număr transcendental este un număr complex care nu este algebric, adică nu este rădăcina vreunui polinom diferit de zero cu coeficienți raționali.

Existența numerelor transcendentale a fost stabilită pentru prima dată de J. Liouville în 1844; a construit și primele exemple de astfel de numere. Liouville a observat că numerele alebraice nu pot fi aproximate „prea bine” prin numere raționale. Și anume, teorema lui Liouville spune că dacă un număr algebric este rădăcina unui polinom de grad cu coeficienți raționali, atunci pentru orice număr rațional inegalitatea

unde constanta depinde numai de . Această afirmație implică un semn suficient de transcendență: dacă numărul este astfel încât pentru orice constantă există o mulțime infinită de numere raționale care satisfac inegalitățile

asta este transcendent. Ulterior, astfel de numere au fost numite numere Liouville. Un exemplu de astfel de număr este

O altă dovadă a existenței numerelor transcendentale a fost obținută de G. Kantor în 1874 pe baza teoriei mulțimilor pe care a creat-o. Cantor a demonstrat că setul este numărabil numere algebriceși set nenumărat numere reale, de unde rezultă că mulțimea numerelor transcendentale este nenumărabilă. Totuși, spre deosebire de demonstrația lui Liouville, aceste argumente nu ne permit să dăm un exemplu de cel puțin un astfel de număr.

Lucrarea lui Liouville a dat naștere unei întregi ramuri a teoriei numerelor transcendentale - teoria aproximării numerelor algebrice prin numere raționale sau, mai general, algebrice. Teorema lui Liouville a fost consolidată și generalizată în lucrările multor matematicieni. Acest lucru a făcut posibilă construirea de noi exemple de numere transcendentale. Deci, K. Mahler a arătat că dacă este un polinom neconstant care ia valori întregi nenegative pentru toate numerele naturale, atunci pentru orice număr natural, unde este înregistrarea numărului în sistemul numeric cu bază, este transcendental. , dar nu este un număr Liouville. De exemplu, pentru și obținem următorul rezultat elegant: numărul

transcendent, dar nu este un număr Liouville.

În 1873, Sh. Hermite, folosind alte idei, a dovedit transcendența numărului Napier (baza logaritmului natural):

După ce a dezvoltat ideile lui Hermite, F. Lindemann în 1882 a dovedit transcendența numărului, punând astfel capăt străvechii probleme a cercului la pătrat: folosind o busolă și o riglă, este imposibil să construiești un pătrat care este egal în dimensiune (adică având aceeași zonă) unui cerc dat. Mai general, Lindemann a arătat că, pentru orice număr algebric, este transcendental. Formulare echivalentă: pentru orice număr algebric, altul decât și, logaritmul său natural este un număr transcendental.

În 1900, la un congres al matematicienilor de la Paris, D. Hilbert, dintre cele 23 de probleme de matematică nerezolvate, a subliniat următoarele, formulate într-o formă privată de L. Euler:

Lăsa și sunt numere algebrice și transcendent? În special, sunt numerele transcendentale? și?

Această problemă poate fi reformulată în următoarea formă, apropiată de formularea originală a lui Euler:

Lăsa și sunt numere algebrice altele decât și, în plus, raportul dintre logaritmii lor naturali iraţional. Va numărul transcendent?

Prima soluție parțială a problemei a fost obținută în 1929 de A. O. Gel'fond, care, în special, a demonstrat transcendența unui număr. În 1930, R. O. Kuzmin a îmbunătățit metoda lui Gelfond, în special, a reușit să demonstreze transcendența unui număr. Soluție completă Problema Euler-Hilbert (în sens afirmativ) a fost obținută în 1934 independent de A. O. Gelfond și T. Schneider.

A. Baker a generalizat în 1966 teoremele lui Lindemann și Gelfond-Schneider, demonstrând, în special, transcendența produsului unui număr finit arbitrar de numere de formă și cu cele algebrice sub restricții naturale.

În 1996 Yu.V. Nesterenko a demonstrat independența algebrică a valorilor seriei Eisenstein și, în special, a numerelor u. Aceasta înseamnă transcendența oricărui număr al formei în care diferit de zero este o funcție rațională cu coeficienți algebrici. De exemplu, suma seriei va fi transcendentală

În 1929-1930. K. Mahler a propus într-o serie de lucrări o nouă metodă de demonstrare a transcendenței valorilor funcțiilor analitice care satisfac ecuații funcționale de un anumit tip (ulterior, astfel de funcții au fost numite funcții Mahler).

Metodele teoriei numerelor transcendentale și-au găsit aplicație în alte ramuri ale matematicii, în special, în teoria ecuațiilor diofantine.

care, pentru a = 1, ne-a servit la determinarea sumei progresie geometrică. Presupunând că teorema lui Gauss a fost demonstrată, presupunem că a = a 1 este o rădăcină a ecuației (17), astfel încât

	) = a n + a		un n−1			un n−2		a 1 + a

Scăzând această expresie din f(x) și rearanjand termenii, obținem identitatea

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1).

(21) Utilizând acum formula (20), putem extrage factorul x − a 1 din fiecare termen și apoi îl scoatem din paranteză, iar gradul polinomului rămas în paranteze va deveni cu unul mai mic. Rearanjand termenii din nou, obținem identitatea

f(x) = (x − a1 )g(x),

unde g(x) este un polinom de gradul n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Calculul coeficienților notați cu b nu este de interes pentru noi aici.) Să aplicăm același argument în continuare polinomului g(x). După teorema Gauss, există o rădăcină a2 a ecuației g(x) = 0, astfel încât

g(x) = (x − a2 )h(x),

unde h(x) este un nou polinom de grad deja n − 2. Repetând aceste argumente n − 1 ori (desigur, aplicarea principiului inductia matematica), ajungem în cele din urmă la descompunere

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an).

Identitatea (22) implică nu numai că numerele complexe a1 , a2 ,

An sunt rădăcinile ecuației (17), dar și faptul că ecuația (17) nu are alte rădăcini. Într-adevăr, dacă numărul y ar fi rădăcina ecuației (17), atunci din (22) ar urma

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Dar am văzut (p. 115) că lucrarea numere complexe este zero dacă și numai dacă unul dintre factori este zero. Deci, unul dintre factorii y − ar este egal cu 0, adică y = ar , care este ceea ce trebuia să fie stabilit.

§ 6.

1. Definiția și întrebările existenței. Un număr algebric este orice număr x, real sau imaginar, care satisface unele ecuație algebrică drăguț

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6= 0),

130 SISTEM NUMERICAL MATEMATIC cap. II

unde numerele ai sunt numere întregi. Deci, de exemplu, numărul 2 este algebric, deoarece satisface ecuația

x2 − 2 = 0.

În același mod, orice rădăcină a oricărei ecuații cu coeficienți întregi de al treilea, al patrulea, al cincilea, orice grad și indiferent dacă este exprimată sau nu în radicali, este un număr algebric. Conceptul de număr algebric este o generalizare naturală a conceptului de număr rațional, care corespunde cazului particular n = 1.

Nu orice număr real este algebric. Aceasta rezultă din următoarea teoremă enunțată de Cantor: mulțimea tuturor numerelor algebrice este numărabilă. Deoarece mulțimea tuturor numerelor reale este de nenumărat, trebuie să existe în mod necesar numere reale care nu sunt algebrice.

Să indicăm una dintre metodele de recalculare a mulțimii numerelor algebrice. Fiecare ecuație de forma (1) este asociată cu un număr întreg pozitiv

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | +n,

pe care, de dragul conciziei, o vom numi „înălțimea” ecuației. Pentru fiecare valoare fixă ​​a lui n, există doar un număr finit de ecuații de forma (1) cu înălțimea h. Fiecare dintre aceste ecuații are cel mult n rădăcini. Prin urmare, poate exista doar un număr finit de numere algebrice generate de ecuații cu înălțimea h; prin urmare, toate numerele algebrice pot fi aranjate într-o succesiune, listând mai întâi cele generate de ecuațiile de înălțime 1, apoi cele de înălțime 2 și așa mai departe.

Această dovadă că mulțimea numerelor algebrice este numărabilă stabilește existența numerelor reale care nu sunt algebrice. Astfel de numere se numesc transcendentale (din latinescul transcendere - a trece, a depasi); Euler le-a dat acest nume pentru că „depășesc puterea metodelor algebrice”.

Dovada lui Cantor a existenței numerelor transcendentale nu este constructivă. Teoretic, s-ar putea construi un număr transcendental printr-o procedură diagonală efectuată pe o listă imaginară de expansiuni zecimale ale tuturor numerelor algebrice; dar o astfel de procedură este lipsită de orice valoare practicăși nu ar conduce la un număr a cărui expansiune într-o fracție zecimală (sau altă fracție) ar putea fi de fapt scrisă. Cele mai interesante probleme asociate cu numerele transcendentale constau în demonstrarea faptului că anumite, numere specifice(aceasta include numerele p și e, despre care vezi pp. 319–322) sunt transcendentale.

NUMERE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE

**2. Teorema lui Liouville și construcția numerelor transcendentale. Dovada existenței numerelor transcendentale chiar înainte de Cantor a fost dată de J. Liouville (1809–1862). Face posibilă construirea efectivă a exemplelor de astfel de numere. Dovada lui Liouville este mai dificilă decât cea a lui Cantor și acest lucru nu este surprinzător, deoarece construirea unui exemplu este, în general, mai dificilă decât demonstrarea existenței. Prezentând mai jos demonstrația lui Liouville, avem în vedere doar un cititor instruit, deși cunoștințele de matematică elementară sunt complet suficiente pentru a înțelege demonstrația.

După cum a descoperit Liouville, numerele algebrice iraționale au proprietatea că nu pot fi aproximate de numere raționale cu un grad foarte mare de precizie, cu excepția cazului în care numitorii fracțiilor de aproximare sunt luați extrem de mari.

Să presupunem că numărul z satisface ecuația algebrică cu coeficienți întregi

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = 0 (an 6= 0),

dar nu satisface aceeaşi ecuaţie de grad inferior. Apoi

spunem că x însuși este un număr algebric de grad n. De exemplu,

numărul z = 2 este un număr algebric de gradul 2, deoarece satisface ecuația x2 − 2 = 0√ de gradul 2, dar nu satisface ecuația de gradul I; numărul z = 3 2 este de gradul 3, deoarece satisface ecuația x3 − 2 = 0, dar nu (cum vom arăta în capitolul III) satisface o ecuație de grad inferior. Număr algebric de gradul n > 1

nu poate fi rațional, deoarece numărul rațional z = p q satisface

satisface ecuația qx − p = 0 de gradul 1. Fiecare număr irațional z poate fi aproximat cu orice grad de precizie folosind un număr rațional; aceasta înseamnă că puteți specifica întotdeauna o succesiune de numere raționale

p1, p2, . . .

q 1 q 2

cu numitori în creștere nelimitată, care are proprietatea

acea

p r → z. qr

Teorema lui Liouville afirmă: oricare ar fi un număr algebric z de gradul n > 1, el nu poate fi aproximat de un rațional.

numitori suficient de mari, inegalitatea

z−p q			> q n1 +1 .

SISTEM DE NUMERE MATEMATIC

Vom da o demonstrație a acestei teoreme, dar mai întâi vom arăta cum poate fi folosită pentru a construi numere transcendentale. Luați în considerare numărul

z = a1 10−1! + a2 10−2! + a3 10−3! + . . . + am · 10−m! + . . . == 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 . . . ,

unde ai reprezintă cifre arbitrare de la 1 la 9 (cel mai ușor ar fi să setați toate ai egale cu 1), iar simbolul n!, ca de obicei (vezi p. 36 ), reprezintă 1 · 2 · . . . n. O proprietate caracteristică a expansiunii zecimale a unui astfel de număr este aceea că grupurile de zerouri care cresc rapid în lungime alternează în el cu cifre individuale, altele decât zero. Se notează cu zm fracția zecimală finală obținută luând toți termenii până la am · 10−m! în expansiune. inclusiv. Apoi obținem inegalitatea

Să presupunem că z ar fi un număr algebric de grad n. Apoi, stabilind în inegalitatea Liouville (3) p q = zm = 10 p m! , trebuie sa avem

|z - zm | > 10(n+1)m!

pentru valori suficient de mari ale m. Compararea ultimei inegalități cu inegalitatea (4) dă

10(n+1)m!		10(m+1)!			10(m+1)!−1

de unde urmează (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 pentru m suficient de mare. Dar acest lucru nu este adevărat pentru valorile lui m mai mari decât n (lăsați cititorul să-și dea osteneala să dea o dovadă detaliată a acestei afirmații). Am ajuns la o contradicție. Deci, numărul z este transcendental.

Rămâne de demonstrat teorema lui Liouville. Să presupunem că z este un număr algebric de grad n > 1 care satisface ecuația (1), astfel încât

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Împărțind ambele părți la zm − z și folosind formula algebrică

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

primim:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2 ) + . . .
	zm − z
		An (zm n−1 + . . . + zn−1). (6)

NUMERE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE

Deoarece zm tinde spre z, atunci pentru m suficient de mare numărul rațional zm va diferi de z cu mai puțin de unu. Prin urmare, pentru m suficient de mare, putem face următoarea estimare aproximativă:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

în plus, numărul M din dreapta este constant, deoarece z nu se modifică în timpul demonstrației. Să alegem acum m atât de mare încât

fracția z m = p m are numitorul q m era mai mare decât M; apoi qm

|z - zm | >	|f(zm )|			|f(zm )|

|f(zm )| =							-qn
							1 p +. . . + a
Număr rațional zm =			nu poate fi rădăcina ecuației

întrucât atunci ar fi posibil să se extragă factorul (x − zm ) din polinomul f(x), și, prin urmare, z ar satisface o ecuație de grad mai mică decât n. Deci, f(zm ) 6= 0. Dar numărătorul din partea dreaptă a egalității (9) este un număr întreg și, prin urmare, în valoare absolută este cel puțin egal cu unu. Astfel, o comparație a relațiilor (8) și (9) implică inegalitatea

|z - zm | >
					qn+1

care este tocmai conţinutul teoremei indicate.

În ultimele decenii, cercetările privind posibilitatea aproximării numerelor algebrice cu numerele raționale au avansat mult mai departe. De exemplu, matematicianul norvegian A. Thue (1863–1922) a descoperit că în inegalitatea lui Liouville (3), exponentul n + 1 poate fi înlocuit cu un exponent mai mic n 2 + 1.

K. L. Siegel a arătat că este posibil să luați și mai mici (și mai mici

pentru n) mai mare exponent 2 n.

Numerele transcendentale au fost întotdeauna un subiect care atrage atenția matematicienilor. Dar până relativ recent, dintre numerele care sunt interesante în sine, foarte puține erau cunoscute al căror caracter transcendental putea fi stabilit. (Transcendența numărului p, despre care se va discuta în capitolul III, implică imposibilitatea de a pătra cercul cu o riglă și o busolă.) În discursul său de la Congresul Internațional al Matematicienilor de la Paris în 1900, David Hilbert a propus treizeci de matematici

ALGEBRA MULTILOR

probleme care admit o formulare simplă, unele chiar destul de elementare și populare, dintre care nu numai că nu au fost rezolvate, ci chiar păreau capabile să fie rezolvate prin mijloacele matematicii din acea epocă. Aceste „probleme Hilbert” au avut un puternic efect stimulativ pe parcursul perioadei ulterioare de dezvoltare a matematicii. Aproape toate au fost rezolvate încetul cu încetul, iar în multe cazuri soluția lor a fost asociată cu progrese clare în dezvoltarea unor metode mai generale și mai profunde. O problemă care părea destul de fără speranță a fost

dovada că numărul

este transcendent (sau cel puțin irațional). Timp de trei decenii, nu a existat nici măcar un indiciu de o asemenea abordare a problemei din partea nimănui care să deschidă speranța de succes. În cele din urmă, Siegel și, independent de el, tânărul matematician rus A. Gelfond au descoperit noi metode pentru a demonstra transcendența multor

numere care contează în matematică. În special, a fost stabilit

transcendența nu numai a numărului Hilbert 2 2 , ci și a unei clase destul de extinse de numere de forma ab , unde a este un număr algebric altul decât 0 și 1, iar b este un număr algebric irațional.

ANEXA LA CAPITOLUL II

Algebra multimilor

1. Teoria generală. Conceptul de clasă, sau colecție sau set de obiecte este unul dintre cele mai fundamentale în matematică. Mulțimea este definită de o proprietate („atribut”) A, pe care fiecare obiect luat în considerare trebuie să o aibă sau nu; acele obiecte care au proprietatea A formează o mulțime A. Astfel, dacă luăm în considerare numerele întregi și proprietatea lui A este „a fi prim”, atunci mulțimea corespunzătoare A este formată din toate numerele prime 2, 3, 5, 7, . . .

Teoria matematică a mulțimilor pornește din faptul că din mulțimi se pot forma noi mulțimi cu ajutorul anumitor operații (la fel cum se obțin numere noi din numere prin operațiile de adunare și înmulțire). Studiul operațiilor pe mulțimi este subiectul „algebrei multimelor”, care are multe în comun cu algebra numerică obișnuită, deși în anumite privințe diferă de aceasta. Faptul că metodele algebrice pot fi aplicate la studiul obiectelor nenumerice, cum ar fi mulțimile, este ilustrativ.

ALGEBRA MULTILOR

arată o mare generalitate a ideilor matematicii moderne. Recent, a devenit clar că aruncările de algebră set Lume nouaîn multe domenii ale matematicii, de exemplu, teoria măsurării și teoria probabilității; este utilă şi în sistematizarea conceptelor matematice şi clarificarea legăturilor lor logice.

În cele ce urmează, voi desemna un anumit set constant de obiecte, a căror natură este indiferentă și pe care le putem numi multimea universală (sau universul raționamentului) și

A, B, C,. . . vor exista unele submulţimi ale lui I. Dacă I ​​este colecţia tuturor numere naturale, atunci A, să zicem, poate desemna mulțimea tuturor numerelor pare, B mulțimea tuturor numerelor impare, C mulțimea tuturor numerelor prime etc. Dacă I ​​desemnează colecția tuturor punctelor din plan, atunci A poate fi set de puncte în interiorul unora, apoi a unui cerc, B - un set de puncte în interiorul altui cerc etc. În numărul de „subseturi” este convenabil să includem I însuși, precum și o mulțime „vid” care nu conține orice elemente. Scopul urmărit de o astfel de extindere artificială este păstrarea poziţiei că fiecărei proprietăţi a lui A îi corespunde un anumit set de elemente din I care au această proprietate. Dacă A este o proprietate universal valabilă, așa cum este exemplificată (în cazul numerelor) prin proprietatea de a satisface egalitatea trivială x = x, atunci submulțimea corespunzătoare a lui I va fi însuși I, deoarece fiecare element are această proprietate; pe de altă parte, dacă A este un fel de proprietate internă contradictorie (cum ar fi x 6= x), atunci submulțimea corespunzătoare nu conține deloc elemente, este „vid” și este notat cu un simbol.

Spunem că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B, pe scurt, „A este inclus în B”, sau „B conține A” dacă nu există niciun element în mulțimea A care să nu fie și în mulțimea B. Această relație corespunde cu notația

A B sau B A.

De exemplu, mulțimea A tuturor numerelor întregi divizibile cu 10 este o submulțime a mulțimii B a tuturor numerelor întregi divizibile cu 5, deoarece fiecare număr divizibil cu 10 este de asemenea divizibil cu 5. Relația A B nu exclude relația B A. Dacă și oricum, atunci

Aceasta înseamnă că fiecare element al lui A este, de asemenea, un element al lui B și invers, astfel încât mulțimile A și B conțin exact aceleași elemente.

Relația A B dintre mulțimi în multe privințe seamănă cu relația a 6 b dintre numere. În special, notăm următoarele

ALGEBRA MULTILOR

următoarele proprietăți ale acestui raport:

1) A A.

2) Dacă A B și B A, atunci A = B.

3) Dacă A B și B C, atunci A C.

Din acest motiv, relația A B este uneori denumită „relație de ordine”. Principala diferență dintre relația luată în considerare și relația a 6 b dintre numere este aceea că între oricare două numere (reale) date a și b, cel puțin una dintre relațiile a 6 b sau b 6 a se realizează în mod necesar, în timp ce pentru relația A B dintre seturi o afirmație similară este falsă. De exemplu, dacă A este o mulțime formată din numere 1, 2, 3,

și B este mulțimea formată din numerele 2, 3, 4,

atunci nici relația A B și nici relația B A. Din acest motiv, spunem că submulțimile A, B, C, . . . mulţimile I sunt „parţial ordonate”, în timp ce numerele reale a, b, c, . . .

formează un set „bine ordonat”.

De remarcat, de altfel, că din definiția relației A B rezultă că, oricare ar fi submulțimea A a mulțimii I,

Proprietatea 4) poate părea oarecum paradoxală, dar dacă vă gândiți bine, logic corespunde strict sensului exact al definiției semnului. Într-adevăr, relația A ar fi încălcată doar

în în cazul în care mulțimea goală conținea un element care nu ar fi conținut în A; dar din moment ce mulţimea goală nu conţine deloc elemente, aceasta nu poate fi, oricare ar fi A.

Definim acum două operații asupra mulțimilor care au în mod formal multe dintre proprietățile algebrice de adunare și înmulțire a numerelor, deși în conținutul lor interior sunt complet diferite de acestea. operatii aritmetice. Fie A și B vreo două mulțimi. Unirea, sau „suma logică”, a lui A și B este înțeleasă ca mulțime formată din acele elemente care sunt conținute fie în A, fie în

în B (inclusiv acele elemente care sunt conținute atât în ​​A cât și în B). Această mulțime se notează A + B. 1 „Intersecția” sau „produsul logic” a lui A și B se înțelege ca fiind mulțimea constând din acele elemente care sunt conținute atât în ​​A cât și în B. Această mulțime se notează AB.2

Printre proprietățile algebrice importante ale operațiilor A + B și AB, enumeram următoarele. Cititorul va putea verifica validitatea acestora pe baza definiției operațiunilor în sine:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B)(A + C).
	Relația A B este echivalentă cu fiecare dintre cele două relații

Verificarea tuturor acestor legi este o chestiune de cea mai elementară logică. De exemplu, regula 10) spune că mulțimea de elemente conținută fie în A, fie în A este doar mulțimea A; regula 12) prevede că mulțimea acelor elemente care sunt conținute în A și în același timp sunt conținute fie în B, fie în C coincide cu mulțimea elementelor care sunt fie conținute simultan în A și B, fie sunt conținute simultan în A. și C Raționamentul logic folosit în demonstrațiile acestui tip de reguli este ilustrat convenabil dacă suntem de acord să reprezentăm mulțimile A, B, C, . . . sub forma unor cifre în avion și vom fi foarte atenți să nu ratam niciuna dintre posibilitățile logice care se conturează când vine vorba de prezență elemente comune două mulţimi sau, dimpotrivă, prezenţa într-un set de elemente care nu sunt cuprinse în celălalt.

ALGEBRA MULTILOR

Cititorul a atras, fără îndoială, atenția asupra faptului că legile 6), 7), 8), 9) și 12) sunt identice în exterior cu binecunoscutele legi comutative, asociative și distributive ale algebrei obișnuite. De aici rezultă că toate regulile algebrei obișnuite care decurg din aceste legi sunt valabile și în algebra mulțimilor. Dimpotrivă, legile 10), 11) și 13) nu au analogi în algebra obișnuită și dau algebrei mulțimilor o structură mai simplă. De exemplu, formula binomială din algebra mulțimilor se reduce la cea mai simplă egalitate

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

care rezultă din legea 11). Legile 14), 15) și 17) spun că proprietățile mulțimilor și I în raport cu operațiile de unire și intersecție a mulțimilor sunt foarte asemănătoare cu proprietățile numerelor 0 și 1 în raport cu operațiile operațiilor numerice ale adunare si inmultire. Dar legea 16) nu are analog în algebra numerică.

Rămâne de definit încă o operație în algebra mulțimilor. Fie A o oarecare submultime a multimii universale I. Atunci complementul lui A in I este multimea tuturor elementelor lui I care nu sunt continute in A. Pentru aceasta multime introducem notatia A0 . Astfel, dacă I ​​este mulțimea tuturor numerelor naturale și A este mulțimea tuturor numerelor prime, atunci A0 este mulțimea tuturor numerelor numere compuse iar numărul 1. Operația de tranziție de la A la A0 , care nu are analog în algebra obișnuită, are următoarele proprietăți:

	A + A0 = I.		AA0 = .
	0 = I.		I0 = .

23) A 00 = A.

24) Relația A B este echivalentă cu relația B 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0 .

Lăsăm din nou verificarea acestor proprietăți în seama cititorului.

Legile 1)–26) stau la baza algebrei mulțimilor. Ei au proprietatea remarcabilă a „dualității” în următorul sens:

Dacă într-una din legile 1)–26) înlocuim corespunzătoare

(în fiecare dintre aparițiile lor), atunci rezultatul este din nou una dintre aceleași legi. De exemplu, legea 6) intră în legea 7), 12) - în 13), 17) - în 16), etc. Rezultă că fiecare teoremă care poate fi derivată din legile 1)–26) corespunde unei alte , teorema „dual” la acesta, care se obține de la primul prin intermediul permutărilor indicate de simboluri. Într-adevăr, din moment ce dovada

cap. II ALGEBRA MULTILOR 139

a primei teoreme constă într-o aplicare succesivă (la diferite etape ale raționamentului) a unora dintre legile 1–26), apoi aplicarea legilor „duale” la etapele corespunzătoare va constitui o dovadă a teoremei „duale”. . (Pentru o „dualitate” similară în geometrie, vezi capitolul IV.)

2. Aplicare la logica matematică. Verificarea legilor algebrei multimilor sa bazat pe analiza sensului logic al relatiei A B si a operatiilor A + B, AB si A0 . Acum putem inversa acest proces și consideram legile 1)–26) ca bază pentru „algebra logicii”. Să spunem mai precis: acea parte a logicii care se referă la mulțimi, sau, care este în esență aceeași, proprietățile obiectelor luate în considerare, poate fi redusă la un sistem algebric formal bazat pe legile 1)–26). „Universul condiționat” logic definește mulțimea I; fiecare proprietate a lui A definește o mulțime A constând din acele obiecte din I care au acea proprietate. Regulile pentru traducerea terminologiei logice obișnuite în limbajul stabilit sunt clare din

următoarele exemple:
"Nici a, nici b"			(A + B)0, sau, care este același, A0 B0
„Nu este adevărat că atât A cât și B”			(AB)0 sau, care este același, A0 + B0
este B”, sau
„Dacă A, atunci B”
„De la A urmează B”
„Unele A este B”
„Nu A este B”			AB=
„Unele A nu sunt B”			AB0 6=
„Nu există A”

În ceea ce privește algebra mulțimilor, silogismul „Barbara”, care înseamnă „dacă fiecare A este un B și fiecare B este un C, atunci fiecare A este un C”, ia o formă simplă:

3) Dacă A B și B C, atunci A C.

În mod similar, „legea contradicției”, care precizează că „un obiect nu poate avea și nu poate avea simultan o proprietate”, se scrie astfel:

20) AA 0 = ,

A „legea mijlocului exclus”, care spune că „un obiect trebuie fie să aibă sau să nu aibă o proprietate” se scrie:

19) A + A 0 = I.

ALGEBRA MULTILOR

Astfel, acea parte a logicii, care este exprimabilă în termeni de simboluri, +, · și 0 , poate fi tratată ca un sistem algebric formal, supus legilor 1)–26). Pe baza fuziunii analizei logice a matematicii și analiză matematică logica a creat o nouă disciplină - logica matematică, care este în prezent în proces de dezvoltare rapidă.

Din punct de vedere axiomatic, faptul remarcabil că afirmațiile 1)–26), împreună cu toate celelalte teoreme ale algebrei mulțimilor, poate fi dedus logic din următoarele trei egalități:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Rezultă că algebra mulțimilor poate fi construită ca o teorie pur deductivă, ca geometria euclidiană, pe baza acestor trei propoziții luate ca axiome. Dacă aceste axiome sunt acceptate, atunci operația AB și relația A B sunt definite în termeni de A + B și A0 :

	denotă mulțimea (A0 + B0 )0 ,
	B înseamnă că A + B = B.

Un tip complet diferit de exemplu de sistem matematic în care sunt valabile toate legile formale ale algebrei mulțimilor este dat de sistemul de opt numere 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: aici a + b denotă, prin

prin definiție, cel mai mic multiplu comun al lui a și b, ab este cel mai mare divizor comun al lui a și b, a b este afirmația „b este divizibil cu a”, iar a0 este numărul 30 a . Su-

Existenta unor astfel de exemple a condus la studiul sistemelor algebrice generale care satisfac legile 27). Astfel de sisteme sunt numite „algebre booleene” după George Boole (1815–1864), un matematician și logician englez, a cărui carte O investigație a legilor gândirii a apărut în 1854.

3. Una dintre aplicațiile la teoria probabilității. Algebra seturilor este strâns legată de teoria probabilității și vă permite să o priviți într-o lumină nouă. Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu: imaginați-vă un experiment cu un număr finit de rezultate posibile, toate fiind considerate „la fel de posibile”. Un experiment poate consta, de exemplu, în extragerea unei cărți la întâmplare dintr-un pachet complet bine amestecat. Dacă notăm setul tuturor rezultatelor experimentului cu I, iar A indică un subset al lui I, atunci probabilitatea ca rezultatul experimentului să aparțină submulțumii A este definită ca raport

p(A) = numărul de elemente ale lui A . numărul de elemente I

ALGEBRA MULTILOR

Dacă suntem de acord să notăm numărul de elemente dintr-o mulțime A prin n(A), atunci ultima egalitate poate fi dată sub forma

În exemplul nostru, presupunând că A este un subset de crose, obținem
n(A) = 13, n(I) = 52 și p(A) =

Ideile algebrei multimilor se gasesc in calculul probabilitatilor cand este necesar, cunoscand probabilitatile unor multimi, sa se calculeze probabilitatile altora. De exemplu, având în vedere probabilitățile p(A), p(B) și p(AB), putem calcula probabilitatea p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Nu va fi greu să dovedesc acest lucru. Avem

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

deoarece elementele conținute simultan în A și B, adică elementele lui AB, sunt numărate de două ori la calcularea sumei n(A) + n(B), și, prin urmare, trebuie să scădeți n(AB) din această sumă în pentru a calcula n(A + B) a fost produs corect. Apoi împărțind ambele părți ale egalității la n(I), obținem relația (2).

O formulă mai interesantă se obține dacă vorbim despre trei mulțimi A, B, C din I. Folosind relația (2), avem

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Legea (12) din paragraful precedent ne dă (A + B)C = AC + BC. Asta implică:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Înlocuind valoarea p[(A + B)C] și valoarea p(A + B) luată din (2) în relația obținută mai devreme, ajungem la formula de care avem nevoie:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Ca exemplu, luați în considerare următorul experiment. Trei numere 1, 2, 3 sunt scrise în orice ordine. Care este probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie în locul corect (din punct de vedere al numerotării)? Fie A setul de permutări în care numărul 1 este pe primul loc, B este mulțimea de permutări în care numărul 2 este pe locul doi, C este mulțimea de permutări în care numărul 3 este pe al treilea loc. Trebuie să calculăm p(A + B + C). Este clar că

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

într-adevăr, dacă orice cifră este în locul potrivit, atunci există două posibilități de a rearanja celelalte două cifre dintr-un total de 3 · 2 · 1 = 6 permutări posibile ale celor trei cifre. Mai departe,

Un exercitiu. Deduceți formula corespunzătoare pentru p(A + B + C + D) și aplicați-o la un experiment care va implica 4 cifre. Probabilitatea corespunzătoare este 5 8 = 0,6250.

Formula generală pentru unirea a n mulțimi este

p(A1 + A2 +... + An) =
	p(Ai ) −
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2... An), (4)
unde simboluri				denotă însumarea peste tot posibilul

combinații care conțin unul, doi, trei, . . . , (n − 1) litere din A1 , A2 , . . .

un. Această formulă poate fi stabilită prin inducție matematică - la fel cum formula (3) a fost derivată din formula (2).

Din formula (4) putem concluziona că dacă n cifre sunt 1, 2, 3, . . . , n sunt scrise în orice ordine, atunci probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie în locul corect este egală cu

pn = 1

unde ultimul termen este precedat de un semn + sau −, în funcție de faptul că n este par sau impar. În special, pentru n = 5 această probabilitate este egală cu

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

În capitolul VIII vom vedea că pe măsură ce n merge la infinit, expresia

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

tinde spre limita 1 e , a cărei valoare, cu cinci zecimale,

este egal cu 0,36788. Deoarece din formula (5) reiese clar că pn = 1 − Sn, de aici rezultă că n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Ilya Șciurov

Matematicianul Ilya Shchurov fracții zecimale, transcendența și iraționalitatea lui Pi.

Cum a ajutat „unul” la construirea primelor orașe și a marilor imperii? Cum ați inspirat mințile extraordinare ale omenirii? Ce rol a jucat ea în apariția banilor? Cum „unul” s-a unit cu zero să conducă lumea modernă? Istoria unității este indisolubil legată de istoria civilizației europene. Terry Jones pornește într-o călătorie plină de umor pentru a pune laolaltă povestea uimitoare a numărului nostru prim. Cu ajutorul graficii computerizate din acest program, unitatea prinde viață într-o varietate de moduri. Din istoria unității, devine clar de unde provin numerele moderne și cum inventarea zeroului ne-a scutit de a fi nevoiți să folosim numerele romane astăzi.

Jacques Cesiano

Știm puține despre Diophantus. Se pare că a locuit în Alexandria. Niciun matematician grec nu îl menționează înainte de secolul al IV-lea, așa că probabil a trăit la mijlocul secolului al III-lea. Cea mai importantă lucrare a lui Diofant, „Aritmetica” (Ἀριθμητικά), a avut loc la începutul a 13 „cărți” (βιβλία), adică capitole. Avem astăzi 10 dintre ele și anume: 6 în textul grecesc și alte 4 în traducerea arabă medievală, al căror loc se află în mijlocul cărților grecești: cărțile I-III în greacă, IV-VII în arabă, VIII-X în greacă . „Aritmetica” lui Diophantus este în primul rând o colecție de probleme, în total aproximativ 260. În adevăr, nu există nicio teorie; există doar instrucțiuni generale în introducerea cărții și observații specifice în unele probleme atunci când este necesar. „Aritmetica” are deja trăsăturile unui tratat algebric. În primul rând Diophantus se bucură semne diferite, pentru a exprima necunoscutul și puterile lui, și unele calcule; ca orice simbolism algebric al Evului Mediu, simbolismul ei provine din cuvintele matematice. Apoi, Diophantus explică cum se rezolvă problema într-un mod algebric. Dar problemele lui Diofantine nu sunt algebrice în sensul obișnuit, deoarece aproape toate se reduc la rezolvarea unei ecuații nedefinite sau a unor sisteme de astfel de ecuații.

George Shabat

Programul cursului: Istorie. Primele evaluări. Problema comensurabilității circumferinței unui cerc cu diametrul său. Serii infinite, produse și alte expresii pentru π. Convergența și calitatea ei. Expresii care conțin π. Secvențe care converg rapid către π. Metode moderne calculând π, folosind calculatoare. Despre iraționalitatea și transcendența lui π și a altor numere. Nu sunt necesare cunoștințe anterioare pentru a înțelege cursul.

Cercetătorii de la Universitatea Oxford au afirmat că cea mai veche utilizare cunoscută a numărului 0 pentru a indica absența unei valori de loc (ca în numărul 101) se găsește în textul manuscrisului indian Bakhshali.

Vasily Pispanen

Cine nu a jucat în copilărie jocul „numiți cel mai mare număr”? Este deja dificil să ne imaginăm milioane, trilioane și alte „-on-uri” în minte, dar vom încerca să deslușim „mastodontul” în matematică - numărul Graham.

Victor Kleptsyn

Un număr real poate fi aproximat în mod arbitrar cu precizie prin numere raționale. Și cât de bună poate fi o asemenea aproximare în comparație cu complexitatea ei? De exemplu, ruperea notației zecimale a numărului x la k-a cifră după virgulă zecimală, obținem aproximarea x≈a/10^k cu o eroare de ordinul 1/10^k. Și în general, fixând numitorul q al fracției de aproximare, putem obține cu siguranță o aproximare cu o eroare de ordinul 1/q. Și se poate face mai bine? Aproximația familiară π≈22/7 dă o eroare de ordinul 1/1000, care este în mod clar mult mai bună decât ne-am putea aștepta. Și de ce? Avem noroc că π are o asemenea aproximare? Se pare că pentru orice număr irațional există infinit de multe fracții p/q care o aproximează mai bine decât 1/q^2. Aceasta este ceea ce afirmă teorema lui Dirichlet - și vom începe cursul cu o demonstrație ușor nestandard a acesteia.

În 1980, Cartea Recordurilor Guinness a repetat afirmațiile lui Gardner, alimentând și mai mult interesul publicului față de acest număr. Numărul Graham este de un număr inimaginabil de ori mai mare decât alții bine-cunoscut numere mari, cum ar fi googol, googolplex și chiar mai mult decât numărul Skewes și numărul Moser. De fapt, întregul univers observabil este prea mic pentru a conține reprezentarea zecimală obișnuită a numărului Graham.

Dmitri Anosov

Prelegerile sunt citite de Anosov Dmitri Viktorovich, doctor în științe fizice și matematice, profesor, academician al Academiei Ruse de Științe. Școală de vară„Matematică modernă”, Dubna. 16-18 iulie 2002

Este imposibil să răspunzi corect la această întrebare deoarece serie de numere nu are limită superioară. Deci, la orice număr, este suficient să adăugați unul pentru a obține un număr și mai mare. Deși numerele în sine sunt infinite, ele nu au foarte multe nume proprii, deoarece majoritatea se mulțumesc cu nume formate din numere mai mici. Este clar că în setul final de numere pe care umanitatea l-a premiat cu propriul nume, trebuie să fie unele cel mai mare număr. Dar cum se numește și cu ce este egal? Să încercăm să ne dăm seama și, în același timp, să aflăm cât de mari au venit matematicienii.

Numărul este sunat algebric, dacă este o rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(adică rădăcina ecuației a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, Unde un n, un n-1, ..., a 1, un 0 --- întreg numere, n 1, un 0).

Setul de numere algebrice va fi notat cu litera .

Este ușor de observat că orice număr rațional este algebric. Într-adevăr, este rădăcina ecuației qx-p=0 cu coeficienți întregi a 1 =qși a 0 =-p. Asa de, .

Cu toate acestea, nu toate numerele algebrice sunt raționale: de exemplu, numărul este rădăcina ecuației x 2 -2=0, prin urmare, este un număr algebric.

Pentru mult timp a rămas nerezolvată o întrebare importantă pentru matematică: Există numere reale non-algebrice ? Abia în 1844, Liouville a dat primul exemplu de număr transcendent (adică, non-algebric).

Construcția acestui număr și dovada transcendenței sale sunt foarte dificile. Este mult mai ușor de demonstrat teorema existenței numerelor transcendentale folosind considerații despre echivalența și neechivalența mulțimilor numerice.

Și anume, demonstrăm că mulțimea numerelor algebrice este numărabilă. Apoi, deoarece mulțimea tuturor numerelor reale este nenumărabilă, vom stabili existența numerelor non-algebrice.

Să construim o corespondență unu-la-unu între și un subset . Aceasta va însemna că - desigur sau numărabil. Dar de atunci , apoi infinit și, prin urmare, numărabil.

Să fie un număr algebric. Luați în considerare toate polinoamele cu coeficienți întregi a căror rădăcină este , și alegeți dintre ele polinomul P grad minim (adică nu va exista rădăcină a vreunui polinom cu coeficienți întregi de grad mai mic).

De exemplu, pentru un număr rațional, un astfel de polinom are gradul 1, iar pentru un număr are gradul 2.

Împărțiți toți coeficienții polinomului P la cel mai mare divizor comun al lor. Obținem un polinom ai cărui coeficienți sunt relativ primi în agregat (cel mai mare divizor comun al lor este 1). În cele din urmă, dacă coeficientul de conducere un n este negativă, înmulțim toți coeficienții polinomului cu -1 .

Polinomul rezultat (adică un polinom cu coeficienți întregi a cărui rădăcină este numărul , având gradul minim posibil, coeficienți coprimi și un coeficient conducător pozitiv) se numește polinom minim numerele.

Se poate dovedi că un astfel de polinom este definit în mod unic: fiecare număr algebric are exact un polinom minim.

Numărul de rădăcini reale ale unui polinom nu este mai mare decât gradul său. Prin urmare, este posibil să se enumere (de exemplu, în ordine crescătoare) toate rădăcinile unui astfel de polinom.

Acum, orice număr algebric este complet determinat de polinomul său minim (adică, mulțimea coeficienților săi) și numărul care distinge acest polinom de alte rădăcini: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Deci, i-am atribuit fiecărui număr algebric un set finit de numere întregi, iar această mulțime este restaurată în mod unic (adică seturi diferite corespund numerelor diferite).

Să numărăm totul în ordine crescătoare numere prime(este usor de aratat ca sunt infinit de multe). Obținem o succesiune infinită (p k ): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Acum un set de numere întregi (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) poate fi asortat

(acest număr este pozitiv și rațional, dar nu întotdeauna natural, deoarece printre numere un 0, a 1, ..., un n-1, poate fi negativ). Rețineți că acest număr este o fracție ireductibilă, deoarece factorii primi incluși în expansiunile numărătorului și numitorului sunt diferiți. De asemenea, rețineți că două fracții ireductibile cu numărători și numitori pozitivi sunt egale dacă și numai dacă ambii numărători sunt egali, iar numitorii lor sunt egali.

Luați în considerare acum maparea prin intermediul:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Deoarece am atribuit diferite seturi de numere întregi diferitelor numere algebrice și diferitelor seturi --- variat numere rationale, atunci am stabilit astfel o corespondență unu-la-unu între mulțime și un subset . Prin urmare, mulțimea numerelor algebrice este numărabilă.

Deoarece mulțimea numerelor reale este nenumărabilă, am demonstrat existența numerelor non-algebrice.

Cu toate acestea, teorema existenței nu indică cum să se determine dacă număr dat algebric. Și această întrebare este uneori foarte importantă pentru matematică.