/

Aria parcelei curbilinii. Determinarea deplasărilor în timpul îndoirii conform metodei Vereshchagin

În cazurile în care complotul Mz 1 (sau Mz) este mărginită de drepte. În esență, aceasta este o metodă de calcul grafic-analitic integrala definita din produsul a două funcții f(X) și φ (X), dintre care unul, de exemplu φ (X), liniar, adică are forma

Luați în considerare o secțiune a unei grinzi în care diagrama momentelor încovoietoare de la o singură sarcină este limitată la o linie dreaptă Mz 1 = kx+ b, iar momentul încovoietor de la o sarcină dată se modifică conform unei legi arbitrare Mz. Apoi în această zonă

A doua integrală este aria ω diagrame Mzîn zona luată în considerare, iar primul este momentul static al acestei zone în raport cu axa yși este deci egal cu produsul ariei ω la coordonatele centrului său de greutate Xc. Prin urmare,

.

Aici kxc+ b- ordonata yc diagrame Mz 1 sub centrul de greutate al zonei ω . Prin urmare,

.

Muncă ω yc va fi pozitiv când ω și yc situate pe o parte a axei parcelei și negative dacă sunt pe părți opuse ale acestei axe.

Deci, prin Metoda Vereshchagin operația de integrare este înlocuită cu înmulțirea ariei ω o diagramă pe ordonată yc a doua diagramă (neapărat liniară), luată sub centrul de greutate al zonei ω .

Este important să ne amintim întotdeauna că o astfel de „multiplicare” a diagramelor este posibilă numai într-o secțiune limitată de o linie dreaptă a diagramei din care este luată ordonata yc. Prin urmare, atunci când se calculează deplasările secțiunilor grinzii prin metoda Vereshchagin, integrala Mohr pe întreaga lungime a grinzii trebuie înlocuită cu suma integralelor pe secțiuni în care diagrama momentelor de la o singură sarcină nu are îndoituri. Apoi

.

Pentru aplicarea cu succes a metodei Vereshchagin, este necesar să existe formule prin care să poată fi calculate ariile ω și coordonatele Xc centrele lor de greutate. Date în tabel. Datele 8.1 îndeplinesc doar cele mai multe cazuri simpleîncărcarea fasciculului. Cu toate acestea, diagramele mai complexe ale momentelor încovoietoare pot fi împărțite în figuri simple, zone ω i, și coordonatele yci care sunt cunoscute și apoi găsiți produsul ω yc pentru o diagramă atât de complexă prin însumarea produselor zonelor ω i părțile sale la coordonatele corespunzătoare yci. Acest lucru se explică prin faptul că descompunerea diagramei multiplicabile în părți este echivalentă cu reprezentarea funcției Mz(X) în integrala (8.46) ca sumă de integrale. În unele cazuri, construcția diagramelor stratificate simplifică calculele, adică din fiecare dintre forțe externeși cuplurile separat.

Dacă ambele parcele Mzși Mz 1 liniar, rezultat finalÎnmulțirea lor nu depinde de dacă aria primei diagrame este înmulțită cu ordonata celei de-a doua sau, dimpotrivă, aria celei de-a doua cu ordonata primei.

Pentru calculul practic al deplasărilor conform metodei Vereshchagin, este necesar:

1) construiți o diagramă a momentelor încovoietoare de la o sarcină dată (diagrama principală);

3) construiți o diagramă a momentelor încovoietoare dintr-o singură sarcină (schemă unică);

4) împărțiți diagramele de la sarcinile date în zone separate ω iși calculați ordonatele yCi o singură diagramă sub centrele de greutate ale acestor zone;

5) compune o lucrare ω iyCi si rezuma-le.


Tabelul 8.1.

Tipul parcelei Mz Pătrat ω Coordonata centrului de greutate Xc
(*) - Aceste formule nu sunt valabile pentru un astfel de caz de încărcare

EE "BSUIR"

Departamentul de Inginerie Grafică

„DETERMINAREA MIȘCĂRILOR PRIN METODĂ MORA. REGULA LUI VERESCHAGIN"

MINSK, 2008


Să luăm acum în considerare o metodă generală de determinare a deplasărilor, potrivită pentru orice sistem deformabil liniar sub orice sarcină. Această metodă a fost propusă de remarcabilul om de știință german O. Mohr.

Să fie, de exemplu, necesar să se determine deplasarea verticală a punctului A al fasciculului prezentat în Fig. 7.13, a. Starea dată (încărcare) va fi notată cu litera k. Să alegem o stare auxiliară a aceluiași fascicul cu unitate

forță care acționează în punctul A și în direcția mișcării dorite. Starea auxiliară va fi notată cu litera i (Fig. 7.13,6).

Să calculăm munca externă și forțe interne stare auxiliară asupra deplasărilor cauzate de acţiunea forţelor stării de încărcătură.

Lucrul forțelor externe va fi egal cu produsul unei forțe unitare și deplasarea dorită ya

iar munca forțelor interne în valoare absolută este egală cu integrala

(1)

Formula (7.33) este formula lui Mohr (integrala lui Mohr), care face posibilă determinarea deplasării în orice punct a unui sistem deformabil liniar.

În această formulă, integrandul MiMk este pozitiv dacă ambele momente încovoietoare au același semn și negativ dacă Mi și Mk au semne diferite.

Dacă ar fi să determinăm deplasarea unghiulară în punctul A, atunci în starea i ar trebui aplicat un moment egal cu unu (fără dimensiune) în punctul A.

Notând cu litera Δ orice deplasare (liniară sau unghiulară), scriem formula Mohr (integrală) sub forma

(2)

În cazul general, expresia analitică pentru Mi și Mk poate fi diferită în diferite secțiuni ale grinzii sau în general ale sistemului elastic. Prin urmare, în loc de formula (2), ar trebui să folosiți formula mai generală

(3)

Dacă tijele sistemului nu funcționează în îndoire, ci în tensiune (compresie), ca, de exemplu, în ferme, atunci formula Mohr are forma

(4)

În această formulă, produsul NiNK este pozitiv dacă ambele forțe sunt de tracțiune sau ambele sunt compresive. Dacă tijele funcționează simultan atât în ​​încovoiere, cât și în tensiune (compresie), atunci în cazuri obișnuite, așa cum arată calculele comparative, deplasările pot fi determinate luând în considerare doar momentele încovoietoare, deoarece influența forțelor longitudinale este foarte mică.

Din aceleași motive, așa cum am menționat mai devreme, în cazuri obișnuite, influența forțelor tăietoare poate fi ignorată.

În loc să calculați direct integrala Mohr, puteți utiliza tehnica analitică grafică „metoda înmulțirii diagramelor” sau regula lui Vereshchagin.

Luați în considerare două diagrame de momente încovoietoare, dintre care una Mk are o formă arbitrară, iar cealaltă Mi este rectilinie (Figura 7.14, a și b).

(5)

Valoarea lui MKdz este aria elementară dωk a diagramei Mk (umbrită în figură). Prin urmare,

(6)

prin urmare,

(8)

Dar reprezintă momentul static al ariei diagramei Mk relativ la o axă y care trece prin punctul O, egal cu ωkzc, unde ωk este aria diagramei de momente; zc este distanța de la axa y până la centrul de greutate al diagramei Mk. Din desen se vede că

unde Msi este ordonata diagramei Mi, situată sub centrul de greutate al diagramei Mk (sub punctul C). Prin urmare,

(10)

adică, integrala dorită este egală cu produsul dintre aria diagramei Mk (orice în contur) și ordonata diagramei rectilinie Msi situată sub centrul său de greutate. Valoarea lui ωкМсi este considerată pozitivă dacă ambele diagrame sunt situate pe aceeași parte a tijei și negativă dacă sunt situate pe laturi diferite. Un rezultat pozitiv al înmulțirii diagramelor înseamnă că direcția de mișcare coincide cu direcția unei forțe (sau moment) unitare.

Trebuie amintit că ordonata Msi este luată în mod necesar într-o diagramă rectilinie. În cazul particular, când ambele diagrame sunt rectilinie, este posibil să se înmulțească aria oricăreia dintre ele cu ordonata corespunzătoare a celeilalte.

Pentru barele cu secțiune transversală variabilă, regula lui Vereshchagin de multiplicare a diagramelor nu este aplicabilă, deoarece în acest caz nu mai este posibilă scoaterea valorii EJ de sub semnul integral. În acest caz, ar trebui să se exprimă EJ în funcție de abscisa secțiunii și apoi să se calculeze integrala Mohr (1).

Cu o schimbare treptată a rigidității tijei, se realizează integrarea (sau multiplicarea diagramelor) pentru fiecare secțiune separat (cu propria sa valoare a EJ) și apoi rezultatele sunt rezumate.

În tabel. 1 prezintă valorile ariilor unora dintre cele mai simple diagrame și coordonatele centrului lor de greutate.

tabelul 1

Tipul parcelei Zona parcelei Distanța până la centrul de greutate

Pentru a accelera calculele, puteți utiliza tabele de înmulțire gata făcute pentru diagrame (Tabelul 2).

În acest tabel, în celulele de la intersecția diagramelor elementare corespunzătoare, sunt date rezultatele înmulțirii acestor diagrame.

Când descompuneți o diagramă complexă în diagrame elementare, prezentate în tabel. 1 și 7.2, trebuie avut în vedere că diagramele parabolice se obțin din acțiunea unei singure sarcini distribuite.

În acele cazuri în care secțiunile curbe dintr-o diagramă complexă sunt obținute din acțiunea simultană a momentelor concentrate, a forțelor și a unei sarcini uniform distribuite, pentru a evita erorile, diagrama complexă trebuie mai întâi „stratificată”, adică împărțită într-un număr. a diagramelor independente: din actiunea momentelor concentrate, fortelor si din actiunea unei sarcini uniform distribuite.

De asemenea, puteți aplica o altă tehnică care nu necesită stratificarea diagramelor, ci necesită doar selectarea părții curbe a diagramei de-a lungul coardei care leagă punctele sale extreme.

Vom prezenta ambele metode cu un exemplu specific.

Să fie, de exemplu, necesar să se determine deplasarea verticală a capătului din stânga al grinzii (Fig. 7.15).

Diagrama totală a sarcinii este prezentată în fig. 7.15 a.


Tabelul 7.2

Diagrama acțiunii unei forțe unitare în punctul A este prezentată în fig. 7.15, oraș

Pentru a determina deplasarea verticală în punctul A, este necesar să se înmulțească diagrama din sarcină cu diagrama dintr-o forță unitară. Totuși, observăm că în secțiunea BC a diagramei totale, diagrama curbilinie a fost obținută nu numai din acțiunea unei sarcini uniform distribuite, ci și din acțiunea unei forțe concentrate P. Ca urmare, în secțiunea BC există nu va mai fi o diagramă parabolică elementară dată în tabelele 7.1 și 7.2, ci în esență o diagramă complexă pentru care datele din aceste tabele nu sunt valabile.

Prin urmare, este necesară împărțirea diagramei complexe conform Fig. 7.15, iar pe diagramele elementare prezentate în fig. 7.15b și 7.15c.

Parcurează conform fig. 7.15, b s-a obţinut numai dintr-o forţă concentrată, diagrama conform fig. 7.15, c - numai din acțiunea unei sarcini uniform distribuite.

Acum puteți înmulți diagramele folosind tabelul. 1 sau 2.

Pentru a face acest lucru, este necesar să înmulțiți diagrama triunghiulară conform Fig. 7.15, b pe o parcelă triunghiulară conform fig. 7.15, d și la aceasta se adaugă rezultatul înmulțirii diagramei parabolice din fig. 7.15, în pe diagrama trapezoidală a secțiunii BC conform fig. 7.15, d, întrucât în ​​secțiunea AB ordonatele diagramei conform fig. 7.15, sunt egale cu zero.

Să arătăm acum a doua modalitate de înmulțire a diagramelor. Luați în considerare din nou diagrama din fig. 7.15 a. Luăm originea în secțiunea B. Să arătăm că în cadrul curbei LMN momentele încovoietoare pot fi obținute ca sumă algebrică a momentelor încovoietoare corespunzătoare dreptei LN și a momentelor încovoietoare ale diagramei parabolice LNML, la fel ca și pentru o grindă simplă de lungime a, încărcată cu o sarcină uniform distribuită q:

Cea mai mare ordonată din mijloc va fi .

Pentru a o demonstra, scriem expresia reală pentru momentul încovoietor în secțiunea la distanța z de punctul B

(DAR)

Să scriem acum expresia momentului încovoietor în aceeași secțiune, obținută ca sumă algebrică a ordonatelor dreptei LN și a parabolei LNML.

Ecuația unei drepte LN

unde k este panta acestei drepte

Prin urmare, ecuația momentelor încovoietoare obținută ca sumă algebrică a ecuației dreptei LN și a parabolei LNMN are forma

care este aceeași cu expresia (A).

Când înmulțiți diagrame conform regulii Vereshchagin, ar trebui să înmulțiți trapezul BLNC cu trapezul dintr-o singură diagramă în secțiunea BC (vezi Fig. 7.15, d) și să scădeți rezultatul înmulțirii diagramei parabolice LNML (aria) cu același trapez dintr-o singură diagramă. Această metodă de stratificare a diagramelor este deosebit de benefică atunci când secțiunea curbată a diagramei este situată pe una dintre secțiunile din mijloc ale fasciculului.

Exemplul 7.7. Determinați deplasarea verticală și unghiulară a grinzii cantilever la locul de aplicare a sarcinii (Fig. 7.16).

Decizie. Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru starea încărcăturii (Fig. 7.16, a).

Pentru a determina deplasarea verticală, selectăm starea auxiliară a fasciculului cu o forță unitară în punctul de aplicare a sarcinii.

Construim o diagramă a momentelor încovoietoare din această forță (Fig. 7.16, b). Determinăm mișcarea verticală după metoda Mohr

Valoarea momentului încovoietor de la sarcină

Valoarea momentului încovoietor dintr-o forță unitară

Înlocuim aceste valori ale MP și Mi sub semnul integral și integrăm

Același rezultat a fost obținut anterior într-un mod diferit.

O valoare pozitivă a deformarii indică faptul că punctul de aplicare al sarcinii P se deplasează în jos (în direcția forței unitare). Dacă am direcționa forța unitară de jos în sus, atunci am avea Mi = 1z și, ca urmare a integrării, am obține o deviere cu semnul minus. Semnul minus ar arăta că mișcarea nu este sus, ci în jos, așa cum este în realitate.

Acum calculăm integrala Mohr înmulțind diagramele conform regulii Vereshchagin.

Deoarece ambele diagrame sunt rectilinie, nu contează din ce diagramă să ia aria și din care să ia ordonata.

Aria diagramei de marfă este egală cu

Centrul de greutate al acestei diagrame este situat la o distanta de 1/3l de la terminatie. Determinăm ordonata diagramei momentelor dintr-o forță unitară, situată sub

centrul de greutate al diagramei de marfă. Este ușor de verificat că este egal cu 1/3l.

Prin urmare.

Același rezultat se obține din tabelul de integrale. Rezultatul înmulțirii diagramelor este pozitiv, deoarece ambele diagrame sunt situate în partea de jos a barei. În consecință, punctul de aplicare al sarcinii este deplasat în jos, adică de-a lungul direcției acceptate a forței unității.

Pentru a determina deplasarea unghiulara (unghiul de rotatie), selectam starea auxiliara a fasciculului, in care la capatul fasciculului actioneaza un moment concentrat egal cu unu.

Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru acest caz (Fig. 7.16, c). Determinăm deplasarea unghiulară prin înmulțirea diagramelor. Diagrama zonei de marfă

Ordonatele diagramei dintr-un singur moment sunt peste tot egale cu unu. Prin urmare, unghiul de rotație dorit al secțiunii este egal cu

Deoarece ambele diagrame sunt situate în partea de jos, rezultatul înmulțirii diagramelor este pozitiv. Astfel, secțiunea de capăt a fasciculului se rotește în sensul acelor de ceasornic (în direcția unui singur moment).

Exemplu: Determinați deformarea în punctul D prin metoda Mohr-Vereshchagin pentru fasciculul prezentat în fig. 7.17..

Decizie. Construim o diagramă stratificată a momentelor de la sarcină, adică construim diagrame separate din acțiunea fiecărei sarcini. În acest caz, pentru comoditatea înmulțirii diagramelor, este recomandabil să construiți diagrame stratificate (elementare) în raport cu secțiunea, a căror deformare este determinată în acest caz în raport cu secțiunea D.

Pe fig. 7.17, a prezintă o diagramă a momentelor încovoietoare din reacția A (secțiunea AD) și din sarcina P \u003d 4 T (secțiunea DC). Loturile sunt construite pe fibră comprimată.

Pe fig. 7.17, b prezintă diagramele momentelor din reacția B (secțiunea BD), din stânga sarcină uniform distribuită (secțiunea AD) și din sarcina uniform distribuită care acționează asupra secțiunii BC. Această diagramă este prezentată în Fig. 7.17, b în secțiunea DC de jos.

În continuare, selectăm starea auxiliară a fasciculului, pentru care în punctul D, unde este determinată deformarea, aplicăm o forță unitară (Fig. 7.17, c). Diagrama momentelor dintr-o unitate de forță este prezentată în Fig. 7.17, d. Acum înmulțim diagramele de la 1 la 7 cu diagramele 8 și 9, folosind tabele de înmulțire a diagramei, ținând cont de semne.

În acest caz, diagramele situate pe o parte a fasciculului sunt înmulțite cu un semn plus, iar diagramele situate pe părțile opuse ale fasciculului sunt înmulțite cu un semn minus.

Când înmulțim graficul 1 și graficul 8, obținem

Înmulțind plotul 5 cu plotul 8, obținem

Înmulțirea diagramelor 2 și 9 dă

Înmulțiți parcelele 4 și 9

Înmulțiți parcelele 6 și 9

Însumând rezultatele înmulțirii diagramelor, obținem

Semnul minus arată că punctul D nu se mișcă în jos, deoarece forța unitară este direcționată, ci în sus.

Același rezultat a fost obținut anterior folosind ecuația universală.

Desigur, în acest exemplu, a fost posibilă stratificarea diagramei doar în secțiunea AD, deoarece în secțiunea DB diagrama totală este rectilinie și nu este nevoie să o stratificați. În secțiunea BC, delaminarea nu este necesară, deoarece diagrama este egală cu zero dintr-o forță unitară din această secțiune. Stratificarea diagramei în secțiunea BC este necesară pentru a determina deformarea în punctul C.

Exemplu. Determinați deplasările verticale, orizontale și unghiulare ale secțiunii A a tijei sparte prezentate în fig. 7.18, a. Rigiditatea secțiunii secțiunii verticale a barei - EJ1 rigiditatea secțiunii secțiunii orizontale - EJ2.

Decizie. Construim o diagramă a momentelor încovoietoare din sarcină. Este prezentat în fig. 7.18b (vezi exemplul 6.9). Pentru a determina deplasarea verticală a secțiunii A, selectăm starea auxiliară a sistemului, prezentată în Fig. 7.18, c. În punctul A, o unitate de forță verticală este aplicată în jos.

Graficul momentelor încovoietoare pentru această stare este prezentat în Fig. 7.18, c.

Determinăm mișcarea verticală după metoda Mohr, folosind metoda înmulțirii diagramelor. Deoarece nu există diagramă M1 pe tija verticală în starea auxiliară, înmulțim doar diagramele aferente tijei orizontale. Luăm zona parcelei din starea de marfă, iar ordonata din starea auxiliară. Mișcarea verticală este

Deoarece ambele diagrame sunt situate în partea de jos, luăm rezultatul înmulțirii cu semnul plus. În consecință, punctul A se mișcă în jos, adică în același mod în care este direcționată o forță verticală unitară.

Pentru a determina deplasarea orizontală a punctului A, selectăm o stare auxiliară cu o forță unitară orizontală îndreptată spre stânga (Fig. 7.18, d). Intriga momentelor pentru acest caz este prezentată în același loc.

Înmulțim diagramele MP și M2 și obținem

Rezultatul înmulțirii diagramelor este pozitiv, deoarece diagramele înmulțite sunt situate pe aceeași parte a tijelor.

Pentru a determina deplasarea unghiulară, selectăm starea auxiliară a sistemului conform Fig. 7.18.5 și reprezentați grafic momentele încovoietoare pentru această stare (în aceeași figură). Înmulțim diagramele MP și M3:

Rezultatul înmulțirii este pozitiv, deoarece diagramele înmulțite sunt situate pe o parte.

Prin urmare, secțiunea A se rotește în sensul acelor de ceasornic

Aceleași rezultate ar fi obținute folosind tabele
înmulțirea diagramelor.

Vederea tijei deformate este prezentată în fig. 7.18, e, în timp ce deplasările sunt mult crescute.


LITERATURĂ

Feodosiev V.I. Rezistența materialelor. 1986

Belyaev N.M. Rezistența materialelor. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Calculul și proiectarea mecanismelor dispozitivelor și sistemelor informatice. 1991

Rabotnov Yu.N. Mecanica deformabilului corp solid. 1988

Stepin P.A. Rezistența materialelor. 1990


Și notițele lui scrise de mână au ajuns în mâinile funcționarului Posolsky Prikaz, de la care au fost primite. Alte informații biografice sunt extrase doar din textul Călătoriei în sine. De ce și-a numit Afanasy Nikitin lucrarea „Călătorie dincolo de cele trei mări”? Autorul însuși ne oferă răspunsul la această întrebare: „Iată, am scris „Călătoria mea păcătoasă dincolo de cele trei mări”, prima mare a Derben (Caspică), doria...

El notează că o condiție indispensabilă pentru implementarea oricărui act comunicativ ar trebui să fie „cunoașterea reciprocă a realităților vorbitorului și ascultătorului, care stă la baza comunicării lingvistice”, au primit denumirea de „cunoștințe de fond” în lingvistică. Potrivit remarcii sale corecte, „sensul unui cuvânt folosit într-o anumită limbă maternă pentru a desemna atât de complet diferit din punctul de vedere al culturii central-europene...

Pentru grinzi și sisteme de bare constând din bare drepte, forțe interne ale stărilor individuale Nk, Mkși Qk sunteți funcții liniare sau pe toată lungimea fiecărei tije, sau în secțiunile sale individuale. Forțele interne ale stării încărcăturii Np, M Rși QP poate avea legi arbitrare de schimbare de-a lungul lungimii tijelor. Dacă grinzile și tijele au rigidități constante sau constante în trepte EF, EJși prietena, atunci calculul integralelor în formula Mohr se poate face folosind diagrame de forțe interne.

Luați în considerare, de exemplu, diagramele momentelor încovoietoare DOMNULși M laîntr-o tijă dreaptă de rigiditate constantă (Fig. 8.31). diagrama marfului DOMNUL este arbitrară și o singură diagramă M la - liniar. Plasăm originea coordonatelor în punctul de intersecție al dreptei diagramei M la cu ax Oh.În același timp, momentul încovoietor M la modificări prin lege M k = xtga. Luând valoarea constantă tga/EU din formula (8.22) din semnul integral și integrând pe lungimea tijei, obținem

Valoare M P dx = dQ. P este un element de zonă al diagramei de marfă Domnul.În acest caz, integrala în sine poate fi considerată ca un moment static al ariei diagramei DOMNUL despre axa OU, care este

Unde Q.p- zona parcelei x s - abscisa centrului său de greutate. Avand in vedere ca x c tga = la s, obținem rezultatul final:

Unde tu - ordonată în diagramă în linie M la sub centrul de greutate al zonei diagramei curbilinie M p ( orez. 8.31).

Metoda de calcul a integralelor în formula lui Mohr folosind formula (8.23) se numește regula lui Vereshchagin sau regula „înmulțirii” diagramelor. Conform formulei (8.23), rezultatul „înmulțirii” a două diagrame este egal cu produsul ariei diagramei neliniare de ordonata sub centrul său de greutate în diagrama liniară. Dacă ambele diagrame din zona luată în considerare sunt liniare, atunci când „înmulțiți” puteți lua aria oricăreia dintre ele. Rezultatul „înmulțirii” diagramelor neechivoce este pozitiv, iar cele cu valori diferite - negative.

Rezultatul „înmulțirii” a două trapeze (Fig. 8.32) poate fi reprezentat prin următoarea formulă:

Când se utilizează regula Vereshchagin, diagramele complexe trebuie împărțite în figuri simple, pentru care sunt cunoscute aria și poziția centrului de greutate. Cel mai adesea, elementele de despărțire sunt triunghiuri și parabole pătrate (în cazul sarcinilor uniform distribuite). Exemple de diagrame de împărțire sunt prezentate în fig. 8.33.

Trapezele cu o valoare sau mai multe valori pot fi împărțite în două triunghiuri (Fig. 8.33, A). Parabolă pătrată cu ordonate Ași b la începutul și la sfârșitul secțiunii, este împărțit în două triunghiuri cu o singură valoare sau cu mai multe valori și o parabolă pătrată cu valori inițiale și finale zero (Fig. 8.33, b). Aria sa este determinată de formulă

Unde q- intensitatea unei sarcini uniform distribuite.

Regula lui Vereshchagin nu poate fi aplicată atunci când ambele diagrame sunt neliniare (de exemplu, pentru bare cu o axă curbilinie), precum și pentru bare cu rigiditate variabilă E J.În acest caz, la determinarea deplasărilor prin metoda Mohr, o analiză sau calcul numeric integrale în formula (8.20).

Exemplul 8.7. Pentru o grindă cantilever de rigiditate constantă EJ= const (Fig. 8.34, A) determina deformarea in sectiune LAși unghiul de rotație al secțiunii CU.

Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare DOMNUL din acțiunea sarcinilor date (Fig. 8.34, b). Pentru a determina deplasările necesare, aplicăm în secțiune LA forță unitară R\u003d 1, în secțiunea C - un singur moment M= 1 și construiți diagramele unitare M și M 2(Fig. 8.34, c, d). diagrama marfului M p pe a doua secțiune, o împărțim într-un triunghi și o parabolă pătrată.

„Multim” diagramele de marfă și unități între ele folosind regula Vereshchagin. La „înmulțirea” diagramelor M pși M x la prima participare folosim formula (8.24). Ca rezultat al calculelor, obținem:


Direcțiile deplasărilor coincid cu direcțiile de acțiune ale sarcinilor individuale. Deviația fasciculului în secțiune LAîn jos, iar secțiunea C se rotește în sensul acelor de ceasornic.

Exemplul 8.8. Pentru o grindă articulată de rigiditate constantă (Fig. 8.35, A) determinați deformarea în secțiunea Xi, unghiul de rotație al secțiunii LA.

diagrama marfului M p prezentată în fig. ora 8.35 b. Să aplicăm o forță unitară în secțiunea C, în secțiune AT - un singur moment și construiți diagrame unice M xși M 2(Fig. 8.35, c, d).„Înmulțirea” diagramei de marfă M p cu diagrame unice, găsim deplasările necesare:


La „înmulțirea” diagramelor din a doua secțiune, a fost folosită formula (8.24). secțiune transversală LA

Exemplul 8.9. Pentru o grindă articulată cu un cantilever de rigiditate constantă (Fig. 8.36, A) determinați deformarea în secțiunea C și unghiul de rotație al secțiunii D.

Să definim susține reacțiile din acțiunea sarcinilor date:

Să construim o diagramă de marfă M p(Fig. 8.36, b). Graficele unice corespunzătoare sunt prezentate în jHa fig. 8.36 în, G.„Înmulțirea” complotului DOMNUL cu diagrame M xși M 2, găsiți deplasările necesare:



secțiune transversală Cu se mută în sus, secțiune D se rotește în sens invers acelor de ceasornic.

Exemplul 8.10. Pentru o grindă de rigiditate constantă în trepte cu o balama intermediară (Fig. 8.37, A) determinați unghiul reciproc de rotație și deformare în secțiune LA.

Să spargem grinda în piesele rulmentului și transportate (Fig. 8.37, b) si determina reactiile de sprijin pentru grinda LV

diagrama marfului M p iar diagramele individuale corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 8.37 în, g, d. Rețineți că pentru a determina unghiul de rotație reciproc al secțiunilor din balamaua intermediară, se aplică un singur moment pereche (în stânga și în dreapta balamalei).

„Înmulțirea” complotului DOMNUL cu diagrame unice și ținând cont de schimbarea treptată a rigidității în zone ABși soare, găsi:


Exemplul 8.11. Pentru un cadru cantilever cu tije de rigiditate diferită (Fig. 8.38, i), determinăm deplasările verticale și orizontale ale punctului C și unghiul de rotație al secțiunii LA.

Diagramă Salariu minim sarcina externă este prezentată în fig. 8.38, b. Influența forțelor longitudinale și transversale nu este luată în considerare la determinarea deplasărilor.

Loturi M x, M 2și M 3 din forțele și momentele unitare aplicate în secțiuni Cuși LA, prezentată în fig. 8.38, c, d, d.„Înmulțirea” diagramei de marfă M p cu diagrame unice pe lungimea fiecărei tije, determinăm deplasările necesare:



Rotația secțiunii LA are loc în sens invers acelor de ceasornic. Deplasarea orizontală a punctului C este zero.

Exemplul 8.12. Pentru un cadru cu balamale cu tije de rigiditate diferită (Fig. 8.39, A) definiți deplasarea verticală a punctului C și deplasarea orizontală a punctului LA.

Să definim reacțiile de sprijin:

Sarcina și diagramele unice corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 8.39 b, c, d.„Înmulțind” diagramele în lungimea fiecărei tije, găsim:



În concluzie, prezentăm valorile deformațiilor și unghiurilor de rotație pentru grinzi în consolă și articulate sub sarcini simple.

Definiţia moves. Metoda lui O. Mohr în combinație cu metoda lui Simpson (formula)

Pentru a defini orice mișcare (liniară sau unghiulară) în metoda lui Mohr fascicul fiind luat în considerare în două stări: reală și auxiliară. Stare auxiliară se obține astfel: mai întâi trebuie îndepărtată întreaga sarcină dată, apoi trebuie aplicat un „factor de forță unitar” în locul în care este necesar să se determine deplasarea și în direcția acestei deplasări dorite. Mai mult, atunci când definim mișcare liniară (deformarea fasciculului), apoi se ia ca „un singur factor de forță”. forță concentrată, iar dacă vrei să găsești unghi de rotatie, atunci ar trebui să aplicați cuplu concentrat.

Mai mult, în aceeași secțiune arbitrară a ambelor stări (adică atât cea reală, cât și cea auxiliară), sunt compilate expresii analitice pentru momentul încovoietor, care sunt înlocuite în formula numită „Integrală Mohr”:

unde: semn Σ se raspandeste mai departe toate site-urile grinzi,

A EI – îndoire rigiditate Locația activată.

În multe cazuri Integrarea Mohr poate fi evitatăși aplica metoda diagrame de „multiplicare”.. Una dintre aceste moduri este modul simpson, peste care valoarea integralei Mohr pe o secțiune de lungime ℓ calculat din următoarea formulă:

Este marcat aici: A, bși cu - respectiv, ordonatele extreme şi medii ale diagramei momentelor încovoietoare ale stării efective M,

sunt ordonatele extreme și medii ale diagramei momentului încovoietor, dar numai stare auxiliară.

Regula semnului: dacă ambele ordonate „înmulțite” sunt situate în două diagrame pe o parte a axei parcelei (adică sunt de același semn), apoi înaintea produsului lor trebuie să punem semnul "la care se adauga: ce dacă ei pe laturile opuse din axa parcelei, apoi punem semnul in fata lucrarii "minus".

Trebuie avut în vedere faptul că metodele de „multiplicare” a diagramelor (pe lângă metoda Simpson, este și cunoscută metoda lui Vereshchagin) sunt aplicabile numai dacă există doua conditii:

  1. Rigiditatea la încovoiere a grinzii în zona luată în considerare ar trebui să fie constantă (EI= Const),
  2. Una dintre cele două diagrame de moment din această secțiune ar trebui să fie neapărat liniară. În acest caz, ambele diagrame nu ar trebui să aibă fractură.

Dacă există mai multe site-uri pe o grindă care îndeplinește aceste două condiții, formula pentru determinarea deplasărilor ia forma:

Dacă rezultatul calcule se dovedește a fi pozitiv, atunci, prin urmare, direcția mișcării dorite coincide cu direcția „factorului de forță unic”(), iar dacă rezultatul este negativ, atunci mișcarea dorită are loc în direcția opusă acestui factor.

Formula lui Simpson, scrisă în termeni de momente, arată astfel: deplasările (deformarea sau unghiul de rotație) sunt egale

Unde li – lungimea secțiunii;

Eii – rigiditatea fasciculului Locația activată;

M F – valorile momentelor încovoietoare din diagrama sarcinii, respectiv parcela;

– valorile momentelor încovoietoare dintr-o singură diagramă, respectiv la început, mijloc și sfârșit site-ul.

La înmulțirea diagramelor, va fi util să se determine curbele ordonate ale momentelor încovoietoare:

, Unde

Sarcină

Determinați unghiul de rotație al secțiunii pe suportul din stânga φ DAR

1) Găsiți susține reacțiile stării actuale .

2) Clădire diagrama momentelor stării realeM.

3) Alegerea unei stări auxiliare pentru a determina unghiul de rotație φ DAR.

4) Găsirea reacțiilor de sprijin ale stării auxiliare

Reacționăm la semnul minus.

5) Construirea unei diagrame a momentelor stării auxiliare:

6) „Înmulțirea” parcelelor

Deoarece unul dintre ele (și anume) este liniar pe toată durata și nu are o pauză, iar diagrama M de asemenea, fără o fractură, atunci va exista o singură secțiune în formula Simpson și apoi

Semnul plus indică faptul că secțiunea DAR se întoarce spre „momentul unic”

prosopromat.ru

Formula lui Simpson pentru determinarea deplasărilor

Pentru a determina deplasarea folosind formula Simpson, trebuie să:

  1. Construi diagrama marfului momente (graficul momentelor din acțiunea tuturor sarcinilor externe).
  2. Construi diagramă unică momente. Pentru a face acest lucru, în secțiunea în care este necesar să se determine deplasarea liniară (deformarea), aplicați o forță unitară și determinați deplasarea unghiulară - un singur moment și trasați momentele încovoietoare din acest singur factor.
  3. Înmulțiți diagramele (sarcină și unitate) conform formulei, care se numește formula Simpson:

Unde eu- lungimea secțiunii;

EI i- rigiditatea grinzii pe șantier;

marfă diagrame, respectiv

sunt valorile momentelor încovoietoare cu singur diagrame, respectiv

Dacă sunt situate ordonatele diagramelor pe o parte a axei fasciculului, atunci semnul „+” este luat în considerare la înmulțire, dacă este diferit, atunci semnul „-”.

prosopromat.ru

2.8 Opțiuni de bază pentru înmulțirea diagramelor

Evident, varietatea aplicate
sarcini și scheme geometrice
desene duce la diferite, cu
din punct de vedere al geometriei, multiplicat
diagrame. Pentru a implementa regula Vereshchagin
trebuie să cunoașteți zona geometrică
figurile și coordonatele centrelor lor de greutate.
Figura 29 prezintă unele dintre principalele
opțiunile care apar în practică
calcule.

Pentru a multiplica parcele de formă complexă
ele trebuie defalcate în altele mai simple.
De exemplu, pentru a înmulți două parcele,
având forma unui trapez, aveți nevoie de unul dintre ele
împărțit într-un triunghi și un dreptunghi,
înmulțiți aria fiecăruia
ordonata celei de-a doua diagrame, situată
sub centrul de greutate corespunzător,
și adună rezultatele. În mod similar
sunt de asemenea folosite pentru a multiplica curbilinii
trapez la orice diagramă liniară.

Dacă pașii de mai sus sunt îndepliniți
în vedere generala, atunci obținem pentru așa ceva
cazuri dificile formule potrivite pentru
utilizare în calcule practice
(Fig. 30). Deci, rezultatul înmulțirii
două trapeze (Fig. 30, a):

Orez. 29

Prin formula (2.21), putem înmulți și
diagrame care arată ca „răucite”
trapeze (Fig. 30,b), dar produsul
ordonate situate pe laturi opuse
din axele diagramelor, luate în considerare cu semn
minus.

Dacă se conturează una dintre diagramele multiplicate
pe parabolă pătrată(care corespunde
încărcare distribuită uniform
încărcare), apoi pentru înmulțirea cu
a doua diagramă (neapărat liniară).
este considerată ca o sumă (Fig. 30, c) sau
diferență (Fig. 30, d) trapezoidală și
diagrama parabolica. Rezultat
se determină înmulţirea în ambele cazuri
formulă:

dar se determină valoarea lui f în acest caz
diferit (Fig. 30, c, d).

Orez. treizeci

Pot exista cazuri în care niciunul dintre
diagramele multiplicate nu este
rectilinie, dar cel puțin una dintre ele
delimitat de linii drepte întrerupte.
Pentru a multiplica astfel de diagrame
pre-divizat în segmente
în cadrul fiecăruia dintre care cel puţin
cel puțin o parcelă este dreaptă.

Luați în considerare utilizarea regulii
Vereshchagin pe exemple specifice.

Exemplul 15 Determinați abaterea la
mijlocul travei și unghiul de rotație din stânga
secțiune de referință a unei grinzi încărcate
sarcina uniform distribuita
(Fig. 31, a), prin metoda Vereshchagin.

Secvența metodei de calcul
Vereshchagin - la fel ca și în metodă
Mora, deci luați în considerare cele trei state
grinzi: marfă - în acţiune
sarcină distribuită q; -l
corespunde diagramei M q (Fig. 31b),
și două state singure - sub acțiune
putere
aplicat la punctul C (diagrama
,
Fig. 31, c) și momentul
,
aplicat la punctul B (diagrama
,
Fig. 31d).

Deformarea fasciculului în mijlocul travei:

S-a obţinut un rezultat similar
mai devreme prin metoda lui Mohr (vezi exemplul 13). Ar trebui să
acordați atenție faptului că
s-a efectuat multiplicarea diagramelor pentru
jumătate din fascicul și apoi, din cauza simetriei,
rezultatul s-a dublat. Dacă zona
a întregii diagrame M q înmulțiți cu
sub centrul său de greutate
ordonata diagramei
(
pe
Fig. 31, c), atunci valoarea deplasării va fi
complet diferit și greșit
diagramă
delimitat de o linie întreruptă. Pe
inacceptabilitatea unei astfel de abordări
menționat mai sus.

Și când se calculează unghiul de rotație al secțiunii
în punctul B, puteți înmulți aria diagramei M q cu cea situată sub centrul acesteia
graficul ordonatei gravitaționale
(
,
Fig. 31, d), deoarece diagrama
delimitat de o linie dreaptă:

Acest rezultat se potrivește și cu
rezultatul obtinut anterior prin metoda
Mora (vezi exemplul 13).

Orez. 31

Exemplul 16 Definiți orizontală
și deplasarea verticală a punctului A în
cadru (Fig. 32, a).

Ca în exemplul anterior, pentru a rezolva
trei sarcini de luat în considerare
stări ale cadrului: marfă și două simple.
Graficul momentelor M F corespunzătoare
prima stare, prezentată pe
Fig. 32b. Pentru a calcula orizontala
deplasările sunt aplicate în punctul A de-a lungul
direcția mișcării dorite (de ex.
orizontal) forţă
,
și pentru a calcula verticala
forța de deplasare
se aplică pe verticală (Fig. 32, c, e).
Loturi corespunzătoare
și
sunt prezentate în Fig. 32, d, f.

Mișcarea orizontală a punctului A:

La calcul

pe secțiunea AB trapez (pur M F)
împărțit într-un triunghi și un dreptunghi,
după care triunghiul din diagramă
„înmulțit”
pentru fiecare dintre aceste cifre. Pe secțiunea de avioane
trapezul curbiliniu se împarte în
triunghi curbiliniu și dreptunghi,
și pentru înmulțirea diagramelor din secțiunea SD
se utilizează formula (2.21).

Semnul „-” obținut în calcul

,
înseamnă că punctul A se deplasează
orizontală nu spre stânga (în această direcție
forta aplicata
),
dar la dreapta.

Aici semnul „-” înseamnă că punctul
Se mișcă în jos, nu în sus.

Rețineți că diagramele unice ale momentelor,
construit din putere

,
au dimensiunea lungimii și unitatea
diagrame de momente construite din moment
,
sunt adimensionale.

Exemplul 17. Definiți verticala
deplasarea punctului A plan-spațial
sisteme (Fig. 33a).

Fig.23

După cum se ştie (vezi cap. 1), în transversal
secțiuni transversale ale barelor de plat-spațial
sistemele apar trei interne
factori de forță: forța transversală Q y ,
momentul încovoietor M x și cuplul
moment M cr. Din moment ce influenţa
forța tăietoare pe deplasare
ușor (vezi exemplul 14,
Fig. 27), apoi la calcularea deplasării
metoda lui Mohr și Vereshchagin din șase
au mai rămas doar doi termeni.

Pentru a rezolva problema, construim diagrame
momentele încovoietoare M x,q și cuplul
momentele M kr, q de la sarcina externă
(Fig. 33, b), iar apoi în punctul A aplicăm forța
în direcția mișcării dorite,
acestea. vertical (Fig. 33, c) și construiți
diagrame unice ale momentelor încovoietoare
și cuplul
(Fig. 33d).
Săgețile de pe diagramele de cuplu
direcțiile de răsucire afișate
site-uri relevante
sistem spațial plat.

Mișcarea verticală a punctului A:

La înmulțirea diagramelor de cupluri
produsul este luat cu semnul „+”,
dacă săgețile indică direcția
torsiune, codirecțională și cu semnul ”
- " - in caz contrar.

studfiles.net

Înmulțirea diagramelor prin metoda Vereshchagin

Pentru a calcula este necesar să efectuați următoarele operații:

1. Construiți curbe ale momentelor încovoietoare Domnulși Mk respectiv din încărcările date şi unice ale grinzii. Cu încărcare complexă a fasciculului (Fig. 19, A) urmează: fie o diagramă Domnulîmpărțit în părți simple, pentru care se cunosc dimensiunea zonei și poziția centrului de greutate (Fig. 19, b) sau (de preferință) grafic Domnulîn formă stratificată (Fig. 19, c).

Dacă fasciculul are o secțiune variabilă în trepte, diagrama Domnul trebuie să fie, în plus, împărțit în secțiuni, în cadrul cărora rigiditatea secțiunii este constantă.

2. Pe fiecare secțiune, înmulțiți aria ω a uneia dintre diagrame (de exemplu, diagrame Domnul) la ordonata DOMNIȘOARĂ alte parcele (de exemplu, parcele Mk) sub centrul de greutate al primei diagrame și împărțiți produsul rezultat la factorul de treaptă j.

În același timp, ordonata DOMNIȘOARĂ trebuie luată pe diagramă, care în zona luată în considerare variază după o lege liniară (fără întrerupere). Dacă diagrama este o linie întreruptă, ar trebui să fie împărțită în secțiuni, în care se va dovedi a fi liniară.

3. Calculați suma termenilor specificati la paragraful 2.

Formula de determinare a mișcării metodei luate în considerare

unde însumarea se realizează pe toate secțiunile grinzii

Zonele și coordonatele centrelor de greutate ale unor diagrame sunt date în tabel. 11. Rezultatele înmulțirii marfurilor care apar frecvent și diagramelor unice sunt prezentate în tabel. 12.

Exemplu. Determinați unghiul de rotație ­ cheniya LA grindă în trepte (vezi Fig. 19, a).

După ce au determinat reacțiile de suport A și B , construiți o diagramă Domnulîn fig. nouăsprezece, bși în sunt prezentate diagrame nestratificate și stratificate Domnul. Aplicând un singur moment punctului B al grinzii eliberate de sarcină, construim o singură diagramă M1(Fig. 19. d).

Folosind diagrama stratificată Mr, conform formulei 36 și tabelului. 12 determinați unghiul de rotație dorit al secțiunii B:


Smochin. 20

Exemplu. Determinați deformarea în punctul K a unei grinzi de secțiune transversală constantă (Fig. 20, a).

Aplicând o forță unitară în punctul K, eliberat de o sarcină dată a grinzii, construim o diagramă unitară a momentelor încovoietoare Mk (Fig. 20, b).
După ce au determinat reacțiile de sprijin de la o sarcină dată

tăiați consola și înlocuiți-o cu alimentare qa și momentul (Fig. 20, c).

Să construim o diagramă stratificată M (din fiecare tip de sarcină separat), apropiindu-ne de punctul de rupere al unei singure diagrame Mk pe ambele părți (Fig. 20, i ).

Conform formulei (36) folosind tabelul. 12 determinați deplasarea necesară

Soluție de comandă Metodă de plată

funnystudy.com

Determinarea deplasărilor într-un fascicul folosind formula Simpson

Pentru o grindă, determinați deplasările liniare și unghiulare în punctele A, B, C, după selectarea secțiunii grinzii I din condiția de rezistență.

Dat:A=2 m,b=4 m, s=3 m,F=20 kN, M=18 kNm,q=6 kN/m, σadm=160 MPa, E=210 5 MPa



1) Desenăm o diagramă a grinzii, determinăm reacțiile de sprijin.Într-o terminare grea, există 3 reactii - verticală și orizontală, precum și punct de ancorare. Deoarece nu există sarcini orizontale, reacția corespunzătoare este zero. Pentru a găsi reacțiile în punctul E, compunem ecuații de echilibru.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

RE =-q7+F=-67+20=-22kN(semnul indică faptul că

Sa gasim moment de ancorare în atașament rigid, pentru care rezolvăm ecuația momentelor față de orice punct ales.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(semnul indică faptul că reacția este îndreptată în direcția opusă, arătăm acest lucru în diagramă)

2) Construim diagrama sarcinii M F - diagrama momentelor de la o sarcină dată.

Pentru a construi diagrame de momente, găsim momente în puncte caracteristice. LA punctul B determina momentele atât din dreapta cât și din stânga, deoarece în acest moment se aplică un moment.

Pentru a construi o diagramă a momentului pe linia de acțiune a unei sarcini distribuite (secțiuni AB și BC) avem nevoie puncte suplimentare pentru a trasa curba. Să definim momentele in mijloc aceste zone. Acestea sunt momentele din punctele medii ale secțiunilor AB și BC 15,34 kNm și 23,25 kNm. Construim diagrama încărcăturii.

3) Pentru a determina deplasările liniare și unghiulare într-un punct, este necesar să se aplice în acest punct, în primul caz, forță unitară (F=1)și trasează momentele, în al doilea caz, un singur moment (M=1) și trasați diagrama momentelor. Construim diagrame din sarcinile unitare pentru fiecare punct - A, B și C.

4) Pentru a găsi deplasările, folosim formula Simpson.

Unde l i - lungimea secțiunii;

EI i- rigiditatea grinzii pe șantier;

M F– valorile momentelor încovoietoare din diagrama sarcinii, respectiv la început, la mijloc și la sfârșitul secțiunii;

– valorile momentelor încovoietoare dintr-o singură diagramă, respectiv la începutul, mijlocul și sfârșitul secțiunii.

Dacă ordonatele diagramelor sunt situate pe o parte a axei fasciculului, atunci semnul „+” este luat în considerare la înmulțire, dacă din altele, atunci semnul „-”.

Dacă rezultatul a rezultat cu semnul „-”, atunci mișcarea dorită în direcția nu coincide cu direcția factorului de forță unitar corespunzător.

Considera aplicarea formulei Simpson pe exemplul determinării deplasărilor în punctul A.

Să definim abatere,înmulțirea diagramei de sarcină cu diagrama dintr-o forță unitară.

Deviația s-a dovedit cu semnul „-”.înseamnă deplasarea necesară direcția nu coincide cu direcția forței unitare (direcționată în sus).

Să definim unghi de rotatie, înmulțind diagrama de sarcină cu diagrama dintr-un singur moment.

Unghiul de rotație este cu semnul „-”.înseamnă că mișcarea dorită în direcția nu coincide cu direcția momentului unic corespunzător (direcționat în sens invers acelor de ceasornic).

5) Pentru a determina valorile specifice deplasării, este necesar să selectați o secțiune. Selectăm secțiunea fasciculului I

Unde Mmax- Acest momentul maxim pe diagrama momentului de sarcină

Selectam dupa sortiment Grinda I nr. 30 cu L x \u003d 472 cm 3 și I x \u003d 7080 cm 4

6) Determinăm deplasările în puncte, revelatoare rigiditatea secțiunii: E - modulul de elasticitate longitudinală al materialului sau modulul Young (2 10 5 MPa),Jx- moment axial inerția secțiunii

Deviație în punctul A (sus)

Unghi de rotație (în sens invers acelor de ceasornic)

Dacă trebuie să construiți axa fasciculului curbat, apoi fasciculul este desenat fără sarcină și deviațiile sunt trasate în punctele din direcțiile corespunzătoare - se construiește o curbă netedă - axa curbă a grinzii.

prosopromat.ru

Înmulțirea diagramelor în conformitate cu regula, metoda sau metoda Mora-Vereshchagin

Hei! În acest articol, vom învăța să determinăm deplasarea secțiunilor transversale în timpul îndoirii: deviații și unghiuri de rotație, conform metodei (metodă, regulă) a lui Vereshchagin. În plus, această regulă este utilizată pe scară largă nu numai în determinarea deplasărilor, ci și în dezvăluirea indeterminației statice a sistemelor care utilizează metoda forței. Vă voi spune despre esența acestei metode, despre cum se înmulțesc diagramele de complexitate diferită și când este benefic să folosiți această metodă.

Ce trebuie să știi pentru a stăpâni cu succes materialele acestei lecții?

Este imperativ să știți cum este construită diagrama momentelor încovoietoare, deoarece în acest articol vom lucra cu această diagramă.

Vereshchagin și metoda, regula sau metoda lui

A.K. Vereșchagin în 1925 a propus o modalitate mai simplă de a rezolva (formula) integralei Mohr. În loc să integreze două funcții, el a sugerat înmulțirea diagramelor: înmulțirea ariei unei diagrame cu ordonata celei de-a doua diagrame sub centrul de greutate al primei diagrame. Această metodă poate fi folosită atunci când una dintre diagrame este dreaptă, a doua poate fi oricare. În plus, ordonata este luată ca o diagramă rectilinie. Când diagramele sunt ambele rectilinie, atunci nu contează deloc a cui zonă să ia și a cui ordonată. Astfel, parcelele conform Vereshchagin sunt înmulțite după următoarea formulă:​

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \omega )_( C )\cdot ( \overline ( M ) )_( C ) \)​

Înmulțirea diagramelor conform Vereshchagin este ilustrată: C - centrul de greutate al primei diagrame, ωс - aria primei diagrame, Mc - ordonata celei de-a doua diagrame sub centrul de greutate al primei.

Aria și centrul de greutate al parcelelor

Când se utilizează metoda Vereshchagin, întreaga suprafață a parcelei nu este luată deodată, ci în părți, în cadrul parcelelor. Diagrama momentelor încovoietoare este stratificată în figuri simple.

Orice diagramă poate fi stratificată în doar trei forme: un dreptunghi, triunghi dreptunghicși un segment parabolic.

Înmulțirea diagramelor conform Vereshchagin

În acest bloc al articolului voi arăta cazuri speciale de înmulțire a diagramelor conform Vereshchagin.

Dreptunghi în dreptunghi

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot c ) \)​

Dreptunghi în triunghi

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

triunghi în dreptunghi

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( 1 )( 2 ) \cdot b\cdot h\cdot c ) \)​

segment pe dreptunghi

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot c ) \)​

Segment pe triunghi

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

Cazuri particulare de stratificare a diagramelor în figuri simple

În acest bloc al articolului voi prezenta cazuri particulare de stratificare a diagramelor în figuri simple, pentru posibilitatea înmulțirii lor conform Vereshchagin.

Dreptunghi și Triunghi

Două triunghiuri

Două triunghiuri și un segment

Triunghi, dreptunghi și segment

Un exemplu de determinare a deplasărilor: deviații și unghiuri de rotație conform Vereshchagin

Acum îmi propun să luăm în considerare un exemplu specific cu calculul deplasărilor secțiunilor transversale: deviațiile și unghiurile de rotație ale acestora. Să luăm o grindă de oțel care este încărcată cu tot felul de sarcini și să determinăm deformarea secțiunii C, precum și unghiul de rotație al secțiunii A.

Trasarea momentelor încovoietoare

În primul rând, calculăm și trasăm diagrama momentului încovoietor:

Construirea de diagrame unice de momente

Acum, pentru fiecare deplasare dorită, este necesar să se aplice o sarcină unitară (o valoare adimensională egală cu unu) și să se construiască diagrame de unitate:

  • Pentru deviații, se aplică forțe unitare.
  • Pentru unghiurile de rotație se aplică momente simple.

Mai mult, direcția acestor sarcini nu este importantă! Calculul va arăta direcția corectă de mișcare.

De exemplu, după calcul, valoarea deflexiunii s-a dovedit a fi pozitivă, ceea ce înseamnă că direcția de deplasare a secțiunii coincide cu direcția forței aplicate anterior. Același lucru este valabil și pentru unghiurile de rotire.

Înmulțirea parcelelor conform Vereshchagin

La urma urmelor munca pregatitoare: construind o diagramă a momentelor încovoietoare, stratificând-o în figuri elementare și construind diagrame unice din sarcinile aplicate în locuri și în direcția deplasărilor dorite, puteți trece direct la înmulțirea diagramelor corespunzătoare.

După cum a fost deja scris mai sus, diagrame liniare poate fi înmulțit în orice ordine, adică luați aria oricărui teren: principal sau unic și înmulțiți cu ordonata celuilalt. Dar de obicei, pentru a nu se încurca în calcule, se iau zonele schema de bază a momentelor încovoietoare, în această lecție vom respecta aceeași regulă.

Determinarea deformarii secțiunii C

Înmulțim diagramele corespunzătoare de la stânga la dreapta și calculăm deformarea secțiunii C folosind metoda Mohr-Vereshchagin:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2+\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 2\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2)=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I ) _( X ) ) \]

Imaginați-vă că fasciculul calculat are o secțiune transversală sub forma unui fascicul I nr. 24 conform GOST 8239-89, atunci deformarea fasciculului va fi egală cu:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I )_( x ) ) =\frac ( 20\cdot ( 10 )^( 9 )Н\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =0,289cm \]

Determinarea unghiului de rotație al secțiunii C

Înmulțim diagramele corespunzătoare de la stânga la dreapta și calculăm unghiul de rotație al secțiunii C conform regulii Mohr-Vereshchagin:

\[ ( \theta )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (-\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 1 )( 3 ) \cdot 1)=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) \]

\[ ( ( \theta ) )_( C )=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) =-\frac ( 3\cdot ( 10 )^( 7 )H\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =- 0,0004 rad \]

sopromats.ru

Formule trapezoidale și Simpson

Să folosim
Regula lui Vereșchagin pentru înmulțire
două diagrame rectilinie având forma
trapez. Să împărțim ambele trapeze în
triunghiuri ale căror arii și
pozitia centrelor de greutate este usoara
sunt determinate.

Diagramă
M F

ω 1

C 1 C 2

ω 2

Diagramă

Noi
a primit formulă
trapez,
conform
care operele respectivelor
ordonatele din stânga și dreapta ale diagramelor
produse duble și încrucișate
ordonate să ia singur, iar rezultatul
înmulțiți suma cu o șesime din lungime
diagramă.

Considera
cazul în care este prezentată diagrama de sarcină
parabolă pătrată și o singură diagramă
- un trapez.

ω P.S.

De-a lungul
cu ordonatele extreme indicăm mediile.

Să zdrobim
diagramă curbilinie pe un trapez și
segment parabolic.

Să producem
înmulțirea cifrelor corespunzătoare.

Expresie
eu T
noi avem. Sa gasim
.

Pătrat
segment parabolic:

Ordonată
un singur teren sub centrul de greutate
segment parabolic:

După
înlocuiri pe care le primim formulă
Simpson:

Muncă
două diagrame este egală cu suma produselor
ordonate extreme și cvadruple
produsul ordonatelor medii, înmulțit
o șesime din lungimea diagramelor.

§7. Calculul forței sistemelor de tije static nedeterminate (sns).

static
sistemele indefinibile (SNS) au
avantaje și dezavantaje comparate
cu sisteme determinate static
(SOS).

Avantaje:

    SNA
    au o capacitate de supraviețuire mai mare
    operațiune de încărcare decât SOS. LA
    SOS practic toate elementele
    sunt la fel de stresați și, prin urmare, au
    rezerve de putere numai în interior
    factor de securitate k
    =1,5
    – 2. Dacă măcar un element merge
    până la starea limită, întreaga structură
    va primi invalid din punct de vedere
    norme de calcul al deformării sau prăbușirii.
    SNS este o structură tensionată inegal
    iar în timpul trecerii celor mai stresante
    element la starea limită,
    are loc o redistribuire a efortului
    de la sarcina crescută pe cei mai puțin solicitați
    elemente.

    SNS,
    datorită prezenţei conexiunilor redundante şi excesive
    rigiditatea elementelor individuale, mai puțin
    deformativ decât SOS, adică au mai putin
    mișcări unghiulare liniare.

Dezavantaje:

    SNA
    sunt mai greu de calculat decât SOS, care
    datorită prezenței excesului
    (extra) conexiuni. Complexitatea calculului
    SNS este proporțional cu a treia putere
    numărul de conexiuni suplimentare, de ex.
    .
    De exemplu, dacă pentru două sisteme n 1 =1,
    n 2 =4 ,
    apoi
    t 1 = α ,
    t 2 =64α,
    acestea. timpul de calcul crește de 64 de ori.

    LA
    Distribuția SNS a forțelor în elemente
    depinde de dimensiunile lor geometrice,
    a cărui definiție, la rândul său,
    este sarcina principală a rezistenței
    materiale. Astfel, există
    necesitatea unei numiri a priori
    rigiditate la încovoiere și transversală
    secțiuni de tije individuale: (EY) k =α k (EY),
    ceea ce duce la ambiguitate
    solutii constructive.

Mai mult
misiuni reușite de rigiditate, în funcție de
din înţelegerea esenţei sarcinilor de rezistenţă
materialele vor duce la crearea mai multor
modele optime.

    LA
    SNS poate părea dificil
    previzibil în mărime
    stare de stres-deformare,
    cauzate de schimbările de temperatură
    și proiect independent de suporturi. Schimbare
    temperatura unuia dintre elementele cauze
    apariţia tensiunilor termice
    în toate tijele SNS. La fel ca inexactitatea
    fabricarea uneia dintre tije sau
    deplasarea unei legături provoacă apariția
    tensiuni de instalare la toate tijele.
    În SOS, astfel de stres nu apar.

Considera
principalele metode de calcul al SCN când
sarcini statice.

Dezavantajul metodei lui Mohr este necesitatea de a obține valorile factorilor de forță interne incluși în expresiile integrante ale formulelor (2.18) și (2.19), în termeni generali, ca funcții ale lui z, care devine destul de laborioasă deja cu două sau trei segmente de compartimentare in grinzi si mai ales in rame.

Rezultă că acest neajuns poate fi evitat dacă integrarea directă în formulele Mohr este înlocuită cu așa-numitele prin înmulțirea diagramelor. O astfel de înlocuire este posibilă în cazurile în care cel puțin una dintre diagramele multiplicate este rectilinie. Această condiție este îndeplinită de toate sistemele formate din tije rectilinii. Într-adevăr, în astfel de sisteme, diagrama construită din forța unitară generalizată va fi întotdeauna rectilinie.

Metoda de calcul a integralei Mohr prin înlocuire integrare directă se numeşte înmulţirea diagramelor corespunzătoare metoda (sau regula) Vereshchagin și constă în următoarele: pentru a înmulți două diagrame, dintre care cel puțin una este rectilinie, trebuie să înmulțiți aria unei diagrame (dacă există o diagramă curbilinie, atunci aria acesteia trebuie să fie) înmulțită cu ordonata celeilalte diagrame, situată sub centrul de greutate al primei.

Să dovedim validitatea acestei reguli. Luați în considerare două diagrame (Fig. 28). Fie unul dintre ele (Mn) să fie încărcătură și să aibă un contur curbiliniu, iar al doilea corespunde unei încărcări unitare și este liniar.

Din fig. 28 rezultă că Să substituim valorile în expresie

unde este diferența de suprafață a diagramei Mn.


Orez. 28

Integrala este momentul static al ariei relativ la axa O - O1, în timp ce:

unde zc este abscisa centrului de greutate al zonei, atunci:

Având în vedere că obținem:
(2.20)
Expresia (2.20) determină rezultatul înmulțirii a două diagrame, și nu deplasarea. Pentru a obține deplasarea, acest rezultat trebuie împărțit la rigiditatea corespunzătoare factorilor de forță interni sub semnul integral.

Principalele opțiuni pentru multiplicarea diagramelor

Este evident că varietatea sarcinilor aplicate și a schemelor geometrice ale structurilor conduce la diagrame multiplicate diferite, din punct de vedere al geometriei. Pentru implementare regulile lui Vereșchagin trebuie sa stii zona forme geometriceși coordonatele centrelor lor de greutate. Figura 29 prezintă câteva dintre opțiunile principale care apar în calculele practice.

Pentru înmulțirea diagramei de formă complexă, ele trebuie împărțite în unele simple. De exemplu, pentru a multiplica două diagrame care arată ca un trapez, trebuie să împărțiți una dintre ele într-un triunghi și un dreptunghi, înmulțiți aria fiecăreia dintre ele cu ordonata celei de-a doua diagrame situată sub centrul corespunzător. de gravitație și adăugați rezultatele. Același lucru se face și pentru înmulțirea unui trapez curbiliniu cu orice diagramă liniară.

Dacă acțiunile de mai sus sunt efectuate într-un mod general, atunci vom obține formule pentru astfel de cazuri complexe care sunt convenabile pentru utilizare în calcule practice (Fig. 30). Deci, rezultatul înmulțirii a două trapeze (Fig. 30, a):

(2.21)



Orez. 29

Conform formulei (2.21), este posibil să se înmulțească diagrame care arată ca niște trapeze „răsucite” (Fig. 30, b), dar în acest caz se ia produsul ordonatelor situate pe laturile opuse ale axelor diagramelor. luați în considerare cu semnul minus.

Dacă unul dintre parcele înmulțite este conturat printr-o parabolă pătrată (care corespunde încărcării cu o sarcină uniform distribuită), apoi pentru înmulțirea cu a doua diagramă (neapărat liniară), este considerată sumă (Fig. 30, c) sau diferență (Fig. 30, d) a diagramelor trapezoidale şi parabolice. Rezultatul înmulțirii în ambele cazuri este determinat de formula:
(2.22)

dar valoarea lui f este determinată în moduri diferite (Fig. 30, c, d).



Orez. treizeci

Există cazuri când niciuna dintre diagramele multiplicate nu este rectilinie, dar cel puțin una dintre ele este limitată de linii drepte întrerupte. Pentru a multiplica astfel de diagrame, acestea sunt mai întâi împărțite în secțiuni, în cadrul fiecăreia, cel puțin o diagramă este rectilinie.
Luați în considerare utilizarea regulile lui Vereșchagin pe exemple concrete.

Exemplul 15 Determinați deformarea în mijlocul travei și unghiul de rotație al secțiunii de sprijin din stânga a grinzii încărcate cu o sarcină distribuită uniform (Fig. 31, a), Calea lui Vereșchagin.

Secvența de calcul Calea lui Vereșchagin- la fel ca în metoda Mohr, deci, considerăm trei stări ale grinzii: sarcină - sub acţiunea unei sarcini distribuite q; corespunde diagramei Mq (Fig. 31,b) și două stări simple - sub acțiunea unei forțe aplicate în punctul C (diagrama , Fig. 31, c) și unui moment aplicat în punctul B (diagrama , Fig. 31, d).

Deformarea fasciculului în mijlocul travei:

Un rezultat similar a fost obţinut mai devreme prin metoda lui Mohr (vezi Exemplul 13). Trebuie acordată atenție faptului că înmulțirea diagramelor a fost efectuată pentru jumătate din fascicul, iar apoi, din cauza simetriei, rezultatul a fost dublat. Dacă aria întregii diagrame Mq este înmulțită cu ordonata diagramei situată sub centrul său de greutate (în Fig. 31, c), atunci valoarea deplasării va fi complet diferită și incorectă, deoarece diagrama este limitată printr-o linie întreruptă. Inadmisibilitatea unei astfel de abordări a fost deja subliniată mai sus.

Și atunci când calculați unghiul de rotație al secțiunii în punctul B, puteți înmulți aria diagramei Mq cu ordonata diagramei situată sub centrul său de greutate (Fig. 31, d), deoarece diagrama este limitată printr-o linie dreaptă:

Acest rezultat coincide de asemenea cu rezultatul obținut anterior prin metoda lui Mohr (vezi Exemplul 13).


Orez. 31

Exemplul 16 Determinați deplasarea orizontală și verticală a punctului A în cadru (Fig. 32, a).

Ca și în exemplul anterior, pentru a rezolva problema, este necesar să se ia în considerare trei stări ale cadrului: marfă și două stări simple. Graficul momentelor MF corespunzătoare primei stări este prezentat în Fig. 32b. Pentru a calcula deplasarea orizontală, aplicăm o forță în punctul A în direcția deplasării dorite (adică pe orizontală), iar pentru a calcula deplasarea verticală, aplicăm forța pe verticală (Fig. 32, c, e). Diagramele corespunzătoare și sunt prezentate în Fig. 32, d, f.

Mișcarea orizontală a punctului A:



Când se calculează pe secțiunea AB, trapezul (parcela MF) este împărțit într-un triunghi și un dreptunghi, după care triunghiul din diagramă este „înmulțit” cu fiecare dintre aceste cifre. Pe secțiunea BC, trapezul curbiliniu este împărțit într-un triunghi curbiliniu și un dreptunghi, iar formula (2.21) este folosită pentru a multiplica diagramele pe secțiunea SD.

Semnul „-” obținut în timpul calculului înseamnă că punctul A se deplasează orizontal nu spre stânga (se aplică o forță în această direcție), ci spre dreapta.

Acțiune