The material metodic are scop de referință și acoperă o gamă largă de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor principalelor funcții elementare și ia în considerare cea mai importantă problemă - cum să construiți corect și RAPID un grafic. În timpul studiului matematica superioara fără cunoștințe de diagrame de bază functii elementare va fi greu, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc., amintiți-vă câteva valori ale funcției. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu mă pretind a fi materiale complete și temeinice din punct de vedere științific, accentul va fi pus, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care trebuie să te confrunți literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? Se poate spune si asa.

La cererea populară din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală, poate fi vizualizată o versiune demo. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și începem imediat:

Cum să construiți corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna întocmite de către elevi în caiete separate, aliniate într-o cușcă. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru designul de înaltă calitate și precis al desenelor.

Orice desen al unui grafic al funcției începe cu axe de coordonate.

Desenele sunt bidimensionale și tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene:

1) Desenăm axele de coordonate. Axa se numește axa x , și axa axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu majuscule „x” și „y”. Nu uitați să semnați topoarele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trage zero și doi unu. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și obișnuită este: 1 unitate = 2 celule (desenul din stânga) - rămâneți de ea dacă este posibil. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe o foaie de caiet - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Rareori, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU mâzgăliți dintr-o mitralieră... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. Am pus zeroȘi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „detecți” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va seta, de asemenea, grila de coordonate în mod unic.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a fi desenat desenul.. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este destul de clar că scara populară 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la subiect - aici trebuie să măsori cincisprezece centimetri în jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că sunt 15 centimetri în 30 de celule de notebook? Măsoară într-un caiet pentru dobândă 15 centimetri cu o riglă. În URSS, poate că acest lucru a fost adevărat ... Este interesant de remarcat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, atunci rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare de papetărie. Până în prezent, majoritatea caietelor puse în vânzare, fără să spună cuvinte rele, sunt complet spiriduși. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisiți pe hârtie. Pentru clearance lucrări de control Recomand să folosiți caietele fabricii de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, cușcă) sau Pyaterochka, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină reumplere chinezească cu gel este mult mai bună decât un pix, care fie untează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” din memoria mea este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și stabil - fie cu tulpina plină, fie cu una aproape goală.

În plus: viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiular prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială, informații detaliate despre sferturile de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenăm axe de coordonate. Standard: aplica axa – îndreptat în sus, ax – îndreptat spre dreapta, ax – în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Semnăm axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scala de-a lungul axei - de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că, în desenul din dreapta, am folosit un "serif" non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu trebuie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” unitatea până la origine.

Când faceți din nou un desen 3D - acordați prioritate la scară
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt acolo pentru a fi încălcate. Ce am de gând să fac acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect în ceea ce privește designul adecvat. Aș putea desena toate graficele cu mâna, dar este foarte înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcția liniară este dată de ecuația . Graficul funcției liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Trasează funcția. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Daca atunci

Luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Daca atunci

La pregătirea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, calculator.

S-au găsit două puncte, să desenăm:

Când întocmim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Nu va fi de prisos să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am plasat legendele, semnăturile nu trebuie să fie ambigue atunci când studiați desenul. În acest caz, a fost extrem de nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Graficul de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construcția unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți un singur punct.

2) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției se construiește imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu -4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea construit imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, ei bine, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa, doar în anii de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau .

Desenarea unei linii drepte este cea mai comună acțiune atunci când faceți desene.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei care doresc pot consulta articolul Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul funcției patratice, graficul funcției cubice, graficul polinomial

Parabolă. Programa funcţie pătratică () este o parabolă. Considera caz celebru:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi învățat din articolul teoretic despre derivată și din lecția despre extremele funcției. Între timp, calculăm valoarea corespunzătoare a lui „y”:

Deci vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Hai sa facem un desen:

Din graficele luate în considerare, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoașterea aprofundată a curbei poate fi obținută în lecția Hiperbola și parabolă.

Parabola cubică este dată de funcția . Iată un desen cunoscut de la școală:

Enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul funcției

Reprezintă una dintre ramurile parabolei. Hai sa facem un desen:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul hiperbolei la .

Va fi o MARE greșeală dacă, la întocmirea unui desen, din neglijență, vei permite graficului să se intersecteze cu asimptota.

De asemenea, limite unilaterale, spune-ne că o hiperbolă nelimitat de susȘi nelimitat de jos.

Să explorăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas subțire infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul funcției, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, ceea ce înseamnă că hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt este evident din desen, în plus, poate fi ușor verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea cadran de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea cadran de coordonate.

Nu este dificil de analizat regularitatea specificată a locului de reședință al hiperbolei din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctual, în timp ce este avantajos să selectăm valorile astfel încât să se împartă complet:

Hai sa facem un desen:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, aici ciudatenia funcției va ajuta doar. În linii mari, în tabelul de construcție punctual, adăugați mental un minus fiecărui număr, puneți punctele corespunzătoare și desenați a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia considerată pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În acest paragraf, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri este exponentul care apare.

Vă reamintesc că - acesta este un număr irațional: , acesta va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte probabil suficient:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, despre asta mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

În principiu, graficele funcțiilor arată la fel etc.

Trebuie să spun că al doilea caz este mai puțin frecvent în practică, dar apare, așa că am simțit că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Se consideră o funcție cu logaritm natural.
Să facem un desen în linie:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniu:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală pentru graficul funcției cu „x” tinde spre zero în dreapta.

Asigurați-vă că cunoașteți și rețineți valoarea tipică a logaritmului: .

În mod fundamental, graficul logaritmului de la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. În același timp, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul, ceva ce nu-mi amintesc când am construit ultima dată un grafic pe o astfel de bază. Da, iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

În încheierea paragrafului, voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmicăsunt două funcții reciproc inverse. Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

Cum începe chinul trigonometric la școală? Dreapta. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie numit sinusoid.

Vă reamintesc că „pi” este un număr irațional:, iar în trigonometrie orbiește în ochi.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct. Ce înseamnă? Să ne uităm la tăietură. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniu: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

Funcții elementare și grafice ale acestora

Drept proporționalitatea. Funcție liniară.

Proporție inversă. Hiperbolă.

funcţie pătratică. Parabolă pătrată.

Funcția de putere. Functie exponentiala.

funcţie logaritmică. funcții trigonometrice.

Funcții trigonometrice inverse.

1.	valori proporționale. Dacă variabile yȘi X direct proporţional, atunci dependența funcțională dintre ele este exprimată prin ecuația: y = k X , Unde k- valoare constantă ( factor de proporționalitate). Programa Drept proporționalitatea- o linie dreaptă care trece prin origine și se formează cu axa X unghi a cărui tangentă este k:tan= k(Fig. 8). Prin urmare, se mai numește și coeficientul de proporționalitate factor de pantă. Figura 8 prezintă trei grafice pentru k = 1/3, k= 1 și k = 3 .
2.	Funcție liniară. Dacă variabile yȘi X legate prin ecuația de gradul I: Axe + By = C , unde cel puțin unul dintre numere A sau B nu este egal cu zero, atunci graficul acestei dependențe funcționale este linie dreapta. Dacă C= 0, atunci trece prin origine, altfel nu. Grafice de funcții liniare pentru diverse combinații A,B,C sunt prezentate în Fig.9.
3.	Verso proporționalitatea. Dacă variabile yȘi X înapoi proporţional, atunci dependența funcțională dintre ele este exprimată prin ecuația: y = k / X , Unde k- o valoare constantă. Graficul proporțional invers - hiperbolă (Fig. 10). Această curbă are două ramuri. Hiperbolele se obțin prin intersectarea unui con circular cu un plan (pentru secțiuni conice, vezi secțiunea „Con” din capitolul „Stereometrie”). După cum se arată în Fig. 10, produsul coordonatelor punctelor hiperbolei este o valoare constantă, în exemplul nostru egală cu 1. În cazul general, această valoare este egală cu k, care rezultă din ecuația hiperbolei: X y = k. Principalele caracteristici și proprietăți ale unei hiperbole: Domeniul de aplicare: X 0, interval: y 0 ; Funcția este monotonă (descrescătoare) la X< 0 iar la x > 0, dar nu per total monoton datorită punctului de rupere X= 0 (vă gândiți de ce?); Funcție nemărginită, discontinuă într-un punct X= 0, impar, neperiodic; - Funcția nu are zerouri.
4.	Funcția cuadratică. Aceasta este funcția: y = topor 2 + bx + c, Unde A, b, c- permanent, A 0. În cel mai simplu caz, avem: b=c= 0 și y = topor 2. Graficul acestei funcții parabolă pătrată - curba care trece prin origine (Fig. 11). Fiecare parabolă are o axă de simetrie OY, Care e numit axa parabolei. Punct O se numește intersecția unei parabole cu axa ei vârful parabolei. Graficul funcției y = topor 2 + bx + c este, de asemenea, o parabolă pătrată de același tip ca y = topor 2, dar vârful său nu se află la origine, ci în punctul cu coordonatele: Forma și locația parabolă pătratăîn sistemul de coordonate depinde complet de doi parametri: coeficient A la X 2 și discriminant D:D = b 2 – 4ac. Aceste proprietăți rezultă din analiza rădăcinilor ecuației pătratice (vezi secțiunea corespunzătoare din capitolul Algebră). Toate cazurile diferite posibile pentru o parabolă pătrată sunt prezentate în Fig.12.

Desenați o parabolă pătrată pentru caz A > 0, D > 0 .

Principalele caracteristici și proprietăți ale unei parabole pătrate:

Domeniul de aplicare:  < X+ (adică X R ), și zona

valori: … (Vă rugăm să răspundeți singur la această întrebare!);

Funcția în ansamblu nu este monotonă, ci la dreapta sau la stânga vârfului

se comportă ca un monoton;

Funcția este nelimitată, peste tot continuă, chiar și pentru b = c = 0,

și neperiodică;

- la D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Funcția de putere. Aceasta este funcția: y=ax n, Unde a, n- permanentă. La n= 1 obținem proporționalitate directă: y=topor; la n = 2 - parabolă pătrată; la n = 1 - proporționalitate inversă sau hiperbolă. Astfel, aceste funcții sunt cazuri speciale ale unei funcții de putere. Știm că puterea zero a oricărui număr altul decât zero este egală cu 1, prin urmare, când n= 0 funcția putere devine o constantă: y= A, adică graficul său este o dreaptă paralelă cu axa X, excluzând originea coordonatelor (vă rugăm să explicați de ce?). Toate aceste cazuri (cu A= 1) sunt prezentate în Fig. 13 ( n 0) și Fig.14 ( n < 0). Отрицательные значения X nu sunt luate în considerare aici, deoarece atunci unele funcții: Dacă n- întreg, funcții de putere să aibă sens și X < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n un număr par sau un număr impar. Figura 15 prezintă două astfel de funcții de putere: pentru n= 2 și n = 3. La n= 2 funcția este pară și graficul său este simetric față de axă Y. La n= 3 funcția este impară și graficul ei este simetric față de origine. Funcţie y = X 3 a sunat parabolă cubică. Figura 16 prezintă funcția . Această funcție este inversul parabolei pătrate y = X 2 , graficul său se obține prin rotirea graficului unei parabole pătrate în jurul bisectoarei primului unghi de coordonateAceasta este o modalitate de a obține graficul oricărei funcții inverse din graficul funcției sale originale. Din grafic putem observa că aceasta este o funcție cu două valori (aceasta este indicată și de semnul  în fața rădăcinii pătrate). Astfel de funcții nu sunt studiate în matematica elementară, prin urmare, ca funcție, considerăm de obicei una dintre ramurile sale: superioară sau inferioară.
6.	Demonstrație funcţie. Funcţie y = A X, Unde A este un număr constant pozitiv, numit functie exponentiala. Argument X acceptă orice valori valide; deoarece sunt luate în considerare valorile funcției numai numere pozitive, deoarece altfel avem o funcție multivalorică. Da, funcția y = 81 X are la X= 1/4 patru valori diferite: y = 3, y = 3, y = 3 iȘi y = 3 i(Nota, vă rog!). Dar considerăm ca fiind valoarea funcției numai y= 3. Grafice ale funcției exponențiale pt A= 2 și A= 1/2 sunt prezentate în Fig.17. Ele trec prin punctul (0, 1). La A= 1 avem un grafic al unei drepte paralele cu axa X, adică funcţia se transformă într-o valoare constantă egală cu 1. Când A> 1, funcția exponențială crește, iar la 0< A < 1 – убывает. Principalele caracteristici și proprietăți ale funcției exponențiale:  < X+ (adică X R ); gamă: y> 0 ; Funcția este monotonă: crește cu A> 1 și scade la 0< A < 1; - Funcția nu are zerouri.
7.	Funcția logaritmică. Funcţie y= jurnal A X, Unde A este un număr pozitiv constant, nu este egal cu 1 logaritmică. Această funcție este inversul funcției exponențiale; graficul acestuia (Fig. 18) poate fi obținut prin rotirea graficului funcției exponențiale în jurul bisectoarei primului unghi de coordonate. Principalele caracteristici și proprietăți ale funcției logaritmice: Domeniul de aplicare: X> 0, și intervalul de valori:  < y+ (adică y R ); Aceasta este o funcție monotonă: crește pe măsură ce A> 1 și scade la 0< A < 1; Funcția este nemărginită, pretutindeni continuă, neperiodică; Funcția are un zero: X = 1.
8.	funcții trigonometrice. La construirea funcții trigonometrice folosim radian măsura unghiurilor. Apoi funcția y= păcat X reprezentată printr-un grafic (Fig. 19). Această curbă se numește sinusoid. Graficul funcției y= cos X prezentat în Fig.20; este, de asemenea, o undă sinusoidală rezultată din deplasarea graficului y= păcat X de-a lungul axei X la stânga prin 2 Din aceste grafice, caracteristicile și proprietățile acestor funcții sunt evidente: Domeniu:  < X+  interval: -1 y +1; Aceste funcții sunt periodice: perioada lor este 2; Funcții limitate (| y| , peste tot continuu, nu monoton, dar având așa-zis intervale monotonie, în interiorul căruia ei comporta-te ca funcții monotone(vezi graficele fig.19 si fig.20); Funcțiile au un număr infinit de zerouri (pentru mai multe detalii, consultați secțiunea „Ecuații trigonometrice”). Grafice de funcții y= bronz XȘi y= patut X prezentate respectiv în Fig.21 și Fig.22 Din grafice se poate observa că aceste funcții sunt: ​​periodice (perioada lor , nemărginit, în general nu monoton, dar au intervale de monotonitate (ce?), discontinuu (ce puncte de întrerupere au aceste funcții?). Regiune definițiile și gama acestor funcții:
9.	Funcții trigonometrice inverse. Definițiile inverse funcții trigonometrice iar proprietățile lor principale sunt date în secțiunea cu același nume din capitolul „Trigonometrie”. Prin urmare, aici ne restrângem primite doar scurte comentarii cu privire la graficele lor prin rotirea graficelor funcţiilor trigonometrice în jurul bisectoarei primei unghi de coordonate.

Funcții y= Arcsin X(fig.23) și y= Arccos X(fig.24) cu multe valori, nelimitat; domeniul lor de definire și, respectiv, domeniul de valori: 1 X+1 și  < y+ . Deoarece aceste funcții sunt multivalorice,

considerate în matematica elementară, principalele lor valori sunt considerate funcții trigonometrice inverse: y= arcsin XȘi y= arccos X; graficele lor sunt evidențiate în Fig.23 și Fig.24 cu linii aldine.

Funcții y= arcsin XȘi y= arccos X au următoarele caracteristici și proprietăți:

Ambele funcții au același domeniu de definiție: -1 X +1 ;

intervalele lor sunt: /2 y/2 pentru y= arcsin X si 0 y pentru y= arccos X;

(y= arcsin X este o funcție crescătoare; y= arccos X- in scadere);

Fiecare funcție are un zero ( X= 0 pentru funcție y= arcsin XȘi

X= 1 pentru funcție y= arccos X).

Funcții y= Arctan X(fig.25) și y= Arccot X (fig.26) - functii multivalorice, nelimitate; domeniul lor de definire:  X+ . Principalele lor semnificații y= arctan XȘi y= arccot X sunt considerate funcții trigonometrice inverse; graficele lor sunt evidențiate în Fig.25 și Fig.26 cu ramuri aldine.

Funcții y= arctan XȘi y= arccot X au următoarele caracteristici și proprietăți:

Ambele funcții au același domeniu de aplicare:  X + ;

intervalele lor sunt: /2 <y < /2 для y= arctan X si 0< y < для y= arccos X;

Funcțiile sunt mărginite, neperiodice, continue și monotone

(y= arctan X este o funcție crescătoare; y= arccot X- in scadere);

Doar funcție y= arctan X are un singur zero ( X = 0);

funcţie y = arccot X nu are zerouri.

O funcție liniară este o funcție de forma y=kx+b, unde x este o variabilă independentă, k și b sunt orice numere.
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

1. Pentru a reprezenta graficul unei funcții, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori x, să le înlocuiți în ecuația funcției și să calculați valorile y corespunzătoare din ele.

De exemplu, pentru a reprezenta grafic funcția y= x+2, este convenabil să luăm x=0 și x=3, atunci ordonatele acestor puncte vor fi egale cu y=2 și y=3. Obținem punctele A(0;2) și B(3;3). Să le conectăm și să obținem graficul funcției y= x+2:

2. În formula y=kx+b, numărul k se numește factor de proporționalitate:
dacă k>0, atunci funcția y=kx+b crește
dacă k
Coeficientul b arată deplasarea graficului funcției de-a lungul axei OY:
dacă b>0, atunci graficul funcției y=kx+b se obține din graficul funcției y=kx prin deplasarea b de unități în sus de-a lungul axei OY
dacă b
În figura de mai jos sunt prezentate graficele funcțiilor y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul k Peste zero, iar funcţiile sunt crescând. Mai mult, cu cât valoarea lui k este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a dreptei față de direcția pozitivă a axei OX.

În toate funcțiile b=3 - și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0;3)

Acum luați în considerare graficele funcțiilor y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

De data aceasta, în toate funcțiile, coeficientul k mai putin de zeroși caracteristici scădea. Coeficientul b=3, iar graficele, ca și în cazul precedent, traversează axa OY în punctul (0;3)

Se consideră graficele funcțiilor y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Acum, în toate ecuațiile de funcții, coeficienții k sunt egali cu 2. Și avem trei drepte paralele.

Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste grafice intersectează axa OY în puncte diferite:
Graficul funcției y=2x+3 (b=3) traversează axa OY în punctul (0;3)
Graficul funcției y=2x (b=0) traversează axa OY în punctul (0;0) - originea.
Graficul funcției y=2x-3 (b=-3) traversează axa OY în punctul (0;-3)

Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției y=kx+b.
Dacă k 0

Dacă k>0 și b>0, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

Dacă k>0 și b, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

Dacă k, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

Dacă k=0, atunci funcția y=kx+b se transformă într-o funcție y=b și graficul ei arată astfel:

Ordinatele tuturor punctelor graficului funcției y=b sunt egale cu b Dacă b=0, atunci graficul funcției y=kx (proporționalitate directă) trece prin origine:

3. Separat, notăm graficul ecuației x=a. Graficul acestei ecuații este o dreaptă paralelă cu axa OY, toate punctele care au o abscisă x=a.

De exemplu, graficul ecuației x=3 arată astfel:
Atenţie! Ecuația x=a nu este o funcție, deci îi corespunde o valoare a argumentului sensuri diferite funcție, care nu se potrivește cu definiția funcției.

4. Condiție pentru paralelismul a două linii:

Graficul funcției y=k 1 x+b 1 este paralel cu graficul funcției y=k 2 x+b 2 dacă k 1 =k 2

5. Condiția ca două drepte să fie perpendiculare:

Graficul funcției y=k 1 x+b 1 este perpendicular pe graficul funcției y=k 2 x+b 2 dacă k 1 *k 2 =-1 sau k 1 =-1/k 2

6. Punctele de intersecție ale graficului funcției y=kx+b cu axele de coordonate.

cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în loc de x în ecuația funcției. Obținem y=b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0;b).

Cu axa x: ordonata oricărui punct aparținând axei x este zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în loc de y în ecuația funcției. Se obține 0=kx+b. Prin urmare x=-b/k. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonatele (-b / k; 0):

Mai întâi, încercați să găsiți domeniul de aplicare al funcției:

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile:

In regula? Bine făcut!

Acum să încercăm să găsim intervalul funcției:

Găsite? Comparaţie:

A fost de acord? Bine făcut!

Să lucrăm din nou cu graficele, doar că acum este puțin mai dificil - să găsim atât domeniul funcției, cât și domeniul funcției.

Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)

Iată ce s-a întâmplat:

Cu grafica, cred ca ti-ai dat seama. Acum să încercăm să găsim domeniul funcției în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):

Ai reușit? Control răspunsuri:

1. , deoarece expresia rădăcină trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. , deoarece este imposibil de împărțit la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
3. , întrucât, respectiv, pentru toți.
4. pentru că nu poți împărți la zero.

Cu toate acestea, mai avem încă un moment care nu a fost rezolvat...

Permiteți-mi să reiterez definiția și să mă concentrez asupra ei:

observat? Cuvântul „doar” este un element foarte, foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic pe degete.

Să presupunem că avem o funcție dată de o dreaptă. . Când, înlocuim această valoare în „regula” noastră și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem un tabel cu diferite valori și să trasăm o funcție dată pentru a verifica acest lucru.

"Uite! - spui tu, - "" se intalneste de doua ori!" Deci poate parabola nu este o funcție? Nu este!

Faptul că „” apare de două ori este departe de a fi un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!

Cert este că, atunci când calculăm, avem un singur joc. Și când calculăm cu, avem un joc. Deci, așa este, parabola este o funcție. Uită-te la grafic:

Am înțeles? Dacă nu, iată un exemplu real pentru tine, departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit la depunerea documentelor, fiecare dintre ei a spus unde locuiește într-o conversație:

De acord, este destul de real că mai mulți bărbați locuiesc în același oraș, dar este imposibil ca o persoană să locuiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este, parcă, o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe x-uri diferite corespund aceluiași y.

Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași tipi au spus pentru ce specialități au aplicat:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate aplica cu ușurință pentru una sau mai multe direcții. i.e un element seturile sunt puse în corespondență elemente multiple seturi. Respectiv, nu este o functie.

Să vă testăm cunoștințele în practică.

Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:

Am înțeles? Și iată răspunsuri:

• Funcția este - B,E.
• Nu este o funcție - A, B, D, D.

Te intrebi de ce? Da, iată de ce:

În toate cifrele, cu excepția ÎN)Și E) sunt mai multe pentru unul!

Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, să spuneți ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, să determinați sfera argumentului și sfera funcției. Să trecem la următoarea secțiune - cum se definește o funcție?

Modalități de a seta o funcție

Ce crezi că înseamnă cuvintele "setare functie"? Așa e, înseamnă să explicăm tuturor despre ce funcție vorbim în acest caz. Mai mult, explicați în așa fel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și graficele funcțiilor desenate de oameni conform explicației dvs. au fost aceleași.

Cum pot face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cel mai simplu mod, care a fost deja folosit de mai multe ori în acest articol - folosind o formulă. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă conform căreia devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.

De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute definite prin formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” încurcă. Să aruncăm o privire la totul în ordine și să începem cu metoda analitică.

Mod analitic de definire a unei funcții

Metoda analitică este sarcina unei funcții care utilizează o formulă. Aceasta este cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre funcție - puteți face un tabel de valori pe ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, explorați-o în întregime.

Să luăm în considerare o funcție. Ce conteaza?

"Ce înseamnă?" - tu intrebi. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație, expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.

În exemplul nostru, va arăta astfel:

Luați în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții pe care o veți avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei, la.

Sunt sigur că la început, ți-a fost frică când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în ea!

Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.

Ce ar trebui făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în loc de -:

scurtați expresia rezultată:

Asta e tot!

Muncă independentă

Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:

1. , dacă
2. , dacă

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma

Chiar și în exemplele noastre, definim funcția în acest fel, dar analitic este posibil să definim funcția implicit, de exemplu.

Încercați să construiți singur această funcție.

Ai reușit?

Iată cum l-am construit.

Cu ce ​​ecuație am ajuns?

Dreapta! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:

Tocmai despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.

Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:

Este ceea ce avem o funcție?

Așa este, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu o imagine. Ce ai primit?

„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”

Ce concluzie putem trage din asta?

Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!

Mod tabelar de definire a unei funcții

După cum sugerează și numele, această metodă este o placă simplă. Da Da. Ca cel pe care l-am făcut deja. De exemplu:

Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina „gândește foarte bine”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?

Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!

Asa de. Desenăm o funcție dată în ambele moduri:

Vedeți diferența? Nu e vorba de punctele marcate! Priveste mai atent:

L-ai văzut acum? Când setăm funcția într-un mod tabelar, reflectăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție într-un mod analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Iată o astfel de caracteristică. Tine minte!

Mod grafic de a construi o funcție

Modul grafic de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabil. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Amintit? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:

De regulă, oamenii numesc de obicei exact acele trei moduri de a specifica o funcție pe care le-am analizat - analitic (folosind o formulă), tabelar și grafic, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Asa? Da, foarte usor!

Descrierea verbală a funcției

Cum să descrii funcția verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descris ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta e tot. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „sunt atât de multe funcții complexe pe care pur și simplu este imposibil să-l întrebați verbal!” Da, există unele, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de stabilit cu o formulă. De exemplu: „fiecărei valori naturale a lui x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în intrarea numărului este luată ca minuend”. Acum luați în considerare modul în care descrierea noastră verbală a funcției este implementată în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat -, respectiv, - se reduce, apoi:

Principalele tipuri de funcții

Acum să trecem la cele mai interesante - vom lua în considerare principalele tipuri de funcții cu care ați lucrat/lucrați și veți lucra în cursul școlii și institutului de matematică, adică le vom cunoaște, ca să spunem așa, și le da descriere scurta. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.

Funcție liniară

Funcția formei în care, - numere reale.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, astfel încât construcția unei funcții liniare se reduce la găsirea coordonatelor a două puncte.

Poziție directă pe plan de coordonate depinde de factorul de pantă.

Domeniul de aplicare al funcției (denumit și intervalul de argumente) - .

Gama de valori este .

funcţie pătratică

Funcția formei, unde

Graficul funcției este o parabolă, când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când - în sus.

Multe proprietăți ale unei funcții pătratice depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează prin formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:

Domeniu

Gama de valori depinde de extremul funcției date (vârful parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)

Proporționalitate inversă

Funcția dată de formula, unde

Numărul se numește factor de proporționalitate inversă. În funcție de ce valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:

Domeniu - .

Gama de valori este .

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

1. O funcție este o regulă conform căreia fiecărui element al unei mulțimi i se atribuie un element unic al mulțimii.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
• - variabilă, sau argument;
• - valoare dependentă - se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică după unii anumită formulă, reflectând dependența unei cantități de alta.

2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul de aplicare al unei funcții, este ceea ce este legat de posibilul sub care funcția are sens.

3. Gama de valori ale funcției- acestea sunt valorile necesare, cu valori valide.

4. Există 4 moduri de a seta funcția:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• descriere verbală.

5. Principalele tipuri de funcții:

• : , unde, sunt numere reale;
• : , Unde;
• : , Unde.