scaun" matematica superioara»

Completat de: Matveev F.I.

Verificat de: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Metode numerice de integrare

2. Derivarea formulei lui Simpson

3.Ilustrație geometrică

4. Alegerea etapei de integrare

5.Exemple

1. Metode numerice de integrare

Problema integrării numerice este de a calcula integrala

printr-o serie de valori ale integrandului .

Problemele de integrare numerică trebuie rezolvate pentru funcțiile date într-un tabel, o funcție ale cărei integrale nu sunt luate în functii elementare, etc. Luați în considerare numai funcțiile unei variabile.

În loc de funcția care trebuie integrată, să integrăm polinomul de interpolare. Metodele bazate pe înlocuirea integrandului cu un polinom de interpolare fac posibilă estimarea preciziei rezultatului prin parametrii polinomului sau selectarea acestor parametri pentru o precizie dată.

Metodele numerice pot fi grupate condiționat după metoda aproximării integranților.

Metodele Newton-Cotes se bazează pe aproximarea funcției

polinom de grad. Algoritmul acestei clase diferă doar prin gradul polinomului. De regulă, nodurile polinomului de aproximare sunt egal legate.

Metodele de integrare spline se bazează pe aproximarea funcției

polinom spline-pe bucăți.

Metodele cu cea mai mare acuratețe algebrică (metoda Gauss) folosesc noduri neechivalente special selectate care asigură eroarea minimă de integrare pentru un număr dat (ales) de noduri.

Metodele Monte Carlo sunt folosite cel mai des în calculul integralelor multiple, nodurile sunt alese aleatoriu, răspunsul este probabilist.

eroare totală eroare de trunchiere

eroare de rotunjire

Indiferent de metoda aleasă, în procesul de integrare numerică, este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a integralei și să se estimeze eroarea. Eroarea scade pe măsură ce numărul n crește

partiții ale segmentului

. Cu toate acestea, acest lucru crește eroarea de rotunjire.

prin însumarea valorilor integralelor calculate pe segmente parțiale.

Eroarea de trunchiere depinde de proprietățile integrandului și de lungime

tăiere parțială.

2. Derivarea formulei lui Simpson

Dacă pentru fiecare pereche de segmente

construim un polinom de gradul doi, apoi îl integrăm și folosim proprietatea de aditivitate a integralei, apoi obținem formula Simpson. Luați în considerare integrandul pe interval . Să înlocuim acest integrand cu un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi care coincide cu punctele:

Să ne integrăm

și se numește formula lui Simpson.

Obținut pentru integrală

valoarea coincide cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de axă, linii drepte și o parabolă care trece prin puncte

Să estimăm acum eroarea de integrare prin formula Simpson. Vom presupune că

există derivate continue pe interval. Compuneți diferența

Teorema valorii medii poate fi deja aplicată la fiecare dintre aceste două integrale, deoarece

este continuă activată și funcția este nenegativă pe primul interval de integrare și nepozitivă pe al doilea (adică nu își schimbă semnul pe fiecare dintre aceste intervale). Asa de:

(am folosit teorema valorii medii deoarece

- functie continua; ).

diferenţierea

de două ori și apoi aplicând teorema valorii medii, obținem o altă expresie pentru , unde

Din ambele estimări pentru

rezultă că formula lui Simpson este exactă pentru polinoamele de gradul cel mult trei. Să scriem formula lui Simpson, de exemplu, sub forma: , .

Dacă segmentul

integrarea este prea mare, apoi se împarte în părți egale (presupunând ), după care se aplică formula Simpson fiecărei perechi de segmente adiacente , ,... și anume:

Scriem formula Simpson în vedere generala.

Catedra de Matematică Superioară

Completat de: Matveev F.I.

Verificat de: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Metode numerice de integrare

2. Derivarea formulei lui Simpson

3.Ilustrație geometrică

4. Alegerea etapei de integrare

5.Exemple

1. Metode numerice de integrare

Problema integrării numerice este de a calcula integrala

Printr-o serie de valori ale integrandului.

Problemele de integrare numerică trebuie rezolvate pentru funcțiile date într-un tabel, o funcție ale cărei integrale nu sunt luate în funcții elementare și așa mai departe. Luați în considerare numai funcțiile unei variabile.

Metodele numerice pot fi grupate condiționat după metoda aproximării integranților.

Metodele Newton-Cotes se bazează pe aproximarea unei funcții printr-un polinom de grade. Algoritmul acestei clase diferă doar prin gradul polinomului. De regulă, nodurile polinomului de aproximare sunt egal legate.

Metodele de integrare spline se bazează pe aproximarea unei funcții printr-un polinom spline pe bucăți.

Metodele cu cea mai mare acuratețe algebrică (metoda Gauss) folosesc noduri neechivalente special selectate care asigură eroarea minimă de integrare pentru un număr dat (ales) de noduri.

Metodele Monte Carlo sunt folosite cel mai des în calculul integralelor multiple, nodurile sunt alese aleatoriu, răspunsul este probabilist.

eroare totala

eroare de trunchiere

eroare de rotunjire

divizarea segmentului . Cu toate acestea, acest lucru crește eroarea de rotunjire.

prin însumarea valorilor integralelor calculate pe segmente parțiale.

Eroarea de trunchiere depinde de proprietățile integrandului și de lungimea segmentului parțial.

2. Derivarea formulei lui Simpson

Dacă pentru fiecare pereche de segmente construim un polinom de gradul doi, apoi îl integrăm și folosim proprietatea de aditivitate a integralei, atunci obținem formula Simpson.

Luați în considerare integrandul pe interval . Să înlocuim acest integrand cu un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi care coincide cu punctele:

Să integrăm:

și se numește formula lui Simpson.

Valoarea obținută pentru integrală coincide cu aria trapezului curbiliniu delimitată de axă, linii drepte și parabola care trece prin puncte

Să estimăm acum eroarea de integrare prin formula Simpson. Presupunem că y are derivate continue pe interval . Compuneți diferența

Teorema valorii medii poate fi deja aplicată fiecăreia dintre aceste două integrale, deoarece funcția este continuă și funcția este nenegativă pe primul interval de integrare și nepozitivă pe al doilea (adică nu schimbă semnul pe fiecare dintre aceste intervale). Asa de:

(am folosit teorema valorii medii, deoarece este o funcție continuă; ).

Diferențiând de două ori și apoi aplicând teorema valorii medii, obținem o altă expresie pentru:

, Unde

Din ambele estimări rezultă că formula lui Simpson este exactă pentru polinoamele de gradul cel mult trei. Scriem formula Simpson, de exemplu, ca:

Dacă segmentul de integrare este prea mare, atunci este împărțit în părți egale (presupunând ), după care la fiecare pereche de segmente adiacente , ,..., aplicați formula Simpson și anume:

Scriem formula Simpson în formă generală:

Eroarea formulei Simpson - metoda de ordinul al patrulea:

, (3)

Deoarece metoda Simpson vă permite să obțineți o precizie ridicată, dacă nu prea mare. În caz contrar, metoda de ordinul doi poate oferi o precizie mai mare.

De exemplu, pentru o funcție, forma trapezoidală la for dă rezultatul exact , în timp ce prin formula Simpson obținem

3. Ilustrație geometrică

Pe un segment de lungime 2h se construiește o parabolă care trece prin trei puncte, . Aria de sub parabolă cuprinsă între axa OX și liniile drepte se consideră egală cu integrala.

O caracteristică a aplicării formulei Simpson este faptul că numărul de partiții ale segmentului de integrare este par.

Dacă numărul de segmente de partiție este impar, atunci pentru primele trei segmente se aplică o formulă folosind o parabolă de gradul trei care trece prin primele patru puncte pentru a aproxima integrandul.

(4)

Aceasta este formula lui Simpson de „trei optime”.

Pentru un interval arbitrar de integrare, formula (4) poate fi „continuată”; numărul de segmente parțiale trebuie să fie un multiplu de trei (puncte).

, m=2,3,... (5)

întreaga parte

Puteți obține formulele Newton-Cotes de ordine superioară:

(6)

Numărul de segmente de partiție;

Gradul polinomului utilizat;

Derivată de ordinul al-lea la punctul ;

Etapa împărțită.

Tabelul 1 enumeră coeficienții. Fiecare rând corespunde unui set de noduri gap pentru a construi un polinom de gradul k. Pentru a utiliza această schemă pentru mai multe seturi (de exemplu, cu k=2 și n=6), trebuie să „continuați” coeficienții și apoi să îi adăugați.

Tabelul 1:

Algoritmul de estimare a erorii formulelor trapezoid și Simpson poate fi scris ca: (7),

unde este un coeficient care depinde de metoda de integrare și de proprietățile integrandului;

h - etapa de integrare;

p este ordinea metodei.

Regula lui Runge este folosită pentru a calcula eroarea prin calculul dublu al integralei cu pașii h și kh.

(8) - estimare a posteriori. Atunci Iref.= +Ro (9), valoarea rafinată a integralei .

Dacă ordinea metodei este necunoscută, este necesar să se calculeze I a treia oară în incremente de , adică:

dintr-un sistem de trei ecuații:

cu necunoscut I,Ași p obținem:

Din (10) rezultă (11)

Astfel, metoda calculului dublu, folosită de numărul necesar de ori, vă permite să calculați integrala cu un anumit grad de precizie. Alegerea numărului necesar de partiții se efectuează automat. În acest caz, se pot folosi apeluri multiple la subprogramele metodelor de integrare corespunzătoare fără a modifica algoritmii acestor metode. Cu toate acestea, pentru metodele care utilizează noduri echidistante, este posibilă modificarea algoritmilor și înjumătățirea numărului de calcule ale integrandului utilizând sumele integrale acumulate în timpul mai multor partiții anterioare ale intervalului de integrare. Două valori aproximative ale integralei și, calculate prin metoda trapezului cu pașii și , sunt legate prin relația:

În mod similar, pentru integralele calculate prin formula cu pași și , relațiile sunt valabile:

(13)

4. Alegerea etapei de integrare

Pentru a alege pasul de integrare, puteți folosi expresia termenului rămas. Luați, de exemplu, termenul rămas al formulei lui Simpson:

Dacă ê ê, atunci ê ê .

Având în vedere acuratețea e a metodei de integrare, determinăm pasul potrivit din ultima inegalitate.

, .

Cu toate acestea, această metodă necesită evaluare (ceea ce nu este întotdeauna posibil în practică). Prin urmare, folosesc alte metode pentru determinarea estimării preciziei, care, în cursul calculelor, fac posibilă alegerea pasului h necesar.

Să aruncăm o privire la una dintre aceste metode. Lasa

unde este valoarea aproximativă a integralei cu pasul . Reduceți pasul la jumătate, împărțind segmentul în două părți egale și ().

Să presupunem acum că nu se schimbă prea repede, astfel încât este aproape constantă: . Apoi și , Unde , adică .

De aici putem trage concluzia că dacă , adică dacă , , și este precizia necesară, atunci pasul este potrivit pentru calcularea integralei cu suficientă precizie. Dacă , atunci calculul se repetă cu un pas și apoi se compară și așa mai departe. Această regulă se numește regula lui Runge.

Cu toate acestea, atunci când se aplică regula Runge, este necesar să se țină cont de mărimea erorii de calcul: cu o scădere, eroarea absolută în calculul integralei crește (dependența de este invers proporțională) și, pentru valori suficient de mici , se poate dovedi a fi mai mare decât eroarea metodei. Dacă depășește , atunci regula Runge nu poate fi aplicată pentru acest pas și nu poate fi atinsă precizia dorită. În astfel de cazuri este necesară creșterea valorii de .

În derivarea regulii lui Runge, ați folosit în esență presupunerea că . Dacă există doar un tabel de valori, atunci verificarea „pentru constanță” se poate face direct conform tabelului. părți diferite interval de integrare, în funcție de proprietăți, numărul de calcule ale integrandului scade.

O altă schemă de rafinare a valorilor integralei este procesul Eitnen. Integrala se calculează cu pași și . Calculul valorilor. Apoi (14).

Următoarea valoare este luată ca măsură a acurateței metodei Simpson:

5. Exemple

Exemplul 1 Calculați integrala folosind formula Simpson, dacă este dată de tabel. Estimați eroarea.

Tabelul 3

Rezolvare: Calculați prin formula (1) pentru și integrală .

Conform regulii lui Runge, obținem Accept .

Exemplul 2 Calculați integrala .

Soluție: Avem . Prin urmare, h==0,1. Rezultatele calculului sunt prezentate în tabelul 4.

Tabelul 4

Calculul integralei folosind formula Simpson

y0=1,00000; -0,329573ê3.

Estimări pentru eroarea metodei Simpson: £ 0,0000017 pentru =0,1, £ 0,0000002 pentru =0,05.

Pentru ca eroarea de rotunjire să nu denatureze un rezultat atât de precis pentru formula Simpson, toate calculele au fost efectuate cu șase zecimale.

Rezultate finale:

Pentru a găsi o integrală definită prin metoda trapezului, aria unui trapez curbiliniu este, de asemenea, împărțită în n trapez dreptunghiular cu înălțimile h și bazele y 1 , y 2 , y 3 ,..y n , unde n este numărul trapezului dreptunghiular. Integrala va fi numeric egală cu suma ariilor trapezelor dreptunghiulare (Figura 4).

Orez. 4

n - numărul de împărțiri

Eroarea formulei trapezului este estimată prin număr

Eroarea formulei trapezului scade mai repede cu creșterea decât eroarea formulei dreptunghiului. Prin urmare, formula trapezoidală vă permite să obțineți mai multă precizie decât metoda dreptunghiului.

Formula Simpson

Dacă pentru fiecare pereche de segmente construim un polinom de gradul doi, apoi îl integrăm pe segment și folosim proprietatea de aditivitate a integralei, atunci obținem formula Simpson.

În metoda lui Simpson de calcul a integralei definite, întregul interval de integrare este împărțit în subintervale de lungime egală h=(b-a)/n. Numărul de segmente de partiție este un număr par. Apoi, pe fiecare pereche de subintervale adiacente, funcția subintegrală f(x) este înlocuită cu un polinom Lagrange de gradul doi (Figura 5).

Orez. 5 Funcția y=f(x) pe segment este înlocuită cu un polinom de ordinul 2

Luați în considerare integrandul pe interval. Să înlocuim acest integrand cu un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi care coincide cu y= în punctele:

Să integrăm pe interval:

Introducem o schimbare de variabile:

Având în vedere formulele de înlocuire,

După integrare, obținem formula Simpson:

Valoarea obținută pentru integrală coincide cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de o axă, linii drepte și o parabolă care trece prin puncte. Pe un segment, formula lui Simpson va arăta astfel:

În formula parabolă, valoarea funcției f (x) la punctele impare de împărțire x 1, x 3, ..., x 2n-1 are un coeficient de 4, la punctele pare x 2, x 4, ... , x 2n-2 - coeficientul 2 și în două puncte de limită x 0 =a, x n =b - coeficientul 1.

Semnificația geometrică a formulei lui Simpson: aria unui trapez curbiliniu sub graficul funcției f(x) pe un segment este aproximativ înlocuită cu suma ariilor figurilor aflate sub parabole.

Dacă funcția f(x) are o derivată continuă de ordinul al patrulea, atunci valoarea absolută a erorii formulei Simpson nu este mai mare de

unde M - cea mai mare valoare pe segment. Deoarece n 4 crește mai repede decât n 2 , eroarea formulei lui Simpson scade odată cu creșterea n mult mai rapid decât eroarea formulei trapezoidale.

Calculăm integrala

Această integrală este ușor de calculat:

Să luăm n egal cu 10, h=0,1, să calculăm valorile integrandului la punctele de partiție, precum și punctele semiîntregi.

Conform formulei dreptunghiurilor din mijloc, obținem I drept = 0,785606 (eroarea este 0,027%), conform formulei trapezoidale I capcană = 0,784981 (eroarea este de aproximativ 0,054. Când folosiți metoda dreptunghiurilor drepte și stângi, eroarea este mai mare de 3%.

Pentru a compara acuratețea formulelor aproximative, calculăm încă o dată integrala

dar acum prin formula Simpson pentru n=4. Împărțim segmentul în patru părți egale cu puncte x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 și calculăm aproximativ valorile al funcției f (x) \u003d 1 / ( 1+x) în aceste puncte: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Prin formula lui Simpson, obținem

Să estimăm eroarea rezultatului obținut. Pentru integrandul f(x)=1/(1+x) avem: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , de unde rezultă că pe segmentul . Prin urmare, putem lua M=24, iar eroarea rezultată nu depășește 24/(2880 4 4)=0,0004. Comparând valoarea aproximativă cu cea exactă, ajungem la concluzia că eroarea absolută a rezultatului obținut prin formula Simpson este mai mică de 0,00011. Aceasta este în conformitate cu estimarea erorii prezentată mai sus și, în plus, indică faptul că formula Simpson este mult mai precisă decât formula trapezoidală. Prin urmare, formula Simpson pentru calculul aproximativ al integralelor definite este utilizată mai des decât formula trapezoidală.

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completa munca este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere

Deja în clasa a X-a, mă gândesc dacă va trebui să dau examenul de profil la matematică. Hotărând USE sarcini, am dat peste sarcini pentru găsirea volumului de poliedre și corpuri de revoluție, deși acestea sunt sarcini din programul de clasa a XI-a. Intrigat de această întrebare, am învățat asta datorită diversității forme geometrice corpuri, există un număr mare de formule pentru găsirea zonelor și a volumului (fiecare figură și fiecare corp are propria formulă). Având în vedere formulele din geometrie, am fost convins că un număr mare de formule sunt asociate cu ariile și volumele figurilor. Există mai mult de douăsprezece astfel de formule în ceea ce privește zonele figurilor plate și mai mult de zece în ceea ce privește volumele corpurilor spațiale.

Și m-am întrebat întrebare: există o formulă atât de universală pentru găsirea ariei și volumului formelor și corpurilor geometrice?

Consider tema acestui proiect relevante nu numai în rândul elevilor, ci și în rândul adulților, pentru că programa școlară este uitată în timp și puțini oameni știu că există o astfel de formulă care combină toate celelalte formule numeroase și greu de reținut pentru găsirea volumului.

Problemă

Este necesar să se introducă în predarea geometriei o formulă universală care să facă posibilă înlocuirea un numar mare de formule pentru zonele figurilor plane și volumele corpurilor spațiale.

Ipoteză

În secolul XYIII, matematicianul englez Thomas Simpson a derivat o formulă pentru găsirea anumitor zone de figuri plate și volume de corpuri spațiale prin calcularea ariilor bazelor inferioare, superioare și mijlocii.

Presupun că această formulă universală vă va permite să înlocuiți toate formulele de mai sus și să le faceți ușor de reținut.

Obiectiv: pentru a demonstra că formula universală Simpson poate înlocui toate formulele de suprafață și volum studiate la cursul de geometrie școlară și poate fi folosită nu numai în practică, ci și la examene, inclusiv la examen.

Sarcini de lucru:

Să studieze principalele caracteristici ale solidelor geometrice de stereometrie: prisme, piramide, conuri, cilindri, bile;

Consultați literatura disponibilă pe această temă.

Folosind formula universală, obțineți formule pentru suprafețe și volume pentru toate figurile și corpurile.

Comparați formulele obținute cu formulele oferite în manual.

Familiarizați elevii de liceu cu această formulă și aflați cu ajutorul unui chestionar dacă este convenabil să o folosiți atunci când vă pregătiți pentru examene.

Semnificația practică a muncii mele: Rezultatele acestei lucrări pot fi utilizate în practica școlară, și anume, utilizate în clasă în geometrie și algebră , în pregătirea şi susţinerea examenului.

Capitolul 1 Scurte caracteristici proprietățile corpurilor geometrice

Cursul de geometrie școlară este împărțit în planimetrie și geometrie solidă. Din clasa a VII-a până în clasa a IX-a, am studiat proprietățile figurilor în plan, inclusiv formulele pentru găsirea ariilor acestora (Anexa 1-2).

În cursul clasei a X-a, am început să studiez secțiunea de geometrie-stereometrie, în care sunt studiate proprietățile figurilor din spațiu. Când am scris lucrarea, am luat în considerare corpurile geometrice și suprafețele lor. Corpurile geometrice volumetrice sunt împărțite în poliedre și corpuri de revoluție.

Poliedru- o suprafață compusă din poligoane și delimitând unele corp geometric.

Solide ale revoluției- corpuri geometrice obţinute prin rotaţie în jurul axei sale. Corpul de revoluție: cilindru, con, bilă.

Poliedrele sunt fie convexe, fie neconvexe. Poliedre convexe - situate pe o parte a planului fiecărei fețe. Poliedre neconvexe - situate pe ambele părți ale planului a cel puțin unei fețe.

Piramidă

Paralelipiped

capitolul 2

Thomas Simpson(20 august 1710 - 14 mai 1761) - matematician englez. În 1746, Simpson a fost ales membru al Societății Regale din Londra, iar mai devreme - membru al Societății de Matematică fondată în 1717 la Londra. În 1758 a fost ales membru străin al Academiei Regale de Științe Suedeze. Numit profesor la Academia Militară Regală din Woolwich, Simpson a compilat manuale de matematică elementară. În departamentele speciale de geometrie se iau în considerare problemele celor mai mari și mai mici cantități, rezolvate cu ajutorul geometriei elementare, poliedre regulate, măsurarea suprafețelor, volumelor corpurilor și, în final, probleme mixte.

O formulă minunată există; în plus: este potrivit nu numai pentru calcularea volumului unui cilindru, a unui con complet și a unui trunchi de con, ci și pentru tot felul de prisme, piramide pline și trunchiate și chiar și pentru o minge, precum și pentru calcularea ariilor de figuri de avion. Iată această formulă, cunoscută în matematică ca formula lui Simpson:

unde b 1 - aria (lungimea) bazei inferioare

b 2 - zona (lungimea) bazei mijlocii

b 3 - zona (lungimea) bazei superioare

2.1 Aplicarea formulei lui Simpson pentru derivarea formulelor pentru ariile figurilor plane.

Formula noastră universală. b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, atunci obținem:

Răspuns: S \u003d hb 1

Concluzie. Într-adevăr, aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre bază și înălțime.

Formula universală.

Deoarece ABCD este un trapez, atunci b 2 este linia sa mediană, ceea ce înseamnă

Atunci obținem:

Concluzie. Într-adevăr, aria unui trapez este jumătate din produsul a două baze ori înălțimea.

După ce am efectuat dovezi similare (Anexa 3-4) pentru formulele pentru ariile unui triunghi, dreptunghi, pătrat și romb, am ajuns la concluzia că formula universală Simpson era potrivită pentru calcularea ariilor unor astfel de figuri plate precum: paralelogramul , trapez, triunghi, pătrat, romb, dreptunghi.

2.2. Aplicarea formulei lui Simpson pentru derivarea formulelor pentru volumele corpurilor spațiale.

Deoarece b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, atunci obținem:

Răspuns: V=b 1 h

Dovada propusă în manualul de geometrie de ed. L.S. Atanasyan în Anexa 6.

Concluzie. Într-adevăr, volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. În mod similar, se efectuează demonstrarea derivării formulei pentru volumul unui cilindru (Anexa 5)

Soluție: Deoarece b 1 \u003d 0, dar atunci obținem:

Dovada propusă în manualul de geometrie de ed. L.S. Atanasyan în Anexa 9.

Concluzie. Într-adevăr, volumul unui con este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.În mod similar, se realizează dovada derivării formulei pentru volumul piramidei (Anexa 5)

Atunci obținem:

Concluzie. Formula derivată coincide complet cu formula propusă în manual

Problema 6. Volumul mingii.

Dat: minge

b 3 - zona bazei superioare

Găsiți: Vball.

(Fig. 11. Minge)

Deoarece b 1 \u003d b 3 \u003d 0, h \u003d 2R

Atunci obținem:

Dovada propusă în manualul de geometrie de ed. L.S. Atanasyan în Anexa 10

Concluzie: Formulele pentru volumele tuturor corpurilor spațiale studiate în clasa a XI-a sunt de asemenea ușor derivate folosind formula universală Simpson.

2.3 Aplicarea practică a formulei

Următorul pas în cercetarea mea este uz practic(Vezi Anexa 11-12)

Concluzie. Volumele pentru fiecare model de corpuri geometrice, găsite în două moduri, s-au dovedit a fi egale. Formula lui Simpson este universală pentru corpuri precum piramidă, cilindru, sferă, cub și con.

Am o formulă prin care puteți calcula aproximativ volumul unui trunchi de copac, fără să întrebați ce corp geometric arată: un cilindru, un con plin sau un trunchi de con. Cunoscând densitatea diferitelor tipuri de lemn, puteți calcula greutatea copacului pe viță de vie. Am rezolvat această problemă calculând volumul tijei ca volum al unui cilindru al cărui diametru de bază este egal cu diametrul tijei la mijlocul lungimii sale: rezultatul este, totuși, subestimat, uneori cu 12%. Fără mare eroare, se poate considera că volumul unui copac la rădăcină este jumătate din volumul unui cilindru de aceeași înălțime cu un diametru egal cu diametrul copacului la înălțimea pieptului.

După ce am făcut calculele, după formulele cunoscute de noi mai devreme, am calculat volumul trunchiului de copac pe viță (vezi Anexa 13)

Concluzie. Din întregul studiu se poate concluziona că am o formulă prin care poți calcula aproximativ volumul unui trunchi de copac și, cunoscând densitatea diferitelor tipuri de lemn, poți determina greutatea unui copac pe viță de vie.

capitolul 3

3.1 Cercetare și anchetă

Printre elevii clasei a XI-a am realizat un studiu (vezi Anexa 13).

Scopul studiului: determinarea numărului de formule pe care elevii le pot reproduce fără repetare în 10 minute, i.e. volumul de formule „reziduale”.

Rezultatele au fost după cum urmează (vezi Anexa 14):

Cel mai mare număr de formule reproduse este 41, cel mai mic este 5. Având în vedere că numărul de formule ar putea ajunge la 500 într-un timp nelimitat, am ajuns la concluzia că elevii nu își amintesc un număr mare de formule studiate la școală. Formulele reproduse reprezintă doar 8,2% din numărul total de formule studiate. Cel mai adesea, elevii au reprodus formule de algebră (formule de trigonometrie, formule logaritmice, formule de înmulțire abreviate, formule de rădăcină ecuație pătratică, derivate); în geometrie (formule pentru ariile figurilor plane, unele volume de corpuri spațiale); mai multe formule din fizică (formula energie kinetică, gravitație, frecare și MKT); în informatică () Era firesc, pentru că. Există mai multe formule în matematică decât în orice altă știință.

După ce am văzut rezultatele, am decis să determin motivele unui rezultat atât de scăzut. Am realizat un sondaj (vezi Anexa 14-15) la elevi de clasa a XI-a, în care li s-a cerut să răspundă la următoarele întrebări:

întrebări din chestionar.

Câte formule crezi că ar trebui să știe un absolvent de școală?

A) agitare

B) înțelegere

B) metoda asocierii

D) altele

Rezultatele au fost după cum urmează (vezi Anexa 15).

Intrebarea 1. 60 până la 250 de formule

intrebarea 2. Din răspunsurile primite, putem concluziona că elevii de clasa a XI-a, la memorarea formulelor, încearcă să le înțeleagă sau să folosească memorarea.

Întrebarea 3. Opinia elevilor despre această problemă dispersate, deși diagrama arată că au răspuns în mare parte „da”, adică. elevii consideră că numărul de formule de memorat corespunde nivelului mediu de memorie al elevului.

Întrebarea 4.Aproape toți elevii de clasa a XI-a ar dori să folosească o singură formulă universală în loc de mai multe formule.

3.2 Testare

Acum știu că formula lui Simpson este cu adevărat universală și este foarte posibil să o aplici în viață. Dar este chiar necesar? Pentru a răspunde la această întrebare, am prezentat formula în clasa 11, după care am testat-o (vezi Anexa 16-17) și am obținut următoarele rezultate:

Testul #1

23% au recunoscut că le este greu să-și amintească toate formulele.

17% au spus că nu le este greu să învețe toate formulele, inclusiv formula Simpson.

60% dintre elevi au folosit formula lui Simpson pentru unele corpuri geometrice și i-a ajutat în rezolvarea problemelor.

Testul #2

100% spun că formula lui Simpson este ușor de reținut.

0% au recunoscut că au dificultăți în a-și aminti.

Testul #3

76% vor aplica această formulă în viitor.

24% au recunoscut că este puțin probabil să aibă nevoie de el.

Testul #4

82% cred că formula lui Simpson ar trebui inclusă curiculumul scolar.

0% consideră că formula nu ar trebui inclusă în programa școlară.

18% spun că formula ar trebui inclusă în programa școlară, dar numai la clasele de specialitate.

Testul #5

35% cred că amintirea unei formule pentru determinarea volumului mai multor corpuri geometrice simultan este mult mai ușoară.

59% cred că trebuie reținute toate formulele, inclusiv formula lui Simpson, pentru că nu știi niciodată ce condiții vor fi date.

6% consideră că este suficient să reținem doar formulele incluse în programa școlară.

Această formulă poate fi aplicată și în rezolvarea problemelor, inclusiv a examenului . Voi da exemple de sarcini care au fost date în clasa a 11-a și care au fost rezolvate de elevi fără dificultate:

Sarcina 1 O prismă hexagonală regulată cu o înălțime de 18 cm este înscrisă într-un cilindru cu raza bazei de 4 cm. Aflați volumul prismei.

Sarcina 2 O piramidă patruunghiulară obișnuită, cu o înălțime de 24 cm și o latură de bază de 5 cm, este înscrisă într-un cilindru. Aflați volumul cilindrului.

Concluzie:

Concluzie

În timpul școlii, elevii trebuie să cunoască un număr foarte mare de formule la diverse materii. Sondajul pe care l-am realizat a arătat că nu toți elevii își pot aminti toate aceste formule. Am întâlnit o problemă: este necesară introducerea unei formule universale în predarea geometriei, care să permită înlocuirea unui număr mare de formule pentru zonele figurilor plane și volumele corpurilor spațiale, adică o formulă potrivită pentru mai multe scopuri, îndeplinind diverse funcții.

Am presupus că formula matematicianului englez Thomas Simpson

vă va permite să înlocuiți formulele pentru zonele figurilor și volumele corpurilor cu o singură formulă.

Mi-am propus scopul: să demonstrez că formula universală Simpson poate înlocui toate formulele de suprafață și volum studiate la cursul de geometrie școlară. Am acoperit acest obiectiv în mai multe sarcini.

Ca rezultat al muncii mele, m-am convins că formula Simpson vă permite să demonstrați ușor și rapid teoreme asupra volumelor corpurilor fără a utiliza integrala definita.

Pentru a facilita munca de memorare și de derivare a formulelor, sugerez ca înainte de a studia tema „Pătratul cifrelor”, profesorul să introducă elevilor formula Simpson și să se ofere să derive în mod independent formulele studiate. Dovada oferită în manual poate fi folosită de profesor ca material suplimentar pentru lecție sau ca temă.

Acum, plimbându-te prin pădure, probabil că vei fi interesat de determinarea volumului oricărui copac. Calculați cât este în el metri cubi lemn și, în același timp, cântăriți - pentru a afla dacă ar fi posibil, de exemplu, să luați un astfel de portbagaj pe un cărucior.

Am o formulă prin care puteți calcula aproximativ volumul unui trunchi de copac, fără să întrebați ce corp geometric arată: un cilindru, un con plin sau un trunchi de con.

Consider munca mea utilă, pentru că Am derivat toate formulele pentru zone și volume studiate la școală.

Din rezultatele sondajului, am fost convins că formula Simpson este destul de ușor de reținut și ar trebui inclusă în programa școlară.

Această formulă poate fi folosită și la examene, inclusiv la examen.

Lista literaturii folosite:

Ya.I. Perelman. Algebră distractivă. Interesanta geometrie. - M., „AST”, 1999.

CD ROM. Marea Enciclopedie a lui Chiril și Metodiu, 2002.

L.S. Atanasyan și colab., Geometrie 10-11. Manual pentru instituțiile de învățământ, - M., „Prosveshchenie”, 2002.

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/

https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html

https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona

Anexa 1

Scurte caracteristici ale proprietăților corpurilor geometrice

Triunghi

Anexa 2

Dreptunghi

Anexa 3

b 3 =0 deoarece baza superioară este un punct.

Deoarece b 2 - este într-un triunghi linia de mijloc, atunci obținem:

Concluzie. Într-adevăr, aria unui triunghi este jumătate din produsul bazei și înălțimii.

Rezolvare: - formula universala.

Deoarece ABCD este un pătrat, atunci b 1 \u003d b 2 \u003d b 3 \u003d h, atunci obținem

Anexa 4

Concluzie. Într-adevăr, aria unui pătrat este egală cu pătratul laturii sale.

Rezolvare: - formula universala.

Deoarece ABCD este un dreptunghi, atunci b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, atunci obținem:

Răspuns: S=hb 1 .

Concluzie. Într-adevăr, aria unui dreptunghi este egală cu două laturi adiacente.

Rezolvare: - formula universala.

b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, atunci obținem:

Anexa 5

Problema 2. Volumul cilindrului.

Dat: cilindru

b 1 - zona bazei inferioare:

b 2 - suprafața medie a secțiunii:

b 3 - zona bazei superioare.

Găsiți: Vcilindru

(Fig. 22. Cilindru)

pentru că b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, atunci obținem:

Răspuns: V=b 1 h

Dovada propusă în manualul de geometrie de ed. L.S. Atanasyan în Anexa 7.

Concluzie. Într-adevăr, volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Soluție: Deoarece b 3 \u003d 0, dar atunci obținem:

Răspuns: Dovada propusă în manualul de geometrie de ed. L.S. Atanasyan în Anexa 8.

Anexa 6

Anexa 7

Anexa 8

Anexa 9

Anexa 10

Anexa 11

Sarcina numărul 1. Calculăm volumul modelului cub folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm marginea modelului de cub: a \u003d 10,5 cm. V \u003d a 3 \u003d 1157,625 cm 3

Sarcina numărul 2. Calculăm volumul modelului unei piramide hexagonale obișnuite folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm înălțimea modelului h = 17,2 cm și latura bazei a = 6,5 cm.

Sarcina numărul 3. Calculăm volumul modelului de cilindru folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm înălțimea modelului h = 20,4 cm și raza bazei R = 14 cm.

Anexa 12

	Calculăm S \u003d π * R 2 \u003d 3,14 * 14 2 cm 2, V \u003d S * h \u003d 3,14 * 196 * 20,4 \u003d 12554,976 cm 3 Calculam volumul modelului folosind formula Simpson V = h/6(S baza inferioară + S baza superioară + 4S secțiunea mijlocie):
Zonele bazei superioare, inferioare și secțiunii din mijloc sunt egale între ele S \u003d π * R 2 \u003d 3,14 * 14 2 \u003d 615,44 cm 2, h \u003d 20,4 cm. V \u003d 20,4 / 6 * (20,4 + 20,4) \u003d 12554,976 cm 3
Sarcina numărul 4. Calculăm volumul modelului de con folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm înălțimea modelului h = 21 cm și raza bazei R = 6 cm.
Sarcina numărul 5. Calculăm volumul modelului mingii folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm raza bilei R = 7 cm.

Anexa 13

Calcul de mesteacan:

Calcul pentru aspen.

Calcul pentru pin.

Anexa 14

Rezultatele studiului „Determinarea domeniului de aplicare a” „formulelor” reziduale

Diagrama 1. Determinarea numărului de formule „reziduale”.

Diagrama 2. Subiecte pentru care sunt indicate formule.

Anexa 15

Ce metodă folosești pentru a memora formulele?

A) agitare

B) înțelegere

B) metoda asocierii

D) altele

Diagrama 3. Metode de memorare a formulelor

Crezi că numărul de formule de memorat corespunde nivelului mediu de memorie al elevului?

Diagrama 4. Respectarea numărului de formule cu nivelul de memorie al elevului mediu

Crezi că, pentru a reține mai bine multe formule, trebuie să folosești o singură formulă universală?

Diagrama 5. Necesitatea unei formule universale

Anexa 16

Anexa 17

Pentru a construi formula Simpson, luăm mai întâi în considerare următoarea problemă: calculați aria S a unui trapez curbiliniu mărginit de sus de graficul parabolei y \u003d Ax 2 + Bx + C, de la stânga de linia dreaptă x \u003d - h, de la dreapta de linia dreaptă x \u003d h și de jos de segmentul [-h; h]. Lasă parabola să treacă prin trei puncte (Fig. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) și F (h; y 2), și x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Prin urmare,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

Atunci aria S este egală cu integrala:

Exprimăm această zonă în termeni de h, y 0 , y 1 și y 2 . Pentru a face acest lucru, calculăm coeficienții parabolei A, B, C. Din condiția ca parabola să treacă prin punctele D, E și F, avem:

Rezolvând acest sistem, obținem: C = y 1 ; A=

Înlocuind aceste valori A și C în (3), obținem aria dorită

Să ne întoarcem acum la derivarea formulei lui Simpson pentru calcularea integralei

Pentru a face acest lucru, împărțim segmentul de integrare în 2n părți egale de lungime

La punctele de divizare (Fig. 4). a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Se calculează valorile integrandului f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Pe segment înlocuim integrandul cu o parabolă care trece prin punctele (x 0; y 0), (x 1; y 1) și (x 2; y 2), și se calculează valoarea aproximativă a integralei din x 0 la x 2, folosim formula (4 ). Apoi (zona umbrită din Fig. 4):

În mod similar, găsim:

................................................

Adunând egalitățile rezultate, avem:

Formula (5) se numește formula Simpson generalizată sau formula parabolei, deoarece la derivarea acestuia, graficul integrandului pe un segment parțial de lungime 2h este înlocuit cu un arc de parabolă.

Atribuirea de locuri de muncă:

1. Conform instrucțiunilor profesorului sau în conformitate cu o opțiune de la Mese 4 sarcini (vezi Anexa) pentru a lua condițiile - integrand, limitele integrării.

2. Întocmește o organigramă a programului și un program care ar trebui:

Solicitați acuratețea calculării unei integrale definite, limitele inferioare și superioare de integrare;

Calculați integrala dată prin metode: pentru opțiunile 1,4,7, 10... - dreapta, pentru opțiunile 2,5,8,... - medie; pentru opțiunile 2,5,8,... - dreptunghiuri din stânga. Ieșiți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;

Calculați integrala dată folosind metoda trapezului (pentru opțiunile pare) și metoda lui Simpson (pentru opțiunile impare).

Ieșiți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;

Ieșiți valorile funcției de control pentru valoarea dată a argumentului și comparați cu valorile calculate ale integralei. A trage concluzii.

întrebări de testare

1. Ce este o integrală definită?

2. De ce, alături de metodele analitice, se folosesc metode numerice pentru calcularea integralelor definite.

3. Care este esența principalelor metode numerice de calcul a integralelor definite.

4. Influența numărului de partiții asupra preciziei calculării unei integrale definite prin metode numerice.

5. Cum se calculează integrala prin orice metodă cu o precizie dată?