Integrale principale pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască
Integralele enumerate sunt baza, baza fundațiilor. Aceste formule, desigur, trebuie amintite. Când calculați integrale mai complexe, va trebui să le utilizați în mod constant.
Acordați o atenție deosebită formulelor (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la răspuns atunci când integrați!
Integrala unei constante
∫ A d x = A x + C (1)Integrarea funcției de putere
De fapt, ne-am putea limita la formulele (5) și (7), dar restul integralelor din acest grup sunt atât de comune încât merită să le acordăm puțină atenție.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrale ale funcției exponențiale și ale funcțiilor hiperbolice
Desigur, formula (8) (poate cea mai convenabilă de reținut) poate fi considerată un caz special al formulei (9). Formulele (10) și (11) pentru integralele sinusului hiperbolic și cosinus hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să ne amintim doar aceste relații.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice
O greșeală pe care elevii o fac adesea: confundă semnele în formulele (12) și (13). Reținând că derivata sinusului este egală cu cosinusul, din anumite motive mulți oameni cred că integrala funcției sinx este egală cu cosx. Nu este adevarat! Integrala sinusului este „minus cosinus”, dar integrala cosx este „doar sinusul”:
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrale reducând la funcții trigonometrice inverse
Formula (16), care duce la arc tangentă, este în mod natural un caz special al formulei (17) pentru a=1. În mod similar, (18) este un caz special al lui (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Integrale mai complexe
Aceste formule sunt, de asemenea, de dorit de reținut. De asemenea, sunt folosite destul de des, iar producția lor este destul de obositoare.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Reguli generale de integrare
1) Integrala sumei a două funcții este egală cu suma integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Integrala diferenței a două funcții este egală cu diferența integrale corespunzătoare: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Constanta poate fi scoasă din semnul integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Este ușor de observat că proprietatea (26) este pur și simplu o combinație de proprietăți (25) și (27).
4) Integrala a functie complexa, dacă functie interioara este liniară: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Aici F(x) este antiderivată pentru funcția f(x). Rețineți că această formulă funcționează numai atunci când funcția interioară este Ax + B.
Important: nu există o formulă universală pentru integrala produsului a două funcții, precum și pentru integrala unei fracții:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (treizeci)
Aceasta nu înseamnă, desigur, că o fracțiune sau un produs nu poate fi integrat. Doar că de fiecare dată când vezi o integrală ca (30), trebuie să inventezi o modalitate de a „lupta” cu ea. În unele cazuri, integrarea pe părți vă va ajuta, undeva va trebui să faceți o schimbare de variabilă, iar uneori chiar și formulele „școlare” de algebră sau trigonometrie vă pot ajuta.
Un exemplu simplu pentru calcularea integralei nedefinite
Exemplul 1. Aflați integrala: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xFolosim formulele (25) și (26) (integrala sumei sau diferenței de funcții este egală cu suma sau diferența integralelor corespunzătoare. Se obține: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx − ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx
Reamintim că constanta poate fi scoasă din semnul integral (formula (27)). Expresia este convertită în formă
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Acum să folosim doar tabelul integralelor de bază. Va trebui să aplicăm formulele (3), (12), (8) și (1). Să integrăm funcția de putere, sinus, exponent și constantă 1. Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la sfârșit:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
După transformări elementare, obținem răspunsul final:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Testați-vă cu diferențierea: luați derivata funcției rezultate și asigurați-vă că este egală cu integrandul original.
Tabel rezumativ al integralelor
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = log | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Descărcați tabelul de integrale (partea a II-a) de pe acest link
Dacă studiezi la o universitate, dacă ai dificultăți cu matematica superioară ( analiză matematică, algebră liniară, teoria probabilităților, statistică), dacă aveți nevoie de serviciile unui profesor calificat, accesați pagina unui tutore la matematică superioară. Să vă rezolvăm problemele împreună!
S-ar putea să te intereseze și tu
Pe aceasta pagina veti gasi:
1. De fapt, tabelul de antiderivate - poate fi descărcat în format PDF și tipărit;
2. Video despre cum se utilizează acest tabel;
3. O grămadă de exemple de calculare a antiderivatei din diverse manuale și teste.
În videoclipul în sine, vom analiza o mulțime de sarcini în care este necesar să se calculeze funcții antiderivate, adesea destul de complexe, dar cel mai important, nu sunt legea puterii. Toate funcțiile rezumate în tabelul propus mai sus trebuie cunoscute pe de rost, ca și derivatele. Fără ele, studiul suplimentar al integralelor și aplicarea lor pentru a rezolva probleme practice este imposibil.
Astăzi continuăm să ne ocupăm de primitivi și trecem la un subiect puțin mai complex. Dacă data trecută am considerat antiderivate doar din funcții de putere și structuri puțin mai complexe, astăzi vom analiza trigonometria și multe altele.
După cum am spus în ultima lecție, antiderivatele, spre deosebire de derivatele, nu sunt niciodată rezolvate „gol” folosind reguli standard. Mai mult, vestea proastă este că, spre deosebire de derivat, este posibil ca antiderivatul să nu fie luat în considerare deloc. Dacă scriem perfect functie aleatorieși încercați să-i găsiți derivata, atunci vom reuși cu o probabilitate foarte mare, dar antiderivata nu va fi aproape niciodată calculată în acest caz. Dar există și o veste bună: există o clasă destul de mare de funcții numite funcții elementare, ale căror antiderivate sunt foarte ușor de calculat. Și toate celelalte sunt mai multe structuri complexe, care se dau pe tot felul de control, independente si examene, de fapt, sunt formate din acestea functii elementare prin adunare, scădere etc. actiuni simple. Antiderivatele unor astfel de funcții au fost mult timp calculate și rezumate în tabele speciale. Cu astfel de funcții și tabele vom lucra astăzi.
Dar vom începe, ca întotdeauna, cu o repetare: amintiți-vă ce este un antiderivat, de ce există un număr infinit de ele și cum să determinați forma lor generală. Pentru a face acest lucru, am luat două sarcini simple.
Rezolvarea de exemple simple
Exemplul #1
Rețineți imediat că $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ și prezența lui $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ ne sugerează imediat că antiderivata necesară a funcției este legată de trigonometrie. Și, într-adevăr, dacă ne uităm la tabel, aflăm că $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nu este altceva decât $\text(arctg)x$. Deci hai sa scriem:
Pentru a găsi, trebuie să scrieți următoarele:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Exemplul #2
Aici vorbim și despre funcții trigonometrice. Dacă ne uităm la tabel, atunci, într-adevăr, se va dovedi astfel:
Trebuie să găsim dintre întregul set de antiderivate pe cel care trece prin punctul specificat:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Să o scriem în sfârșit:
Este atat de simplu. Singura problemă este că, pentru a număra antiderivatele funcțiilor simple, trebuie să înveți tabelul cu antiderivate. Cu toate acestea, după ce ați învățat tabelul derivatelor pentru dvs., cred că aceasta nu va fi o problemă.
Rezolvarea problemelor care conțin o funcție exponențială
Să începem prin a scrie următoarele formule:
\[((e)^(x))\la ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Să vedem cum funcționează toate acestea în practică.
Exemplul #1
Dacă ne uităm la conținutul parantezelor, vom observa că în tabelul cu antiderivate nu există o astfel de expresie ca $((e)^(x))$ să fie într-un pătrat, deci acest pătrat trebuie deschis. Pentru a face acest lucru, folosim formulele de înmulțire abreviate:
Să găsim antiderivată pentru fiecare dintre termeni:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e))) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Și acum colectăm toți termenii într-o singură expresie și obținem o antiderivată comună:
Exemplul #2
De data aceasta, exponentul este deja mai mare, așa că formula de înmulțire prescurtată va fi destul de complicată. Să extindem parantezele:
Acum să încercăm să luăm antiderivatul formulei noastre din această construcție:
După cum puteți vedea, nu există nimic complicat și supranatural în antiderivatele funcției exponențiale. Toate acestea sunt calculate prin tabele, totuși, elevii atenți vor observa cu siguranță că antiderivata $((e)^(2x))$ este mult mai aproape de doar $((e)^(x))$ decât de $((a). )^(x ))$. Deci, poate există o regulă mai specială care permite, cunoscând antiderivatul $((e)^(x))$, să găsească $((e)^(2x))$? Da, există o astfel de regulă. Și, în plus, este o parte integrantă a lucrului cu tabelul de antiderivate. O vom analiza acum folosind aceleași expresii cu care tocmai am lucrat ca exemplu.
Reguli pentru lucrul cu tabelul de antiderivate
Să rescriem funcția noastră:
În cazul precedent, am folosit următoarea formulă pentru a rezolva:
\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Dar acum să o facem puțin diferit: amintiți-vă pe ce bază $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. După cum sa spus deja, deoarece derivata lui $((e)^(x))$ nu este altceva decât $((e)^(x))$, deci antiderivata sa va fi egală cu același $((e) ^( x))$. Dar problema este că avem $((e)^(2x))$ și $((e)^(-2x))$. Acum să încercăm să găsim derivata $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Să rescriem construcția noastră din nou:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Și asta înseamnă că atunci când găsim antiderivată $((e)^(2x))$, obținem următoarele:
\[((e)^(2x))\la \frac(((e)^(2x)))(2)\]
După cum puteți vedea, am obținut același rezultat ca înainte, dar nu am folosit formula pentru a găsi $((a)^(x))$. Acum poate părea stupid: de ce să complici calculele când există o formulă standard? Totuși, în puțin mai mult expresii complexe veți vedea că această tehnică este foarte eficientă, adică. folosind derivate pentru a găsi antiderivate.
Să găsim, ca o încălzire, antiderivata lui $((e)^(2x))$ într-un mod similar:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
La calcul, construcția noastră se va scrie după cum urmează:
\[((e)^(-2x))\la -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\la -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Am obținut exact același rezultat, dar am mers pe altă direcție. Este așa, care acum ni se pare puțin mai complicat, în viitor va fi mai eficient pentru calcularea unor antiderivate mai complexe și utilizarea tabelelor.
Notă! Acesta este un punct foarte important: antiderivatele, ca și derivatele, pot fi considerate un set diferite căi. Cu toate acestea, dacă toate calculele și calculele sunt egale, atunci răspunsul va fi același. Doar ne-am asigurat de acest lucru în exemplul $((e)^(-2x))$ - pe de o parte, am calculat această antiderivată „pe tot parcursul”, folosind definiția și calculând-o cu ajutorul transformărilor, pe pe de altă parte, ne-am amintit că $ ((e)^(-2x))$ poate fi reprezentat ca $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ și apoi utilizați antiderivată pentru funcția $( (a)^(x))$. Cu toate acestea, după toate transformările, rezultatul este același cu cel așteptat.
Și acum că înțelegem toate acestea, este timpul să trecem la ceva mai substanțial. Acum vom analiza două construcții simple, totuși, tehnica care va fi stabilită la rezolvarea acestora este un instrument mai puternic și mai util decât o simplă „curgere” între antiderivatele vecine din tabel.
Rezolvarea problemelor: găsiți antiderivată a unei funcții
Exemplul #1
Dați suma care este în numărători, descompuneți în trei fracții separate:
Aceasta este o tranziție destul de naturală și de înțeles - majoritatea studenților nu au probleme cu ea. Să ne rescriem expresia după cum urmează:
Acum să ne amintim această formulă:
În cazul nostru, vom obține următoarele:
Pentru a scăpa de toate aceste fracții cu trei etaje, vă sugerez să faceți următoarele:
Exemplul #2
Spre deosebire de fracția anterioară, numitorul nu este produsul, ci suma. În acest caz, nu ne mai putem împărți fracția la suma mai multor fracții simple, dar trebuie să încercăm cumva să ne asigurăm că numărătorul conține aproximativ aceeași expresie ca și numitorul. În acest caz, este destul de ușor de făcut:
O astfel de notație, care în limbajul matematicii se numește „adăugarea zero”, ne va permite să împărțim din nou fracția în două bucăți:
Acum să găsim ceea ce căutăm:
Astea sunt toate calculele. În ciuda complexității aparente mai mari decât în problema anterioară, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi și mai mică.
Nuanțe ale soluției
Și aici se află principala dificultate a lucrului cu primitive tabelare, acest lucru este vizibil în special în a doua sarcină. Cert este că pentru a selecta unele elemente care se numără ușor prin tabel, trebuie să știm exact ce căutăm și tocmai în căutarea acestor elemente constă întregul calcul al antiderivatelor.
Cu alte cuvinte, nu este suficient doar să memorezi tabelul de antiderivate - trebuie să poți vedea ceva care nu este încă acolo, ci ce a vrut să spună autorul și compilatorul acestei probleme. De aceea mulți matematicieni, profesori și profesori susțin constant: „Ce înseamnă luarea de antiderivate sau integrare - este doar un instrument sau este o adevărată artă?” De fapt, după părerea mea personală, integrarea nu este deloc o artă - nu este nimic sublim în ea, este doar practică și practică din nou. Și ca să exersăm, să rezolvăm încă trei exemple mai serioase.
Practicați integrarea în practică
Sarcina 1
Să scriem următoarele formule:
\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\la \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\la \text(arctg)x\]
Să scriem următoarele:
Sarcina #2
Să-l rescriem după cum urmează:
Antiderivatul total va fi egal cu:
Sarcina #3
Complexitatea acestei sarcini constă în faptul că, spre deosebire de funcțiile anterioare, nu există o variabilă $x$ mai sus, i.e. nu ne este clar ce sa adaugam, sa scadem pentru a obtine macar ceva asemanator cu ce este mai jos. Cu toate acestea, de fapt, această expresie este considerată chiar mai simplă decât orice expresie din constructele anterioare, deoarece această funcție poate fi rescris astfel:
Vă puteți întreba acum: de ce sunt aceste funcții egale? Sa verificam:
Să rescriem din nou:
Să ne schimbăm puțin expresia:
Și când le explic toate astea studenților mei, aproape întotdeauna apare aceeași problemă: cu prima funcție totul este mai mult sau mai puțin clar, cu a doua poți să-ți dai seama și cu noroc sau practică, dar ce fel de conștiință alternativă faci trebuie să aveți pentru a rezolva al treilea exemplu? De fapt, nu te speria. Tehnica pe care am folosit-o la calcularea ultimului antiderivat se numește „descompunerea unei funcții în cea mai simplă”, iar aceasta este o tehnică foarte serioasă, iar o lecție video separată îi va fi dedicată.
Intre timp imi propun sa revenim la ceea ce tocmai am studiat, si anume la functii exponentiale si sa complicam oarecum sarcinile cu continutul lor.
Probleme mai complexe pentru rezolvarea funcțiilor exponențiale antiderivate
Sarcina 1
Rețineți următoarele:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Pentru a găsi antiderivata acestei expresii, utilizați pur și simplu formula standard $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
În cazul nostru, primitivul va fi astfel:
Desigur, pe fondul construcției pe care tocmai am rezolvat-o, aceasta pare mai simplă.
Sarcina #2
Din nou, este ușor de observat că această funcție este ușor de împărțit în doi termeni separați - două fracții separate. Să rescriem:
Rămâne să găsim antiderivatul fiecăruia dintre acești termeni conform formulei de mai sus:
În ciuda aparentului complexitate funcții exponențiale comparativ cu cele de putere, suma totală de calcule și calcule s-a dovedit a fi mult mai simplă.
Desigur, pentru elevii cunoscători, ceea ce tocmai ne-am ocupat (mai ales pe fundalul a ceea ce ne-am ocupat înainte) poate părea expresii elementare. Cu toate acestea, alegând aceste două sarcini pentru tutorialul video de astăzi, nu mi-am propus să vă spun un alt truc complex și fantezist - tot ce am vrut să vă arăt este că nu trebuie să vă fie teamă să folosiți trucuri standard de algebră pentru a transforma funcțiile originale. .
Folosind tehnica „secretă”.
În concluzie, aș dori să analizez o altă tehnică interesantă, care, pe de o parte, depășește ceea ce am analizat în principal astăzi, dar, pe de altă parte, este, în primul rând, deloc complicată, i.e. chiar și studenții începători îl pot stăpâni și, în al doilea rând, se găsește destul de des pe toate tipurile de control și muncă independentă, adică cunoașterea lui va fi foarte utilă pe lângă cunoașterea tabelului antiderivatelor.
Sarcina 1
Evident, avem ceva foarte asemănător cu o funcție de putere. Cum ar trebui să procedăm în acest caz? Să ne gândim: $x-5$ diferă de $x$ nu atât de mult - doar adăugat $-5$. Hai sa o scriem asa:
\[((x)^(4))\la \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Să încercăm să găsim derivata lui $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Asta implică:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ dreapta))^(\prime ))\]
Nu există o astfel de valoare în tabel, așa că acum am derivat această formulă noi înșine, folosind formula antiderivată standard pentru o funcție de putere. Să scriem răspunsul astfel:
Sarcina #2
Pentru mulți studenți care se uită la prima soluție, le poate părea că totul este foarte simplu: este suficient să înlocuiți $x$ în funcția de putere cu o expresie liniară și totul va cădea la loc. Din păcate, totul nu este atât de simplu, iar acum vom vedea asta.
Prin analogie cu prima expresie, scriem următoarele:
\[((x)^(9))\la \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Revenind la derivata noastră, putem scrie:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
De aici urmează imediat:
Nuanțe ale soluției
Vă rugăm să rețineți: dacă ultima dată nu sa schimbat nimic în mod esențial, atunci în al doilea caz au apărut -30$ în loc de -10$. Care este diferența dintre $-10$ și $-30$? Evident, cu un factor de -3$. Intrebare: de unde a venit? Privind cu atenție, puteți vedea că a fost luată ca rezultat al calculului derivatei unei funcții complexe - coeficientul care a fost la $x$ apare în antiderivată de mai jos. Aceasta este o regulă foarte importantă, pe care inițial nu am plănuit să o analizez deloc în tutorialul video de astăzi, dar fără ea, prezentarea antiderivatelor tabulare ar fi incompletă.
Deci hai să o facem din nou. Să fie funcția noastră principală de putere:
\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Și acum, în loc de $x$, să înlocuim expresia $kx+b$. Ce se va întâmpla atunci? Trebuie să găsim următoarele:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\la \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \dreapta)\cdot k)\]
Pe ce bază afirmăm acest lucru? Foarte simplu. Să găsim derivata construcției scrise mai sus:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Aceasta este aceeași expresie care a fost inițial. Astfel, această formulă este, de asemenea, corectă și poate fi folosită pentru a suplimenta tabelul de antiderivate, dar este mai bine să vă amintiți doar întregul tabel.
Concluzii din „secretul: recepția:
- Ambele funcții pe care tocmai le-am luat în considerare, de fapt, pot fi reduse la antiderivatele indicate în tabel prin deschiderea gradelor, dar dacă putem face față mai mult sau mai puțin cumva gradului al patrulea, atunci nu aș face deloc gradul al nouălea. îndrăznit să dezvăluie.
- Dacă am descoperi gradele, atunci am obține un astfel de volum de calcule încât o sarcină simplă ne-ar duce inadecvat un numar mare de timp.
- De aceea, astfel de sarcini, în interiorul cărora există expresii liniare, nu trebuie rezolvate „gol”. De îndată ce întâlniți un antiderivat, care diferă de cel din tabel doar prin prezența expresiei $kx+b$ în interior, amintiți-vă imediat formula scrisă mai sus, înlocuiți-o în antiderivatul dvs. tabelar și totul va ieși mult. mai rapid si mai usor.
Bineînțeles, datorită complexității și seriozității acestei tehnici, vom reveni în mod repetat la luarea în considerare în viitoarele tutoriale video, dar pentru astăzi am de toate. Sper că această lecție îi va ajuta cu adevărat pe acei studenți care doresc să înțeleagă antiderivatele și integrarea.
Bună din nou, prieteni!
După cum am promis, din această lecție vom începe să navigăm pe întinderile nesfârșite ale lumii poetice a integralelor și vom începe să rezolvăm o mare varietate de exemple (uneori foarte frumoase). :)
Pentru a naviga cu competență în întreaga varietate integrală și pentru a nu ne pierde, avem nevoie doar de patru lucruri:
1) Tabelul integralelor. Toate detaliile despre ea . Cum să lucrezi exact cu ea - în asta.
2) Proprietăți de liniaritate ale integralei nedefinite (integrala sumei/diferenței și a produsului printr-o constantă).
3) Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere.
Da, nu fi surprins! Fără capacitatea de a număra derivatele, nu există absolut nimic de prins în integrare. De acord, nu are sens, de exemplu, să înveți împărțirea fără să știi să înmulți. :) Și foarte curând vei vedea că fără abilități perfecte de diferențiere nu poți calcula nicio integrală serioasă care să depășească sfera celor tabulare elementare.
4) Metode de integrare.
Sunt foarte, foarte mulți dintre ei. Pentru o anumită clasă de funcții - propriile sale. Dar, printre toată diversitatea lor bogată, se remarcă trei cele de bază:
– ,
– ,
– .
Despre fiecare dintre ele - în lecții separate.
Și acum, în sfârșit, să începem să rezolvăm exemplele mult așteptate. Pentru a nu sări de la secțiune la secțiune, voi duplica încă o dată întregul set de domn, ceea ce ne va fi de folos pentru lucrările noastre ulterioare. Păstrați toate uneltele la îndemână.)
În primul rând, asta tabelul integralelor:
În plus, avem nevoie de proprietățile de bază ale integralei nedefinite (proprietăți de liniaritate):
Ei bine, echipamentul necesar este pregătit. Timpul de plecare! :)
Aplicarea directă a tabelului
În această secțiune, vor fi luate în considerare cele mai simple și inofensive exemple. Algoritmul de aici este simplu de îngrozit:
1) Ne uităm la tabel și căutăm formula (formulele) dorită;
2) Aplicați proprietățile liniarității (unde este necesar);
3) Efectuăm transformarea după formule tabelare și adăugăm o constantă la sfârșit DIN (nu uita!) ;
4) Notează răspunsul.
Deci să mergem.)
Exemplul 1
Nu există o astfel de funcție în tabelul nostru. Dar există o integrală a funcției de putere în vedere generala(al doilea grup). În cazul nostru n=5. Deci înlocuim cele cinci în loc de n și calculăm cu atenție rezultatul:
Gata. :)
Desigur, acest exemplu este destul de primitiv. Doar pentru cunoștință.) Dar capacitatea de a integra grade facilitează calcularea integralelor din orice polinoame și alte structuri de putere.
Exemplul 2
Sub suma integrală. Ei bine, bine. Avem proprietăți de liniaritate pentru acest caz. :) Împărțim integrala noastră în trei separate, scoatem toate constantele din semnele integralelor și numărăm fiecare conform tabelului (grupul 1-2):
Vă rugăm să rețineți: constant DIN apare chiar în momentul în care TOATE semnele integralei dispar! Desigur, după aceea trebuie să-l porți constant cu tine. Deci ce să fac…
Desigur, de obicei nu este necesar să pictezi atât de detaliat. Acest lucru este doar pentru înțelegere. Pentru a înțelege ideea.)
De exemplu, foarte curând, fără prea multă ezitare, vei da mental un răspuns unor monștri precum:
Polinoamele sunt cele mai libere funcții din integrale.) Și în diffuri, în fizică, în rezistența materialelor și în alte discipline serioase, polinoamele vor trebui integrate constant. Obisnuieste-te.)
Următorul exemplu va fi puțin mai complicat.
Exemplul 3
Sper că toată lumea înțelege că integrandu-ul nostru poate fi scris așa:
Integrandul este separat, iar multiplicatorul dx (pictogramă diferențială)- separat.
Cometariu:în această lecție multiplicatorul dx în proces de integrare până nu participă în niciun fel, iar deocamdată îl „ciocănim” mental. :) Lucrăm doar cu integrand. Dar să nu uităm de el. Foarte curând, la propriu, în următoarea lecție dedicată, ne vom aminti despre el. Și vom simți în forță importanța și puterea acestei icoane!)
Între timp, privirea noastră este îndreptată către funcția integrand
Nu prea seamănă cu o funcție de putere, dar asta este. :) Dacă ne amintim proprietățile școlare ale rădăcinilor și gradelor, atunci este foarte posibil să ne transformăm funcția:
Și x la puterea lui minus două treimi este deja funcția tabelului! Al doilea grup n=-2/3. Iar constanta 1/2 nu este o piedică pentru noi. O luăm în afară, dincolo de semnul integral și direct după formula pe care o considerăm:
În acest exemplu, am fost ajutați proprietăți elementare grade. Și așa ar trebui să se facă în majoritatea cazurilor, când există rădăcini sau fracții unice sub integrală. Prin urmare, un cuplu sfaturi practice la integrarea structurilor de putere:
Înlocuim fracțiile cu puteri cu exponenți negativi;
Înlocuim rădăcinile cu puteri cu exponenți fracționari.
Dar, în răspunsul final, trecerea de la grade înapoi la fracții și rădăcini este o chestiune de gust. Personal, mă întorc – este mai plăcut din punct de vedere estetic, sau așa ceva.
Și vă rog, numărați cu atenție toate fracțiile! Urmărim cu atenție semnele și ce merge unde - care este numărătorul și care este numitorul.
Ce? V-ați săturat de funcții de putere deja plictisitoare? Bine! Luăm taurul de coarne!
Exemplul 4
Dacă acum reducem totul sub integrală la un numitor comun, atunci putem rămâne blocați în acest exemplu serios și pentru o lungă perioadă de timp.) Dar, uitându-ne mai atent la integrand, putem vedea că diferența noastră constă din două funcții tabelare. Deci, să nu pervertim, ci să ne extindem integrala în două:
Prima integrală este o funcție de putere obișnuită, (grupa a doua, n=-1): 1/x = x -1 .
Formula noastră tradițională pentru funcția de putere antiderivată
Nu merge aici, dar pentru noi n=-1 există o alternativă demnă - o formulă cu un logaritm natural. Aceasta:
Apoi, conform acestei formule, prima fracție va fi integrată după cum urmează:
Și a doua fracție de asemenea, o funcție de masă!Învățat? Da! Acest al șaptelea formula cu logaritm „înalt”:
Constanta „a” din această formulă este egală cu două: a=2.
Notă importantă: Vă rugăm să rețineți constantaDIN cu integrare intermediară I nicăieri nu atribui! De ce? Pentru că ea va merge la răspunsul final întregul exemplu. Este suficient.) Strict vorbind, constanta trebuie scrisă după fiecare integrare individuală, fie că este intermediară sau finală: deci integrală nedefinită necesită...)
De exemplu, după prima integrare, ar trebui să scriu:
După a doua integrare:
Dar ideea este că suma / diferența constantelor arbitrare este de asemenea, unele constante!În cazul nostru, pentru răspunsul final, avem nevoie de prima integrală scădea al doilea. Atunci vom reuși diferență două constante intermediare:
C1-C2
Și avem tot dreptul să înlocuim chiar această diferență de constante o constantă!Și redenumiți-l doar cu litera „C” cunoscută nouă. Asa:
C 1 -C 2 \u003d C
Deci atribuim aceeași constantă DIN la rezultatul final și obțineți răspunsul:
Da, sunt fracții! Logaritmii cu mai multe etaje atunci când sunt integrați sunt cel mai comun lucru. Ne obișnuim și noi.)
Tine minte:
Cu integrarea intermediară a mai multor termeni, constanta DIN după fiecare dintre ele nu poți scrie. Este suficient să-l includeți în răspunsul final al întregului exemplu. În cele din urmă.
Următorul exemplu este, de asemenea, cu o fracție. Pentru încălzire.)
Exemplul 5
În tabel, desigur, nu există o astfel de funcție. Dar acolo este asemănătoare funcţie:
Acesta este cel mai recent Al optulea formulă. Cu arctangent. :)
Aceasta:
Și Dumnezeu însuși ne-a poruncit să ne adaptăm integrala la această formulă! Dar există o problemă: în formula tabelară înainte x 2 nu există coeficient, dar avem nouă. Nu putem folosi formula direct încă. Dar în cazul nostru, problema este complet rezolvabilă. Să scoatem mai întâi acest nouă dintre paranteze și apoi, în general, îl vom scoate din limitele fracției noastre.)
Și noua fracție este funcția tabelară de care avem nevoie la numărul 8! Aici a 2 \u003d 4/9. Sau a=2/3.
Tot. Luăm 1/9 din semnul integral și folosim a opta formulă:
Iată răspunsul. Acest exemplu, cu un coeficient înainte x 2, eu am ales-o asa. Pentru a clarifica ce trebuie făcut în astfel de cazuri. :) Dacă înainte x 2 nu există coeficient, atunci astfel de fracții vor fi și ele integrate în minte.
De exemplu:
Aici a 2 = 5, deci „a” în sine ar fi „rădăcina lui cinci”. În general, înțelegi.)
Și acum ne vom modifica ușor funcția: vom scrie numitorul sub rădăcină.) Acum vom lua o astfel de integrală:
Exemplul 6
Numitorul are rădăcină. Desigur, s-a schimbat și formula corespunzătoare pentru integrare, da.) Din nou urcăm în tabel și căutăm pe cea potrivită. Avem rădăcini în formulele grupelor a 5-a și a 6-a. Dar în al șaselea grup, există doar o diferență sub rădăcini. Și avem suma. Deci lucrăm la a cincea formulă, cu un logaritm „lung”:
Număr DAR avem cinci. Înlocuiți în formulă și obțineți:
Și toate lucrurile. Acesta este răspunsul. Da, da, atât de simplu!
Dacă apar îndoieli, atunci este întotdeauna posibil (și necesar) să se verifice rezultatul prin diferențiere inversă. Sa verificam? Și apoi dintr-o dată, un fel de porcărie?
Diferențiem (nu acordăm atenție modulului și îl percepem ca paranteze obișnuite):
Totul este corect. :)
Apropo, dacă în integrandul sub rădăcină schimbăm semnul de la plus la minus, atunci formula de integrare va rămâne aceeași. Nu întâmplător se află în tabelul de sub rădăcină plus minus. :)
De exemplu:
Important!În caz de minus primul locul de sub rădăcină ar trebui să fie exact x 2, și pe al doilea – număr. Dacă sub rădăcină totul este invers, atunci formula tabelară corespunzătoare va fi deja un alt!
Exemplul 7
Sub rădăcină din nou minus, dar x 2 cu cinci locuri schimbate. Arată asemănător, dar nu la fel... Tabelul nostru are și o formulă pentru acest caz.) Formula numărul șase, nu am lucrat încă cu ea:
Și acum - cu grijă. În exemplul precedent, cei cinci noștri au acționat ca un număr A . Aici cei cinci vor acționa ca un număr si 2!
Prin urmare, pentru aplicarea corectă a formulei, nu uitați să luați rădăcina celor cinci:
Și acum exemplul este rezolvat într-un singur pas. :)
Asta e! Doar termenii de sub rădăcină și-au schimbat locurile, iar rezultatul integrării s-a schimbat semnificativ! Logaritm și arcsinus... așa că vă rog nu confunda aceste două formule! Deși integranții sunt foarte asemănători...
Primă:
În formulele tabelare 7-8, există coeficienți înainte de logaritm și arc tangente 1/(2a)Și 1/a respectiv. Și într-o situație alarmantă de luptă, atunci când scriu aceste formule, chiar și tocilarii căliți de studii se încurcă adesea unde 1/a, Si unde 1/(2a). Iată un truc simplu pe care să-l amintești.
În formula numărul 7
Numitorul integrandului este diferența de pătrate x 2 - a 2. Care, conform formulei școlare înfricoșătoare, se descompune ca (x-a)(x+a). Pe Două multiplicator. Cuvânt cheie - Două. Si aceste Două la integrare, parantezele merg la logaritm: cu un minus în sus, cu un plus - în jos.) Și coeficientul din fața logaritmului este de asemenea 1/( 2 dar).
Dar în formula numărul 8
Numitorul fracției este suma patratelor. Dar suma pătratelor x2 +a2 indecompuse în factori mai simpli. Prin urmare, orice s-ar spune, va rămâne la numitor unu factor. Și coeficientul din fața arc-tangentei va fi de asemenea 1/a.
Și acum, pentru o schimbare, să integrăm ceva din trigonometrie.)
Exemplul 8
Exemplul este simplu. Atât de simplu încât oamenii, fără măcar să se uite la masă, scriu imediat cu bucurie răspunsul și... au sosit. :)
Urmăm indicatoarele! Aceasta este cea mai frecventă greșeală la integrarea sinusurilor/cosinusurilor. A nu se confunda cu derivatele!
Da, (păcat X)" = cos XȘi (cos X)’ = - păcat X.
Dar!
Deoarece oamenii își amintesc de obicei derivatele cel puțin, pentru a nu se confunda în semne, tehnica de amintire a integralelor de aici este foarte simplă:
Integrala sinus/cosinus = minus derivată a aceluiaşi sinus/cosinus.
De exemplu, știm de la școală că derivata sinusului este egală cu cosinusul:
(păcat X)" = cos X.
Atunci pentru integrală din același sinus va fi adevărat:
Și atât.) Cu cosinus același lucru.
Să reparăm exemplul nostru:
preliminar transformări elementare integrand
Până în acest punct, au existat cele mai simple exemple. Pentru a înțelege cum funcționează tabelul și pentru a nu face greșeli în alegerea unei formule.)
Desigur, am făcut niște transformări simple - am scos factori, i-am împărțit în termeni. Dar răspunsul încă se afla la suprafață într-un fel sau altul.) Cu toate acestea... Dacă calculul integralelor s-ar limita doar la utilizarea directă a tabelului, atunci ar exista un freebie complet și viața ar deveni plictisitoare.)
Acum să ne uităm la exemple mai solide. Cele unde direct, se pare, nimic nu este decis. Dar merită să ne amintim literalmente câteva formule sau transformări ale școlii elementare, deoarece drumul către răspuns devine simplu și de înțeles. :)
Aplicarea formulelor de trigonometrie
Să continuăm să ne distrăm cu trigonometria.
Exemplul 9
Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar în trigonometrie scolara există această identitate puțin cunoscută:
Acum exprimăm pătratul tangentei de care avem nevoie și îl introducem sub integrală:
De ce se face asta? Și apoi, că după o astfel de transformare, integrala noastră se va reduce la două tabulare și va fi luată în considerare!
Vedea:
Acum să analizăm acțiunile noastre. La prima vedere, totul pare a fi simplu. Dar să ne gândim la asta. Dacă am avea o sarcină diferențiați aceeași funcție, atunci am face-o exactștia exact ce să facă – să aplice formulă derivata unei functii complexe:
Si asta e. Tehnologie simplă și fără probleme. Mereu funcționează și este garantat că va duce la succes.
Dar cum rămâne cu integrala? Și aici a trebuit să pătrundem în trigonometrie, să descoperim o formulă obscure în speranța că ne va ajuta cumva să ieșim și să reducem integrala la una tabelară. Și nu este un fapt că ne-ar ajuta, nu este deloc un fapt... De aceea integrarea este un proces mai creativ decât diferențierea. Artă, aș spune chiar. :) Și asta nu este cel mai mult exemplu complex. Este doar începutul!
Exemplul 10
Ce inspiră? Tabelul integralelor este încă neputincios, da. Dar, dacă te uiți din nou în vistieria noastră formule trigonometrice, atunci puteți săpați un foarte, foarte util Formula cosinusului cu unghi dublu:
Așa că aplicăm această formulă integrandului nostru. În rolul de „alfa” avem x / 2.
Primim:
Efectul este uimitor, nu?
Aceste două exemple arată clar că pre-transformarea funcției înainte de integrare destul de acceptabil și uneori ușurează enorm viața! Iar în integrare acest procedeu (transformarea integrandului) este un ordin de mărime mai justificat decât în diferențiere. Vei vedea mai tarziu.)
Să aruncăm o privire la câteva transformări tipice.
Formule de înmulțire prescurtate, extinderea parantezelor, reducerea like-urilor și metoda împărțirii termenilor.
Transformări banale de școală obișnuite. Dar uneori doar ei salvează, da.)
Exemplul 11
Dacă luăm în considerare derivatul, atunci nicio problemă: formula pentru derivatul produsului și - înainte. Dar formula standard pentru integrală din lucrare nu există. Și singura cale de ieșire de aici este să deschideți toate parantezele astfel încât să se obțină un polinom sub integrală. Și vom integra cumva polinomul.) Dar vom deschide și parantezele cu înțelepciune: formulele de înmulțire abreviată sunt un lucru puternic!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
Și acum luăm în considerare:
Și toate lucrurile.)
Exemplul 12
Din nou, formula standard pentru integrală de fracție nu exista. Totuși, numitorul integrandului conține singuratic x. Acest lucru schimbă radical situația.) Să împărțim numărătorul la numitor termen cu termen, reducând fracția noastră teribilă la o sumă inofensivă de funcții de putere tabelare:
Nu voi comenta în mod specific procedura de integrare a gradelor: nu mai sunt mici.)
Integram suma functiilor puterii. Prin farfurie.)
Asta e tot.) Apropo, dacă numitorul nu era x, dar, să zicem, x+1, asa:
Atunci acest truc cu împărțirea termen cu membru nu ar fi mers atât de ușor. Este din cauza prezenței rădăcinii în numărător și a uneia în numitor. Ar trebui să scap de rădăcină. Dar astfel de integrale sunt mult mai complicate. Despre ei - în alte lecții.
Vedea! Trebuie doar să modificați ușor funcția - abordarea integrării acesteia se schimbă imediat. Uneori dramatic!) Nu există o schemă standard clară. Fiecare funcție are propria abordare. Uneori chiar unic.
În unele cazuri, conversiile în fracții sunt și mai complicate.
Exemplul 13
Și aici, cum poate fi redusă integrala la un set de tabelare? Aici puteți eschiva cu îndemânare adunând și scăzând expresia x2în numărătorul unei fracții urmat de împărțirea termenilor. Recepție foarte pricepută în integrale! Urmărește cursul de master! :)
Și acum, dacă înlocuim fracția inițială cu diferența a două fracții, atunci integrala noastră se împarte în două tabelare - funcția de putere deja familiară și arc tangente (formula 8):
Ei bine, ce pot să spun? Wow!
Acest truc de adunare/scădere cu numărător este foarte popular în integrarea fracțiilor raționale. Foarte! Recomand să luați notă.
Exemplul 14
Și aici, aceleași reguli tehnologice. Trebuie doar să adăugați/scădeți unul pentru a selecta expresia din numitor de la numărător:
În general, fracțiile raționale (cu polinoame în numărător și numitor) sunt un subiect separat, foarte extins. Chestia este că fracțiile raționale sunt una dintre puținele clase de funcții pentru care un mod universal de integrare există. Metoda de descompunere în fracții simple, cuplată cu . Dar această metodă necesită foarte mult timp și este de obicei folosită ca artilerie grea. Ii vor fi dedicate mai mult de o lecție. Între timp, ne antrenăm și punem mâna pe funcții simple.
Să rezumam lecția de astăzi.
Astăzi am examinat în detaliu modul de utilizare a tabelului, cu toate nuanțele, am analizat multe exemple (și nu cele mai banale) și ne-am familiarizat cu cele mai simple metode de reducere a integralelor la cele tabulare. Și așa vom face acum mereu. Oricare ar fi funcția teribilă sub integrală, cu ajutorul unei mari varietăți de transformări, ne vom asigura că, mai devreme sau mai târziu, integrala noastră, într-un fel sau altul, se reduce la un set de tabelare.
Câteva sfaturi practice.
1) Dacă sub integrală există o fracție, în numărătorul căreia este suma gradelor (rădăcini), iar la numitor - singuratic x, atunci folosim împărțirea termen cu termen a numărătorului la numitor. Înlocuim rădăcinile cu puteri indicatori fracționari și se lucrează după formulele 1-2.
2) În construcțiile trigonometrice, în primul rând, încercăm formulele de bază ale trigonometriei - unghi dublu / triplu,
Poate fi foarte norocos. Sau poate nu…
3) Acolo unde este necesar (în special în polinoame și fracții), folosimformule de multiplicare prescurtate:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) La integrarea fracțiilor cu polinoame, încercăm să evidențiem artificial expresia (e) la numărător la numitor. Foarte des, fracția este simplificată, iar integrala este redusă la o combinație de cele tabelare.
Ei bine, prieteni? Văd că încep să-ți placă integralele. :) Apoi ne umplem mâna și rezolvăm singuri exemplele.) Materialul de astăzi este suficient pentru a le rezolva cu succes.
Ce? Nu stiu, ? Da! Nu am trecut încă prin asta.) Dar aici nu trebuie să fie integrate direct. Și să vă ajute cursul școlii!)
Răspunsuri (în dezordine):
Pentru cele mai bune rezultate Recomand cu căldură să achiziționați o colecție de sarcini pe G.N. Berman. Tare chestie!
Și asta e tot ce am pentru azi. Noroc!
Se arată că integrala produsului funcțiilor de putere ale sin x și cos x poate fi redusă la o integrală a binomului diferențial. Pentru valorile întregi ale exponenților, astfel de integrale sunt ușor de calculat în părți sau folosind formule de reducere. Este dată derivarea formulelor de reducere. Este dat un exemplu de calcul al unei astfel de integrale.
ConţinutVezi si:
Tabelul integralelor nedefinite
Reducerea la integrala binomul diferenţial
Luați în considerare integralele de forma:
Astfel de integrale sunt reduse la integrala binomul diferențial al uneia dintre substituțiile t = sin x sau t= cos x.
Să demonstrăm acest lucru prin înlocuire
t = sin x.
Apoi
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x \u003d 1 - sin 2 x \u003d 1 - t 2;
Dacă m și n numere rationale, atunci ar trebui aplicate metode de integrare binomială diferențială.
Integrarea cu numere întregi m și n
Apoi, luați în considerare cazul în care m și n sunt numere întregi (nu neapărat pozitive). În acest caz, integrandul este o funcție rațională a sin xȘi cos x. Prin urmare, se pot aplica regulile prezentate în secțiunea „Integrarea funcțiilor raționale trigonometrice”.
Cu toate acestea, ținând cont de caracteristicile specifice, este mai ușor de utilizat formule de reducere, care se obțin ușor prin integrare pe părți.
Formule turnate
Formule de reducere pentru integrală
arată ca:
;
;
;
.
Nu este nevoie să fie memorate, deoarece sunt ușor de obținut prin integrare pe părți.
Dovada formulelor de reducere
Ne integrăm pe părți.
Înmulțind cu m + n, obținem prima formulă:
În mod similar, obținem a doua formulă.
Ne integrăm pe părți.
Înmulțind cu m + n, obținem a doua formulă:
A treia formulă.
Ne integrăm pe părți.
Înmulțirea cu n + 1
, obținem a treia formulă:
În mod similar, pentru a patra formulă.
Ne integrăm pe părți.
Înmulțirea cu m + 1
, obținem a patra formulă:
Exemplu
Să calculăm integrala:
Să transformăm:
Aici m = 10, n = - 4.
Aplicam formula de reducere:
Pentru m = 10, n = - 4:
Pentru m = 8, n = - 2:
Aplicam formula de reducere:
Pentru m = 6, n = - 0:
Pentru m = 4, n = - 0:
Pentru m = 2, n = - 0:
Calculăm integrala rămasă:
Colectăm rezultate intermediare într-o singură formulă.
Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de sarcini pe matematica superioara, „Lan”, 2003.