DEFINIȚIE 5. Fie X un spațiu metric, ММ Х, aОХ. Un punct a se numește punct limită al lui M dacă există puncte ale mulțimii M\(a) în orice vecinătate a lui a. Aceasta din urmă înseamnă că în orice vecinătate a lui a există puncte ale mulțimii M care sunt diferite de a.

Observatii. 1. Punctul limită poate aparține sau nu setului. De exemplu, 0 și 1 sunt puncte limită ale mulțimii (0,2), dar primul nu îi aparține, dar al doilea aparține.

2. Un punct din mulțimea M poate să nu fie punctul său limită. În acest caz, se numește punct izolat M. De exemplu, 1 este un punct izolat al mulțimii (-1,0)È(1).

3. Dacă punctul limită a nu aparține mulțimii M, atunci există o succesiune de puncte x n нM care converg către a în acest spațiu metric. Pentru a dovedi, este suficient să luăm bile deschise în acest punct de raze 1/n și să alegem din fiecare bilă un punct aparținând lui M. Este adevărat și invers, dacă există o astfel de succesiune pentru a, atunci punctul este o limită. punct.

DEFINIȚIA 6. Închiderea unei mulțimi M este unirea lui M cu mulțimea punctelor sale limită. Denumirea .

Rețineți că închiderea unei mingi nu trebuie să coincidă cu o minge închisă de aceeași rază. De exemplu, într-un spațiu discret, închiderea bilei B(a,1) este egală cu mingea în sine (constă dintr-un singur punct a), în timp ce bila închisă (a,1) coincide cu întregul spațiu.

Să descriem câteva proprietăți ale închiderii mulțimilor.

1. ММ . Aceasta rezultă direct din definiția unei închideri.

2. Dacă M Ì N, atunci Ì . Într-adevăr, dacă a О , a ПМ, atunci în orice vecinătate a lui a există puncte ale mulțimii M. Ele sunt și puncte ale lui N. Prin urmare, a . Pentru punctele din M acest lucru este clar prin definiție.

4. .

5. Închiderea setului gol este gol. Acest acord nu decurge din definiție generală dar este firesc.

DEFINIȚIE 7. O mulțime M Ì X se numește închisă dacă = M.

O mulțime M Ì X este numită deschisă dacă mulțimea X\M este închisă.

O mulțime M Ì X este numită peste tot densă în X dacă = X.

DEFINIȚIA 8. Un punct a se numește punct interior al unei mulțimi M dacă B(a,r)ÌM pentru un r pozitiv, adică punctul interior este inclus în mulțime împreună cu o vecinătate. Un punct a se numește punct exterior al unei mulțimi M dacă bila B(a,r)ÌX/M pentru un r pozitiv, adică punctul interior nu este inclus în mulțime împreună cu o vecinătate. Punctele care nu sunt nici puncte interioare, nici exterioare ale mulțimii M se numesc puncte de limită.

Astfel, punctele de limită se caracterizează prin faptul că în fiecare dintre cartierele lor există puncte atât incluse, cât și neincluse în M.

PROPOZIȚIA 4. Pentru ca o mulțime să fie deschisă, este necesar și suficient ca toate punctele sale să fie interioare.

Exemple seturi închise pe linie sunt ,)