Cuvântul „transcendental” este de obicei asociat cu meditația transcendentală și diverse ezoterism. Dar, pentru a-l folosi corect, este necesar cel puțin să-l distingem de termenul „transcendental”, și ca maxim - să-i amintim rolul său în lucrările lui Kant și ale altor filozofi.
Acest concept provine din latinescul transcendens - „transcendent”, „superior”, „mers dincolo”. În general, denotă ceva care este fundamental inaccesibil cunoștințelor empirice sau nu se bazează pe experiență. Premisele termenului au apărut în filosofia neoplatonismului - fondatorul direcției Plotin a creat doctrina Unului - originea atot-bună, care nu poate fi cunoscută nici prin efortul gândirii, nici cu ajutorul experienței senzoriale. „Unul nu este o ființă, ci părintele ei”, explică filozoful.
Termenul „transcendental” a fost dezvăluit cel mai pe deplin în filosofia lui Immanuel Kant, unde a fost folosit pentru a caracteriza pe cei care există independent de conștiință și acționează asupra simțurilor noastre, rămânând în același timp fundamental de necognoscibil, atât în practică, cât și în teorie. Opusul transcendenței este -: înseamnă fie inalienabilitatea, legătura internă a unei calități a obiectului cu obiectul însuși, fie cunoașterea obiectului pe experienta personala. De exemplu, dacă presupunem că Universul a fost creat conform unui plan superior, planul în sine este transcendent pentru noi - putem doar să facem ipoteze despre el. Dar dacă acest design există cu adevărat, consecințele lui sunt imanente pentru noi, manifestându-se în legi fiziceși împrejurările în care ne aflăm. Prin urmare, în unele concepte teologice, Dumnezeu este transcendent și se află în afara ființei create de el.
Unele lucruri-în-sine sunt încă accesibile cunoașterii a priori: de exemplu, spațiul și timpul, ideile lui Dumnezeu, bunătatea și frumusețea, categoriile logice. Adică, obiectele transcendentale sunt, la figurat vorbind, „prestat în mod implicit” în mintea noastră
Conceptul de transcendență există și în matematică: un număr transcendental este un număr care nu poate fi calculat folosind algebră sau exprimat algebric (adică nu poate fi rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi care nu este identic cu zero). Acestea includ, de exemplu, numerele π și e.
Un concept apropiat de „transcendental”, dar diferit ca sens – „transcendental”. Inițial, a desemnat pur și simplu zona categoriilor mentale abstracte, iar mai târziu Kant a dezvoltat-o, căzând în propria sa capcană: s-a dovedit a fi imposibil să construiești un sistem filozofic doar pe date empirice și nu a recunoscut alte surse. de experienţă pe lângă empirism. Pentru a ieși, filosoful a trebuit să admită că unele lucruri-în-sine sunt încă accesibile cunoașterii a priori: de exemplu, spațiul și timpul, ideile lui Dumnezeu, bunătatea și frumusețea, categoriile logice. Adică, obiectele transcendentale sunt, la figurat vorbind, „prestabilite în mod implicit” în mintea noastră – în timp ce informațiile despre ele există de la sine și nu rezultă din experiența noastră.
Există un alt concept înrudit - transcendența. În sensul larg al cuvântului, înseamnă trecerea graniței dintre două zone eterogene, în special trecerea de la sfera acestei lumi la sfera celeilalte lumi, transcendentul. Pentru simplitate, să luăm un exemplu din science fiction: o lume paralelă pentru o persoană obișnuită este un fenomen transcendental. Dar atunci când eroul intră în această lume paralelă sau este cumva capabil să o perceapă, aceasta este transcendență. Sau mai mult exemplu complex din filozofia existențială: Jean-Paul Sartre credea că omul este transcendent pentru că depășește orice experiență proprie posibilă: ne putem studia pe noi înșine și lumea din părți diferite, dar nu ne vom apropia niciodată de a ne cunoaște pe deplin pe noi înșine. Dar, în același timp, o persoană are capacitatea de a transcende: transcende orice lucru, dându-i un sens. Transcendența este, de asemenea, un element important în religie: ajută o persoană să se elibereze de natura sa materială și să atingă ceva dincolo.
De la filozofie, conceptul de transcendentalitate a migrat la psihologie: psihologul elvețian Carl Jung a introdus conceptul de „funcție transcendentală” – aceasta este o funcție care combină conștientul și inconștientul. În special, un psihanalist poate îndeplini o funcție transcendentală - el ajută pacientul să analizeze imaginile inconștientului (de exemplu, visele) și să le lege împreună cu procesele conștiente din psihicul său.
Cum să spun
Incorect „M-am înscris la un curs de meditație transcendentală”. Așa este - „transcendental”.
Dreapta „Când intru în templu, simt un sentiment de fuziune cu ceva transcendental”.
Așa e, „Arta transcende obiectele care ne sunt familiare din lumea materială, umplându-le cu un înțeles superior”.
Exemple
Istorie
Pentru prima dată, conceptul de număr transcendental a fost introdus de J. Liouville în 1844, când a demonstrat teorema că un număr algebric nu poate fi aproximat prea bine printr-o fracție rațională.
|heading3= Instrumente de extensie
sisteme de numere |heading4= Ierarhia numerelor |list4=
|
|||||||||||||
| Numere complexe | |||||||||||||
Un fragment care caracterizează Numărul Transcendent
- Cum poți fi sănătos... când suferi moral? Este posibil să rămânem calmi în timpul nostru, când o persoană are un sentiment? a spus Anna Pavlovna. — Sper că ai fost cu mine toată seara?- Și vacanța trimisului englez? Astăzi este miercuri. Trebuie să mă arăt acolo”, a spus prințul. - Fiica mea mă va lua și mă va lua.
Am crezut că această vacanță a fost anulată. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d "artifice commencent a devenir insipides. [Mărturisesc că toate aceste sărbători și artificii devin insuportabile.]
„Dacă ar fi știut că îți dorești, vacanța ar fi fost anulată”, a spus prințul, din obișnuință, ca un ceas ranit, spunând lucruri pe care nu voia să i se creadă.
– Ne me tourmentez pas. Eh bien, qu "a t on decide par rapport a la depeche de Novosiizoff? Vous savez tout. [Nu mă chinui. Ei bine, ce ai hotărât cu ocazia trimiterii lui Novosiltsov? Știți cu toții.]
- Cum pot să-ți spun? spuse prințul pe un ton rece și plictisit. - Qu "at on decide? On a decide que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres. [Ce ai decis? Am hotărât că Bonaparte și-a ars navele; și noi, de asemenea, se pare că gata să-l ardă pe al nostru.] - Prințul Vasily vorbea mereu leneș, în timp ce un actor vorbește rolul unei piese vechi. Anna Pavlovna Sherer, dimpotrivă, în ciuda celor patruzeci de ani, era plină de animație și impulsuri.
A fi entuziast a devenit poziția ei socială, iar uneori, când nici nu voia, ea, pentru a nu înșela așteptările oamenilor care o cunoșteau, devenea o entuziastă. Zâmbetul reținut, care se juca constant pe chipul Annei Pavlovna, deși nu mergea la trăsăturile ei învechite, exprima, ca la copiii răsfățați, conștiința constantă a dulcelui ei neajuns, de la care nu vrea, nu poate și nu găsește necesar. să se corecteze.
În mijlocul unei conversații despre acțiuni politice, Anna Pavlovna s-a entuziasmat.
„Ah, nu-mi spune despre Austria! Nu înțeleg nimic, poate, dar Austria nu a vrut și nu vrea război. Ea ne trădează. Doar Rusia trebuie să fie salvatorul Europei. Binefăcătorul nostru își cunoaște înalta chemare și îi va fi credincios. Iată un lucru în care cred. Bunul și minunatul nostru suveran are cel mai mare rol din lume și este atât de virtuos și de bun încât Dumnezeu nu-l va părăsi și își va împlini chemarea de a zdrobi hidra revoluției, care acum este și mai cumplită în persoană. al acestui criminal și răufăcător. Numai noi trebuie să ispășim sângele celor drepți... Pe cine să ne bazăm, vă întreb?... Anglia, cu spiritul ei comercial, nu vrea și nu poate înțelege întreaga înălțime a sufletului împăratului Alexandru. Ea a refuzat să curețe Malta. Ea vrea să vadă, căutând gândul din spate al acțiunilor noastre. Ce i-au spus lui Novosiltsov?... Nimic. Nu au înțeles, nu pot înțelege abnegația împăratului nostru, care nu vrea nimic pentru sine și vrea totul pentru binele lumii. Și ce au promis? Nimic. Și ce au promis, și asta nu se va întâmpla! Prusia a declarat deja că Bonaparte este invincibil și că întreaga Europă nu poate face nimic împotriva lui... Și nu cred niciun cuvânt nici din Hardenberg, nici din Gaugwitz. This fameuse neutralite prussienne, ce n "est qu" un piege. [Această neutralitate notorie a Prusiei este doar o capcană.] Cred într-un singur Dumnezeu și în destinul înalt al iubitului nostru împărat. El va salva Europa!... Ea se opri brusc cu un zâmbet de batjocură la ardoarea ei.
număr transcendental un număr (real sau imaginar) care nu satisface nicio ecuație algebrică (vezi ecuația algebrică) cu coeficienți întregi. Astfel, numerele sunt opuse numerelor algebrice (vezi Numărul algebric). Existența lui T. h. a fost stabilită pentru prima dată de J. Liouville (1844). Punctul de plecare pentru Liouville a fost teorema sa, conform căreia ordinea de aproximare a unei fracții raționale cu un numitor dat la un număr algebric irațional dat nu poate fi arbitrar mare. Și anume, dacă un număr algebric dar satisface o ecuație algebrică ireductibilă de grad n cu coeficienți întregi, atunci pentru orice număr rațional c depinde numai de α
). Prin urmare, dacă pentru un număr irațional dat α este posibil să se specifice o mulțime infinită de aproximări raționale care nu satisfac inegalitatea dată pentru niciun dinȘi n(la fel pentru toate aproximările), atunci α
există T. h. Un exemplu de astfel de număr oferă: O altă dovadă a existenței lui T. h. a fost dată de G. Kantor (1874), observând că mulțimea tuturor numerelor algebrice este numărabilă (adică toate numere algebrice poate fi renumerotat; vezi teoria mulţimilor), în timp ce mulţimea tuturor numere reale nenumărabil. De aici rezultă că setul de numere este de nenumărat și, în plus, că numerele formează cea mai mare parte a setului de numere. Cea mai importantă problemă din teoria t.h. Problemele de acest fel sunt printre cele mai dificile probleme din matematica modernă. În 1873, S. Hermite a dovedit că numărul Napier În 1882, matematicianul german F. Lindemann a primit mai mult rezultat general: dacă α este un număr algebric, atunci e Rezultatul α - T. h. Lipdemann a fost generalizat semnificativ de matematicianul german K. Siegel (1930), care a demonstrat, de exemplu, transcendența valorii unei clase largi de funcții cilindrice pentru valorile algebrice ale argumentului. În 1900, la un congres de matematică la Paris, D. Hilbert, dintre cele 23 de probleme de matematică nerezolvate, a subliniat următoarele: este un număr transcendental α β
, Unde α
Și β
- numere algebrice, și β
- un număr irațional și, în special, dacă numărul e π este transcendental (problema transcendenței numerelor de forma α β
a fost pus în scenă pentru prima dată în formă privată de L. Euler, 1744). Soluție completă această problemă (în sens afirmativ) a fost obținută abia în 1934 de A. O. Gel’fond. Din descoperirea lui Gelfond, în special, rezultă că toți logaritmii zecimali numere naturale(adică „logaritmi tabulari”) sunt T. T. Metodele teoriei lui T. T. sunt aplicate unui număr de probleme în rezolvarea ecuațiilor în numere întregi. Lit.: Gelfond A. O., Numerele transcendentale și algebrice, Moscova, 1952. Mare enciclopedia sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică.
1969-1978
.
Vedeți ce este „Numărul transcendent” în alte dicționare:
Un număr care nu satisface nicio ecuație algebrică cu coeficienți întregi. Numerele transcendentale sunt: numarul??3,14159...; logaritmul zecimal al oricărui număr întreg care nu este reprezentat de o unitate cu zerouri; numărul e=2,71828... etc... Mare Dicţionar enciclopedic
- (din lat. transcendere a trece, a depăși) este real sau număr complex, care nu este algebric, cu alte cuvinte, un număr care nu poate fi o rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi. Cuprins 1 Proprietăți 2 ... ... Wikipedia
Un număr care nu satisface nicio ecuație algebrică cu coeficienți întregi. Numerele transcendentale sunt: numărul π = 3,14159...; logaritmul zecimal al oricărui număr întreg care nu este reprezentat de o unitate cu zerouri; numărul e \u003d 2,71828 ... și altele ... Dicţionar enciclopedic
Un număr care nu satisface nicio algebră. ecuație cu coeficienți întregi. Inclusiv: numărul de PI \u003d 3,14159 ...; logaritmul zecimal al oricărui număr întreg care nu este reprezentat de o unitate cu zerouri; numărul e \u003d 2,71828 ... și altele ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic
Un număr care nu este rădăcina niciunui polinom cu coeficienți întregi. Domeniul de definire a unor astfel de numere sunt zerourile numerelor reale, complexe și radicale. Existența și construcțiile explicite ale orelor T. reale au fost fundamentate de J. Liouville ...... Enciclopedie matematică
O ecuație care nu este algebrică. De obicei, acestea sunt ecuații care conțin exponențial, logaritmic, trigonometric, invers funcții trigonometrice, de exemplu: O definiție mai riguroasă este: O ecuație transcendentală este o ecuație ... Wikipedia
Un număr aproximativ egal cu 2,718, care se găsește adesea în matematică și Stiintele Naturii. De exemplu, în timpul dezintegrarii unei substanțe radioactive după timpul t, din cantitatea inițială de substanță rămâne o fracție egală cu e kt, unde k este un număr, ... ... Enciclopedia Collier
E este o constantă matematică, baza logaritmului natural, un număr irațional și transcendental. Uneori, numărul e se numește numărul Euler (a nu se confunda cu așa-numitele numere Euler de primul fel) sau numărul Napier. Este notat cu litera latină minusculă „e”. ... ... Wikipedia
E este o constantă matematică, baza logaritmului natural, un număr irațional și transcendental. Uneori, numărul e se numește numărul Euler (a nu se confunda cu așa-numitele numere Euler de primul fel) sau numărul Napier. Este notat cu litera latină minusculă „e”. ... ... Wikipedia
În această secțiune, vom părăsi din nou tărâmul frumos și confortabil al numerelor întregi, pe care ne-am plimbat (aproape am spus - am rătăcit) studiind teoria comparațiilor. Dacă urmărim istoria apariției și dezvoltării cunoașterii numerelor de către omenire, atunci va ieși la lumină un fapt destul de paradoxal - pentru aproape întreaga sa istorie veche de secole, omenirea a folosit în practică și a studiat îndeaproape o parte excepțional de mică din întreaga sa istorie. set de numere care trăiesc în natură. oameni perioadă lungă de timp nu erau complet conștienți de existența, așa cum sa dovedit mai târziu, a majorității covârșitoare a numerelor reale înzestrate cu proprietăți uimitoare și misterioase și numite acum transcendentale. Judecă singur (enumerez etapele aproximative ale dezvoltării conceptului de număr real):
1) Venind din adâncurile mileniilor, o abstractizare matematică ingenioasă a unui număr natural
Geniul acestei abstracții este izbitor, iar semnificația ei pentru dezvoltarea omenirii depășește, poate, chiar și invenția roții. Ne-am obișnuit atât de mult încât am încetat să-l mai admirăm. realizare remarcabilă mintea umană. Cu toate acestea, încearcă, pentru o mai mare certitudine, să te imaginezi nu ca un student la matematică, ci ca o persoană primitivă, sau, să zicem, un student la filologie, să formulezi exact ce este comun între trei colibe, trei tauri, trei banane și trei ecografe ( ceea ce este comun între trei însoțitori de băutură nu luăm în considerare aici). A explica unui non-matematician ce este numărul natural „trei” este o întreprindere aproape fără speranță, cu toate acestea, deja un pui de om de cinci ani simte în interior această abstracție și este capabil să opereze în mod rezonabil cu ea, cerând mamei sale trei dulciuri în loc de două.
2) Fracții, adică numere raționale pozitive
Fracțiile au apărut în mod natural la rezolvarea problemelor privind împărțirea proprietății, măsurarea terenului, calcularea timpului etc. ÎN Grecia antică numerele raționale au fost în general un simbol al armoniei lumii înconjurătoare și o manifestare a principiului divin, iar toate segmentele, până la un timp, au fost considerate pe măsură, adică. raportul dintre lungimile lor trebuia exprimat printr-un număr rațional, în caz contrar - o țeavă (și zeii nu pot permite acest lucru).
3) Numerele negative și zero (conform unor surse științifice
Numerele negative au fost interpretate inițial ca datorii în decontări financiare și de troc, dar apoi s-a dovedit că fără numere negative nu se poate ajunge nicăieri în alte domenii ale activității umane (cine nu crede, să se uite la termometrul din afara ferestrei). in iarna). Numărul zero, după părerea mea, a servit inițial nu ca simbol al unui spațiu gol și al absenței oricărei cantități, ci ca simbol al egalității și completității procesului de decontare (cât datoram vecinului meu, i-am dat așa mult, iar acum - zero, adică scuze).
4) Numerele algebrice iraționale
Numerele iraționale au fost descoperite în școala pitagoreică atunci când încercau să măsoare diagonala unui pătrat cu latura sa, dar au ținut această descoperire într-un secret teribil - indiferent cât de necazuri au apărut! Doar cei mai stabili din punct de vedere mental și cei mai dovediți studenți au fost inițiați în această descoperire și a fost interpretată ca un fenomen dezgustător care încalcă armonia lumii. Dar nevoia și războiul au făcut ca omenirea să învețe să decidă ecuații algebrice nu numai de gradul I cu coeficienţi întregi. După Galileo, scoicile au început să zboare de-a lungul parabolelor, după Kepler, planetele au zburat de-a lungul elipselor, mecanica și balistica au devenit științe exacte și peste tot era necesar să se rezolve și să rezolve ecuații, ale căror rădăcini erau numere iraționale. Prin urmare, existența rădăcinilor iraționale ale ecuațiilor algebrice a trebuit să fie reconciliată, oricât de dezgustătoare ar părea acestea. Mai mult, metodele de rezolvare a ecuațiilor cubice și a ecuațiilor de gradul al patrulea, descoperite în secolul al XVI-lea de matematicienii italieni Scipio del Ferro, Niccolò Tartaglia (Tartaglia este o poreclă care înseamnă bâlbâit în traducere, nu-i știu numele adevărat), Ludovic Ferrari și Rafael Bombelli au condus la inventarea unor numere complexe foarte „supranaturale”, care au fost destinate să primească recunoaștere deplină abia în secolul al XIX-lea. Iraționalități algebrice a intrat ferm în practica umană încă din secolul al XVI-lea.
În această istorie a dezvoltării conceptului de număr, nu a existat loc pentru numerele transcendentale, adică. numere care nu sunt rădăcini ale vreunei ecuații algebrice cu coeficienți raționali sau, care este echivalent (după reducerea la un numitor comun), coeficienți întregi. Adevărat, chiar și grecii antici cunoșteau numărul remarcabil p, care, după cum s-a dovedit mai târziu, este transcendental, dar îl cunoșteau doar ca raport dintre circumferința unui cerc și diametrul său. Întrebarea cu privire la adevărata natură a acestui număr a fost, în general, de puțin interes pentru nimeni până când oamenii au avut suficient și au rezolvat fără succes problema antică grecească a cercului la pătrat, iar numărul p însuși s-a târât într-un fel misterios în diferite secțiuni ale matematicii și științelor naturale.
Abia în 1844, Liouville a construit primul exemplu istoric al unui număr transcendental, iar lumea matematică a fost surprinsă de însuși faptul existenței unor astfel de numere. Abia în secolul al XIX-lea a înțeles genialul Georg Cantor, folosind conceptul de cardinalitate a unei mulțimi, că marea majoritate a numerelor transcendentale de pe dreapta numerică. Doar în al cincilea paragraf al acestei cărți ne întoarcem în cele din urmă numerele transcendentale atentia ta.
Punctul 24. Măsura și categoria pe linie dreaptă.
În acest paragraf, voi oferi câteva informații preliminare din analiza matematică necesare pentru înțelegerea prezentării ulterioare. În matematică au fost inventate destul de multe formalizări diferite ale conceptului de „micitate” a unui set. Vom avea nevoie de două dintre ele - seturi de măsură zero și seturi de prima categorie conform lui Baer. Ambele concepte se bazează pe noțiunea de numărabilitate a unei mulțimi. Se știe că mulțimea numerelor raționale este numărabilă (| Q|= A 0), și că orice mulțime infinită conține o submulțime numărabilă, adică seturile numărabile sunt cele „mai mici” dintre infinit. Între orice mulțime numărabilă și mulțimea numerelor naturale N există o mapare bijectivă, adică elementele oricărui set numărabil pot fi renumerotate sau, cu alte cuvinte, orice set numărabil poate fi aranjat într-o secvență. Niciun interval de pe linie nu este un set numărabil. Acest lucru rezultă în mod evident din următoarea teoremă.
Teorema 1 (Cantor). Pentru orice secvență ( un n) numere reale și pentru orice interval eu există un punct R DESPRE eu astfel încât p № un n pentru oricine n DESPRE N .
Dovada. Proces. Luăm un segment (și anume, un segment, împreună cu capete) eu 1M eu astfel încât A 1 p eu unu . Din segment eu 1 iau un segment eu 2 M eu 1 astfel încât A 2 P eu 2 etc. Continuarea procesului, din segment În 1 ia un segment eu n M eu n-1 astfel încât A n P eu n. Ca rezultat al acestui proces, obținem o succesiune de segmente imbricate eu 1 eu 2 Y... Y eu a-a... intersecție
care, după cum se știe de la primul fel, sunt negoale, adică. conţine un punct
. Este evident că p Nr. a n pentru toți Nu N .
Nu cred că cititorii nu au întâlnit anterior această demonstrație elegantă (deși în practica mea au existat și studenți foarte obscuri), doar că ideea acestei demonstrații va fi folosită mai târziu în demonstrarea teoremei lui Baer și, prin urmare, este util să-l reamintiți în prealabil.
Definiție. Multe DAR strâns în interval eu, dacă are o intersecție nevide cu fiecare subinterval din eu. Multe DAR strâns dacă este strâns R. Multe DAR nu este dens nicăieri dacă este dens în niciun interval pe linia reală, i.e. fiecare interval de pe linie conține un subinterval care se află în întregime în complementul lui DAR .
Este ușor de înțeles că mulți DAR nu este nicăieri dens dacă și numai dacă complementul său A conţine dens set deschis. Este ușor de înțeles că mulți DAR nu este nicăieri dens dacă și numai dacă închiderea sa
nu are puncte interioare.
Nicăieri seturile dense de pe linie se simt intuitiv mici, în sensul că sunt pline de găuri, iar punctele unui astfel de set sunt destul de rar localizate pe linie. Formulăm unele proprietăți ale mulțimilor dense nicăieri în masă sub forma unei teoreme.
Teorema 2. 1) Orice submulțime a unui set dens nicăieri nu este dens nicăieri.
2) Unirea a două (sau a oricărui număr finit) mulțimi dense nicăieri nu este densă nicăieri.
3) Închiderea unui set dens nicăieri nu este dens nicăieri.
Dovada. 1) Evident.
2) Dacă A 1 și A 2 nu sunt nicăieri dense, atunci pentru fiecare interval eu sunt intervale eu 1 milion ( eu \ A 1) și eu 2 M ( eu 1 \ A 2). Mijloace, eu 2 M eu \(A 1 și A 2), ceea ce înseamnă că A 1 și A 2 nu este nicăieri strâns.
3) Evident, orice interval deschis conținut în A, este cuprins și în
.
Astfel, clasa mulțimilor dense de nicăieri este închisă sub operația de preluare a submulților, operația de închidere și uniuni finite. O uniune numărabilă de mulțimi dense de nicăieri nu trebuie, în general, să fie un set dense de nicăieri. Un exemplu în acest sens este mulțimea de numere raționale, care este peste tot densă, dar este o uniune numărabilă de puncte separate, fiecare dintre acestea formând un set dens nicăieri cu un singur element în R .
Definiție. O mulțime care poate fi reprezentată ca o uniune finită sau numărabilă de mulțimi dense nicăieri se numește mulțime din prima categorie (după Baer). O mulțime care nu poate fi reprezentată în această formă se numește mulțime din a doua categorie.
Teorema 3. 1) Complementul oricărei mulțimi din prima categorie de pe linie este dens.
2) Niciun interval în R nu este un set din prima categorie.
3) Intersecția oricărei secvențe de mulțimi dense deschise este o mulțime densă.
Dovada. Cele trei proprietăți formulate în teoremă sunt în esență echivalente. Să demonstrăm primul. Lasa
– reprezentare setată DAR prima categorie ca o uniune numărabilă de seturi dense nicăieri, eu- interval arbitrar. Mai departe - procesul ca în demonstrarea teoremei lui Cantor. Să alegem un segment (și anume un segment, împreună cu capete) eu 1 milion ( eu \ A unu). Acest lucru este posibil deoarece, în plus față de setul dens nicăieri A 1 interval interior eu există întotdeauna un întreg subinterval și acesta, la rândul său, conține un întreg segment în sine. Să alegem un segment eu 2 M ( eu 1 \ A 2). Să alegem un segment eu 3M ( eu 2 \ A 3) etc. Intersecția segmentelor imbricate
nu este gol, de unde complementul eu \ A nu este gol, ceea ce înseamnă că complementul A strans.
Cea de-a doua aserțiune a teoremei decurge direct din prima, a treia aserțiune decurge tot din prima, dacă doar facem efort pe noi înșine și trecem la complementele unei secvențe de mulțimi dense deschise.
Definiție. O clasă de mulțimi care conține toate uniunile posibile finite sau numărabile ale membrilor săi și orice submulțimi ale membrilor săi se numește ideal s.
Evident, clasa tuturor cel mult seturile numărabile este un ideal. După puțină gândire, este ușor de observat că clasa tuturor setiilor din prima categorie de pe linie este și ea un s-ideal. Un alt exemplu interesant al idealului s este oferit de clasa așa-numitelor seturi zero (sau seturi de măsură zero).
Definiție. Multe DAR M R se numeste multime de masura nula (multime nula) daca DAR poate fi acoperit de cel mult un set numărabil de intervale a căror lungime totală este mai mică decât orice număr dat e >0 , i.e. pentru orice e >0 există o astfel de succesiune de intervale eu n, ce
și e S I n S<
e
.
Conceptul de mulțime nulă este o altă formalizare a conceptului intuitiv de „micitate” a unei mulțimi: mulțimile nule sunt mulțimi cu lungime mică. Este evident că un singur punct este o mulțime nulă și că orice submulțime a unei mulțimi nule este în sine o mulțime nulă. Prin urmare, faptul că mulțimile nule formează un ideal s rezultă din următoarea teoremă.
Teorema 4 (Lebesgue). Orice uniune numărabilă de mulțimi nule este un set nul.
Dovada. Lasa Ai– seturi nule, i= 1, 2, ... . Apoi pentru fiecare i există o succesiune de intervale eu ij( j=1, 2, ...) astfel încât
Și
. Setul tuturor intervalelor eu ij acoperă DAR iar suma lungimilor lor este mai mică decât e, deoarece 
. Mijloace, DAR– zero-set.
Niciun interval sau segment nu este un set nul, deoarece corect
Teorema 5 (Heine-Borel). Dacă o succesiune finită sau infinită de intervale eu n acoperă intervalul eu, apoi
S S eu n Ѕ і Ѕ eu Ѕ .
Nu voi da aici dovada acestei teoreme intuitiv evidente, deoarece poate fi găsită în orice curs mai mult sau mai puțin serios de analiză matematică.
Din teorema Heine-Borel rezultă că idealul s al mulțimilor nule, la fel ca s-ofertele nu mai mult de mulțimi și mulțimi numărabile din prima categorie, nu conține intervale și segmente. Aceste trei idealuri s au, de asemenea, în comun faptul că includ toate mulțimile finite și numărabile. În plus, există seturi nenumărate din prima categorie de măsură zero. Cel mai familiar exemplu al unui astfel de set este setul perfect (*) Cantor c M, format din numere în notația ternară a căror unitate nu există. Amintiți-vă procesul de construire a setului perfect Cantor: segmentul este împărțit în trei părți egale și intervalul mediu deschis este aruncat. Fiecare dintre cele două treimi rămase ale segmentului este din nou împărțită în trei părți egale, iar intervalele mijlocii deschise sunt aruncate din ele etc. Evident, setul rămas după acest proces nu este nicăieri dens, adică prima categorie. Este ușor de calculat că lungimea totală a părților din mijloc aruncate este egală cu unu, adică. din are măsura zero. Se știe că din nenumărate, pentru că nenumărate șiruri infinite formate din zerouri și doi (fiecare element din reprezentată printr-o fracție ternară în care punctul zecimal este exact succesiunea de zerouri și două).
Invit cititorii să verifice singuri dacă există seturi din prima categorie care nu sunt seturi nule și există seturi nule care nu sunt seturi din prima categorie (cu toate acestea, dacă vă este dificil să găsiți un exemple, nu disperați, ci doar citiți acest paragraf până la Teorema 6) .
Astfel, imaginea relațiilor dintre cele trei idealuri s luate în considerare este următoarea:
Astfel, am introdus două concepte de micșorarea mulțimilor. Nu este nimic paradoxal în faptul că un set mic într-un sens poate fi mare într-un alt sens. Următoarea teoremă ilustrează destul de bine această idee și arată că în unele cazuri, conceptele de micime introduse de noi se pot dovedi a fi diametral opuse.
Teorema 6. Linia numerică poate fi împărțită în două seturi complementare DARȘi ÎN asa de DAR există un set de prima categorie, și ÎN are măsura zero.
Dovada. Lasa A 1 , A 2 ,…, A n ,... este o mulțime enumerată de numere raționale (sau orice altă submulțime densă numărabilă peste tot R). Lasa eu ij este un interval deschis de lungime 1/2 i+j centrat într-un punct un i. Luați în considerare seturile:
, j =1,2,...;
; A = R \ B = B ў .
Evident, pentru orice e >0, se poate alege j astfel încât 1/2 j< e . Тогда
,
Prin urmare, ÎN– zero-set.
Mai departe,
este un subset dens deschis R deoarece este unirea unei secvențe de intervale deschise și conține toate punctele raționale. Aceasta înseamnă că adăugarea sa Gj¢ nu este nicăieri dens, prin urmare
este un set de prima categorie.
Nu este un rezultat uimitor! Din teorema demonstrată rezultă că fiecare submulțime a dreptei, se dovedește, poate fi reprezentată ca o uniune a unei mulțimi nule și a unei mulțimi din prima categorie. În secțiunea următoare, vom lua în considerare o anumită partiție Rîn două submulțimi, dintre care unul este numerele transcendentale Liouville - măsoară zero, dar din a doua categorie conform lui Baer. Grăbește-te la următorul punct!
| puzzle-uri |
1. Dați un exemplu de două mulțimi dense peste tot a căror intersecție nu este peste tot densă. Dați un exemplu de mulțime densă pretutindeni al cărei complement este, de asemenea, dens peste tot. 2. Există un set nenumărat de măsură zero care este dens pe interval? 5. Lasă decorul E are măsura zero pe interval. Închiderea sa este un set de măsură zero? 6. Lasă decorul E nu este nicăieri dens pe interval și are măsura zero. Închiderea sa este un set de măsură zero? 7. Există peste tot două mulțimi dense nenumărate pe linia a căror intersecție este goală? 8. Construiți un set perfect dens nicăieri de măsură diferită de zero pe interval. 9.
Lasa s>0, A H R. Ei spun că mulți DAR are zero s-dimensional Hausdorff măsoară dacă pentru orice e > 0 există o succesiune de intervale eu n astfel încât: 10. Lasă secvența f n (X) a funcțiilor continue converge punctual către funcție f (X) pe segmentul . Demonstrați că mulțimea punctelor de discontinuitate ale unei funcții f (X) pe acest interval este un set de prima categorie. **) |
si S eu n Ѕ
< e
при всех n. Demonstrați că familia tuturor mulțimilor este nulă s-masura Hausdorff dimensionala formeaza un s-ideal; la s=1 coincide cu clasa multimilor nule, iar pentru 0< s <1 является его
собственным подклассом.| NS | ȘTIRI CULTURII |
|
NOI SOSIRI IN HERMTAGE Artistul Valentin Serov. „Fata cu piersici”. Autorul a surprins cu sensibilitate și a transmis cu pricepere starea de spirit a modelului - care s-a gândit o clipă la trist: iată același tejghea, aceeași cântare, tot timpul vinzi aceste blestemate de piersici, și anii trec, și nimeni. se căsătorește și încă e fată... Ivan Kramskoy. "Necunoscut". Fondul pânzei, compoziția obiectului în sine, este susținut în tonuri sumbre și tensionate. Și cu o disonanță ascuțită - țipând stacojiu, tulburând sufletul necunoscutului Xîn ecuația 0,48 C X + 456,67 = 8974. Pictor de curte uitat „Portretul unei doamne de rang înalt” Munții Caucaz. În dreapta - castelul Tamarei, în stânga - o doamnă vie stă în picioare, dar nu se știe ce mănâncă și cine a pus-o atât de sus. Sculptorul Mukhina. „Muncitor și fermier colectiv”. Material - brânză. Artistul Salieri. „Mozart la pian”. Așa-numita artă „ready-made”, când un artist scoate un obiect obișnuit din context și îl transformă într-un fapt de artă. Această compoziție constă din 2 sticle - „Mozart”, în fața ei - „Royal”. Artistul Vermeer. „Fata în albastru” O poză ciudată și grotesc. Personajele ei sunt prezentate în cheie translucidă cu raze X. Chiar o fată. Într-adevăr, în albastru. Vasili Kandinsky. „Compoziție N 456642695244962”. După cum știți, artistului i-a venit în minte ideea de a crea picturi abstracte când s-a uitat la o cârpă pe care și-a șters pensulele. Cârpa pe care și-a șters picioarele l-a convins că este pe drumul cel bun. Această lucrare este o altă imagine a celebrelor zdrențe. Artist Ming Salut. Poster „Un tânăr care se uită la un bacil tifos mărit de 10000000000 de ori” Pictura lui Medvedev „Trei conuri”. Fedotov „Micul dejun al unui aristocrat”. Pânză. Unt. Pâine. |
|