număr irațional- aceasta este numar real, care nu este rațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție, unde sunt numere întregi, . Un număr irațional poate fi reprezentat ca o zecimală infinită care nu se repetă.

Setul de numere iraționale este de obicei notat cu o literă latină majusculă cu caractere aldine, fără umbrire. Astfel: , i.e. set de numere iraționale este diferența de mulțimi de numere reale și raționale.

Despre existența numerelor iraționale, mai exact segmente care sunt incomensurabile cu un segment de lungime unitară, matematicienii antici știau deja: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.

Proprietăți

• Orice număr real poate fi scris ca o fracție zecimală infinită, în timp ce ir numere rationaleși numai ele sunt scrise în fracții zecimale infinite neperiodice.
• Numerele iraționale definesc tăieri Dedekind în mulțimea numerelor raționale care nu au cel mai mare număr în clasa inferioară și nici cel mai mic număr în clasa superioară.
• Fiecare număr transcendental real este irațional.
• Fiecare număr irațional este fie algebric, fie transcendental.
• Mulțimea numerelor iraționale este peste tot densă pe linia reală: între oricare două numere există un număr irațional.
• Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale.
• Mulțimea numerelor iraționale este de nenumărat, este o mulțime de a doua categorie.

Exemple

Numere irationale - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Iraționale sunt:

Exemple de dovezi de iraționalitate

Rădăcina lui 2

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde este un număr întreg și este un număr natural. Să punem la pătrat presupusa egalitate:

.

Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Apoi

Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Prin urmare, presupunerea inițială a fost greșită și este un număr irațional.

Logaritmul binar al numărului 3

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Apoi

Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.

e

Poveste

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreean care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui isoscel triunghi dreptunghic conţine un număr întreg segmente unice, atunci acest număr trebuie să fie și par și impar în același timp. Dovada arăta astfel:

• Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde Ași b selectat ca cel mai mic posibil.
• Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
• pentru că A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
• Pentru că A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
• pentru că A chiar, denotă A = 2y.
• Apoi A² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
• S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.

Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Un polinom din variabila x este o expresie de forma: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, unde n este un număr natural; an, an-1,. . . , a 1, a 0 - orice numere, numite coeficienți ai acestui polinom. Expresii anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 sunt numiți membri ai polinomului, iar 0 este un membru liber. an este coeficientul la xn, an-1 este coeficientul la xn-1 etc. Un polinom ai cărui coeficienți sunt toți egali cu zero se numește zero. de exemplu, polinomul 0 x2+0 x+0 este zero. Din înregistrarea polinomului, este clar că este format din mai mulți membri. De aici provine termenul ‹‹polinom›› (mulți termeni). Uneori un polinom este numit polinom. Acest termen provine din cuvintele grecești πολι - mulți și νομχ - membru.

Un polinom dintr-o variabilă x se notează cu: . f (x), g (x), h (x), etc., de exemplu, dacă primul dintre polinoamele de mai sus este notat cu f (x), atunci putem scrie: f (x) \u003d x 4+2 x 3+ (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Polinomul h(x) se numește cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x) dacă împarte f(x) , g(x) și fiecare dintre divizorii lor comun. 2. Un polinom f(x) cu coeficienți din câmpul P de gradul n se numește reductibil peste câmpul P dacă există polinoame h(x), g(x) н P[x] de grad mai mic decât n astfel încât f (x) = h( x)g(x).

Dacă există un polinom f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x+a 0 și an≠ 0, atunci numărul n se numește gradul polinomului f (x) (sau se spune: f (x) - gradul al n-lea) și scrieți art. f(x)=n. În acest caz, an se numește coeficientul conducător, iar anxn se numește termenul principal al polinomului dat. De exemplu, dacă f (x) \u003d 5 x 4 -2 x + 3, atunci art. f (x) =4, coeficient senior - 5, termen senior - 5 x4. Gradul unui polinom este cel mai mare număr al coeficienților săi diferiti de zero. Polinoamele de grad zero sunt alte numere decât zero. , polinomul zero nu are grad; polinomul f (x) \u003d a, unde a este un număr altul decât zero, are gradul 0; gradul oricărui alt polinom este egal cu cel mai mare exponent al variabilei x, al cărui coeficient este egal cu zero.

Egalitatea polinoamelor. Două polinoame f (x) și g (x) sunt considerate egale dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași puteri ale variabilei x și termeni liberi (coeficienții lor corespunzători sunt egali). f(x)=g(x). De exemplu, polinoamele f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 și g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 nu sunt egale, primul dintre ele are un coeficient la x3 egal cu 1, iar al doilea are zero ( conform convențiilor acceptate, putem scrie: g (x) \u003d 0 x 3 + 2 x 2 -3 x + 1. În acest caz: f (x) ≠ g (x) Polinoamele nu sunt egale: h (x) \u003d 2 x 2 -3 x+5, s (x) \u003d 2 x 2+3 x + 5, deoarece coeficienții lor la x sunt diferiți.

Dar polinoamele f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 și g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 sunt egale dacă și numai dacă a \u003d 3 și b = -2. Fie dat polinomul f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 și un număr c. Numărul f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 se numește valoarea polinomului f (x) la x=c. Astfel, pentru a găsi f (c), în loc de x, trebuie să înlocuiți c în polinom și să efectuați calculele necesare. De exemplu, dacă f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, atunci f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Polinomul pentru diferite valori ale variabilei x poate lua diferite valori. Numărul c se numește rădăcina polinomului f (x) dacă f (c) =0.

Să fim atenți la diferența dintre cele două afirmații: „polinomul f (x) este egal cu zero (sau, ceea ce este același, polinomul f (x) este zero)” și „valoarea polinomului f ( x) la x=c este egal cu zero”. De exemplu, polinomul f (x) \u003d x 2 -1 nu este egal cu zero, are coeficienți diferiti de zero, iar valoarea sa la x \u003d 1 este zero. f(x) ≠ 0 și f(1) =0. Există o relație strânsă între conceptele de egalitate a polinoamelor și valoarea unui polinom. Dacă sunt date două polinoame egale f(x) și g(x), atunci coeficienții lor respectivi sunt egali și deci f(c) = g(c) pentru fiecare număr c.

Operații pe polinoame Polinoamele pot fi adunate, scăzute și înmulțite folosind regulile obișnuite pentru deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari. În acest caz, rezultatul este din nou un polinom. Aceste operații au proprietăți cunoscute: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x), f (x) g (x) = g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h(x), f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x).

Să fie date două polinoame f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 și g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Este clar că art. f(x)=n, iar art. g(x)=m. Dacă înmulțiți aceste două polinoame, obțineți un polinom de forma f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Deoarece an≠ 0 și bn≠ 0, atunci anbm≠ 0, ceea ce înseamnă că st. (f(x)g(x))=m+n. De aici rezultă o afirmație importantă.

Gradul produsului a două polinoame nenule este egal cu suma gradelor factorilor, art. (f (x) g (x)) =st. f (x) +st. g(x). Cel mai mare termen (coeficient) al produsului a două polinoame nenule este egal cu produsul celor mai mari termeni (coeficienți) ai factorilor. Termenul liber al produsului a două polinoame este egal cu produsul termenilor liberi ai factorilor. Gradele polinoamelor f (x), g (x) și f (x) ±g (x) sunt legate prin următoarea relație: st. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Se numește o suprapunere de polinoame f (x) și g (x). polinom, notat cu f (g (x)), care se obține prin înlocuirea x în polinomul f (x) cu polinomul g (x). De exemplu, dacă f(x)=x 2+2 x-1 și g(x) =2 x+3 atunci f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3)2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1)+ 3=2x2+4x+1. Se poate observa că f (g (x)) ≠g (f (x)), adică suprapunerea polinoamelor f (x), g (x) și suprapunerea polinoamelor g (x), f ( x) sunt diferite. Astfel, operația de suprapunere nu are proprietatea de a fi deplasabilă.

, Algoritm pentru împărțirea cu rest Pentru orice f(x), g(x) există q(x) (coent) și r(x) (restul) astfel încât f(x)=g(x)q(x)+ r(x) și gradul r(x)

Divizori ai unui polinom Divizorul unui polinom f(x) este un polinom g(x) astfel încât f(x)=g(x)q(x). Cel mai mare divizor comun al două polinoame Cel mai mare divizor comun al lui f(x) și g(x) este divizorul lor comun d(x), care este divizibil cu orice alt divizor comun.

Algoritmul lui Euclid (algoritm de împărțire succesivă) pentru găsirea celui mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x) Atunci - cel mai mare divizor comun al f(x) și g(x).

Reduceți fracția Rezolvare: Aflați MCD-ul acestor polinoame folosind algoritmul Euclid 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 - x2 - 3 x - 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Prin urmare, polinomul (- x2 - 3 x - 2) este GCD-ul numărătorului și numitorul acestei fracții. Rezultatul împărțirii numitorului la acest polinom este cunoscut.

Aflați rezultatul împărțirii numărătorului. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Astfel, răspunsul:

Schema lui Horner A împărți polinomul f(x) cu un rest la un polinom diferit de zero g(x) înseamnă a reprezenta f(x) ca f(x)=g(x) s(x)+r(x), unde s (x ) și r(x) -polinoame și fie r(x)=0, fie st. r(x)

Polinoamele din stânga și din dreapta acestei relații sunt egale, ceea ce înseamnă că coeficienții lor corespunzători sunt egali. Să le echivalăm deschizând mai întâi parantezele și aducând termeni similari în partea dreaptă a acestei egalități. Se obține: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Amintiți-vă că trebuie să găsim coeficientul incomplet, adică coeficienții săi și restul. Să le exprimăm din egalitățile obținute: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Am găsit formule prin care putem calcula coeficienții câtului parțial s (x) și restul r. În acest caz, calculele se fac sub forma următorului tabel; se numeşte schema lui Horner.

Tabelul 1. Coeficienți f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Coeficienți s (x) rest În prima linie a acestui tabel, notați toți coeficienții polinomului f (x) într-un rând, lăsând prima celulă liberă. În a doua linie din prima celulă scrieți numărul c. Celulele rămase din această linie se completează, calculând unul câte unul coeficienții coeficientului incomplet s (x) și restul r. În a doua celulă se scrie coeficientul bn-1 care, după cum am stabilit, este egal cu an.

Coeficientul din fiecare celulă ulterioară se calculează conform următoarei reguli: numărul c este înmulțit cu numărul din celula anterioară, iar la rezultat se adaugă numărul de deasupra celulei care se completează. Pentru a vă aminti, de exemplu, a cincea celulă, adică pentru a găsi coeficientul care se află în ea, trebuie să înmulțiți c cu numărul situat în a patra celulă și să adăugați numărul de deasupra celei de a cincea celule la rezultat. Împărțiți, de exemplu, polinomul f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 la x-2 cu un rest folosind schema lui Horner. Când completați prima linie a acestei scheme, nu trebuie să uitați de coeficienții zero ai polinomului. Deci, coeficienții f (x) sunt numerele 3, 0, - 5, 3, - 1. Și trebuie amintit, de asemenea, că gradul coeficientului incomplet este cu unul mai mic decât gradul polinomului f (x).

Deci, efectuăm împărțirea conform schemei Horner: Tabelul 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Obținem un coeficient incomplet s (x) \u003d 3 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 17 și restul r \u003d 33. de observat că în același timp am calculat și valoarea polinomului f (2) =33. Împărțim acum același polinom f (x) la x + 2 cu un rest. În acest caz c=-2. obţinem: Tabelul 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Ca rezultat, avem f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21.

Rădăcinile polinoamelor Fie c1, c2, …, cm rădăcini diferite ale polinomului f (x). Atunci f (x) este divizibil cu x-c1, adică f (x) \u003d (x-c 1) s 1 (x). Să punem x=c2 în această ecuație. Obținem f (c 2) \u003d (c 2 -c 1) s 1 (c 2) și, deci f (c 2) \u003d 0, atunci (c2 -c1) s 1 (c 2) \u003d 0. Dar c2≠c1, adică c2 -c1≠ 0, ceea ce înseamnă că s 1 (c 2) \u003d 0. Astfel, c2 este rădăcina polinomului s 1 (x). Rezultă că s 1 (x) este divizibil cu x-c2, adică s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Înlocuiți expresia rezultată pentru s 1 (x) în egalitatea f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Avem f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Punând în ultima egalitate x \u003d c3, ținând cont de faptul că f (c 3) \u003d 0, c3≠c1, c3≠c2, obținem că c3 este rădăcina polinomului s 2 (x). Prin urmare, s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), și apoi f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), etc. Continuând aceste argumente pentru rădăcinile rămase c4, c5, ..., cm, obținem în sfârșit f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), adică se dovedește afirmația formulată mai jos .

Dacă c1, c2, ..., cm sunt rădăcini diferite ale polinomului f (x), atunci f (x) poate fi reprezentat ca f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x- cm) sm (x). De aici rezultă un corolar important. Dacă c1, c2, ..., cm sunt rădăcini diferite ale polinomului f(x), atunci f(x) este divizibil cu polinomul (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Numărul de rădăcini diferite ale unui polinom diferit de zero f (x) nu este mai mare decât gradul său. Într-adevăr, dacă f(x) nu are rădăcini, atunci este clar că teorema este adevărată, deoarece art. f(x) ≥ 0. Fie că f(x) are m rădăcini с1, с2, …, сm și toate sunt diferite. Atunci, prin ceea ce tocmai a fost demonstrat, f (x) este divizibil cu (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Într-un asemenea caz, art. f(x)≥st. ((x-s1) (x-s2) ... (x-sm)) \u003d st. (x-c1) + st. (x-c2) + ... + st. (x-cm) \u003d m, adică art. f(x)≥m, iar m este numărul de rădăcini ale polinomului considerat. Dar polinomul zero are infinit de rădăcini, deoarece valoarea lui pentru orice x este 0. În special, din acest motiv, nu i se atribuie niciun grad definit. Următoarea afirmație decurge din teorema tocmai demonstrată.

Dacă polinomul f(x) nu este un polinom de grad mai mare decât n și are mai mult de n rădăcini, atunci f(x) este un polinom nul. Într-adevăr, din condițiile acestei afirmații rezultă că fie f (x) este un polinom zero, fie Art. f(x)≤n. Dacă presupunem că polinomul f (x) nu este zero, atunci art. f (x) ≤n, și atunci f (x) nu are mai mult de n rădăcini. Ajungem la o contradicție. Prin urmare, f(x) este un polinom diferit de zero. Fie f(x) și g(x) polinoame nenule de gradul cel mult n. Dacă aceste polinoame iau aceleași valori pentru n + 1 valori ale variabilei x, atunci f (x) = g (x).

Pentru a demonstra acest lucru, considerăm polinomul h (x) = f (x) - g (x). Este clar că - fie h (x) =0, fie art. h (x) ≤n, adică h (x) nu este un polinom de grad mai mare decât n. Fie acum un număr c astfel încât f (c) = g (c). Atunci h (c) \u003d f (c) - g (c) \u003d 0, adică c este rădăcina polinomului h (x). Prin urmare, polinomul h (x) are n + 1 rădăcini și când, așa cum tocmai s-a demonstrat, h (x) = 0, adică f (x) = g (x). Dacă f (x) și g (x) iau aceleași valori pentru toate valorile variabilei x, atunci aceste polinoame sunt egale

Rădăcini multiple ale unui polinom Dacă c este o rădăcină a unui polinom f(x), se știe că acest polinom este divizibil cu x-c. Se poate întâmpla ca f(x) să fie și divizibil cu o anumită putere polinom x-s, adică pe (x-c) k, k>1. În acest caz, c se numește rădăcină multiplă. Să formulăm definiția mai clar. Un număr c se numește rădăcină a multiplicității k (rădăcină k-fold) a unui polinom f (x) dacă polinomul este divizibil cu (x -c) k, k>1 (k este un număr natural), dar nu este divizibil cu (x-c) k + unu. Dacă k=1, atunci c se numește rădăcină simplă, iar dacă k>1, rădăcină multiplă a polinomului f (x).

Dacă polinomul f(x) este reprezentat ca f(x)=(x-c)mg(x), m este un număr natural, atunci este divizibil cu (x-c) m+1 dacă și numai dacă g(x) este divizibil pe xs. Într-adevăr, dacă g(x) este divizibil cu x-c, adică g(x)=(x-c)s(x), atunci f(x)=(x-c) m+1 s(x), și deci f(x) este divizibil cu (x-c) m+1. În schimb, dacă f(x) este divizibil cu (x-c) m+1, atunci f(x)=(x-c) m+1 s(x). Atunci (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) și după reducerea cu (x-c)m obținem g(x)=(x-c)s(x). Rezultă că g(x) este divizibil cu x-c.

Să aflăm, de exemplu, dacă numărul 2 este rădăcina polinomului f (x) \u003d x 5 -5 x 4 + 3 x 3 + 22 x 2 -44 x + 24 și, dacă da, găsim multiplicitatea acestuia . Pentru a răspunde la prima întrebare, să folosim schema lui Horner pentru a verifica dacă f(x) este divizibil cu x-2. avem: Tabelul 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 După cum puteți vedea, restul la împărțirea f (x) la x-2 este 0, adică se împarte la x -2. Deci 2 este rădăcina acestui polinom. În plus, am obținut că f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Acum să aflăm dacă f(x) este cu (x-2) 2. Aceasta depinde, așa cum tocmai am demonstrat, de divizibilitatea polinomului g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 cu x-2.

Să folosim din nou schema lui Horner: Tabelul 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x 2 -5x+6). Atunci f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Deci, f(x) este divizibil cu (x-2) 2, acum trebuie să aflăm dacă f(x) este divizibil cu (x-2)3. Pentru a face acest lucru, verificați dacă h (x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 este divizibil cu x-2: Tabelul 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Obținem că h (x ) este divizibil cu x-2, ceea ce înseamnă că f(x) este divizibil cu (x-2) 3 și f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Apoi, într-un mod similar, verificăm dacă f (x) este divizibil cu (x-2) 4, adică este s (x) \u003d x 2 + x-3 divizibil cu x-2: Tabelul 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Găsim că restul la împărțirea lui s (x) la x-2 este 3, adică s (x) nu este divizibil cu x-2. Deci f(x) nu este divizibil cu (x-2)4. Deci f(x) este divizibil cu (x-2)3, dar nu este divizibil cu (x-2)4. Prin urmare, numărul 2 este o rădăcină a multiplicității 3 a polinomului f(x).

De obicei, verificarea multiplicității rădăcinii se efectuează într-un singur tabel. Pentru acest exemplu, acest tabel arată astfel: Tabelul 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Cu alte cuvinte, conform schemei împărțirea lui Horner a polinomului f (x) la x-2, în a doua linie obținem coeficienții polinomului g (x). Apoi, această a doua linie este considerată prima linie sistem nou Horner și facem împărțirea lui g (x) la x-2 etc. continuăm calculele până obținem un rest diferit de zero. În acest caz, multiplicitatea rădăcinii este egală cu numărul de reziduuri zero obținute. Linia care conține ultimul rest diferit de zero conține și coeficienții coeficientului la împărțirea f (x) la (x-2) 3.

Acum, folosind schema tocmai propusă pentru verificarea multiplicității rădăcinii, rezolvăm următoarea problemă. Pentru ce a și b polinomul f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 are numărul - 2 ca rădăcină a multiplicității 2? Deoarece multiplicitatea rădăcinii - 2 ar trebui să fie egală cu 2, atunci, efectuând împărțirea cu x + 2 conform schemei propuse, ar trebui să obținem restul 0 de două ori, iar a treia oară - restul, altul decât zero. Avem: Tabelul 9

Astfel, numărul - 2 este o rădăcină a multiplicității 2 a polinomului original dacă și numai dacă

rădăcini raționale polinom Dacă fracția ireductibilă l/m (l, m sunt numere întregi) este rădăcina unui polinom f (x) cu coeficienți întregi, atunci coeficientul principal al acestui polinom este divizibil cu m, iar termenul liber este divizibil cu 1. Într-adevăr, dacă f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, unde an, an-1, . . . , a 1, a 0 sunt numere întregi, atunci f(l/m) =0, adică an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Să înmulțim ambele părți ale acestei egalități cu mn. Obținem anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Aceasta implică anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Vedem că întregul anln este divizibil cu m. Dar l/m este o fracție ireductibilă, adică numerele l și m sunt între prime și apoi, după cum se știe din teoria divizibilității numerelor întregi, numerele ln și m sunt, de asemenea, coprime. Deci anln este divizibil cu m și m este coprim cu ln, deci an este divizibil cu m. Aflați rădăcinile raționale ale polinomului f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Conform teoremei, rădăcinile raționale ale acestui polinom sunt printre fracțiile ireductibile de forma l/m, unde l este divizorul termenului liber a 0=8, iar m este divizorul coeficientului conducător a 4=6. în același timp, dacă fracția l/m este negativă, atunci semnul „-” va fi raportat la numărător. De exemplu, - (1/3) = (-1) /3. Deci putem spune că l este un divizor al lui 8 și m este un divizor pozitiv al lui 6.

Deoarece divizorii numărului 8 sunt ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, iar divizorii pozitivi ai numărului 6 sunt 1, 2, 3, 6, atunci rădăcinile raționale ale polinomului luat în considerare sunt printre numerele ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Amintiți-vă că am scris doar fracții ireductibile. Astfel, avem douăzeci de numere - „candidați” pentru rădăcini. Rămâne doar să verificați fiecare dintre ele și să le selectați pe cele care sunt cu adevărat rădăcini. următoarea teoremă simplifică această lucrare. Dacă fracția ireductibilă l/m este rădăcina unui polinom f(x) cu coeficienți întregi, atunci f(k) este divizibil cu l-km pentru orice număr întreg k, cu condiția ca l-km≠ 0.

Pentru a demonstra această teoremă, împărțim f(x) la x-k cu rest. Se obține f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Deoarece f(x) este un polinom cu coeficienți întregi, la fel este și polinomul s(x), iar f(k) este un număr întreg. Fie s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Atunci f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Punem in aceasta egalitate 1 x=l/m. Având în vedere că f(l/m)=0, obținem f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Să înmulțim ambele părți ale ultimei egalități cu mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Rezultă că întregul mnf (k) este divizibil cu l-km. Dar deoarece l și m sunt relativ primi, atunci mn și l-km sunt, de asemenea, relativ primi, ceea ce înseamnă că f(k) este divizibil cu l-km. Teorema a fost demonstrată.

Să revenim la exemplul nostru și, folosind teorema demonstrată, vom restrânge și mai mult cercul căutărilor rădăcini raționale. Să aplicăm teorema indicată pentru k=1 și k=-1, adică dacă fracția ireductibilă l/m este rădăcina polinomului f(x), atunci f(1)/(l-m) și f(-1 )/(l +m). Este ușor de găsit că în cazul nostru f(1)=-5 și f(-1)=-15. Rețineți că, în același timp, am exclus din considerare ± 1. Deci, rădăcinile raționale ale polinomului nostru ar trebui căutate printre numerele ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Se consideră l/m=1/2. Atunci l-m=-1 și f (1) =-5 este divizibil cu acest număr. În plus, l + m = 3 și f (1) = -15 este de asemenea divizibil cu 3. Prin urmare, fracția 1/2 rămâne printre „candidații” pentru rădăcini.

Fie acum lm=-(1/2)=(-1)/2. În acest caz, l-m=-3 și f (1) =-5 nu este divizibil cu - 3. Prin urmare, fracția -1/2 nu poate fi rădăcina acestui polinom și o excludem de la analiza ulterioară. Să verificăm pentru fiecare dintre fracțiile scrise mai sus, obținem că rădăcinile dorite sunt printre numerele 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Astfel, printr-un truc destul de simplu, am restrâns semnificativ zona de căutare pentru rădăcinile raționale ale polinomului luat în considerare. Ei bine, pentru a verifica numerele rămase, aplicăm schema Horner: Tabelul 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Vedem că 1/2 este rădăcina polinomului f(x) și f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8x2-8x-8). Este clar că toate celelalte rădăcini ale polinomului f (x) coincid cu rădăcinile polinomului g (x) \u003d 3 x 3 + 8 x 2 -8 x-8, ceea ce înseamnă că verificarea ulterioară a „candidaților” pentru rădăcinile pot fi efectuate deja pentru acest polinom. Aflați: Tabelul 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 2/3 nu este o rădăcină a polinomului g(x) și, prin urmare, nici f(x). În continuare, aflăm că - 2/3 este rădăcina polinomului g (x) și g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Atunci f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). O verificare suplimentară poate fi efectuată pentru polinomul x 2+2 x-4, care, desigur, este mai ușor decât pentru g (x) sau chiar mai mult pentru f (x). Ca rezultat, obținem că numerele 2 și - 4 nu sunt rădăcini. Deci, polinomul f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 3 -24 x 2 -8 x + 8 are două rădăcini raționale: 1/2 și - 2/3. Această metodă face posibilă găsirea numai a rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi. Între timp, un polinom poate avea și el rădăcini iraţionale. Deci, de exemplu, polinomul considerat în exemplu mai are două rădăcini: - 1 ± √ 5 (acestea sunt rădăcinile polinomului x2 + 2 x-4). un polinom poate să nu aibă deloc rădăcini raționale.

Când se testează „candidați” pentru rădăcinile polinomului f(x) folosind a doua dintre teoremele de mai sus, aceasta din urmă este de obicei folosită pentru cazurile k=± 1. Cu alte cuvinte, dacă l/m este un „candidat” pentru rădăcinile, atunci se verifică dacă f( 1) și f (-1) pe l-m și respectiv l+m. Dar se poate întâmpla ca, de exemplu, f (1) = 0, adică 1 este rădăcina, iar apoi f (1) să fie divizibil cu orice număr, iar verificarea noastră își pierde sensul. În acest caz, ar trebui să împărțiți f(x) la x-1, adică să obțineți f(x)=(x-1)s(x) și să testați polinomul s(x). În acest caz, nu trebuie uitat că am găsit deja o rădăcină a polinomului f(x)-x 1=1. Dacă verificăm „candidații” pentru rădăcinile rămase după folosirea celei de-a doua teoreme pe rădăcini raționale, conform schemei lui Horner, obținem că, de exemplu, l / m este o rădăcină, atunci ar trebui găsită multiplicitatea acesteia. Dacă este, de exemplu, k, atunci f(x)=(x-l/m) ks (x) și pot fi efectuate verificări suplimentare pentru s(x), ceea ce reduce calculul.

Soluţie. După ce am efectuat schimbarea variabilei y=2 x, trecem la un polinom cu un coeficient egal cu unu la cel mai înalt grad. Pentru a face acest lucru, înmulțiți mai întâi expresia cu 4. Dacă funcția rezultată are rădăcini întregi, atunci acestea se numără printre divizorii termenului liber. Să le scriem: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15±, ± 20, ± 30, ± 60

Să calculăm succesiv valorile funcției g(y) în aceste puncte până când se obține zero. Adică, y=-5 este rădăcina, prin urmare, este rădăcina funcției originale. Să facem împărțirea printr-o coloană (colț) a unui polinom cu un binom

Nu este recomandabil să continuați verificarea divizorilor rămași, deoarece este mai ușor să factorizați rezultatul trinom pătrat Prin urmare,

Utilizarea înmulțirii reduse și a formulelor binomiale ale lui Newton pentru a factoriza un polinom aspect polinom sugerează o modalitate de factorizare. De exemplu, după transformări simple, coeficienții se aliniază într-o linie din triunghiul lui Pascal pentru coeficienții binomi ai lui Newton. Exemplu. Factorizați un polinom.

Soluţie. Să transformăm expresia în forma: Secvența de coeficienți ai sumei dintre paranteze indică clar ce este. Prin urmare, acum aplicăm formula diferenței de pătrate: Expresia din a doua paranteză nu are rădăcini reale, iar pentru polinomul din la prima paranteză aplicăm din nou formula diferenței de pătrate

Formule Vieta care exprimă coeficienții unui polinom în termeni de rădăcini. Este convenabil să folosiți aceste formule pentru a verifica corectitudinea găsirii rădăcinilor unui polinom, precum și pentru a compune un polinom din rădăcinile sale date. Formulare Dacă sunt rădăcinile unui polinom, atunci coeficienții sunt exprimați ca polinoame simetrice în rădăcini, și anume

Cu alte cuvinte, ak este egal cu suma tuturor produselor posibile ale k rădăcinilor. Dacă coeficientul principal al polinomului, atunci pentru a aplica formula Vieta, este necesar să împărțiți mai întâi toți coeficienții cu 0. În acest caz, formulele Vieta dau o expresie pentru raportul dintre toți coeficienții la cel mai mare. Din ultima formulă a lui Vieta rezultă că, dacă rădăcinile unui polinom sunt întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este, de asemenea, întreg. Demonstrarea se realizează luând în considerare egalitatea obținută prin extinderea polinomului în termeni de rădăcini, având în vedere că a 0 \u003d 1 Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, obținem formulele Vieta.

Rezolvați ecuația x 6 - 5 x 3 + 4 = 0 Soluție. Notăm y \u003d x 3, atunci ecuația inițială ia forma y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, rezolvând care obținem Y 1 \u003d 1; Y 2 = 4. Astfel, ecuația inițială este echivalentă cu setul de ecuații: x 3 = 1 sau x 3 = 4, adică X 1 = 1 sau X 2 = Răspuns: 1;

Teorema lui Bezout Definiție 1. Un element se numește rădăcină a unui polinom dacă f(c)=0. teorema lui Bezout. Restul împărțirii polinomului Pn(x) la binomul (x-a) este egal cu valoarea acestui polinom la x = a. Dovada. În virtutea algoritmului de împărțire, f(x)=(xc)q(x)+r(x), unde fie r(x)=0, fie și prin urmare. Deci f(x)=(x-c)q(x)+r, deci f(c)=(c-c)q(c)+r=r și deci f(x)=(xc)q(x) +f( c).

Corolarul 1: Restul împărțirii polinomului Pn (x) la binomul ax+b este egal cu valoarea acestui polinom la x = -b/a, adică R=Pn (-b/a). Corolarul 2: Dacă numărul a este rădăcina polinomului P (x), atunci acest polinom este divizibil cu (x-a) fără rest. Corolarul 3: Dacă polinomul P(x) are rădăcini distincte perechi a 1 , a 2 , … , an, atunci este divizibil cu produsul (x-a 1) … (x-an) fără rest. Corolarul 4: Un polinom de grad n are cel mult n rădăcini distincte. Corolarul 5: Pentru orice polinom P(x) și un număr a, diferența (P(x)-P(a)) este divizibilă egal cu binomul (x-a). Corolarul 6: Numărul a este o rădăcină a unui polinom P(x) de grad cel puțin primul dacă și numai dacă P(x) este divizibil cu (x-a) fără rest.

Descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple Să arătăm că orice fracție rațională proprie poate fi descompusă într-o sumă de fracții cele mai simple. Să fie dată o fracție rațională proprie (1).

Teorema 1. Fie x=a rădăcina numitorului conciziei k, adică unde f(a)≠ 0, atunci această fracție proprie poate fi reprezentată ca suma a altor două fracții proprii, după cum urmează: (2) , unde A este o constantă diferită de zero, dar F 1(x) este un polinom, al cărui grad este mai mic decât gradul numitorului

unde este un polinom al cărui grad este mai mic decât gradul numitorului. Și similar cu formula anterioară, puteți obține: (5)

etc. este de natură generală şi mare importanță a studia TOT cursul matematică superioară. Astăzi vom repeta ecuațiile „școală”, dar nu doar pe cele „școală” - ci pe acelea dintre ele care se găsesc peste tot în diverse sarcini ale vyshmat-ului. Ca de obicei, povestea va merge într-un mod aplicat, de exemplu. Nu mă voi concentra pe definiții, clasificări, ci vă voi împărtăși exact experienta personala solutii. Informațiile sunt destinate în primul rând începătorilor, dar cititorii mai pregătiți vor găsi și multe puncte interesante pentru ei înșiși. Și bineînțeles că va exista material nou, fara scop liceu.

Deci ecuația... Mulți oameni își amintesc acest cuvânt cu un fior. Care sunt ecuațiile „fanteziste” cu rădăcini... ...uitați de ele! Pentru că mai departe vei întâlni cei mai inofensivi „reprezentanți” ai acestei specii. Sau plictisitor ecuații trigonometrice cu zeci de solutii. Sincer sa fiu, nici mie nu prea mi-au placut... Fara panica! - atunci ești așteptat în principal de „păpădie” cu o soluție evidentă în 1-2 pași. Deși „brusturele”, desigur, se agață - aici trebuie să fii obiectiv.

Destul de ciudat, în matematica superioară este mult mai comun să se ocupe de ecuații foarte primitive, cum ar fi liniar ecuații.

Ce înseamnă să rezolvi această ecuație? Aceasta înseamnă - să găsiți O AȘA valoare a lui "x" (rădăcină), care o transformă într-o egalitate adevărată. Să întoarcem „troica” la dreapta cu o schimbare de semn:

și aruncați „doi” în partea dreaptă (sau, același lucru - înmulțiți ambele părți cu) :

Pentru a verifica, înlocuim trofeul câștigat în ecuația originală:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că valoarea găsită este într-adevăr rădăcina ecuația dată. Sau, după cum se spune, satisface această ecuație.

Rețineți că rădăcina poate fi scrisă și ca fracție zecimală:
Și încercați să nu rămâneți la acest stil urât! Am repetat motivul de multe ori, în special, chiar la prima lecție despre algebră superioară.

Apropo, ecuația poate fi rezolvată și „în arabă”:

Și ceea ce este cel mai interesant - această înregistrare este complet legală! Dar dacă nu ești profesor, atunci este mai bine să nu faci asta, pentru că originalitatea se pedepsește aici =)

Și acum puțin despre

metoda de rezolvare grafica

Ecuația are forma și rădăcina ei este coordonata „x”. puncte de intersecție graficul funcției liniare cu program funcție liniară (axa absciselor):

S-ar părea că exemplul este atât de elementar încât nu mai este nimic de analizat aici, dar încă o nuanță neașteptată poate fi „storsă” din el: reprezentăm aceeași ecuație în formă și trasăm graficele funcției:

în care, va rog sa nu le confundati pe cele doua: o ecuație este o ecuație și funcţie este o funcție! Funcții doar ajutor găsiți rădăcinile ecuației. Dintre care pot fi două, trei, patru și chiar infinite. Cel mai apropiat exemplu în acest sens este că toată lumea știe ecuație pătratică, al cărui algoritm de soluție a primit un articol separat formule școlare „fierbinte”.. Și acesta nu este un accident! Dacă poți rezolva o ecuație pătratică și știi teorema lui Pitagora, atunci, s-ar putea spune, „etajul matematicii superioare este deja în buzunar” =) Exagerat, desigur, dar nu atât de departe de adevăr!

Și, prin urmare, nu suntem prea leneși și rezolvăm o ecuație pătratică conform algoritm standard:

, deci ecuația are două diferite valabil rădăcină:

Este ușor de verificat că ambele valori găsite satisfac cu adevărat această ecuație:

Ce să faci dacă ai uitat brusc algoritmul de soluție și nu există instrumente/mâini de ajutor la îndemână? O astfel de situație poate apărea, de exemplu, într-un test sau un examen. Folosim metoda grafica! Și există două moduri: poți construirea punctual parabolă , aflând astfel unde intersectează axa (daca trece deloc). Dar este mai bine să acționăm mai viclean: prezentăm ecuația sub formă, desenăm grafice cu funcții mai simple - și coordonatele „x”. punctele lor de intersecție, dintr-o privire!


Dacă se dovedește că linia atinge parabola, atunci ecuația are două rădăcini (multiple) care coincid. Dacă se dovedește că linia nu intersectează parabola, atunci nu există rădăcini reale.

Pentru a face acest lucru, desigur, trebuie să fiți capabil să construiți grafice ale funcţiilor elementare, dar pe de altă parte, aceste abilități sunt în puterea chiar și a unui școlar.

Și din nou - o ecuație este o ecuație, iar funcțiile , sunt funcții care doar ajutat rezolva ecuatia!

Și aici, apropo, ar fi potrivit să ne amintim încă un lucru: dacă toți coeficienții ecuației sunt înmulțiți cu un număr diferit de zero, atunci rădăcinile sale nu se vor schimba.

Deci, de exemplu, ecuația are aceleasi radacini. Ca cea mai simplă „dovadă”, voi scoate constanta din paranteze:
și îndepărtați-l fără durere (Voi împărți ambele părți în „minus doi”):

DAR! Dacă luăm în considerare funcția , atunci aici este deja imposibil să scapi de constantă! Este posibil doar să scoateți multiplicatorul din paranteze: .

Mulți subestimează metoda de rezolvare grafică, considerând-o ceva „nedemn”, iar unii chiar uită complet de această posibilitate. Și acest lucru este fundamental greșit, deoarece complot uneori pur și simplu salvează ziua!

Un alt exemplu: să presupunem că nu vă amintiți rădăcinile celei mai simple ecuații trigonometrice:. Formula generală este în manualele școlare, în toate cărțile de referință despre matematică elementară, dar nu vă sunt disponibile. Cu toate acestea, rezolvarea ecuației este critică (altfel „două”). Există o ieșire! - construim grafice de funcții:


după care notăm calm coordonatele „x” ale punctelor lor de intersecție:

Există infinit de rădăcini, iar notația lor pliată este acceptată în algebră:
, Unde ( – mulţime de numere întregi) .

Și, fără „a pleca de la casierie”, câteva cuvinte despre metoda grafică de rezolvare a inegalităților cu o singură variabilă. Principiul este același. Deci, de exemplu, orice „x” este soluția inegalității, deoarece sinusoida se află aproape în întregime sub linia dreaptă. Soluția inegalității este setul de intervale pe care piesele sinusoidei se află strict deasupra liniei drepte. (abscisă):

sau, pe scurt:

Și iată setul de soluții la inegalitate - gol, deoarece niciun punct al sinusoidei nu se află deasupra liniei drepte.

Ceva nu este clar? Studiați urgent lecțiile despre seturiși grafice de funcții!

Încălzire:

Exercitiul 1

Rezolvați grafic următoarele ecuații trigonometrice:

Răspunsuri la sfârșitul lecției

După cum puteți vedea, pentru a studia științele exacte, nu este deloc necesar să înghesuiți formule și cărți de referință! În plus, aceasta este o abordare fundamental vicioasă.

După cum v-am asigurat deja la începutul lecției, ecuațiile trigonometrice complexe din cursul standard de matematică superioară trebuie rezolvate extrem de rar. Toată complexitatea, de regulă, se termină cu ecuații ca , a căror soluție este două grupuri de rădăcini, derivate din cele mai simple ecuații și . Nu vă faceți griji prea mult cu privire la soluția acesteia din urmă - căutați într-o carte sau găsiți-o pe Internet =)

Metoda grafică de rezolvare poate ajuta și în cazuri mai puțin banale. Luați în considerare, de exemplu, următoarea ecuație „pestriță”:

Perspectivele soluției sale arată... nu se uită deloc, dar trebuie doar să prezinte ecuația sub forma , construct grafice de funcțiiși totul va fi incredibil de simplu. Desenul este la mijlocul articolului despre funcții infinitezimale (se deschide în fila următoare).

La fel metoda grafica puteți afla că ecuația are deja două rădăcini, iar una dintre ele este egală cu zero, iar cealaltă, aparent, iraţional si apartine segmentului . Această rădăcină poate fi calculată aproximativ, de exemplu, metoda tangentei. Apropo, în unele sarcini, se întâmplă să nu se găsească rădăcinile, ci să se afle ele există deloc. Și aici, un desen poate ajuta - dacă graficele nu se intersectează, atunci nu există rădăcini.

Rădăcini raționale ale polinoamelor cu coeficienți întregi.
Schema lui Horner

Și acum vă sugerez să vă întoarceți privirea către Evul Mediu și să simțiți atmosfera unică a algebrei clasice. Pentru o mai bună înțelegere a materialului, recomand măcar o mică familiarizare cu numere complexe.

Ele sunt cele mai multe. Polinomiale.

Obiectul nostru de interes vor fi cele mai comune polinoame de forma cu întreg coeficienți . Numar natural numit gradul polinom, număr - coeficient la cel mai înalt grad (sau doar cel mai mare coeficient), iar coeficientul este membru liber.

Voi desemna acest polinom pliat cu .

Rădăcinile polinomiale numite rădăcinile ecuației

Iubesc logica de fier =)

De exemplu, mergem la începutul articolului:

Nu există probleme cu găsirea rădăcinilor polinoamelor de gradul 1 și 2, dar pe măsură ce creșteți această sarcină devine din ce în ce mai dificilă. Dar, pe de altă parte, totul este mai interesant! Și acesta este ceea ce va fi dedicată a doua parte a lecției.

În primul rând, literalmente o jumătate de ecran de teorie:

1) Conform corolarului teorema fundamentală a algebrei, polinomul de grad are exact integrat rădăcini. Unele rădăcini (sau chiar toate) pot fi în special valabil. Mai mult, printre rădăcinile reale pot fi rădăcini identice (multiple). (minimum doua, maxim bucati).

Dacă un număr complex este o rădăcină a unui polinom, atunci conjuga numărul său este, în mod necesar, și rădăcina acestui polinom (conjugat rădăcini complexe arată ca ).

Cel mai simplu exemplu este ecuația pătratică, care a fost întâlnită pentru prima dată în 8 (ca) clasa și pe care în cele din urmă l-am „terminat” în subiect numere complexe. Vă reamintesc: o ecuație pătratică are fie două rădăcini reale diferite, fie rădăcini multiple, fie conjugă rădăcini complexe.

2) De la teoremele lui Bezout rezultă că, dacă numărul este rădăcina ecuației, atunci polinomul corespunzător poate fi factorizat:
, unde este un polinom de grad .

Și din nou, vechiul nostru exemplu: deoarece este rădăcina ecuației , atunci . După aceea, este ușor să obțineți binecunoscuta descompunere „școală”.

Consecința teoremei lui Bezout este de mare valoare practică: dacă cunoaștem rădăcina ecuației de gradul 3, atunci o putem reprezenta sub forma iar din ecuație pătratică este ușor să recunoști restul rădăcinilor. Dacă cunoaștem rădăcina ecuației de gradul 4, atunci este posibil să extindem partea stângă într-un produs etc.

Și aici sunt două întrebări:

Întrebarea unu. Cum să găsești această rădăcină? În primul rând, să-i definim natura: în multe probleme de matematică superioară se cere să se găsească raţional, în special întreg rădăcinile polinoamelor și, în acest sens, în continuare ne vom interesa în principal de ele .... …sunt atât de bune, atât de pufoase, încât vrei doar să le găsești! =)

Primul lucru care se sugerează este metoda de selecție. Luați în considerare, de exemplu, ecuația . Captura aici este în termenul liber - dacă ar fi egal cu zero, atunci totul ar fi ajurat - punem „x” din paranteze și rădăcinile înseși „cad” la suprafață:

Dar termenul nostru liber este egal cu „trei” și, prin urmare, începem să înlocuim în ecuație diverse numere, pretinzând titlul de „rădăcină”. În primul rând, înlocuirea unor valori individuale se sugerează. Inlocuitor:

Primit gresit egalitate, astfel, unitatea „nu se potrivea”. Bine, hai să-l punem în:

Primit corect egalitate! Adică, valoarea este rădăcina acestei ecuații.

Pentru a găsi rădăcinile unui polinom de gradul 3, există o metodă analitică (așa-numitele formule Cardano), dar acum ne interesează o problemă puțin diferită.

Deoarece - este rădăcina polinomului nostru, atunci polinomul poate fi reprezentat sub formă și apare A doua întrebare: cum să-l găsesc pe „fratele mai mic”?

Cele mai simple considerații algebrice sugerează că pentru aceasta trebuie să împărțiți cu. Cum se împarte un polinom la un polinom? Aceeași metodă școlară care împarte numerele obișnuite - o „coloană”! Aceasta metoda Am analizat în detaliu în primele exemple ale lecției Limite complexe, iar acum vom lua în considerare o altă metodă, care se numește Schema lui Horner.

În primul rând, scriem polinomul „senior”. cu toata lumea , inclusiv coeficienți zero:
, după care introducem acești coeficienți (strict în ordine) în rândul de sus al tabelului:

În stânga scriem rădăcina:

Voi face imediat o rezervare că schema lui Horner funcționează și dacă numărul „roșu”. nu este rădăcina polinomului. Totuși, să nu grăbim lucrurile.

Luăm coeficientul senior de sus:

Procesul de umplere a celulelor inferioare amintește oarecum de broderie, unde „minus unu” este un fel de „ac” care pătrunde în pașii următori. Înmulțim numărul „demolat” cu (-1) și adăugăm numărul din celula de sus la produs:

Înmulțim valoarea găsită cu „acul roșu” și adăugăm următorul coeficient de ecuație la produs:

Și, în sfârșit, valoarea rezultată este din nou „procesată” cu un „ac” și un coeficient superior:

Zero din ultima celulă ne spune că polinomul s-a împărțit în fără urmă (cum ar trebui să fie), în timp ce coeficienții de expansiune sunt „eliminați” direct din linia de jos a tabelului:

Astfel, am trecut de la ecuație la o ecuație echivalentă și totul este clar cu cele două rădăcini rămase (în acest caz, se obțin rădăcini complexe conjugate).

Ecuația, de altfel, poate fi rezolvată și grafic: construiți "fermoar" și vezi că graficul traversează axa x () la punctul . Sau același truc „sprețuitor” - rescriem ecuația în forma , desenăm grafice elementare și detectăm coordonatele „x” a punctului lor de intersecție.

Apropo, graficul oricărei funcții polinomiale de gradul 3 traversează axa cel puțin o dată, ceea ce înseamnă că ecuația corespunzătoare are macar unu valabil rădăcină. Acest fapt este valabil pentru orice funcție polinomială de grad impar.

Și aici vreau să mă opresc punct important referitor la terminologie: polinomși funcţie polinomială – Nu este la fel! Dar, în practică, ei vorbesc adesea, de exemplu, despre „graful polinom”, care, desigur, este neglijent.

Dar să revenim la schema lui Horner. După cum am menționat recent, această schemă funcționează și pentru alte numere, dar dacă numărul nu este rădăcina ecuației, atunci în formula noastră apare un aditiv diferit de zero (restul):

Să „conducem” valoarea „nereușită” conform schemei lui Horner. În același timp, este convenabil să folosiți același tabel - notăm un nou „ac” în stânga, demolăm cel mai mare coeficient de sus (săgeata verde stânga)și plecăm:

Pentru a verifica, deschidem parantezele și dăm termeni similari:
, O.K.

Este ușor de observat că restul („șase”) este exact valoarea polinomului la . Și de fapt - ce este:
, și chiar mai frumos - așa:

Din calculele de mai sus, este ușor de înțeles că schema lui Horner permite nu numai factorizarea polinomului, ci și efectuarea unei selecții „civilizate” a rădăcinii. Vă sugerez să reparați independent algoritmul de calcul cu o sarcină mică:

Sarcina 2

Folosind schema lui Horner, găsiți întreaga rădăcină a ecuației și factorizați polinomul corespunzător

Cu alte cuvinte, aici trebuie să verificați succesiv numerele 1, -1, 2, -2, ... - până când un rest zero este „tras” în ultima coloană. Aceasta va însemna că „acul” acestei linii este rădăcina polinomului

Calculele sunt aranjate convenabil într-un singur tabel. Soluție detaliatăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Metoda de selectare a rădăcinilor este bună pentru relativ cazuri simple, dar dacă coeficienții și/sau gradul polinomului sunt mari, atunci procesul poate fi întârziat. Sau poate unele valori din aceeași listă 1, -1, 2, -2 și nu are sens să le luăm în considerare? Și, în plus, rădăcinile se pot dovedi a fi fracționate, ceea ce va duce la o picătură complet neștiințifică.

Din fericire, există două teoreme puternice care pot reduce semnificativ enumerarea valorilor „candidate” pentru rădăcini raționale:

Teorema 1 Considera ireductibil fracție , unde . Dacă numărul este rădăcina ecuației, atunci termenul liber este divizibil cu, iar coeficientul principal este divizibil cu.

În special, dacă coeficientul principal este , atunci această rădăcină rațională este întreg:

Și începem să exploatăm teorema doar din această particularitate gustoasă:

Să revenim la ecuație. Deoarece coeficientul său de conducere este , atunci rădăcinile raționale ipotetice pot fi exclusiv întregi, iar termenul liber trebuie în mod necesar împărțit la aceste rădăcini fără rest. Iar „trei” pot fi împărțiți doar în 1, -1, 3 și -3. Adică avem doar 4 „candidați pentru rădăcini”. Și, conform Teorema 1, alte numere raționale nu pot fi rădăcini ale acestei ecuații ÎN PRINCIPIUL.

Există puțin mai mulți „solicitanți” în ecuație: termenul liber este împărțit în 1, -1, 2, -2, 4 și -4.

Vă rugăm să rețineți că numerele 1, -1 sunt „obișnuite” ale listei de rădăcini posibile (o consecință evidentă a teoremei) si majoritatea cea mai buna alegere pentru prima verificare.

Să trecem la exemple mai semnificative:

Sarcina 3

Soluţie: din moment ce coeficientul conducător , atunci rădăcinile raționale ipotetice nu pot fi decât numere întregi, în timp ce trebuie să fie în mod necesar divizori ai termenului liber. „Minus patruzeci” este împărțit în următoarele perechi de numere:
- în total 16 „candidați”.

Și aici apare imediat un gând tentant: este posibil să îndepărtați toate rădăcinile negative sau toate pozitive? În unele cazuri poți! Voi formula două semne:

1) Dacă toate coeficienții unui polinom sunt nenegativi sau toți nepozitivi, atunci nu poate avea rădăcini pozitive. Din păcate, acesta nu este cazul nostru (Acum, dacă ni s-a dat o ecuație - atunci da, atunci când înlocuirea oricărei valori a polinomului este strict pozitivă, ceea ce înseamnă că toate numere pozitive (și și irațional) nu pot fi rădăcini ale ecuației.

2) Dacă coeficienții pentru puterile impare sunt nenegativi și pentru toate puterile pare (inclusiv membru gratuit) sunt negative, atunci polinomul nu poate avea rădăcini negative. Sau „oglindă”: coeficienții pentru grade impare sunt nepozitivi, iar pentru toți cei pari sunt pozitivi.

Acesta este cazul nostru! Privind atent, puteți vedea că atunci când orice „x” negativ este înlocuit în ecuație, partea stângă va fi strict negativă, ceea ce înseamnă că rădăcinile negative dispar.

Astfel, 8 numere au rămas pentru cercetare:

„Încărcați” în mod constant conform schemei Horner. Sper că ai stăpânit deja calculele mentale:

Norocul ne aștepta când testăm „deuce”. Astfel, este rădăcina ecuației luate în considerare și

Rămâne de investigat ecuația . Este ușor să faci acest lucru prin discriminant, dar voi efectua un test exponențial în același mod. În primul rând, rețineți că termenul liber este egal cu 20, ceea ce înseamnă că conform Teorema 1 numerele 8 și 40 ies din lista de rădăcini posibile, iar valorile rămân pentru cercetare (unul a fost eliminat conform schemei Horner).

Scriem coeficienții trinomului în rândul de sus al noului tabel și începem să verificăm cu același „doi”. De ce? Și pentru că rădăcinile pot fi multiple, vă rog: - această ecuație are 10 rădăcini identice. Dar să nu ne divagăm:

Și aici, desigur, am fost puțin șmecher, știind că rădăcinile sunt raționale. La urma urmei, dacă ar fi iraționale sau complexe, atunci aș avea o verificare nereușită a tuturor numerelor rămase. Prin urmare, în practică, fiți ghidat de discriminant.

Răspuns: rădăcini raționale: 2, 4, 5

În problema analizată am avut noroc pentru că: a) au căzut imediat valori negative, și b) am găsit rădăcina foarte repede (și teoretic am putea verifica întreaga listă).

Dar, în realitate, situația este mult mai rea. Vă invit să urmăriți un joc interesant numit „Ultimul erou”:

Sarcina 4

Găsiți rădăcinile raționale ale unei ecuații

Soluţie: pe Teorema 1 numeratorii rădăcinilor raționale ipotetice trebuie să îndeplinească condiția (citiți „doisprezece este divizibil cu ale”), iar numitorii condiției . Pe baza acestui lucru, obținem două liste:

"lista el":
și „lista-le”: (din fericire, aici numerele sunt naturale).

Acum să facem o listă cu toate rădăcinile posibile. În primul rând, împărțim „lista de bere” la . Este destul de clar că se vor dovedi aceleași numere. Pentru comoditate, să le punem într-un tabel:

Multe fracții au fost reduse, rezultând valori care sunt deja în „lista eroilor”. Adăugăm doar „noi veniți”:

În mod similar, împărțim aceeași „listă de bere” la:

și în sfârșit pe

Astfel, echipa de participanți la jocul nostru este dotată cu:


Din păcate, polinomul acestei probleme nu satisface criteriul „pozitiv” sau „negativ” și, prin urmare, nu putem elimina rândul de sus sau de jos. Trebuie să lucrezi cu toate numerele.

Cum este starea ta de spirit? Haide, întoarce-ți nasul în sus - există o altă teoremă care poate fi numită figurativ „teorema ucigașului” .... ... „candidați”, desigur =)

Dar mai întâi trebuie să parcurgeți diagrama lui Horner pentru cel puțin una întregul numere. În mod tradițional, luăm unul. În linia de sus scriem coeficienții polinomului și totul este ca de obicei:

Deoarece patru nu este în mod clar zero, valoarea nu este rădăcina polinomului în cauză. Dar ea ne va ajuta foarte mult.

Teorema 2 Dacă pentru unii în general valoarea polinomului este nenulă: , apoi rădăcinile sale raționale (daca sunt) satisface condiția

În cazul nostru și prin urmare toate rădăcinile posibile trebuie să satisfacă condiția (să-i spunem Condiția #1). Acești patru vor fi „ucigașul” multor „candidați”. Ca o demonstrație, voi analiza câteva verificări:

Să verificăm candidatul. Pentru a face acest lucru, îl reprezentăm artificial ca o fracție , din care se vede clar că . Să calculăm diferența de verificare: . Patru este împărțit la „minus doi”: ceea ce înseamnă că rădăcina posibilă a trecut testul.

Să verificăm valoarea. Aici, diferența de test este: . Desigur, și, prin urmare, al doilea „subiect de testare” rămâne și el pe listă.

Problema găsirii rădăcinilor raționale ale unui polinom f(X)Q[X] (cu coeficienți raționali) se reduce la problema găsirii rădăcinilor raționale ale polinoamelor k ∙ f(X)Z[X] (cu coeficienți întregi). Iată numărul k este cel mai mic multiplu comun al coeficienților polinomului dat.

Necesar dar nu conditii suficiente existența rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi este dată de următoarea teoremă.

Teorema 6.1 (despre rădăcinile raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi). În cazul în care un – rădăcina rațională a unui polinomf(X) = A n  X n + + …+ A 1  X + A 0 Cu întreg coeficienți și(p, q) = 1, apoi numărătorul fracțieipeste un divizor al termenului liber a 0 , și numitorulqeste divizorul coeficientului principal a 0 .

Teorema 6.2.În cazul în care un Q ( Unde (p, q) = 1) este o rădăcină rațională a polinomului f(X) cu coeficienți întregi, atunci
–numere întregi.

Exemplu. Găsiți toate rădăcinile raționale ale unui polinom

f(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.

1. Prin teorema 6.1: dacă – rădăcina rațională a unui polinom f(X), ( Unde( p, q) = 1), apoi A 0 = 1 p, A n = 6 q. De aceea p { 1}, q (1, 2, 3, 6), deci

.

2. Se știe că (Corolarul 5.3) numărul A este rădăcina polinomului f(X) dacă și numai dacă f(X) impartit de ( x - a).

Prin urmare, pentru a verifica dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcinile polinomului f(X) puteți folosi schema lui Horner:

f(1) = 60,f(–1) = 120, deci 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului f(X).

3. Pentru a elimina unele dintre numerele rămase
, folosim Teorema 6.2. Dacă expresiile sau
ia valori întregi pentru valorile corespunzătoare numărătorului pși numitorul q, apoi în celulele corespunzătoare ale tabelului (vezi mai jos) vom scrie litera „c”, în caz contrar - „dr”.

=
=

4. Utilizând schema lui Horner, verificăm dacă numerele rămase după cernere vor fi
rădăcini f(X). Împărțiți mai întâi f(X) pe ( X – ).

Ca urmare, avem: f(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) și - rădăcină f(X). Privat q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2 împărțiți la ( X + ).

pentru că q (–) = 30, atunci (-) nu este o rădăcină a polinomului q(X), și de aici polinomul f(X).

În cele din urmă, împărțim polinomul q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 pe ( X – ).

A primit: q () = 0, adică rădăcina q(X), ceea ce înseamnă că rădăcina f (X). Deci polinomul f (X) are două rădăcini raţionale: şi.

Scutire de iraționalitate algebrică în numitorul unei fracții

Într-un curs școlar, la rezolvarea unor tipuri de probleme pentru a elibera de iraționalitate în numitorul unei fracții, este suficient să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu numărul conjugat la numitor.

Exemple. 1.t =
.

Aici, formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate) funcționează la numitor, ceea ce vă permite să scăpați de iraționalitatea în numitor.

2. Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții

t =
. Expresie - pătrat incomplet al diferenței de numere A=
și b= 1. Folosind formula de înmulțire redusă A 3 – b 3 = (un +b) · ( A 2 – ab + b 2 ), putem defini multiplicatorul m = (un +b) =
+ 1, cu care trebuie înmulțit numărătorul și numitorul fracției t pentru a scăpa de iraționalitatea din numitorul fracției t. În acest fel,

În situațiile în care formulele de înmulțire redusă nu funcționează, pot fi folosite și alte trucuri. Mai jos formulăm o teoremă, a cărei demonstrație, în special, ne permite să găsim un algoritm de eliminare a iraționalității în numitorul unei fracții în situații mai complexe.

Definiție 6.1. Număr z numit algebric asupra unui câmp F dacă există un polinom f(X) F[X], a cărui rădăcină este z, altfel numarul z numit transcendent asupra câmpuluiF.

Definiție 6.2.Gradul algebric peste câmp F numere z este gradul de ireductibil asupra câmpului F polinom p(X)F[X], a cărui rădăcină este numărul z.

Exemplu. Să arătăm că numărul z =
este algebrică asupra câmpului Qși găsiți-i gradul.

Să găsim ireductibilul peste câmp Q polinom p(X), a cărui rădăcină este X =
. Ridicăm ambele părți ale egalității X =
la a patra putere, ajungem X 4 = 2 sau X 4 – 2 = 0. Deci, p(X) = X 4 – 2 și puterea numărului z este egal cu deg p(X) = 4.

Teorema 6.3 (privind eliberarea de iraţionalitatea algebrică în numitorul unei fracţii).Lăsaz – număr algebric peste câmpFgradn. Exprimarea formeit = ,Unde f(X), (X)F[X], (z) 0

poate fi reprezentat numai sub forma:

t = Cu n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Vom demonstra algoritmul de eliminare a iraționalității în numitorul unei fracții folosind un exemplu specific.

Exemplu. Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții:

t =

1. Numitorul fracției este valoarea polinomului (X) = X 2 – X+1 când X =
. Exemplul anterior arată că
este un număr algebric peste un câmp Q gradul 4, deoarece este rădăcina unui peste ireductibil Q polinom p(X) = X 4 – 2.

2. Aflați expansiunea liniară a mcd ( (X), p(X)) folosind algoritmul Euclid.

_ X 4 – 2 | X 2 - X + 1

X 4 - X 3 + x 2 X 2 + x = q 1 (X)

_ X 3 - X 2 – 2

X 3 - X 2 + x

X 2 - X + 1 | – X –2 = r 1 (X )

X 2 + 2 X – x + 3 = q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = r 2

– X –2 -X - =q 3 (X)

Deci, NOD ( (X), p(X)) = r 2 = 7. Găsiți expansiunea sa liniară.

Scriem șirul lui Euclid folosind notația polinoamelor.

p(X) = (X) · q 1 (X) + r 1 (X)
r 1 (X) =p(X) – (X) · q 1 (X)

Când se rezolvă ecuații și inegalități, devine adesea necesară factorizarea unui polinom al cărui grad este trei sau mai mare. În acest articol, vom analiza cel mai simplu mod de a face acest lucru.

Ca de obicei, să apelăm la teorie pentru ajutor.

teorema lui Bezout afirmă că restul împărțirii unui polinom la un binom este .

Dar nu teorema în sine este importantă pentru noi, ci corolar din aceasta:

Dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci polinomul este divizibil fără rest cu binom.

Ne confruntăm cu sarcina de a găsi cumva cel puțin o rădăcină a polinomului, apoi împărțind polinomul la , unde este rădăcina polinomului. Ca rezultat, obținem un polinom al cărui grad este cu unul mai mic decât gradul celui original. Și apoi, dacă este necesar, puteți repeta procesul.

Această sarcină este împărțită în două: cum să găsiți rădăcina unui polinom și cum să împărțiți un polinom într-un binom.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra acestor puncte.

1. Cum să găsiți rădăcina unui polinom.

Mai întâi, verificăm dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcinile polinomului.

Următoarele fapte ne vor ajuta aici:

Dacă suma tuturor coeficienților unui polinom este zero, atunci numărul este rădăcina polinomului.

De exemplu, într-un polinom suma coeficienților este egală cu zero: . Este ușor să verificați care este rădăcina unui polinom.

Dacă suma coeficienților unui polinom la grade pare este egală cu suma coeficienților la grade impare, atunci numărul este o rădăcină a polinomului. Termenul liber este considerat un coeficient la un grad par, deoarece , a este un număr par.

De exemplu, într-un polinom suma coeficienților la grade pare este : , iar suma coeficienților la grade impare este : . Este ușor să verificați care este rădăcina unui polinom.

Dacă nici 1, nici -1 nu sunt rădăcini ale polinomului, atunci mergem mai departe.

Pentru un polinom de grad redus (adică un polinom în care coeficientul principal - coeficientul lui - este egal cu unu), formula Vieta este valabilă:

Unde sunt rădăcinile polinomului.

Există și formule Vieta privind coeficienții rămași ai polinomului, dar acesta este cel care ne interesează.

Din această formulă Vieta rezultă că dacă rădăcinile unui polinom sunt numere întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este și un întreg.

Bazat pe acest lucru, trebuie să descompunăm termenul liber al polinomului în factori și secvenţial, de la mai mic la mai mare, să verificăm care dintre factori este rădăcina polinomului.

Luați în considerare, de exemplu, polinomul

Divizori membri liberi: ; ; ;

Suma tuturor coeficienților polinomului este egală, prin urmare, numărul 1 nu este rădăcina polinomului.

Suma coeficienților la puteri pare:

Suma coeficienților la puteri impare:

Prin urmare, numărul -1 nu este, de asemenea, o rădăcină a polinomului.

Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului: prin urmare, numărul 2 este rădăcina polinomului. Prin urmare, conform teoremei lui Bezout, polinomul este divizibil fără rest cu binom.

2. Cum se împarte un polinom într-un binom.

Un polinom poate fi împărțit într-un binom printr-o coloană.

Împărțim polinomul într-o coloană binomială:

Există o altă modalitate de a împărți un polinom într-un binom - schema lui Horner.

Urmăriți acest videoclip pentru a înțelege cum să împărțiți un polinom cu un binom cu o coloană și folosind schema lui Horner.

Observ că, dacă, la împărțirea pe o coloană, un anumit grad de necunoscut este absent în polinomul original, scriem 0 în locul său - la fel ca atunci când compilăm un tabel pentru schema Horner.

Deci, dacă trebuie să împărțim un polinom într-un binom și ca rezultat al divizării obținem un polinom, atunci putem găsi coeficienții polinomului folosind schema Horner:

Putem folosi, de asemenea Schema lui Horner pentru a verifica dacă număr dat rădăcina polinomului: dacă numărul este rădăcina polinomului, atunci restul împărțirii polinomului la este zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al schemei Horner, obținem 0.

Folosind schema lui Horner, „omorâm două păsări dintr-o piatră”: în același timp, verificăm dacă numărul este rădăcina unui polinom și împărțim acest polinom la un binom.

Exemplu. Rezolvați ecuația:

1. Scriem divizorii termenului liber și vom căuta rădăcinile polinomului printre divizorii termenului liber.

Divizorii lui 24:

2. Verificați dacă numărul 1 este rădăcina polinomului.

Suma coeficienților unui polinom, prin urmare, numărul 1 este rădăcina polinomului.

3. Împărțiți polinomul original într-un binom folosind schema lui Horner.

A) Scrieți coeficienții polinomului original în primul rând al tabelului.

Deoarece membrul care îl conține lipsește, în coloana tabelului în care trebuie scris coeficientul lui, scriem 0. În stânga scriem rădăcina găsită: numărul 1.

B) Completați primul rând al tabelului.

În ultima coloană, așa cum era de așteptat, am obținut zero, am împărțit polinomul original într-un binom fără rest. Coeficienții polinomului rezultat din împărțire sunt afișați cu albastru în al doilea rând al tabelului:

Este ușor de verificat că numerele 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului

C) Să continuăm masa. Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului:

Deci, gradul polinomului, care se obține ca urmare a împărțirii la unu, este mai mic decât gradul polinomului original, prin urmare numărul de coeficienți și numărul de coloane sunt mai mici cu unu.

În ultima coloană, am obținut -40 - un număr care nu este egal cu zero, prin urmare, polinomul este divizibil cu un binom cu rest, iar numărul 2 nu este rădăcina polinomului.

C) Să verificăm dacă numărul -2 este rădăcina polinomului. Deoarece încercarea anterioară a eșuat, astfel încât să nu existe confuzii cu coeficienții, voi șterge linia corespunzătoare acestei încercări:

Excelent! În rest, am primit zero, prin urmare, polinomul a fost împărțit într-un binom fără rest, prin urmare, numărul -2 este rădăcina polinomului. Coeficienții polinomului, care se obțin prin împărțirea polinomului la binom, sunt afișați cu verde în tabel.

Ca rezultat al împărțirii, am obținut un trinom pătrat , ale cărui rădăcini sunt ușor de găsit prin teorema lui Vieta:

Deci, rădăcinile ecuației originale:

{}

Răspuns: ( }