În capitolul 8, au fost luate în considerare astfel de tipuri de obiecte de natură nenumerică, cum ar fi mulțimile fuzzy și aleatorii. Scopul acestei anexe este de a studia mai profund proprietățile mulțimilor fuzzy și de a arăta că teoria mulțimilor fuzzy într-un anumit sens se reduce la teoria mulțimilor aleatoare. Pentru a atinge acest scop, se formulează și se demonstrează un lanț de teoreme.
În cele ce urmează, se presupune că toate mulțimile considerate fuzzy sunt submulțimi ale aceleiași mulțimi Y.
P2-1. Legile lui De Morgan pentru seturile fuzzy
După cum se știe, următoarele identități ale algebrei mulțimilor sunt numite legile lui Morgan
Teorema 1.Pentru seturile neclare, identitățile
(3)
Demonstrarea teoremei 1 constă într-o verificare directă a validității relațiilor (2) și (3) prin calcularea valorilor funcțiilor de membru ale mulțimilor fuzzy participante la aceste relații pe baza definițiilor date în capitolul 8.
Se vor numi identitățile (2) și (3). legile lui de Morgan pentru seturile fuzzy. Spre deosebire de cazul clasic al relațiilor (1), ele constau din patru identități, dintre care o pereche se referă la operațiile de unire și intersecție, iar a doua la operațiunile de produs și sumă. La fel ca relația (1) în algebra mulțimilor, legile lui de Morgan în algebra mulțimilor fuzzy permit transformarea expresiilor și formulelor, care includ operații de negație.
P2-2. Legea distributivă pentru mulțimi fuzzy
Unele proprietăți ale operațiilor cu set nu sunt valabile pentru seturile fuzzy. Da, cu excepția cazului în care DAR- set „clear” (adică funcția de membru ia doar valorile 0 și 1).
Legea distributivă este adevărată pentru mulțimile fuzzy? Literatura de specialitate afirmă uneori vag că „nu întotdeauna”. Să lămurim complet.
Teorema 2.Pentru orice mulțimi neclare A, B și C
În același timp, egalitate
este adevărat dacă și numai dacă, pentru toți
Dovada. Fixăm un element arbitrar. Pentru a scurta notația, notăm Pentru a demonstra identitatea (4), este necesar să arătăm că
Luați în considerare ordine diferite a trei numere a, b, c. Fie mai întâi Apoi partea stângă a relației (6) este și partea dreaptă, adică. egalitatea (6) este valabilă.
Fie Atunci în relația (6) stă în stânga și în dreapta, adică. relația (6) este din nou o egalitate.
Dacă atunci în relația (6) stă în stânga și în dreapta, i.e. ambele părți se potrivesc din nou.
Alte trei ordonări de numere a, b, c nu este nevoie de dezasamblare, deoarece în relația (6) numerele bși c intra simetric. Identitatea (4) este dovedită.
A doua afirmație a teoremei 2 rezultă din faptul că, în conformitate cu definițiile operațiilor pe mulțimi fuzzy (vezi capitolul 8)
Aceste două expresii coincid dacă și numai dacă, când ceea ce trebuia să fie demonstrat.
Definiția 1.Purtătorul mulțimii fuzzy A este colecția tuturor punctelor , pentru care
Corolarul teoremei 2.Dacă suporturile mulțimilor fuzzy B și C coincid cu Y, atunci egalitatea (5) este valabilă dacă și numai dacă A este o mulțime „clară” (adică obișnuită, clasică, nu fuzzy).
Dovada. După condiție 
Cu toti . Apoi din teorema 2 rezultă că 
acestea. sau , ceea ce înseamnă că DAR- set clar.
P2-3. Seturi fuzzy ca proiecții ale mulțimilor aleatoare
Încă de la începutul apariției teoria modernă neclaritatea în anii 1960 a început o discuție despre relația sa cu teoria probabilității. Faptul este că funcția de membru a unei mulțimi fuzzy seamănă cu o distribuție de probabilitate. Singura diferență este că suma probabilităților peste toate valorile posibile ale variabilei aleatoare (sau integrala, dacă mulțimea de valori posibile este nenumărabilă) este întotdeauna egală cu 1, iar suma S valorile funcției de membru (în cazul continuu - integrala funcției de membru) pot fi oricare număr nenegativ. Există o tentație de a normaliza funcția de membru, adică. împărțiți toate valorile sale cu S(la S 0) pentru a o reduce la o distribuție de probabilitate (sau densitate de probabilitate). Cu toate acestea, specialiștii în fuzziness obiectează pe bună dreptate față de o astfel de reducere „primitivă”, deoarece se efectuează separat pentru fiecare neclaritate (mulțime neclară), iar definițiile operațiilor obișnuite pe mulțimi neclare nu pot fi de acord cu aceasta. Ultima afirmație înseamnă următoarele .Lasă funcțiile de membru ale mulțimilor fuzzy DARși LA. Cum sunt transformate funcțiile de membru în acest caz? Instalează-l imposibil în principiu. Ultima afirmație devine destul de clară după luarea în considerare a mai multor exemple de perechi de mulțimi fuzzy cu aceleași sume de valori ale funcțiilor de membru, dar rezultate diferite ale operațiilor teoretice de mulțimi asupra acestora și sumele valorilor funcțiilor de membru corespunzătoare. pentru aceste rezultate ale operațiilor teoretice de mulțimi, de exemplu, pentru intersecțiile de mulțimi sunt și ele distincte.
În lucrările despre mulțimi fuzzy, se afirmă destul de des că teoria fuzziness este o ramură independentă a matematicii aplicate și nu are nimic de-a face cu teoria probabilității (vezi, de exemplu, revizuirea literaturii de specialitate în monografii). Autorii care au comparat teoria fuzzy și teoria probabilității au subliniat de obicei diferența dintre aceste domenii de cercetare teoretică și aplicată. De obicei, se compară axiomatica și se compară domeniile de aplicare. Trebuie remarcat imediat că argumentele din al doilea tip de comparații nu au forță probatorie, deoarece există opinii diferite despre limitele de aplicabilitate chiar și a unui domeniu științific atât de vechi ca metodele probabilistic-statistice. Amintiți-vă că rezultatul raționamentului unuia dintre cei mai cunoscuți matematicieni francezi, Henri Lebesgue, despre limitele de aplicabilitate a aritmeticii este următorul: „Aritmetica este aplicabilă atunci când este aplicabilă” (vezi monografia sa).
Când comparăm diferite axiome ale teoriei fuzzy și ale teoriei probabilităților, este ușor de observat că listele de axiome diferă. Din aceasta, însă, în niciun caz nu rezultă că între aceste teorii este imposibil să se stabilească o legătură, cum ar fi binecunoscuta reducere a geometriei euclidiene în plan la aritmetică (mai precis, la teoria unui sistem de numere - vezi , de exemplu, monografia). Amintiți-vă că aceste două axiomatice - geometria euclidiană și aritmetica - la prima vedere, sunt foarte diferite.
Se poate înțelege dorința pasionaților noului trend de a sublinia noutatea fundamentală a aparatului lor științific. Cu toate acestea, este la fel de important să se stabilească legături între noua abordare și cele cunoscute anterior.
După cum sa dovedit, teoria mulțimilor fuzzy este strâns legată de teoria mulțimilor aleatoare. În 1974, s-a arătat în lucrare că este firesc să considerăm mulțimile neclare ca „proiecții” de mulțimi aleatoare. Să luăm în considerare această metodă de reducere a teoriei mulțimilor fuzzy la teoria mulțimilor aleatoare.
Definiția 2.Lasa - o submulțime aleatorie a unei mulțimi finite Y. O mulțime fuzzy B definită pe Y se numește proiecție A și se notează cu Proj A dacă
(7)
pentru toți
Evident, fiecare set aleatoriu DAR poate fi pus în corespondență cu ajutorul formulei (7) mulțime fuzzy B = Proiect A. Se dovedește că și contrariul este adevărat.
Teorema 3. Pentru orice submulțime fuzzy B a unei mulțimi finite Y, există o submulțime aleatorie A a mulțimii Y astfel încât B = Proj A.
Dovada. Este suficient să specificați distribuția mulțimii aleatoare DAR. Lasa 1- transportator LA(vezi definiția 1 de mai sus). Fără a pierde generalitatea, putem presupune că 
la unii mși elemente 1 numerotate în aşa fel încât
Să vă prezentăm seturile
Pentru toate celelalte subseturi X seturi La sa punem P(A=X)=0. Din moment ce elementul YT incluse in set Y(1), Y(2),…, Y(t)și nu este inclusă în
seturi Y(t+1),…, Y(m), apoi
din formulele de mai sus rezultă că 
Dacă atunci, evident, se demonstrează teorema 3.
Distribuția unei mulțimi aleatoare cu elemente independente, după cum reiese din considerentele capitolului 8, este complet determinată de proiecția sa. Pentru un set aleator finit vedere generala nu este adevarat. Pentru a clarifica ceea ce s-a spus, avem nevoie de următoarea teoremă.
Teorema 4. Pentru o submulțime aleatorie A a unei mulțimi Y dintr-un finit număr de elemente seturi de numere 
și 
sunt exprimate unul prin altul.
Dovada. Al doilea set este exprimat în termenii primului, după cum urmează:
Elementele primei multimi pot fi exprimate in termenii celui de-al doilea folosind formula incluziunilor si excluderilor din logica formala, conform careia
În această formulă, în prima sumă la parcurge toate elementele setului Y\X,în a doua sumă, variabilele de însumare 1și la 2 nu coincid și, de asemenea, trece prin acest set și așa mai departe. Referirea la formula de includere și excludere completează demonstrația teoremei 4.
În conformitate cu teorema 4, o mulțime aleatorie A poate fi caracterizată nu numai printr-o distribuție, ci și printr-o mulțime de numere 
În acest set a nu există alte relații de tip egalitate. Acest set include numere, prin urmare, fixarea proiecției unui set aleatoriu este echivalentă cu fixarea k = Card(Y) parametrii de la (2k-1) parametri care specifică distribuția unui set aleatoriu DARîn general.
Următoarea teoremă va fi utilă.
Teorema 5. În cazul în care un Proiect A = B, apoi
Pentru a o demonstra, este suficient să folosim identitatea din teoria mulțimilor aleatoare, formula probabilității de acoperire din capitolul 8, definiția negației unei mulțimi fuzzy și faptul că suma tuturor P(A= X) este egal cu 1.
P2-4. Intersecții și produse ale mulțimilor fuzzy și aleatorii
Să aflăm cum sunt legate operațiunile pe mulțimi aleatoare de operațiunile pe proiecțiile lor. În virtutea legilor lui de Morgan (Teorema 1) și Teorema 5, este suficient să luăm în considerare operația de intersecție a mulțimilor aleatoare.
Teorema 6. Dacă submulţimile aleatoare A 1 şi A 2 ale unei mulţimi finite sunt independente, apoi multimea fuzzy este un produs seturi neclare Proj A 1 și Proj A 2 .
Dovada. Trebuie să arătăm asta pentru orice
Conform formulei pentru probabilitatea acoperirii unui punct cu o mulțime aleatorie (Capitolul 8)
După cum se știe, distribuția de intersecție a mulțimilor aleatoare poate fi exprimată în termenii distribuției lor comune, după cum urmează:
Din relațiile (9) și (10) rezultă că probabilitatea de acoperire pentru intersecția mulțimilor aleatoare poate fi reprezentată ca o sumă dublă
Rețineți acum că partea dreaptă a formulei (11) poate fi rescrisă după cum urmează:
(12)
Într-adevăr, formula (11) diferă de formula (12) doar prin aceea că conține termeni în care intersecția variabilelor de însumare ia o valoare constantă. Folosind definiția independenței mulțimilor aleatoare și regula înmulțirii sumelor, obținem că din (11) și (12) rezultă egalitatea
Pentru a completa demonstrația teoremei 6, este suficient să ne referim încă o dată la formula pentru probabilitatea ca un punct să fie acoperit de o mulțime aleatorie (Capitolul 8).
Definiția 3. Purtătorul unei mulțimi aleatoare C este colecția tuturor acestor elemente pentru care
Teorema 7.Egalitate
este adevărată dacă și numai dacă intersecția suporturilor de mulțimi aleatoare și gol.
Dovada. Este necesar să se afle condițiile în care
Atunci egalitatea (13) se reduce la condiția
Este clar că relația (14) este satisfăcută dacă și numai dacă R2R3=0 pentru toate i.e. nu există niciun element astfel încât în același timp 
și 
, iar aceasta este echivalentă cu golul intersecției suporturilor de mulțimi aleatoare și .
Teorema 7 este demonstrată.
P2-5. Reducerea unei secvențe de operații pe mulțimi fuzzy
la o succesiune de operaţii pe mulţimi aleatoare
Mai sus, se obțin unele conexiuni între seturile fuzzy și aleatorii. Este de remarcat faptul că studiul acestor relații în lucrare (această lucrare a fost realizată în 1974 și raportată la seminarul „Multidimensional analize statisticeşi modelarea probabilistică a proceselor reale „18 decembrie 1974 – vezi) a început cu introducerea mulţimilor aleatoare în vederea dezvoltării şi generalizării aparatului de mulţimi fuzzy L. Zadeh. Cert este că aparatul matematic al mulţimilor fuzzy nu permite a lua în considerare diverse opțiuni dependenţele dintre concepte (obiecte) modelate cu ajutorul lui nu este suficient de flexibilă. Deci, pentru a descrie „partea comună” a două mulțimi neclare, există doar două operații - produsul și intersecția. Dacă se folosește prima dintre acestea, atunci se presupune că mulțimile se comportă ca proiecții ale unor mulțimi aleatoare independente (vezi Teorema 6 de mai sus). Operația de intersecție impune și restricții bine definite asupra tipului de dependență dintre mulțimi (vezi Teorema 7 de mai sus), și în acest caz se găsesc chiar și condiții necesare și suficiente. Este de dorit să existe mai multe oportunități de modelare a dependenței dintre mulțimi (concepte, obiecte). Utilizare aparate matematice seturile aleatoare oferă astfel de oportunități.
Scopul reducerii mulțimilor fuzzy la cele aleatoare este de a vedea în spatele oricărei construcții din mulțimi fuzzy o construcție din mulțimi aleatoare care determină proprietățile primei, la fel cum vedem o variabilă aleatorie prin densitatea distribuției de probabilitate. În această subsecțiune, prezentăm rezultatele privind reducerea algebrei mulțimilor fuzzy la algebrei mulțimilor aleatoare.
Definiția 4.Spațiu de probabilitate { W, G, P)numim divizibil daca pentru orice multime masurabila X G si oricare număr pozitiv , mai mic decât P(X), se poate specifica o mulțime măsurabilă astfel încât
Exemplu. Fie cubul unitar al unei dimensiuni finite spațiu liniar, G este sigma-algebra mulțimilor Borel și P este măsura Lebesgue. Apoi { W, G, P)- spaţiul de probabilitate divizibil.
Astfel, un spațiu de probabilitate divizibil nu este exotic. Cubul obișnuit este un exemplu de astfel de spațiu.
Dovada afirmației formulate în exemplu este realizată prin metode matematice standard bazate pe faptul că o mulțime măsurabilă poate fi aproximată în mod arbitrar cu acuratețe seturi deschise, acestea din urmă sunt reprezentate ca o sumă de cel mult un număr numărabil de bile deschise, iar pentru bile se verifică direct divizibilitatea (corpul volumului este separat de mingea X printr-un plan corespunzător).
Teorema 8.Fie dată o mulțime aleatorie A pe un spațiu de probabilitate divizibil (W, G, P) cu valori în mulțimea tuturor submulților ale mulțimii Y a unui număr finit de elemente și o mulțime fuzzy D pe Y. Apoi există mulțimi aleatoare ~ 1, De la 2, De la 3, C 4 pe același spațiu de probabilitate astfel încât
unde B = ProjA.
Dovada. Datorită validității legilor lui de Morgan pentru fuzzy (vezi Teorema 1 de mai sus) și pentru mulțimi aleatoare, precum și Teorema 5 de mai sus (despre negații), este suficient să se dovedească existența mulțimilor aleatoare De la 1și De la 2 .
Luați în considerare distribuția de probabilitate în mulțime a tuturor submulților din mulțime La, corespunzând unui set aleatoriu Cu astfel încât Proiect C = D(există în virtutea teoremei 3). Să construim un set aleatoriu C 2 Excludeți elementul numai pentru 
din aceeași mulțime Y astfel încât
și, în plus, rezultatele operațiilor teoretice de mulțimi sunt legate prin relații similare
unde semnul înseamnă că locul luat în considerare este simbolul intersecției mulțimilor aleatoare, dacă definiția lui B m conține simbolul intersecției sau simbolul produsului mulțimilor fuzzy și, în consecință, simbolul uniunii de mulțimi aleatoare, dacă B m conține simbolul unirii sau simbolul sumei mulțimilor fuzzy.
Legile lui De Morgan sunt reguli logice, stabilit de matematicianul scoțian Augustus de Morgan, conectând perechi de operații logice folosind negația logică.
Augustus de Morgan a observat că următoarele relații sunt adevărate în logica clasică:
nu (A și B) = (nu A) sau (nu B)
nu (A sau B) = (nu A) și (nu B)
Într-o formă mai familiară pentru noi, aceste rapoarte pot fi scrise în următoarea formă:
Legile lui De Morgan pot fi formulate după cum urmează:
Legea lui I de Morgan: Negația disjuncției a două enunțuri simple este echivalentă cu conjuncția negațiilor acestor enunțuri.
Legea lui II de Morgan: Negația conjuncției a două enunțuri simple este echivalentă cu disjuncția negațiilor acestor enunțuri.
Luați în considerare aplicarea legilor lui de Morgan pe exemple specifice.
Exemplul 1 Transformați formula astfel încât să nu existe negații ale enunțurilor complexe.
Să folosim prima lege a lui de Morgan, obținem:
aplicăm a doua lege a lui de Morgan la negația conjuncției afirmațiilor simple B și C, obținem:
,
prin urmare:
.
Ca rezultat, am obținut o declarație echivalentă în care nu există negații de enunțuri compuse, iar toate negațiile se referă doar la afirmații simple.
Puteți verifica validitatea soluției folosind tabele de adevăr. Pentru a face acest lucru, compilam tabele de adevăr pentru afirmația originală:
iar pentru afirmația obținută ca urmare a transformărilor efectuate folosind legile lui de Morgan:
.
Tabelul 1.
|
B/\C |
A\/B/\C |
||||
După cum vedem din tabele, afirmația logică originală și afirmația logică obținută cu ajutorul legilor lui de Morgan sunt echivalente. Acest lucru este dovedit de faptul că în tabelele de adevăr avem aceleași seturi de valori.
Formule și legile logicii
Pe lecție introductivă dedicat pentru Fundamentele logicii matematice, ne-am familiarizat cu conceptele de bază ale acestei secțiuni de matematică, iar acum subiectul primește o continuare firească. Pe lângă noul material educațional teoretic, sau mai degrabă nici măcar nu teoretic, ci general, ne așteaptă sarcini practice și, prin urmare, dacă ați ajuns la această pagină dintr-un motor de căutare și/sau sunteți prost orientat în material, atunci vă rugăm să urmați linkul de mai sus și începeți de la articolul anterior. În plus, pentru practică avem nevoie de 5 tabele de adevăr operatii logice pe care eu recomand cu caldura rescrie manual.
NU ține minte, NU tipări, și anume, înțelegi și rescrie din nou pe hârtie cu propria ta mână - astfel încât să fie în fața ochilor tăi:
– masa NU;
- tabelul I;
– masa SAU;
– tabel de implicare;
- Tabel de echivalență.
Este foarte important. In principiu, ar fi convenabil sa le numerotati „Tabelul 1”, „Tabelul 2”, etc., dar am subliniat în mod repetat defectul acestei abordări - după cum se spune, într-o sursă tabelul va fi primul, iar în cealaltă - o sută primul. Prin urmare, vom folosi nume „naturale”. Noi continuăm:
De fapt, ești deja familiarizat cu conceptul de formulă logică. Voi da un standard, dar mai degrabă spiritual definiție: formule algebrele propoziționale se numesc:
1) orice afirmații elementare (simple);
2) dacă și sunt formule, atunci formulele sunt și expresii ale formei
.
Nu există alte formule.
În special, o formulă este orice operație logică, cum ar fi înmulțirea logică. Acordați atenție celui de-al doilea punct - permite recursiv mod de a „crea” o formulă arbitrar lungă. În măsura în care 
sunt formule, atunci este și o formulă; deoarece și sunt formule, atunci 
- de asemenea o formulă etc. Orice afirmație elementară (din nou prin definitie) poate introduce formula de mai multe ori.
Formulă nu este, de exemplu, o înregistrare - și aici există o analogie evidentă cu „gunoiul algebric”, din care nu este clar dacă numerele trebuie adăugate sau înmulțite.
Formula logică poate fi gândită ca functie logica. Să scriem aceeași conjuncție în formă funcțională: 
Enunțurile elementare în acest caz joacă și rolul de argumente (variabile independente), care în logica clasică pot lua 2 valori: Adevărat sau Fals. În cele ce urmează, pentru comoditate, voi numi uneori afirmații simple variabile.
Tabelul care descrie formula logică (funcția) se numește, așa cum sa menționat deja, tabelul de adevăr. Vă rog - o imagine familiară: 
Principiul formării tabelului de adevăr este următorul: „la intrare” trebuie să enumerați toate combinațiile posibile adevăruri și minciuni pe care propozițiile (argumentele) elementare le pot accepta. În acest caz, formula include două afirmații și este ușor de aflat că există patru astfel de combinații. „La ieșire”, obținem valorile logice corespunzătoare ale întregii formule (funcție).
Trebuie să spun că „ieșirea” aici s-a dovedit a fi „într-un singur pas”, dar în cazul general formula logică este mai complexă. Și în astfel de „cazuri dificile” este necesar să se observe ordinea executării operaţiilor logice:
- se execută mai întâi negația;
- în al doilea rând - conjuncție;
- apoi - disjuncție;
- apoi implicatia ;
- și, în sfârșit, cea mai mică prioritate are echivalentul.
Deci, de exemplu, intrarea implică că mai întâi trebuie să efectuați înmulțirea logică, apoi - adunarea logică:. La fel ca în algebra „obișnuită” - „mai întâi înmulțim, apoi adunăm”.
Ordinea acțiunilor poate fi modificată în mod obișnuit - paranteze:
- aici, în primul rând, se realizează disjuncția și abia apoi o operație mai „puternică”.
Probabil că toată lumea înțelege, dar pentru orice caz un pompier: și asta două diferite formule! (atât formal, cât și pe fond)
Să facem un tabel de adevăr pentru formulă. Această formulă include două declarații elementare și „la intrare” trebuie să enumerăm toate combinațiile posibile de unu și zero. Pentru a evita confuziile și inconsecvențele, suntem de acord să enumeram combinații strict în această ordine (pe care îl folosesc de facto de la bun început):
Formula include două operații logice, iar în funcție de prioritatea lor, în primul rând, trebuie să efectuați negare declarații. Ei bine, anulăm coloana „pe” - transformăm unitățile în zerouri și zerourile în unități: 
În al doilea pas, ne uităm la coloane și le aplicăm SAU operare. Privind puțin înainte, voi spune că disjuncția este permutabilă (si sunt acelasi lucru), și, prin urmare, coloanele pot fi analizate în ordinea obișnuită - de la stânga la dreapta. Când efectuați adunări logice, este convenabil să utilizați următorul raționament aplicat: „Dacă sunt două zerouri, punem zero, dacă măcar o unitate, punem una”:
Tabelul adevărului este construit. Și acum să ne amintim de vechea implicație bună: 
…atent-atent… uită-te la ultimele coloane…. În algebra propozițională, astfel de formule sunt numite echivalent sau identic:
(trei linii orizontale sunt pictograma de identitate)
În prima parte a lecției, am promis că voi exprima implicația prin operații logice de bază, iar îndeplinirea promisiunii nu a întârziat să apară! Cei care doresc pot pune un sens semnificativ implicației (de ex. „Dacă plouă, afară este umed”)și analizați independent afirmația echivalentă.
Să formulăm definiție generală : cele două formule se numesc echivalent (identic), dacă iau aceleași valori pentru orice set de valori incluse în aceste formule variabile (enunțuri elementare). Ei spun si asta „formulele sunt echivalente dacă tabelele lor de adevăr sunt aceleași”, dar nu prea îmi place această frază.
Exercitiul 1
Faceți un tabel de adevăr pentru formula și asigurați-vă că identitatea pe care o cunoașteți este adevărată.
Să repetăm procedura de rezolvare a problemei:
1) Deoarece formula include două variabile, vor exista 4 seturi posibile de zerouri și unu în total. Le notăm în ordinea specificată mai sus.
2) Implicațiile sunt „mai slabe” decât conjuncțiile, dar sunt situate între paranteze. Completam coloana, deși este convenabil să folosim următorul raționament aplicat: „dacă zero urmează de la unu, atunci punem zero, în toate celelalte cazuri - unu”. Apoi, completați coloana pentru implicația și, în același timp, Atenţie!– coloane și ar trebui analizate „de la dreapta la stânga”!
3) Și în etapa finală, completați coloana finală. Și aici este convenabil să argumentezi astfel: „dacă sunt două în coloane, atunci punem una, în toate celelalte cazuri - zero”.
Și, în sfârșit, verificăm tabelul de adevăr echivalențe .
Echivalențe de bază ale algebrei propoziționale
Tocmai ne-am întâlnit pe doi dintre ei, dar problema, desigur, nu se limitează la ei. Există destul de multe identități și le voi enumera pe cele mai importante și mai faimoase dintre ele:
Comutativitatea conjuncției și comutativitatea disjuncției
comutativitatea este o permutare:
Familiar din regulile clasei I: „Dintr-o rearanjare a factorilor (termenilor), produsul (suma) nu se modifică”. Dar, pentru toată elementaritatea aparentă a acestei proprietăți, este departe de a fi întotdeauna adevărată, în special, este necomutativă. înmulțirea matriceală (în general, nu pot fi rearanjate), A produs încrucișat al vectorilor– anticomutativ (permutarea vectorilor implică o schimbare de semn).
Și în plus, aici vreau să subliniez din nou formalismul logicii matematice. Deci, de exemplu, fraze „Elevul a promovat examenul și a băut”și „Elevul a băut și a promovat examenul” diferit din punct de vedere al conținutului, dar imposibil de distins din punctul de vedere al adevărului formal. ... Fiecare dintre noi cunoaște astfel de studenți, iar din motive etice nu vom numi nume specifice =)
Asociativitatea înmulțirii și adunării logice
Sau, dacă „stil de școală” este o proprietate asociativă:
Proprietăți de distribuție
Vă rugăm să rețineți că în al 2-lea caz va fi incorect să vorbim despre „deschiderea parantezelor”, într-un sens, aici este o „ficțiune” - la urma urmei, acestea pot fi eliminate cu totul: înmulțirea este o operație mai puternică.
Și din nou - aceste proprietăți aparent „banale” sunt departe de a fi îndeplinite în toate sisteme algebriceși, în plus, necesită dovezi (despre care vom vorbi foarte curând). Apropo, a doua lege distributivă nu este valabilă nici măcar în algebra noastră „obișnuită”. Și într-adevăr:
Legea idempotentei
Ce să faci, latină....
Doar un principiu al unui psihic sănătos: „Eu și eu sunt eu”, „Eu sau eu sunt și eu” =)
Și iată câteva identități similare: 
... ei bine, ceva chiar am închis... așa că mâine te poți trezi cu un doctorat =)
Legea dublei negații
Ei bine, aici exemplul cu limba rusă deja sugerează de la sine - toată lumea știe foarte bine că două particule „nu” înseamnă „da”. Și pentru a îmbunătăți culoarea emoțională a negării, trei „nu” sunt adesea folosite:
- chiar și cu o mică dovadă că a funcționat!
Legile de absorbție
- A fost un băiat? =)
În identitatea corectă, parantezele pot fi omise.
legile lui De Morgan
Să presupunem că un profesor strict (al cărui nume îl știi și tu :)) pune un examen dacă - Elevul a răspuns la prima întrebare și – Elevul a răspuns la a 2-a întrebare. Apoi declarația care spune că Student nu a trecut examenul, va fi echivalent cu afirmația - Student nu a raspuns la prima intrebare sau la a 2-a întrebare.
După cum s-a menționat mai sus, echivalențele sunt supuse dovezii, care se realizează în mod standard folosind tabele de adevăr. De fapt, am demonstrat deja echivalențele care exprimă implicația și echivalența, iar acum este timpul să reparăm tehnica de rezolvare a acestei probleme.
Să dovedim identitatea. Deoarece include o singură instrucțiune, atunci sunt posibile doar două opțiuni „la intrare”: una sau zero. Apoi, atribuim o singură coloană și le aplicăm regula SI:
Ca urmare, „la ieșire” se obține o formulă, al cărei adevăr coincide cu adevărul enunțului. Echivalența a fost dovedită.
Da, această dovadă este primitivă (și cineva va spune că este „prost”), dar un profesor tipic de logică de matematică îi va zgudui sufletul pentru el. Prin urmare, chiar și astfel de lucruri simple nu trebuie tratate cu dispreț.
Acum să ne asigurăm, de exemplu, de validitatea legii lui de Morgan.
Mai întâi, să creăm un tabel de adevăr pentru partea stângă. Deoarece disjuncția este între paranteze, în primul rând o executăm, după care negăm coloana: 
Apoi, alcătuim un tabel de adevăr pentru partea dreaptă. Și aici totul este transparent - în primul rând, efectuăm mai multe negative „puternice”, apoi aplicăm coloanelor regula SI:
Rezultatele s-au potrivit, astfel încât identitatea este dovedită.
Orice echivalență poate fi reprezentată ca formulă identică adevărată. Înseamnă că PENTRU ORICE set inițial de zerouri și unu„la ieșire” se obține strict unitate. Și există o explicație foarte simplă pentru aceasta: deoarece tabelele de adevăr și coincid, atunci, desigur, ele sunt echivalente. Să combinăm, de exemplu, părțile din stânga și din dreapta ale identității de Morgan tocmai dovedite prin echivalență: 
Sau, mai compact:
Sarcina 2
Demonstrați următoarele echivalențe:
b) 
Scurtă soluție la sfârșitul lecției. Să nu fim leneși! Încercați nu numai să faceți tabele de adevăr, ci și clar formula concluzii. După cum am observat recent, neglijarea lucrurilor simple poate fi foarte, foarte costisitoare!
Continuăm să ne familiarizăm cu legile logicii!
Da, absolut corect - lucrăm deja cu ei cu putere și principal:
Adevărat la , se numește formulă identică adevărată sau legea logicii.
În virtutea tranziției justificate anterior de la echivalență la formula identic adevărată, toate identitățile enumerate mai sus sunt legile logicii.
Formula care ia o valoare Minciună la orice set de valori ale variabilelor incluse în acesta, se numește formulă identică falsă sau contradicţie.
Un exemplu de contradicție de la grecii antici:
Nicio afirmație nu poate fi adevărată și falsă în același timp.
Dovada este banala: 
„Ieșirea” a primit exclusiv zerouri, prin urmare, formula este într-adevăr identic fals.
Cu toate acestea, orice contradicție este și o lege a logicii, în special: 
Este imposibil să acoperim un subiect atât de vast într-un singur articol și, prin urmare, mă voi limita la doar câteva legi:
Legea mijlocului exclus
- în logica clasică, orice afirmație este adevărată sau falsă și nu există a treia cale. "A fi sau a nu fi aceasta este intrebarea.
Fă-ți propriul tabel de adevăr și asigură-te că este identic adevărat formulă.
Legea contrapoziției
Această lege a fost exagerată în mod activ când am discutat despre esență conditie necesara, tine minte: „Dacă afară este umed în timpul ploii, atunci rezultă că dacă afară este uscat, atunci cu siguranță nu a plouat”.
Din această lege mai rezultă că dacă echitabil este Drept teorema, apoi afirmația, care se numește uneori opus teorema.
Daca e adevarat verso teoremă, atunci, în virtutea legii contrapoziției, este valabilă și teorema, invers invers:
Și să revenim la exemplele noastre semnificative: pentru enunțuri - un număr este divizibil cu 4, - un număr este divizibil cu 2 corect Dreptși opus teoreme, dar false versoși invers invers teoreme. Pentru formularea „adultă” a teoremei lui Pitagora, toate cele 4 „direcții” sunt adevărate.
Legea silogismului
De asemenea, un clasic al genului: „Toți stejarii sunt copaci, toți copacii sunt plante, de aceea toți stejarii sunt plante”.
Ei bine, din nou aș dori să remarc formalismul logicii matematice: dacă Profesorul nostru strict crede că un anumit Student este un stejar, atunci din punct de vedere formal, acest Student este cu siguranță o plantă =) ... deși, dacă te gandesti bine, poate fi si de la unul informal = )
Să facem un tabel de adevăr pentru formulă. În conformitate cu prioritatea operațiilor logice, respectăm următorul algoritm:
1) efectuați implicațiile și . În general, puteți executa imediat a treia implicație, dar este mai convenabil cu ea (și permis!) dă-ți seama puțin mai târziu
2) se aplică coloanelor regula SI;
3) acum executam;
4) iar la etapa finală aplicați implicația la coloane 
și .
Simțiți-vă liber să controlați procesul cu degetele arătător și mijlociu :)) 
Din ultima coloană, cred că totul este clar fără comentarii:
, ceea ce urma să fie dovedit.
Sarcina 3
Aflați dacă este o lege a logicii următoarea formulă:
Scurtă soluție la sfârșitul lecției. Da, și aproape că am uitat - să fim de acord să enumeram seturile inițiale de zerouri și unu în exact aceeași ordine ca și în dovedirea legii silogismului. Desigur, liniile pot fi rearanjate, dar acest lucru va face foarte dificil să se împace cu soluția mea.
Conversia formulelor booleene
Pe lângă scopul lor „logic”, echivalențele sunt utilizate pe scară largă pentru a transforma și simplifica formulele. În linii mari, o parte a identității poate fi schimbată cu alta. Deci, de exemplu, dacă întâlniți un fragment într-o formulă logică, atunci, conform legii idempotității, puteți (și ar trebui) să scrieți simplu în locul lui. Dacă vedeți , atunci, conform legii absorbției, simplificați notația la . etc.
În plus, mai este un lucru important: identitățile sunt valabile nu numai pentru propozițiile elementare, ci și pentru formulele arbitrare. De exemplu:
, unde sunt (oricât de complex doriți) formule.
Să transformăm, de exemplu, implicația complexă 
(prima identitate):
În continuare, aplicăm legea „complexă” de Morgan la paranteză, în timp ce, din cauza priorității operațiunilor, este legea , unde 
:
Parantezele pot fi eliminate, deoarece în interior există o conjuncție mai „puternică”:
Ei bine, cu comutativitatea, în general, totul este simplu - nici măcar nu trebuie să desemnați nimic ... ceva a pătruns în sufletul meu legea silogismului :))
Astfel, legea poate fi rescrisă într-o formă mai complicată:
Vorbește cu voce tare lanțul logic „cu un stejar, un copac, o plantă”, și vei înțelege că sensul de fond al legii nu s-a schimbat deloc din rearanjarea implicațiilor. Este că formularea a devenit mai originală.
Ca antrenament, simplificăm formula.
Unde sa încep? În primul rând, pentru a înțelege ordinea acțiunilor: aici negația se aplică unui întreg parantez, care este „fixat” cu afirmația printr-o conjuncție „puțin mai slabă”. În esență, avem în fața noastră produsul logic a doi factori: . Dintre cele două operațiuni rămase, implicarea are cea mai mică prioritate și, prin urmare, întreaga formulă are următoarea structură: .
De regulă, la primul pas (pașii) scăpați de echivalență și implicație (daca sunt)și reduceți formula la trei operații logice de bază. Ce pot sa spun…. Logic.
(1) Folosim identitatea 
. Și în cazul nostru.
Aceasta este de obicei urmată de „dezasamblarea” cu paranteze. Mai întâi toată soluția, apoi comentariile. Pentru a nu obține „ulei de unt”, voi folosi pictogramele de egalitate „obișnuite”: 
(2) Aplicăm legea lui de Morgan la parantezele exterioare, unde .
Teorema de absorbție scrisă în două forme – disjunctive și
conjunctiv, respectiv:
A + AB \u003d A (16)
A(A + B)=A (17)
Să demonstrăm prima teoremă. Să scoatem litera A din paranteze:
DAR + AB \u003d A (1 + B)
Conform teoremei (3) 1 + B = 1, prin urmare
A(1 + B) = A 1 = A
Pentru a demonstra a doua teoremă, extindem parantezele:
A(A + B) = A A + AB = A + AB
Rezultatul este o expresie care tocmai a fost dovedită.
Să luăm în considerare câteva exemple de aplicare a teoremei de absorbție pentru
simplificarea formulelor booleene.
Teorema de lipire are de asemenea două forme – disjunctive şi
conjunctivala:
Să demonstrăm prima teoremă:
deoarece conform teoremelor (5) și (4)
Pentru a demonstra a doua teoremă, deschidem parantezele:
Conform teoremei (6), deci:
Conform teoremei de absorbție (16) A + AB \u003d A
Teorema de absorbție, ca și teorema de lipire, se aplică la simplificare
formule booleene, de exemplu:
teorema lui De Morgan leagă toate cele trei operații de bază ale algebrei booleene
Disjuncția, conjuncția și inversiunea:
Prima teoremă este următoarea: inversarea unei conjuncții este o disjuncție
inversiuni. În al doilea rând, inversarea unei disjuncții este conjuncția inversiilor. Puteți demonstra teoremele lui Morgan folosind tabele de adevăr pentru părțile din stânga și din dreapta.
Teorema lui De Morgan se aplică și la Mai mult variabile:
Cursul 5
Inversa expresii complexe
Teorema lui De Morgan se aplică nu numai conjuncțiilor simple
sau disjuncții, dar și la expresii mai complexe.
Să găsim inversul expresiei AB + CD , reprezentată ca o disjuncţie a conjuncţiilor. Inversarea va fi considerată completă dacă semnele negative sunt doar deasupra variabilelor. Să introducem notația: AB = X;
CD=Y apoi
Găsiți și înlocuiți în expresia (22):
Prin urmare:
Luați în considerare o expresie prezentată sub formă conjunctivă:
(A + B) (C + D)
Să găsim inversarea ei în formă
Să introducem notația: A + B = X; C + D \u003d Y, apoi
Găsiți și înlocuiți-le în expresie
Prin urmare:
Când inversați expresii complexe, puteți folosi următoarea regulă. Pentru a găsi inversiunea, este necesar să înlocuiți semnele de conjuncție cu semne de disjuncție și semnele de disjuncție cu semne de conjuncție și să puneți inversiuni peste fiecare variabilă:
Conceptul de funcție booleană
LAîn cazul general, o funcție (lat. functio - performanță, conformitate,
maparea) este o anumită regulă (lege), conform căreia fiecare element al mulțimii X, care este domeniul de variabilă independentă X, i se atribuie un anumit element al multimii F,
care este înțeles ca interval de valori ale variabilei dependente f . În cazul funcţiilor booleene X=F = (0,1). Regula prin care este specificată funcția poate fi orice formulă booleană, de exemplu:
Simbol f aici este o funcție care este, ca și argumentele lui A, B, C, variabilă binară.
Argumentele sunt variabile independente, pot lua orice valoare - fie 0, fie 1. Funcția f - variabilă dependentă. Semnificația sa este complet determinată de valorile variabilelor și de conexiunile logice dintre ele.
Caracteristica principală a unei funcții este că, pentru a-i determina valoarea, în cazul general, este necesar să se cunoască valorile tuturor argumentelor de care depinde. De exemplu, funcția de mai sus depinde de trei argumente A, V, S. Dacă luăm A = 1, atunci obținem
adică se obține o nouă expresie, care nu este egală nici cu zero, nici cu
unitate. Lasă acum LA= 1. Apoi
adică, în acest caz, nu se știe dacă funcția este egală cu zero sau cu unu.
În sfârșit, să luăm Cu= 0. Atunci obținem: f = 0. Astfel, dacă luăm A = 1 în expresia originală, LA= 1, Cu = 0, atunci funcția va lua o valoare zero: f= 0.
Considera noţiunea de set de valori variabile .
Dacă tuturor argumentelor de care depinde funcția li se atribuie anumite valori, atunci se vorbește despre un set de valori ale argumentului care poate fi
numiți-i doar un set. Setul de valori ale argumentului este o secvență de zerouri și unu, de exemplu, 110, unde prima cifră corespunde primului argument, a doua celui de-al doilea și a treia celui de-al treilea. Evident, este necesar să fim de acord în prealabil care este primul, al doilea sau, să zicem, al cincilea argument. Pentru a face acest lucru, este convenabil să utilizați aranjarea alfabetică a literelor.
De exemplu, dacă 
apoi conform alfabetului latin primul argument este R, al doilea -
Q, al treilea - X, al patrulea - U. Apoi, prin setul de valori ale argumentelor, este ușor
găsiți valoarea funcției. Să fie dat, de exemplu, setul 1001. Conform lui
intrări, adică pe setul 1001 funcţie dată este egal cu unu.
Rețineți din nou că setul de valori ale argumentului este setul
zerouri și unu. Numerele binare sunt, de asemenea, seturi de zerouri și unu.
Acest lucru ridică întrebarea - se pot considera seturile ca fiind binare?
numere? Este posibil și, în multe cazuri, este foarte convenabil, mai ales dacă este binar
convertiți numărul în zecimală. De exemplu, dacă
A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,
0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6
adică, mulțimea dată are numărul 6 în zecimală.
Dacă doriți să găsiți valorile argumentelor după număr zecimal, atunci
noi intram secvență inversă: mai întâi convertim numărul zecimal în binar, apoi adăugăm cât mai multe zerouri în stânga, astfel încât numărul total de cifre să fie egal cu numărul de argumente, după care găsim valorile argumentelor.
Să fie, de exemplu, să se găsească valorile argumentelor A, B, C, D, E, F prin mulțimea cu numărul 23. Convertim numărul 23 în sistem binar folosind metoda
împărțirea la doi:
Ca rezultat, obținem 23 10 = 10111 2 . Acesta este un număr din cinci cifre și în total
Există șase argumente, prin urmare, în stânga trebuie scris un zero:
23 10 = 010111 2 . De aici găsim:
A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.
Câte seturi există dacă numărul este cunoscut P argumente? Evident, câte numere binare de n biți sunt, adică 2 n
Cursul 6
Setarea unei funcții booleene
Știm deja un fel. Este analitică, adică sub forma unei expresii matematice folosind variabile binare și operații logice. În plus, există și alte modalități, dintre care cel mai important este tabelul. Tabelul enumeră toate seturi posibile valorile argumentelor și pentru fiecare set este indicată valoarea funcției. Un astfel de tabel se numește tabel de corespondență (adevăr).
Pe exemplul funcției
Să ne dăm seama cum să construim un tabel de căutare pentru acesta.
Funcția depinde de trei argumente A, B, C. Prin urmare, în tabel
furniza trei coloane pentru argumentele A,B,Cși o coloană pentru valorile funcției f. În stânga coloanei A, este util să plasați o altă coloană. În ea vom scrie numere zecimale, care corespund seturilor atunci când sunt privite ca numere binare din trei cifre. Această zecimală
coloana este introdusă pentru confortul lucrului cu tabelul, prin urmare, în principiu,
poate fi neglijat.
Completam tabelul. Rândul cu numărul LLC arată:
A = B = C = 0.
Să definim valoarea funcției pe acest set:
În coloana f scriem zero pe linia cu mulțimea 000.
Următorul set: 001, adică e. A = B = 0, C = 1. Aflați valoarea funcției
pe acest set:
Pe setul 001, funcția este egală cu 1, prin urmare, în coloana f în linia cu
numărul 001 notăm unitatea.
În mod similar, calculăm valorile funcțiilor pe toate celelalte seturi și
completați întregul tabel.