Nu este de mirare că distractiv matematică devenit divertisment pentru toate timpurile și popoarele”. Pentru a rezolva astfel de probleme, nu sunt necesare cunoștințe speciale - este suficientă o presupunere, care, totuși, este uneori mai dificil de găsit decât rezolvarea metodică a unei probleme școlare standard.

Rezolvarea unei probleme de aritmetică distractive.
Pentru clasele 3-5

Câți dragoni?

Dragonii cu 2 capete și 7 capete s-au adunat pentru un miting.
Chiar la începutul mitingului, Regele Dragon - Dragon cu 7 capete a numărat toate capetele tuturor celor adunați.

S-a uitat în jurul capului său mijlociu încoronat și a văzut 25 de capete.
Regele a fost mulțumit de rezultatele calculelor și a mulțumit tuturor celor prezenți pentru prezența la miting.

Câți dragoni au venit la miting?

(a) 7; (b) 8; nouă; (d) 10; (e) 11;
Decizie:

Scădeți din cele 25 de capete numărate de Regele Dragon, 6 capete aparținând acestuia.

Vor mai rămâne 19 goluri. Toți dragonii rămași nu pot avea două capete (19 fiind un număr impar).

Poate fi doar 1 Dragon cu 7 capete (dacă 2, atunci va exista un număr impar de capete pentru Dragonii cu două capete. Și pentru trei Dragoni, nu sunt suficiente capete: (7 3 \u003d 21> 19).

Scădeți din 19 capete 7 capete din acest singur Dragon și obțineți numărul total de capete aparținând dragonilor cu două capete.

Prin urmare, Dragonii cu 2 capete:
(19 - 7) / 2 = 6 Dragoni.

Total: 6 +1 +1 (Rege) = 8 Dragoni.

Răspuns corect: b = 8 dragoni

♦ ♦ ♦

Decizie sarcină distractivă matematică

Pentru clasele 4 - 8

Câte victorii?

Nikita și Alexander joacă șah.
Înainte de a începe jocul, au fost de acord

că câștigătorul jocului va primi 5 puncte, învinsul nu va primi niciun punct, iar fiecare jucător va primi 2 puncte dacă jocul se termină la egalitate.

Au jucat 13 meciuri și au obținut 60 de puncte împreună.
Alexander a obținut de trei ori mai multe puncte pentru jocurile câștigate decât pentru cele care au fost remize.

Câte victorii a câștigat Nikita?

(a) 1; (b) 2; 3; (d) 4; (e) 5;
Răspuns corect: (b) 2 victorii (câștigat de Nikita)

Decizie.

Fiecare joc dintr-o remiză oferă 4 puncte pușculiței și un câștig - 5 puncte.
Dacă toate jocurile s-au încheiat la egalitate, atunci băieții ar nota 4 13 = 52 de puncte.
Dar au marcat 60 de puncte.

Rezultă că 8 jocuri s-au încheiat cu cineva care a câștigat.
Și 13 - 5 = 5 jocuri s-au încheiat la egalitate.

Alexander a marcat 5 2 = 10 puncte în 5 remize, ceea ce înseamnă că atunci când a câștigat a marcat 30 de puncte, adică a câștigat 6 jocuri.
Apoi Nikita a câștigat (8-6=2) 2 jocuri.

♦ ♦ ♦

Rezolvarea unei probleme de aritmetică distractive

Pentru clasele 4 - 8

Câte zile fără mâncare?
Nava interplanetară marțiană a sosit într-o vizită pe Pământ.
Marțienii mănâncă cel mult o dată pe zi, fie dimineața, la prânz, fie seara.

Dar mănâncă doar când le este foame. Ei pot rămâne fără mâncare câteva zile.
În timpul șederii marțienilor pe Pământ, aceștia au mâncat de 7 ori.
Mai știm că au mers fără mâncare de 7 ori dimineața, de 6 ori la prânz și 7 seara.
Câte zile în timpul vizitei lor au rămas marțienii fără mâncare?

(a) 0 zile; (b) 1 zi; 2 zile; (d) 3 zile; (e) 4 zile; (a) 5 zile;
Răspuns corect: 2 zile (marțienii au rămas fără mâncare)

Decizie.
Marțienii au mâncat 7 zile, o masă pe zi, iar numărul de zile în care au luat cina a fost unul. mai mult număr zilele în care luau micul dejun sau cina.

Pe baza acestor date, este posibil să se întocmească un program pentru ca marțienii să mănânce. Poza probabilă este aceasta.

Extratereștrii au luat prânzul în prima zi, cina în a doua, micul dejun în a treia, prânzul în a patra, cina în a cincea, micul dejun în a șasea și prânzul în a șaptea.

Adică, marțienii au luat micul dejun timp de 2 zile și au petrecut 7 zile fără micul dejun, au luat cina - de 2 ori și au petrecut 7 zile fără cină, au luat prânzul de 3 ori și au trăit 6 zile fără prânz.

Deci 7 + 2 = 9 și 6 + 3 = 9 zile. Așa că au trăit pe Pământ 9 zile, iar 2 dintre ei au rămas fără mâncare (9 - 7 = 2).

♦ ♦ ♦

Rezolvarea unei probleme distractive non-standard

Pentru clasele 4 - 8

Cât este ceasul?
Biciclistul și pietonul au părăsit punctul A în același timp și s-au îndreptat spre punctul B cu o viteză constantă.
Biciclistul a ajuns la punctul B și s-a întors imediat și l-a întâlnit pe Pieton la o oră după ce a părăsit punctul A.
Aici Biciclistul s-a întors din nou și amândoi au început să se deplaseze în direcția punctului B.

Când biciclistul a ajuns la punctul B, s-a întors din nou și s-a întâlnit din nou cu Pietonul la 40 de minute după prima lor întâlnire.
Care este suma cifrelor numărului care exprimă timpul (în minute) necesar pietonului pentru a ajunge din punctul A în punctul B?
(a) 2; (b) 14; 12; (d) 7; (e)9.
Răspuns corect: e) 9 (suma cifrelor numărului 180 de minute este timpul în care pietonul se deplasează de la A la B)

Totul devine clar dacă desenezi un desen.
Găsiți diferența dintre cele două trasee ale Biciclistului (o cale este de la A la prima întâlnire (linie verde continuă), a doua cale este de la prima întâlnire la a doua (linie verde punctată)).

Obținem că această diferență este exact egală cu distanța de la punctul A până la a doua întâlnire.
Aceasta distanta este parcursa de un Pieton in 100 de minute si de un Biciclist in 60 de minute - 40 de minute = 20 de minute. Deci biciclistul merge de 5 ori mai repede.

Să notăm distanța de la punctul A până la punctul în care a avut loc 1 întâlnire ca o singură parte, iar drumul Biciclistului până la prima întâlnire ca 5 părți.

Împreună, când s-au întâlnit pentru prima dată, au parcurs dublul distanței dintre punctele A și B, adică 5 + 1 = 6 părți.

Prin urmare, de la A la B - 3 părți. După prima întâlnire, pietonul va trebui să meargă încă 2 porțiuni până la punctul B.

El va parcurge întreaga distanță în 3 ore sau 180 de minute, deoarece parcurge 1 parte într-o oră.

SARCINI NON-STANDARD LA LECȚII DE MATEMATICĂ

Profesor școală primară Shamalova S.V.

Fiecare generație de oameni își face propriile cerințe față de școală. Un proverb roman antic spune: „Nu pentru școală, ci pentru viață, învățăm”. Semnificația acestui proverb este și astăzi actuală. Societate modernă dictează sistemului de învățământ un ordin de a educa o persoană care este pregătită pentru viață în condiții în continuă schimbare, pentru educație continuă, capabilă să învețe pe tot parcursul vieții.

Printre abilitățile spirituale ale omului se numără una care timp de multe secole a făcut obiectul unei atenții deosebite a oamenilor de știință și care, în același timp, este încă subiectul cel mai dificil și mai misterios al științei. Aceasta este capacitatea de a gândi. O întâlnim constant în muncă, în predare, în viața de zi cu zi.

Orice activitate a unui muncitor, școlar și om de știință este inseparabilă de munca mentală. În orice chestiune reală, este necesar să-ți rupi capul, să-ți arunci mintea, adică în limbajul științei, trebuie să faci o acțiune mentală, o muncă intelectuală. Se știe că problema poate fi rezolvată, și nu rezolvată, unul va face față rapid, celălalt se gândește mult timp. Există sarcini care sunt fezabile chiar și pentru un copil și echipe întregi de oameni de știință se luptă pentru unele de ani de zile. Deci, există capacitatea de a gândi. Unii se pricep mai bine, alții mai rău. Ce este această abilitate? În ce moduri apare? Cum să-l cumpăr?

Nimeni nu va contrazice faptul că fiecare profesor trebuie să dezvolte gândirea logică a elevilor. Acest lucru este precizat în literatura metodologică, în notele explicative ale curriculumului. Cu toate acestea, noi, profesorii, nu știm întotdeauna cum să facem acest lucru. Acest lucru duce adesea la dezvoltare gandire logica in mare masura merge spontan, astfel ca majoritatea elevilor, chiar si liceenilor, nu stapanesc metodele initiale ale gandirii logice (analiza, comparatie, sinteza, abstractizare etc.).

Potrivit experților, nivelul de cultură logică a școlarilor de astăzi nu poate fi considerat satisfăcător. Experții consideră că motivul pentru aceasta constă în lipsa de muncă privind dezvoltarea logică intenționată a elevilor în primele etape ale educației. Cele mai moderne manuale pentru preșcolari și şcolari juniori conține un set de tot felul de sarcini care se opresc asupra unor metode de activitate mentală precum analiza, sinteza, analogia, generalizarea, clasificarea, flexibilitatea și variabilitatea gândirii. Cu alte cuvinte, dezvoltarea gândirii logice are loc în mare parte spontan, astfel încât majoritatea elevilor nu stăpânesc tehnicile de gândire nici în clasele superioare, iar aceste tehnici trebuie predate elevilor mai tineri.

În practica mea folosesc tehnologii educaționale moderne, diverse forme de organizare a procesului educațional, un sistem de dezvoltare a sarcinilor. Aceste sarcini ar trebui să fie de natură de dezvoltare (predarea anumitor tehnici de gândire), ar trebui să țină cont de caracteristicile de vârstă ale elevilor.

În procesul de rezolvare a problemelor educaționale, copiii dezvoltă o astfel de abilitate ca să fie distrași de la detalii irelevante. Această acțiune este oferită elevilor mai tineri cu nu mai puțină dificultate decât evidențierea esențialului. Ca urmare a studiului la școală, când este necesar să îndeplinească în mod regulat sarcini fără greșeală, elevii mai mici învață să-și controleze gândirea, să gândească atunci când este necesar. În primul rând, sunt introduse exerciții logice accesibile copiilor, care vizează îmbunătățirea operațiilor mentale.

În procesul de realizare a unor astfel de exerciții logice, elevii învață practic să compare diverse obiecte, inclusiv cele matematice, pentru a construi judecăți corecte pe baza unor dovezi accesibile și simple bazate pe experiența lor de viață. Exercițiile de logică devin treptat mai dificile.

De asemenea, folosesc sarcini logice de dezvoltare non-standard în practica mea. Există un număr mare de astfel de probleme; mai ales o mulțime de astfel de literatură de specialitate a fost publicată în ultimii ani.

În literatura metodologică, sarcinilor de dezvoltare au fost atribuite următoarele denumiri: sarcini pentru ingeniozitate, sarcini pentru ingeniozitate, sarcini cu „zest”. În toată diversitatea sa, este posibil să se încadreze într-o clasă specială astfel de sarcini care sunt numite sarcini - capcane, sarcini provocatoare. În condițiile unor astfel de sarcini, există diverse tipuri de referințe, indicații, indicii care împing să alegeți calea greșită de soluție sau răspunsul greșit. Voi da exemple de astfel de sarcini.

Sarcini care impun un răspuns, destul de cert.

Care dintre numerele 333, 555, 666, 999 nu este divizibil cu 3?

Sarcini care te încurajează să faci alegerea greșită a unui răspuns dintre răspunsurile corecte și incorecte propuse.

Un măgar poartă 10 kg de zahăr, iar celălalt poartă 10 kg de floricele. Cine a avut cea mai grea sarcină?

Sarcini, ale căror condiții vă împing să efectuați o anumită acțiune cu numere date, atunci când nu aveți nevoie să efectuați deloc această acțiune.

O mașină Mercedes a parcurs 100 km. Câți mile a parcurs fiecare roată?

Petya le-a spus odată prietenilor săi: „Alaltăieri aveam 9 ani, iar anul viitor voi împlini 12 ani”. La ce dată s-a născut Petya?

Rezolvarea problemelor logice folosind raționament.

Vadim, Sergey și Mihail studiază diverse limbi straine: chineză, japoneză, arabă. Întrebat ce limbă a studiat fiecare dintre ei, unul a răspuns: „Vadim studiază chineza, Serghei nu studiază chineza, iar Mihail nu studiază arabă”. Ulterior, s-a dovedit că în această afirmație doar o singură afirmație este adevărată. Ce limbă studiază fiecare dintre ei?

Şartanii din Oraşul Florilor au plantat un pepene verde. Pentru udarea acestuia este necesar exact 1 litru de apă. Au doar două bidoane goale cu o capacitate de 3 litri. Și 5 l. Cum se folosesc aceste conserve. Formați exact 1 litru de râu. apă?

Câți ani a stat Ilya Muromets pe aragaz? Se știe că dacă ar mai stătea de 2 ori pentru atât de mulți, atunci vârsta lui ar fi cel mai mare număr de două cifre.

Baronul Munchausen a numărat numărul de fire de păr magice din barba bătrânului Hottabych. S-a dovedit a fi egal cu suma celui mai mic număr de trei cifre și a celui mai mare număr de două cifre. Ce este acest numar?

Când învăț să rezolv probleme non-standard, observ următoarele condiții:în primul , sarcinile ar trebui introduse în procesul de învățare într-un anumit sistem cu o creștere treptată a complexității, deoarece o sarcină copleșitoare va avea un efect redus asupra dezvoltării elevilor;în o secunda , este necesar să le oferim elevilor o independență maximă în găsirea soluțiilor la probleme, să le oferim posibilitatea de a merge până la capăt pe un drum greșit pentru a se asigura de eroare, a reveni la început și a căuta o altă cale, corectă. de rezolvare;al treilea , trebuie să-i ajutați pe elevi să înțeleagă unele dintre modalitățile, tehnicile și abordările generale de rezolvare a problemelor aritmetice non-standard. Cel mai adesea, exercițiile logice propuse nu necesită calcule, ci doar îi obligă pe copii să emită judecăți corecte și să dea dovezi simple. Exercițiile în sine sunt distractive, astfel încât contribuie la apariția interesului copiilor în procesul de activitate mentală. Și aceasta este una dintre sarcinile cardinale ale procesului educațional la școală.

Exemple de sarcini utilizate în practica mea.

Găsiți un model și continuați ghirlandele

Găsiți un model și continuați seria

a B C D E F,…

1, 2, 4, 8, 16,…

Lucrarea a început cu dezvoltarea la copii a capacității de a observa modele, asemănări și diferențe cu complicarea treptată a sarcinilor. În acest scop, am alessarcini pentru a identifica modele, dependențe și a formula o generalizarecu o creştere treptată a nivelului de dificultate a sarcinilor.Lucrările privind dezvoltarea gândirii logice ar trebui să devină obiectul unei atenții serioase a profesorului și să fie realizate sistematic la lecțiile de matematică. În acest scop, exercițiile de logică ar trebui incluse în mod constant în lucrarea orală din lecție. De exemplu:

Găsiți rezultatul folosind această ecuație:

3+5=8

3+6=

3+7=

3+8=

Comparați expresiile, găsiți un punct comun în inegalitățile rezultate, formulați o concluzie:

2+3*2x3

4+4*3x4

4+5*4x5

5+6*5x6

Continuați cu numerele.

3. 5, 7, 9, 11…

1, 4, 7, 10…

Gândiți-vă la un exemplu similar pentru fiecare exemplu dat.

12+6=18

16-4=12

Ce este comun în scrierea numerelor fiecărei linii?

12 24 20 22

30 37 13 83

Numerele date:

23 74 41 14

40 17 60 50

Ce număr lipsește în fiecare rând?

În școala elementară, folosesc adesea bețișoare de numărat la orele mele de matematică. Acestea sunt probleme de natură geometrică, deoarece în cursul rezolvării, de regulă, are loc o transfigurare, transformarea unei figuri în alta și nu doar o schimbare a numărului lor. Ele nu pot fi rezolvate în niciun mod învățat anterior. În cursul rezolvării fiecărei noi probleme, copilul este inclus într-o căutare activă a unei soluții, încercând în același timp să atingă scopul final, modificarea necesară a figurii.

Exercițiile cu bețe de numărare pot fi combinate în 3 grupe: sarcini pentru întocmirea unei figuri date dintr-un anumit număr de bețe; sarcini pentru schimbarea figurilor, pentru a căror soluție este necesar să se scoată sau să se adauge numărul specificat de bețe; sarcini, a căror soluție este de a muta bețele pentru a modifica, transforma o anumită figură.

Exerciții cu bastoane de numărat.

Sarcini pentru desenarea figurilor dintr-un anumit număr de bețe.

Faceți două pătrate diferite de 7 bețe.

Sarcini pentru schimbarea figurii, în care trebuie să eliminați sau să adăugați numărul specificat de bastoane.

Dată o cifră de 6 pătrate. Trebuie să scoți 2 bețe astfel încât să rămână 4 pătrate"

Sarcini pentru schimbarea bastoanelor în scopul transformării.

Mutați două bețe astfel încât să obțineți 3 triunghiuri.

Exercițiul regulat este una dintre condițiile pentru dezvoltarea cu succes a elevilor. În primul rând, de la lecție la lecție, este necesar să se dezvolte capacitatea copilului de a analiza și de a sintetiza; pregătirea pe termen scurt în concepte logice nu dă efect.

Rezolvarea problemelor non-standard formează capacitatea elevilor de a face presupuneri, de a le verifica fiabilitatea și de a le justifica logic. A vorbi în scopul evidenței, contribuie la dezvoltarea vorbirii, la dezvoltarea abilităților de a trage concluzii, de a trage concluzii. În procesul de utilizare a acestor exerciții în clasă și în munca extrașcolară la matematică a apărut o dinamică pozitivă a influenței acestor exerciții asupra nivelului de dezvoltare a gândirii logice a elevilor.

Lyabina T.I.

Profesor de matematică cea mai înaltă categorie

MOU „Școala secundară Moshok”

Sarcini non-standard ca mijloc de dezvoltare a gândirii logice

Ce problemă de matematică poate fi numită non-standard? O definiție bună este dată în carte

Sarcinile non-standard sunt acelea pentru care nu există reguli și reglementări generale în cursul matematicii care să determine programul exact pentru rezolvarea lor. Ele nu trebuie confundate cu sarcini de complexitate crescută. Condițiile sarcinilor de complexitate crescută sunt de așa natură încât permit elevilor să evidențieze destul de ușor una aparate matematice necesare pentru a rezolva o problemă de matematică. Profesorul controlează procesul de consolidare a cunoştinţelor oferite de programul de formare prin rezolvarea problemelor de acest tip. Dar o sarcină non-standard implică prezența unei naturi exploratorii. Totuși, dacă rezolvarea unei probleme de matematică pentru un elev este nestandard, deoarece nu este familiarizat cu metodele de rezolvare a problemelor de acest tip, atunci pentru altul, rezolvarea problemei are loc într-un mod standard, deoarece el are a rezolvat deja astfel de probleme și mai mult de una. Aceeași sarcină la matematică în clasa a V-a este nestandard, iar în clasa a VI-a este obișnuită și nici măcar de complexitate crescută.

Deci, dacă elevul nu știe pe ce material teoretic să se bazeze pentru a rezolva problema, nici el nu știe, atunci în acest caz problema de matematică poate fi numită nestandard pentru o anumită perioadă de timp.

Care sunt metodele de predare de rezolvare a problemelor de matematică, pe care în prezent le considerăm nestandardizate? Din păcate, nimeni nu a venit cu o rețetă universală, având în vedere unicitatea acestor sarcini. Unii profesori, după cum se spune, se antrenează în exerciții șablon. Acest lucru se întâmplă astfel: profesorul arată modalitatea de rezolvare, iar apoi elevul repetă acest lucru atunci când rezolvă probleme de multe ori. În același timp, interesul studenților pentru matematică este ucis, ceea ce este cel puțin trist.

Poți învăța copiii să rezolve probleme de tip non-standard dacă trezești interes, cu alte cuvinte, oferi sarcini care sunt interesante și semnificative pentru un elev modern. Sau înlocuiți formularea întrebării folosind situații problematice de viață. De exemplu, în loc de sarcina „rezolvarea ecuației diafantice”, oferiți-vă să rezolvați următoarea problemă. Poate sa

student să plătească pentru o achiziție în valoare de 19 ruble, dacă are doar bancnote de trei ruble, iar vânzătorul are bancnote de zece ruble?

Metoda de selectare a sarcinilor auxiliare este de asemenea eficientă. Acest mijloc de predare a rezolvării problemelor indică un anumit nivel de realizare în rezolvarea problemelor. De obicei, în astfel de cazuri, elevul gânditor încearcă singur, fără ajutorul unui profesor, să găsească probleme auxiliare sau să simplifice și să modifice condițiile acestor probleme.

Abilitatea de a rezolva probleme non-standard este dobândită prin practică. Nu e de mirare că ei spun că nu poți învăța matematica privindu-ți vecinul făcând asta. Studiul de sine și ajutorul unui profesor este cheia unei învățări fructuoase.

1. Sarcini non-standard și caracteristicile acestora.

Observațiile arată că matematica este îndrăgită mai ales de acei elevi care știu să rezolve probleme. Prin urmare, învățându-i pe copii să stăpânească capacitatea de a rezolva probleme, vom avea un impact semnificativ asupra interesului lor pentru subiect, asupra dezvoltării gândirii și vorbirii.

Sarcinile non-standard contribuie la dezvoltarea gândirii logice într-o măsură și mai mare. În plus, sunt un mijloc puternic de activare activitate cognitivă, adică provoacă un mare interes și dorință de a lucra la copii. Să dăm un exemplu de sarcini non-standard.

eu. Sarcini pentru ingeniozitate.

1. Masa unui stârc stând pe un picior este de 12 kg. Cât va cântări un stârc dacă stă pe 2 picioare?

2. O pereche de cai a alergat 40 km. Cât de departe a alergat fiecare cal?

3. Șapte frați au o soră. Câți copii sunt în familie?

4. Șase pisici mănâncă șase șoareci în șase minute. De câte pisici sunt necesare pentru a mânca 100 de șoareci în 100 de minute?

5. Sunt 6 pahare, 3 cu apă, 3 goale. Cum să le aranjezi astfel încât paharele cu apă și cele goale să alterneze? Un singur pahar este permis să fie mutat.

6. Geologii au găsit 7 pietre. Greutatea fiecărei pietre: 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 6 kg și 7 kg. Aceste pietre au fost așezate în 4 rucsacuri deci

că în fiecare rucsac masa de pietre s-a dovedit a fi aceeași.

Cum au făcut-o?

7. Sunt tot atâtea fete pieptănate în clasă cât băieți nepieptănați. Cine este mai mult în clasă, fetele sau elevii neîngrijiți?

8. Rațele au zburat: una în față și două în spate, una în spate și două în față, una între doi și trei la rând. Câte rațe au zburat în total?

9. Misha spune: „Alaltăieri aveam 10 ani, iar anul viitor voi împlini 13 ani.” Este posibil?

10. Andrei și Borya au 11 bomboane, Boris și Vova au 13 bomboane, iar Andrei și Vova au 12. Câte bomboane au băieții în total?

11. Un tată cu doi fii mergea cu biciclete: cu două roți și trei roți. Aveau 7 roti in total. Câte biciclete au fost și care?

12. Pui si purcei in curte. Toate au 5 capete și 14 picioare. Câți pui și câți porci?

13. Pui și iepuri se plimbă prin curte. Au 12 picioare în total. Cati pui si cati iepuri?

14. Fiecare marțian are 3 mâini. Pot 13 marțieni să-și unească mâinile în așa fel încât să nu mai rămână mâini libere?

15. În timp ce se juca, fiecare dintre cele trei fete - Katya, Galya, Olya - a ascuns una dintre jucării - un urs, un iepure de câmp și un elefant. Katya nu a ascuns iepurele, Olya nu a ascuns nici iepurele, nici ursul. Cine a ascuns jucăria?

II. Sarcini distractive.

1. Cum să aranjezi 6 scaune pe 4 pereți astfel încât fiecare perete să aibă 2 scaune.

2. Tata și cei doi fii ai săi au plecat în camping. Pe drum s-au întâlnit cu un râu. Pe mal este o plută. Stă pe apă un tată sau doi fii. Cum să treci de cealaltă parte a tatălui cu fiii săi?

3. Pentru un cal și două vaci se dau zilnic 34 kg de fân, iar pentru doi cai și o vacă - 35 kg de fân. Cât fân se dă zilnic unui cal și cât unei vaci?

4. Patru rătuci și cinci pui cântăresc 4kg100g, iar cinci rătuci și patru găsari cântăresc 4kg. Cât cântărește o rață?

5. Băiatul avea 22 de monede - cinci ruble și zece ruble, însumând 150 de ruble. Câte monede de cinci și zece ruble erau acolo?

6. În apartamentul nr. 1, 2, 3 locuiesc trei pisoi: alb, negru și roșu. Nu era un pisoi negru care locuia în apartamentele 1 și 2. Pisicuța albă nu locuia în apartamentul numărul 1. În ce apartament locuia fiecare dintre pisoi?

7. Timp de cinci săptămâni, piratul Yerema este capabil să bea un butoi de rom. Și i-ar lua piratului Emelya două săptămâni să o facă. În câte zile vor termina pirații romul, acționând împreună?

8. Un cal mănâncă o căruță de fân într-o lună, o capră în două luni, o oaie în trei luni. Cât va dura un cal, o capră, o oaie să mănânce împreună aceeași încărcătură de fân?

9. Două persoane au curățat 400 de cartofi; unul a curățat 3 bucăți pe minut, celălalt -2. Al doilea a lucrat cu 25 de minute mai mult decât primul. Cât timp a funcționat fiecare?

10. Printre mingile de fotbal, roșul este mai greu decât maro, iar maro este mai greu decât verde. Care minge este mai grea: verde sau roșie?

11. Trei covrigei, cinci turtă dulce și șase covrigi costă 24 de ruble împreună. Care este mai scump: un covrig sau un covrigi?

12. Cum să găsești o monedă contrafăcută (mai ușoară) din 20 de monede la trei cântăriri pe o balanță fără greutăți?

13. Din colțul de sus al camerei, două muște s-au târât pe perete. După ce au coborât la podea, s-au târât înapoi. Prima muscă s-a târât în ​​ambele direcții cu aceeași viteză, iar a doua, deși a urcat de două ori mai încet decât prima, dar a coborât de două ori mai repede decât ea. Care dintre muște se va târa înapoi prima?

14. În cușcă sunt fazani și iepuri. Toate animalele au 35 de capete și 94 de picioare. Câți iepuri într-o cușcă și câți fazani?

15. Ei spun că, întrebat câți studenți avea, matematicianul grec antic Pitagora a răspuns astfel: „Jumătate dintre elevii mei studiază matematica, al patrulea studiază natura, al șaptelea petrec timpul în reflecție tăcută, restul sunt 3 fecioare” Cum mulți studenți au fost la Pitagora?

III. Probleme geometrice.

1. Împărțiți tortul dreptunghiular în două felii astfel încât acestea să aibă o formă triunghiulară. Câte piese a făcut?

2. Desenați o figură fără a ridica vârful creionului de pe hârtie și fără a trasa aceeași linie de două ori.

3. Tăiați pătratul în 4 părți și împăturiți-le în 2 pătrate. Cum să o facă?

4. Scoateți 4 bețe astfel încât să rămână 5 pătrate.

5. Tăiați triunghiul în două triunghiuri, un patrulater și un pentagon, desenând două linii drepte.

6. Un pătrat poate fi împărțit în 5 părți și asambla un octogon?

IV. Pătratele logice.

1. Completați pătratul (4 x 4) cu numerele 1, 2, 3, 6 astfel încât suma numerelor din toate rândurile, coloanele și diagonalele să fie aceeași. Numerele din rânduri, coloane și diagonale nu trebuie repetate.

2. Colorează pătratul cu culori roșu, verde, galben și albastru, astfel încât culorile din rânduri, coloane și diagonale să nu se repete.

3. În pătrat, trebuie să plasați mai multe numere 2,2,2,3,3,3, astfel încât pentru toate liniile să obțineți un total de 6.

5. În celulele pătratului, puneți numerele 4,6,7,9,10,11,12 astfel încât în ​​coloane, în rânduri și de-a lungul diagonalelor să obțineți suma 24.

v. Sarcini combinatorii.

1. Dasha are 2 fuste: rosu si albastru, si 2 bluze: dungi si buline. Câte ținute diferite are Dasha?

2. Câte numere din două cifre sunt în care toate cifrele sunt impare?

3. Părinții au cumpărat un bilet în Grecia. Se poate ajunge în Grecia folosind unul dintre cele trei moduri de transport: avion, barca sau autobuz. Creați toate opțiunile posibile pentru utilizarea acestor moduri de transport.

4. Câte cuvinte diferite pot fi formate folosind literele cuvântului „conexiune”?

5. Din numerele 1, 3, 5, alcătuiți diverse numere din trei cifre, astfel încât să nu existe numere identice în număr.

6. S-au întâlnit trei prieteni: sculptorul Belov, violonistul Cernov și artistul Ryzhov. „Este grozav că unul dintre noi este blond, celălalt brunet, iar al treilea este roșcat. Dar niciunul dintre ei nu are părul de culoarea indicată de numele său de familie”, a spus bruneta. — Ai dreptate, spuse Belov. Ce culoare are părul artistului?

7. Trei prieteni au ieșit la plimbare în rochii albe, verzi și albastre și pantofi de aceleași culori. Se știe că doar Anya are aceeași culoare a rochiei și a pantofilor. Nici pantofii, nici rochia lui Vali nu erau albe. Natasha purta pantofi verzi. Determinați culoarea rochiei și a pantofilor pentru fiecare dintre prieteni.

8. O casieră, un controlor și un manager lucrează într-o sucursală a băncii. Numele lor de familie sunt Borisov, Ivanov și Sidorov. Casiera nu are frați sau surori și este cea mai scundă dintre toate. Sidorov este căsătorit cu sora lui Borisov și mai înalt decât controlorul. Dați numele controlorului și managerului.

9. Pentru un picnic, mașa dulce a luat bomboane, prăjituri și o prăjitură în trei cutii identice. Cutiile erau etichetate „Boomoane”, „Prăjitură” și „Prăjitură”. Dar Masha știa că mamei ei îi plăcea să glumească și pune mereu mâncare

cutii cu inscripții care nu se potrivesc cu conținutul lor. Masha era sigură că dulciurile nu erau în cutie cu „Prăjitură” scris pe ea. In ce cutie este prajitura?

10. Ivanov, Petrov, Markov, Karpov stau în cerc. Numele lor sunt Andrey, Sergey, Timofey, Alexey. Se știe că Ivanov nu este nici Andrei, nici Alexei. Serghei stă între Markov și Timofey. Petrov stă între Karpov și Andrey. Care sunt numele lui Ivanova, Petrov, Markov și Karpov?

VI. Sarcini de transfuzie.

1. Este posibil, avand doar doua vase cu o capacitate de 3 si 5 litri, sa tragem 4 litri de apa dintr-un robinet de apa?

2. Cum să împărțiți în mod egal între două familii 12 litri de cvas de pâine, amplasați într-un vas de doisprezece litri, folosind două vase goale pentru aceasta: un de opt litri și unul de trei litri?

3. Cum, avand doua vase cu o capacitate de 9 litri si 5 litri, sa scoti exact 3 litri de apa dintr-un rezervor?

4. O cutie cu o capacitate de 10 litri se umple cu suc. Mai sunt vase goale de 7 si 2 litri. Cum se toarnă sucul în două vase de câte 5 litri fiecare?

5. Sunt două vase. Capacitatea unuia dintre ele este de 9 litri, iar a celuilalt de 4 litri. Cum să folosiți aceste vase pentru a colecta 6 litri de lichid din rezervor? (Lichidul poate fi scurs înapoi în rezervor).

O analiză a sarcinilor text propuse arată că soluția lor nu se încadrează în cadrul unui anumit sistem de sarcini tipice. Astfel de probleme sunt numite non-standard (I. K. Andronov, A. S. Pchelko etc.) sau non-standard (Yu. M. Kolyagin, K. I. Neshkov, D. Poya etc.)

Rezumând diferitele abordări ale metodologilor în înțelegerea sarcinilor standard și non-standard (D. Poya, Ya. M. Fridman etc.), sub sarcină non-standardînțelegem o astfel de sarcină, al cărei algoritm nu este familiar studentului și nu este ulterior format ca o cerință a programului.

analiza manualelor școlare și mijloace didacticeîn matematică arată că fiecare sarcină de text în anumite condiții poate fi nestandard, iar în altele - obișnuită, standard. O problemă standard dintr-un curs de matematică poate fi nestandard într-un alt curs.

De exemplu. „Au fost 57 de avioane și 79 de elicoptere pe aerodrom, 60 de mașini au decolat. Se poate susține că există: a) cel puțin 1 aeronavă în aer; b) cel putin 1 elicopter?

Astfel de sarcini erau opționale pentru toți elevii, erau destinate celor mai capabili la matematică.

„Dacă vrei să înveți cum să rezolvi problemele, atunci rezolvă-le!” – sfătuiește D. Poya.

Principalul lucru în acest caz este de a forma o astfel de abordare generală pentru rezolvarea problemelor, atunci când problema este considerată ca obiect de cercetare și soluția sa - ca proiectarea și inventarea unei metode de soluție.

Desigur, o astfel de abordare necesită nu o rezolvare necugetă a unui număr imens de probleme, ci o rezolvare pe îndelete, atentă și temeinică a unui număr mult mai mic de probleme, dar cu o analiză ulterioară a soluției.

Deci, nu există reguli generale pentru rezolvarea problemelor non-standard (de aceea aceste probleme sunt numite non-standard). Cu toate acestea, matematicieni și profesori remarcabili (S.A. Yanovskaya, L.M. Fridman,

E.N. Balayan) a găsit o serie de îndrumări și recomandări generale care pot fi urmate în rezolvarea problemelor non-standard. Aceste linii directoare sunt de obicei numite reguli euristice sau, pur și simplu, euristice. Cuvântul „euristic” origine greacăși înseamnă „arta de a găsi adevărul”.

Spre deosebire de regulile matematice, euristica este de natura unor recomandări opționale, sfaturi, care pot (sau nu) duce la rezolvarea problemei.

Procesul de rezolvare a oricărei sarcini non-standard (conform

S.A. Yanovskaya) constă în aplicarea secvenţială a două operaţii:

1. reducerea prin transformări a unei sarcini nestandard la alta, asemănătoare acesteia, dar deja o sarcină standard;

2. împărțirea unei sarcini non-standard în mai multe subsarcini standard.

Nu există reguli specifice pentru reducerea unei sarcini non-standard la una standard. Cu toate acestea, dacă analizezi atent, atent, rezolvi fiecare problemă, fixând în memorie toate metodele prin care s-au găsit soluții, prin ce metode au fost rezolvate problemele, atunci se dezvoltă abilitățile în astfel de informații.

Luați în considerare un exemplu de sarcină:

De-a lungul potecii, de-a lungul tufișurilor, am mers o duzină de cozi,

Ei bine, întrebarea mea este aceasta - câți cocoși erau acolo?

Și m-aș bucura să știu - câți porci erau?

Dacă nu este posibil să rezolvăm această problemă, vom încerca să o reducem la una similară.

Să reformulăm:

1. Să inventăm și să rezolvăm una asemănătoare, dar mai simplă.

2. Folosim soluția sa pentru a o rezolva pe aceasta.

Dificultatea este că există două tipuri de animale în problemă. Toți să fie purcei, atunci vor fi 40 de picioare.

Să creăm o problemă similară:

De-a lungul potecii, de-a lungul tufișurilor, au mers o duzină de cozi.

Împreună mergeau undeva cocoșii și purceii.

Ei bine, întrebarea mea este - câți cocoși au fost?

Și m-aș bucura să știu - câți porci erau?

Este clar că dacă există de 4 ori mai multe picioare decât cozi, atunci toate animalele sunt purcei.

Într-o problemă similară au fost luate 40 de picioare, iar în cea principală au fost 30. Cum să reduceți numărul de picioare? Înlocuiți purcelul cu un cocoș.

Soluție la problema principală: dacă toate animalele ar fi purcei, atunci ar avea 40 de picioare. Când înlocuim un porc cu un cocos, numărul picioarelor se reduce cu două. În total, trebuie să faceți cinci înlocuiri pentru a obține 30 de picioare. Așa că au mers 5 cocoși și 5 purcei.

Cum să vii cu o problemă „asemănătoare”?

2 moduri de a rezolva problema.

În această problemă, puteți aplica principiul egalizării.

Lăsați toți porcii să stea pe picioarele din spate.

10 * 2 \u003d 20 atât de mulți picioare merg pe potecă

30 - 20 \u003d 10 atât de multe picioare din față ale purceilor

10:2 = 5 porci au mers pe potecă

Ei bine, cocoși 10 -5 \u003d 5.

Să formulăm câteva reguli pentru rezolvarea problemelor non-standard.

1. Regula „ușoară”: nu sări peste cea mai ușoară sarcină.

De obicei, o sarcină simplă este trecută cu vederea. Și trebuie să începi cu ea.

2. Regula „următoarea”: dacă este posibil, condițiile ar trebui schimbate una câte una. Numărul de condiții este un număr finit, așa că mai devreme sau mai târziu toată lumea va avea o tură.

3. Regula „necunoscută”: după schimbarea unei condiții, desemnați-o pe cealaltă asociată cu x, apoi alegeți-o astfel încât problema auxiliară să fie rezolvată la o valoare dată și să nu se rezolve atunci când x este crescut cu unu.

3. Regula „interesantă”: faceți condițiile problemei mai interesante.

4. Regula „temporară”: dacă în sarcină are loc un proces și starea finală este mai precisă decât cea inițială, merită să începeți timpul în direcția opusă: luați în considerare ultimul pas al procesului, apoi penultimul unul etc.

Luați în considerare aplicarea acestor reguli.

Sarcina numărul 1. Cinci băieți au găsit nouă ciuperci. Demonstrați că cel puțin două dintre ele au găsit un număr egal de ciuperci.

primul pas Sunt o mulțime de băieți. Lasă-le să fie cu 2 mai puțin în următoarea problemă.

„Trei băieți au găsit x ciuperci. Demonstrați că cel puțin doi dintre ei au găsit ciuperci în mod egal.

Pentru a demonstra acest lucru, să stabilim pentru care x are o soluție problema.

Pentru x=0, x=1, x=2 problema are soluție, pentru x=3 problema nu are soluție.

Să formulăm o problemă similară.

Trei băieți au găsit 2 ciuperci. Demonstrați că cel puțin două dintre ele au găsit un număr egal de ciuperci.

Lasă toți cei trei băieți să găsească un număr diferit de ciuperci. Atunci numărul minim de ciuperci este 3, deoarece 3=0+1+2. Dar, după condiție, numărul de ciuperci este mai mic de 3, așa că doi din trei băieți au găsit același număr de ciuperci.

La rezolvarea problemei inițiale, raționamentul este exact același. Lăsați toți, cinci băieți, să găsească un număr diferit de ciuperci. Numărul minim de ciuperci ar trebui să fie atunci 10. (10 =0+1+2+3+4). Dar după condiție, numărul ciupercilor este mai mic de 10, așa că cei doi băieți au găsit același număr de ciuperci.

La rezolvare a fost folosită regula „necunoscută”.

Sarcina numărul 2. Lebedele zburau peste lacuri. Jumătate dintre lebede și o jumătate de lebădă au aterizat pe fiecare, restul au zburat mai departe. Toți s-au așezat pe cele șapte lacuri. Câte lebede au fost?

primul pas Există un proces, starea inițială nu este definită, starea finală este zero, adică. nu erau lebede zburătoare.

Începem timpul în direcția opusă, după ce am venit cu următoarea sarcină:

Lebedele zburau peste lacuri. Pe fiecare a decolat câte o jumătate de lebădă și mai multe câte acum zburau. Toate au decolat din șapte lacuri. Câte lebede au fost?

2 pas. Pornim de la zero:

(((((((0+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2 =127.

Sarcina numărul 3.

Un mocasnic și un diavol s-au întâlnit la podul de peste râu. Locașul s-a plâns de sărăcia lui. Ca răspuns, diavolul a sugerat:

Te pot ajuta. De fiecare dată când treci acest pod, banii tăi se vor dubla. Dar de fiecare dată când vei trece podul va trebui să-mi dai 24 de copeici. Mocasnul a traversat podul de trei ori, iar când s-a uitat în portofel, acesta era gol. Câți bani avea leneșul?

(((0+24):2+24):2+24):2= 21

La rezolvarea problemelor nr.2 și nr.3 s-a folosit regula „temporară”.

Sarcina numărul 4. Un fierar împinge o copită în 15 minute. Cât timp vor dura 8 fierari pentru a potcovi 10 cai. (Un cal nu poate sta pe două picioare.)

primul pas Sunt prea mulți cai și fierari, să le reducem proporțional numărul, alcătuind problema.

Un potcovar încălță o copită în cinci minute. Cât timp durează patru fierari să potcovească cinci cai?

Este clar că timpul minim posibil este de 25 de minute, dar se poate ajunge? Este necesar să se organizeze munca fierarilor fără timp de nefuncționare. Să acționăm fără a rupe simetria. Aranjați cinci cai într-un cerc. După ce patru fierari au încălțat câte o copită de cal fiecare, fierarii mută câte un cal în cerc. Pentru a ocoli întregul cerc, va fi nevoie de cinci cicluri de lucru timp de cinci minute. Pe parcursul a 4 cicluri, fiecare cal va fi potcovit și un ciclu va fi odihnit. Drept urmare, toți caii vor fi potcoși în 25 de minute.

2 pas. Revenind la problema inițială, rețineți că 8=2*4 și 10=2*5. Apoi, 8 fierari trebuie împărțiți în două brigăzi

4 persoane fiecare, iar cai - două turme de câte 5 cai fiecare.

În 25 de minute, prima echipă de fierari va forma prima turmă, iar a doua - a doua.

La rezolvare, a fost folosită regula „următoarea”.

Desigur, poate exista o problemă la care niciuna dintre regulile de mai sus nu poate fi aplicată. Apoi, trebuie să inventați o metodă specială pentru a rezolva această problemă.

Trebuie amintit că rezolvarea problemelor non-standard este o artă care poate fi stăpânită doar ca urmare a introspecției constante a acțiunilor de rezolvare a problemelor.

2. Funcțiile educaționale ale sarcinilor nestandardizate.

Rolul sarcinilor non-standard în formarea gândirii logice.

În stadiul actual al educației, a existat tendința de a folosi sarcinile ca o componentă necesară a predării matematicii elevilor. Acest lucru se explică, în primul rând, prin cerințele tot mai mari care vizează întărirea funcțiilor de dezvoltare ale antrenamentului.

Conceptul de „sarcină non-standard” este folosit de mulți metodologi. Asa de, Yu. M. Kolyagin extinde această noțiune după cum urmează: non-standardînțeles sarcină, la prezentarea cărora, elevii nu cunosc dinainte nici metoda de rezolvare a acesteia, nici pe ce material educațional se bazează soluția.

Pe baza analizei teoriei și practicii utilizării sarcinilor nestandardizate în predarea matematicii, a fost stabilit rolul general și specific al acestora.

Sarcini non-standard:

Ei îi învață pe copii să folosească nu numai algoritmi gata pregătiți, ci și să găsească în mod independent noi modalități de a rezolva probleme, adică contribuie la capacitatea de a găsi modalități originale de rezolvare a problemelor;

Influențarea dezvoltării ingeniozității, ingeniozității elevilor;

previne dezvoltarea unor clișee dăunătoare la rezolvarea problemelor, distrug asocierile incorecte în cunoștințele și aptitudinile elevilor, implică nu atât asimilarea tehnicilor algoritmice, cât găsirea de noi conexiuni în cunoștințe, la transfer

cunoașterea în condiții noi, la stăpânirea diferitelor metode de activitate mentală;

Ele creează condiții favorabile pentru creșterea forței și profunzimii cunoștințelor elevilor, asigură asimilarea conștientă a conceptelor matematice.

Sarcini non-standard:

Nu ar trebui să aibă algoritmi gata pregătiți memorați de copii;

Ar trebui să fie accesibil în conținut pentru toți studenții;

Trebuie să fie interesant în conținut;

Pentru a rezolva sarcini non-standard, elevii ar trebui să aibă suficiente cunoștințe dobândite de ei în program.

3.Metodologie pentru formarea capacității de rezolvare a sarcinilor nestandardizate.

Sarcina numărul 1.

O caravană de cămile se mișcă încet prin deșert, sunt în total 40. Dacă numărați toate cocoașele acestor cămile, obțineți 57 de cocoașe. Câte cămile cu o cocoașă sunt în această rulotă?

Câte cocoașe pot avea cămilele?

(pot fi doi sau unul)

Să atașăm câte o floare la fiecare cămilă pe o cocoașă.

De câte flori vei avea nevoie? (40 de cămile - 40 de flori)

Câte cămile vor rămâne fără flori?

(Vor fi 57-40=17 dintre ele. Acestea sunt a doua cocoașă de cămile cu două cocoașe).

Câte cămile bactriane? (17)

Câte cămile cu o cocoașă? (40-17=23)

Care este răspunsul la problemă? (17 și 23 cămile).

Sarcina numărul 2.

În garaj erau mașini și motociclete cu sidecar, toate împreună 18. Mașinile și motocicletele aveau 65 de roți. Câte motociclete cu sidecar erau în garaj dacă mașinile aveau 4 roți și motocicleta avea 3 roți?

Să reformulăm problema. Tâlharii care au venit în garaj, unde erau 18 mașini și motociclete cu sidecar, au scos câte trei roți din fiecare mașină și fiecare motocicletă și le-au dus. Câte roți au rămas în garaj dacă erau 65? Aparțin unei mașini sau motociclete?

Câte roți au luat tâlharii? (3*18=54 roți)

Câte roți au mai rămas? (65-54=11)

Câte mașini erau în garaj?

În garaj erau 18 mașini și motociclete cu un sidecar. Mașinile și motocicletele au 65 de roți. Câte motociclete sunt în garaj dacă pun o roată de rezervă în fiecare sidecar?

Câte roți aveau împreună mașinile și motocicletele? (4*18=72)

Câte roți de rezervă ai pus în fiecare cărucior? (72-65=7)

Câte mașini sunt în garaj? (18-7=1)

Sarcina numărul 3.

Pentru un cal și două vaci se dau zilnic 34 kg de fân, iar pentru doi cai și o vacă - 35 kg de fân. Cât fân se dă unui cal și cât unei vaci?

Să scriem o scurtă condiție a problemei:

1 cal si 2 vaci -34kg.

2 cai si 1 vaca -35kg.

Este posibil să știți cât fân este necesar pentru 3 cai și 3 vaci? (pentru 3 cai si 3 vaci - 34+35=69 kg)

Este posibil să știți cât fân este necesar pentru un cal și o vaca? (69: 3 - 23 kg)

Cât fân este necesar pentru un cal? (35-23=12kg)

Cât fân este necesar pentru o vaca? (23 -13 = 11 kg)

Răspuns: 12 kg și 11 kg

Sarcina numărul 4.

- Gâștele au zburat: 2 în față, 1 în spate, 1 în față, 2 în spate.

Câte gâște au zburat?

Câte gâște au zburat, așa cum se menționează în condiție? (2 înainte, 1 în spate)

Desenați-l cu puncte.

Desenați cu puncte.

Numără ceea ce ai (2 în față, 1, 1, 2 în spate)

Asta spune condiția? (Nu)

Deci ai desenat gâște în plus. Din desenul tău, poți spune că 2 este în față și 4 în spate sau 4 este în față și 2 în spate. Și aceasta nu este o condiție. Ce trebuie făcut? (elimina ultimele 3 puncte)

Ce se va intampla?

Deci câte gâște au zburat? (3)

Sarcina numărul 5.

Patru rătuci și cinci găsări cântăresc 4 kg 100 g, cinci rătuci și patru găsări cântăresc 4 kg. Cât cântărește o rață?

Să reformulăm problema.

Patru rătuci și cinci găsări cântăresc 4 kg 100 g, cinci rătuci și patru găsări cântăresc 4 kg.

Cât cântăresc împreună o rățușă și un gâscăr?

Cât cântăresc 9 rătuci și 9 găsări împreună?

Aplicați soluția problemei auxiliare pentru a rezolva cea principală, știind cât cântăresc împreună 3 rătuci și 3 omizi?

Sarcini cu elemente de combinatorie și ingeniozitate.

Sarcina numărul 6.

Marina a decis să ia micul dejun la cantina școlii. Uită-te la meniu și spune-mi în câte moduri poate alege o băutură și o cofetărie?

Să presupunem că Marina alege ceaiul din băuturi. Ce produse de cofetărie poate alege pentru ceai? (ceai - cheesecake, ceai - fursecuri, ceai - rulou)

Câte moduri? (3)

Și dacă compot? (de asemenea 3)

Deci, de unde știi câte moduri poate folosi Marina pentru a-și alege prânzul? (3+3+3=9)

Da ai dreptate. Dar pentru a ne ușura rezolvarea unei astfel de probleme, vom folosi grafice. Să notăm băuturi și cofetarie cu puncte și să conectăm perechile de preparate pe care le alege Marina.

ceai compot de lapte

chifla prăjituri cu brânză

Acum să numărăm numărul de linii. Sunt 9. Deci, există 9 moduri de a alege feluri de mâncare.

Sarcina numărul 7.

Trei eroi - Ilya Muromets, Alyosha Popovich și Dobrynya Nikitich, protejându-se de invazie pământ natal, a redus Serpent Gorynych toate cele 13 goluri. Ilya Muromets a tăiat cele mai multe capete, iar Alyosha Popovich a tăiat cele mai puține. Câte capete ar putea tăia fiecare dintre ei?

Cine poate răspunde la această întrebare?

(profesorul întreabă mai multe persoane - fiecare are răspunsuri diferite)

De ce există răspunsuri diferite? (pentru că nu se spune în mod specific câte capete au fost tăiate de cel puțin unul dintre eroi)

Să încercăm să găsim toate soluțiile posibile la această problemă. Tabelul ne va ajuta cu asta.

Ce condiție trebuie să îndeplinim atunci când rezolvăm această problemă? (Toți eroii tăiați sumă diferită goluri, iar Alioșa are cel mai puțin, Ilya are cel mai mult)

Câte soluții posibile are această problemă? (opt)

Astfel de probleme se numesc probleme cu soluții multiple.

Compuneți problema cu mai multe soluții.

Sarcina numărul 8.

-În bătălia cu șarpele cu trei capete și trei cozi Gorynych

Ivan Tsarevich cu o lovitură de sabie poate tăia fie un cap, fie două capete, fie o coadă, fie două cozi. Dacă tăiați un cap, va crește unul nou; dacă tăiați o coadă, vor crește două noi; dacă tăiați două cozi, va crește un cap; dacă tăiați două capete, nu va crește nimic. Sfătuiește-l pe Ivan Tsarevich ce să facă, astfel încât să poată tăia toate capetele și cozile Șarpelui.

Ce se va întâmpla dacă Ivan Țarevici va tăia un cap? (va crește un cap nou)

Are sens să tai un cap? (nu, nimic nu se va schimba)

Deci, tăierea unui cap este exclusă - o pierdere suplimentară de timp și efort.

Ce se întâmplă dacă o coadă este tăiată? (două cozi noi vor crește)

Și dacă tăiați două cozi? (capul creste)

Dar două capete? (nimic nu va crește)

Deci, nu putem tăia un cap, pentru că nimic nu se va schimba, capul va crește din nou. Este necesar să se realizeze o astfel de situație încât să existe un număr par de capete și fără cozi. Dar pentru aceasta este necesar să existe un număr par de cozi.

Cum poți obține rezultatul dorit?

unu). Prima lovitură: tăiați 2 cozi - vor fi 4 capete și 1 coadă;

A 2-a lovitură: tăiați 1 coadă - vor fi 4 capete și 2 cozi;

A 3-a lovitură: tăiați 1 coadă - vor fi 4 capete și 3 cozi;

A 4-a lovitură: tăiați 1 coadă - vor fi 4 capete și 4 cozi;

A 5-a lovitură: tăiați 2 cozi - vor fi 5 capete și 2 cozi;

A șasea lovitură: tăiați 2 cozi - vor fi 6 capete și 0 cozi;

A 7-a lovitură: tăiați 2 capete - vor fi 4 capete;

2). Prima lovitură: tăiați 2 capete - devine 1 cap și 3 cozi;

A 2-a lovitură: tăiați 1 coadă - vor fi 1 cap și 4 cozi;

A 3-a lovitură: tăiați 1 coadă - vor fi 1 cap și 5 cozi;

A 4-a lovitură: tăiați 1 coadă - va fi 1 cap și 6 cozi;

A 5-a lovitură: tăiați 2 cozi - vor fi 2 capete și 4 cozi;

A 6-a lovitură: tăiați 2 cozi - vor fi 3 capete și 2 cozi;

A 7-a lovitură: tăiați 2 cozi - vor fi 4 capete;

A 8-a lovitură: tăiați 2 capete - vor fi 2 capete;

A 9-a lovitură: tăiați 2 capete - devine 0 capete.

Sarcina numărul 9.

În familie sunt patru copii: Seryozha, Ira, Vitya și Galya. Au 5, 7, 9 și 11 ani. Câți ani are fiecare dintre ei, dacă se duce unul dintre băieți Grădiniţă, Ira este mai tânără decât Serezha, iar suma anilor fetelor este divizibilă cu 3?

Repetați afirmația problemei.

Pentru a nu ne confunda în procesul de raționament, desenăm un tabel.

Ce știm despre unul dintre băieți? (merge la gradinita)

Câți ani are băiatul ăsta? (5)

Numele acestui băiat ar putea fi Seryozha? (nu, Seryozha este mai în vârstă decât Ira, așa că îl cheamă Vitya)

Să punem semnul „+” în linia „Vitya”, coloana „5”. Deci, cel mai mic copil se numește Vitya și are 5 ani.

Ce știm despre Ira? (ea este mai mică decât Serezha și dacă adăugăm vârsta unei alte surori la vârsta ei, atunci această sumă va fi împărțită la 3)

Să încercăm să calculăm toate sumele numerelor 7, 9 și 11.

16 și 20 nu sunt divizibile cu 3, dar 18 este divizibil cu 3.

Deci fetele au 7 și 11 ani.

Câți ani are Seryozha? (nouă)

Și Ire? (7, pentru că este mai tânără decât Serezha)

Și Gale? (11 ani)

Introducerea datelor într-un tabel:

Care este răspunsul la problemă? (Vita are 5 ani, Ira are 7 ani, Serezha are 9 ani și Galya are 11 ani)

Sarcina numărul 10.

Katya, Sonya, Galya și Toma s-au născut pe 2 martie, 17 mai, 2 iunie, 20 martie. Sonya și Galya s-au născut în aceeași lună, în timp ce Galya și Katya au avut aceeași zi de naștere. Cine, ce dată și în ce lună s-a născut?

Citiți sarcina.

Ce știm? (că Sonya și Galya s-au născut în aceeași lună, iar Galya și Katya s-au născut la aceeași dată)

Deci, în ce lună este ziua Sonya și Galya? (în martie)

Și ce poți spune despre Galya, știind că s-a născut în martie și chiar și numărul ei se potrivește cu numărul lui Katya? (Galia s-a născut pe 2 martie)

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Foloseste formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

postat pe http://www.allbest.ru/

Introducere

1. Fundamente teoretice pentru formarea interesului pentru matematică

1.1 Esența conceptului de „interes”

1.2 Sarcini nestandard și tipurile acestora

1.3 Metode de rezolvare a problemelor nestandardizate

2. Formarea abilităților școlarilor de a rezolva sarcini nestandardizate

2.1 Sarcini nestandard pentru elevi scoala elementara

2.2 Sarcini nestandard pentru școala principală

Concluzie

Literatură

Introducere

Strategie învăţământul modern este de a oferi tuturor elevilor o oportunitate de a-și arăta talentele și creativitatea, ceea ce presupune posibilitatea implementării planurilor personale. Prin urmare, astăzi este relevantă problema găsirii mijloacelor de dezvoltare a abilităților mentale asociate activității creative a elevilor, atât în ​​formele colective, cât și în cele individuale de educație. Lucrarea profesorilor T.M. este dedicată acestei probleme. Davydenko, L.V. Zankova, A.I. Savenkov și alții, care se concentrează pe determinarea mijloacelor de creștere a activității cognitive productive a elevilor, organizarea activității lor creative.

Interesul pentru materie contribuie la dobândirea activă a cunoștințelor, întrucât studenții studiază în virtutea dorinței lor interioare, la cererea lor. Apoi învață materialul educațional destul de ușor și temeinic. Dar, în ultimul timp, s-a remarcat un fapt alarmant și paradoxal: interesul pentru învățare este în scădere de la clasă la clasă, în ciuda faptului că interesul pentru fenomenele și evenimentele din lumea înconjurătoare continuă să se dezvolte, devenind mai complex în conținut.

Creșterea interesului școlarilor pentru matematică, dezvoltarea abilităților lor matematice este imposibilă fără utilizarea sarcinilor de inteligență, sarcini de glumă, puzzle-uri numerice, sarcini de basm etc. în procesul educațional. În acest sens, a existat o tendință de a folosi sarcinile non-standard ca o componentă necesară a predării elevilor la matematică (S. G. Guba, 1972).

Experiența pedagogică arată că „... activitatea educațională organizată eficient a elevilor în procesul de rezolvare a problemelor non-standard este cel mai important mijloc de formare a culturii matematice și a calităților gândirii matematice; combinația organică a acestor calități se manifestă în abilitățile speciale ale unei persoane, oferindu-i posibilitatea de a desfășura cu succes activitate creativă.

Astfel, pe de o parte, este necesar să-i învățăm pe elevi să rezolve sarcini nestandardizate, deoarece astfel de sarcini joacă un rol special în formarea interesului pentru subiect și în modelarea personalitate creativă Pe de altă parte, numeroase date indică faptul că problemei dezvoltării capacității de a rezolva astfel de probleme, învățarea cum să găsești soluții la probleme nu i se acordă atenția cuvenită.

Cele de mai sus au determinat alegerea temei de cercetare: „Sarcini non-standard ca mijloc de formare a interesului elevilor pentru matematică”.

Obiect de studiu - procesul de formare a interesului pentru matematică în rândul elevilor.

Subiect de studiu- formarea deprinderilor elevilor de a rezolva probleme nestandard pentru formarea interesului pentru matematică.

Scopul studiului- să demonstreze că cunoașterea diverselor metode contribuie la formarea abilităților elevilor de a rezolva probleme nestandardizate.

În conformitate cu scopul, obiectivele cercetării:

Studiu psihologic, pedagogic și științific literatura metodologicași caracterizarea conceptelor de „interes” și „sarcină non-standard”.

· Identificarea tipurilor de sarcini non-standard.

· Cunoașterea metodelor de rezolvare a problemelor non-standard.

· Alcătuirea de materiale didactice pentru elevi privind formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor nestandardizate folosind diferite metode.

Această lucrare constă dintr-o introducere, două capitole, o concluzie și o listă de referințe. Primul capitol este de natură teoretică, se discută diverse interpretări ale conceptului de „interes”, evidențiază rolul sarcinilor non-standard în modelarea interesului elevilor pentru matematică și oferă câteva clasificări ale sarcinilor nestandardizate. Al doilea capitol prezintă autorul studiului material didactic care vizează dezvoltarea capacităţii de a rezolva probleme non-standard folosind diferite metode

Pe parcursul studiului s-a folosit o metodă teoretică, analiza literaturii educaționale și metodologice și modelare.

1. Fundamente teoretice pentru formarea interesului pentru matematică

1.1 Esența înțeleasăși eu« interes»

Există abordări diferite ale conceptului de „interes”. Diferiți metodiști și savanți îl interpretează diferit. Deci, de exemplu, un lingvist, lexicograf, doctor în științe filologice și profesorul Serghei Ivanovici Ozhegov oferă mai multe definiții conceptului de „interes”:

1. Atenție deosebită la ceva, dorința de a pătrunde în esență, de a învăța, de a înțelege. (Arătați interes pentru caz. Pierdeți interesul față de interlocutor. Interes crescut pentru tot ce este nou).

2. Distracție, semnificație. (Interesul poveștii este în intriga ei. Cazul este de interes public).

3. Nenumărate nevoi, nevoi. (Interese de grup. Protejarea intereselor noastre. Interese spirituale. Nu este în interesele noastre).

4. Beneficiu, interes propriu (colocvial). (El are propriul său interes aici. Joacă pentru dobândă - pentru bani) (S.I. Ozhegov, 2009).

Omul de știință și scriitorul rus Vladimir Ivanovich Dal, care a devenit faimos ca autor al Dicționarului explicativ al marii limbi ruse vie, dă următoarea definiție:

"Interes - beneficiu, beneficiu, profit; dobândă, creștere pe bani; simpatie pentru cineva sau ceva, participare, grija. Distracție sau semnificație, importanța problemei.

Interesul este orientarea selectivă a unei persoane, atenția sa, gândurile, gândurile (S.L. Rubinshtein).

Interesul este un fel de fuziune a proceselor emoțional-voliționale și intelectuale, care mărește activitatea conștiinței și a activității umane (L.A. Gordon).

Interesul este o orientare cognitivă activă a unei persoane către un anumit obiect, fenomen și activitate, creată cu o atitudine emoțională pozitivă față de ea (V.A. Krutetsky)".

Interesele unei persoane sunt determinate de condițiile socio-istorice și individuale ale vieții sale. Cu ajutorul interesului se stabilește legătura subiectului cu lumea obiectivă. Tot ceea ce constituie subiectul de interes este cules de o persoană din realitatea înconjurătoare. Dar subiectul de interes pentru o persoană este departe de tot ceea ce o înconjoară, ci doar de ceea ce este necesar pentru el, semnificația, valoarea și atractivitatea.

Interesele oamenilor sunt extrem de diverse. Există mai multe clasificări ale intereselor:

interese materiale (Manifestate în dorința de locuință, produse gastronomice, îmbrăcăminte etc.);

interese spirituale (Acestea sunt interese cognitive în matematică, fizică, chimie, biologie, filozofie, psihologie etc., interese în literatură și tipuri diferite arte (muzică, pictură, teatru). caracteriza nivel inalt dezvoltare personala.);

interese publice (Include interes pentru asistență socială, activități organizaționale.);

dupa directie:

interese largi (O varietate de interese în prezența unui interes principal, central.);

interese înguste (Prezența unuia sau a două interese limitate și izolate cu indiferență totală față de orice altceva.);

interese profunde (Nevoia de a studia amănunțit obiectul în toate detaliile și subtilitățile.);

interese superficiale (Alunecând pe suprafața fenomenului și nu există un interes real pentru obiect.);

După putere:

interese sustenabile (persiste mult timp, joacă un rol semnificativ în viața și activitățile unei persoane și sunt trăsături relativ fixe ale personalității sale.);

interese instabile (comparativ pe termen scurt: apar rapid și dispar rapid.);

Prin mediere:

interese directe (imediate) (cauzate de însuși conținutul unui anumit domeniu de cunoaștere sau activitate, amuzamentul și fascinația acestuia.);

interese indirecte (mediate) (Nu sunt cauzate de conținutul obiectului, ci de valoarea pe care acesta o are, fiind asociate cu un alt obiect care prezintă interes direct pentru o persoană.);

Din punct de vedere al eficacității:

interese pasive;

interese contemplative (Când o persoană este limitată la percepția unui obiect de interes.);

interese active;

interes efectiv (Când o persoană nu se limitează la contemplare, ci acționează pentru a stăpâni obiectul de interes.) (G.I. Shchukina, 1988).

Exista un fel special interesele umane – interesul cognitiv.

„Interesul cognitiv este orientarea selectivă a personalității, îndreptată către domeniul cunoașterii, spre subiectul acesteia și chiar procesul de stăpânire a cunoașterii”.

Interesul cognitiv poate fi larg, extinzându-se la obținerea de informații în general și aprofundat într-o anumită zonă de cunoaștere. Are drept scop însușirea cunoștințelor care sunt prezentate la disciplinele școlare. Totodată, se adresează nu numai conținutului acestui subiect, ci și procesului de obținere a acestor cunoștințe, activității cognitive. student la pedagogie matematică

În pedagogie, alături de termenul de „interes cognitiv”, este folosit termenul de „interes de învățare”. Conceptul de „interes cognitiv” este mai larg, deoarece în zona de interes cognitiv nu există doar cunoștințe limitate de curricula, ci și depășesc cu mult limitele acesteia.

În literatura străină, termenul „interes cognitiv” este absent, dar există conceptul de „interes intelectual”. De asemenea, acest termen nu include tot ceea ce este inclus în conceptul de „interes cognitiv”, deoarece cunoașterea include nu numai procese intelectuale, ci și elemente ale acțiunilor practice legate de cunoaștere.

Interesul cognitiv este o conexiune procesele mentale: intelectual, voinic și emoțional. Sunt foarte importante pentru dezvoltarea personală.

În activitatea intelectuală, procedând sub influența interesului cognitiv, se manifestă următoarele:

· căutare activă;

· o presupunere;

abordarea cercetării;

disponibilitatea de a rezolva probleme.

Manifestări emoționale care însoțesc interesul cognitiv:

emoții de surpriză

un sentiment de anticipare a ceva nou;

sentiment de bucurie intelectuală;

sentiment de succes.

Manifestările voliționale caracteristice interesului cognitiv sunt:

initiativa de cautare;

independență în obținerea cunoștințelor;

Promovarea și stabilirea sarcinilor cognitive.

Deci, aspectele intelectuale, voliționale și emoționale ale interesului cognitiv acționează ca un singur întreg interconectat.

Originalitatea interesului cognitiv se exprimă în studiul aprofundat, în dobândirea constantă și independentă de cunoștințe în domeniul de interes, în dobândirea activă a metodelor necesare pentru aceasta, în depășirea persistentă a dificultăților care stau în modul de stăpânire a cunoștințelor și modalități de a le obține.

Psihologii și educatorii identifică trei motive principale care încurajează studenții să învețe:

Interes pentru materie (studiez matematica nu pentru ca urmaresc un scop, ci pentru ca insusi procesul de studiu imi face placere). Cel mai înalt grad de interes este pasiunea. Activitățile pasionale generează putere emoții pozitive, iar incapacitatea de a practica este percepută ca privare.

· Constiinta. (Cursele pe această temă nu sunt interesante pentru mine, dar sunt conștient de necesitatea lor și printr-un efort de voință mă forțesc să studiez).

· Constrângere. (Învățăm pentru că mă forțează părinții și profesorii). Adesea constrângerea este susținută de teama de pedeapsă sau de momeala de recompensă. Diverse măsuri coercitive în majoritatea cazurilor nu dau rezultate pozitive (25, p. 24).

Interesat de grad înaltîmbunătățește eficiența lecțiilor. Dacă elevii studiază din dorința lor interioară, din propria lor voință, atunci învață materialul educațional destul de ușor și temeinic și, prin urmare, au note bune la materie. Majoritatea elevilor cu rezultate slabe manifestă o atitudine negativă față de învățare. Astfel, cu cât interesul elevului față de subiect este mai mare, cu atât învățarea este mai activă și rezultatele acesteia sunt mai bune. Cu cât interesul este mai scăzut, cu cât antrenamentul este mai formal, cu atât rezultatele sale sunt mai proaste. Lipsa de interes duce la o calitate scăzută a învățării, la uitarea rapidă și chiar la pierderea completă a cunoștințelor, abilităților și abilităților dobândite.

Formând interesele cognitive ale elevilor, trebuie avut în vedere că acestea nu pot acoperi toate subiecte. Interesele sunt selective, iar un student, de regulă, se poate angaja într-o pasiune reală doar pentru una sau două materii. Dar, prezența unui interes stabil pentru o anumită materie are un efect pozitiv asupra activității academice la alte discipline, atât factorii intelectuali, cât și cei morali contează aici. intens dezvoltare mentală asociat cu un studiu aprofundat al unei discipline, facilitează și face mai eficientă predarea elevului la alte discipline. Pe de altă parte, progresul realizat în activitatea academică la disciplinele preferate întărește stima de sine a elevului, iar acesta se străduiește să studieze cu sârguință în general.

O sarcină importantă a profesorului este de a forma primele două motive de învățare la școlari - interes pentru materie și simțul datoriei, responsabilitate în învățare. Combinația lor va permite elevului să realizeze rezultate buneîn activități educaționale.

Formarea intereselor cognitive începe cu mult înainte de școală, în familie, apariția lor este asociată cu apariția la copii a unor întrebări precum „De ce?”, „De ce?”, „De ce?”. Interesul apare initial sub forma curiozitatii. Până la capăt înainte varsta scolara sub influența bătrânilor, copilul dezvoltă un interes pentru a învăța la școală: nu numai că joacă la școală, dar face și încercări reușite de a stăpâni cititul, scrisul, număratul etc.

În școala primară, interesele cognitive se adâncesc. Se formează o conștiință a semnificației vitale a învățăturii. În timp, interesele cognitive se diferențiază: unora le place mai mult matematica, altora le place lectura etc. Copiii manifestă un mare interes pentru procesul travaliului, mai ales dacă acesta este realizat în echipă. Predarea și alte tipuri de cunoaștere intră în conflict, deoarece noile interese ale școlarilor nu sunt suficient de satisfăcute la școală. Interesele dispersate și instabile ale adolescenților se explică și prin faptul că ei „bâjbâie” interesul lor principal, central, pivot, ca bază a orientării lor de viață și se încearcă ei înșiși în diferite domenii. Când interesele și înclinațiile adolescenților sunt în sfârșit determinate, atunci abilitățile lor încep să se formeze și să se manifeste clar. Până la sfârșitul adolescenței, încep să se formeze interese pentru o anumită profesie. La vârsta școlii superioare, dezvoltarea intereselor cognitive, creșterea unei atitudini conștiente față de învățare determină dezvoltarea ulterioară a arbitrarului proceselor cognitive, capacitatea de a le gestiona și de a le reglementa în mod conștient. La sfârșitul vârstei în vârstă, studenții își stăpânesc procesele cognitive, își subordonează organizarea anumitor sarcini ale vieții și activității.

Unul dintre mijloacele de dezvoltare a interesului pentru matematică sunt sarcinile non-standard. Să ne oprim asupra lor mai detaliat.

1. 2 Sarcini non-standard și tipurile acestora

Conceptul de „sarcină non-standard” este folosit de mulți metodologi. Deci, Yu. M. Kolyagin dezvăluie acest concept după cum urmează: „Sub non-standardînțeles sarcină, la prezentarea cărora, elevii nu cunosc dinainte nici metoda de rezolvare a acesteia, nici pe ce material educațional se bazează soluția.

Definiția unei probleme non-standard este dată și în cartea „Cum să înveți să rezolvi probleme” de autorii L.M. Fridman, E.N. Turc: " Sarcini non-standard- acestea sunt cele pentru care nu există reguli și reglementări generale în cursul matematicii care să determine programul exact pentru rezolvarea lor.

Nu confunda sarcinile non-standard cu sarcinile de complexitate crescută. Condițiile problemelor de complexitate crescută sunt de așa natură încât permit elevilor să selecteze destul de ușor aparatul matematic necesar pentru rezolvarea unei probleme de matematică. Profesorul controlează procesul de consolidare a cunoştinţelor oferite de programul de formare prin rezolvarea problemelor de acest tip. Dar o sarcină non-standard implică prezența unei naturi exploratorii. Totuși, dacă rezolvarea unei probleme de matematică pentru un elev este nestandard, deoarece nu este familiarizat cu metodele de rezolvare a problemelor de acest tip, atunci pentru altul, rezolvarea problemei are loc într-un mod standard, deoarece el are a rezolvat deja astfel de probleme și mai mult de una. Aceeași sarcină la matematică în clasa a V-a este nestandard, iar în clasa a VI-a este obișnuită și nici măcar de complexitate crescută.

O analiză a manualelor și a materialelor didactice de matematică arată că fiecare sarcină de text în anumite condiții poate fi nestandard, iar în altele - obișnuită, standard. O problemă standard dintr-un curs de matematică poate fi nestandard într-un alt curs.

Pe baza analizei teoriei și practicii utilizării sarcinilor nestandardizate în predarea matematicii, se poate stabili rolul general și specific al acestora. Sarcini non-standard:

· învățați copiii nu numai să folosească algoritmi gata pregătiți, ci și să găsească în mod independent noi modalități de rezolvare a problemelor, de ex. contribuie la capacitatea de a găsi modalități originale de rezolvare a problemelor;

influența dezvoltarea ingeniozității, a ingeniozității elevilor;

Ele împiedică dezvoltarea clișeelor ​​dăunătoare la rezolvarea problemelor, distrug asocierile incorecte în cunoștințele și abilitățile elevilor, implică nu atât asimilarea tehnicilor algoritmice, cât descoperirea de noi conexiuni în cunoștințe, transferul cunoștințelor în condiții noi și stăpânirea diferitelor metode de activitate mentală;

să creeze condiții favorabile pentru creșterea forței și profunzimii cunoștințelor elevilor, să asigure asimilarea conștientă a conceptelor matematice.

Sarcini non-standard:

nu ar trebui să aibă algoritmi gata pregătiți memorați de copii;

ar trebui să fie accesibil tuturor studenților din punct de vedere al conținutului;

trebuie să fie interesant în conținut;

Pentru a rezolva probleme non-standard, elevii ar trebui să aibă suficiente cunoștințe dobândite de ei în program.

Rezolvarea sarcinilor non-standard activează activitatea elevilor. Elevii învață să compare, să clasifice, să generalizeze, să analizeze, iar acest lucru contribuie la o asimilare mai puternică și mai conștientă a cunoștințelor.

După cum a arătat practica, sarcinile non-standard sunt foarte utile nu numai pentru lecții, ci și pentru activități extracurriculare, pentru sarcinile olimpiadei, deoarece acest lucru oferă posibilitatea de a diferenția cu adevărat rezultatele fiecărui participant. Astfel de sarcini pot fi folosite cu succes ca sarcini individuale pentru acei elevi care fac față cu ușurință și rapid la cea mai mare parte a muncii independente din lecție sau pentru cei care doresc ca sarcini suplimentare. Drept urmare, elevii primesc dezvoltare intelectualași pregătirea pentru activitatea practică activă.

Nu există o clasificare general acceptată a sarcinilor nestandardizate, dar B.A. Kordemsky identifică următoarele tipuri de astfel de sarcini:

· Sarcini legate de cursul școlar de matematică, dar de dificultate crescută – precum sarcinile olimpiadelor de matematică. Ele sunt destinate în principal școlarilor cu un interes clar pentru matematică; tematic, aceste sarcini sunt de obicei asociate cu una sau alta secțiune specifică a curriculumului școlar. Exercițiile legate de aceasta aprofundează materialul educațional, completează și generalizează prevederile individuale ale cursului școlar, extind orizonturile matematice și dezvoltă abilități de rezolvare a problemelor dificile.

· Probleme ale tipului de divertisment matematic. relatie directa cu curiculumul scolar nu au și, de regulă, nu necesită o pregătire matematică excelentă. Acest lucru nu înseamnă însă că a doua categorie de sarcini include doar exerciții ușoare. Aici există probleme cu o soluție foarte dificilă și astfel de probleme, a căror soluție încă nu a fost obținută. „Sarcinile non-standard, prezentate într-un mod distractiv, aduc un moment emoționant activităților mentale. Nu sunt asociate cu nevoia de a aplica de fiecare dată reguli și tehnici învățate pentru a le rezolva, ele necesită mobilizarea tuturor cunoștințelor acumulate, îi învață să caute metode de rezolvare originale, fără șablon, îmbogățesc arta de a rezolva exemple frumoase, te fac să admiri puterea minții”.

Aceste tipuri de sarcini includ:

o varietate de puzzle-uri numerice ("... exemple în care toate sau unele dintre numere sunt înlocuite cu asteriscuri sau litere. Aceleași litere înlocuiesc aceleași numere, litere diferite - numere diferite" .) și puzzle-uri pentru ingeniozitate;

sarcini logice, a căror rezolvare nu necesită calcule, ci se bazează pe construirea unui lanț de raționament exact;

sarcini, a căror soluție se bazează pe o combinație de dezvoltare matematică și ingeniozitate practică: cântărire și transfuzii în condiții dificile;

sofistica matematică este o concluzie deliberată, falsă, care are aparența de a fi corectă. (Sofismul este o dovadă a unei afirmații false, iar eroarea din demonstrație este deghizată cu pricepere. Sofismul în greacă înseamnă o invenție vicleană, truc, puzzle);

sarcini de glumă;

probleme combinatorii, în care sunt luate în considerare diverse combinații de obiecte date care satisfac anumite condiții (B.A. Kordemsky, 1958).

Nu mai puțin interesantă este clasificarea problemelor non-standard dată de I.V. Egorcenko:

sarcini care vizează găsirea de relații între obiecte, procese sau fenomene date;

sarcini nerezolvabile sau nerezolvabile prin intermediul unui curs școlar la un anumit nivel de cunoștințe al elevilor;

Sarcini care necesită:

efectuarea și utilizarea analogiilor, determinarea diferențelor dintre obiecte, procese sau fenomene date, stabilirea opusului fenomenelor și proceselor date sau antipozii acestora;

implementarea unei demonstrații practice, abstracție de la anumite proprietăți ale unui obiect, proces, fenomen sau concretizare a uneia sau alteia laturi a acestui fenomen;

stabilirea de relații cauzale între obiecte, procese sau fenomene date;

construirea de lanțuri cauzale pe cale analitică sau sintetică cu analiza ulterioară a opțiunilor rezultate;

implementarea corectă a unei secvențe de anumite acțiuni, evitând erori-„capcane”;

implementarea tranziției de la o versiune plană la o versiune spațială a unui proces, obiect, fenomen dat sau invers (I.V. Egorchenko, 2003).

Deci, nu există o clasificare unificată a sarcinilor non-standard. Sunt mai multe, dar autorul lucrării a folosit clasificarea propusă de I.V. Egorcenko.

1.3 Metode de rezolvaresarcini standard

Filologul rus Dmitri Nikolaevici Uşakov în a lui dicţionar explicativ oferă o astfel de definiție a conceptului de „metodă” - o modalitate, metodă, metodă de cercetare teoretică sau implementare practică a ceva (D. N. Ushakov, 2000).

Care sunt metodele de predare de rezolvare a problemelor de matematică, pe care în prezent le considerăm nestandardizate? Din păcate, nimeni nu a venit cu o rețetă universală, având în vedere unicitatea acestor sarcini. Unii profesori se antrenează în exerciții șablon. Acest lucru se întâmplă astfel: profesorul arată modalitatea de rezolvare, iar apoi elevul repetă acest lucru atunci când rezolvă probleme de multe ori. În același timp, interesul studenților pentru matematică este ucis, ceea ce este cel puțin trist.

În matematică, nu există reguli generale care să permită rezolvarea oricărei probleme non-standard, deoarece astfel de probleme sunt într-o oarecare măsură unice. O sarcină non-standard în majoritatea cazurilor este percepută ca „o provocare la adresa intelectului și dă naștere nevoii de a se realiza în depășirea obstacolelor, în dezvoltarea abilităților creative”.

Luați în considerare mai multe metode pentru rezolvarea problemelor non-standard:

· algebric;

· aritmetic;

metoda de enumerare;

metoda de raționament;

practic;

metoda de a ghici.

Metoda algebrică rezolvarea problemelor se dezvoltă Abilități creative, capacitatea de a generaliza, formează gândirea abstractă și are avantaje precum concizia scrierii și raționamentul la întocmirea ecuațiilor, economisește timp.

Pentru a rezolva o problemă metoda algebrică necesar:

· să analizeze problema pentru a selecta principala necunoscută și a identifica relația dintre mărimi, precum și exprimarea acestor dependențe în limbaj matematic sub forma a două expresii algebrice;

găsiți baza pentru conectarea acestor expresii cu semnul „=" și faceți o ecuație;

găsiți soluții la ecuația rezultată, organizați o verificare a soluției ecuației.

Toate aceste etape ale rezolvării problemei sunt interconectate logic. De exemplu, menționăm căutarea unei baze pentru conectarea a două expresii algebrice cu semn egal ca etapă specială, dar este clar că la etapa anterioară, aceste expresii nu se formează în mod arbitrar, ci ținând cont de posibilitatea conectării lor. cu semnul „=”.

Atât identificarea dependențelor dintre cantități, cât și traducerea acestor dependențe în limbaj matematic necesită o activitate mentală intensă analitică și sintetică. Succesul în această activitate depinde, în special, de faptul dacă elevii știu ce relații pot avea aceste cantități în general și dacă înțeleg sensul real al acestor relații (de exemplu, relații exprimate prin termenii „mai târziu de...”, „ mai vechi de ... ori " etc.). Mai mult, este necesară înțelegerea tipului de acțiune matematică sau a proprietății acțiunii sau a conexiunii (dependenței) dintre componente și rezultatul acțiunii, cutare sau cutare relație particulară poate fi descrisă.

Să dăm un exemplu de rezolvare a unei probleme nestandard prin metoda algebrică.

Sarcină. Pescarul a prins un pește. Când a fost întrebat: „Care este masa sa?”, El a răspuns: „Masa cozii este de 1 kg, masa capului este aceeași cu masa cozii și jumătate din corp. Și masa corpului este aceeași cu masa capului și a cozii împreună. Care este masa peștelui?

Fie x kg masa corpului; atunci (1+1/2x) kg este masa capului. Deoarece, prin condiție, masa corpului este egală cu suma maselor capului și cozii, compunem și rezolvăm ecuația:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg este masa corpului, apoi 1+1/2 4=3 (kg) este masa capului și 3+4+1=8 (kg) este masa întregului pește;

Raspuns: 8 kg.

Metoda aritmetică soluțiile necesită, de asemenea, mult stres mental, care are un efect pozitiv asupra dezvoltării abilităților mentale, intuiției matematice, asupra formării capacității de a prevedea o situație din viața reală.

Luați în considerare un exemplu de rezolvare a unei probleme nestandard printr-o metodă aritmetică:

Sarcină. Doi pescari au fost întrebați: „Câți pești sunt în coșurile voastre?”

„În coșul meu este jumătate din cât are el în coș și încă 10”, a răspuns primul. „Și am în coș tot atâtea câte el are și chiar 20”, a calculat al doilea. Noi am numărat, iar acum tu numeri.

Să construim o diagramă pentru problemă. Fie primul segment al diagramei să desemneze numărul de pești pe care îi are primul pescar. Al doilea segment denotă numărul de pești de la al doilea pescar.

Datorită faptului că omul modern este necesar să avem o idee despre principalele metode de analiză a datelor și tiparele probabilistice care joacă rol importantîn știință, tehnologie și economie, elemente de combinatorie, teoria probabilităților și statistica matematică sunt introduse în cursul de matematică școlar, care sunt înțelese convenabil folosind metoda de enumerare.

Includerea problemelor combinatorii în cursul matematicii prevede influență pozitivă asupra dezvoltării elevilor. „Învățarea direcționată pentru a rezolva probleme combinatorii contribuie la dezvoltarea unei asemenea calități a gândirii matematice precum variabilitatea. Sub variabilitatea gândirii, ne referim la direcția activității mentale a elevului de a căuta diverse soluții la problemă în cazul în care nu există instrucțiuni speciale pentru aceasta.

Problemele combinatorii pot fi rezolvate prin diverse metode. În mod convențional, aceste metode pot fi împărțite în „formale” și „informale”. Cu metoda de soluție „formală”, trebuie să determinați natura alegerii, să selectați formula corespunzătoare sau regula combinatorie (există reguli de sumă și produs), să înlocuiți numerele și să calculați rezultatul. Rezultatul este suma Opțiuni, dar variantele în sine nu se formează în acest caz.

Cu metoda „informală” de rezolvare, însuși procesul de elaborare iese în prim-plan. diverse opțiuni. Și principalul lucru nu este cât de mult, ci ce opțiuni pot fi obținute. Astfel de metode includ metoda de enumerare. Această metodă este disponibilă chiar și studenților mai tineri și vă permite să câștigați experiență solutie practica probleme combinatorii, care servesc drept bază pentru introducerea principiilor și formulelor combinatorii în viitor. În plus, în viață o persoană trebuie nu numai să determine numărul de opțiuni posibile, ci și să compună direct toate aceste opțiuni și, după ce stăpânește metodele de enumerare sistematică, acest lucru se poate face mai rațional.

Sarcinile sunt împărțite în trei grupuri în funcție de complexitatea enumerarii:

unu . Sarcini în care trebuie să faceți o enumerare completă a tuturor opțiunilor posibile.

2. Sarcini în care este imposibil să utilizați tehnica de enumerare completă și trebuie să excludeți imediat unele opțiuni fără să le luați în considerare (adică să efectuați o enumerare prescurtată).

3. Sarcini în care operaţiunea de enumerare se execută de mai multe ori şi în raport cu diverse feluri de obiecte.

Iată exemplele relevante de sarcini:

Sarcină. Plasând semnele „+” și „-” între numerele date 9 ... 2 ... 4, alcătuiți toate expresiile posibile.

Există o listă completă de opțiuni:

a) două caractere din expresie pot fi aceleași, atunci obținem:

9 + 2 + 4 sau 9 - 2 - 4;

b) două semne pot fi diferite, atunci obținem:

9 + 2 - 4 sau 9 - 2 + 4.

Sarcină. Profesorul spune că a desenat 4 figuri la rând: pătrate mari și mici, cercuri mari și mici, astfel încât cercul să fie pe primul loc și figurile de aceeași formă să nu stea una lângă alta și îi invită pe elevi să ghicească succesiunea în care sunt aranjate aceste figuri.

Există 24 de aranjamente diferite ale acestor figuri în total. Și nu este recomandabil să le compuneți pe toate și apoi să le alegeți pe cele care corespund acestei condiții, prin urmare, se efectuează o enumerare prescurtată.

Un cerc mare poate fi pe primul loc, apoi unul mic poate fi doar pe locul trei, în timp ce pătratele mari și mici pot fi plasate în două moduri - pe locul doi și al patrulea.

Un raționament similar este efectuat dacă primul loc este un cerc mic și sunt, de asemenea, compilate două opțiuni.

Sarcină. Trei parteneri ai aceleiași firme păstrează valorile mobiliare într-un seif cu 3 încuietori. Însoțitorii vor să împartă cheile încuietorilor între ei, astfel încât seiful să poată fi deschis doar în prezența a cel puțin doi însoțitori, dar nu unul. Cum pot face acest lucru?

În primul rând, sunt enumerate toate cazurile posibile de distribuție a cheilor. Fiecărui însoțitor i se poate da o cheie, sau două chei diferite sau trei.

Să presupunem că fiecare însoțitor are trei chei diferite. Apoi, seiful poate fi deschis de către un singur însoțitor, iar acesta nu îndeplinește condiția.

Să presupunem că fiecare însoțitor are o cheie. Apoi, dacă vin doi dintre ei, nu vor putea deschide seiful.

Să dăm fiecărui însoțitor două chei diferite. Prima - 1 și 2 taste, a doua - 1 și 3 taste, a treia - 2 și 3 taste. Să verificăm când vin doi însoțitori pentru a vedea dacă pot deschide seiful.

Pot veni primul și al doilea însoțitor, vor avea toate cheile (1 și 2, 1 și 3). Pot veni primul și al treilea însoțitor, vor avea și toate cheile (1 și 2, 2 și 3). În sfârșit, pot veni și al doilea și al treilea însoțitor, vor avea și toate cheile (1 și 3, 2 și 3).

Astfel, pentru a găsi răspunsul la această problemă, trebuie să efectuați operația de iterație de mai multe ori.

Atunci când alegeți probleme combinatorii, trebuie să acordați atenție subiectului și formei de prezentare a acestor probleme. Este de dorit ca sarcinile să nu pară artificiale, ci să fie ușor de înțeles și interesante pentru copii, să evoce emoții pozitive în ei. Puteți folosi materiale practice din viață pentru a elabora sarcini.

Există și alte probleme care pot fi rezolvate prin enumerare.

De exemplu, să rezolvăm problema: „Marchizul Karabas avea 31 de ani, iar tânărul său energizant Puss in Boots avea 3 ani, când au avut loc evenimentele cunoscute din basm. Câți ani au trecut de atunci, dacă acum Pisica este de trei ori mai tânără decât stăpânul ei? Enumerarea opțiunilor este reprezentată de un tabel.

Epoca marchizului de Carabas și Puss in Boots

14 - 3 = 11 (ani)

Răspuns: Au trecut 11 ani.

În același timp, elevul, parcă, experimentează, observă, compară fapte și, pe baza unor concluzii particulare, face anumite concluzii generale. În procesul acestor observații, experiența sa real-practică este îmbogățită. Aceasta este tocmai valoarea practică a problemelor de enumerare. În acest caz, cuvântul „enumerare” este folosit în sensul de a analiza toate cazurile posibile care satisfac condițiile problemei, arătând că nu pot exista alte soluții.

Această problemă poate fi rezolvată și printr-o metodă algebrică.

Lasă pisica să aibă x ani, apoi marchizul este 3x, pe baza condiției problemei, vom compune ecuația:

Pisica are acum 14 ani, apoi au trecut 14 - 3 = 11 (ani).

Răspuns: Au trecut 11 ani.

metoda de raționament poate fi folosit pentru rezolvarea sofismelor matematice.

Greșelile făcute în sofism se rezumă de obicei la următoarele: efectuarea de acțiuni „interzise”, folosirea de desene eronate, folosirea incorectă a cuvintelor, formulări inexacte, generalizări „ilegale”, aplicații incorecte ale teoremelor.

A dezvălui sofism înseamnă a sublinia o eroare de raționament, pe baza căreia s-a creat aspectul exterior al dovezii.

Analiza sofismelor, în primul rând, dezvoltă gândirea logică, insuflă abilitățile de gândire corectă. A detecta o eroare în sofism înseamnă a o recunoaște, iar conștientizarea unei erori împiedică repetarea ei în alte raționamente matematice. Pe lângă criticitatea gândirii matematice, acest tip de sarcini non-standard dezvăluie flexibilitatea gândirii. Va putea elevul să „iasă din ghearele” acestei căi, care la prima vedere este strict logică, să rupă lanțul de inferențe chiar la veriga care este eronată și face ca toate raționamentele ulterioare să fie eronate?

Analiza sofismelor ajută și la asimilarea conștientă a materialului studiat, dezvoltă observația și atitudinea critică față de ceea ce se studiază.

a) Iată, de exemplu, un sofism cu o aplicare incorectă a teoremei.

Să demonstrăm că 2 2 = 5.

Să luăm următoarea egalitate evidentă ca raport inițial: 4: 4 = 5: 5 (1)

Scoatem din paranteze factorul comun din părțile din stânga și din dreapta, obținem:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Numerele dintre paranteze sunt egale, deci 4 = 5 sau 2 2 = 5.

În raționament, la trecerea de la egalitatea (1) la egalitatea (2), se creează o iluzie de probabilitate pe baza unei analogii false cu proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea.

b) Sofismul folosind generalizări „ilegale”.

Există două familii - Ivanov și Petrov. Fiecare este format din 3 persoane - tată, mamă și fiu. Tatăl lui Ivanov nu-l cunoaște pe tatăl lui Petrov. Mama lui Ivanov nu o cunoaște pe mama lui Petrova. Singurul fiu al soților Ivanov nu îl cunoaște pe singurul fiu al soților Petrovi. Concluzie: niciun membru al familiei Ivanov nu cunoaște un singur membru al familiei Petrov. Este adevărat?

Dacă un membru al familiei Ivanov nu cunoaște un membru al familiei Petrov egal ca stare civilă, aceasta nu înseamnă că nu cunoaște întreaga familie. De exemplu, tatăl lui Ivanov poate cunoaște mama și fiul lui Petrov.

Metoda raționamentului poate fi folosită și pentru a rezolva probleme logice. Sarcinile sublogice sunt de obicei înțelese ca sarcini care sunt rezolvate folosind doar operații logice. Uneori, soluția lor necesită un raționament lung, a cărui direcție necesară nu poate fi prevăzută în prealabil.

Sarcină. Se spune că Tortila i-a dat cheia de aur lui Pinocchio nu atât de simplu cum a spus A. N. Tolstoi, ci într-un mod complet diferit. Ea a scos trei cutii: roșu, albastru și verde. Pe cutia roșie era scris: „Aici zace o cheie de aur”, iar pe cea albastră - „Cutia verde este goală”, iar pe cea verde - „Aici stă un șarpe”. Tortilă a citit inscripțiile și a spus: „Într-adevăr, într-o cutie este o cheie de aur, în cealaltă un șarpe, iar a treia este goală, dar toate inscripțiile sunt greșite. Dacă ghiciți ce cutie conține cheia de aur, este a ta.” Unde este cheia de aur?

Deoarece toate inscripțiile de pe cutii sunt incorecte, atunci caseta roșie nu conține o cheie aurie, caseta verde nu este goală și nu există șarpe în ea, ceea ce înseamnă că cheia este în caseta verde, șarpele este în cel roșu, iar cel albastru este gol.

La rezolvarea problemelor logice se activează gândirea logică, iar aceasta este capacitatea de a deduce consecințe din premise, care este esențială pentru stăpânirea cu succes a matematicii.

Un rebus este o ghicitoare, dar o ghicitoare nu este una obișnuită. Cuvinte și numere în puzzle-uri matematice reprezentat folosind desene, asteriscuri, numere și diferite semne. Pentru a citi ceea ce este criptat în rebus, trebuie să denumiți corect toate obiectele descrise și să înțelegeți ce semn ilustrează ce. Oamenii foloseau puzzle-uri chiar și atunci când nu știau să scrie. Ei și-au compus literele din obiecte. De exemplu, liderii unui trib au trimis odată vecinilor o pasăre, un șoarece, o broască și cinci săgeți în loc de o scrisoare. Aceasta însemna: „Poți să zbori ca păsările și să te ascunzi în pământ ca șoarecii, să sari prin mlaștini ca broaștele? Dacă nu știi cum, atunci nu încerca să te lupți cu noi. Vă vom bombarda cu săgeți de îndată ce veți intra în țara noastră.”

Judecând după prima literă a sumei 1), D = 1 sau 2.

Să presupunem că D = 1. Atunci, Y? 5. Y \u003d 5 este exclus, deoarece P nu poate fi egal cu 0. Y? 6, pentru că 6 + 6 = 12, adică P = 2. Dar o astfel de valoare a lui P nu este potrivită pentru verificare ulterioară. La fel, U? 7.

Să presupunem că Y = 8. Atunci, P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Un pătrat magic (magic) este un pătrat în care suma numerelor pe verticală, pe orizontală și pe diagonală este aceeași.

Sarcină. Aranjați numerele de la 1 la 9 astfel încât pe verticală, pe orizontală și pe diagonală să obțineți aceeași sumă de numere, egală cu 15.

Deși nu există reguli generale pentru rezolvarea problemelor non-standard (de aceea aceste probleme sunt numite non-standard), am încercat să oferim o serie de linii directoare generale - recomandări care ar trebui urmate la rezolvarea problemelor non-standard de diferite tipuri. .

Fiecare sarcină non-standard este originală și unică în soluția sa. În acest sens, metodologia dezvoltată pentru predarea activității de căutare la rezolvarea sarcinilor nestandardizate nu formează abilități pentru rezolvarea sarcinilor nestandardizate, putem vorbi doar despre dezvoltarea anumitor abilități:

capacitatea de a înțelege sarcina, evidenția cuvintele principale (de susținere);

capacitatea de a identifica starea și întrebarea, cunoscute și necunoscute în problemă;

capacitatea de a găsi o legătură între date și cele dorite, adică de a analiza textul problemei, al cărei rezultat este alegerea operație aritmetică sau o operație logică pentru a rezolva o problemă non-standard;

capacitatea de a înregistra progresul soluției și răspunsul la problemă;

Capacitatea de a efectua muncă în plus peste sarcina;

capacitatea de a selecta informații utile conținute în problema în sine, în procesul de rezolvare a acesteia, de a sistematiza aceste informații, corelând-o cu cunoștințele existente.

Sarcinile non-standard dezvoltă gândirea spațială, care se exprimă prin capacitatea de a recrea în minte imaginile spațiale ale obiectelor și de a efectua operații asupra acestora. Gândirea spațială se manifestă la rezolvarea unor probleme de genul: „Deasupra marginii unui tort rotund, 5 puncte de cremă au fost așezate la aceeași distanță unele de altele. S-au făcut tăieturi prin toate perechile de puncte. Câte bucăți de tort ai primit în total?

metoda practica poate fi luată în considerare pentru probleme de diviziune non-standard.

Sarcină. Bățul trebuie tăiat în 6 bucăți. Câte tăieturi vor fi necesare?

Soluție: tăieturile vor avea nevoie de 5.

Când studiați probleme de diviziune non-standard, trebuie să înțelegeți: pentru a tăia un segment în P părți, ar trebui să faceți o tăietură (P - 1). Acest fapt trebuie stabilit cu copiii în mod inductiv și apoi folosit în rezolvarea problemelor.

Sarcină. Într-o bară de trei metri - 300 cm. Trebuie tăiată în bare de 50 cm lungime fiecare. Câte tăieturi trebuie să faci?

Rezolvare: obținem 6 bare 300: 50 = 6 (bare)

Argumentăm după cum urmează: pentru a împărți bara în jumătate, adică în două părți, trebuie să faceți 1 tăietură, în 3 părți - 2 tăieturi și așa mai departe, în 6 părți - 5 tăieturi.

Deci, trebuie să faceți 6 - 1 = 5 (tăieri).

Răspuns: 5 tăieturi.

Deci, unul dintre motivele principale care încurajează studenții să studieze este interesul pentru subiect. Interesul este o orientare cognitivă activă a unei persoane către un anumit obiect, fenomen și activitate, creată cu o atitudine emoțională pozitivă față de acesta. Unul dintre mijloacele de dezvoltare a interesului pentru matematică sunt sarcinile non-standard. O sarcină non-standard este înțeleasă ca astfel de sarcini pentru care nu există reguli și reglementări generale în cursul matematicii care să determine programul exact pentru rezolvarea lor. Rezolvarea unor astfel de probleme permite elevilor să se implice activ în activități de învățare. Există diferite clasificări ale problemelor și metode de rezolvare a acestora. Cele mai utilizate sunt algebrice, aritmetice, metode practiceși metoda de enumerare, raționament și presupunere.

2. Formareşcolaricapacitatea de a rezolva sarcini non-standard

2.1 Sarcini non-standard pentru elevii de școală elementară

Materialul didactic este destinat elevilor și cadrelor didactice din școala primară. Conține probleme matematice non-standard care pot fi folosite în clasă și în activități extracurriculare. Sarcinile sunt structurate prin metode de rezolvare: aritmetică, metode practice, enumerare, raționament și ipoteze. Sarcinile prezentate tipuri diferite: divertisment matematic; diverse puzzle-uri numerice; sarcini logice; sarcini, a căror soluție se bazează pe o combinație de dezvoltare matematică și ingeniozitate practică: cântărire și transfuzii în condiții dificile; sofisme matematice; sarcini de glumă; sarcini combinatorii. Pentru toate problemele sunt oferite soluții și răspunsuri.

· Rezolvarea problemelor prin metoda aritmetica:

1. S-au adunat 111 mii, 111 sute și 111 unități. Care a fost numărul?

2. Cât de mult veți obține dacă adăugați numerele: cele mai mici două cifre, cele mai mici trei cifre, cele mai mici patru cifre?

3. Sarcină:

„La pălăria gri pentru lecție

Au sosit șapte patruzeci

Și dintre ei doar 3 magpie

Lecții pregătite.

Câți mocasini-patruzeci

Ați ajuns la lecție?

4. Petya trebuie să facă de 4 ori mai mulți pași decât Kolya. Kolya locuiește la etajul trei. Pe ce etaj locuiește Petya?

5. Conform prescripției medicului pentru pacient, de la farmacie au fost cumpărate 10 comprimate. Medicul a prescris să ia medicamentul 3 comprimate pe zi. Câte zile va dura acest medicament?

· Rezolvarea problemelor prin enumerare:

6. Introduceți semnele „+” sau „-” în loc de asterisc, astfel încât să se obțină egalitatea corectă:

a) 2 * 3 * 1 = 6;

b) 6 * 2 * 3 = 1;

c) 2 * 3 * 1 = 4;

d) 8 * 1 * 4 = 5;

e) 7 * 2 * 4 = 5.

7. Nu există semne „+” și „-” între numere. Este necesar să aranjați semnele cât mai repede posibil, astfel încât să iasă 12.

a) 2 6 3 4 5 8 = 12;

b) 9 8 1 3 5 2 = 12;

c) 8 6 1 7 9 5 = 12;

d) 3 2 1 4 5 3 = 12;

e) 7 9 8 4 3 5 = 12.

8. Olya a primit 4 cărți cu basme și poezii de ziua ei. Erau mai multe cărți de basme decât cărți de poezie. Câte cărți cu basme i-au fost prezentate Olyei?

9. Vanya și Vasya au decis să cumpere bomboane cu toți banii lor. Da, asta e ghinion: aveau bani pentru 3 kg de bomboane, iar vânzătorul avea doar greutăți de 5 kg și 2 kg. Dar Vanya și Vasya au „A” la matematică și au reușit să cumpere ce și-au dorit. Cum au făcut-o?

10. Trei prietene - Vera, Olya și Tanya - au mers în pădure să culeagă fructe de pădure. Pentru cules de fructe de pădure aveau un coș, un coș și o găleată. Se știe că Olya nu era cu coș și nu cu coș, Vera nu era cu coș. Ce a luat fiecare dintre fete cu ea pentru a culege fructe de pădure?

11. La concursurile de gimnastică Iepurele, Maimuța, Boa constrictor și Papagalul au ocupat primele 4 locuri. Stabiliți cine a ocupat ce loc, dacă se știe că Iepurele - 2, Papagalul nu a devenit câștigător, dar a intrat în câștigătorii premiului, iar Boa a pierdut în fața Maimuței.

12. Laptele, limonada, kvasul și apa se toarnă într-o sticlă, un pahar, un ulcior și un borcan. Se știe că apa și laptele nu sunt într-o sticlă, într-un borcan nu există nici limonada, nici apă, dar un vas cu limonada stă între un ulcior și un vas cu kvas. Un pahar stă lângă un borcan și un vas cu lapte. Stabiliți ce lichid este care.

13. La petrecerea de Anul Nou, trei prietene, Anya, Vera și Dasha, au fost participanți activi, unul dintre ei a fost Fecioara Zăpezii. Când prietenii lor i-au întrebat care dintre ei este Fecioara Zăpezii, Anya le-a spus: „Fiecare dintre noi vă va oferi răspunsul la întrebarea dumneavoastră. Din aceste răspunsuri, trebuie să ghiciți singuri care dintre noi a fost de fapt Fecioara Zăpezii. Dar să știi că Dasha spune întotdeauna adevărul.” - „Bine”, au răspuns prietenii, „hai să vă ascultăm răspunsurile. Este chiar interesant.”

Anya: „Eram Fecioara Zăpezii”.

Vera: „Nu am fost o Fecioara Zăpezii”.

Dasha: „Unul dintre ei spune adevărul, iar celălalt minte”.

Deci, care dintre prietenii de la petrecerea de Anul Nou a fost Fecioara Zăpezii?

14. Scara este formată din 9 trepte. Pe ce treaptă trebuie să stai pentru a fi exact în mijlocul scărilor?

15. Care este treapta din mijloc a unei scări cu 12 trepte?

16. Anya i-a spus fratelui ei: „Sunt cu 3 ani mai mare decât tine. Cu câți ani voi fi mai mare decât tine în 5 ani?

17. Împărțiți cadranul ceasului în două părți cu o linie dreaptă, astfel încât sumele numerelor din aceste părți să fie egale.

18. Împărțiți cadranul ceasului cu două linii drepte în trei părți, astfel încât, prin adăugarea numerelor, să se obțină aceleași sume în fiecare parte.

· Rezolvați probleme cu o metodă practică:

19. Coarda a fost tăiată în 6 locuri. Câte piese a făcut?

20. Erau 5 frați. Fiecare frate are o soră. Câți oameni mergeau?

21. Care este mai greu: un kilogram de vată sau o jumătate de kilogram de fier?

22. Un cocoș, stând pe un picior, cântărește 3 kg. Cât va cântări un cocoș în picioare pe două picioare?

· Rezolva probleme metoda ghicirii:

23. Cum se scrie numărul 10 cu cinci numere identice, conectându-le cu semne de acțiune?

24. Cum se scrie numărul 10 în patru diverse numere, conectându-le cu semne de acțiune?

25. Cum poate fi scris numărul 5 ca trei numere identice, legându-le cu semne de acțiune?

26. Cum poate fi scris numărul 1 ca trei numere diferite, conectându-le cu semne de acțiune?

27. Cum să scoți 2 litri de apă de la robinet folosind un vas de șase litri și patru litri?

28. Un vas de șapte litri este umplut cu apă. În apropiere se află un vas de cinci litri și conține deja 4 litri de apă. Câți litri de apă trebuie turnați din vasul mai mare în cel mai mic pentru a-l umple până sus? Câți litri de apă vor rămâne în vasul mai mare după aceasta?

29. Puiul de elefant s-a îmbolnăvit. Pentru tratamentul lui sunt necesari exact 2 litri de suc de portocale, iar doctorul Aibolit are doar un borcan plin de suc de cinci litri si un borcan gol de trei litri. Cum poate Aibolit să măsoare exact 2 litri de suc?

30. O poveste incredibilă s-a întâmplat cu Winnie the Pooh, Purcel și Iepure. Anterior, Winnie the Pooh iubea mierea, Iepure - varză, Purcel - ghinde. Dar odata ajunsi in padurea fermecata si flamanzi, ei au descoperit ca gusturile lor s-au schimbat, dar totusi toata lumea prefera un singur lucru. Iepurele a spus: „Eu nu mănânc varză și ghinde”. Purcelul a tăcut, iar Winnie the Pooh a remarcat: „Dar mie nu-mi place varza”. Cui ii place sa manance?

Răspunsuri și soluții

1. 111000 + 11100 + 111 = 122211.

2. 10 + 100 + 1000 = 110.

4. Petya locuiește la etajul 9. Kolya locuiește la etajul trei. Există 2 „zboruri” la etajul trei: de la primul la al doilea, de la al doilea la al treilea. Deoarece Petya trebuie să parcurgă de 4 ori mai mulți pași, apoi 2 4 = 8. Deci, Kolya trebuie să treacă prin 8 „zboruri” și până la etajul 9 8 „zboruri”.

5. 3+3+3+1=10. În a patra zi, va rămâne doar 1 tabletă.

a) 2 + 3 - 1 = 4;

b) 2 + 3 + 1 = 6;

c) 6 - 2 - 3 = 1;

d) 8 + 1 - 4 = 5;

e) 7 + 2 - 4 = 5.

a) 2 + 6 - 3 + 4 - 5 + 8 = 12;

b) 9 + 8 + 1 - 3 - 5 + 2 = 12;

c) 8 - 6 - 1 + 7 + 9 - 5 = 12;

d) 3-2-1 + 4 + 5 + 3 = 12;

e) 7 + 9 + 8 - 4 - 3 - 5 = 12.

8. Numărul 4 poate fi reprezentat ca suma a doi termeni diferiți într-un mod unic: 4 - 3 + 1. Erau mai multe cărți cu basme, ceea ce înseamnă că erau 3.

9. Pune o greutate de 5 kg pe o tigaie de cantar, iar pe cealalta pune acadele si o greutate de 2 kg.

	mic coș

10. Să punem starea problemei în tabel și, acolo unde este posibil, să aranjam argumentele pro și contra:

maimuţă

S-a dovedit că Maimuța și Boa Constrictor se aflau pe primul și al patrulea loc, dar din moment ce, conform condiției, Boa Constrictor a pierdut în fața Maimuței, se dovedește că Maimuța este pe primul loc, Papagalul este pe primul loc. al doilea și Boa Constrictor este în al patrulea.

11. Condițiile ca apa să nu fie într-o sticlă, laptele să nu fie în sticlă, limonada să nu fie în borcan, apa să nu fie într-un borcan vor fi trecute în tabel. Din condiția ca un vas cu limonada să stea între un ulcior și un vas cu kvas, concluzionăm că limonada nu este într-un ulcior și kvas-ul nu este într-un ulcior. Și întrucât paharul este lângă borcan și vasul cu lapte, putem concluziona că laptele nu este în borcan și nici în pahar. Să aranjăm „+”, ca rezultat obținem că laptele este într-un ulcior, limonada este într-o sticlă, kvasul este într-un borcan și apa este într-un pahar.

12. Din declarația lui Dasha, rezultă că dintre afirmațiile Anyei și Verei, una este adevărată, iar cealaltă este falsă. Dacă afirmația Verei este falsă, atunci obținem că atât Anya, cât și Vera au fost Fecioarele Zăpezii, ceea ce nu poate fi. Deci, declarația Anyei trebuie să fie falsă. În acest caz, înțelegem că Anya nu a fost o Snow Maiden, nici Vera nu a fost o Snow Maiden. Rămâne că Fecioara Zăpezii a fost Dasha.

Când înmulțim numărul 51 cu un singur număr, am obținut din nou un număr din două cifre. Acest lucru este posibil numai dacă este înmulțit cu 1. Prin urmare, al doilea factor este 11.

13. La înmulțirea primului factor cu 2, se obține un număr din patru cifre, iar atunci când este înmulțit cu cifra sutelor și cifra unităților, se obține un număr din trei cifre. Concluzionăm că al doilea factor este 121. Prima cifră a primului factor este 7, iar ultima este 6. Obținem produsul numerelor 746 și 121. Prima cifră din primul factor este 7, ultima este 6 .

14. Pe treapta a cincea.

15. O scară de 12 trepte nu va avea o treaptă de mijloc, va avea doar o pereche de trepte de mijloc - a șasea și a șaptea. Soluția acestei probleme, la fel ca și cea anterioară, poate fi verificată prin desen.

16. De 3 ani.

17. Trebuie să trasați o linie între numerele 3 și 4 și între 10 și 9.

18. 11, 12, 1, 2; 9, 10, 3, 4: 5, 6, 7, 8.

19. Vei primi 7 piese.

20. 6 persoane 5 frați și 1 soră.

21. Kilogram de bumbac

22. 3 kg.

23. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10.

24. 1 + 2 + 3 + 4 = 10

25. 5 + 5 - 5 = 5

26. 4 - 2 - 1; 4 - 1 - 2; 5 - 3 - 1; 6 - 4 - 1; 6 - 2 - 3 etc.

27. Formați un șase litri, turnați apă din el într-unul de patru litri, vor fi 2 litri.

28. Este necesar să turnați 1 litru de apă, în timp ce 6 litri vor rămâne într-un vas mai mare.

29. Turnați 3 litri de suc într-un borcan de trei litri, apoi 2 litri de suc vor rămâne într-un borcan mare.

30. Iepure - miere, Winnie the Pooh - ghinde, Purcel - varză.

...

Documente similare

Condiţii pentru formarea intereselor cognitive în predarea matematicii. Munca extracurriculară la școală ca mijloc de dezvoltare a interesului cognitiv al elevilor. Un joc matematic este o formă de muncă extracurriculară și un mijloc de dezvoltare a interesului cognitiv al elevilor.

teză, adăugată 28.05.2008


Aspecte psihologice și pedagogice ale formării deprinderilor de rezolvare a problemelor de text de către elevii mai tineri. Analiza cerințelor programului pentru formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor de text. Metode, forme, tehnici pentru formarea deprinderilor. Diagnosticul nivelului de formare.

teză, adăugată 14.07.2013


Studiu internațional al realizărilor educaționale ale elevilor ca măsură a calității pregătirii matematice a școlarilor. Abordare bazată pe competențe ca mijloc de îmbunătățire a calității alfabetizării. Probleme matematice orientate pe competențe.

teză, adăugată 24.06.2009


Studii psihologice și pedagogice ale dezvoltării interesului cognitiv al elevilor. Manual ca mijloc principal de vizualizare în predarea limbii ruse. Sistemul de lucru privind formarea interesului cognitiv al elevilor cu ajutorul mijloacelor vizuale.

teză, adăugată 18.10.2011


Principalele probleme ale formării cunoștințelor și abilităților matematice la elevii cu deficiențe de auz în activități extracurriculare. Modelarea procesului pedagogic de formare a cunoștințelor și abilităților matematice la copiii cu deficiențe de auz în timpul extrașcolar.

lucrare de termen, adăugată 14.05.2011


Experiența creativității colective. Activități extracurriculare ca mijloc de creștere a interesului pentru învățare. Un test pentru a determina nivelul potențialului creativ al elevilor, capacitatea de a lua decizii non-standard. Creativitatea tehnică, ordinea și conținutul pregătirii pentru lecție.

rezumat, adăugat 12.08.2010


Studiul tehnologiei de mărire a unităților didactice (UDE), a cărei utilizare contribuie la formarea abilităților de muncă independentă la elevi, dezvoltarea interesului cognitiv, capacitatea de a asimila cunoștințe și creșterea volumului materialului studiat.

lucrare de control, adaugat 02.05.2011


Activitatea cognitivă a elevilor conditie necesara succesul procesului de predare a elevilor din clasele a VIII-a. Mijloace de activare a activității cognitive. Studiul influenței formelor non-standard de lecții: joc didactic, sarcini istorice.

teză, adăugată 08.09.2008


Studiul caracteristicilor psihologice și pedagogice ale elevilor din ciclul primar. Caracteristicile sistemului de organizare a muncii extracurriculare la matematică și metodologia de implementare a acestuia. Dezvoltarea unui sistem de lecții în cerc de matematică într-un mod ludic.

teză, adăugată 20.05.2012


Rolul și semnificația lecțiilor non-standard de matematică în formarea interesului cognitiv al elevilor mai tineri. Lucrare experimentală privind formarea interesului cognitiv al şcolarilor la lecţiile-excursii de matematică din şcoala primară.

Conceptul de „sarcină non-standard” este folosit de mulți metodologi. Deci, Yu. M. Kolyagin dezvăluie acest concept după cum urmează: „Sub non-standardînțeles sarcină, la prezentarea cărora, elevii nu cunosc dinainte nici metoda de rezolvare a acesteia, nici pe ce material educațional se bazează soluția.

Definiția unei probleme non-standard este dată și în cartea „Cum să înveți să rezolvi probleme” de autorii L.M. Fridman, E.N. Turc: " Sarcini non-standard- acestea sunt cele pentru care nu există reguli și reglementări generale în cursul matematicii care să determine programul exact pentru rezolvarea lor.

Nu confunda sarcinile non-standard cu sarcinile de complexitate crescută. Condițiile problemelor de complexitate crescută sunt de așa natură încât permit elevilor să selecteze destul de ușor aparatul matematic necesar pentru rezolvarea unei probleme de matematică. Profesorul controlează procesul de consolidare a cunoştinţelor oferite de programul de formare prin rezolvarea problemelor de acest tip. Dar o sarcină non-standard implică prezența unei naturi exploratorii. Totuși, dacă rezolvarea unei probleme de matematică pentru un elev este nestandard, deoarece nu este familiarizat cu metodele de rezolvare a problemelor de acest tip, atunci pentru altul, rezolvarea problemei are loc într-un mod standard, deoarece el are a rezolvat deja astfel de probleme și mai mult de una. Aceeași sarcină la matematică în clasa a V-a este nestandard, iar în clasa a VI-a este obișnuită și nici măcar de complexitate crescută.

O analiză a manualelor și a materialelor didactice de matematică arată că fiecare sarcină de text în anumite condiții poate fi nestandard, iar în altele - obișnuită, standard. O problemă standard dintr-un curs de matematică poate fi nestandard într-un alt curs.

Pe baza analizei teoriei și practicii utilizării sarcinilor nestandardizate în predarea matematicii, se poate stabili rolul general și specific al acestora. Sarcini non-standard:

• · învățați copiii nu numai să folosească algoritmi gata pregătiți, ci și să găsească în mod independent noi modalități de rezolvare a problemelor, de ex. contribuie la capacitatea de a găsi modalități originale de rezolvare a problemelor;
• influența dezvoltarea ingeniozității, a ingeniozității elevilor;
• Ele împiedică dezvoltarea clișeelor ​​dăunătoare la rezolvarea problemelor, distrug asocierile incorecte în cunoștințele și abilitățile elevilor, implică nu atât asimilarea tehnicilor algoritmice, cât descoperirea de noi conexiuni în cunoștințe, transferul cunoștințelor în condiții noi și stăpânirea diferitelor metode de activitate mentală;
• să creeze condiții favorabile pentru creșterea forței și profunzimii cunoștințelor elevilor, să asigure asimilarea conștientă a conceptelor matematice.

Sarcini non-standard:

• nu ar trebui să aibă algoritmi gata pregătiți memorați de copii;
• ar trebui să fie accesibil tuturor studenților din punct de vedere al conținutului;
• trebuie să fie interesant în conținut;
• Pentru a rezolva probleme non-standard, elevii ar trebui să aibă suficiente cunoștințe dobândite de ei în program.

Rezolvarea sarcinilor non-standard activează activitatea elevilor. Elevii învață să compare, să clasifice, să generalizeze, să analizeze, iar acest lucru contribuie la o asimilare mai puternică și mai conștientă a cunoștințelor.

După cum a arătat practica, sarcinile non-standard sunt foarte utile nu numai pentru lecții, ci și pentru activități extracurriculare, pentru sarcinile olimpiadei, deoarece acest lucru oferă posibilitatea de a diferenția cu adevărat rezultatele fiecărui participant. Astfel de sarcini pot fi folosite cu succes ca sarcini individuale pentru acei elevi care fac față cu ușurință și rapid la partea principală a muncii independente din lecție sau pentru cei care doresc ca sarcini suplimentare. Drept urmare, studenții primesc dezvoltare intelectuală și pregătire pentru lucrări practice active.

Nu există o clasificare general acceptată a sarcinilor nestandardizate, dar B.A. Kordemsky identifică următoarele tipuri de astfel de sarcini:

• · Sarcini legate de cursul școlar de matematică, dar de dificultate crescută – precum sarcinile olimpiadelor de matematică. Ele sunt destinate în principal școlarilor cu un interes clar pentru matematică; tematic, aceste sarcini sunt de obicei asociate cu una sau alta secțiune specifică a curriculumului școlar. Exercițiile legate de aceasta aprofundează materialul educațional, completează și generalizează prevederile individuale ale cursului școlar, extind orizonturile matematice și dezvoltă abilități de rezolvare a problemelor dificile.
• · Probleme ale tipului de divertisment matematic. Ele nu au legătură directă cu programa școlară și, de regulă, nu necesită prea multă pregătire matematică. Acest lucru nu înseamnă însă că a doua categorie de sarcini include doar exerciții ușoare. Aici există probleme cu o soluție foarte dificilă și astfel de probleme, a căror soluție încă nu a fost obținută. „Sarcinile non-standard, prezentate într-un mod distractiv, aduc un moment emoționant activităților mentale. Nu sunt legate de necesitatea de a aplica întotdeauna reguli și tehnici memorate pentru a le rezolva, ele necesită mobilizarea tuturor cunoștințelor acumulate, îi învață să caute modalități de rezolvare originale, fără șablon, îmbogățesc arta rezolvării cu exemple frumoase, le fac. admiră puterea minții.

Aceste tipuri de sarcini includ:

o varietate de puzzle-uri numerice ("... exemple în care toate sau unele dintre numere sunt înlocuite cu asteriscuri sau litere. Aceleași litere înlocuiesc aceleași numere, litere diferite - numere diferite" .) și puzzle-uri pentru ingeniozitate;

sarcini logice, a căror rezolvare nu necesită calcule, ci se bazează pe construirea unui lanț de raționament exact;

sarcini, a căror soluție se bazează pe o combinație de dezvoltare matematică și ingeniozitate practică: cântărire și transfuzii în condiții dificile;

sofistica matematică este o concluzie deliberată, falsă, care are aparența de a fi corectă. (Sofismul este o dovadă a unei afirmații false, iar eroarea din demonstrație este deghizată cu pricepere. Sofismul în greacă înseamnă o invenție vicleană, truc, puzzle);

sarcini de glumă;

probleme combinatorii, în care sunt luate în considerare diverse combinații de obiecte date care satisfac anumite condiții (B.A. Kordemsky, 1958).

Nu mai puțin interesantă este clasificarea problemelor non-standard dată de I.V. Egorcenko:

• sarcini care vizează găsirea de relații între obiecte, procese sau fenomene date;
• sarcini nerezolvabile sau nerezolvabile prin intermediul unui curs școlar la un anumit nivel de cunoștințe al elevilor;
• Sarcini care necesită:

efectuarea și utilizarea analogiilor, determinarea diferențelor dintre obiecte, procese sau fenomene date, stabilirea opusului fenomenelor și proceselor date sau antipozii acestora;

implementarea unei demonstrații practice, abstracție de la anumite proprietăți ale unui obiect, proces, fenomen sau concretizare a uneia sau alteia laturi a acestui fenomen;

stabilirea de relații cauzale între obiecte, procese sau fenomene date;

construirea de lanțuri cauzale pe cale analitică sau sintetică cu analiza ulterioară a opțiunilor rezultate;

implementarea corectă a unei secvențe de anumite acțiuni, evitând erori-„capcane”;

implementarea tranziției de la o versiune plană la o versiune spațială a unui proces, obiect, fenomen dat sau invers (I.V. Egorchenko, 2003).

Deci, nu există o clasificare unificată a sarcinilor non-standard. Sunt mai multe, dar autorul lucrării a folosit clasificarea propusă de I.V. Egorcenko.