge din aceste forțe. Să notăm această stare cu indicele 1. Să notăm deplasarea punctelor de aplicare a forțelor și în direcția acestor forțe în starea 1 și .

În procesul de încărcare a unui sistem liniar cu forțe și, forțele cresc și deplasările și cresc proporțional cu acestea (Fig. 3.2, c). Munca efectivă a forțelor și asupra deplasărilor pe care le creează este egală cu suma ariilor graficelor, adică. . Scriind această expresie ca , se obtine produsul fortei generalizate si deplasarea generalizata . În acest formular, puteți trimite

munca forțelor sub orice încărcare, dacă toate sarcinile se modifică sincron, adică raportul dintre valorile lor rămâne constant.

În continuare, luați în considerare munca forțelor externe asupra unei posibile deplasări. Ca posibilă deplasare, vom lua, de exemplu, starea deformată a sistemului rezultată din aplicarea unei forțe într-un anumit punct (Fig. 3.2, b). Această stare, corespunzătoare deplasării suplimentare a punctelor de aplicare a forțelor și printr-o distanță și , se va nota cu 2. Forțele și , fără a-și modifica valoarea, efectuează lucrări virtuale asupra deplasărilor și (Fig. 3.2, c):

După cum puteți vedea, în notația deplasării, primul indice arată starea în care sunt specificate punctele și direcțiile acestor deplasări. Al doilea indice arată starea în care acționează forțele care provoacă această mișcare.

Lucrul unei forțe unitare F 2 asupra deplasării efective

Dacă considerăm starea 1 ca o posibilă deplasare pentru forța F 2, atunci lucrarea sa virtuală asupra deplasării

Munca forțelor interne

Să găsim lucrul forțelor interne ale stării 1, adică din forțele și , pe deplasările virtuale ale stării 2, adică rezultate din aplicarea sarcinii F 2 . Pentru a face acest lucru, selectați un element de tijă de lungime dx (Fig. 3.2 și 3.3, a). Deoarece sistemul luat în considerare este plat, în secțiunile elementului acţionează doar două forţe S şi Q z și un moment încovoietor Mu. Aceste forţe pentru elementul tăiat sunt externe. Forțele interne sunt forțe de coeziune care conferă rezistență materialului. Sunt egale cu cele exterioare ca valoare, dar sunt îndreptate în direcția opusă deformării, prin urmare munca lor sub încărcare este negativă (Fig. 3.3, b-d, prezentată cu gri). Să calculăm secvenţial munca efectuată de fiecare factor de forţă.

Lucrul forțelor longitudinale asupra deplasării, care este creat de forțele S 2 care au apărut ca urmare a aplicării sarcinii F 2 (Fig. 3.2, b, 3.3, b),

Găsim alungirea unei tije cu lungimea dx folosind formula binecunoscută

unde A este aria secțiunii tijei. Înlocuind această expresie în formula anterioară, găsim

În mod similar, definim munca pe care o face momentul încovoietor asupra deplasării unghiulare create de moment (Fig. 3.3, c):

Găsim unghiul de rotație ca

unde J este momentul de inerție al secțiunii tijei față de axa y. După înlocuire, obținem

Să aflăm lucrul forței transversale asupra deplasării (Fig. 3.3, d). Tensiunile tangenţiale şi deplasările de la forţa de forfecare Q z nu sunt distribuite liniar pe secţiunea barei (spre deosebire de solicitările şi alungirile normale din cazurile de încărcare anterioare). Prin urmare, pentru a determina lucrul de forfecare, este necesar să se ia în considerare munca efectuată de solicitările de forfecare în straturile tijei.

Tensiunile tangenţiale de la forţa Q z, care acţionează într-un strat situat la o distanţă z de axa neutră (Fig. 3.3, e), sunt calculate prin formula Zhuravsky

unde Su este momentul static al părții din zona secțiunii transversale situată deasupra acestui strat, luat în raport cu axa y; b este lățimea secțiunii la nivelul stratului luat în considerare. Aceste tensiuni creează o forfecare a stratului printr-un unghi, care, conform legii lui Hooke, este definită ca - modulul de forfecare. Ca urmare, capătul stratului este deplasat de

Lucrul total al tensiunilor de forfecare a primei stări, care acționează asupra capătului acestui strat, asupra deplasărilor din a doua stare se calculează prin integrarea produsului pe aria secțiunii transversale.

După ce înlocuim aici expresiile pentru și obținem

Scoatem de sub valorile integrale care nu depind de z, înmulțim și împărțim această expresie la A, obținem

Aici se introduce coeficientul adimensional,

in functie doar de configuratie si raportul dimensiunilor sectiunilor. Pentru un dreptunghi \u003d 1.2, pentru secțiuni I-beam și casete (A c - zona secțională a peretelui sau într-o secțiune casetă - doi pereți).

Deoarece munca fiecăreia dintre componentele de încărcare considerate (S, Q, M) asupra deplasărilor cauzate de alte componente este egală cu zero, atunci munca totală a tuturor forțelor interne pentru elementul considerat al tijei de lungime dx

(3.3)

Lucrul total al forțelor interne ale stării 1 asupra deplasărilor din starea 2 pentru un sistem de tije plate se obține prin integrarea expresiei rezultate pe secțiuni de lungime 1 Z, în cadrul cărora diagramele sunt funcții integrabile, și însumând peste toate secțiunile:

În secțiunea unui element dintr-un sistem de tije spațiale, acționează șase forțe interne (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), prin urmare, pentru aceasta, expresia pentru munca totală a forțelor interne va arăta ca ,

Aici M x - cuplul în tijă; J T este momentul de inerție al tijei în torsiune liberă (rigiditate geometrică la torsiune). În integrand, indicii „și” sunt omiși.

În formulele (3.3) și (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 notăm expresiile analitice ale diagramelor de forțe interne din acțiunea forțelor F (și F (, aS 2 , Q y 2) , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - descrieri ale diagramelor forțelor interne din forța F 2 .

Teoreme asupra sistemelor elastice

Structura formulelor (3.3) și (3.4) arată că ele sunt „simetrice” față de stările 1 și 2, adică munca forțelor interne ale stării 1 asupra deplasărilor stării 2 este egală cu munca forțele stării 2 asupra deplasărilor stării 1 Dar conform (3.2)

Prin urmare, dacă munca forțelor interne este egală, atunci munca forțelor externe este egală - Această afirmație se numește teorema muncii de reciprocitate (teorema lui Betty, 1872).

Pentru un sistem de tije încărcat cu o forță F 1 (Fig. 3.4, a), luăm ca posibilă deplasare starea deformată care a apărut când a fost încărcat cu o forță F 2 (Fig. 3.4, b). Pentru acest sistem, conform teoremei Betti 1- Dacă punem , atunci obținem

(3.5)

Această formulă exprimă teorema lui Maxwell (1864) privind reciprocitatea deplasărilor: deplasarea punctului de aplicare a primei forțe unitare în direcția sa, cauzată de acțiunea celei de-a doua forțe unitare, este egală cu deplasarea punctului de aplicare. a celei de-a doua forțe unitare în direcția sa, cauzată de acțiunea primei forțe unitare. Această teoremă poate fi aplicată și sistemului din fig. 3.2. Dacă setăm = 1 N (secțiunea 3.1.2), atunci obținem egalitatea deplasărilor generalizate .

Să considerăm un sistem static nedeterminat cu suporturi cărora li se poate da deplasarea necesară, luată pe cât posibil (Fig. 3.4, c, d). În prima stare, deplasăm suportul 1 și în a doua - setăm rotația ansamblului cu un unghi - În acest caz, reacțiile vor avea loc în prima stare și , iar în a doua - i . Conform teoremei de reciprocitate a muncii, scriem Dacă setăm (aici dimensiunea = m, iar valoarea este adimensională), atunci obținem

Această egalitate este numerică, deoarece dimensiunea reacției = H, a = N-m. Astfel, reacția R 12 în legătura fixă ​​1, care are loc atunci când legătura 2 este deplasată cu unu, este numeric egală cu reacția care are loc în legătura 2 cu o deplasare unitară a legăturii 1. Această afirmație se numește teorema reciprocității reacției.

Teoreme enunțate în aceasta sectiune, sunt utilizate pentru calculul analitic al sistemelor static nedeterminate.

Definiţia displacements

Formula generală de deplasare

Pentru a calcula deplasările care apar în sistemul de tije sub acțiunea unei sarcini date (starea 1), este necesar să se formeze o stare auxiliară a sistemului în care acționează o unitate de forță, lucrând la deplasarea dorită (starea 2) . Aceasta înseamnă că la determinarea deplasării liniare este necesar să se precizeze o forță unitară F 2 = 1 N aplicată în același punct și în aceeași direcție în care urmează să fie determinată deplasarea. Dacă este necesar să se determine unghiul de rotație al oricărei secțiuni, atunci în această secțiune se aplică un singur moment F 2 = 1 N m. După aceea, este compilată ecuația de energie (3.2), în care starea 2 este luată ca cea principală și cea deformată

starea 1 este tratată ca o mișcare virtuală. Din această ecuație se calculează deplasarea dorită.

Să găsim deplasarea orizontală a punctului B pentru sistemul din fig. 3.5, a. Pentru ca deplasarea dorită D 21 să se încadreze în ecuația lucrărilor (3.2), luăm ca stare principală deplasarea sistemului sub acțiunea unei forțe unitare F 2 - 1 N (starea 2, Fig. 3.5, b). Vom considera starea deformată reală a structurii ca o posibilă deplasare (Fig. 3.5, a).

Lucrarea forțelor externe ale stării 2 asupra deplasărilor stării 1 se găsește ca Conform (3.2),

prin urmare, deplasarea dorită

Deoarece (secțiunea 3.1.4), munca forțelor interne ale stării 2 asupra deplasărilor stării 1 se calculează prin formula (3.3) sau (3.4). Inlocuind in expresia (3.7) (3.3) munca fortelor interne ale unui sistem de tije plate, gasim

Pentru utilizarea ulterioară a acestei expresii, este recomandabil să se introducă conceptul de diagrame unice ale factorilor de forță interni, i.e. dintre care primele două sunt adimensionale, iar dimensiunea . Rezultatul va fi

Aceste integrale trebuie înlocuite cu expresii pentru diagramele de distribuție a forțelor interne corespunzătoare de la sarcina care acționează și iar din forte F 2 = 1. Expresia rezultata se numeste formula lui Mohr (1881).

La calcularea sistemelor de bare spațiale, formula (3.4) trebuie utilizată pentru a calcula munca totală a forțelor interne, apoi se va dovedi

Este destul de evident că expresiile pentru diagramele forțelor interne S, Q y , Q z , M x, M y, M g și valorile caracteristici geometrice secțiunile A, J t, Jy, J, pentru secțiunea a n-a corespunzătoare. Pentru a scurta notația în notația acestor mărimi, indicele „i” este omis.

3.2.2. Cazuri particulare de determinare a deplasărilor

Formula (3.8) este utilizată în cazul general al unui sistem de tije plane, dar în unele cazuri poate fi simplificată semnificativ. Luați în considerare cazuri speciale de implementare a acestuia.

1. Dacă deformațiile din forțele longitudinale pot fi neglijate, ceea ce este tipic pentru sistemele de grinzi, atunci formula (3.8) se va scrie ca

2. Dacă sistem plat constă numai din grinzi îndoite cu pereți subțiri cu raportul l/h> 5 pentru console sau l/h> 10 pentru travee (I și h sunt lungimea grinzii și înălțimea secțiunii), apoi, de regulă, energia de deformare la încovoiere este semnificativ depășește energia de deformare din forțele longitudinale și de forfecare, astfel încât acestea pot fi ignorate în calculul deplasărilor. Apoi formula (3.8) ia forma

3. Pentru ferme, ale căror tije, sub încărcarea nodală, suferă în principal forțe longitudinale, putem presupune că M \u003d 0 și Q \u003d 0. Apoi deplasarea nodului este calculată prin formula

Integrarea se realizează pe lungimea fiecărei tije, iar însumarea se realizează pe toate tijele. Ținând cont de faptul că forța S u in i-m tija iar aria secțiunii transversale nu se modifică pe lungimea sa, putem simplifica această expresie:

Cu toată aparenta simplitate a acestei formule, calculul analitic al deplasărilor în ferme este foarte laborios, deoarece necesită determinarea forțelor din toate tijele de ferme din sarcina care acționează () și dintr-o forță unitară () aplicată în punctul a cărui deplasare necesită a fi gasit.

3.2.3. Metodologie și exemple pentru determinarea deplasărilor

Luați în considerare calculul integralei Mohr prin metoda lui A. N. Vereshchagin (1925). Integrala lui Mohr are forma (3.8), unde ca D 1 , D 2 pot apărea diagrame ale momentelor încovoietoare, ale forțelor longitudinale sau transversale. Cel puțin una dintre diagramele () din integrand este liniară sau liniară pe bucăți, deoarece este construită dintr-o singură sarcină. Prin urmare, pentru

soluția integralei, se poate aplica următorul truc. Să presupunem că în secțiunea considerată de lungime I, prima diagramă D 1 este de formă arbitrară, iar a doua este liniară: (Fig. 3.6). Înlocuind aceasta în integrala Mohr, găsim

Prima dintre integrale este numeric egală cu aria subgrafului (umbrită în Fig. 3.6), iar a doua este momentul static al acestei zone în raport cu axa. Momentul static poate fi scris ca , unde este coordonata pozitiei centrului de greutate al zonei (punctul A). Având în vedere ceea ce s-a spus, obținem

(3.13)

Regula lui Vereshchagin este formulată după cum urmează: dacă cel puțin una dintre diagrame este liniară pe diagramă, atunci integrala Mohr este calculată ca produsul ariei unui

parcela pe ordonata parcelei liniare, situata sub centrul de greutate al acestei zone. Dacă ambele diagrame sunt situate pe aceeași parte a axei, atunci produsul este pozitiv, dacă din laturi diferite, atunci este negativ. Această metodă poate fi aplicată pentru a calcula oricare dintre integralele din expresiile (3.8) și (3.9).

La calcularea structurilor în mediul Mathcad, nu este nevoie să utilizați regula Vereshchagin, deoarece puteți calcula integrala prin integrare numerică.

Exemplul 3.1(Fig. 3.7, a). Grinda este încărcată cu două forțe situate simetric. Aflați deplasările punctelor de aplicare a forțelor.

1. Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare M 1 din forțele F 1 . Reacții de sprijin Moment maxim de încovoiere sub forță

2. Deoarece sistemul este simetric, deviațiile sub forțe vor fi aceleași. Ca stare auxiliară, luăm încărcarea grinzii cu două forțe unitare F 2 = 1 N, aplicate în aceleași puncte cu forțele F 1

(Fig. 3.7, b). Diagrama momentelor încovoietoare pentru această încărcare este similară cu cea anterioară, iar momentul încovoietor maxim M 2max = 0,5 (L-b).

3. Încărcarea sistemului de către două forțe ale celei de-a doua stări se caracterizează prin forța generalizată F 2 și deplasarea generalizată , care creează munca forțelor externe asupra deplasării stării 1, egală cu . Să calculăm deplasarea folosind formula (3.11). Înmulțind diagramele cu secțiuni conform regulii Vereshchagin, găsim

După înlocuirea valorilor primim

Exemplul 3.2. Aflați deplasarea orizontală a suportului mobil al cadrului în formă de U încărcat cu forța F x (fig. 3.8, a).

1. Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare din forța F 1 Reacții de sprijin . Momentul încovoietor maxim sub forța F 1

2. Ca stare auxiliară luăm încărcarea grinzii cu o forță orizontală unitară F 2 aplicată în punctul B (Fig. 3.8, b). Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru acest caz de încărcare. Reacții de susținere A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Moment încovoietor maxim.

3. Calculăm deplasarea după formula (3.11). Pe secțiunile verticale, produsul este zero. Pe o secțiune orizontală, graficul M 1 nu este liniar, dar graficul este liniar. Înmulțind diagramele prin metoda Vereshchagin, obținem

Produsul este negativ, deoarece diagramele se află pe părți opuse. Valoarea negativă obținută a deplasării indică faptul că direcția sa reală este opusă direcției forței unitare.

Exemplul 3.3(Fig. 3.9). Găsiți unghiul de rotație al secțiunii grinzii cu două suporturi sub forță și găsiți poziția forței la care acest unghi va fi maxim.

1. Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare M 1 din forța F 1. Pentru a face acest lucru vom găsi reacția de sprijin A 1. Din ecuația de echilibru pentru sistemul ca întreg aflați.Momentul încovoietor maxim sub forța Fj

2. Ca stare auxiliară, luăm încărcarea fasciculului cu un singur moment F 2 \u003d 1 Nm în secțiunea a cărei rotație trebuie determinată (Fig. 3.9, b). Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru acest caz de încărcare. Reacții de susținere A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, momente încovoietoare

Ambele momente sunt negative, deoarece sunt îndreptate în sensul acelor de ceasornic. Diagramele sunt construite pe o fibră întinsă.

3. Calculăm unghiul de rotație după formula (3.11), efectuând înmulțirea pe două secțiuni,

Notând , puteți obține această expresie într-o formă mai convenabilă:

Graficul dependenței unghiului de rotație de poziția forței F 1 este prezentat în fig. 3.9, c. Diferențiând această expresie, de condiția găsim poziția forței la care unghiul de înclinare al grinzii sub ea va fi cel mai mare în valoare absolută. Acest lucru se va întâmpla la valori egale cu 0,21 și 0,79.

Elemente de mecanică analitică

In incercarile mele de a sti lumea natura umană se caracterizează prin dorinţa de a reduce sistemul de cunoaştere în acest domeniu la cel mai mic număr pozitii de start. Acest lucru se aplică în primul rând domeniilor științifice. În mecanică, această dorință a dus la crearea unor principii fundamentale din care urmează principalele ecuatii diferentiale mișcări pentru diverse sisteme mecanice. Această secțiune a tutorialului are scopul de a introduce cititorul în unele dintre aceste principii.

Să începem studiul elementelor mecanicii analitice cu luarea în considerare a problemei clasificării conexiunilor care apar nu numai în statică, ci și în dinamică.

Clasificarea relațiilor

Conexiune – orice fel de restricţii impuse poziţiilor şi vitezelor punctelor unui sistem mecanic.

Relațiile sunt clasificate:

Prin modificare în timp:

- conexiuni nestaţionare, acestea. schimbându-se în timp. Un suport care se deplasează în spațiu este un exemplu de conexiune non-staționară.

- comunicatii fixe, acestea. neschimbându-se în timp. Legăturile staționare includ toate legăturile discutate în secțiunea „Statică”.

După tipul de restricții cinematice impuse:

- conexiuni geometrice impune restricții asupra pozițiilor punctelor în sistem;

- cinematic, sau conexiuni diferentiale impun restricții asupra vitezei punctelor din sistem. Dacă este posibil, reduceți un tip de relație la altul:

- integrabil, sau holonomic(simplu) conexiune, dacă legătura cinematică (diferențială) poate fi reprezentată ca geometric. În astfel de conexiuni, dependențele dintre viteze pot fi reduse la dependența dintre coordonate. Un cilindru care rulează fără alunecare este un exemplu de constrângere diferențială integrabilă: viteza axei cilindrului este legată de viteză unghiulară conform formulei binecunoscute , sau , iar după integrare se reduce la o relație geometrică între deplasarea axei și unghiul de rotație al cilindrului în forma .

- neintegrabil, sau conexiune nonholonomică– dacă legătura cinematică (diferențială) nu poate fi reprezentată ca geometric. Un exemplu este rularea unei mingi fără alunecare în timpul mișcării sale nerectilinii.

Dacă este posibil, „eliberați” de comunicare:

- ținând legături, sub care restricțiile impuse de acestea sunt întotdeauna păstrate, de exemplu, un pendul suspendat de o tijă rigidă;

- legături de nereţinere - restricțiile pot fi încălcate pentru un anumit tip de mișcare a sistemului, de exemplu, un pendul suspendat pe un fir mototolit.

Să introducem câteva definiții.

· Posibil(sau virtual) in miscare(notat) este elementară (infinit de mică) și este de așa natură încât să nu încalce constrângerile impuse sistemului.

Exemplu: un punct, aflat pe suprafata, are pe cat posibil un set de deplasari elementare in orice directie de-a lungul suprafetei de referinta, fara a se rupe de acesta. Mișcarea unui punct, ducând la desprinderea lui de suprafață, rupe legătura și, conform definiției, nu este o mișcare posibilă.

Pentru sistemele staționare, deplasarea elementară reală (reala) uzuală este inclusă în setul de deplasări posibile.

· Numărul de grade de libertate ale unui sistem mecanic – este numărul deplasărilor sale independente posibile.

Deci, atunci când un punct se mișcă pe un plan, orice posibilă mișcare a acestuia este exprimată în termenii celor două componente ortogonale (și, prin urmare, independente).

Pentru un sistem mecanic cu constrângeri geometrice, numărul de coordonate independente care determină poziția sistemului coincide cu numărul gradelor sale de libertate.

Astfel, un punct de pe un plan are două grade de libertate. liber punct material- trei grade de libertate. La corp liber– șase (se adaugă viraje la unghiuri Euler), etc.

· Lucru posibil – este munca elementară a unei forţe asupra unei posibile deplasări.

Principiul mișcărilor posibile

Dacă sistemul este în echilibru, atunci pentru oricare dintre punctele sale, egalitatea este valabilă, unde sunt rezultantele forțelor active și ale forțelor de reacție care acționează asupra punctului. Apoi, suma muncii acestor forțe pentru orice deplasare este, de asemenea, egală cu zero . Rezumând toate punctele, obținem: . Al doilea termen pentru legăturile ideale este egal cu zero, de unde formulăm principiul miscarilor posibile :

.

(3.82)

În condițiile echilibrului unui sistem mecanic cu conexiuni ideale, suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă deplasare a sistemului este egală cu zero.

Valoarea principiului deplasărilor posibile rezidă în formularea condițiilor de echilibru pentru un sistem mecanic (3.81), în care nu apar reacții necunoscute de constrângeri.

ÎNTREBĂRI DE AUTOVERIFICARE

1. Ce mișcare a unui punct se numește posibilă?

2. Ce se numește lucrul posibil al forței?

3. Formulează și notează principiul mișcărilor posibile.

principiul d'Alembert

Să rescriem ecuația dinamicii la al-lea punct al sistemului mecanic (3.27), transferând partea stângă la dreapta. Să introducem în considerare cantitatea

Forțele din ecuația (3.83) formează un sistem echilibrat de forțe.

Extinzând această concluzie la toate punctele sistemului mecanic, ajungem la formulare principiul d'Alembert, numit după matematicianul și mecanicul francez Jean Leron D'Alembert (1717–1783), Fig. 3.13:

Fig.3.13

Dacă la toate forţele care acţionează într-un dat sistem mecanic, adăugați toate forțele de inerție, sistemul de forțe rezultat va fi echilibrat și i se pot aplica toate ecuațiile de statică.

De fapt, aceasta înseamnă că dintr-un sistem dinamic, prin adăugarea forțelor de inerție (forțe D'Alembert), se trece la un sistem pseudostatic (aproape static).

Folosind principiul d'Alembert, se poate obţine estimarea vectorul principal al forțelor de inerțieși momentul principal de inerție față de centru la fel de:

Reacții dinamice care acționează pe axa unui corp în rotație

Considera solid, rotindu-se uniform cu viteza unghiulara ω în jurul axei fixate în rulmenţii A şi B (Fig. 3.14). Conectăm cu corpul axele Axyz care se rotesc cu acesta; avantajul unor astfel de axe este că în raport cu acestea coordonatele centrului de masă și momentele de inerție ale corpului vor fi valori constante. Lasă forțele date să acționeze asupra corpului. Să notăm proiecțiile vectorului principal al tuturor acestor forțe pe axa Axyz prin ( etc.), iar momentele lor principale despre aceleași axe - prin ( etc.); între timp, pentru că ω = const, atunci = 0.

Fig.3.14

Pentru a determina răspunsuri dinamice X A, Y A, Z A, X B, Y B rulmenți, adică reacțiile care apar în timpul rotației corpului, adăugăm la toate care acționează asupra corpului forțe atribuiteși la reacțiile legăturilor forței de inerție ale tuturor particulelor corpului, aducându-le în centrul A. Atunci forțele de inerție vor fi reprezentate de o forță egală cu și aplicat la punctul A , si o pereche de forte cu un moment egal cu . Proiecții ale acestui moment pe axă lași la va fi: , ; aici din nou , la fel de ω = const.

Acum, compunând ecuațiile (3.86) în conformitate cu principiul d’Alembert în proiecții pe axa Axyz și setând AB =b, primim

.

(3.87)

Ultima ecuație este satisfăcută identic, întrucât .

Vector principal forțe de inerție , Unde t - greutatea corporală (3,85). La ω =const centru de masă C are numai accelerație normală , unde este distanța punctului C față de axa de rotație. Prin urmare, direcția vectorului coincide cu direcția OS . Calcularea proiecțiilor pe axele de coordonateşi având în vedere că unde - coordonatele centrului de masă, găsim:

Pentru a determina și , luați în considerare o particulă a corpului cu masă m k , distanțat de axă la distanță h k . Pentru ea la ω =const forța de inerție are de asemenea doar o componentă centrifugă , din care proiecții, precum și vectori R", sunt egale.