PLANUL LECȚIEI lecție de algebră în clasa a VII-a
Profesor Prilepova O.A.
Obiectivele lecției:
Afișează aplicația diferite căi pentru factorizarea unui polinom
Repetați metodele de factorizare și consolidați-le cunoștințele în timpul exercițiilor
Să dezvolte abilitățile și abilitățile elevilor în aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate.
Dezvolta gandire logica studenți și interes pentru subiect.
Sarcini:
in directia dezvoltare personala:
Dezvoltarea interesului pentru creativitatea matematică și abilitățile matematice;
Dezvoltarea inițiativei, activitate în rezolvarea problemelor matematice;
Cultivarea capacității de a lua decizii independente.
în direcţia meta-subiect :
Formarea unor moduri generale de activitate intelectuală, caracteristice matematicii și care stau la baza culturii cognitive;
Utilizarea tehnologiei TIC;
in domeniul subiectului:
Stăpânirea cunoștințelor și abilităților matematice necesare pentru a continua educația;
Formarea la elevi a capacității de a căuta modalități de factorizare a unui polinom și de a le găsi pentru un polinom care este factorizat.
Echipament:fișe, foi de traseu cu criterii de evaluare,proiector multimedia, prezentare.
Tip de lecție:repetarea, generalizarea și sistematizarea materialului acoperit
Forme de lucru:lucrul în perechi și în grup, individual, colectiv,munca independentă, frontală.
În timpul orelor:
| Etape | Plan | UUD | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Moment org. | Împărțire în grupuri și cupluri: Elevii își aleg un partener după următorul criteriu: Eu comunic cel mai puțin cu acest coleg de clasă. Dispoziție psihologică: Alegeți o emoticon la alegere (dispoziția de la începutul lecției) și sub aceasta priviți nota pe care ați dori să o primiți astăzi la lecție (SLIDE). - Pune-te în caiet în marginile notei pe care ai vrea să o primești astăzi la lecție. Veți marca rezultatele dvs. în tabel (SLIDE).Foaie de traseu.
Criteriu de evaluare: 1. Am rezolvat totul corect, fără erori - 5 2. Când am rezolvat, am făcut de la 1 la 2 greșeli - 4 3. A făcut 3 până la 4 greșeli la rezolvare - 3 4. A făcut mai mult de 4 greșeli la rezolvare - 2 | Noi abordări ale predării (dialog) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Actualizare. | Munca colectivă. - Astăzi, la lecție, veți putea să vă demonstrați cunoștințele, să participați la controlul reciproc și autocontrolul activităților dvs. Potrivire (SLIDE): Pe următorul diapozitiv, fiți atenți la expresii, ce observați? (Diapozitiv) 15x3y2 + 5x2y Scoaterea multiplicatorului comun din paranteze p 2 + pq - 3 p -3 q Metoda de grupare 16m2 - 4n2 Formula de înmulțire prescurtată Cum pot fi reunite aceste acțiuni într-un singur cuvânt? (Metode de expansiune a polinoamelor) Declarația de către elevi a subiectului și a scopului lecției ca sarcină de învățare proprie (SLIDE). Pe baza acestui lucru, să formulăm subiectul lecției noastre și să stabilim obiective. Întrebări pentru studenți: Denumiți subiectul lecției; Formulați scopul lecției; Toată lumea are cărți cu numele formulelor. (Se lucrează în perechi). Dați formule tuturor formulelor | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Aplicarea cunoștințelor | Lucrați în perechi. Verificarea diapozitivului 1. Alegeți răspunsul corect (SLIDE). Carduri:
| 2. Găsiți erori (SLIDE): Carduri nr. Verificarea diapozitivului 1 pereche: o ( b- y)2 = b2 - 4 by+y2 o 49- c2=(49-c)(49+s) 2 perechi: o (r- 10) 2=r2- 20r+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 perechi: o (3y+1)2=9y+6y+1 o ( b- a) 2 =b²-4ba+a2 4 perechi: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7- a) 2 \u003d 7- 14a + a² | Antrenament conform caracteristici de vârstă | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. Fiecărei perechi i se acordă sarcini și un timp limitat pentru a o rezolva (SLIDE) Verificăm cărțile de răspuns 1. Urmați pașii: a) (a + 3c) 2; b) x 2 - 12 x + 36; c) 4v2-y2. 2. Factorizați: a) ; b) ; în 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3. Găsiți valoarea expresiei: (7 p + 4)2 -7 p (7 p - 2) la p = 5. | Management și conducere | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. Lucru de grup. Uite, nu te înșela (SLIDE). Carduri. Să verificăm diapozitivul. (а+…)²=…+2…с+с² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2 m)²=9+…+4 m² (n + 2v)²= n²+…+4v² | Predarea gândirii critice. Management și conducere | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. Lucru în grup (consultare cu privire la soluție, discuții despre sarcini și soluțiile acestora) Fiecare membru al grupului primește sarcini de nivel A, B, C. Fiecare membru al grupului își alege o sarcină fezabilă pentru el însuși. Carduri. (Diapozitiv) Verificarea cu cărți de răspuns Nivelul A 1. Luați în considerare: a) c 2 - a 2 ; b) 5x2-45; c) 5a2 + 10av + 5v2; d) ax2-4ax + 4a 2. Faceți următoarele: a) (x - 3) (x + 3); b) (x - 3)2; c) x (x - 4). Nivelul B 1. Simplificați: a) (3a + p) (3a-p) + p2; b) (a + 11) 2 - 20a; c) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. Calculați: a) 962 - 862; b) 1262 - 742. Nivelul C 1. Rezolvați ecuația: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4)2 + 36(1 - 4x)2 =44 1. Rezolvați ecuația: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1. | Predarea celor talentați și supradotați | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Rezumatul lecției | - Să rezumam, vom obține estimări în funcție de rezultatele tabelului. Comparați scorurile dvs. cu scorul estimat. Alegeți emoticonul care se potrivește cu evaluarea dvs. (SLIDE). c) profesorul evaluează munca clasei (activitate, nivelul de cunoștințe, abilități, autoorganizare, diligență) Muncă independentă sub forma unui test cu verificare de REZERVĂ | Evaluare pentru învățare și Evaluare pentru învățare | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Teme pentru acasă | Continuați să predați formule de înmulțire prescurtate. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Reflecţie | Băieți, vă rog să ascultați pilda: (DIAPOSITIVI) Un înțelept mergea, iar trei persoane se întâlneau cu el, cărând căruțe cu Pietre pentru construirea Templului. Înțeleptul s-a oprit și a întrebat pe fiecare Întrebare. Primul a întrebat: - Ce ai făcut toată ziua? Iar el a răspuns cu un zâmbet zâmbet că a purtat pietre blestemate toată ziua. Al doilea a întrebat: „Și ce ai făcut toată ziua? ” Și el a răspuns: „Mi-am făcut treaba cu conștiință”. Iar al treilea i-a zâmbit, chipul i s-a luminat de bucurie și plăcere și i-a răspuns „A Am luat parte la construcția Templului.” Care este Templul tău? (Cunoştinţe) Baieti! Cine a lucrat de la persoana întâi? (afișați emoticoanele) (Scor 3 sau 2) (DIAPOSITIVA) Cine a lucrat cu bună credință? (Scor 4) Și cine a luat parte la construcția Templului Cunoașterii? (Scor 5) | Antrenament pentru gândirea critică | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Scopul lecției: formarea deprinderilor de factorizare a unui polinom în factori în diverse moduri; să cultive acurateţea, perseverenţa, hărnicia, capacitatea de a lucra în perechi. Dotare: proiector multimedia, PC, materiale didactice. Planul lecției: 1. Organizarea timpului; 2. Verificarea temelor; 3. Lucrări orale; 4. Învățarea de materiale noi; 5. Educație fizică; 6. Consolidarea materialului studiat; 7. Lucrați în perechi; 8. Tema pentru acasă; 9. Rezumând. Cursul lecției: 1. Moment organizatoric. Atribuiți elevii la lecție. Educația nu constă în cantitatea de cunoștințe, ci în înțelegerea deplină și aplicarea cu pricepere a tot ceea ce se cunoaște. (Georg Hegel) 2. Verificarea temelor. Analiza sarcinilor în rezolvarea cărora elevii au avut dificultăți. 3. Lucrări orale. factorizați: 1) 2) 3) ; patru). Stabiliți o corespondență între expresiile coloanelor din stânga și din dreapta: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. . Rezolvaţi ecuaţiile: 1. 2. 3. 4. Învăţarea unui material nou. Pentru a factoriza polinoamele, am folosit paranteze, grupări și formule de înmulțire abreviate. Uneori este posibilă factorizarea unui polinom prin aplicarea succesivă a mai multor metode. Ar trebui să începeți transformarea, dacă este posibil, prin scoaterea din paranteze a factorului comun. Pentru a rezolva cu succes astfel de exemple, astăzi vom încerca să dezvoltăm un plan pentru aplicarea lor consecventă.
150.000₽ fond de premii 11 documente onorifice Dovada publicării în mass-media
Există mai multe moduri diferite factorizarea unui polinom. Cel mai adesea, în practică, nu se utilizează una, ci mai multe metode simultan. Nu poate exista o ordine specifică a acțiunilor aici, în fiecare exemplu totul este individual. Dar puteți încerca să urmați următoarea ordine:
1. Dacă există un factor comun, atunci scoateți-l din suport;
2. După aceea, încercați să factorizați polinomul folosind formulele de înmulțire prescurtate;
3. Dacă după aceea nu am primit încă rezultatul dorit, ar trebui să încercăm să folosim metoda de grupare.
Formule de înmulțire prescurtate
1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);
2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;
3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;
4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);
5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);
Acum să aruncăm o privire la câteva exemple:
Exemplul 1
Factorizează polinomul: (a^2+1)^2 - 4*a^2
În primul rând, aplicăm formula de înmulțire prescurtată „diferența de pătrate” și deschidem parantezele interioare.
(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);
Rețineți că expresiile pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii sunt obținute între paranteze. Aplicați-le și obțineți răspunsul.
a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;
Răspuns:(a-1)^2*(a+1)^2;
Exemplul 2
Factorizează polinomul 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.
După cum puteți vedea direct aici, niciuna dintre metode nu este potrivită. Dar sunt două pătrate, ele pot fi grupate. Sa incercam.
4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);
Am obținut formula pentru diferența de pătrate din prima paranteză, iar în a doua paranteză există un factor comun de doi. Să aplicăm formula și să scoatem factorul comun.
(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);
Se poate observa că se obțin două paranteze identice. Le scoatem ca factor comun.
(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y) )*(2*x-y+2);
Răspuns:(2*x+y)*(2*x-y+2);
După cum puteți vedea, nu există o cale universală. Cu experiență, abilitățile vor veni și factorizarea polinomului în factori va fi foarte ușoară.
Aceasta este una dintre cele mai elementare moduri de a simplifica o expresie. Pentru a aplica această metodă, să ne amintim legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea (nu vă fie teamă de aceste cuvinte, cu siguranță cunoașteți această lege, poate că ați uitat numele ei).
Legea spune: pentru a înmulți suma a două numere cu un al treilea număr, trebuie să înmulțiți fiecare termen cu acest număr și să adăugați rezultatele, cu alte cuvinte,.
Puteți face și operația inversă, aici este operare inversă suntem interesați. După cum se poate observa din eșantion, factorul comun a poate fi scos din paranteză.
O operație similară se poate face atât cu variabile, precum și, de exemplu, cât și cu numere: .
Da, acesta este un exemplu prea elementar, la fel ca exemplul dat mai devreme, cu extinderea unui număr, pentru că toată lumea știe ce numere sunt și sunt divizibile cu, dar dacă ai obține o expresie mai complicată:
Cum să aflați în ce, de exemplu, este împărțit un număr, nu, cu un calculator, oricine poate, dar fără el este slab? Și pentru aceasta există semne de divizibilitate, aceste semne chiar merită cunoscute, vă vor ajuta să înțelegeți rapid dacă este posibil să scoateți factorul comun din paranteză.
Semne de divizibilitate
Nu este atât de greu să le amintiți, cel mai probabil, majoritatea vă erau deja familiare și ceva va fi o nouă descoperire utilă, mai multe detalii în tabel:
Notă: Tabelul nu are un semn de divizibilitate cu 4. Dacă ultimele două cifre sunt divizibile cu 4, atunci întregul număr este divizibil cu 4.
Ei bine, cum vă place semnul? Vă sfătuiesc să vă amintiți!
Ei bine, să revenim la expresie, o putem scoate din paranteză și e suficient din ea? Nu, se obișnuiește ca matematicienii să simplifice, deci la maxim, scoate TOT ce este scos!
Și așa, totul este clar pentru jucător, dar cum rămâne cu partea numerică a expresiei? Ambele numere sunt impare, așa că nu puteți împărți cu
Puteți folosi semnul divizibilității cu, suma cifrelor și, din care constă numărul, este egal și este divizibil cu, ceea ce înseamnă că este divizibil cu.
Știind acest lucru, puteți împărți în siguranță într-o coloană, ca urmare a împărțirii la noi (semnele de divizibilitate au fost utile!). Astfel, putem scoate numărul din paranteză, la fel ca y, și ca rezultat avem:
Pentru a vă asigura că totul este descompus corect, puteți verifica expansiunea prin înmulțire!
De asemenea, factorul comun poate fi eliminat în expresiile de putere. Aici, de exemplu, vedeți factorul comun?
Toți membrii acestei expresii au x - scoatem, toți sunt împărțiți prin - scoatem din nou, ne uităm la ce s-a întâmplat: .
2. Formule de înmulțire prescurtate
Formulele de înmulțire abreviate au fost deja menționate în teorie, dacă cu greu vă puteți aminti ce este, atunci ar trebui să le reîmprospătați în memorie.
Ei bine, dacă te consideri foarte inteligent și ești prea lene să citești un astfel de nor de informații, atunci citește mai departe, uită-te la formule și ia imediat exemplele.
Esența acestei expansiuni este să observați în expresia dinaintea dvs. câteva anumită formulă, aplicați-l și obțineți astfel produsul dintre ceva și ceva, asta e tot descompunere. Următoarele sunt formulele:
Acum încercați să factorizați următoarele expresii folosind formulele de mai sus:
Și iată ce ar fi trebuit să se întâmple:
După cum ați observat, aceste formule sunt foarte mod eficient factorizare, nu este întotdeauna potrivită, dar poate fi foarte utilă!
3. Metoda de grupare sau grupare
Iată un alt exemplu pentru tine:
Ei bine, ce ai de gând să faci cu el? Pare a fi divizibil prin și în ceva, și ceva în și în
Dar nu poți împărți totul într-un singur lucru, ei bine nu există un factor comun, cum să nu căutați ce și să o lăsați fără factoring?
Aici trebuie să dai dovadă de ingeniozitate, iar numele acestei ingeniozități este o grupare!
Este folosit doar atunci când nu toți membrii au divizori comuni. Pentru grupare ai nevoie găsiți grupuri de termeni care au divizori comuniși rearanjați-le astfel încât să se poată obține același multiplicator de la fiecare grup.
Desigur, nu este necesar să rearanjați în locuri, dar acest lucru oferă vizibilitate, pentru claritate, puteți lua părți individuale ale expresiei între paranteze, nu este interzis să le puneți atât cât doriți, principalul lucru este să nu confunda semnele.
Toate acestea nu sunt foarte clare? Hai sa explic cu un exemplu:
Într-un polinom - puneți un membru - după membru - obținem
grupăm primii doi termeni într-o paranteză separată și grupăm al treilea și al patrulea termen în același mod, lăsând semnul minus în afara parantezei, obținem:
Și acum ne uităm separat la fiecare dintre cele două „grămădițe” în care am spart expresia cu paranteze.
Trucul este să-l împărțim în astfel de grămezi din care să se poată scoate cel mai mare factor posibil sau, ca în acest exemplu, să încercăm să grupăm membrii astfel încât după scoaterea factorilor din paranteze din grămezi, au aceleași expresii între paranteze.
Din ambele paranteze scoatem factorii comuni ai membrilor, din prima paranteză, iar din a doua paranteză, obținem:
Dar nu este descompunere!
Pmăgar descompunerea ar trebui să rămână doar înmulțire, dar deocamdată avem un polinom simplu împărțit în două părți...
DAR! Acest polinom are un factor comun. aceasta
în afara suportului și obținem produsul final
Bingo! După cum puteți vedea, există deja un produs și în afara parantezei nu există nici adunare, nici scădere, descompunerea este completă, deoarece nu mai avem ce scoate din paranteze.
Poate părea un miracol că, după ce am scos factorii din paranteze, mai avem aceleași expresii între paranteze, pe care, din nou, le-am scos din paranteze.
Și asta nu este deloc un miracol, adevărul este că exemplele din manuale și din examen sunt special făcute în așa fel încât majoritatea expresiilor din sarcini de simplificare sau factorizarea cu abordarea corectă a acestora, sunt ușor de simplificat și se prăbușesc brusc ca o umbrelă atunci când apăsați un buton, așa că căutați chiar acel buton în fiecare expresie.
Ceva am divaga, ce avem acolo cu simplificarea? Polinomul complicat a luat o formă mai simplă: .
De acord, nu este atât de voluminos ca înainte?
4. Selectarea unui pătrat plin.
Uneori, pentru a aplica formulele de înmulțire prescurtată (repetați subiectul), este necesar să transformați polinomul existent prezentând unul dintre termenii săi ca sumă sau diferență a doi termeni.
În acest caz, trebuie să faceți acest lucru, veți învăța din exemplu:
Un polinom în această formă nu poate fi descompus folosind formule de înmulțire prescurtate, deci trebuie convertit. Poate că la început nu vă va fi evident ce termen să împărțiți în care, dar cu timpul veți învăța să vedeți imediat formulele de înmulțire prescurtată, chiar dacă acestea nu sunt prezente în întregime, și veți determina rapid ce lipsește aici înainte formula completa, dar deocamdată - studiază, student, sau mai degrabă școlar.
Pentru formula completă a pătratului diferenței, aici aveți nevoie în schimb. Să reprezentăm al treilea termen ca diferență, obținem: putem aplica formula pătratului diferenței expresiei dintre paranteze (a nu se confunda cu diferența de pătrate!!!), avem: , acestei expresii, putem aplica formula pentru diferența de pătrate (a nu se confunda cu diferența la pătrat!!!), imaginându-ne cum, obținem: .
Expresia nu întotdeauna factorizată pare mai simplă și mai mică decât era înainte de descompunere, dar în această formă devine mai mobilă, în sensul că nu vă puteți îngrijora de schimbarea semnelor și a altor prostii matematice. Ei bine, aici este pentru tine decizie independentă, trebuie luate în considerare următoarele expresii.
Exemple:
Raspunsuri:
5. Factorizarea unui trinom pătrat
Pentru factorizarea unui trinom pătrat, vezi mai jos în exemplele de descompunere.
Exemple de 5 metode pentru factorizarea unui polinom
1. Scoaterea factorului comun din paranteze. Exemple.
Vă amintiți ce este legea distributivă? Aceasta este o astfel de regulă:
Exemplu:
Factorizați un polinom.
Soluţie:
Alt exemplu:
Multiplica.
Soluţie:
Dacă întregul termen este scos din paranteze, unul rămâne între paranteze în locul lui!
2. Formule pentru înmulțirea prescurtată. Exemple.
Cele mai utilizate formule sunt diferența de pătrate, diferența de cuburi și suma de cuburi. Îți amintești aceste formule? Daca nu, repeta urgent subiectul!
Exemplu:
Factorizați expresia.
Soluţie:
În această expresie, este ușor să aflați diferența de cuburi:
Exemplu:
Soluţie:
3. Metoda grupării. Exemple
Uneori este posibil să se schimbe termenii în așa fel încât unul și același factor să poată fi extras din fiecare pereche de termeni vecini. Acest factor comun poate fi scos din paranteză și polinomul original se va transforma într-un produs.
Exemplu:
Factorizați polinomul.
Soluţie:
Grupăm termenii după cum urmează:
.
În primul grup, scoatem factorul comun din paranteze, iar în al doilea -:
.
Acum, factorul comun poate fi scos și din paranteze:
.
4. Metoda de selecție a unui pătrat complet. Exemple.
Dacă polinomul poate fi reprezentat ca diferența pătratelor a două expresii, nu rămâne decât să aplicați formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate).
Exemplu:
Factorizați polinomul.
Soluţie:Exemplu:
\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(pătrat\ sume\ ((\left (x+3 \right))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\stanga(x+3+4\dreapta)\stanga(x+3-4\dreapta)=\stanga(x+7\dreapta)\stanga(x-1 \dreapta) \\
\end(matrice)
Factorizați polinomul.
Soluţie:
\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(pătrat\ diferențe((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \dreapta))^(2))-5= \\
=\stânga(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \dreapta)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \dreapta) \\
\end(matrice)
5. Factorizarea unui trinom pătrat. Exemplu.
Un trinom pătrat este un polinom de forma, unde este o necunoscută, sunt, de asemenea, unele numere.
Valorile variabile care transformă trinomul pătrat la zero se numesc rădăcini ale trinomului. Prin urmare, rădăcinile unui trinom sunt rădăcinile unei ecuații pătratice.
Teorema.
Exemplu:
Să factorizăm trinomul pătrat: .
În primul rând, rezolvăm ecuația pătratică: Acum putem scrie factorizarea acestui trinom pătrat în factori:
Acum parerea ta...
Am descris în detaliu cum și de ce să factorizezi un polinom.
Am dat o mulțime de exemple despre cum să o facem în practică, am subliniat capcanele, am dat soluții...
Ce spui?
Cum îți place acest articol? Folosești aceste trucuri? Le intelegi esenta?
Scrie in comentarii si... pregateste-te de examen!
Până acum, este cel mai important lucru din viața ta.
Polinoamele sunt cel mai important tip de expresii matematice. Pe baza polinoamelor, a fost construit un set de ecuații, inegalități și funcții. Problemele cu diferite niveluri de complexitate conțin adesea etape de transformare versatilă a polinoamelor. Deoarece din punct de vedere matematic orice polinom este o sumă algebrică a mai multor monomii, cea mai fundamentală și necesară schimbare este transformarea unei serii de polinom într-un produs de doi (sau mai mulți) factori. În ecuațiile care au posibilitatea de a pune la zero una dintre părți, translația polinomului în factori vă permite să echivalați o parte cu zero și, astfel, să rezolvați întreaga ecuație.
Tutorialele video anterioare ne-au arătat că în algebra liniară există trei moduri principale de a traduce polinoamele în factori. Acest lucru înseamnă scoaterea din paranteze a factorului comun, regruparea în funcție de termeni similari, folosind formule de înmulțire abreviate. Dacă toți membrii polinomului au o bază comună, atunci acesta poate fi ușor scos din paranteze, lăsând restul diviziunilor sub forma unui polinom modificat între paranteze. Dar cel mai adesea, un factor nu se potrivește tuturor monomiilor, afectând doar o parte dintre ele. În acest caz, cealaltă parte a monomiilor poate avea propria lor bază comună. În astfel de cazuri, se aplică o metodă de grupare - de fapt, inserând mai mulți factori și creând expresie complexă, care poate fi convertit în alte moduri. Și, în sfârșit, există un întreg complex de formule speciale. Toate sunt formate prin calcule abstracte folosind metoda celei mai simple înmulțiri termen cu termen. În timpul calculelor, multe elemente din expresia inițială sunt reduse, lăsând polinoame mici. Pentru a nu efectua calcule încăpătoare de fiecare dată, puteți utiliza formule gata făcute, variantele lor inverse sau concluzii generalizate ale acestor formule.
În practică, se întâmplă adesea ca într-un exercițiu să combinați mai multe tehnici, inclusiv cele din categoria transformărilor polinomiale. Luați în considerare un exemplu. Factorizare prin binom:
Scoatem factorul comun 3 din paranteze:
3x3 - 3x2 = 3x(x2 - y2)
După cum puteți vedea în videoclip, a doua paranteză conține diferența de pătrate. Aplicăm formula de înmulțire abreviată inversă, obținând:
3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)
Alt exemplu. Să transformăm o expresie de forma:
18a2 - 48a + 32
Reducem coeficienții numerici prin așezarea doi:
18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)
Pentru a găsi o formulă de înmulțire prescurtată potrivită pentru acest caz, este necesar să ajustați ușor expresia prin potrivirea formulei la condițiile:
2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)
Uneori, o formulă într-o expresie confuză nu este atât de ușor de văzut. Trebuie să aplicați metodele de descompunere a expresiei în elementele sale constitutive sau să adăugați perechi imaginare de construcții, cum ar fi +x-x. Corectând expresia, trebuie să respectăm regulile de succesiune a semnelor și păstrarea sensului expresiei. În același timp, ar trebui să încercați să aduceți polinomul în conformitate deplină cu versiunea abstractă a formulei. În exemplul nostru, aplicăm formula pătratului diferenței:
2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)
Să facem un exercițiu mai dificil. Să factorizăm polinomul:
U3 - 3y2 + 6y - 8
Pentru început, să realizăm o grupare convenabilă - primul și al patrulea element într-un singur grup, al doilea și al treilea - în al doilea:
Y3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)
Rețineți că semnele din a doua paranteză au fost inversate, deoarece am mutat minusul din expresie. În primele paranteze putem scrie:
(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)
Acest lucru vă permite să aplicați formula de înmulțire redusă pentru a găsi diferența de cuburi:
(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)
Scoatem factorul comun 3y din a doua paranteză, după care scoatem parantezele (y - 2) din întreaga expresie (binomul), dăm termeni similari:
(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)
Într-o aproximare generală, există un anumit algoritm de acțiuni la rezolvarea unor astfel de exerciții.
1. Căutăm factori comuni pentru întreaga expresie;
2. Grupăm monomii similare, căutăm factori comuni pentru ele;
3. Încercăm să punem în paranteză expresia cea mai potrivită;
4. Aplicam formulele de inmultire abreviata;
5. Dacă la un moment dat procesul nu merge, intrăm într-o pereche imaginară de expresii de forma -x + x, sau alte construcții auto-anulabile;
6. Oferim termeni similari, reducem elementele inutile
Toate punctele algoritmului sunt rareori aplicabile într-o singură sarcină, dar cursul general de rezolvare a oricărui exercițiu pe un subiect poate fi urmat într-o anumită ordine.