Cum să găsiți punctul de mijloc al unui triunghi: o problemă de geometrie. Principalele probleme elementare din geometria euclidiană ne-au venit din antichitate. Ele conțin esența primară și cunoștințele de bază necesare despre percepția formelor spațiale de către o persoană. O astfel de problemă este problema găsirii punctului mijlociu al unui triunghi. Astăzi, această problemă este considerată ca receptie instruire dezvoltarea abilităților intelectuale ale școlarilor. În lumea antică, cunoașterea modului de găsire a mijlocului unui triunghi a fost aplicată și în practică: în gestionarea terenurilor, în fabricarea diferitelor mecanisme etc. Care este esența acestui puzzle geometric?
Ce este mediana? Înainte de a rezolva problema, trebuie să vă familiarizați cu cea mai simplă terminologie geometrică referitoare la triunghiuri. În primul rând, fiecare triunghi are trei vârfuri, trei laturi și trei unghiuri, din care numele acestuia figură geometrică. Este important să știm cum se numesc liniile care leagă vârfurile cu laturile opuse: înălțime, bisectoare și mediană.
Înălțime - o linie perpendiculară pe latura opusă vârfului din care este desenată; bisectoare - împarte unghiul la jumătate; mediana împarte latura opusă vârfului de ieșire în jumătate. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să știți cum să găsiți coordonatele mijlocului segmentului, deoarece este punctul de intersecție al medianelor triunghiului care este mijlocul acestuia.
Aflați punctele medii ale laturilor triunghiului. Găsirea punctului de mijloc al unui segment este, de asemenea, clasică. problema geometrica, pentru a cărui soluție aveți nevoie de o busolă și o riglă fără diviziuni. Punem acul busolei la capătul segmentului și desenăm un semicerc mai mare de jumătate din segment în mijlocul acestuia din urmă. Facem același lucru și pe cealaltă parte a segmentului. Semicercurile rezultate se vor intersecta în mod necesar în două puncte, deoarece razele lor sunt mai mari decât jumătate din segmentul original.
Conectăm cele două puncte de intersecție ale cercului cu o linie dreaptă folosind o riglă. Această linie intersectează segmentul original exact în mijlocul său. Acum, știind cum să găsim punctul de mijloc al segmentului, facem asta cu fiecare latură a triunghiului. După ce găsiți toate punctele de mijloc ale laturilor triunghiului, sunteți gata să construiți propriul punct de mijloc.
Construim mijlocul triunghiului. Conectând vârfurile triunghiului cu punctele mijlocii ale laturilor lor opuse cu linii drepte, obținem trei mediane. Acest lucru poate surprinde pe cineva, dar una dintre legile armoniei acestei figuri geometrice este că toate cele trei mediane se intersectează întotdeauna într-un punct. Acest punct va fi punctul de mijloc dorit al triunghiului, care nu este atât de greu de găsit dacă știi cum să construiești punctul de mijloc al segmentului.
De asemenea, este interesant că punctul de intersecție al medianelor nu este doar mijlocul geometric, ci și „fizic” al triunghiului. Adică, dacă, de exemplu, tăiați un triunghi din placaj, îi găsiți mijlocul și plasați acest punct pe vârful acului, atunci în mod ideal o astfel de cifră se va echilibra și nu va cădea. Geometria elementară poartă multe astfel de „mistere”, a căror cunoaștere ajută la înțelegerea armoniei lumii înconjurătoare și a naturii lucrurilor mai complexe.
Conceptul liniei mediane a unui triunghi
Să introducem conceptul de linie mediană a unui triunghi.
Definiția 1
Acesta este un segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale triunghiului (Fig. 1).
Figura 1. Linia de mijloc a triunghiului
Teorema liniei mediane a triunghiului
Teorema 1
Linia mediană a unui triunghi este paralelă cu una dintre laturile sale și egală cu jumătate din el.
Dovada.
Să ni se dă un triunghi $ABC$. $MN$ - linia de mijloc (ca în Figura 2).
Figura 2. Ilustrarea teoremei 1
Deoarece $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, atunci triunghiurile $ABC$ și $MBN$ sunt similare conform celui de-al doilea criteriu de asemănare a triunghiului. Mijloace
De asemenea, rezultă că $\angle A=\angle BMN$ înseamnă $MN||AC$.
Teorema a fost demonstrată.
Consecințele din teorema liniei mediane a triunghiului
Corolarul 1: Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și împart punctul de intersecție într-un raport de $2:1$ începând de la vârf.
Dovada.
Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ este mediana acestuia. Deoarece medianele împart laturile în jumătate. Considera linia de mijloc$A_1B_1$ (Fig. 3).
Figura 3. Ilustrarea corolarului 1
După teorema 1, $AB||A_1B_1$ și $AB=2A_1B_1$, deci $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Prin urmare, triunghiurile $ABM$ și $A_1B_1M$ sunt similare conform primului criteriu de asemănare a triunghiului. Apoi
În mod similar, se dovedește că
Teorema a fost demonstrată.
Corolarul 2: Cele trei linii de mijloc ale triunghiului îl împart în 4 triunghiuri asemănătoare triunghiului original cu coeficient de asemănare $k=\frac(1)(2)$.
Dovada.
Luați în considerare triunghiul $ABC$ cu linii mediane $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (Fig. 4)
Figura 4. Ilustrarea corolarului 2
Luați în considerare triunghiul $A_1B_1C$. Deoarece $A_1B_1$ este linia de mijloc, atunci
Unghiul $C$ este unghiul comun acestor triunghiuri. Prin urmare, triunghiurile $A_1B_1C$ și $ABC$ sunt similare conform celui de-al doilea criteriu de asemănare pentru triunghiuri cu coeficient de asemănare $k=\frac(1)(2)$.
În mod similar, se demonstrează că triunghiurile $A_1C_1B$ și $ABC$ și triunghiurile $C_1B_1A$ și $ABC$ sunt similare cu coeficientul de asemănare $k=\frac(1)(2)$.
Luați în considerare triunghiul $A_1B_1C_1$. Deoarece $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ sunt liniile mediane ale triunghiului, atunci
Prin urmare, conform celui de-al treilea criteriu de asemănare pentru triunghiuri, triunghiurile $A_1B_1C_1$ și $ABC$ sunt similare cu coeficientul de asemănare $k=\frac(1)(2)$.
Teorema a fost demonstrată.
Exemple de sarcină pe conceptul liniei de mijloc a unui triunghi
Exemplul 1
Având în vedere un triunghi cu laturile $16$ cm, $10$ cm și $14$ cm. Aflați perimetrul unui triunghi ale cărui vârfuri se află la mijlocul laturilor triunghiului dat.
Decizie.
Deoarece vârfurile triunghiului dorit se află în mijlocul laturilor triunghiului dat, atunci laturile sale sunt liniile mediane ale triunghiului original. Prin corolarul 2, obținem că laturile triunghiului dorit sunt $8$ cm, $5$ cm și $7$ cm.
Răspuns: 20$ vezi
Exemplul 2
Triunghiul $ABC$ este dat. Punctele $N\ și\ M$ sunt punctele medii ale laturilor $BC$ și respectiv $AB$ (Fig. 5).
Figura 5
Perimetrul triunghiului $BMN=14$ cm. Aflați perimetrul triunghiului $ABC$.
Decizie.
Deoarece $N\ și\ M$ sunt punctele medii ale laturilor $BC$ și $AB$, atunci $MN$ este linia mediană. Mijloace
După teorema 1, $AC=2MN$. Primim:
Uneori, subiectele care sunt explicate la școală pot să nu fie întotdeauna clare prima dată. Acest lucru este valabil mai ales pentru o materie precum matematica. Dar lucrurile devin mult mai complicate atunci când această știință începe să fie împărțită în două părți: algebră și geometrie.
Fiecare elev poate avea capacitatea într-una din două direcții, dar mai ales în școală primară este important să înțelegem baza atât a algebrei, cât și a geometriei. În geometrie, unul dintre subiectele principale este considerat a fi secțiunea despre triunghiuri.
Cum să găsiți linia mediană a unui triunghi? Să ne dăm seama.
Noțiuni de bază
Pentru început, pentru a vă da seama cum să găsiți linia de mijloc a unui triunghi, este important să înțelegeți ce este.
Nu există restricții pentru trasarea liniei mediane: triunghiul poate fi oricare (isoscel, echilateral, dreptunghic). Și toate proprietățile care se referă la linia de mijloc vor funcționa.
Linia mediană a unui triunghi este un segment de linie care leagă punctele de mijloc a două dintre laturile sale. Prin urmare, orice triunghi poate avea 3 astfel de drepte.
Proprietăți
Pentru a ști cum să găsim linia de mijloc a unui triunghi, notăm proprietățile sale care trebuie reținute, altfel fără ele va fi imposibil să rezolvi problemele cu necesitatea de a desemna lungimea liniei de mijloc, deoarece toate datele obţinute trebuie fundamentate şi argumentate prin teoreme, axiome sau proprietăţi.
Astfel, pentru a răspunde la întrebarea: „Cum să găsești linia mediană a triunghiului ABC?”, este suficient să cunoști una dintre laturile triunghiului.
Să dăm un exemplu
Aruncă o privire la poză. Reprezintă triunghiul ABC cu linia mediană DE. Rețineți că este paralel cu baza AC în triunghi. Prin urmare, indiferent de valoarea lui AC, linia de mijloc DE va fi la jumătate mai mare. De exemplu, AC=20 înseamnă DE=10 etc.
În moduri atât de simple, puteți înțelege cum să găsiți linia de mijloc a unui triunghi. Amintiți-vă proprietățile și definiția lui de bază și atunci nu veți avea niciodată probleme în a-i găsi sensul.
Se numește patrulater cu doar două laturi paralele trapez.
Laturile paralele ale unui trapez se numesc sale temeiuri, iar acele laturi care nu sunt paralele se numesc laturi. Dacă laturile sunt egale, atunci un astfel de trapez este isoscel. Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului.
Linia de mijloc a trapezului
Linia mediană este un segment care leagă punctele medii ale laturilor trapezului. Linia mediană a unui trapez este paralelă cu bazele sale.
Teorema:
Dacă o linie dreaptă care intersectează mijlocul unei laturi este paralelă cu bazele trapezului, atunci ea traversează a doua latură a trapezului.
Teorema:
Lungimea liniei mediane este egală cu media aritmetică a lungimilor bazelor sale
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
Linia mediană MN, AB și CD - baze, AD și BC - laturi
MN=(AB+DC)/2
Teorema:
Lungimea liniei mediane a unui trapez este egală cu media aritmetică a lungimilor bazelor sale.
Sarcina principală: Demonstrați că linia mediană a unui trapez traversează un segment ale cărui capete se află în mijlocul bazelor trapezului.
Linia de mijloc a triunghiului
Segmentul de linie care leagă punctele medii ale celor două laturi ale unui triunghi se numește linia mediană a triunghiului. Este paralel cu a treia latură și lungimea sa este jumătate din lungimea celei de-a treia laturi.
Teorema: Dacă o dreaptă care intersectează mijlocul unei laturi a unui triunghi este paralelă cu cealaltă latură a triunghiului dat, atunci ea traversează a treia latură.
AM = MC și BN = NC =>
Aplicarea proprietăților de linie mediană a triunghiului și a trapezului
Împărțirea unui segment într-un anumit număr de părți egale.
Sarcină: Împărțiți segmentul AB în 5 părți egale.
Decizie:
Fie p o rază aleatoare a cărei origine este punctul A și care nu se află pe dreapta AB. Punem deoparte 5 segmente egale pe p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Conectăm A 5 la B și trasăm linii prin A 4 , A 3 , A 2 și A 1 care sunt paralele cu A 5 B. Ele intersectează AB la B 4 , B 3 , B 2 și respectiv B 1. Aceste puncte împart segmentul AB în 5 părți egale. Într-adevăr, din trapezul BB 3 A 3 A 5 vedem că BB 4 = B 4 B 3 . În același mod, din trapezul B 4 B 2 A 2 A 4 obținem B 4 B 3 = B 3 B 2
În timp ce din trapez B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Apoi din B 2 AA 2 rezultă că B 2 B 1 = B 1 A. În concluzie, obținem:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Este clar că pentru a împărți segmentul AB în alt număr de părți egale, trebuie să proiectăm același număr de segmente egale pe raza p. Și apoi continuați în modul descris mai sus.
\[(\Large(\text(triunghiuri similare)))\]
Definiții
Se spune că două triunghiuri sunt similare dacă unghiurile lor sunt congruente, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt.
(laturile se numesc similare dacă se află opuse unghiurilor egale).
Coeficientul de similitudine al triunghiurilor (similare) este un număr egal cu raportul laturilor similare ale acestor triunghiuri.
Definiție
Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor tuturor laturilor sale.
Teorema
Raportul dintre perimetrele a două triunghiuri similare este egal cu coeficientul de asemănare.
Dovada
Luați în considerare triunghiurile \(ABC\) și \(A_1B_1C_1\) cu laturile \(a,b,c\) și respectiv \(a_1, b_1, c_1\) (a se vedea figura de mai sus).
Apoi \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)
Teorema
Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine.
Dovada
Fie triunghiurile \(ABC\) și \(A_1B_1C_1\) să fie similare și \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Notați cu literele \(S\) și respectiv \(S_1\) ariile acestor triunghiuri.
Deoarece \(\angle A = \angle A_1\) , atunci \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(conform teoremei raportului dintre ariile triunghiurilor cu unghi egal).
La fel de \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), apoi \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), ceea ce urma să fie dovedit.
\[(\Large(\text(Triangle Similarity Tests)))\]
Teorema (primul criteriu pentru asemănarea triunghiurilor)
Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.
Dovada
Fie \(ABC\) și \(A_1B_1C_1\) să fie triunghiuri astfel încât \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Apoi, după teorema sumei triunghiului \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), adică unghiurile triunghiului \(ABC\) sunt, respectiv, egale cu unghiurile triunghiului \(A_1B_1C_1\) .
Deoarece \(\angle A = \angle A_1\) și \(\angle B = \angle B_1\), atunci \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)și \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).
Din aceste egalităţi rezultă că \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).
În mod similar, se dovedește că \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(folosind egalitățile \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) ).
Ca urmare, laturile triunghiului \(ABC\) sunt proporționale cu laturile similare ale triunghiului \(A_1B_1C_1\) , ceea ce urma să fie demonstrat.
Teorema (al doilea criteriu pentru asemănarea triunghiurilor)
Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi și unghiurile incluse între aceste laturi sunt egale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.
Dovada
Luați în considerare două triunghiuri \(ABC\) și \(A"B"C"\) astfel încât \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) Să demonstrăm că triunghiurile \(ABC\) și \(A"B"C"\) sunt similare. Având în vedere primul criteriu de asemănare a triunghiului, este suficient să arătăm că \(\angle B = \angle B"\) .
Considerăm un triunghi \(ABC""\) , unde \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . Triunghiurile \(ABC""\) și \(A"B"C"\) sunt similare în primul criteriu de asemănare a triunghiului, apoi \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).
Pe de altă parte, după condiție \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Din ultimele două egalități rezultă că \(AC = AC""\) .
Triunghiurile \(ABC\) și \(ABC""\) sunt egale pe două laturi și unghiul dintre ele, prin urmare, \(\angle B = \angle 2 = \angle B"\).
Teoremă (al treilea criteriu pentru asemănarea triunghiurilor)
Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.
Dovada
Fie laturile triunghiurilor \(ABC\) și \(A"B"C"\) să fie proporționale: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Să demonstrăm că triunghiurile \(ABC\) și \(A"B"C"\) sunt similare.
Pentru a face acest lucru, ținând cont de cel de-al doilea criteriu de asemănare a triunghiului, este suficient să demonstrăm că \(\angle BAC = \angle A"\) .
Considerăm un triunghi \(ABC""\) , unde \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .
Triunghiurile \(ABC""\) și \(A"B"C"\) sunt similare în primul criteriu de asemănare a triunghiului, prin urmare, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).
Din ultimul lanț de egalități și condiții \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) rezultă că \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .
Triunghiurile \(ABC\) și \(ABC""\) sunt egale în trei laturi, prin urmare, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A"\).
\[(\Large(\text(teorema lui Thales)))\]
Teorema
Dacă pe o parte a unghiului marchem segmente egale între ele și tragem linii drepte paralele prin capete, atunci aceste linii drepte vor tăia segmente egale între ele pe a doua parte.
Dovada
Să demonstrăm mai întâi lema: Dacă în \(\triunghiul OBB_1\) este trasată o dreaptă \(a\paralel BB_1\) prin mijlocul \(A\) al laturii \(OB\) , atunci va intersecta și latura \(OB_1\) in mijloc.
Desenați \(l\parallel OB\) prin punctul \(B_1\) . Fie \(l\cap a=K\) . Atunci \(ABB_1K\) este un paralelogram, deci \(B_1K=AB=OA\) și \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\unghi AA_1O=\unghi KA_1B_1\) ca pe verticală. Deci, conform celui de-al doilea semn \(\triunghi OAA_1=\triunghi B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Lema este dovedită.
Să trecem la demonstrarea teoremei. Fie \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) și trebuie să demonstrăm că \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .
Astfel, prin această lemă \(OA_1=A_1B_1\) . Să demonstrăm că \(A_1B_1=B_1C_1\) . Desenați o linie prin punctul \(B_1\) \(d\parallel OC\) și fie \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Atunci \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) sunt paralelograme, deci \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Prin urmare, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) ca pe verticală, \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) ca culcat în cruce și, prin urmare, conform celui de-al doilea semn \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).
Teorema lui Thales
Liniile paralele taie segmente proporționale pe laturile unghiului.
Dovada
Fie drepte paralele \(p\paralel q\paralel r\paralel s\)împărțiți una dintre linii în segmente \(a, b, c, d\) . Apoi aceste linii ar trebui să împartă a doua dreaptă în segmente \(ka, kb, kc, kd\), respectiv, unde \(k\) este un anumit număr, același coeficient de proporționalitate al segmentelor.
Să trasăm o linie dreaptă \(p\parallel OD\) prin punctul \(A_1\) (\(ABB_2A_1\) este un paralelogram, prin urmare, \(AB=A_1B_2\) ). Apoi \(\triunghi OAA_1 \sim \triunghi A_1B_1B_2\) la două colţuri. Prin urmare, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).
În mod similar, să tragem o linie dreaptă prin \(B_1\) \(q\paralel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) etc.
\[(\Large(\text(linia mijlocie a triunghiului)))\]
Definiție
Linia mediană a unui triunghi este un segment de linie care leagă punctele medii ale oricăror două laturi ale triunghiului.
Teorema
Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.
Dovada
1) Paralelismul liniei mediane la bază rezultă din cele de mai sus leme.
2) Demonstrăm că \(MN=\dfrac12 AC\) .
Desenați o dreaptă prin punctul \(N\) paralel cu \(AB\) . Fie ca această dreaptă să intersecteze latura \(AC\) în punctul \(K\) . Atunci \(AMNK\) este un paralelogram ( \(AM\paralel NK, MN\parallel AK\) la punctul anterior). Deci \(MN=AK\) .
pentru că \(NK\parallel AB\) și \(N\) este punctul de mijloc al lui \(BC\) , apoi după teorema lui Thales, \(K\) este punctul de mijloc al lui \(AC\) . Prin urmare, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .
Consecinţă
Linia de mijloc a triunghiului taie un triunghi similar cu cel dat cu coeficientul \(\frac12\) .