18-19 octombrie 2010

Subiect: „LEGILE ACȚIUNILOR ARITMETICE”

Ţintă: introducerea elevilor în legile operațiilor aritmetice.

Obiectivele lecției:

să dezvăluie cu exemple concrete legile comutative și asociative ale adunării și înmulțirii, să le învețe să le aplice la simplificarea expresiilor;

să formeze capacitatea de a simplifica expresii;

munca la dezvoltarea gândirii logice și a vorbirii copiilor;

cultivă independența, curiozitatea, interesul față de subiect.

UUD: capacitatea de a acționa cu simboluri semn-simbolice,

capacitatea de a alege temeiurile, criteriile de comparare, comparare, evaluare și clasificare a obiectelor.

Echipament: manual, ÎPT, prezentare

Orez. 30 Fig. 31

Folosind Figura 30, explicați de ce egalitatea este adevărată

a + b = b + a.

Această egalitate exprimă binecunoscuta proprietate a adunării. Încercați să vă amintiți care dintre ele.

Verifică-te:

Suma nu se modifică de la schimbarea locurilor termenilor

Această proprietate este legea comutativă a adunării.

Ce egalitate poate fi scrisă în Figura 31? Ce proprietate a adunării exprimă această egalitate?

Testează-te.

Din figura 31 rezultă că (a + b) + c = a + (b + c): dacă la al treilea termen se adaugă suma a doi termeni, atunci se va obține același număr ca și prin adăugarea sumei celui de al doilea și al treilea termen la primul termen.

În loc de (a + b) + c, la fel ca | în loc de a + (b + c), puteți scrie pur și simplu a + b + c.

Această proprietate este legea asociativă a adunării.

În matematică, legile operațiilor aritmetice sunt scrise ca în | | formă verbală și sub formă de egalități folosind litere:

Explicați cum, folosind legile adunării, puteți simplifica următoarele calcule și să le efectuați:

212. a) 48 + 56 + 52; e) 25 + 65 + 75;

b) 34 + 17 + 83; f) 35 + 17 + 65 + 33;

c) 56 + 24 + 38 + 62; g) 27 + 123 + 16 + 234;

d) 88 + 19 + 21 + 12; h) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Folosind Figura 32, explicați de ce egalitatea este adevărată ab = b dar.

Ați ghicit care lege ilustrează această egalitate? Se poate argumenta că pt

Se aplică aceleași legi înmulțirii ca și adunării? Încercați să le formulați

și apoi testează-te:

Folosind legile înmulțirii, calculați oral valorile următoarelor expresii:

214. a) 76 5 2; c) 69 125 8; e) 8 941 125; B C

b) 465 25 4; d) 4 213 5 5; f) 2 5 126 4 25.

215. Găsiți aria dreptunghiului ABCD(Fig. 33) în două moduri.

216. Folosind Figura 34, explicați de ce ecuația este adevărată: a(b + c) = ab + ac.

Orez. 34 Ce proprietate a operațiilor aritmetice exprimă?

Testează-te. Această egalitate ilustrează următoarea proprietate: atunci când înmulțiți un număr cu o sumă, puteți înmulți acest număr cu fiecare termen și adăugați rezultatele.

Această proprietate poate fi formulată în alt mod: suma a două sau mai multe produse care conțin același factor poate fi înlocuită cu produsul acestui factor și suma celorlalți factori.

Această proprietate este o altă lege a operațiilor aritmetice - distributiv. După cum puteți vedea, formularea verbală a acestei legi este foarte greoaie, iar limbajul matematic este mijlocul care o face concisă și de înțeles:

Gândiți-vă cum să efectuați verbal calculele din sarcinile nr. 217 - 220 și să le faceți.

217. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.

218. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 33; d) 36 26.

219. a) 43 16 + 43 84; e) 62 16 + 38 16;

b) 85 47 + 53 85; f) 85 44 + 44 15;

c) 54 60 + 460 6. g) 240 710 + 7100 76;

d) 23 320 + 230 68; h) 38 5800 + 380 520.

220. a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;

b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54.

221. Faceți un desen în caiet pentru a demonstra egalitatea. dar ( b - c) = a b - as

222. Calculaţi oral aplicând legea distributivă: a) 6 28; b) 18 21; c) 17 63; d) 19 98.

223. Calculați oral: a) 34 84 - 24 84; c) 51 78 - 51 58;

b) 45 40 - 40 25; d) 63 7 – 7 33

224 Calculați: a) 560 188 - 880 56; c) 490 730 - 73 900;

b) 84 670 - 640 67; d) 36 3400 - 360 140.

Calculați verbal folosind tehnicile cunoscute de dvs.:

225. a) 13 5 + 71 5; c) 87 5 - 23 5; e) 43 25 + 25 17;

b) 58 5 - 36 5; d) 48 5 + 54 5; f) 25 67 - 39 25.

226. Fără a efectua calcule, comparați valorile expresiilor:

a) 258 (764 + 548) și 258 764 + 258 545; c) 532 (618 – 436) și 532 618 –532 436;

b) 751 (339 + 564) și 751 340 + 751 564; d) 496 (862 - 715) și 496 860 - 496 715.

227. Completați tabelul:

A trebuit să faci calcule pentru a completa al doilea rând?

228. Cum se va schimba acest produs dacă factorii sunt modificați după cum urmează:

229. Scrieți ce numere naturale sunt situate pe raza de coordonate:

a) în stânga numărului 7; c) între numerele 2895 și 2901;

b) între numerele 128 și 132; d) în dreapta numărului 487, dar în stânga numărului 493.

230. Introduceți semne de acțiune pentru a obține egalitatea corectă: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15 ? 17 = 8;

b) 40? 15 ? 17 = 42; d) 120? 60? 60 = 0.

231 . O cutie conține șosete albastre, iar cealaltă cutie conține șosete albe. Mai sunt cu 20 de perechi de șosete albastre decât cele albe și sunt doar 84 de lare de șosete în două cutii. Câte perechi de șosete de fiecare culoare?

232 . Magazinul dispune de trei tipuri de cereale: hrisca, orz perlat si orez, in total 580 kg. Dacă s-ar vinde 44 kg de hrișcă, 18 kg de orz și 29 kg de orez, atunci masa de cereale de toate tipurile ar deveni aceeași. Câte kilograme din fiecare tip de cereale sunt disponibile în magazin.

Scop: verificarea formării deprinderilor de a efectua calcule folosind formule; pentru a familiariza copiii cu legile comutative, asociative și distributive ale operațiilor aritmetice.

• introduceți notația literală a legilor adunării și înmulțirii; predați cum să aplicați legile operațiilor aritmetice pentru a simplifica calculele și expresiile literale;
• dezvolta gandire logica, aptitudini mentale, obiceiuri volitive, vorbire matematică, memorie, atenție, interes pentru matematică, caracter practic;
• cultivați respectul unul față de celălalt, un sentiment de camaraderie, încredere.

Tip de lecție: combinată.

• verificarea cunoștințelor dobândite anterior;
• pregătirea elevilor pentru a învăța materiale noi
• prezentarea de material nou;
• percepția și conștientizarea de către studenți a noilor materiale;
• consolidarea primară a materialului studiat;
• rezumarea lecției și stabilirea temelor.

Echipament: calculator, proiector, prezentare.

Plan:

1. Moment organizatoric.
2. Verificarea materialului studiat anterior.
3. Învățarea de noi materiale.
4. Proba primară de stăpânire a cunoștințelor (lucrare cu manualul).
5. Controlul și autoexaminarea cunoștințelor (muncă independentă).
6. Rezumând lecția.
7. Reflecție.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric

Profesor: Bună ziua, copii! Începem lecția cu o poezie - cuvinte de despărțire. Acordați atenție ecranului. (1 diapozitiv). Anexa 2 .

Matematică, prieteni,
Absolut toată lumea are nevoie de ea.
Lucrați din greu în clasă
Și succesul te așteaptă!

2. Repetarea materialului

Să revizuim ceea ce am învățat. Invit studentul la ecran. Sarcină: utilizați un indicator pentru a conecta formula scrisă cu numele ei și răspundeți la întrebarea ce altceva se poate găsi folosind această formulă. (2 diapozitive).

Deschide caietele, semnează numărul, lucru la clasă. Acordați atenție ecranului. (al treilea slide).

Lucrăm oral la următorul diapozitiv. (5 diapozitive).

12 + 5 + 8		25 10		250 – 50
200 – 170		30 + 15		45: 3
15 + 30		45 – 17		28 25 4

Sarcină: găsiți sensul expresiilor. (Un student lucrează la ecran.)

- Ce lucruri interesante ați observat în timp ce rezolvați exemplele? La ce exemple ar trebui să li se acorde o atenție deosebită? (Răspunsurile copiilor.)

Situatie problematica

Din ce proprietăți de adunare și înmulțire știți scoala elementara? Le poți nota folosind expresii literale? (Răspunsurile copiilor).

3. Învățarea de noi materiale

- Și astfel, subiectul lecției de astăzi este „Legile operațiilor aritmetice” (6 slide).
- Scrieți subiectul lecției în caiet.
Ce lucruri noi ar trebui să învățăm în lecție? (Împreună cu copiii se formulează obiectivele lecției).
- Priveste la ecran. (7 slide).

Vedeți legile adunării scrise în formă literală și exemple. (Analiza exemplelor).

– Următorul diapozitiv (8 slide).

Înțelegerea legilor înmulțirii.

- Acum să facem cunoștință cu o lege distributivă foarte importantă (9 slide).

- Rezumă. (10 slide).

De ce trebuie să cunoașteți legile aritmeticii? Vor fi ele utile în studii ulterioare, în studiul la ce materii? (Răspunsurile copiilor.)

- Notați regulile în caiet.

4. Fixarea materialului

- Deschideți manualul și găsiți oral numărul 212 (a, b, e).

Nr 212 (c, d, g, h) în scris la tablă și în caiete. (Examinare).

– Lucrăm verbal la nr. 214.

– Terminăm sarcina numărul 215. Ce lege se folosește pentru a rezolva acest număr? (Răspunsurile copiilor).

5. Muncă independentă

- Notează răspunsul pe card și compară rezultatele cu colegul tău de birou. Și acum atenție la ecran. (11 slide).(Verificarea muncii independente).

6. Rezumatul lecției

- Atentie la ecran. (12 slide). Termină propoziția.

Notele lecției.

7. Tema pentru acasă

§13, nr.227, 229.

8. Reflecție

Subiectul numărul 1.

Numere reale.Expresii numerice. Conversia expresiilor numerice

I. Material teoretic

Noțiuni de bază

· Numerele întregi

· Notație zecimală numerele

Numerele opuse

· Numere întregi

・Fracție ordinară

Numere rationale

Decimală infinită

Perioada unui număr, fracție periodică

numere irationale

· Numere reale

· Operatii aritmetice

Expresie numerică

Valoarea expresiei

Transformarea unei zecimale într-o fracție comună

Conversia unei fracții comune într-o zecimală

Transformarea unei fracții periodice într-o fracție comună

Legile operațiilor aritmetice

Semne de divizibilitate

Numerele folosite la numărarea obiectelor sau pentru a indica numărul de serie al unui obiect dintre obiectele omogene se numesc natural. Orice numar natural se poate scrie cu zece numerele: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Această notație se numește zecimal.

De exemplu: 24; 3711; 40125.

Se notează de obicei mulțimea numerelor naturale N.

Sunt numite două numere care diferă doar prin semn opus numerele.

De exemplu, numerele 7 și - 7.

Numerele naturale, contrariile lor și numărul zero alcătuiesc mulțimea întreg Z.

De exemplu: – 37; 0; 2541.

Numărul formularului, unde m-întreg, n- un număr natural se numește număr obișnuit lovitură. Rețineți că orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție cu numitorul 1.

De exemplu: , .

Unirea mulțimilor de numere întregi și fracționale (pozitive și negative) formează mulțimea raţional numerele. Se face referire la el Q.

De exemplu: ; – 17,55; .

Să fie dată fracția zecimală. Valoarea sa nu se va schimba dacă este atribuit un număr de zerouri în partea dreaptă.

De exemplu: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

O astfel de zecimală se numește zecimală infinită.

Orice fracție comună poate fi reprezentată ca o zecimală infinită.

Este apelat un grup de cifre care se repetă consecutiv după un punct zecimal dintr-o intrare numerică perioadă, iar o fracție zecimală infinită care are o astfel de perioadă în notație se numește periodic. Pentru concizie, se obișnuiește să scrieți punctul o dată, anexându-l între paranteze.

De exemplu: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Se numesc fracții nerecurente zecimale infinite iraţional numerele.

Unirea multimelor de rational si ir numere rationale alcătuiește multe valabil numerele. Se face referire la el R.

De exemplu: ; 0,(23); 41,3574…

Număr este iraţional.

Pentru toate numerele, sunt definite acțiunile a trei pași:

Acțiunile pasului I: adunarea și scăderea;

Pasul II acțiuni: înmulțire și împărțire;

Acțiunile pasului III: exponențiare și extragerea rădăcinilor.

Se numește o expresie formată din numere, semne aritmetice și paranteze numeric.

De exemplu: ; .

Se numește numărul obținut în urma efectuării acțiunilor valoarea expresiei.

Expresie numerică nu are sens dacă conține împărțirea la zero.

Când se constată valoarea expresiei, se execută secvenţial acţiunile etapei III, etapei II şi la sfârşitul acţiunii etapei I. În acest caz, este necesar să se țină cont de plasarea parantezelor în expresia numerică.

Transformarea unei expresii numerice constă în executarea secvențială a operațiilor aritmetice asupra numerelor incluse în ea folosind regulile adecvate (regula de adunare a fracțiilor obișnuite cu diferiți numitori, înmulțirea fracțiilor zecimale etc.). Sarcini pentru conversia expresiilor numerice în mijloace didactice se regăsesc în următoarele formulări: „Găsiți valoarea unei expresii numerice”, „Simplificați o expresie numerică”, „Calculați”, etc.

Când găsiți valorile unor expresii numerice, trebuie să efectuați acțiuni cu fracții alt fel: ordinar, zecimal, periodic. În acest caz, poate fi necesar să convertiți o fracție obișnuită într-o zecimală sau să efectuați acțiunea opusă - înlocuiți fracția periodică cu una obișnuită.

A intoarce zecimal până la obișnuit, este suficient să scrieți numărul după virgulă zecimală în numărătorul fracției și unul cu zerouri în numitor și ar trebui să fie atâtea zerouri câte cifre sunt în dreapta virgulei zecimale.

De exemplu: ; .

A intoarce fracție comună la zecimală, este necesară împărțirea numărătorului său la numitor conform regulii împărțirii unei fracții zecimale la un număr întreg.

De exemplu: ;

;

.

A intoarce fracție periodică la fracție comună, necesar:

1) din numărul de dinainte de a doua perioadă, scădeți numărul de dinainte de prima perioadă;

2) notează această diferență ca numărător;

3) la numitor scrieți numărul 9 de câte ori există cifre în perioadă;

4) se adaugă atâtea zerouri în numitor câte cifre există între punctul zecimal și prima perioadă.

De exemplu: ; .

Legile operaţiilor aritmetice asupra numere reale

1. deplasabil legea (comutativă) a adunării: valoarea sumei nu se modifică din rearanjarea termenilor:

2. deplasabil legea (comutativă) a înmulțirii: valoarea produsului nu se modifică din rearanjarea factorilor:

3. Asociativ legea (asociativă) a adunării: valoarea sumei nu se va modifica dacă orice grup de termeni este înlocuit cu suma lor:

4. Asociativ legea (asociativă) a înmulțirii: valoarea produsului nu se va modifica dacă orice grup de factori este înlocuit cu produsul lor:

.

5. distributie Legea (distributivă) a înmulțirii în raport cu adunarea: pentru a înmulți o sumă cu un număr, este suficient să înmulțiți fiecare termen cu acest număr și să adăugați produsele rezultate:

Proprietățile 6 - 10 se numesc legile de absorbție 0 și 1.

Semne de divizibilitate

Sunt numite proprietăți care permit în unele cazuri, fără împărțire, să se determine dacă un număr este divizibil cu altul semne de divizibilitate.

Semn de divizibilitate cu 2. Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă notația numărului se termină cu chiar număr. Adică 0, 2, 4, 6, 8.

De exemplu: 12834; –2538; 39,42.

Semn de divizibilitate cu 3. Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 3.

De exemplu: 2742; –17940.

Divizibilitatea cu semnul 4. Un număr cu cel puțin trei cifre este divizibil cu 4 dacă și numai dacă numărul de două cifre format din ultimele două cifre ale numărului dat este divizibil cu 4.

De exemplu: 15436; –372516.

Semn de divizibilitate cu 5. Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima lui cifră este fie 0, fie 5.

De exemplu: 754570; –4125.

Semn de divizibilitate cu 9. Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 9.

De exemplu: 846; –76455.

Pe viitor, când vom studia acțiunile pe numere, reprezentate prin cifre sau litere (nu contează), va trebui să ne bazăm în multe concluzii pe legile acțiunilor care au fost studiate în aritmetică. Datorită importanței acestor legi, ele sunt numite legi fundamentale ale acțiunii.

Să le reamintim.

1. Legea comutativă a adunării.

Suma nu se modifică de la modificarea ordinii termenilor.

Această lege a fost deja scrisă în § 1 sub forma unei egalități:

unde a și sunt orice numere.

Din aritmetică se știe că legea comutativă este adevărată pentru suma oricărui număr de termeni.

2. Legea adunării combinate.

Suma mai multor termeni nu se va modifica dacă orice grup de termeni adiacenți este înlocuit cu suma lor.

Pentru suma a trei termeni avem:

De exemplu, suma poate fi calculată în două moduri:

Legea asociativă este valabilă pentru orice număr de termeni.

Deci, în suma a patru termeni, termenii adiacenți pot fi combinați în mod arbitrar în grupuri, iar acești termeni pot fi înlocuiți cu suma lor:

De exemplu, vom obține același număr 16, indiferent cum grupăm termenii adiacenți:

Legile comutative și asociative sunt adesea folosite în calculele mentale, aranjand numerele astfel încât să fie mai ușor să le adunăm în minte.

Schimbând ultimii doi termeni, obținem:

Punerea numerelor în această ordine a fost mult mai ușor.

De obicei, termenii din noua ordine nu sunt rescriși, dar sunt mutați în minte: după ce au rearanjat mental 67 și Și, adaugă imediat 89 și 11 și apoi adaugă 67.

Pentru a facilita adăugarea acestor numere în minte, schimbați ordinea termenilor după cum urmează:

Folosind legea combinației, includem ultimii doi termeni între paranteze:

Adăugarea numerelor între paranteze este ușor, obținem:

3. Legea comutativă a înmulțirii.

Produsul nu se modifică de la modificarea ordinii factorilor:

unde sunt numerele.

Din aritmetică se știe că legea comutativă este adevărată pentru produsul oricărui număr de factori.

4. Legea asociativă a înmulțirii.

Produsul mai multor factori nu se va schimba dacă orice grup de factori adiacenți este înlocuit cu produsul lor.

Pentru produsul a trei factori avem:

De exemplu, produsul a trei factori 5-3-4 poate fi calculat după cum urmează:

Pentru produsul a patru factori avem:

De exemplu, același număr 20 va fi obținut cu orice grupare de factori adiacenți:

Utilizarea legilor comutative și asociative ale înmulțirii simplifică adesea foarte mult calculele.

Înmulțirea lui 25 cu 37 nu este foarte ușoară. Să mutăm ultimii doi factori:

Acum înmulțirea se poate face cu ușurință în minte.