Funcţie y=f(x) numit infinitezimal la x→a sau când X→∞ dacă sau , adică la nesfârşit funcție mică este o funcție a cărei limită într-un punct dat este egală cu zero.

Exemple.

1. Funcție f(x)=(X-1) 2 este infinit mic pentru X→1, deoarece (vezi Fig.).

2. Funcția f(x)=tg X este infinit de mic la X→0.

3. f(x)= log(1+ X) este infinit mic la X→0.

4. f(x) = 1/X este infinit de mic la X→∞.

Să stabilim următoarea relație importantă:

Teorema. Dacă funcţia y=f(x) reprezentabil la x→a ca sumă a unui număr constant bși infinit de mici α(x): f(x)=b+ α(x) apoi .

În schimb, dacă , atunci f(x)=b+α(x), Unde topor) este infinit de mic la x→a.

Dovada.

1. Să demonstrăm prima parte a aserției. Din egalitate f(x)=b+α(x) ar trebui să |f(x) – b|=| α|. Dar de atunci topor) este infinitezimal, atunci pentru ε arbitrar există δ, o vecinătate a punctului A, pentru toți X din care, valori topor) satisface relația |α(x)|< ε. Apoi |f(x) – b|< ε. Și asta înseamnă că .

2. Dacă , atunci pentru orice ε >0 pentru toți X din unele δ este o vecinătate a punctului A voi |f(x) – b|< ε. Dar dacă denotăm f(x) – b= α, apoi |α(x)|< ε, ceea ce înseamnă că A- infinit de mici.

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcțiilor infinitezimale.

Teorema 1. Suma algebrică a doi, trei și, în general, orice număr finit de infinitezimale este o funcție infinitezimală.

Dovada. Să dăm o dovadă pentru doi termeni. Lasa f(x)=α(x)+β(x), unde și . Trebuie să demonstrăm că pentru ε arbitrar arbitrar mic > 0 acolo δ> 0, astfel încât pt X satisfacerea inegalitatii |x – a|<δ , efectuat |f(x)|< ε.

Astfel, fixăm un număr arbitrar ε > 0. Deoarece, conform ipotezei teoremei, α(x) este o funcție infinitezimală, atunci există δ 1 > 0, care la |x – a|< δ 1 avem |α(x)|< ε / 2. La fel, din moment ce β(x) este infinitezimal, atunci există un astfel de δ 2 > 0, care la |x – a|< δ 2 avem | β(x)|< ε / 2.

Hai sa luam δ=min(δ1 , δ2 } .Apoi într-o vecinătate a punctului A rază δ fiecare dintre inegalităţi va fi satisfăcută |α(x)|< ε / 2 și | β(x)|< ε / 2. Prin urmare, în acest cartier va exista

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

acestea. |f(x)|< ε, care trebuia demonstrat.

Teorema 2. Produsul unei funcții infinitezimale topor) pentru o funcție limitată f(x) la x→a(sau când x→∞) este o funcție infinitezimală.

Dovada. Din moment ce functia f(x) este limitat, atunci există un număr M astfel încât pentru toate valorile X dintr-o vecinătate a punctului a|f(x)|≤M.În plus, din moment ce topor) este o funcție infinitezimală pentru x→a, apoi pentru ε arbitrar > 0 există o vecinătate a punctului A, în care inegalitatea |α(x)|< ε /M. Apoi, în cel mai mic dintre aceste cartiere avem | αf|< ε /M= ε. Și asta înseamnă că af- infinit de mici. Pentru cazul x→∞ dovada se realizează în mod similar.

Din teorema demonstrată rezultă:

Consecința 1. Dacă și , atunci .

Consecința 2. Dacă c= const, atunci .

Teorema 3. Raportul unei funcții infinitezimale α(x) per functie f(x), a cărei limită este diferită de zero, este o funcție infinitezimală.

Dovada. Lasa . Apoi 1 /f(x) există o funcție limitată. Prin urmare, o fracție este un produs al unei funcții infinitezimale și al unei funcții mărginite, i.e. funcția este infinitezimală.

Funcții infinit de mici

Este apelată funcția %%f(x)%% infinitezimal(b.m.) pentru %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, dacă limita funcției este egală cu zero când argumentul tinde către aceasta.

Conceptul de b.m. funcția este indisolubil legată de o indicație a unei schimbări în argumentul său. Putem vorbi despre b.m. funcții pentru %%a \to a + 0%% și pentru %%a \to a - 0%%. De obicei b.m. funcțiile sunt notate cu primele litere ale alfabetului grecesc %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Exemple

1. Funcția %%f(x) = x%% este b.m. la %%x \to 0%%, deoarece limita sa la %%a = 0%% este zero. Conform teoremei privind legătura dintre limita cu două laturi și limita unilaterală, această funcție este b.m. atât cu %%x \to +0%% cât și cu %%x \to -0%%.
2. Funcția %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. cu %%x \to \infty%% (precum și cu %%x \to +\infty%% și cu %%x \to -\infty%%).

Un număr constant diferit de zero, oricât de mic în valoare absolută, nu este un b.m. funcţie. Pentru numere constante, singura excepție este zero, deoarece funcția %%f(x) \equiv 0%% are o limită zero.

Teorema

Funcția %%f(x)%% are o limită de sfârșit în punctul %%a \in \overline(\mathbb(R))%% al liniei numerice extinse, egală cu numărul%%b%%, dacă și numai dacă această funcție este egală cu suma acestui număr %%b%% și b.m. funcțiile %%\alpha(x)%% cu %%x \to a%% sau $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale

Conform regulilor de trecere la limită, pentru %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, urmează următoarele afirmații:

1. Suma numărului final b.m. funcții pentru %%x \to a%% este f.m. cu %%x \la a%%.
2. Produsul oricărui număr de b.m. funcții pentru %%x \to a%% este f.m. cu %%x \la a%%.

Produsul b.m. funcții la %%x \to a%% și o funcție delimitată într-o zonă perforată %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% din punctul a, este b.m. cu funcția %%x \to a%%.

Este clar că produsul unei funcții constante și b.m. la %%x \to a%% există b.m. funcția la %%x \la a%%.

Funcții infinitezimale echivalente

Sunt numite funcții infinit de mici %%\alpha(x), \beta(x)%% pentru %%x \to a%% echivalentși se scriu %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% dacă

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorema privind înlocuirea b.m. funcții echivalente

Fie %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funcţionează la %%x \to a%%, şi %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, apoi $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limite_(x \la a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Echivalent b.m. funcții.

Fie %%\alpha(x)%% b.m. funcția la %%x \la a%%, atunci

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Exemplu

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(array) $$

Funcții infinit de mari

Este apelată funcția %%f(x)%% infinit de mare(b.b.) pentru %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, dacă funcția are o limită infinită, deoarece argumentul tinde să o facă.

Ca b.m. funcţionează conceptul de b.b. funcția este indisolubil legată de o indicație a unei schimbări în argumentul său. Putem vorbi despre b.b. funcţionează la %%x \to a + 0%% şi %%x \to a - 0%%. Termenul „infinit de mare” nu înseamnă valoarea absolută a funcției, ci natura modificării acesteia în vecinătatea punctului considerat. Nici un număr constant, oricât de mare ca valoare absolută, nu este infinit de mare.

Exemple

1. Funcția %%f(x) = 1/x%% - b.b. la %%x \la 0%%.
2. Funcția %%f(x) = x%% - b.b. la %%x \to \infty%%.

Dacă condițiile definițiilor $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f( x)) = -\infty, \end(array) $$

apoi vorbesc despre pozitiv sau negativ b.b. la funcţia %%a%%.

Exemplu

Funcția %%1/(x^2)%% este un b.b pozitiv. la %%x \la 0%%.

Legătura dintre b.b. și b.m. funcții

Dacă %%f(x)%% este b.b. dacă %%x \to a%% este o funcție, atunci %%1/f(x)%% este b.m.

cu %%x \la a%%. Dacă %%\alpha(x)%% este b.m. pentru %%x \to a%% este o funcție diferită de zero într-o zonă perforată a punctului %%a%%, atunci %%1/\alpha(x)%% este b.b. cu %%x \la a%%.

Proprietăți ale funcțiilor infinit de mari

Să prezentăm câteva proprietăți ale lui b.b. funcții. Aceste proprietăți rezultă direct din definiția lui b.b. funcții și proprietăți ale funcțiilor care au limite finite, precum și din teorema de legătură dintre b.b. și b.m. funcții.

1. Produsul unui număr finit b.b. funcțiile pentru %%x \to a%% sunt b.b. funcția la %%x \la a%%. Într-adevăr, dacă %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% este b.b. funcționează la %%x \la a%%, apoi într-o zonă perforată a punctului %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% și prin teorema conexiunii b.b. și b.m. funcțiile %%1/f_k(x)%% - b.m. funcția la %%x \la a%%. Se dovedește că %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% este o funcție b.m pentru %%x \to a%% și %%\displaystyle\prod^( n )_(k = 1)f_k(x)%% — b.b. funcția la %%x \la a%%.
2. Produsul b.b. funcții la %%x \to a%% și o funcție a cărei valoare absolută este mai mare decât o constantă pozitivă într-o vecinătate perforată a punctului %%a%% este a b.b. funcția la %%x \la a%%. În special, produsul b.b. funcții la %%x \to a%% și o funcție care are o limită finită diferită de zero în punctul %%a%% va fi b.b. funcția la %%x \la a%%.

Suma unei funcții mărginită într-o vecinătate perforată a punctului %%a%% și b.b. funcțiile la %%x \to a%% sunt b.b. funcția la %%x \la a%%.

De exemplu, funcțiile %%x - \sin x%% și %%x + \cos x%% sunt b.b. la %%x \to \infty%%.

3. Suma a doi b.b. funcţionează la %%x \la a%% există incertitudine. În funcție de semnul termenilor, natura modificării unei astfel de sume poate fi foarte diferită.

   Exemplu

   Fie funcțiile %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b. funcţionează la %%x \to \infty%%. Apoi:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funcția la %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funcția la %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nu are limită la %%x \to \infty%%.

Având în vedere definiția la nesfârșit secvență mare. Sunt luate în considerare conceptele de vecinătăți de puncte infinit îndepărtate. Este dată o definiție universală a limitei unei secvențe, care se aplică atât limitelor finite, cât și limitelor infinite. Sunt luate în considerare exemple de aplicare a definiției unei secvențe infinit de mari.

Conţinut

Vezi si: Determinarea limitei unei secvențe

Definiție

Urmare (βn) se numește șir infinit, dacă este cazul, în mod arbitrar un numar mare M , există un număr natural N M care depinde de M astfel încât pentru toate numerele naturale n > N M inegalitatea
|β n | >M.
În acest caz, scrieți
.
Sau la .
Ei spun că tinde spre infinit, sau converge spre infinit.

Dacă, pornind de la un număr N 0 , apoi
( converge spre plus infinit).
Daca atunci
( converge spre minus infinit).

Scriem aceste definiții folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
(1) .
(2) .
(3) .

Secvențele cu limite (2) și (3) sunt cazuri speciale ale unei secvențe infinit de mare (1). Din aceste definiții rezultă că, dacă limita unei secvențe este egală cu plus sau minus infinit, atunci este, de asemenea, egală cu infinit:
.
Reversul, desigur, nu este adevărat. Membrii secvenței pot avea caractere alternative. În acest caz, limita poate fi egală cu infinitul, dar fără un semn definit.

Rețineți, de asemenea, că dacă o anumită proprietate este valabilă pentru o secvență arbitrară cu o limită egală cu infinitul, atunci aceeași proprietate este valabilă pentru o secvență a cărei limită este plus sau minus infinitul.

În multe manuale de calcul, definiția unei secvențe infinit de mari afirmă că numărul M este pozitiv: M > 0 . Cu toate acestea, această cerință este redundantă. Dacă este anulat, atunci nu apar contradicții. Doar valorile mici sau negative nu ne interesează. Suntem interesați de comportamentul secvenței pentru valori pozitive arbitrar mari ale lui M. Prin urmare, dacă este nevoie, atunci M poate fi limitat de jos de orice număr dat a, adică să presupunem că M > a.

Când am definit ε - vecinătatea punctului final, atunci cerința ε > 0 este un important. La valori negative, inegalitatea nu poate rezista deloc.

Vecinătăți de puncte la infinit

Când am considerat limite finite, am introdus conceptul de vecinătate a unui punct. Amintiți-vă că vecinătatea unui punct final este un interval deschis care conține acest punct. De asemenea, putem introduce conceptul de vecinătăți de puncte la infinit.

Fie M un număr arbitrar.
Vecinătatea punctului „infinit”, , se numește mulțime .
Apropierea punctului „plus infinit”, , se numește mulțime .
Apropierea punctului „minus infinit”, , se numește mulțime .

Strict vorbind, vecinătatea punctului „infinit” este multimea
(4) ,
unde M 1 si m 2 sunt numere pozitive arbitrare. Vom folosi prima definiție, , pentru că este mai simplă. Deși, tot ceea ce se spune mai jos este adevărat și atunci când se folosește definiția (4).

Putem da acum o definiție unificată a limitei unei secvențe care se aplică atât limitelor finite, cât și limitelor infinite.

Definiția universală a limitei secvenței.
Un punct a (finit sau la infinit) este limita unei secvențe dacă pentru orice vecinătate a acestui punct există un număr natural N astfel încât toate elementele șirului cu numere aparțin acestei vecinătăți.

Astfel, dacă limita există, atunci în afara vecinătății punctului a nu poate exista decât un număr finit de membri ai șirului sau o mulțime goală. Această condiție este necesară și suficientă. Dovada acestei proprietăți este exact aceeași ca pentru limitele finite.

Proprietatea de vecinătate a unei secvențe convergente
Pentru ca punctul a (finit sau la infinit) să fie limita șirului , este necesar și suficient ca în afara oricărei vecinătăți a acestui punct să existe un număr finit de membri ai șirului sau o mulțime goală.
Dovada .

De asemenea, se introduc uneori conceptele de ε - vecinătăți de puncte infinit îndepărtate.
Reamintim că vecinătatea ε a punctului final a este mulţimea.
Să introducem următoarea notație. Fie denotă ε - vecinătatea unui punct a . Apoi, pentru punctul final,
.
Pentru puncte la infinit:
;
;
.
Folosind conceptele de ε - vecinătăți, se poate da o definiție mai universală a limitei unei secvențe:

Un punct a (finit sau la infinit) este limita unei secvențe dacă există număr pozitiv ε > 0 există un număr natural N ε care depinde de ε astfel încât pentru toate numerele n > N ε termenii x n aparțin vecinătății ε a punctului a :
.

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:
.

Exemple de secvențe infinit de mari

Exemplul 1

.

.
Scriem definiția unei secvențe infinit de mari:
(1) .
În cazul nostru
.

Introducem numere și , legându-le cu inegalități:
.
Conform proprietăților inegalităților , dacă și , atunci
.
Rețineți că atunci când această inegalitate este valabilă pentru orice n . Deci, puteți alege astfel:
la ;
la .

Deci, pentru oricine poate găsi un număr natural care satisface inegalitatea. Apoi pentru toți
.
Înseamnă că . Adică, succesiunea este infinit de mare.

Exemplul 2

Folosind definiția unei secvențe infinit de mare, arătați că
.

(2) .
Termenul comun al șirului dat are forma:
.

Introduceți numere și:
.
.

Atunci pentru oricine poate găsi un număr natural care satisface inegalitatea, astfel încât pentru toți,
.
Înseamnă că .

.

Exemplul 3

Folosind definiția unei secvențe infinit de mare, arătați că
.

Să notăm definiția limitei unei secvențe egale cu minus infinit:
(3) .
Termenul comun al șirului dat are forma:
.

Introduceți numere și:
.
Aceasta arată că dacă și , atunci
.

Deoarece pentru oricine poate găsi un număr natural care satisface inegalitatea , atunci
.

Având în vedere , ca N, puteți lua orice număr natural care satisface următoarea inegalitate:
.

Exemplul 4

Folosind definiția unei secvențe infinit de mare, arătați că
.

Să scriem termenul comun al șirului:
.
Să notăm definiția limitei unei secvențe egale cu plus infinitul:
(2) .

Deoarece n este un număr natural, n = 1, 2, 3, ... , apoi
;
;
.

Introducem numerele și M , relaționându-le prin inegalități:
.
Aceasta arată că dacă și , atunci
.

Deci, pentru orice număr M, puteți găsi un număr natural care satisface inegalitatea . Apoi pentru toți
.
Înseamnă că .

Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Vezi si:

Funcția este numită infinit mic la
sau când
, dacă
sau
.

De exemplu: funcția
infinitezimal la
; funcţie
infinitezimal la
.

Observație 1. Nicio funcție fără a specifica direcția de schimbare a argumentului nu poate fi numită infinitezimală. Da, funcția
la
este infinitezimal și
nu mai este infinitezimal
).

Observația 2. Din definirea limitei unei funcții într-un punct, pentru funcții infinitezimale, inegalitatea
Vom folosi în mod repetat acest fapt în cele ce urmează.

Configurați unele importante proprietățile funcțiilor infinitezimale.

Teorema (despre relația dintre o funcție, limita ei și una infinitezimală): Dacă funcția
poate fi reprezentat ca suma unui număr constant DARși o funcție infinitezimală
la
, apoi numărul

Dovada:

Din condiţiile teoremei rezultă că funcţia
.

Express de aici
:
. Din moment ce functia
infinitezimal, satisface inegalitatea
, apoi pentru expresia (
) satisface de asemenea inegalitatea

Și asta înseamnă că
.

Teorema (revers): dacă
, apoi funcția
poate fi reprezentat ca suma unui număr DARși infinit mic la
funcții
, adică
.

Dovada:

La fel de
, apoi pentru
inegalitatea
(*) Luați în considerare funcția
ca unul singur și rescrieți inegalitatea (*) în formă

Din ultima inegalitate rezultă că cantitatea (
) este infinitezimal la
. Să o notăm
.

Unde
. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 1 . Suma algebrică a unui număr finit de funcții infinit de mici este o funcție infinit de mică.

Dovada:

Să realizăm demonstrația pentru doi termeni, deoarece pentru orice număr finit de termeni este dat într-un mod similar.

Lasa
și
infinitezimal la
funcţii şi
este suma acestor funcții. Să demonstrăm că pt
, există așa ceva
asta pentru toata lumea X satisfacerea inegalitatii
, inegalitatea
.

Din moment ce functia
functie infinitezimala,
asta pentru toata lumea
inegalitatea
.

Din moment ce functia
functie infinitezimala,
, și, prin urmare, există asta pentru toata lumea
inegalitatea
.

Hai sa luam egală cu cel mai mic număr și , apoi în – vecinătatea punctului A inegalitățile vor fi îndeplinite
,
.

Compuneți un modul funcțional
și evaluează-i valoarea.

i.e
, atunci funcția este infinitezimală, ceea ce urma să fie demonstrat.

Teorema 2. Produsul unei funcții infinitezimale
la
pentru o funcție limitată
este o funcție infinitezimală.

Dovada:

Din moment ce functia
mărginit, atunci există un număr pozitiv
asta pentru toata lumea inegalitatea
.

Din moment ce functia
infinitezimal la
, atunci există -vecinatatea punctului asta pentru toata lumea vecinătatea lor satisface inegalitatea
.

Luați în considerare funcția
și evaluați modulul acestuia

Asa de
, și apoi
- infinit de mici.

Teorema a fost demonstrată.

Teoreme limită.

Teorema 1. Limita sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a limitelor acestor funcții

Dovada:

Pentru a dovedi, este suficient să luăm în considerare două funcții; aceasta nu încalcă generalitatea raționamentului.

Lasa
,
.

Conform teoremei privind legătura dintre o funcție, limita ei și o funcție infinit de mică
și
poate fi reprezentat ca
Unde
și
sunt infinit de mici la
.

Să găsim suma funcțiilor
și

Valoare
este o valoare constantă
este o mărime infinitezimală. Deci funcția
reprezentată ca suma unei valori constante și a unei funcții infinitezimale.

Apoi numărul
este limita funcției
, adică

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2 . Limita unui produs al unui număr finit de funcții este egală cu produsul limitelor acestor funcții

Dovada:

Fără a încălca generalitatea raționamentului, să demonstrăm pentru două funcții
și
.

Lasă atunci
,

Să găsim produsul funcțiilor
și

Valoare
este o valoare constantă, o funcție infinit de mică. Prin urmare, numărul
este limita funcției
, adică egalitatea

Consecinţă:
.

Teorema 3. Limita câtului a două funcții este egală cu câtul limitelor acestor funcții dacă limita numitorului este diferită de zero

.

Dovada: lasa
,

Apoi
,
.

Să găsim un privat și efectuează unele transformări identice asupra acestuia

Valoare constantă, fracție
infinit de mici. Prin urmare, funcția reprezentată ca suma unui număr constant și a unei funcții infinitezimale.

Apoi
.

Cometariu. Teoremele 1–3 sunt demonstrate pentru acest caz
. Cu toate acestea, ele pot fi aplicabile
, deoarece demonstrarea teoremelor în acest caz se realizează într-un mod similar.

De exemplu. Găsiți limite:

Prima și a doua limite minunate.

Funcţie nedefinit la
. Cu toate acestea, valorile sale în apropierea punctului zero există. Prin urmare, putem considera limita acestei funcții la
. Această limită se numește primul minunat limită .

Arată ca:
.

de exemplu . Găsiți limite: 1.
. desemna
, dacă
, apoi
.
; 2.
. Să transformăm această expresie astfel încât limita să fie redusă la prima limită remarcabilă.
; 3..

Luați în considerare o variabilă a formei
, în care ia valorile numerelor naturale în ordine crescătoare. Să dăm valori diferite: dacă

Dăruind următoarele valori din set
, este ușor de observat că expresia
la
voi
. Mai mult, se dovedește că
are o limită. Această limită este indicată de literă :
.

Număr iraţional:
.

Acum luați în considerare limita funcției
la
. Această limită se numește a doua limită remarcabilă

Arată ca
.

De exemplu.

A)
. Expresie
înlocuiți produsul factori identici
, aplicați teorema limitei produsului și a doua limită remarcabilă; b)
. Sa punem
, apoi
,
.

A doua limită remarcabilă este folosită în problema calculului continuu al dobânzii

Atunci când se calculează venitul în numerar din depozite, se utilizează adesea formula dobânzii compuse, care arată astfel:

,

Unde - investitie initiala

- dobanda bancara anuala,

- numărul de plăți de dobândă pe an,

- timp, în ani.

Totuși, în studiile teoretice, la fundamentarea deciziilor de investiții, se utilizează mai des formula legii de creștere exponențială (exponențială).

.

Formula legii exponențiale a creșterii este obținută ca urmare a aplicării celei de-a doua limite remarcabile la formula dobânzii compuse

Continuitatea funcțiilor.

Luați în considerare funcția
definit la un moment dat și vreo vecinătate a punctului . Fie că în punctul specificat funcția are valoarea
.

Definiție 1. Funcție
numit continuu la un punct , dacă este definit într-o vecinătate a unui punct, inclusiv punctul însuși și
.

Definiția continuității poate fi formulată diferit.

Lasă funcția
definit pentru o anumită valoare ,
. Dacă argumentul creştere
, atunci funcția va fi incrementată

Lăsați funcția într-un punct continuu (conform primei definiții a continuității unei funcții într-un punct),

Adică dacă funcția este continuă într-un punct , apoi un increment infinitezimal al argumentului
în acest punct corespunde un increment infinitezimal al funcţiei.

Propoziţia inversă este de asemenea adevărată: dacă un increment infinitezimal al argumentului corespunde unui increment infinitezimal al funcţiei, atunci funcţia este continuă.

Definiție 2. Funcție
se numeste continuu
(la un moment dat ) dacă este definit în acest punct și unele din vecinătatea sa și dacă
.

Ținând cont de prima și a doua definiție a continuității unei funcții într-un punct, putem obține următoarea afirmație:

sau
, dar
, apoi
.

Prin urmare, pentru a găsi limita unei funcții continue la
suficient în exprimarea analitică a funcţiei în locul argumentului înlocuiți-i valoarea .

Definiția 3. Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al unui domeniu continuu în această regiune.

De exemplu:

Exemplul 1. Demonstrați că funcția
este continuă în toate punctele domeniului definiției.

Să folosim a doua definiție a continuității unei funcții într-un punct. Pentru a face acest lucru, luați orice valoare a argumentului si da-i un increment
. Să găsim incrementul corespunzător al funcției

Exemplul 2. Demonstrați că funcția
continuu in toate punctele din
.

Să dăm un argument creştere
, atunci funcția va fi incrementată

Găsim de la funcția
, care este limitat.

În mod similar, se poate dovedi că toate funcțiile elementare de bază sunt continue în toate punctele domeniului lor de definiție, adică domeniul de definiție al unei funcții elementare coincide cu domeniul său de continuitate.

Definiţie 4. Dacă funcţia
este continuă în fiecare punct al unui interval
, atunci se spune că funcția este continuă pe acest interval.

Calcul infinitezimale și mari

Calcul infinitezimal- calcule efectuate cu valori infinitezimale, în care rezultatul derivat este considerat ca o sumă infinită a celor infinitezimale. Calcul infinitezimal este concept general pentru calculul diferențial și integral, care formează baza matematicii superioare moderne. Conceptul de mărime infinitezimală este strâns legat de conceptul de limită.

Infinitezimal

Urmare A n numit infinitezimal, dacă . De exemplu, o succesiune de numere este infinit de mică.

Funcția este numită infinitezimal într-o vecinătate a unui punct X 0 dacă .

Funcția este numită infinitezimal la infinit, dacă sau .

De asemenea, infinit de mică este o funcție care este diferența dintre o funcție și limita ei, adică dacă , apoi f(X) − A = α( X) , .

infinit de mare

Urmare A n numit infinit de mare, dacă .

Funcția este numită infinit de mare în vecinătatea unui punct X 0 dacă .

Funcția este numită infinit de mare la infinit, dacă sau .

În toate cazurile, infinitul la dreapta egalității se presupune că are un anumit semn (fie „plus”, fie „minus”). Aceasta este, de exemplu, funcția X păcat X nu este infinit de mare pentru .

Proprietățile infinitezimale și infinitezimale

Comparația infinitezimale

Cum se compară cantitățile infinitezimale?
Raportul cantităților infinitezimale formează așa-numita incertitudine.

Definiții

Să presupunem că avem infinit mic pentru aceeași valoare α( X) și β( X) (sau, ceea ce nu este important pentru definiție, secvențe infinitezimale).

Pentru a calcula astfel de limite, este convenabil să folosiți regula lui L'Hospital.

Exemple de comparație

Folosind O-simbolurile rezultatelor obtinute se pot scrie sub forma urmatoare X 5 = o(X 3). În acest caz, intrările 2X 2 + 6X = O(X) și X = O(2X 2 + 6X).

Cantitati echivalente

Definiție

Dacă , atunci se numesc mărimi infinitezimale α și β echivalent ().
În mod evident, mărimile echivalente sunt un caz special de mărimi infinitezimale de același ordin de micime.

Pentru , sunt valabile următoarele relații de echivalență: , , .

Teorema

Limita coeficientului (raportului) a două mărimi infinitezimale nu se va modifica dacă una dintre ele (sau ambele) este înlocuită cu o valoare echivalentă.

Această teoremă este de importanță practică în găsirea limitelor (vezi exemplul).

Exemplu de utilizare

Înlocuirea sin 2X valoare echivalentă 2 X, primim

Contur istoric

Conceptul de „infinit mic” a fost discutat în antichitate în legătură cu conceptul de atomi indivizibili, dar nu a intrat în matematica clasică. Din nou, a fost reînviat odată cu apariția în secolul al XVI-lea a „metodei indivizibililor” - împărțirea figurii studiate în secțiuni infinitezimale.

Algebrizarea calculului infinitezimal a avut loc în secolul al XVII-lea. Au început să fie definite ca valori numerice care sunt mai mici decât orice valoare finită (diferită de zero) și totuși nu egale cu zero. Arta analizei a constat în întocmirea unei relaţii care conţine infinitezimale (diferenţiale), apoi în integrarea acesteia.

Matematicienii vechii școli au supus conceptul infinitezimal critică dură. Michel Rolle a scris că noul calcul este „ set de greșeli strălucitoare»; Voltaire a subliniat veninos că acest calcul este arta de a calcula și măsura cu precizie lucruri a căror existență nu poate fi dovedită. Chiar și Huygens a recunoscut că nu înțelege semnificația diferențialelor de ordin superior.

Ca o ironie a sorții, se poate considera apariția la mijlocul secolului a analizei non-standard, care a dovedit că punctul de vedere original - infinitezimalele propriu-zise - este și el consistent și ar putea fi luat ca bază pentru analiză.

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce înseamnă „Infinitely Big” în alte dicționare:

O variabilă Y care este reciproca unui X infinitezimal, adică Y = 1/X... Dicţionar enciclopedic mare

O variabilă y care este reciproca unui infinitezimal x, adică y = 1/x. * * * INFINIT MARE INFINIT MARE, valoare variabilă Y, reciproca unei valori infinitezimale X, adică Y = 1/X... Dicţionar enciclopedic

În matematică, o variabilă care, într-un proces dat de schimbare, devine și rămâne mai mare în valoare absolută decât orice număr predeterminat. B. studiază. cantitățile pot fi reduse la studiul infinitezimalelor (vezi ...... Marea Enciclopedie Sovietică